Синтез оптимального по времени управления перемещением перевернутого стержня тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи

005049447

Голуб Сергей Петрович

Синтез оптимального по времени управления перемещением перевернутого стержня

01.02.01 - Теоретическая механика

7 ФЕВ 2013

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени Кандидата физико-математических наук

Москва-2013

005049447

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Голубев Юрий Филиппович,

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Лемак Степан Степанович,

доктор физико-математических наук, профессор

Шматков Антон Михайлович, кандидат физико-математических наук

Ведущая организация: Московский энергетический институт

(Национальный исследовательский

университет)

Защита диссертации состоится 15 февраля 2013 года в 16 часов 30 минут на заседании совета Д 501.001.22 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, Главное Здание МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале отдела диссертаций (Ломоносовский просп., 27, Фундаментальная библиотека, сектор А - 8 этаж, к.812)

Автореферат разослан 15 января 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент

Прошкин В. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Задачу о стабилизации перевернутого физического маятника в различных постановках решили такие ученые как Стевенсон А., Капица ПЛ., Охоцимский Д.Е., Мартыненко Ю.Г., Формальский A.M. и др. В одномерном варианте была решена так же задача транспортировки точки опоры перевернутого маятника в другое положение с сохранением вертикальной ориентации. Этому посвящены работы Александрова В.В., Колесникова A.A., Мартыненко Ю.Г., Медведева М.Ю., Формальского A.M. и других авторов.

В данной работе решается задача синтеза оптимального по быстродействию управления и оптимального программного управления для перемещения в горизонтальной плоскости точки опоры перевернутого стержня. Требование о сохранении вертикальной ориентации стержня в процессе движения не накладывается. Интерес к данной проблеме связан с необходимостью создания и совершенствования систем управления нетрадиционными транспортными средствами для мегаполисов. Поэтому тема диссертации является актуальной.

Научная новизна диссертации

Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми. Впервые найдена область существования решения, получено оптимальное по быстродействию программное управление и построен синтез оптимального по быстродействию управления в задаче, когда в качестве функции управления взята скорость точки опоры. Решена задача наискорейшего перевода точки опоры стержня на заданное расстояние при условии, что в начале маневра стержень был стабилизирован в верхнем положении равновесия, а в конце маневра стержень приводится тоже в верхнее положение равновесия с нулевой скоростью и ускорением в новом положении точки опоры, когда в качестве функции управления взято ускорение точки опоры. Решена задача перевода точки опоры стержня на заданное расстояние с использованием комбинированного управления, когда в качестве функции управления взято ограниченное ускорение платформы и считается, что скорость точки опоры ограничена по величине.

Достоверность результатов

Все результаты имеют строгие математические обоснования и получены на основе сформулированных в диссертации гипотез современными методами теории управления и теоретической механики.

Используемые методы

В работе используются методы теории управления, теоретической механики и компьютерной графики.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. В ней получено полное решение трудных задач оптимального управления. Полученные результаты могут найти применение в исследованиях, посвященных передвижению с помощью нетрадиционных транспортных средств типа «Сегвэй» для быстрейшего перемещения на заданное расстояние. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях, проводимых в Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, МГУ им. М.В. Ломоносова, Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша, Московском энергетическом институте (Национальном исследовательском университете) и других научно-исследовательских центрах.

Апробация работы

Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

-Конференция-конкурс молодых ученых, НИИ Механики МГУ им. М.В. Ломоносова (2009 г.)

-Седьмой международный симпозиум по классической и небесной механике ССМЕСН 7 (Москва, 17-28 октября 2011 года)

-Семинар МГУ им. М.В. Ломоносова по прикладной механике и управлению (имени А.Ю. Ишлинского) под руководством проф. В.В. Александрова, проф. H.A. Парусникова, проф. Ю.В. Болотина (2012 г.)

-Семинар Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН под руководством академика РАН Ф.Л. Черноусько (2012 г.)

