Применение метода граничных интегральных уравнений к исследованию колебаний пространственных трубчатых конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 534

КРЫЛОВА Ольга Валерьевна

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ КОЛЕБАНИЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТРУБЧАТЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Специальность 01.02.04 «Механика деформируемого твердого тела»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена на кафедре сопротивления материалов Санкт-Петербургского государственного морского технического университета

Научный руководитель:

- доктор технических наук, профессор

СОРОКИН Сергей Владиславович

Официальные оппоненты:

- заслуженный деятель науки и техники России,

доктор технических наук, профессор

ПОСТНОВ Валерий Александрович

- доктор технических наук ГОЛОВАНОВ Владимир Иванович

Ведущая организация:

- Институт проблем машиноведения РАН

Защита диссертации состоится «// » ОМеш 2006 г. в /4 часов на заседании диссертационного ответа Д.212.228.02 в Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете по адресу: 190008, С.-Петербург, ул. Лоцманская, д.З

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГМТУ

Автореферат разослан « /?» ш1^7^20061

Ученый секретарь диссертационного

совета П.212.228.02

кандидат технических наук, доцент

Кадыров С.Г.

2.0О6 А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Разработка эффективных методов расчета распространения колебательной энергии по сложным конструкциям представляет собой важную практическую задачу механики деформируемого твердого тела, что и определяет актуальность данного диссертационного исследования. Решение такой задачи тесно связано с проблемой борьбы с вибрацией, которая не только неблагоприятно влияет на прочность и долговечность конструкций, но и приводит к излучению звука (механическому шуму), оказывающему вредное воздействие на здоровье человека. К упомянутым сложным конструкциям относятся, в частности, трубопроводные системы, применяемые повсеместно в судостроении, энергетике, авиастроении, нефтяной, газовой, химической и других отраслях промышленности. Проектирование этих систем, контроль их состояния при эксплуатации для обеспечения безопасности и малошумности неразрывно связаны с необходимостью выполнения трудоемких вибрационных расчетов.

Хотя элементы трубопровода пространственной конфигурации представляют собой упругие цилиндрические оболочки, заполненные сжимаемой жидкостью, их расчетной моделью в практически значимом диапазоне частот может служить пространственная составная стержневая конструкция (прямые трубчатые стержни).

На практике трубопроводные системы находятся в условиях, когда происходит рассеивание колебательной энергии, вызванное как внутренними потерями в материале, так и излучением звука в окружающую акустическую среду. Это обстоятельство приводит к тому, что волна, создаваемая каким-то источником, затухает на определенном расстоянии от точки возмущения. В частности, если конструкция достаточно длинная, хоть и конечная, а демпфирование не слишком мало, то амплитуда волны, отраженной от удаленной границы, оказывается значительно меньше амплитуды прямой волны. В этих случаях моделирование трубопровода как бесконечной или полубесконечной системы является адекватным.

Колебания трубопроводов носят сложный характер в связи с тем, что перенос механической энергии в них происходит распространяющимися волнами различных типов (продольными, крутильными и изгибными). При анализе этих колебаний особое внимание следует уделять не только возможности максимального предотвращения возникновения вибра ать

з

затруднительно), но и ослаблению интенсивности колебаний тех или иных типов, а также снижению звукоизлучения в заданных диапазонах частот. Эти мероприятия можно осуществлять путем модификации геометрических и жесткостных параметров составных элементов колебательной системы, что предполагает необходимость детального изучения специфики волновых процессов.

Важными характеристиками волновых процессов в протяженных пространственных конструкциях являются потоки энергии, переносимые каждой компонентой деформации, и суммарные потоки энергии, найденные при фиксированной частоте или же в некотором диапазоне частот, а также амплитуды перемещений, длины распространяющихся волн и их фазовые и групповые скорости. Разработанный в диссертации метод граничных интегральных уравнений (МГИУ) позволяет определить все упомянутые выше характеристики для трубопроводов произвольной конфигурации, а представленные результаты расчетов иллюстрируют особенности перераспределения потоков энергии как между стержнями, образующими ветвления, так и между перечисленными типами распространяющихся волн, что позволит контролировать потоки энергии в таких конструкциях.

Цель диссертационной работы состоит в разработке МГИУ и демонстрации эффективности его применения к детальному анализу свободных и вынужденных гармонических колебаний одномерных пространственных конструкций, состоящих из прямых трубчатых стержневых элементов (трубопроводы пространственной конфигурации с ветвлениями).

