Динамика упругого стержня со свободно скользящим кольцом при параметрическом возбуждении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Мяло Евгения Владимировна

ДИНАМИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ СО СВОБОДНО СКОЛЬЗЯЩИМ КОЛЬЦОМ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ

Специальность 01 02 06- Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 6 ОПТ 2008

Москва-2008

003449283

Работа выполнена в Институте машиноведения им А А Благонравова РАН

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Пановко Григорий Яковлевич

Официальные оппоненты доктор технических наук

Асташев Владимир Константинович

кандидат технических наук Воронов Сергей Александрович

Ведущая организация

ОАО «НПК «Механобр-Техника»

(г Санкт-Петербург)

Защита состоится « 30 » октября 2008 г в 15 часов на заседании диссертационного совета Д00 059 01 в конференц-зале Института машиноведения им А А Благонравова РАН по адресу 101990, Москва, Малый Харитоньевский пер, д 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института машиноведения им А А Благонравова РАН- Электронная копия автореферата находится на сайте wvvw imash ru

Автореферат разослан « 24 » сентября 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Одной из важных задач исследования динамики технических систем и технологических процессов является анализ их поведения в условиях параметрического возбуждения Параметрические колебания, как правило, сопровождаются значительными амплитудами и возникновением опасных динамических напряжении в элементах машин, приборов, конструкций Вместе с тем, при параметрическом возбуждении возможны различные бифуркационные явления со сложными нелинейными эффектами В первую очередь, к ним относятся явления параметрической, в том числе и вибрационной, стабилизации Наглядными примерами вибрационной стабилизации является возникновение устойчивого верхнего положения перевернутого маятника при вибрировании оси подвеса (маятник Стефенсона-Капицы), вертикальная устойчивость гибкой нити (магическая или индийская веревка), подъем и зависание кольца, установленного свободно на обращенном маятнике с вибрирующей осью подвеса (маятник Челомея)

Эффект вибрационной стабилизации находит практическое применение в современной технике и лежит в основе функционирования целого класса приборов, чувствительные элементы которых совершают заданные колебательные движения Так, например, в приборах для измерения низкочастотной вибрации (порядка одного герца и менее) относительное положение чувствительного элемента в упругой трубке, находящейся в условиях параметрического возбуждения, зависит от амплитуды низкочастотного воздействия Этот эффект используется также в некоторых типах предохранительных клапанов трубопроводов и в вибродвигателях В технологических процессах иногда применяется способ вибрационной стабилизации прямолинейной формы оси гибких элементов (проволоки, нити, шланга) для их самоцентрирования

В известных работах В Н. Челомея, А И Меняйлова и А В Мовчана, И И Блехмана и О 3 Малаховой, А В Киргетова, К М Рагульскиса, А М Гуськова и Г Я Пановко, 1} ТИотзеп и БМ ТсЬепнак рассматривались различные постановки задачи и динамические модели, описывающие подъем кольца по обращенному маятнику с вибрирующей осью подвеса или по вертикальному вибрирующему стержню Вместе с тем, учитывая практическую важность этой задачи, определенный интерес вызывает дальнейшее развитие исследований, особенно в направлении уточнения расчетных схем и моделей, как стержня, так и физических механизмов его взаимодействия с кольцом при параметрическом возбуждении

Настоящая диссертационная работа выполнена в соответствии с тематическим планом Лаборатории вибромеханики Института машиноведения им А А Благонравова РАН, программой фундаментальных исследований Отделения энергетики, механики, машиностроения и процессов управления РАН "Раз-

работка фундаментальных основ расчета машин динамического принципа действия", гранта РФФИ № 07-08-253 а

Целью диссертационной работы является развитие существующих представлений об эффектах вибрационного транспортирования и вибрационной стабилизации динамических систем при параметрическом возбуждении, а также их возможных технических приложений Указанная цель достигается на основе теоретического и экспериментального изучения, описания и анализа физических механизмов вибрационного подъема кольца, установленного на кон-сольно закрепленном вертикальном упругом стержне в условиях параметрического возбуждения

В соответствии с указанной целью в диссертации были поставлены и решены следующие основные задачи

- исследование устойчивости вертикальной оси стержня, находящегося в поле сил тяжести, с учетом начальных несовершенств и различных моделей рассеяния энергии,

- разработка модели взаимодействия кольца с упругим стержнем при его параметрическом возбуждении,

- анализ влияния компонент возбуждения и параметров модели на движение кольца,

- моделирование движения кольца вдоль упругого стержня,

- исследование влияния кольца на амплитуды параметрических колебаний стержня (выявление роли кольца как динамического гасителя параметрических колебаний стержня),

- экспериментальное исследование движения и стабилизации кольца на вибрирующем стержне

Методика исследования. Разработка расчетной модели исследуемой системы выполнена на основе классических методов нелинейной динамики Для расчетного анализа системы применялись методы Флоке-Ляпунова, Га-леркина, методы численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений и численные методы оптимизации Экспериментальные исследования проводились с использованием стандартного оборудования и аппаратуры для возбуждения и измерения колебаний

Научная новизна диссертации заключается в следующем

- разработана расчетная модель, описывающая параметрические колебания упругого стержня с учетом начальных несовершенств формы его оси,

- установлены границы областей параметров возбуждения, при которых возникают параметрические резонансы, в зависимости от параметра гибкости стержня и начальных несовершенств формы его оси, и стабилизация вертикальной оси гибкого стержня, в зависимости от вида и параметров демпфирования,

- разработана модель, описывающая движение и стабилизацию кольца на вертикальном упругом стержне при его параметрическом возбуждении,

- установлено влияние различных видов трения на подъем кольца, а также выявлена роль и взаимосвязь начального положения кольца и параметров возбуждения,

- обнаружен эффект гашения параметрических колебаний упругого стержня при подъеме и стабилизации кольца

Практическая ценность диссертации

- установлены численные значения параметров стержня и возбуждения, при которых возникает стабилизация вертикальной оси гибкого стержня в зависимости от параметров трения,

- расчетная модель вибрационной стабилизации вертикальной формы оси гибкого стержня может быть использована при разработке и создании систем самоцентрирования гибких элементов типа стержней и нитей в технологических процессах запрессовки, стыковки, сборки, прошивки,

- предложенная модель вибрационной стабилизации и устойчивости кольца на вибрирующем стержне описывает динамику чувствительных элементов приборов для измерения низкочастотной вибрации, работу предохранительных клапанов трубопроводных систем, вибродвигателей,

- установлена роль кольца как динамического гасителя параметрических колебаний стержня,