4

-Семинар МГУ им. М.В. Ломоносова по аналитической механике и теории устойчивости (имени В.В. Румянцева) под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. A.B. Карапетяна (2012 г.)

-Семинар МГУ им. М.В. Ломоносова по динамике относительного движения под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. Ю.Ф. Голубева, доц. К.Е. Якимовой, доц. Е.В.Мелкумовой

-Семинар МЭИ кафедры теоретической механики и мехатроники под руководством проф. И.В. Меркурьева (2012 г.)

-Семинар МГУ им. М.В. Ломоносова по игровым задачам управления под руководством проф. М.С. Никольского (2012 г.)

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в 4 публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 45 наименований и приложения с рисунками. Общий объем диссертации - 105 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описана предметная область и цель диссертации, дан обзор работ, посвященных исследованию перевернутого физического маятника, синтезу оптимального управления, а также приведено краткое описание содержания работы.

В первой главе сформулирована постановка задачи и выводятся уравнения движения системы.

Рассматривается система, состоящая из весомого стержня, который нижней точкой опирается на подставку в точке А, задаваемой радиус-вектором г5 и имеет массу т. В качестве лагранжевых координат стержня выбираются координаты некоторой точки В стержня. Точка В отстоит от

5

опоры на постоянное расстояние I и характеризуется радиус-вектором гь.

Предполагается, что силовой момент в точке контакта стержня с опорой отсутствует. Воздействие подставки на стержень сводится к реакции, сосредоточенной в точке опоры.

Берется подвижная система координат оси которой сохраняют постоянную ориентацию, а начало А совпадает с концом вектора г3. В системе 5 на стержень действуют сила тяжести тд и сила инерции -т^ обе приложенные к центру масс стержня С. В системе 5 точка опоры А неподвижна. Относительные радиус-вектор и скорость точки В стержня выражаются формулами

Рь=гь- г5, рь = П, - г3.

Считается, что Ь - длина стержня, поперечный момент инерции стержня относительно точки А равен ), а центр масс стержня отстоит от точки А на расстояние 1С, так что его относительный радиус-вектор имеет вид рс = 1срь/1.

Воспользовавшись теоремой об изменении кинетического момента

К = ^Рь х Рь

получили уравнение

т1с1 _ /, т1с1\ а _ гь=у-5 + (1--—]г,+Ярь<

где множитель Л отвечает за выполнение связи р1 = 1г. При I = ]/(т1с) уравнение движения упрощается (точка В - центр удара) и записывается в виде

?ь~9 + Ярь-

Множитель Я находится из продифференцированного дважды уравнения связи р1 = I2 в предположении, что движение точки опоры таково, что стержень остается вблизи вертикали, а так же во все время движения квадрат относительной скорости (гь - Р5 )2 остается малым.

Выбрав неподвижную правую ортогональную систему координатор,

6

где ось ОС направлена вертикально вверх, а оси О$ и Ог)- произвольно в горизонтальной плоскости, получили, что проекция уравнения движения на выбранные оси примет вид

= Щь ~ У, Пь = Л0?ь - щ), 4 = ~д + ЛОГь - О,

Эти уравнения дают возможность определить движение точки опоры, обеспечивающее требуемое движение точки В.

В дальнейших исследованиях предполагается, что точка опоры стержня

двигается только в горизонтальной плоскости, то есть & = 0, при этом

имеем, что Л«д/1 и так как стержень близок к вертикали (то есть

- <5 « 0, то ^ = 0. Таким образом, третье уравнение системы уравнений движения становится тождеством.

Во второй главе рассматривается случай, когда в качестве функции управления взята ограниченная по величине скорость точки опоры стержня. В этом случае найдена область существования решения поставленной задачи, получено оптимальное по быстродействию программное управление и построен синтез соответствующего управления.

В 2.1 исследуется система уравнений, полученная из проекций уравнения движения на горизонтальные оси

{<71 = Чг.

42 = <>>2^1-Чз), Чз=Ми, |н|<1,

где ы2 координата точки В, д2 - скорость точки В, координата

точки опоры.