Постановка задач, которые решены в данной диссертационной работе упомянутым методом, предполагает выполнение следующих расчетов: 1) определение амплитуд вынужденных колебаний стержневых элементов рассматриваемых конструкций; 2) количественная оценка потоков энергии по каждой компоненте деформации и суммарных потоков энергии, распространяющихся по стержневым элементам при заданной частоте возмущения и в диапазоне частот; 3) поиск типов доминирующих деформаций в переносе энергии на каждом из стержневых элементов; 4) исследование возможности контроля переноса энергии в конструкции при заданных условиях возмущения, в частности, посредством изменения геометрических и жесткостных характеристик ее элементов.

Научная новизна работы заключается в следующих результатах, выносимых на защиту:

• разработана общая формулировка МГИУ для расчета свободных и вынужденных колебаний пространственных конструкций, состоящих из прямых тонкостенных стержней трубчатого поперечного сечения, позволяющая получить точное решение задачи как в случае конструкции конечной протяженности, так и для «открытых» (полубесконечных) конструкций;

• получены решения модельных задач о распространении вибрации по пространственным полубесконечным стержневым системам;

• проведено параметрическое исследование зависимости особенностей переноса энергии от характеристик геометрии и материала элементов рассмотренных стержневых конструкций.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты представляют собой вклад в теорию граничных интегральных уравнений и в теорию линейной динамики стержневых конструкций. Разработанные алгоритмы и программы, выполненые в стандартном пакете Mathematica фирмы «Wolfram Research, Inc.», обеспечивая необходимую точность получаемых результатов, легко могут быть применены для вибрационных расчетов пространственных стержневых конструкций любых конфигураций.

Достоверность результатов, полученных МГИУ для тестовых задач, определяется их совпадением с численными решениями, найденными при помощи стандартных пакетов конечно-элементного анализа ANSYS, COSMOS/M.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на ХХ1-ой международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (BEM-FEM-2005, СПб, 2005); семинаре по механике СПбГМТУ (СПбГМТУ, 2004); научно-технической конференции по строительной механике корабля «Бубновские чтения» (СПбГМТУ, 2004); международной конференции «Advanced Problems in

Mechanics - 2004» (СПб (Репино), 2004); научно-технической конференции «Кораблестроительная наука и образование» (СПбГМТУ, 2003).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 конференционных и депонированных статей, их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав (включая обзор литературы), заключения, списка литературы из 102 наименований и трех приложений. Работа изложена на 130 страницах текста, содержит 33 таблицы и проиллюстрирована 53 рисунками.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы исследований, сформулированы цели и задачи работы. Дана характеристика научной новизны, указано практическое значение полученных результатов, а также приведены сведения об их апробации.

Первая глава диссертации содержит описание существующих методов расчета вибрации трубопроводов, а также обзор литературы, относящийся к предмету и различным методам исследования потоков энергии в подобных конструкциях.

Наиболее распространенным методом анализа вибрации одномерных стержневых систем является классический метод конечных элементов (МКЭ). Любой конечно-элементный анализ колебаний стержневых конструкций (по крайней мере в классической форме) ограничен определением спектра собственных частот и набора собственных форм (решение в стоячих волнах) для систем конечной длины. Поэтому в последнее время все более широкое распространение получают различные модификации МКЭ (в частности, метод спектральных элементов), использующие динамические матрицы жесткости (В.А. Постнов, S. Finnveden, К.М. Ahmida, Н. Igawa, К. Komatsu, J.R.F. Arruda). Эти модификации позволяют точно описать динамические свойства базисного конечного элемента, и в силу этого обстоятельства они более приспособлены к исследованию волновых процессов в стержневых конструкциях. Несмотря на то, что существо такого подхода достаточно близко методологии граничных уравнений, представленной в диссертационной работе, принципиальным преимуществом последней является использование функций Грина, которое обеспечивает значительно большую устойчивость алгоритмов расчетов.

В последние десятилетия разрабатываются различные «гибридные» методы расчета вибрации сложных стержневых конструкций (М. Heckl, R.H. Lyon, К. Shankar, A.J. Keane, R.S. Langley), которые можно объединить как Statistical Energy

Analysis (SEA). Эти методы позволяют с одной стороны предсказать резонансные эффекты в подсистемах, на которые разбиваются рассматриваемые конструкции и которые рассматриваются как конечные, а с другой - дать оценку величины потоков энергии между подсистемами как при фиксированных частотах возбуждения, так и в широких частотных диапазонах. Таким образом, эти методы представляют собой достаточно надежный и удобный инструмент анализа переноса колебательной энергии в составных конструкциях, в том числе, в трубопроводах.