- разработаны алгоритмы и программы численного анализа, позволяющие моделировать процесс движения кольца по вибрирующему упругому стержню

Научные положения, выдвигаемые на защиту

1 Принципы моделирования и расчета параметрических колебаний упругих стержней, определение границ областей параметрического резонанса и устойчивости вертикального положения стержня при его параметрическом возбуждении

2 Модель взаимодействия кольца с упругим стержнем при его параметрическом возбуждении

3 Алгоритмы, методики и результаты моделирования движения кольца по вибрирующему стержню

Достоверность полученных результатов обеспечена применением апробированных методов решения и анализа задач нелинейной динамки, научно-обоснованным выбором расчетных моделей и подтверждена согласованностью результатов экспериментальных, численных и приближенных аналитических исследований

Личный вклад автора. В совместных работах автор принимал непосредственное участие в выводе уравнений движения, в выборе методов их решения, получении и анализе результатов Автор также принимал непосредственное участие в проведении экспериментальных исследований

Реализация работы Результаты исследований использованы в учебном процессе на кафедре «Прикладная механика» Московского государственного технического университета им Н Э Баумана и на ее базовом филиале в ИМАШ РАН при разработке методических указаний, лабораторных практикумов, учебных пособий и курсов лекций по дисциплинам «Динамическая устойчивость», «Вибрационная механика», в ИМАШ РАН при выполнении программы фундаментальных исследований Отделения энергетики, механики, машиностроения и процессов управления РАН "Разработка фундаментальных основ расчета машин динамического принципа действия", в АНОН НИЦ «КП Алмаз» при разработке и проектировании стеблей ружейных сверл, в РНЦ «Курчатовский институт» при анализе поведения тонкостенных стержневых конструкций

Апробация работы Основные результаты работы докладывались на XV симпозиуме «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем» (Москва -Звенигород, 2006 г), 12-ом международном конгрессе по теории машин и механизмов (Безансон, Франция, 2007 г), 3-ей международной конференции «Мехатронные системы и материалы» (Каунас, Литва, 2007 г), международной конференции «Неклассические задачи механики» (Кутаиси, Грузия, 2007 г), XIX международной интернет - ориентированной конференции молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения (Москва, 2007 г), 6-ой международной конференции по нелинейной динамике «Евромех» (Санкт-Петербург, 2008 г)

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в восьми публикациях

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников и трех приложений Общий объем работы состоит из 134 страниц, включая 45 рисунков, 2 таблицы, списка литературы, содержащего 98 наименований и приложений на 16 страницах

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткая характеристика работы Обосновывается актуальность, научная новизна и практическая значимость работы Формулируются цели и постановки задач настоящей диссертации

В первой главе приводится обзор существующих литературных источников и анализ состояния проблемы вибрационной стабилизации гибких стержней и задачи о движении твердого тела по вибрирующему маятнику и упругому стержню (задача В Н Челомея) Здесь же приводятся некоторые примеры технических объектов и технологических процессов, принцип действия которых основан на вибрационной стабилизации гибких стержней, подъеме и стабилизации твердого тела на вибрирующем вертикальном стержне

На основе выполненного анализа литературы показано, что некоторые важные аспекты рассматриваемой проблемы, такие как определение зон устойчивости, влияние на стабилизацию моделей и параметров трения, учет начальных несовершенств стержня, до настоящего времени остаются мало изученными

Вторая глава посвящена рассмотрению задачи о параметрических колебаниях упругого стержня, установленного вертикально на вибрирующем основании (рис 1) Предполагается, что основание совершает вертикальные колебания по закону {/(/)=йсо5и/, где 6,и - соответственно амплитуда и частота колебаний, I - время

Приводится вывод дифференциального уравнения параметрических колебаний стержня Бернулли-Эйлера с нерастяжичой осью длиной Ь, равномерно распределенной массой т и изгибной жесткостью Е1 С целью расчета амплитуд поперечных колебаний и областей устойчивости вертикальной оси стержня в работе учитываются конечные повороты сечений, начальные несовершенства формы оси, внутреннее трение (модель Фойх-та) и внешнее трение (пропорциональное абсолютной скорости) Несовершенство стержня задается начальным прогибом V,, (5) его оси, где Я -дуговая координата произвольного сечения стержня Полученное уравнение при сохранении величин третьего порядка малости относительно прогибов в безразмерной форме имеет вид

Ь'/^гЬ^+М+Ш'^г-^Ч')' + (1)

С О

где рЕ(т)=ч—Р^соз^т-г^Р^зтПт - распределенная внешняя нагрузка от переносных сил инерции и силы тяжести Здесь используются следующие безразмерные параметры и комплексы т — 1/Ь1^Е1/т - время, Б/Ь - дуговая

I! = Ь соб о I

Рис 1 Расчетная схема 1 - исходное, 2 - деформированное состояние

= £

координата, = - поперечное смещение, £,0 = ул//г - начальное отклонение, П=и/_2 фп/(Е1) и $=Ь/Ь - частота и амплитуда возбуждения, Ч=тЕЬг/(Е1) - гибкость, ^,=¿,/2Ь\Щ/т и -ф=сИ}^^тШ) - коэффициенты внутреннего и внешнего трения, е=(И/Ь)2 - малый параметр (V -прогиб, g - сила тяжести, г/ и (11 - коэффициенты внешнего и внутреннего трения соответственно, /г - характерный размер, значение которого выбирается из условия обеспечения малости параметра е) Точками обозначено дифференцирование по времени т, штрихами - по координате С Краевые условия

С=0 £,=0, £,'=0, С=1 £"=0, Г=0

Решение полученного нелинейного уравнения (1) строится с помощью метода Галеркина в виде

*М«Х>,(тЫ0. (2)

/=1

где д, (т) - амплитудная функция, ф, ((,) - координатная непрерывная и четырежды дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевым условиям

После подстановки (2) в уравнение (1) и последующей ортогонализации невязки с координатными функциями на интервале [0,1], получаем систему п обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитудных функций

Я,Ь)

В качестве координатных функций используются формы поперечных колебаний стержня Решение задачи о собственных поперечных колебаниях консольного стержня представляется с помощью функций Крылова

Если параметр гибкости стержня />7,839, то вертикальный стержень, находясь в поле силы тяжести, теряет устойчивость, и исходная прямолинейная форма его оси искривляется (такой стержень называют закритичееким) Вертикальная форма оси может быть стабилизирована за счет вибрации основания в вертикальном направлении (О АсЬезоп, Т МиШп и соавторы, А М Гуськов и Г Я Пановко)

Для определения областей устойчивости вертикального положения оси стержня и зон параметрического резонанса рассматривается линеаризованная система уравнений относительно амплитудных функций ql (т), которая имеет вид

N Е

(12+ЛЬ) — 2т|)Е — 2г|)/12

где х, ={-*[, I< = 1."} = д. х2 = |х2/ |/ = 1,и| =д, с/ = | г = 1, л|. N и Е - соответственно нулевая и единичная матрицы размерностью п , 1(. = /у^. |= 1.«]. к = 2,3 - определенные интегралы от координатных функций (С) и их производных.