в 2.2 рассматривается проекция траекторий движения на фазовую плоскость. Находится область существования решения поставленной задачи, которая записывается в виде

-М <Ч2+ — £?з) < М

В 2.3 аналитически решена задача нахождения оптимального по быстродействию программного управления при произвольных начальных условиях.

В 2.4 построен синтез оптимального по быстродействию управления, который записывается в следующем виде.

Введем функцию

-1, 5 < О, . 1, 5>0.

Уравнение кривой переключения записывается в виде

( Ч1=г + ч3,

д2 = 0(г) (М - ^М2+ы2Г2).

0)2Г2 0)Г

е (—со; +оо).

Если текущее положение системы соответствует этой системе уравнений, то движение происходит по кривой переключения, а знак управления выбирается как знак параметра г.

Поверхность переключения записывается в виде

q1=r + q3, 42 = 5 + Яг-

где <?2 " значение Ц2 из уравнения кривой переключения для текущего значения г. Если текущее положение системы соответствует этой системе уравнений, то движение происходит по кривой переключения, а знак управления выбирается как знак параметра 5

Если же текущее положение системы принадлежит области существования решения, но не удовлетворяет ни уравнению кривой переключения, ни уравнению поверхности переключения, то знак управления выбирается положительным, если текущее значение больше значения £?3, вычисленного из уравнений поверхности переключения (находимся выше поверхности переключения), и отрицательным в обратном случае.

На рис. 1 изображена поверхность переключения

.г Е (-оо; +<х>),5 е (-М - а)Г - ц*2,М - шг - <?|),

Рис.1 Поверхность переключения

В третьей главе в качестве функции управления взято ограниченное по величине ускорение точки опоры и решена задача наискорейшего перевода точки опоры стержня на заданное расстояние при условии, что в начале маневра стержень был стабилизирован в верхнем положении равновесия, а в конце маневра стержень следует привести тоже в верхнее положение равновесия с нулевой скоростью и ускорением в новом положении точки опоры. Найдено оптимальное по быстродействию программное управление поставленной задачи.

В 3.1 выписаны уравнения движения для рассматриваемого случая

<?i = <?2.

q2 = ш2(«?1 - <7з). Чз =

tj4 = Du, |u| < 1,

и доказано, что данная система вполне управляема.

В 3.2 найдены необходимые условия оптимальности из которых следует, что оптимальное управление кусочно-постоянно и имеет не более трех переключений с одного максимального значения на другое

В 3.3 аналитически находится оптимальное по быстродействию программное управление поставленной задачи. Показано, что оптимальное управление в этом случае имеет ровно три переключения с одного максимального значения на другое. Формулы для нахождения времени движения на каждом участке постоянства управления в зависимости от расстояния, которое должна пройти точка опоры, выписаны в явном виде. Из

равенства

,_2 + - \а1ы2

т --Г~ч--'п к, =-,

4(2-кг) 1 о '

где = (а,- время движения по первому участку постоянства управления), |а| - расстояние, которое должна пройти точка опоры, находится время движения на первом участке движения с постоянный управлением (совпадает с а4 - временем движения на последнем участке постоянства управления). А из равенства

к _кг + - 1)72^7 3 ^(2 - к^ '

где к3 = (<т3 - время движения по третьему участку постоянства управления), находится время движения на третьем участке движения с постоянным управлением (совпадает с <т2 - временем движения на втором участке постоянства управления).

Вид управления определяется расстоянием, которое нужно пройти точке опоры. Если а < 0, то выбирается управление вида (1,-1,1,-1), а если а > О, то выбирается управление вида (-1,1,-1,1).

В 3.4 выписаны свойства полученного движения системы.

Свойство 1. Выполняется условие

ЧЛТ ~ Ь) - д3(Т - О = -(^(0 -где Т - все время движения.

Свойство 2. <7!(Г/2) - Чз(Т /2) = 0.

Свойство 3. Производная - д3(0]/Л непрерывна во все время

движения.