Разработанный в диссертации вариант МГИУ пригоден для единообразного применения к решению задач стационарной динамики пространственных составных стержневых конструкций конечной длины и полубесконечной протяженности при их произвольных конфигурациях и позволяет получать точное решение задачи в рамках выбранного варианта теории стержней. Данный метод приспособлен для детального анализа особенностей распространения энергии в полубесконечных системах, что представляет собой главный предмет диссертационного исследования. Использование матрицы Грина, элементы которой в рассматриваемых задачах имеют простой аналитический вид, дает возможность применять МГИУ (подобно SEA) и для решения задач при действии на конструкцию широкополосной (в частотном диапазоне) нагрузки. Таким образом, МГИУ обладает определенными преимуществами перед стандартными методами.

Во второй главе реферируемой диссертации сформулирован общий алгоритм МГИУ применительно к задачам теории колебаний стержней. Структура этого алгоритма проиллюстрирована на модели полубесконечной конструкции (рис. 1). Каждый из составляющих ее элементов в целом рассматривается как волновод, в котором могут распространяться все типы волн, присущие стержневым системам.

Соответствующие компоненты деформации в локальной системе декартовых координат XYZ (рис. 2) являются функциями одной переменной (осевой координаты и обозначаются как: uk - продольные перемещения в направлении осей стержневых элементов (ось Ох);

wk, vk - поперечные перемещения в направлении осей Oz, Оу соответственно;

Фк - углы закручивания в сечениях с координатами х в плоскости yOz;

w*k, v'k— углы поворота при поперечных перемещениях; lk - длина к-го стержневого элемента.

•к:

«0) >.(0)

«ш

Рис. 1. Полубесконечная пространст- Рис. 2. Компоненты деформации венная стержневая конструкция стержневого элемента

Дифференциальные уравнения свободных колебаний каждого стержневого элемента могут быть получены из условий стационарности интеграла действия Нк, т. е. из условия 5Нк=0:

<2 I

нк=Яп;-ч)<1хл.

V 0

где Тк - кинетическая энергия бесконечно малого элемента стержня; Ук - потенциальная энергия бесконечно малого элемента стержня. Дифференциальные уравнения продольных, крутильных и изгибных колебаний в плоскостях хОг и хОу для к-го стержневого элемента имеют стандартный вид и здесь не приводятся.

Граничные уравнения записаны для каждого типа колебаний к-го стержневого элемента составной пространственной конструкции. Условия стыковок стержневых элементов представлены для типичных вариантов ветвлений под прямыми углами (уравнения сплошности и равновесия). Граничные условия, если таковые необходимы, могут быть сформулированы в виде произвольных условий от жесткой заделки до полностью свободного края.

Алгоритм формирования системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), имеющей матрицу блочного типа, для исследований свободных и вынужденных изгибно-крутильно-продольных колебаний пространственных составных стержневых конструкций с произвольными конфигурациями ветвлений проиллюстрирован на примере составной конструкции конечных размеров без ветвлений.

В диссертационной работе рассматриваются трубчатые стержни, в которых скорость протекания жидкости пренебрежимо мала по сравнению со скоростью распространения волн деформаций и звука. Это позволяет учитывать жидкость в качестве

присоединенной массы, не оказывающей на жесткость конструкции никакого влияния.

В главе три с целью верификации разработанных алгоритмов и программ решена тестовая задача о свободных колебаниях составной стержневой конструкции конечной длины (рис. 3). Для нее найдены значения собственных частот колебаний нескольких низших тонов, полученных МГИУ, с помощью стандартных конечно-элементных пакетов ANSYS и COSMOS/M, а также приближенного аналитического решения. Показано, что результаты МГИУ и МКЭ практически совпадают.

Для стержневой конструкции той же конфигурации, но с участком неограниченной протяженности (рис. 4), методом ГИУ построены амплитуды вынужденных колебаний (таблица 1). Из рисунков табл. 1 в частности видно, как происходит формирование бегущей волны на участке полубесконечной протяженности. Рассматриваются три случая нагрузки в виде гармонической силы единичной интенсивности, действующей на стержне 1 в трех взаимно перпендикулярных направлениях (совпадающих с координатными осями) при с^Ц/2 м с частотой 40 Гц. Параметры стержневых элементов конструкции рис. 4 следующие (к= 1, 2, 3): рк=7800 кг/м3; Ек=2,1-1011 Па; Gk=8-1010 Па; Мк=0,3; и их геометрические характеристики: 11=12=1 м, l3->eo; dk=0,0275 м; ak=(dk-2hk)/dk=0,8182.

Как известно, суммарный поток энергии через поперечное сечение произвольного стержня имеет вид

и содержит следующие составляющие:

ми];

ми]; ыы]

В представленных формулах: Ек1Л \л^к) - изгибающий момент в плоскости хОг; Ек1у«;(^) - поперечная сила в плоскости хОг; Ек1 Ук'Кк) - изгибающий момент в плоскости хОу; Ек1 у"^) - поперечная сила в плоскости хОу; ЕкАкик(5к) - продольная сила; О^МЫ - крутящий момент.

