Разработка методов расчета стержневых элементов приборов и конструкций при кинематическом возбуждении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

л* ^

; \ I кшрннах р\ >лчт« и

1 ^" mfty^f1^'

Буда-Красновский Святослав Владимирович

У/1,К MI.JAS

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ РАСЧЕТА СТНРЖ1 If.ВЫ \ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИБОРОВ И КОНСТРУКЦИЙ ПРИ КИНЕМАТИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕН IIIИ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой оененк кандидата технических наук

Ли/

и/

,! ^ * > /

Москва

Г,.»

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете имени Н.Э.Баумана

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор Светлицкий В.А. Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор Шклярчук Ф.Н. доктор технических наук, профессор Чирков В.II.

Ведущая организация - ГосМКБ "Вымпел"

Защита состоится " 2- 3 " декабря 1999 г. в Л час. на заседании диссертационного совета Д.053.15.08 в Московском государственном техническом университете им. Н.Э.Баумана по адресу: 107005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э.Баумана.

/

Анюреферат разослан " " /*С£ ¡А^//^_ 1999 г. Ученый секретарь "

диссерганионного совета

кандидат технических наук, доцент / ./.'••. ДронгВ.И.

/

-ОМ с,И5,0 + ЖШ-Ь-1 сЖ,0

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Стержневые элементы имеют очень широкое распространение в различных отраслях промышленности (приборостроение, машиностроение, авиация и т.д.)- Они используются п качестве чувствительных элементов в системах автоматическою управления наземной и космической техники, в акселерометрах, низкочастотных механических фильтрах, в механотронных системах. Например, основными элементами большинства приборов времени являются стержни, которые могут иметь очень сложную геометрию осевой линии. К упругим стержневым элементам относятся и трубопроводы, которые используются в системах питания двигателей (например, авиационных двигателей), в системах подъема конкреций со дна морей. Высоконадежная работа машин и конструкций, использующих упругие стержневые элементы, в большой степени зависит от точности расчета стержневых элементов. Несмотря на различные области техники, где используются стержневые элементы, все они относятся к одному из разделов механики твердого деформируемого тела - механике стержней. Это позволяет рассматривать (и рассчитывать) упругие стержневые элементы, используя единые математические методы. В реальных условиях стержневые элементы нагружаются статическими и динамическими силами, в том числе и силами, которые возникают при эксплуатации конструкций. Например, силами, возникающими при принудительных смещениях (линейных и угловых) основания, на котором находится упругий стержневой элемент при линейных и угловых принудительных смещениях дискретных сечений стержня. Возникающие при лом колебания упругих элементов принято называть кинематически возбуждаемыми колебаниями. К кинематически возбуждаемым колебаниям относятся: колебания транспортных средств, движущихся по дороге с неровностями, когда действующие на машину возмущения зависят от вертикальных перемещений точек контакта колес, вызванных профилем дороги; колебания сооружений,, вызванные смещением основания при сейсмических воздействиях; колебания трубопроводов, используемых в системах подъема конкреций со дна морей, вызванные колебанием корабля. Причем возможны кинематические возбуждения, как детерминированные,, гак и случайные. В диссертации рассматриваются только детерминированные' кинематические возмущения. Несмотря на то, что кинематически возбуждаемые колебания имеют очень широкое распространение в технике, теория и методы численного анализа этих колебаний разработаны недостаточно. Мало уделено внимания кинематически возбуждаемым колебаниям систем с распределенными параметрами, к которым относятся, например, стержневые элементы конструкций. Наибольшие трудности при анализе установившихся колебаний связаны со случаями, когда кинематическое возбуждение

(линейное или угловое) имеет место в дискретных сечениях стержня. В зависимости от частоты кинематического возмущения и спектра частот стержневого элемента возможны очень интенсивные вибрации. Поэтому возникает проблема снижения уровня вибраций, которую решают путем введения в систему локальных систем амортизации с последующим определением оптимальных параметров. Эти задачи практически не рассматривались. Поэтому разработка теории и численных методов исследования колебаний криволинейных стержней при локальном кинематическом возбуждении является актуальной проблемой.