Свойство 4. Функция (?1(с) - Чз(С)) достигает экстремумов только на интервале между первым и третьим переключениями управления.

Свойство 5. Справедлива оценка

тах^СО -<7зМ1 <

тд1с

Свойство 6. Выполняется условие

Ч2(Т - О - 44(Т - О = Чг(0 - <?4(0.

Свойство 7. Функция (д2(с) - <74 (0) достигает экстремумов только при с = о-ъ £ = 0^ + 0-2 и С = О"! + ст2 + 0"з. В этих точках производная ¿[<72(0-^4(0]/^ терпит скачок и меняет знак. Во всех других точках диапазонов

[О, (гг), (стх, (Т\ + сг2), С<тх + а2, а1+а2+ сг3), Г] производная остается непрерывной и нигде не обращается в нуль.

Свойство 8. Справедлива оценка

тах|ч2(0-<74(0| <0

В четвертой главе на основе анализа законов управления, полученных во второй и третьей главах, решена задача перевода точки опоры стержня на заданное расстояние с использованием комбинированного управления, когда в качестве функции управления взято ограниченное ускорение платформы и считается, что скорость точки опоры ограничена по величине. Как и в третьей главе, принимается, что в начале маневра стержень был стабилизирован в верхнем положении равновесия, а в конце маневра требуется привести стержень тоже в верхнее положение равновесия с нулевой скоростью и ускорением в новом положении точки опоры.

В 4.1 выписаны рассматриваемые уравнения движения.

В 4.2 рассматриваются все возможные случаи решения поставленной задачи, и находится аналитически программное управление. Показано, что независимо от расстояния, на которое нужно перевести стержень, комбинированное управление будет иметь четыре участка движения с постоянным ускорением. А количество участков движения с постоянной скоростью зависит от параметров системы и их может быть три, один или не быть совсем.

В 4.3 выписаны свойства программного управления поставленной задачи.

Свойство 1. Выполняется условие

Ях(Т -О- Чз(Т - с) = -(^(0 - <7зЮ), Свойство 2. <71(Г/2) - <73(Г/2) = 0. Свойство 3. Выполняется условие

<?2(Г - С) - д4(Т - 0 = <?2« - <?4(0. В заключении сформулированы основные результаты работы. В приложении собраны рисунки ко всем главам диссертации.

Публикации автора по теме диссертации

1. Голуб С.П. Голубев Ю.Ф. Синтез оптимального по времени управления перемещением перевернутого стержня II Изв РАН ТиСУ. 2011. №6. С. 38-51.

2. Голуб С.П. Синтез оптимального по времени управления перемещением перевернутого стержня // Аналитическая механика, устойчивость и управление: Труды X Международной Четаевской конференции. Т. 3. Секция 3. Управление. Ч. I. Казань, 12-16 июня 2012 г. - Казань: Изд-во Казан, гос. техн. Ун-та, 2012. С. 310-320.

3. Голуб С.П. Синтез управления переносом стержня, стоящего на подвижной опоре. // Труды конференции-конкурса молодых ученых. 13-15 октября 2012 г. / Под редакцией академика РАН Г.Г. Черного, профессора В.А. Самсонова. - М.: Издательство Московского' университета, 2011. С. 100-107.

4. Golub S.P. Synthesis of Optimal Time Control of the Inverted Rod // 7th International Symposium on Classical and Celestial Mechanics (CCMECH'2011). Book of Abstracts, Wydawnictwo Collegium Mazovia Siedlce, 2011. P. 30-32.

Подписано в печать 12.01.2013 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 75 экз. Заказ № 1284 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

1.1. Вывод уравнений движения.

Глава 2. БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ

2.1. Уравнения движения.

2.2. Область существования решения при ограниченном управлении.

2.3. Оптимальный закон движения.

2.4. Синтез управления

2.4.1. Процедура выбора управления

Глава 3. ДВИЖЕНИЕ С ОГРАНИЧЕННЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

3.1. Уравнения движения.