В связи с тем, что для подавления переноса энергии волнами различных типов (например, изгибными или крутильными) необходимо использовать демпфирующие устройства соответствующего типа, важно определить какой тип деформации является доминирующим в переносе энергии на каждом из стержневых элементов составной полубесконечной конструкции. В диссертационной работе показано, что при переходе от одного элемента конструкции к другому «доминирующая» составляющая может меняться.

Кроме того, было обнаружено, что полубесконечная конструкция (рис. 4) проявляет резонансные свойства, присущие конечной конструкции. Кривые зависимости суммарных потоков энергии от частоты возбуждения для каждого стержня имеют изолированные резонансные пики, возникающие при одних и тех же значениях частот. Оказалось, что значения таких дискретных спектров низших резонансных частот соответствуют собственным частотам первых трех тонов (колебания в соответствующих плоскостях) для конечной конструкции той же конфигурации (рис.3), полученных при верификации метода. Следовательно, в полубесконечной составной конструкции помимо сплошного спектра частот, который определяет связь между частотой возбуждения и волновым числом распространяющейся волны, существует дискретный спектр собственных колебаний, которому отвечают нераспространяю-щиеся моды колебаний, получившие название «ловушечных» и подробно исследованные в работах Д.А. Индейцева.

Амплитуды вынужденных колебаний Таблица 1

лолубесконечной конструкции без ветвлений. Колебания в плоскости хОг при действии силы Р1 с частотой ВДО Гц

— -ГЗе, -- -!т_

Стыковка компонент деформации, м

Стержень 1

Стержень 2

Стержень 3

\«Д) = ю2(0); *2(12) = \лг3(0)

-2х 10"6| -4х10"6 -бхЮ"6

-8х10"6|___

О 02 04 06 08 1 ? 1

Ке[\л/2];1т[\я/2]

Р1е[\лд;1т[\*3]

2x10"® 0

-2x10"® -4x10"® -6x10"® -8x10

0 02 04 06 0 (2

В 1

зхю~! 2.5x10-® 2x10"® 1 5x10"? 1x10"® 5х10-7 О

-5x10 7

\ , \ \ / ,

4 6

8 10

Ие^Щф,]

4хЮ-®| " " ]

Зх1(Г®| !

2x10-® 1x10-®

0--- -

-1x10"®!-______- - )

О 02 04 0.6 0.8 1 ¿1

Ре[\«2];1т[\«2]

Ре[ф3];1т[ф33

00000175 0.000015 0 0000125 0 00001 7 5х 10"6 5* 10~6 2 5x10"® 0

02 04 06

(г

О 20 40 60 80 <3

Ке[ср2];1т[ф2]

«;(11) = -<р2(0); Ч>2(12) = ^(0)

о

-5x10-* -0 00001 -0 000015

0.000015 0 00001 5x10"® О

Кфуз];1т[ууз]

1x10"® О

-1x10"® -2x10"® -3x10"® -4x10"®

О 02 04 06 08 £ 1

О 0.2 0 4 0.6 0.8 1 £2

4 6 £3

8 10

Глава четыре демонстрирует применение разработанного алгоритма МГИУ к анализу суммарных потоков энергии в трех типовых полубесконечных конструкциях сложных конфигураций: с плоским ветвлением (рис. 5а), с пространственным ветвлением (рис. 56) и со сложным пространственным ветвлением (рис. 5в). Перечисленные конструкции, разумеется, не исчерпывают все возможные варианты конструктивного решения реальных систем, но их исследование дает достаточно ясное представление об эффектах, которые могут возникать в конструкциях более сложных конфигураций.

Рис. 5. Полубесконечнечная стержневая конструкция с ветвлением: а - плоским; б - пространственным; в - сложным пространственным

Выбранные конфигурации стержневых элементов представляют собой наиболее характерные возможные варианты ветвлений трубопроводных систем. Алгоритм решения аналогичен сформулированному в главе три для полубесконечной конструкции без ветвлений. Расчеты выполнены при тех же случаях возбуждения с такими же параметрами стержневых элементов.

Очевидно, что конструкция с плоским ветвлением в зависимости от направления действующей нагрузки будет совершать колебания в плоскости хОг или хОу, а две другие конструкции совершают вынужденные колебания в пространственной форме при любом способе возбуждения. Количественная оценка потоков энергии для всех трех конструкций представлена в таблицах 2, 3 и 4.