Целью диссертации, выполненной в соответствии с планом работ по

1 осбюджетным темам "Динамика" и "Механика", является разработка теории и основанных на этой теории общих численных методов, которые дают возможность получать числовые характеристики напряженно-деформированного состояния упругих пространственно-криволинейных стержневых элементов при установившихся кинематически возбуждаемых колебаниях как при произвольных направлениях принудительных смещений (линейных и угловых) локальных сечений стержня, так и при принудительных смещениях основания, с которым связан стержень. Для реализации .сформулированной цели исследований потребовалось получить: уравнения равновесия пространственно-криволинейного стержня с учетом локальных связей с последующим их решением (определением статическою напряженно-деформированного состояния); уравнения малых свободных колебаний относительно состояния равновесия (с определением собственных значений и собственных векторов); уравнения вынужденных колебаний учитывающих кинематическое возбуждение (с последующим их приближенным решением).

Методы исследования. При решении дифференциальных уравнений используются:

- метод дискретного продолжения по параметру для решения нелинейных уравнений равновесия;

- метод приближенного решения системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных, использующий обобщенный принцип возможных перемещений.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, шключаегся в следующем:

разработаны методы численного определения статического напряженно-леформнрованпого состояния плоских и прост ранственно-кринолннейных стержней, имеющих промежуточные локальные связи, нафу ленных сосредоточенными и распределенными силами; получен алгоритм численного решения задачи о статической устойчивости плоской спирали при нелинейных докритических деформациях;

получены уравнения малых колебаний пространственно-криволинейных стержней с локальными связями при кинематическом возбуждении;

- разработан метод численного приближенного решения уравнений малых колебаний (системы уравнений в частных производных), позволяющий определять напряженно-деформированное состояние при линейном, угловом и смешанном кинематическом возбуждении в локшп.ныч сечениях стержня;

- разработан метод численного исследования влияния локальной системы виброзащиты на уровень вибраций трубопровода.

Практическая ценность результатов, полученных и диссертации, заключается:

- в разработке численных методов определения критических нннбающих моментов, при которых может произойти потеря усшйчшнкш спиральной пружины с выходом из плоскости;

- в изложенном численном методе исследования системы пассивной виброзащиты участков трубопровода при их кинематическом возбуждении.

Внедрение. Результаты, полученные в диссертации, используются к учебном процессе в дисциплинах профессиональной подгоюпки инженеров-механиков-исследователей (специальность 071100).

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались:

- на научных семинарах кафедры РК-5 (Прикладная механика) МГТУ им. Н.Э.Баумана;

- на V Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», Россия, Ярополеп, 16 февраля 1999г.;

- на научно технической конференции аспирантов и молодых ученых кафедры «Прикладная механика» МГТУ им. Н.Э.Баумана 19 феврали 1999г.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано и трех печатных работах.

Объем работы. Диссертация состоит из предисловия, пяти г;пи. заключения, списка литературы из 32 наименований. Работа содержит 132 страницы компьютерного текста, ,125 рисунков, 2 таблицы.

Основное содержание работы.

В первой главе дается краткий обзор литературы и обоснование необходимости проведения исследований кинематически возбуждаемых колебаний упругих стержневых элементов.

Вторая глава диссертации посвящена нелинейным уравнениям равновесия пространственно-криволинейных стержней и численному их решению для частных случаев с определением статическою напряженно-деформированного состояния, которое необходимо знать при исследовании колебаний. Рассматривается пустотелый упругий стержень Орубипроноч), заполненный потоком идеальной несжимаемой жидкости. Как частый

случаи при нулевой скорости потока и давлении получаются уравнения равновесия упругих элементов приборов, например, спирали. Нелинейные уравнения пространственно-криволинейного стержня в связанных осях имеют следующий вид (в безразмерной форме записи):

<10''" + ю0 ж д;," + Ри = 0; ^ + ё0 X М„ + е, X + Т0 = 0;

Г"» 4-1

di/

d.9,

d7/ d //

d»;

(1)

+ a-;o x u0 +(/,,- l)eI0 + ine20 + /31e30 = 0,

где 0(" = О - (Р + п,,\у2)е,; Р - безразмерное давление (Р = рЕ2/2/А33); IV -скорость жидкости внутри стержня; п\\ - безразмерная масса жидкости

и,, =

Q - вектор внутренних сил; М- вектор внутренних

моментов; и - вектор перемещений осевой линии стержня; <9 - вектор, компонентами которого являются углы поворота главных осей сечения; ж -вектор кривизн деформированной осевой линии стержня; ё,,ё2,ё, -