3.2. Необходимые условия оптимальности.

3.3. Быстродействие в начало координат.

3.4. Свойства оптимального по быстродействию перемещения в начало координат

Глава 4. ЗАДАЧА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЯ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЯ НА СКОРОСТЬ ПЛАТФОРМЫ

4.1. Уравнения движения.

4.2. Движение в начало координат.

4.2.1. Случай А.

4.2.2. Случай В.

4.2.3. Случай С.

4.2.4. Структура управления.

4.3. Свойства перемещения в начало координат.

Задаче о динамическом равновесии перевернутого физического маятника посвящено много исследований, инициированных работами [45], [18], [38]. В них устойчивость равновесия маятника в верхнем положении обеспечивается за счет периодических вертикальных вибраций точки опоры. Частота этих вибраций должна быть достаточно большой, что что не всегда практически удобно реализуется. Вибрация точки опоры в горизонтальном направлении для стабилизации верхнего положения маятника мало эффективна. Для стабилизации перевернутого маятника с неподвижной точкой опоры применяются различного рода следящие системы управления, описанные, например, в [28]. Метод стабилизации перевернутого маятника посредством горизонтальных перемещений точки опоры предложен в [22].

Вместе с тем помимо стабилизации представляет практический интерес также и транспортировка точки опоры перевернутого маятника в другое пространственное положение с сохранением вертикальной ориентации маятника. Такая задача возникает, в частности, при перемещении высотного строительного крана по рельсам, при обеспечении вертикальной позы двуногого робота. В одномерном варианте эта задача решена разными методами. В [19] построен оптимальный регулятор по методу Калмана-Летова, сохраняющий вертикальное положение стержня во все время движения. В [22] представлен алгоритм управления на основе РБ-регулятора, обеспечивающего перемещение точки опоры маятника на заданное расстояние с удержанием маятника в перевернутом вертикальном положении. В [3] исследована устойчивость перевернутого маятника при циклических горизонтальных смещениях точки опоры. В некоторых работах для стабилизации перевернутого маятника используются нейронные сети. Например, в [31] решается задача о достижении маятником вертикального положения с нулевой угловой скоростью и удержания его в этом положении. В перечисленных алгоритмах в качестве обратной связи использовалась информация об угловом положении стержня относительно опоры.

В данной работе рассматривается система, которая состоит из массивного стержня, прикрепленного сферическим шарниром к подвижной платформе, то есть в точке опоры отсутствуют управляющие моменты и измерительные устройства. Управление движением должно быть достигнуто лишь за счет подходящего перемещения точки опоры стержня. Измерительную обратную связь в этом случае может обеспечить, например, система технического зрения, наблюдающая за какой-нибудь фиксированной точкой стержня. В [14] для такой системы была решена задача об оптимальном по быстродействию переводе точки опоры стержня из одного фиксированного положения в пространстве в другое ее заданное положение при условии, что в начале маневра стержень был застабилизирован в верхнем положении равновесия, а в конце маневра требуется привести стержень тоже в верхнее положение с нулевой скоростью в новом положении точки опоры, при этом стержень в процессе маневра но должен проходить через нижнее положение равновесия (аналогичная задача о транспортировке точки подвеса физического маятника без раскачки в окрестности его нижнего положения равновесия была решена в работах [39], [40] применительно к обеспечению процесса погрузки портовым крапом).

Для полученных уравнений движения поставленной модельной задачи решается задача синтеза оптимального по быстродействию управления и задача оптимального по быстродействию программного управления. Решение задачи синтеза оптимального управления состоит в нахождении оптимального управления в виде стратегии управления по принципу обратной связи, как функции текущего состояния (позиции) процесса (см. [30], [5], [20], [21]). Состояние определяется, помимо текущего момента времени, также доступными значениями текущих параметров. Таким образом, управлять системой можно апостериорно, корректируя управление на основе дополнительной информации, получаемой по ходу процесса. Решение задачи программного управления состоит в нахождении функции управления в виде функции времени, тем самым полагая, что по ходу процесса никакой информации, кроме заданной в самом начале, в систему не поступает (см. [30], [20]). То есть, оптимальное программное управление формируется по априорным сведениям о системе и уже не может быть скорректировано.