Из табл. 2 видно, что если на конструкцию с плоским ветвлением действует поперечная сила Р^ то суммарный поток энергии со стержня 1 максимально переносится на стержень 3, в данном ответвлении он распространяется преимущественно изгибными в плоскости нагрузки волнами, а также крутильными. При действии силы Р2 основная часть энергии со стержня 1

передается на стержень 2 (его величина на стержне 2 в два раза больше, чем на стержне 3), в этом ответвлении суммарный поток энергии переносится и изгибными волнами в плоскости нагрузки, и продольными. При действии продольной силы Р3 так же, как и в случае нагрузки силой Р2, суммарный поток энергии переносится теми же типами волн, но теперь он максимален на стержне 3.

Таблица2 Потоки энергии по конструкции с плоским ветвлением

Потоки энергии х1(Г*. Вт Стержень

1 (0,5<1<1) 2 (0<2<«) 3 (0<^з<-)

Р1 Р2 Рз Р1 Р2 Рз Р1 Р2 Рз

^ 37893 0 0 8798 0 0 28631 0 0

0 5230 0 0 1896 0,0652 0 1618,8 0,005

0 0 3,87 0 1715 0,0002 0 0,0095 3,791

N9k 0 0 0 336 0 0 129 0 0

ы1к 37893 5230 3,87 9134 3611 0,0654 28759 1619 3,796

Из данных, приведенных в табл. 3 видно, что в конструкции с пространственным ветвлением действие поперечной силы Р-| или Р2 вызывает интенсивные изгибные колебания стержней конструкции, лежащих в плоскости нагрузки. При этом суммарный поток энергии максимален в ответвлении, направление которого совпадает с направлением действия силы. Поток энергии в стержне, лежащем в плоскости, перпендикулярной плоскости возбуждения, относительно мал.

В конструкции же со сложным пространственным ветвлением при действии поперечной силы и Р^ и Р2, в отличие от предыдущих конструкций, энергия изгибных колебаний со стержня 1 в наибольшей степени переносится на стержень 2 преимущественно волнами изгибных колебаний в плоскости нагрузки (табл. 4).

Распределение суммарных потоков энергии между стержнями 3, 4, 5 различно в зависимости от направления действующей нагрузки. В случае действия силы Р-,, энергия в основном переносится на стержень 5, в нем он распространяется преимущественно изгибными волнами в плоскости, перпендикулярной плоскости нагрузки, а также продольными. При этом изгибные волны в плоскости действия нагрузки переносят несколько меньше энергии в стержне 4, чем в стержне 5. В случае же действия нагрузки Р2 поток энергии максимально переносится на

стержень 4 (его величина оказывается существенно больше, чем на стержне 5), в нем он распространяется преимущественно изгибными волнами в плоскости нагрузки. При действии же продольной силы Р3 суммарный поток энергии в основном распространяется на стержень 3, а затем на стержень 4, являющиеся продолжениями стержня 1.

Кривые зависимости суммарных потоков энергии на каждом стержне рассматриваемых конструкций от частоты возбуждения также имеют резонансные пики (таблица 5). Это говорит о наличии дискретного спектра частот колебаний и в таких конструкциях.

Для конструкций с плоским и пространственным ветвлениями частоты полученных спектров оказываются лежащими между соответствующими собственными частотами отдельно взятого стержня 1, найденных в предположении, что его правая граница или жестко заделана, или свободна. Именно в этих диапазонах наблюдаются максимумы суммарных потоков энергии на каждом стержне данной конструкции, так как смежные стержни 2 и 3 для конструкции с плоским ветвлением, и 2 - 4 для конструкции с пространственным ветвлением играют роль упругих заделок. В принципе эффективные коэффициенты податливости и демпфирования могут быть найдены по полученным значениям резонансных частот.

Зависимость энергии от частоты возбуждения при действии силы Р-, для конструкции со сложным пространственным ветвлением имеет гораздо больше резонансных пиков. Частоты, на которых наблюдаются эти пики, отвечают частотам собственных колебаний длинного стержня (составленного из стержней 1 и 3), подкрепленного уже двумя упругими опорами.

В диссертационной работе исследовано влияние характеристик геометрии и материала стержневых элементов конструкций на распределение суммарных потоков энергии при выбранных условиях возбуждения.

На рис. 6а - 8а представлены графики зависимости потоков энергии по каждой компоненте деформации и суммарных потоков энергии от диаметра стержня 2 (0,01<с12<0,07 м), а на рис. 66 - 86 от диаметра стержня 3 (0,01<с1з<0,07 м), построенные для пространственной полубесконечной конструкции с плоским ветвлением. Полученные данные относятся к нагружению стержневой системы силой Р, единичной интенсивности с частотой f=40 Гц, потоки энергии переносятся изгибно-крутильными волнами.