Исследуемая область параметров ограничена частотой третьего главного параметрического резонанса (п = 6).

В результате численного моделирования были получены области устойчивости тривиального решения. Анализ выполнялся в соответствии с теорией Флоке-Ляпунова. В качестве критерия устойчивости принимается неравенство шах [ц, | < 1, г = 1,2п, где ц1 - мультипликаторы. На рис. 2, а показан пример эволюции мультипликаторов на комплексной плоскости вблизи единичной окружности в случаях пересечения границ областей устойчивости (у = 8 > у£т11, Ч/ = 0, =0.01, р = 0.25). Кружком обозначено начальное значение мультипликатора, звездочкой - конечное; серый цвет значка кружка или звездочки обозначает устойчивость тривиального решения, черный - неустойчивость. Для приведенных случаев мультипликаторы пересекают единичную окружность через точки {±1,0}, что характеризует возникновение главного или суб- резонан-сов.

© 1т

Яе

® . -Л 1т

4 * _ _

. V

1-е

И

Ц » - *Я1

/

0.15 0.1 0.05

К.

-1.5 -1 -0.5

-1.5 -1 -0.5

0.5 1 1.5

10 20 30 40 50 60 70

б)

Рис.2. Эволюция мультипликаторов (а) и области неустойчивости закритического стержня (б)

Типичная область параметров амплитуда - частота возбуждения для рассматриваемого стержня изображена на рис. 2, б, где затемненные области соответствуют его неустойчивому положению: нижняя область характеризует статическую неустойчивость, когда ось стержня изгибается только под собственным весом в поле сил тяжести, а верхняя - динамическую неустойчивость. Минимумы верхней границы области устойчивости характеризуют возникновение субрезонанса на частоте возбуждения П!иЬ = 22 и второго главного параметрического резонанса при С22 = 44.

Анализ трансформации областей неустойчивости позволил оценить влияние демпфирования на стабилизацию прямолинейной формы оси гибкого стержня Добавление линейного демпфирования увеличивает область устойчивости Внутреннее трение оказывает большее стабилизирующее действие по сравнению с внешним трением

О о Зе« 1т О

О О

© . - t Ре' 1т к *

% л &

а) Ь)

Рис 3 Области неустойчивости (а) и эволюция мультипликаторов (б) гибкого стержня на границах зон комбинационного резонанса

На рис 3, а видно различие поведения областей устойчивости для док-ритического и закритического стержней (\|/ = 0 01, у, =0, р = 0 05) Для докри-тического стержня (область, расположенная ниже пунктирной линии на рис 3, а) вблизи частоты « = 25 наблюдается появление области комбинационного резонанса Поведение мультипликаторов вблизи ее границ показано на рис 3, б, они пересекают единичную окружность в точках с ненулевым значением как на мнимой, так и на действительной осях

Влияние величины начального несовершенства формы оси докритическо-го стержня на амплитуды его колебаний проиллюстрировано на рис 4 Штриховой линией обозначена ампли-

я

тудно - частотная характеристика (АЧХ) идеального стержня в зоне второго главного параметрического резонанса Пунктирная, штрих-пунктирная и сплошная линии представляют АЧХ стержня с начальным отклонением, соответствующим второй собственной форме изгибных колебаний с амплитудами <?„ = 0 00375, 0 00563, 0 0075 соответственно (что составляет примерно один, полтора и два диаметра стержня) Средние значения амплитудной

Рис 4 АЧХ стержня с несовершенством формы оси

функции поперечных колебаний стержня (относительно которых стержень совершает колебания) показаны на рис 4 соответствующими линиями (почти горизонтальными) Таким образом, численно и аналитически установлено, что начальное несовершенство формы оси уменьшает зону параметрического резонанса

Третья глава посвящена вопросам моделирования взаимодействия кольца как материальной точки с вибрирующим жестким стержнем (рис 5) Контакт кольца со стержнем считается сосредоточенным

Рис 5 Схемы расположения кольца на жестком вибрирующем стержне (а) и сил взаимодействия (б)

Положение стержня на неподвижной плоскости задается движением полюса О {Аг(0,57(0}) расположенного в некотором сечении стержня, и угловыми колебаниями $(/) его оси относительно вертикали При этом движения по всем направлениям считаются независимыми и описываются гармоническими законами Относительное движение кольца вдоль стержня описывается обобщенной координатой отсчитываемой от полюса О

Анализируются различные условия и механизмы возможного взаимодействия Предполагается, что кольцо находится на стержне без зазора и между кольцом и стержнем возникают только нормальная сила реакции и сила трения скольжения В работе анализируется влияние различных законов силы трения в зоне контакта

Учитывается также сила внешнего трения, пропорциональная абсолютной скорости кольца с коэффициентом с1е

Уравнение движения кольца в безразмерном виде

+ + —Л^вштЕ)— КсоэтЭ, (2)

где

/- коэффициент сухого трения, (1„ с - коэффициенты нелинейно-вязкой составляющей трения, зависящего от относительной скорости кольца

Все величины в уравнении обезразмерены с использованием масштабов времени Т. = , перемещений /. ( характерная длина порядка амплитуд вибраций стержня), сил F.=mg, коэффициентов линейного трения (1е, с11 -с1. = тgТ,//, и коэффициентов нелинейного трения с - с. = (Т./1,)2

При численном интегрировании (методом Рунге-Кутга в среде МАТЬАВ) использовалась регуляризованная функция силы сухого трения =-/|Г„|г/г(!//'/с) , где Ус - опорное значение скорости

С целью анализа влияния параметров возбуждения и параметров трения на подъем кольца в работе рассматриваются различные частные случаи их комбинаций

Анализ результатов расчета показывает, что движение кольца вверх по стержню возможно лишь при определенных критических значениях начальных положения и скорости кольца, а также амплитуды и частоты возбуждения, которые разделяют области притяжения режимов с подъемом и опусканием При отсутствии трения в зоне контакта достаточным условием является наличие угловых колебаний стержня как твердого тела На рис 6 представлены фазовый портрет (V = 5) и положение кольца в абсолютных координатах, кругом обозначено начальное значение, квадратом - конечное

Рис 6 Подъем кольца Рис 7 Стабилизация кольца

В зависимости от величины коэффициента сухого трения возможно управляемое движение кольца вверх или вниз, а также его стабилизация, которая характеризуется малыми колебаниями кольца относительно некоторого сечения стержня (рис. 7). Однако это положение является неустойчивым по Ляпунову.