единичные вектора базиса связанных осей; ш^1 - вектор, компонентами' коюрого являются кривизны стержня в ненагруженном состоянии; А — диагональная матрица, элементами которой соответственно являются: Ли -жесткость на кручение, А22 и Лзз - изгибные жесткости; г/ - безразмерная дуговая координата; р - давление жидкости внутри стержня; I - длина стержня; Ь\ - площадь поперечного сечения потока жидкости. Входящие в уравнения матрицы равны

собА, 0 Бт.92

Бт^з сох<92 СОЗ.93 Бт^Бт.Яз ; (2)

-зт.92со8.93 0 eos.9jCos.9j

1

COS ,9,

cos 192 cosi93

-sin53 sin.92 coSi93

cos¿>2cosí,sin«93 + ! C0Sí92sin.9,sin.93 -

¡ + sin^, sin

-sinocos Sl

cos .9, cos .9,

1

¡ sin.9, cos .93

1

sin^j cosi9, sin>93 - 1 sin^sin^sin^j +

(3)

! - cos <92 sin 9, \ + cos92 cos.9, Под векторами P0 и Т„в уравнении (1) понимается соответственно сумма всех внешних сил н сумма всех внешних моментов:

р____m

P. = % + I - Th ); T„ = д0 +1 win - n, ),

где я0 и //„ - распределенные сипа и момент; Р0 и Т(, - сосредоточенные сила и момент; - Дельта-функция Дирака. При наличии

дополнительных локальных связей и сосредоточенных масс (рнс.1), получим, например, выражение для силы Р0:

Ро = -ёо'2 - У<>хАп - 7|) + КАп - Ъ) 4- £Р,Г<5('7 - 'к), (5)

g mg / с/3

/Ро Азз Лзз V(mi+mi)/

Или в скалярной форме записи, когда внешние силы заданы п декартоных осях

Pjo = ( - go - yAv - Th)} (ej0 • ¡2) - C0U jo'5('/ - 'A) +

+ R An ~ >h)+1 {p,'k,1 (eJ0 ■ I A>! - Th)}; (6)

k-l

Будем считать, чго изменения кривизн осевой линии трубопровода при статическом нагружеиии малы, т.е. можно положить

ае"„ = £сш, + Aie,

(7)

Рис. 1

уравнений (2.1) примет вид

где вектор А;е характеризует малые изменения кривизн осевой липки стержня. При малых отклонениях осевой линии стержня от ее ненагруженнея о сое гочнич можно положить ё я-ем. В силу

малосш линейных и у!лоиых перемещении имеем

L:è(!(l - ai0 ---Aïe - .M, x .e,, L, =li. После iio:o система

dO,

m _ _

0-+EooxQi" + P0=O;

d /,

+ x M0 + ë„, x Qô" + T0

d?/

:0;

+ «1-00 X l/rt

drj

A M0 --=0;

du

(S)

d;;

" * 'Я')1-..

Для плоского стержня, осевая линия которого при нагружении остается плоской кривой, имеем ае10=аг20=0; (}30=0; М10=М2а=0; ,9|0 = д20 = 0; и30 = 0. Поэтому из системы (8) получаем

с10_ с1/,

(|)

— ИиоСЬо+Рю-О;

С,М^ + д2о-ьТ,0=0; ~- ® зоои 20 = 0»

+ ¡р П(1) + Р - О-

+ Ж300*<10 ^ Г20 _ и>

а т] Аг]

(9)

+ ае300и10-5,0=0,

йП """"" "" ' А зз (1 п

где Р,0 = {-8о-гАп-ъЖ-СоиЛ-»/,)+£(«,

к>1

р20 = {- Ео - у Ал - П3)} - с0и2Ап - 7.) + ~Пг) +

+ £(«+рХЧМп-пЛ к-1

{/",.] - матрица перехода от базиса ¡^к базису е;0.