Потоки энергии по конструкции с пространственным ветвлением

Таблица 3

Потоки энергии хИТ", Вт Стержень

1(0,5<41<1) 2 (0<$2<-) 3 (0<$3<~) 4 (0<$4<-о)

Р1 Р2 Рз Р1 Р2 Рз Р1 Р2 Рз Р1 Р2 Рз

5240 0 0 23,62 4 0,000003 1615,6 0,001 0,0005 4 24 0,000003

IV 0 5240 0 0,003 1885 0,065151 0,001 1615,58 0,0005 1885 0,003 0,065151

Ник 0 0 4 0,071 1663 0,000144 0,095 0,095 3,7966 1663 0,071 0,000144

И* 0 0 0 48,34 0 0,000119 0,095 0,095 0 0 48 0,000119

И» 5240 5240 4 72 3552 0,1 1616 1616 3,8 3552 72 0,1

Потоки энергии по конструкции Таблица 4

со сложным пространственным ветвлением

Потоки энергии хЮ-*, Вт Стержень

1 (0,5<^<1) 2 <0<$2<~) 3 (0<£з<"°) 4 0<$4<~) 5

Р1 Р2 Рз Рт Р2 Рз Р1 Р2 Рз Р1 Р2 Рз Р1 Р2 Рз

^ 48420 0 0 32499 4,5 0,00395 15174 0,6 -0,0039 6064,9 0,25 0,0025 452 242 0,0004

И* 0 4754 0 7 1859 0,06769 -9,8 1195 0,0034 95 931 0,0029 6775,6 0,3 0,0639

Мик 0 0 4 2 1700 0,00009 0,1 0,11 3,8731 1,4 0,09 3,8027 2331,8 0,1 0,0001

Г^к 0 0 0 172 0,001 0,00001 575,5 -5,14 -0,0001 19 3,93 0,00002 0,3 13 0,00004

48420 4754 4 32680 3563 0,0717 15740 1191 3,8726 6180 936 3,80812 9560 255 0,0645

Суммарные потоки энергии Таблица 5

в зависимости от частоты, распространяющиеся по конструкциям с плоским, пространственным и со сложным пространственным ветвлением

Конструкция Р1 р2 Рз

плоское ветвление 00012 0001 0 0008 •"•юоооб 00004 00002 0 0 1000 2000 3000 4000 ' Гц 0 004 0 003 N10002 0 001 01 0 Л- ..А____ 1000 2000 3000 4000 Гц 000007 ~\ 000006 ' Л 000005 Ч 0 00004) Ч ^•оооооз! \ 0 00002. \ 0000011 \ V 1000 2000" Зобб 40бсГ '.Гц

пространственное ветвление 0 004 0 003 N2)0 002 0.001 0 ____Л___ 1000 2000 3000 4000 1 Гц 0 004 Г 0 003) 0 002 0 001 0^ 0 ^__ 1000 2000 3000 4000 Гц 0 00008Г > \ о 00006; / ■ 0 00004 \ 000002 \ 0 1000 2000 3000 4000 '.Гц

сложное пространственное ветвление 0.004 0.003 N10 002 0 001 0 У А /V—__ 0.005 -0 004 0 003 N1 0.002 0 001 Л..____ 0 00006 000006 |<|1000004 0 00002 0 /

0 250 500 750 10001250 1500 '/ц 0 250 500 750 100012501500 Г.ГЦ 0 500 1000 1500 2000 2500 '.Гц

На всех представленных графиках изображены линиями: - суммарный поток энергии на стержне 1;__-2;_._-3;___-4;....-5.

Мои,"

0.00008 0.00006 0.00004 0.00002

0.0001 0 00006

.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 07 ¿2. м

0 01 002 0 03 0 04 005 006 007 <1з,м

а б

Рис. 6. Потоки энергии изгибных колебаний (сила Р1) при 0,01<с12<0,07 м, dз=0>0275 м (а) и при 0,01<сЬ<0,07 м, с!г=0,0275 м (б)

Мей»

Чм»

0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 <32, м

1 4x10 е'" 1 2x10 е 1 хЮ-6' 8x10 7; 6x10 7 4x10 7! 2х10"7-

001 002 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 м

Рис. 7. Потоки энергии крутильных колебаний (сила Р1) при 0,01<с12<0,07 м, сЬ=0,0275 м (а) и при 0,01<с1з<0,07 м, сЬ=0,0275 м (б)

000008 [ о.ооооб >"

Мои,"*»

000004

I

0.00002*

00001 0.00008 ^ум» 0.00006 000004 0 00002

\

001 002 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 «2.М

001 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 с&м

а б

Рис. 8. Суммарные потоки энергии (сила Р1) при 0,01«12<0,07 м, <1з=0,0275 м (а) и при 0,01<б3<0,07 м, d2=0,0275 м (б)