Для осуществления подъема кольца по вертикальному стержню в условиях вертикальной и горизонтальной вибрации необходимо учитывать нелинейное (разрывное) трение.

Линейное вязкое трение в контакте при наличии угловой вибрации, а также внешнее трение могут способствовать подъему кольца.

В четвертой главе исследуется задача о движении кольца как твердого тела вдоль упругого вибрирующего стержня при его параметрическом возбуждении (рис. 8).

Учитывается взаимное влияние стержня и кольца на их движения. Действие сил нормальной реакции — и сухого трения

Р, вводится в уравнение параметрических колебаний стержня

с помощью дельта-функции Дирака. При моделировании движения кольца учитывается сила внешнего трения, пропорциональная абсолютной скорости кольца с коэффициентом с1е

Уравнение колебаний стержня в безразмерной форме с учетом сил взаимодействия с кольцом, при сохранении слагаемых третьего порядка малости по перемещениям, имеет вид:

Ü'J4 H'i' +2-t'(i"t'í -

= e

iV?)

+

i

Í'Jw,{rX)dl

(3)

+

+ E3

где W„(T,C) = ¿3/(e3£/)F„8(S-Sm), w,(t,Q = L3/(eEl)F,b(S - Sm) - безразмер-

ные силы взаимодеиствия

Уравнение движения кольца в безразмерной форме

С =

U-e'/lW + rfa+l

1

ц (1

U-e'fí'í'dL

(4)

где нормальная сила

л г

о

+2-С

í'-í

1 —-Е £ 2

Здесь См = 5т//., ^ = М/(т1), (У^ЗПсобПт, =< ¿ДгТ^Ё/)

Решение уравнения (4), описывающее колебания стержня, ищется в виде одномодового приближения (2) Координатная функция соответствует второй форме свободных изгибных колебаний консольно закрепленного стержня

Численное интегрирование уравнений (3) и (4) проводилось в математическом пакете Ма11аЬ 112006а с порядком относительной и абсолютной погрешностей равным 10~8. Предварительно уравнение (3) приводилось с помощью метода Галеркина к обыкновенному дифференциальному уравнению. Начальные значения амплитудной функции для стержня и ее производной соответствовали условиям возникновения периодического решения с периодом 4тг/П и амплитудой колебаний <70 = 0.0225 , а нач&чьное положение кольца и

ее скорость соответствовали: ¿¡т (0) = 0.1 и (0) = 0. Используемые в моделировании параметры системы близки к экспериментальным.

а)

5)

Рис. 9. Амплитудная функция (а), перемещения кольца (б) и нормальная сила взаимодействия (в)

На рис. 9 приведены типичные результаты расчетов для амплитудной функции д, положения кольца на стержне и нормальной силы взаимодействия при следующих значениях параметров: = 0.12, (3 = 0.0022, П = 43.5, / = 0.1, -ф7 =0.00084, ф = 0, р. = 0.012, е = 1.

Из полученных результатов следует, что кольцо, находясь на вибрирующем стержне, поднимается с монотонно изменяющейся средней за период скоростью и, достигнув области пучности колебаний стержня (^') = 0,52), останавливается, т.е. его положение стабилизируется (рис. 9, б). При этом наблюдается уменьшение поперечных колебаний стержня примерно в два раза (рис. 9, а), что иллюстрирует роль кольца как динамического гасителя колебаний.

Рис. 10. Амплитудная функция и перемещение кольца при массе кольца, больше критической

Аналогичные зависимости были получены и для других значений параметров трения и массы кольца.

Увеличение массы кольца приводит к снижению амплитуд поперечных колебаний стержня. Однако существует критическое значение массы кольца, при котором амплитуда поперечных колебаний стержня становится настолько малой, что кольцо не стабилизируется (рис. 10).

Изменение коэффициента сухого трения приводит к изменению положения стабилизации кольца на стержне. Это, в свою очередь, приводит к изменению амплитуд поперечных колебаний стержня.

В заключительной пятой главе описываются результаты экспериментов.

Методика эксперимента заключалась в следующем. Стальной стержень 1 круглого поперечного сечения одним концом с помощью кулачкового патрона 2 жестко крепился на платформе 3 вибростенда ВЭДС-400 так, чтобы его продольная ось и направление возбуждения совпадали с вертикалью. На стержень нанизывалось круглое плоское кольцо 4 из текстолита, способное свободно скользить (рис. II, а). Амплитуда ускорения колебаний платформы измерялась

пьезоэлектрическим акселеро-1 ' метром. В стержне возбужда-

лись поперечные параметрические колебания по второй форме. При определенной амплитуде возбуждения начинался подъем кольца. Частота возбуждения и параметрических колебаний стержня определялись с помощью стробоскопа. Значения физических параметров системы и режимов колебаний приведены в таблице 1. Фотографии моментов испытаний приведены на рис. 11.

а)

6)

Рис 11. Фотографии этапов эксперимента

Таблица 1 Значения параметров испытываемой системы и ее колебаний

Параметр Значение

Длина стержня, м 0 57

Диаметр стержня, мм 3

Масса стержня, кг 0<Щ

Масса кольца, кг 0 002

Частота возбуждения, Гц 78

Амплитуда возбуждения, м 0 0012

Амплитуда поперечных колебаний в пучности, м 0 018 (без кольца) 0 01 (с кольцом)

Устойчивое положение кольца (от заделки), м 02

Подъем кольца и его зависание вблизи пучности сопровождалось заметным уменьшением амплитуд поперечных колебаний стержня

В конце главы приводится сравнение результатов эксперимента и моделирования, подтверждающее адекватность выбранной расчетной модели

В приложении приведены анализ погрешности и времени численного интегрирования при аппроксимации силы сухого трения гладкой функцией, программа численного решения системы дифференциальных уравнений, описывающей колебания стержня и движение кольца, а также акты об использовании результатов

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ:

1 Разработана расчетная модель, описывающая параметрические колебания упругого стержня с учетом начальных несовершенств формы его оси

2 Установлены границы областей параметров возбуждения, при которых возникают параметрические резонансы, в зависимости от параметра гибкости стержня Установлены условия, при которых возникает стабилизация вертикальной оси гибкого стержня в зависимости от параметров демпфирования