Для численного решения представим систему (9) в виде векторного

уравнения

П

£=; Ого; мз»; ит; и2о)Т;

(10)

где

Л:

0

300

о

аг

-«м 0 1 0

о о

о о о о

О О

А3

О О

О

о о о

о о о о

" 86™

-1 аг,

ф1=

О О О О

Решение уравнения (10) ищем в виде

ФР =

ф = ф( + фк + фр ;

(Бо + гЛп - пЖг {Во + Го^-пМ

о о о о

к-1

-ЬГУгЛч-Ъ) к.|

1-1

о о о

о

о

о

2(4) = ВДС + ¡0(7},№(£)»!£ (К(0) = Е)

(11)

где К(//) - фундаментальная матрица решений, 0(;/,£)~- К(/7>К" '(<?) -матрица Грина, С - вектор констант. Рассмотрим частное решение уравнения (11) и запишем его более подробно

' _ —

(12)

где

г, = &0 }о(т7,#)

гк=о (п,ъ)

Ш

о о о о

о

о о о о

Щп-кУ + ЪОм)

'п(П з) 'п(Ъ)

о о о о

с0и.в(7|)

сои:о(7,) О

Н(7-»/,);

о о о

Н(17-7.);

рОО/0 '

Чк 'IV р<к>/0 XV 12у

О

о о о

о о

Т*')

'зо О

о о

Н(ф - функция Хевисайда. Для определения компонент вектора С имеем 6 краевых условий (по 3 на каждом конце стержня). Из краевых условий (рис.1) при 77 = 0 (заделка) получаем С4 =С5 =СЬ =0. Из краевых условий при 7 = 1 (заделка) Z^(l) = Zi(\)-Zk(\) = Q и дополнительного условия ~ 0 получаем систему четырех линейных неоднородных алгебраических уравнений, из которой находим 04;С^С6; К2(1. На рис.2 и рис.3 представлены графики некоторых компонент статического напряженно-деформированного состояния.

п

Из системы уравнений (1) как частный случай получены уравнения равновесия плоской спирали при критическом состоянии и уравнения равновесия спирали после потери устойчивости с выходом из плоскости (более подробно рассмотрено в пятой главе). Основная особенность задачи об устойчивости плоской спирали заключается в том, что ее критическое состояние определяется из нелинейных уравнений равновесия. Приводится алгоритм численного решения, и определяются критические значения момента Т.

О,* ю' м.хю1

-6

Рис.2 Рис.3

Третья глава диссертации посвящена выводу линеаризованных уравнений колебании упругого стержня (с учетом внутреннего потока жидкости). Нелинейные уравнения движения стержня в связанных осях имеют следующий вид:

дч . _ _ „ _ ч ао0)

- + <а х V + 2п,,\у(й> х е,) дт дт1

<ЗМ . дП

дт,

дп

— — дЧ

+ ж х М + ё, х (2<п + 'Г = 0; Ь, —=

■-жх<3(|,-Р=0; дт,

_ _ 38

+ аг х и + (/,, - 1)е, + /21е2 + /31е, = 0; Ь,--со = 0;

(13)

дт

дт

+ и х и - V = 0; М = А(ае-ае^'),

где а> - вектор угловой скорости; г - безразмерное время; V - вектор линейной скорости; й - вектор динамических перемещений; матрица Ь, равна

созЛсоз^ 0 -81П5, -эт^, 1 0

БШ СОБ 0 СОБ^

Из системы уравнений (13) (полагая Q'" = QJ" + AQ; М = М„ + ДМ; Р = Р0 + ДР; Í = Т0 + ЛТ; ж = £ё0 + Лж; v = Av; u = Лй; Ш = Ш\ 9 = Л 9) получаем

д2и

дт2 ВАМ дп дЭ

+ AW

д9 да BAQ

+ а,

■ А0А~'ДМ-

дт " дт drj + АмА~,ДМ + АсДМ + A,AQ +ДТ = 0; ди

ArAQ - ДР — 0; ДМ = АДаз; + Акй + А,9 =0,

(И)

- + АК,9 - А"'ДМ = 0; dr¡ dtj

где а0 - безразмерный коэффициент силы вязкого сопротивления;

0 Q30 -Q2O" 0 M30 -M20

aQ = -Q30 0 Vio ; Am = 0 M,o

.Q20 vio 0 ,MM -M10 0

0 "жзо Ж20 "0 0 0 "о 0 0"

A„ = жзо 0 ; Aw = 0 0 2n„w ; А,= 0 0 -1

."^го Ж10 0 0 -2n,,w 0 0 1 0

Систему (14) можно представить в виде векторного уравнения L(Z) = А(|) ~ + А<31 ~ + ? + A(:'Z - ДФ :

дг2

где

А(|)

А(3,=

О О О -Е

0 0 0 0

0 0 0 0 ООО о

О О -Aw

0 0 О

0 0 О

0 0 о

А<2) =

А.