Как видно на рис. ба, при малом значении д2 поток энергии со стержня 1 (его величина принимает наибольшее значение при с12=С),058 м) максимально распространяется на стержень 3, переносимый в основном изгибными колебаниями (таким образом, фактически рассматриваемая конструкция представляет собой

прямой стержень, состоящий из стержней 1 и 3). При увеличении с12 поток энергии изгибных колебаний на стержне 2 возрастает, кроме того, возрастают потоки энергии от крутильных колебаний в стержнях 2 и 3 (рис. 7а), причем наиболее существенно это происходит в стержне 2, поскольку он присоединен в плоскости, перпендикулярной плоскости нагрузки.

Как видно на рис. 66, при малом значении с13 поток энергии со стержня 1 (его величина принимает наибольшее значение при с)3=0,0183 м) максимально распространяется на стержень 2, переносимый также в основном изгибными колебаниями (фактически рассматриваемая конструкция представляет собой соединение стержней 1 и 2 под прямым углом). С увеличением с13 поток энергии от изгибных колебаний на стержне 3 резко возрастает (его величина максимальна при с)3=0,02 м), а от крутильных колебаний на стержне 2 (рис. 76) резко уменьшается. В то же время поток энергии от изгибных колебаний на стержне 2 снижается.

Очевидно, что изменение диаметров стержней, образующих ветвления, играет существенную роль в распространении колебательной энергии в конструкции и позволяет снижать поток энергии в заданном направлении. Если нужно, например, минимизировать поток энергии на стержне 3, то необходимо увеличивать диаметр стержня 2, и наоборот.

На рис. 9а-11а продемонстрированы соответствующие зависимости отношений потоков энергии по каждой компоненте и суммарных потоков энергии к потоку энергии, подводимой к рассматриваемой конструкции, от диаметра стержня 2 (0,01<с12<0,07 м), а на рис. 96-116 - от диаметра стержня 3 (0,01<с!3<0,07 м). На данных графиках наблюдаются те же характерные особенности распространения колебательной энергии.

1 0.8 Мои," о.в N¡■4»* 0.4 02!

" - - -. 1 0.8

N04" 0.6 ^ 0 4 / ' \

- - - " 0.2 '— - — _ _

1.01 0.02 0.03 0.04 0 05 0.06 0 07 с12, м

0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07

<>з. м

а б

Рис. 9. Отношение потоков энергии (сила Р1) при 0,01<с12<0,07 м, с13=0,0275 м (а) и при 0,01<с1з<0,07 м, сЬ=0,0275 м (б)

0.1 г 0.08 [ 0.061 0.041

002!

0.01 О 02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 07 с<2. м

0 0175 0 015 0 0125

Мот* 001

1Мшри, 0.0075 0005 0 0025 0

\

\

\

\

\

n

______ -______

О 01 О 02 0 03 0 04 О 05 О 06 0 07

<^3. м

а 6

Рис. 10. Отношение потоков энергии (сила Р1) при 0,01<с)2<0,07 м, dз=0,0275 м (а) и при 0,01<с1з<0,07 м, с12=0,0275 м (б)

1 08

N„/^06 N»»1111 04

02 <ь

01 0 02 0 03 0.04 0 05 0 06 0.07 ¿2, М

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 (Ь, м

а б

Рис. 11. Отношение суммарных потоков энергии (сила Р1) при 0,01<с(2<0,07 м, (¡з=0,0275 м (а) и при 0,01<б3<0,07 м, с!2=0,0275 м (б)

Важной задачей параметрического исследования также является и оценка влияния жесткостных параметров стержней на распространение потоков энергии. Результаты детально проиллюстрированы в диссертационной работе.

Выполненные исследования показывают, что с помощью подбора стержневых элементов с необходимыми характеристиками геометрии и материала можно управлять, и, следовательно, оптимизировать распространение энергии по трубчатым конструкциям с ветвлениями (функция цели - поток энергии, параметры проектирования - геометрические и жесткостные характеристики стержневых элементов). К тому же было установлено, что и направление действия возмущающей нагрузки существенно влияет на характер распространения потоков энергии при изменении диаметра одного из ветвлений.

В данной главе также выполнен расчет полубесконечной конструкции со сложным пространственным ветвлением, два стержневых элемента которой подкреплены пружинами.

Исследована чувствительность такой конструкции к изменению коэффициентов их жесткостей.

Приложение содержит вывод функций Грина для всех рассматриваемых в диссертации типов колебаний, а также формулировку типичных вариантов условий стыковок стержневых элементов.