3 Разработана модель, описывающая движение и стабилизацию кольца на вертикальном упругом стержне при его параметрическом возбуждении На основе разработанной модели выявлено влияние различных компонент возбуждения и параметров модели на особенности движения кольца и его стабилизацию на стержне Введенные критерии подобия позволяют распространить полученные результаты на различные технические приложения

4 Выявлен эффект гашения параметрических колебаний упругого стержня свободно скользящим кольцом и определены условия его существования

5 Выполненные эксперименты подтвердили достоверность результатов расчетного анализа

6 Результаты работы использованы в учебно-методической работе и при расчете стержневых элементов конструкций

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1 Viba J А, Mjalo Е V Motion of axle-box between delimiters of vibrating pendulum Доклады XV симпозиума «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем», Москва-Звенигород, 2006 С 339-343

2 Gouskov A M , Myalo Е V , Panovko G Y , Tretyakova V G Dynamic Stability of a Flexible Rod under Parametric Excitation Proceeding of 3rd International conference "Mechatronics systems and materials", Kaunas, Lithuania, September, 27-29, 2007, p 224-225

3 Gouskov A M, Myalo E V , Panovko G Y Disc movement features along vertical vibrating rod Proceeding of 12th IFToMM World Congress, Besançon (France), June 18-21,2007

4 Gouskov A M, Myalo E V , Panovko G Y , Tretyakova V G Dynamic Stability of a Flexible Rod under Parametric Excitation Journal of Vibroengineenng, 2007, V 9, pp 16-20

5. Мяло ЕВ Моделирование движения твердого тела вдоль гибкого вибрирующего стержня Сб трудов международной конференции «Неклассические задачи механики» - Кутаиси (Грузия), 25-27 октября 2007 г, с 133137

6 Мяло Е В О параметрических колебаниях упругого стержня со свободно скользящей массой Материалы XIX Международной Интернет - ориентированной конференции молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения Москва, 2007 г, с 223

7 Gouskov A M, Myalo E V , Panovko G Y Dynamical damping of parametric oscillations of a flexible rod Proceeding of 6th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference, June 30 — July 4,2008, Saint Petersburg

8 Мяло E В Гашение параметрических колебаний вертикального стержня подвижной массой «Машиностроение и инженерное образование», 2008, №2, с 43-52

Подписано в печать 19 09 2008 г

Печать трафаретная

Заказ Л» 797 Тираж 100экз

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш, 36 (499) 788-78-56 www autoreferat.ru

Список используемых обозначений.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ, ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ

ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Особенности поведения маятниковых и стержневых элементов, находящихся на вибрирующем основании.

1.2. Анализ исследований о скольжении твердых тел вдоль вибрирующих упругих стержней.

1.3. Цели и задачи исследования.

Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ГИБКОГО СТЕРЖНЯ ПРИ

ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ.

2.1. Предварительные замечания.

2.2. Дифференциальное уравнение параметрических колебаний стержня.

2.3. Решение уравнения параметрических колебаний стержня.

2.4. Определение областей неустойчивости стержня.

2.5. Анализ влияния начальных несовершенств формы оси стержня на амплитуды его колебаний.

Одной из часто возникающих и важных задач динамики технических систем и технологических процессов является прогнозирование и анализ их поведения при параметрическом возбуждении. В условиях параметрического возбуждения часто оказываются самые различные объекты современной техники: антенные устройства, высотные сооружения, трубопроводы, чувствительные элементы приборов, объекты ракетно-космической техники, элементы ядерных реакторов и многие другие. Динамический анализ таких систем в ряде случаев сводится к исследованию задачи о параметрических колебаниях стержней.

Параметрические колебания стержней, возникающие при внешнем вибрационном воздействии, как правило, сопровождаются значительными амплитудами и возникновением опасных динамических напряжений. Вместе с тем, параметрическое возбуждение приводит к возникновению ряда нелинейных эффектов, к которым, в первую очередь, относят появление новых положений динамического равновесия - параметрическую стабилизацию, в том числе вибрационную (при параметрическом возбуждении, вызванном внешними вибрациями). Классическими примерами эффекта вибрационной стабилизации являются возникновение устойчивого верхнего положения перевернутого маятника при вибрировании его оси подвеса (маятник Стефенсона-Капицы) [36, 93] и вертикальная устойчивость гибкой нити (так называемая магическая или индийская веревка) [25, 81]. Другим наглядным примером является подъем и стабилизация кольца, установленного свободно на обращенном маятнике с вибрирующей осью подвеса (маятник В.Н. Челомея) [73].

Эффект вибрационной стабилизации находит практическое применение в современной технике и лежит в основе функционирования целого класса приборов, чувствительные элементы которых совершают заданные колебательные движения. Так, например, в приборах для измерения низкочастотной вибрации (порядка одного Гц и менее) относительное положение чувствительного элемента в упругой трубке, находящейся в условиях параметрического возбуждения, зависит от амплитуды низкочастотного воздействия. Этот же эффект используется и в некоторых типах предохранительных клапанов трубопроводов, в виброподъемниках, вибродвигателях [15, 19, 59, 60].

Исследование подъема твердого тела по вибрирующему стержню (или перевернутому маятнику) представляет собой комплексную научно-техническую проблему, сочетающую в себе задачи динамики стержней, вибрационного транспортирования, параметрических колебаний.

В известных работах В.Н. Челомея [73], И.И. Блехмана и О.З. Малаховой [8], А.И.Меняйлова и А.В.Мовчана [46], А.В. Киргетова [38], К.М. Рагульскиса [59], Й. Томсена и Д.М. Черняка [97] рассматривались различные постановки задачи и динамические модели, описывающие подъем кольца по перевернутому маятнику с вибрирующей осыо подвеса. Вместе с тем, учитывая практическую важность этой задачи, определенный интерес вызывает дальнейшее развитие исследований, особенно в направлении уточнения расчетных схем и моделей, как стержня, так и физических механизмов его взаимодействия с кольцом при параметрическом возбуждении.

Важнейшей составляющей этих исследований, имеющей большое самостоятельное научное и практическое значение, является анализ поведения упругого стержня в условиях параметрического возбуждения. Дело в том, что для выявления законов и режимов движения кольца на таком стержне необходимо знать законы движения стержня как упругого тела, которые в свою очередь определяются из решения задачи о его параметрических колебаниях. Хотя задача о параметрических колебаниях стержней уже достаточно хорошо изучена в теории колебаний [4, 7, 13, 77], некоторые ее аспекты требуют дальнейшего исследования. В частности, это относится к роли учета конечных углов поворота сечений стержня, анализу влияния демпфирования (внутреннего и/или внешнего) и начального несовершенства формы оси стержня на амплитуды поперечных колебаний и динамическую устойчивость прямолинейной формы вертикальной оси. Особый интерес представляет также исследование поведения гибких вертикальных стержней, которые в статических условиях теряют устойчивость под действием силы тяжести. При параметрическом возбуждении ось такого стержня может приобрести исходную (недеформированную) вертикальную прямолинейную форму [25, 81, 88]. В технологических процессах этот способ используется для стабилизации прямолинейной формы оси гибких элементов (проволоки, нити, шланга), например, для их самоцентрирования при подаче с намоточного барабана в приемное отверстие обрабатывающего модуля для последующей технологической обработки.