Как известно, решенных задач оптимального быстродействия сравнительно мало (см., например, [1], [27], [23], [24], [11], [32], [42], [43], [37]), поэтому представляют интерес любые модели, для которых может быть построен синтез. В исследованиях задач синтеза оптимального быстродействия немаловажную роль играет изучение структуры множеств достижимости. Так в [35], [36], [29], [33], [34] изучается структура множеств достижимости, а также предельных множеств достижимости, получающихся при стремлении времени к бесконечности, называемых множествами управляемости и связанными с ними проблем.

Данная кандидатская работа является развитием исследований, представленных в [14], [44] и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

В главе 1 вводятся основные обозначения и предположения для рассматриваемой системы, а также выписаны общие уравнения движения для поставленной модельной задачи.

Глава 2 посвящена разбору случая безынерционного движения платформы. В качестве функции управления взята скорость платформы. Находится оптимальное по быстродействию программное управление и строится синтез оптимального по быстродействию управления наискорейшего перевода точки опоры стержня на заданное расстояние при условии, что начальное положение и угловая скорость стержня произвольны, а. в конце маневра требуется привести стержень в верхнее положение равновесия с пулевой скоростью.

В §2.1 выписаны уравнения движения для рассматриваемого случая.

В §2.2 рассматривается проекция траекторий движения на фазовую плоскость. Находится область существования решения поставленной задачи.

В §2.3 аналитически решена задача нахождения оптимального по быстродействию программного управления. Получены формулы для нахождения времени движения на каждом участке постоянства управления.

В §2.4 построен синтез оптимального по быстродействию управления. Выписаны уравнения кривой переключения и поверхности переключения как функции текущего состояния системы, а также показана процедура выбора управления в текущий момент времени.

Глава 3 посвящена задаче наискорейшего перевода точки опоры стержня на заданное расстояние при условии, что в начале маневра стержень был стабилизирован в верхнем положении равновесия, а в конце маневра требуется привести стержень тоже в верхнее положение равновесия с нулевой скоростью и ускорением в новом положении точки опоры. В качестве функции управления взято ускорение платформы.

В §3.1 выписаны уравнения движения для рассматриваемого случая.

В §3.2 найдены необходимые условия оптимальности и доказано, что моментов переключения управления не более трех.

В §3.3 решается аналитически задача нахождения оптимального по быстродействию программного управления поставленной задачи. Показано, что поставленная задача имеет решение только при наличии ровно трех моментов переключения управления.

В §3.4 выписаны свойства полученного движения системы.

В главе 4 решается задача перевода точки опоры стержня на заданное расстояние с использованием комбинированного управления, когда в качестве функции управления взято ускорение платформы и считается, что скорость платформы ограничена по величине. По-прежнему принимается, что в начале маневра стержень был стабилизирован в верхнем положении равновесия, а в конце маневра требуется привести стержень тоже в верхнее положение равновесия с нулевой скоростью и ускорением в новом положении точки опоры.

В §4.1 выписаны рассматриваемые уравнения движения.

В §4.2 рассматриваются все возможные случаи решения поставленной задачи и находится аналитически программное управления поставленной задачи. Показано, что поставленная задача имеет решение только при наличии четырех участков движения с постоянным ускорением, а участков движения с постоянной скоростью в зависимости от параметров системы может быть три, один или ни одного.

В §4.3 выписаны свойства программного управления поставленной задачи. Заключение содержит основные результаты диссертации. В приложении собраны рисунки ко всем главам диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7]- [10].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Решена задача синтеза управления скоростью основания перевернутого стержня в задаче о быстродействии перемещения точки опоры стержня на заданное расстояние из произвольного фазового состояния стержня в положение верхнего неустойчивого равновесия с нулевой скоростью. Определена область существования решения поставленной задачи. Кривая переключения и поверхность переключения получены в параметрическом виде. Указана процедура проверки попадания фазовой точки на кривую переключения и на поверхность переключения.