А,

О О

дт drj

AQA" A.+AmA-

= 0,

(15)

-А" О

-а0Е О О О

Z =

AQ ДМ 9 и

ДФ =

о о

Ае

А,

-ДР -ДТ о о

о о о

А.

ДР = -c0u¿(?7 - v,)■- ra,ü¿(77 - rj}) + ARó{r] -rj2) +

+ É( К'ЖО,+ ар<и " >h)- {go + rAn ~ Ъ )}Д k-l

ДТ = ¿СС'Ду^ + ДТ">)*(»/ - 7l) ■- ]^S(r, -rj}),

где m,, J0 - безразмерные параметры: =

ш

(m,+m2)/' 0 (m,+m2)/3'

А/., - элементы матрицы AL:

AL =

О Д 9г -А9} О Д,92 -Д5,

~А9г Щ

О

Для определения собственных значений и собственных векторов полагаем А0> = 0, ДР(к)=0, ДТ(,) = 0, 2=гое,/,г, Ф = Ф0е'Л и из уравнения (15) получаем

(12,,

d П

+ (А(2) - ß2Am)Z0 =АФ0,

(16)

где АФ0 = {ДР0; ДТ0; 0; о}Т; Z0 = {aQ0; ДМ0;50;П0}Т; АР0 =c0ütS{Tjr-n,)-ß2meü0S(Tj-rj})- АК0б(п+

к-1

rOnnWi

ДТ0 = W(? -ъ)- £ ALL°T>(i,i(7 - TJ,). ¡«1

Решение уравнения (16)

(17)

Рассмотрим в (17) слагаемое, зависящее от правой части, которое можно представить в виде

os + 0R + Z0p + (18)

О

где Z0, = g0 JG(77,(^)Z0+ y0G(V,ъШъШъШч-

О

Z„R = G(7,72)D6(/72)H(7 - 72) + G(7,71)D5(71)Z0(/;,)H(7 -Z0ra = -ß7G(.t], Vj)D2(7j)Z0(73)H(7 - %У,

Z„p JDjivJZo^JH^- >?k) - EG(7,7,)D4(7/,)Z0(//,)H(;/ - //,).

k«l ' M

В зависимости от краевых и дополнительных условий в точках, где расположены локальные связи, получаем' однородные уравнения, из которых определяются ßt и соответствующие им собственные векторы Z„J)

в том числе и для частного случая - плоского трубопровода (колебания плоского-трубопровода в плоскости его осевой линии). На рис.4 и рис.5 представ иен м компоненты AQ2 И ДМ3 первых трех собственных векторов при колебаниях трубопровода ö сЬосй Плоскости. 10

О

Д(},х10 8-

ЛМ, х 101

I

■8

\ (^П 1

\

! \ Ч !

: \ , |

Рис.4 Рнс.5

В четвертой главе рассматриваются вынужденные колебания стержневых элементов, вызванные кинематическим возбуждением. Приближенное решение уравнения (15) ищем в виде

= (19)

где Гш(г) - неизвестные функции времени; 2{0'\т]) - собственные вектора, удовлетворяющие всем краевым условиям. Подставив (19) в (15), будем иметь:

г I Н 1-1

(20)

. +А<2'£2<,л(77)1;0)(Г)-ДФ = <5Ь,

где ¿Ъ - невязка, характеризующая погрешность приближенного решения. Для минимизации невязки согласно обобщенному принципу возможных перемещений потребуем, чтобы выполнялись условия

]Г(г)-Ев2<,М17 = 0 (¡=1..п),

(21)

где Е0 =

Е =

1 0 0 0 1 о

0 О 1

"0 0 О Е 0 0 Е О О Е 0 О Е О О О

После преобразований с учетом ) = 0 и (16) получаем систему уравнений пространственных колебаний стержня для наиболее общего случая, когда кинематические возбуждения и углы произвольны

¿(авр +Ь,/<Л = ЛТГС(Ъ). (22)

где ав = • Е^Ч " »^¿"(»/з)' - ¡ЛЧщ)'

Входящие в общие уравнения (15) сосредоточенные силы и моменты ЛР'к) и ДТ10 содержат кроме известных внешних сил и моментов и неизвестные сосредоточенные силы и моменты, которые вводятся в уравнения в сечениях, где имеет место принудительное перемещение локальных точек осевой линии стержня и принудительные повороты сечений. В главе изложен алгоритм определения этих неизвестных сил и моментов при известных