Настоящая диссертационная работа выполнена в соответствии с тематическим планом Лаборатории вибромеханики Института машиноведения им. А.А.Благонравова РАН, программой фундаментальных исследований Отделения энергетики, механики, машиностроения и процессов управления РАН "Разработка фундаментальных основ расчета машин динамического принципа действия", гранта РФФИ № 07-08-253а.

Целью диссертационной работы является развитие существующих представлений об эффектах вибрационного транспортирования и вибрационной стабилизации динамических систем при параметрическом возбуждении, а также их возможных технических приложений. Указанная цель достигается на основе теоретического и экспериментального изучения, описания и анализа физических механизмов вибрационного подъема кольца, установленного на консольно закрепленном вертикальном упругом стержне в условиях параметрического возбуждения.

В соответствии с указанной целью в диссертации были поставлены и решены следующие основные задачи:

- исследование устойчивости вертикальной оси стержня, находящегося в поле сил тяжести, с учетом начальных несовершенств и различных моделей рассеяния энергии;

- разработка модели взаимодействия кольца с упругим стержнем при его параметрическом возбуждении;

- анализ влияния компонент возбуждения и параметров трения на движение кольца;

- моделирование движения кольца вдоль упругого стержня;

- исследование влияния кольца на амплитуды параметрических колебаний стержня (выявление роли кольца как динамического гасителя параметрических колебаний стержня);

- экспериментальное исследование движения и стабилизации кольца на вибрирующем стержне.

Методика исследования. Разработка расчетной модели исследуемой системы выполнена на основе классических методов нелинейной динамики. Для расчетного анализа системы применялись методы Флоке-Ляпунова, Галеркипа, методы численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений и численные методы оптимизации. Экспериментальные исследования проводились с использованием стандартного оборудования и аппаратуры для возбуждения и измерения колебаний.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

- разработана расчетная модель, описывающая параметрические колебания упругого стержня с учетом начальных несовершенств формы его оси;

- установлены границы областей параметров возбуждения, при которых возникают параметрические резонансы, в зависимости от параметра гибкости стержня и начальных несовершенств формы его оси, и стабилизация вертикальной оси гибкого стержня, в зависимости от вида и параметров демпфирования;

- разработана модель, описывающая движение и стабилизацию кольца на вертикальном упругом стержне при его параметрическом возбуждении;

- установлено влияние трения на подъем кольца, а также выявлена роль начального положения кольца и параметров возбуждения;

- выявлен физический механизм эффекта гашения параметрических колебаний упругого стержня при подъеме и стабилизации кольца. Практическая ценность диссертации:

- установлены численные значения параметров стержня и возбуждения, при которых возникает стабилизация вертикальной оси гибкого стержня в зависимости от параметров трения;

- расчетная модель вибрационной стабилизации вертикальной формы оси гибкого стержня может быть использована при разработке и создании систем самоцентрирования гибких элементов типа стержней и нитей в технологических процессах запрессовки, стыковки, сборки, прошивки;

- предложенная модель вибрационной стабилизации и устойчивости кольца на вибрирующем стержне описывает динамику чувствительных элементов приборов для измерения низкочастотной вибрации, работу предохранительных клапанов трубопроводных систем, вибродвигателей;

- установлена роль кольца как динамического гасителя параметрических колебаний стержня;

- разработаны алгоритмы и программы численного анализа, позволяющие моделировать процесс движения кольца по вибрирующему упругому стержню. Научные положения, выдвигаемые на защиту:

1. Принципы моделирования и расчета параметрических колебаний упругих стержней, определение границ областей параметрического резонанса и устойчивости вертикального положения стержня при его параметрическом возбуждении.

2. Модель взаимодействия кольца с упругим стержнем при его параметрическом возбуждении.

3. Алгоритмы, методики и результаты моделирования движения кольца по вибрирующему стержню.

Достоверность полученных результатов обеспечена применением апробированных методов решения и анализа задач нелинейной динамки, научно-обоснованным выбором расчетных моделей и подтверждена согласованностью результатов экспериментальных, численных и приближенных аналитических исследований.

Личный вклад автора. В совместных работах автор принимал непосредственное участие в выводе уравнений движения, в выборе методов их решения, получении и анализе результатов. Автор также принимал непосредственное участие в проведении экспериментальных исследований.

Реализация работы. Результаты исследований использованы в учебном процессе на кафедре «Прикладная механика» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана и на ее базовом филиале в ИМАШ РАН при разработке методических указаний, лабораторных практикумов, учебных пособий и курсов лекций по дисциплинам «Динамическая устойчивость», «Вибрационная механика»; в ИМАШ РАН при выполнении программы фундаментальных исследований Отделения энергетики, механики, машиностроения и процессов управления РАН "Разработка фундаментальных основ расчета машин динамического принципа действия"; в АНОН НИЦ «КП Алмаз» при разработке и проектировании стеблей ружейных сверл; в РНЦ «Курчатовский институт» при анализе поведения тонкостенных стержневых конструкций.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на XV симпозиуме «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем» (Москва - Звенигород, 2006 г.); 12-ом международном конгрессе по теории машин и механизмов (Безансон, Франция, 2007 г.); 3-ей международной конференции «Мехатронные системы и материалы» (Каунас, Литва, 2007 г.); международной конференции «Неклассические задачи механики» (Кутаиси, Грузия, 2007 г.); XIX международной интернет - ориентированной конференции молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения (Москва, 2007 г.); 6-ой международной конференции по нелинейной динамике «Евромех» (Санкт-Петербург, 2008 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в восьми публикациях, из них две - рекомендованы ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников и трех приложений. Общий объем работы состоит из 134 страниц, включая 45 рисунков, 2 таблицы, списка литературы, содержащего 98 наименований и приложений на 16 страницах.

Основные результаты и выводы по диссертации:

1. Установлены значения параметров возбуждения вибрационной стабилизации и устойчивости вертикального положения гибкого стержня в поле сил тяжести при учете начальных несовершенств и различных моделях рассеяния энергии.