2. Получено программное оптимальное в смысле быстродействия управление ускорением точки опоры стержня в задаче о приведении стержня из состояния неустойчивого равновесия в некоторой начальной опорной точке в состояние неустойчивого равновесия в другой заданной точке опоры за счет соответствующего оптимального перемещения платформы без ограничения на скорость точки опоры. Найдены конечные формулы для расчета времени быстродействия, моментов переключения управления, а также выбор типа управления в зависимости от величины требуемого перемещения точки опоры,. Отмечена кососимметричность отклонения стержня от вертикали и симметричность угловой скорости стержня для оптимального решения относительно середины процесса быстродействия. Показано, что отклонение стержня от вертикали и угловая скорость находятся в ограниченных пределах и прямо пропорциональны ускорению точки опоры.

3. Найдено комбинированное программное управление в задаче о приведении стержня из состояния неустойчивого равновесия в некотором начальном положении опорной точке в состояние неустойчивого равновесия в другом заданном положении точки опоры. Ускорение точки опоры полагается кусочно-постоянным и учитывает ограничение на скорость платформы. Моменты переключения управления определяются с учетом заданных краевых условий и выбираются в минимальном возможном количестве. Показано, что для решения этой задачи необходимо четыре участка движения с постоянным ускорением. При этом в зависимости от расстояния, которое должна пройти точка опоры, может быть три, один или ни одного участка движения с постоянной скоростью. Найдены конечные формулы для расчета времени движения, моментов переключения управления, а также выбор типа управления в зависимости от времени разгона стержня от нулевой до максимальной скорости и величины требуемого перемещения точки опоры. Отмечена кососимметричность отклонения стержня от вертикали и симметричность угловой скорости стержня для оптимального решения относительно середины процесса быстродействия.

1. Акуленко Л.Д., Шматков A.M. Наискорейшее попадание на феру с нулевой скоростью // Докл. Академии наук. 2001. Т.379. К» 1. С. 28-32.

2. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С. и др. Оптимальное управление движением: Учеб. пособие. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 376 с.

3. Александров В.В., Рейес-Ромеро М., Сидоренко Г.Ю. и др. Устойчивость управляемого перевернутого маятника при постоянно действующих горизонтальных возмущениях точки опоры // МТТ. 2010. № 2. С. 41-48.

4. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1968. 764 с.

5. Беллман Р. Динамическое программирование, пер. с англ., М., 1960.

6. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408 с.

7. Golub S.P. Synthesis of Optimal Time Control of the Invertad Rod // 7th Intrnational Symposium on Classical and Celestial Mechanics (CCMECH'2011). Book of Abstracts, Wydawnictwo Collegium Mazovia, Siedlce, 2011. P.30-32 .

8. Голуб С.П., Голубев Ю.Ф. Синтез оптимального по времени управления перемещением перевернутого стержня // Изв. РАН. ТиСУ. 2011. № 6. С. 38-51.

9. Голубев Ю.Ф. Брахистохрона с трением // Изв. РАН. ТиСУ. 2010. № 5. С. 41-52.

10. Голубев Ю.Ф. Метод Охоцимского-Понтрягина в теории управления и аналитической механике. Ч. 1. Метод Охоцимского-Понтрягина в теории управления // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2008. № 6. С. 50-56.

11. Голубев Ю.Ф. Метод Охоцимского-Понтрягина в теории управления и аналитической механике. Ч. 2. Метод Охоцимского-Понтрягина в аналитической механике // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2009. № 1. С. 38-44.

12. Голубев Ю.Ф. Оптимальное по быстродействию управление перемещением неустойчивого стержня // Изв. РАН. ТиСУ. 2008. № 5. С. 42-50.

13. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики: Учебник. 2-е изд., перераб. и дополн. -М.: Изд-во МГУ, 2000,—719 с.

14. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений. // ЖВМ и МФ, 1965. Т. 5. № 3. С. 395-453.

15. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления. 1971 г. М.: Наука, 112 стр.

16. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющеся точке подвеса // ИСЭТФ. 1951. Т. 21. Вып. 5. С. 588-597.

17. Колесников A.A., Медведев М.Ю. Современные методы синтеза систем управления: Учеб. пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2003. 128 с.

18. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

19. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 520 с.

20. Мартыненко Ю.Г., Формалъский А.М. К теории управления моноциклом // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 4. С. 569-583.

21. Матюхин В.И. Управление механическими системами. М.: Физматлит, 2009. 319 с.

22. Матюхин В.И. Приведение двух тел в контакт без ударов ограниченными управлениями за конечное время // ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 5. С. 840-855.

23. Милютин A.A., Дмитрук A.B., Осмоловский Н.П. Принцип максимума г? оптимальном управлении. Н.: МГУ им. М.В.Ломоносова, механико-математический факультет, М., 2004 г., 73 с.

24. Мороз А.И. Курс теории систем: Учеб. пособие для вузов по спец. "Прикл. математика". М.: Высш.шк., 1987. - 340 с.

25. Охоцимский Д.Е., Голубев Ю.Ф., Сихарулидзе Ю.Г. Алгоритмы управления космическим аппаратом при входе в атмосферу. М.: Наука, 1975. 400 с.

26. Охоцимский Д.Е., Гришин A.A., Ленский A.B. и др. О синтезе управления неустойчивым объектом. Перевернутый маятник // Изв. РАН. ТиСУ. 2002. №5. С. 14-24.

27. Панасюк А.И. Уравнения областей достижимости и их применение в задачах оптимального управления // АиТ. 1982. № 5. С. 67-68.

28. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

29. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы: Пер. с польск. И. Д. Рудинского. М.: Горячая линия -Телеком, 2006. - 452 с.

30. Сиротин А.Н. О решении задачи синтеза управления для класса линейных 0-управляемых дискретных систем с ограничениями // АиТ. 2005. № 1. С. 49-58.

31. Сиротин А.Н., Формальский A.M. Области достижимости и управляемости линейных дискретных систем // Изв. РАН. ТиСУ. 2002. № 4. С. 5-16.

32. Тятюшкин А.И., Моржин О.В. Численное исследование множеств достижимости нелинейных управляемых дифференциальных систем // АиТ. 2011. №6. С. 160-170.

33. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974. 368 с.

34. Формалъский A.M. Об угловых точках границ областей достижимости // ПММ. 1983. Т. 47. Вып. 4. С. 566-574.

35. Формалъский A.M. К задаче синтеза оптимального управления в системах второго порядка // Доклады Академии наук. 2010. Т. 430. № 6. С.747-750.

36. Челом,ей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибрации // ДАН СССР. 1956. Т. 110. № 3. С. 345-347.

37. Черноусъко Ф.Л. Оптимальное перемещение маятника // ПММ. 1975. Т. 39. Вып. 5. С. 806-816.

38. Черноусъко Ф.Л., Акуленко Л.Д, Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980. 348 с.

39. Черноусъко Ф.Л., Ананъевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Физматлит, 2006. 328 с.

40. Черноусъко Ф.Л., Шматков A.M. Синтез оптимального быстродействия в одной системе третьего порядка // Доклады Академии наук. 1997. Т. 354. № 2. С. 174-177.

41. Черноусъко Ф.Л., Шматков A.M. Оптимальное по быстродействию управление в одной системе третьего порядка // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 5. С. 723-731.

42. Golubev Yu.F. A Time-Optimal Control of Steering an Unstable Rod // J. Computer and Systems Sciences Intern. 2008. V. 47. № 5. P. 709-717.

43. Stephenson A. On a New Type of Dynamical Stability // Memoirs and Proceedings of the Manchester Literary and Philosophical Society. 1908. V. 52. № 8. Pt II. P. 1-10.