кинематических законах перемещений локальных точек осевой линии стержня и углов поворота сечений, что является решением задачи о колебаниях стержневой конструкции при кинематическом возбуждении. Рассмотрим частный случай, когда имеется линейное принудительное смещение в точке К с координатой Т]к (рис.6). Б диссертации рассмотрен случай углового принудительного поворота сечения и общий случай, когда кинематически возбуждаемые колебания вызваны линейными и угловыми смещениями дискретных точек стержня. Систему уравнений (22) представим в виде

АГ + В^ + СГ = -ОР(к), (23)

где (1„=ч£(»ь); Г =

Сила Р|к), входящая в уравнение (23), есть неизвестная сила, которая введена в точке К, где имеет место кинематическое возбуждение. В дальнейшем рассматриваются установившиеся колебания стержней при

представляем в виде

Рис.6

• и„к| собшг . Поэтому неизвестную силу Р(к>

Р""(г) = Р/о' СОБГОГ + Р<0к) ИПЙГ . Компоненты вектора и'к)(г) в соответствии с (19) запишутся как

н ' н

что эквивалентно записи в векторной форме

0<к,=0'Г. _ (25)

Решение уравнения (23) при установившемся режиме колебаний ищем в виде

Г'(г) = ?10созй>г + Г205ш«;Г. (26)

Подставив (26) и (24) в (23) и сгруппировав члены с зт(<уг) и соз(<иг), получим два векторных уравнения

- гу2 ЛГ,0 + <уВ?20 + СГ'10 = -ОР,(0к);

- <у2АГ20 - ЙЯ?10 + СГ20 = -ОР,(0к).

Подставив (26) в (25) и проведя аналогичные преобразования, получим еще два уравнения

От?10=и<1);

оЧ20=о.

(28)

Система уравнений (27) и (28) позволяет определить амплитудные значения всех неизвестных векторов. Из уравнений пространственных колебаний стержня при кинематическом возбуждении получены уравнения колебании плоского стержня (трубопровода) (рис.6). Знание амплитудных значений внутренних сил и изгибающего момента позволяет определить эквивалентное напряжение, что необходимо при оценке возможного наступления предельного состояния стержня (<гЖ1 < сгт/пт) в сечениях, где эквивалентное напряжение достигает максимальных значений и для оценки усталостной долговечности. В четвертой главе рассмотрена также задача о пассивной виброзащите трубопровода при кинематическом возбуждении. В месте (точка К рис.4), где на стержень передается принудительное смещение, для снижения уровня вибраций стержня вводится система амортизации, которую можно рассматривать как упруго-вязкий демпфер. Поэтому неизвестная сила Р'к), действующая на стержень, равна

р«м = с<и(0<и _ и(к») + В,и(й(к,) - Й<к)), (29)

где П(к,) - заданное перемещение точки К,; С'1,иВ(к> - матрицы, соответственно зависящие от жесткости и вязких свойств амортизатора. Подставляя (29) в уравнение (23) и принимая во внимание (25), получаем уравнение

А0? + В0Г + С0? = -Е)С<к,0(к,) - ОВ^'и11'1, (30)

где А°=А; В0 = В - ОВ|к)От; С° =С - ОС,к)От. Решение уравнения при установившихся колебаниях дает возможность определить амплитудные значения компонент вектора состояния Ъ, а также числовые значения критериев качества в зависимости от числовых значений параметров упруго-вязкого амортизатора, что позволяет определить оптимальные параметры системы пассивной виброзащиты. В качестве критериев, характеризующих эффективность работы системы амортизации,

использовались: иитеграл по длине стержня от амплитудных значении эквивалентного напряжения

Л<гА|с1;/,

(31)

шпсчрал но длине стержня от амплитудных значении динамических перемещений

1= №л07) + и!*07)<1»7-

(32)

0,0002 0,00015 0.0С01 0,00005 О

— — — —

—

а,

200 400 600 800 1000

1 резонансная частота к- 2 резонансная частота

(О

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

♦— ------ ------

Г -----

£ -- --- 85

им* На**1

а,

О 200 400 600 800 1000

(I)

-1 резонансная частота -2 резонансная частота

Рис.7 Рис.8

На рис.7 и рис.8 приведены графики изменения Б и 3 в зависимости от

коэффициента а0

О)

«То'

3 N

силы вязкого сопротивления системы

пассивной виброзащиты. Из графика следует, что значение а'0, при котором критерий Б (или I) достигает минимального значения можно считать оптимальным.