2. На основе разработанной модели взаимодействия кольца со стержнем выявлено влияние различных компонент возбуждения и параметров модели на особенности движения кольца.

3. Выполнено численное моделирование движения кольца вдоль упругого стержня при его параметрическом возбуждении.

4. Установлены значения параметров возбуждения и системы, при которых наблюдается стабилизация кольца на стержне при его параметрическом возбуждении.

5. Установлен эффект гашения параметрических колебаний стержня свободно скользящим кольцом.

6. Выполненные эксперименты подтвердили результаты расчетного анализа

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертационной работе был поставлен ряд новых задач динамики упругих стержней со свободно скользящим кольцом при параметрическом возбуждении. В работе предложена уточненная расчетная схема стержня, учитывающая конечные повороты его сечений и несовершенство формы оси. Составлены дифференциальные уравнения параметрических колебаний такого стержня, учитывающие действие подвижных сил взаимодействия с кольцом. Для решения полученной системы уравнений предложен комплексный аналитико-численный алгоритм, основанный па методе Галеркина, методе многомасштабных разложений и численного интегрирования методом Рунге-Кутта. В результате решения были установлены условия, при которых реализуется подъем кольца по вибрирующему стержню. Установлены области значений параметров, при которых возникает вибрационная стабилизация прямолинейной формы оси гибкого упругого стержня. Сформулированы некоторые прикладные задачи, исследование динамики которых сводится к анализу рассмотренных моделей.

В настоящей диссертационной работе был поставлен ряд новых задач динамики упругих стержней со свободно скользящим кольцом при параметрическом возбуждении. В результате их решения были установлены условия возникновения эффекта вибрационной стабилизации гибкого упругого стержня и кольца, свободно скользящего вдоль него.

1. Алфутов НА. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 312 с.

2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1891.

3. Асташев В.К., Бабицкий В.И., Веприк A.M., Крупенин B.JI. Гашение вынужденных колебаний струи и стержней подвижной шайбой. ДАН СССР, 1989. Т. 304, №1. С. 50-54.

4. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004. - 592 с.

5. Бабицкий В.И., Крупенин B.JI. Колебания в сильно нелинейных системах. М.: Наука, 1985.-320 с.

6. Бансявичюс Р.Ю., Рагульскис К.М. Вибродвигатели. Вильнюс: Мокслас, 1981. 193 с.

7. Бидерман B.JI. Прикладная теория механических колебаний. Учебное пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1972, 416 с.

8. Блехман И.И. Малахова О.З. О квазиравновесных положениях маятника Челомея. ДАН СССР, 1986, Т 287, №2. С. 290 294

9. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994. — 400 с.

10. Блехман И.И., Букаты Г.Б. Движение тела, попеременно контактирующего с двумя вибрирующими плоскостями. Изв. АН СССР, МТТ, 1975, №2, с. 39-49.

11. Блехман И.И., Джанелидзе Г.Ю. Вибрационное перемещение. М., Наука, 1962

12. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М: Наука, 1974.

13. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956. 597 с.

14. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматлит, 1961. 339 с.

15. Брумберг P.M. О безотрывном движении твердого тела по вибрирующей трубе. Изв. АН СССР. МТТ, 1970, №5

16. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И. Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976.

17. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах. Т.1: Колебания линейных систем / под ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978. 352 с.

18. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах. Т.2: Колебания нелинейных механических систем / под ред. И.И. Блехмана. М.: Машиностроение, 1979.-351 с.

19. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах. Т.4: Вибрационные процессы и машины / под ред. Э.Э. Лавендела. М.: Машиностроение, 1981.-509 с.

20. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах. Т.6: Защита от вибрации и ударов / под ред. К.В.Фролова. М.: Машиностроение, 1981 456 с.

21. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

22. Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. — М.: Наука, 1986.-256 с.

23. Гребеников Е.А., Рябов Ю.Я. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 432 с.

24. Гудушаури Э.Г., Пановко Г .Я. Теория вибрационных технологических процессов при некулоновом трении. М.: Наука, 1988.

25. Гуськов A.M., Пановко Г.Я. Вибрационная стабилизация вертикальной оси гибкого стержня. Журнал «Проблемы машиностроения и надежности машин» №5,2006, стр. 13-19

26. Гуськов A.M., Пановко Г.Я., Чан Ван Бинь. Анализ динамики маятникового гасителя колебаний. Журнал «Проблемы машиностроения и надежности машин». 2008, № 2, с.

27. Ден Гартог Дж.П. Механические колебания. - М.: Физматгиз, 1960. -580 с.

28. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. О движении точечной массы вдоль колеблющейся струны // ПММ, 1997. Т. 61, № 4, С. 703 706.

29. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. М: Физматлит, 2002. — 208 с.

30. Ерофеев В.И. Пространственные колебания гибкого стержня // Прикладная механика, 1991. Т. 27, № 9. С.100 -106.

31. Ильин М.М., Колесников К.С., Саратов Ю.С. Теория колебаний: Уч. для вузов / под ред. К.С. Колесникова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003.-272 с

32. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. — М.: Мир, 1983. 300 с.

33. Кажаев В.В. Гашение вибраций балки свободно скользящим объектом // Волновые задачи механики / Сб. науч. трудов. Горький: Гф ИМАШ АН СССР, 1990. С. 41 -47.

34. Кажаев В.В. Гашение вибраций струны скользящим осциллятором // Волновые задачи механики / Сб. науч. трудов.Н.Новгород: Нф ИМАШ АН СССР, 1991. С. 102 107.

35. Кажаев В.В. Уткин Г.А. Движение массы вдоль струны под действием сил волнового давления. // Дифференциальные и интегральные уравнения / Межвуз. сб. науч. трудов. Горький: ГГУ. 1989. С. 112 117.

36. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. ЖЭТФ, 1951, Т. 21, Вып.5, С. 588 597.

37. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом. Успехи физ. наук., 1951, Т.44, вып. 1.

38. Киргетов А.В. К вопросу об устойчивости квазиравновесных положений маятника В.Н. Челомея. Изв. АН СССР, МТТ, 1986, №6. С. 57-62.

39. Кобринский А.Е., Кобринский А.А. Виброударные системы (динамика и устойчивость). М.: Наука, 1973. 591 с.

40. Кочнева Л.Ю. Внутреннее трение в твердых телах при колебаниях. М.: Наука, 1979

41. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970. 352 с.

42. Курбатов A.M., Челомей С.В., Хромушкин А.В. К вопросу о маятнике В.Н. Челомея. Изв. АН СССР, МТТ, 1986, №6.

43. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, Физматлит, 1997,496 с.

44. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движений. Череповец: Меркурий-пресс, 2000.

45. Малахова О.З. Экстремальные признаки устойчивости движения и их использование при создании вибрационных устройств. Дис. кан. физ.-мат. наук. Л.:Механобр,1990.

46. Меняйлов А.И., Мовчан А.В. О стабилизации системы маятник-кольцо в условиях вибрации основания. Изв. АН СССР, МТТ, 1984, №6. С.35 40.

47. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. 3-е издание, перераб. И доп. - М.: Наука, 1976.

48. Левитский Н.И. Колебания в механизмах. Учеб. пособие для втузов М.: Наука, 1988.-336 с.

49. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.:Наука, 1981.

50. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455с.

51. Нашиф А., Джоунс Д., Хендерсон Дж. Демпфирование колебаний. М.: Мир, 1988.-448 с.

52. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Учебник для машиностроительных и приборостроительных спец. вузов. М.: Высшая школа, 1990.-607 с.

53. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1971.-240 с.

54. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М.: Физматлит, 1960. 193 с.

55. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. — Д.: Машиностроение, 1976. — 320 с.

56. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987.-352 с.

57. Прочность, устойчивость, колебания, Справочник. ТЗ.— М.: Машиностроение, 1968. С. 331-346

58. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

59. Рагульскис К.М., Нагинявичюс В.В. Трубообразный виброклапан, управляемый колебаниями трубы как упругого тела. Деп. в Лит. НИИНТИ, № 1644. Вильнюс, 1986.

60. Рагульскис Л.К., Рагульскис К.М. Колебательные системы с динамически направленным вибровозбудителем. — Д.: Машиностроение. Ленингр. отд-е, 1987.

61. Сабадаш В.А. Динамическая устойчивость стержней с учетом деформации сдвига и инерции вращений. Журнал «Прикладная механика», Том XV, № 5, 1979. с. 73-78

62. Светлицкий В.А. Механика стержней. Учебник для втузов. В 2-х ч. 4.1. Статика. М.: Высшая школа, 1987. - 320 с.

63. Светлицкий В.А. Механика стержней. Учебник для втузов. В 2-х ч. 4.2. Динамика. М.: Высшая школа, 1987. - 304 с.

64. Солдатов И.Н. Уравнения движения «бусинки» на растяжимой струне // Испытания материалов и конструкций / Сб. научн. трудов Н.Новгород, изд-во «Интелсервис», 2000. Вып. 2. С. 261-265.

65. Справочник по сопротивлению материалов. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Киев: Наукова думка, 1975. - 459 с.

66. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977.-256 с.

67. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: КомКнига, 2006. -440 с.

68. Фомин В.Н. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах. Л.: Изд-во ЛГУ, 1972.

69. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учебник для вузов.- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 592 с

70. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970.

71. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966.

72. Цыфанский С.Л., Бересневич В.И., Оке А.Б. Нелинейные и параметрические колебания вибрационных машин технологического назначения. -Рига: Зинатне, 1991. —231 с

73. Челомей В.Н. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями// ДАН СССР.-1983.-Т.270, №1.

74. Челомей В.Н. Нелинейные колебания с параметрическим возбуждением. Изв. АН СССР, МТТ. 1977 №3

75. Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций. ДАН СССР, 1956, Т.110, Вып.З, С.345 347.

76. Чечурин С.Л. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения. Л.: Изд-во ЛГУ,1983.

77. Шмидт Г. Параметрические колебания. М.: Мир, 1978.

78. Якубович В.А. Старжииский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987. 328 с.

79. Acheson D. A pendulum theorem. Proc. R. Soc. Lond. A (1993) 443, 239-245.

80. Acheson D., Mullin T. Upside-down pendulum. Nature 366 (1993), 215-216.

81. Acheson D., Mullin T. Ropy magic. New scientist, Fedruary (1998), 32-33.

82. Babitsky V.I., Veprik A.M. Damping of beam forced vibration by a moving washer. Journal of Sound and Vibration 1993 166(1), pp. 77-85

83. Blekhman I.I., Sperling L. Stabilization of the synphase postcritical regime of rotation of vibroexciters by means of internal degree of freedom. 3rd Polyakhov Readings, St.Petersburg, 2003, 107-111

84. Champneys A.R., Fraser W.B. The 'Indian rope trick' for a parametrically excited flexible rod: linearized analysis. Proc. R. Soc. Lond. A (2000) 456, pp. 553-570.

85. Crespo da Silva MRM, Glynn CC. Nonlinear flexural-flexural-torsional dynamics of inextensible beams, I: equations of motion. Journal of Structural Mechanics 1978; 6: 437-448

86. Fraser W.B, Champneys A.R. The 'Indian rope trick' for a continuously flexible rod; nonlinear and subharmonic analysis. Proc. R. Soc. Lond. A (2001).

87. Hamdan M.N., Al-Qaisia A.A., Al-Bedoor B.O. Comparison of analytical techniques for nonlinear vibrations of a parametrically excited cantilever. Int. J. of Mechanical Sciences, V. 43 (2001), pp. 1521-1542.

88. Krishnamurthy K. Dynamics and control of flexible robotic manipulators. Ph.D. thesis, Department of Mechanical Engineering, Washington State University, 1986

89. Lee. W.K., Hsu C.S. A global analysis of a harmonically excited spring-pendulum system with internal resonance. Journal of Sound and Vibration 171(1994), no.3, p. 335-359

90. Otterbein S. Stabilisierung des n-pendeles und der indische seiltrick. Arch. Ration. Mech. Analysis (1982) 78, 381-393

91. Schmidt B.A. The radially flexible pendulum subjected to high-frequency excitation // Journ. of Appl. Mech., 50(1983), 443-448

92. Stephenson A. 1908a On a new type of dynamic stability. Mem. Proc. Manchester Lit. Phil. Soc. 52(8), 1-10.

93. Stephenson A. 1908 b On induced stability. Phil. Mag. 15, 233-236.

94. Stephenson A. 1909 On induced stability. Phil. Mag. 17, 765-766.

95. Schmidt G., Tondl A. Nonlinear vibrations. Akademie-Verlag, Berlin, 1986

96. Thomsen J.J., Tcherniak D.M. Chelomei's pendulum explained. Proc. R. Soc. Lond. A (2001) 457, 1889-1913.

97. Vasilkov V., Chubinsky A., Yakimova K. The Stephenson-Kapitsa pendulum: Area of the Attraction of the Upper Position of the Balance. "Technische Mechanik", Band 27, Heft 1, (2007), 61-66