В аягой главе диссертации рассмотрены кинематически возбуждаемые колебания спиральной пружины относительно состояния равновесия. Спираль связана с вибрирующим основанием, поэтому нагружается распределенными силами инерции. Так как .рассматриваются колебания относительно нагруженного состояния, то предварительно определяется статическое напряженно-деформированное состояние (спираль нагружается моментом Т, приложенным к втулке, рис.9). При нормальной работе спираль должна оставаться в плоскости, поэтому необходимо, чтобы параметры спирали были такими, при которых момент Т был бы меньше критического (иначе спираль выйдет из плоскости). В главе определяется статическое напряженно-деформированное состояние спирали и исследуются ее колебания при кинематическом возбуждении в

о

Б

а'(Т)

Рис.9

плоскости осевой линии. Определены часто!ы и амплитуды установившихся кинематически возбуждаемых колебаний в зависимости от момента Т. В таблице 1 представлены значения

критического крутящею

момента 'Г', в зависимости от отношения радиусов г,/г0 , отношения жесткостей

А22/А33 и числа витков спирали п. На рис.10 приведены графики значений первых трех собственных частот свободных колебаний спирали в зависимости от момента Т.

п = 6 п= 1 2 п=16

А н ! А 1,5 2 3 1,5 2 3 1.5 2 3.

т 0,25 2,4 2,2 2.2 2,3 2,2 2 2,3 2,3 2

0.5 4,5 3,9 3.7 4,1 3,9 3,9 4 3.9 3,89

1 _ 6,8 6,4 — 6,5 6,4 6,9 6,5 6,24

2 — — — — 9,1 8,7 — 1 1 10,7

200 175 150 125 100 75 50 25 0

'¿.'.- ...................~ ---

■ .........Р......"- - -Л---—

♦-1 ■ -.......... !

-1 частота | - 2 частота! -3 частота I

0 12 3 4

Рис. 10

Основные выводы.

!. Разработаны методы численного решения уравнений равновесия криволинейных стержней, имеющих локальные связи.

2. Получены уравнения равновесия плоского криволинейного стержня (спирали) при критическом состоянии и после потери устойчивости. Изложен алгоритм определения критического момента, при котором спираль теряет устойчивость с выходом из плоскости. Особенность этой задачи заключается в том, что критическое состояние спирали определяется из нелинейных уравнений равновесия.

3. Разработан алгоритм численного определения собственных значений и собственных векторов при свободных колебаниях криволинейного стержня, имеющего локальные связи.

4. Получены уравнения малых колебаний стержня (трубопровода) при локальном кинематическом возбуждении (при принудительных линейных или угловых смещениях сечений стержня).

5. Разработан приближенный метод решения уравнений (системы уравнений в частных производных) установившихся колебаний при кинематическом возбуждении. Численным решением уравнений вынужденных колебаний определено динамическое напряженно-деформированное состояние стержня, которое необходимо знать при оценке прочности и долговечности трубопровода.

6. Получены уравнения и разработан численный метод анализа влияния локальной пассивной виброизоляции при кинематическом возбуждении на уровень вибраций. Определены оптимальные параметры системы амортизации (коэффициент силы вязкого сопротивления), при которых введенный критерий качества (интеграл по длине трубопровода от амплитудных значений эквивалентного напряжения) достигает минимального значения при заданной частоте кинематического возбуждения.

7. Получены уравнения и разработан численный метод исследования колебаний спирали при кинематических смещениях основания.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Буда-Красновский C.B., Лагозинский С.А., Светлицкий В.А! Устойчивость плоской спирали // Вестник МГТУ. Сер.Машиностроение. - 1999г.-N1.-C.84-91.

2. Буда-Красновский C.B. Определение собственных значений и собственных векторов криволинейного трубопровода, заполненного потоком жидкости // Деп. рук. ВИНИТИ. - 1999. - №1529-В99. - 14с.

3. Буда-Красновский C.B., Лагозинский С.А., Светлицкий В.А. Статическая и динамическая устойчивость плоских криволинейных стержней // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: Тезисы докладов V Международного симпозиума. - М., 1999. - С.26-27.

Подписано к печати Зак. № ~ff)Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз.

Типография МГТУ им. Н.Э.Баумана.