Заключение. В заключении представлены основные результаты выполненного исследования:

• сформулирован общий алгоритм МГИУ, который одинаково пригоден для анализа стоячих волн в пространственных составных стержневых конструкциях конечной длины и для анализа распространения волн в полубесконечных стержневых конструкциях;

• проведена верификация разработанного алгоритма МГИУ на примере решения тестовой задачи;

• проанализированы особенности распространения колебательной энергии для трех типовых полубесконечных пространственных составных конструкций (с плоским ветвлением, с пространственным ветвлением и сложным пространственным ветвлением). Показано, что в точках ветвлений происходит перераспределение потоков энергии как между стержнями, образующими ветвления, так и между типами распространяющихся волн. Характер таких перераспределений зависит и от конфигурации конструкции, и от рассматриваемого способа возбуждения колебаний;

• на участках стержневых элементов между точками стыковок обнаружены эффекты локализации волнового движения, возникновение которых объяснено при помощи анализа потоков энергии;

• исследовано влияние характеристик геометрии и материала стержневых элементов конструкции на распределение в ней суммарных потоков энергии. Выяснено, что роль характеристик геометрии более существенна, чем материала;

• исследована возможность контроля переноса энергии при заданных условиях возмущения;

• разработан комплекс алгоритмов и программ для расчетов свободных и вынужденных колебаний пространственных стержневых конструкций различных конфигураций с любыми характеристиками геометрии и материала их элементов при воздействии произвольных нагрузок.

Публикации по теме диссертации

1. Крылова О.В., Сорокин С.В. Применение метода граничных интегральных уравнений к исследованию стационарной динамики пространственных конструкций // Сборник докладов научно-технической конференции «Кораблестроительная наука и образование», С.-Петербург, СПбГМТУ, 13-15 мая 2003, с. 408-414.

2. Крылова О.В., Сорокин С.В. Применение метода граничных уравнений к анализу стационарных колебаний и потоков энергии в пространственных конечных и полубесконечных конструкциях, состоящих из трубчатых элементов // Ргос. of the XXXII Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics», St Petersburg, Russia, 2004; 246-249.

3. Крылова O.B. Влияние геометрических и жесткостных параметров полубесконечных стержневых конструкций, составленных из трубчатых элементов, на распространение в них волн упругих деформаций // Тезисы докладов научно-технической конференции, посвященной 100-летию кафедры строительной механики корабля «Бубновские чтения», С.-Петербург, СПбГМТУ, 18-19 ноября 2004, с. 8990.

4. Крылова О.В. Формирование системы линейных алгебраических уравнений в методе граничных уравнений при решении задач стационарных колебаний стержневых конструкций // Рукопись деп. СПбГМТУ в ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова 12.01.05., № ДР-3968. — 7с.

5. Крылова О.В. Анализ распространения потоков энергии в полубесконечных стержневых конструкциях методом граничных уравнений // Рукопись деп. СПбГМТУ в ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова 12.01.05., № ДР-3969. — 7с.

6. Крылова О.В. Особенности распределения потоков энергии в полубесконечных стержневых конструкциях с ветвлениями. Проявление резонансных эффектов // Труды XXI Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (BEM-FEM-2005). С.-Петербург, 2005; (2) 307-312.

ИЦ СПбГМТУ, Лоцманская, 10 Подписано в печать 06.03.2006. Зак. 3154. Тир.100.1,1 печ. л.

¿ООбА

»-6297

i

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1. Современные методы расчета вибрации трубопроводов

1.2. Методы исследования потоков энергии

1.3. Основные преимущества МГУ

1.4. Обоснование структуры работы

2. МЕТОД ГРАНИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ СТАЦИОНАРНОЙ ДИНАМИКИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

2.1. Пространственная полубесконечная стержневая конструкция

2.2. Граничные уравнения для всех типов колебаний стержневого элемента

2.3. Граничные условия

2.4. Условия стыковок стержневых элементов пространственных конструкций. Типичные соединения стержней

2.5. Алгоритм формирования СЛАУ

2.6. Влияние протекающей жидкости на решение задач распространения колебательной энергии в стержневых конструкциях

Вибрации деформируемых твердых тел, вызванные действием внешней возмущающей нагрузки, неблагоприятно влияют на прочность и долговечность конструкций и приводят к излучению звука (механическому шуму), оказывающему вредное воздействие на здоровье человека [62]. Поэтому при анализе этих колебаний особое внимание следует уделять не только возможности максимального предотвращения возникновения вибраций (что часто сделать затруднительно), но и ослаблению интенсивности колебаний тех или иных типов, а также снижению звукоизлучения в заданных диапазонах частот за счет конструктивных мер, применяемых на стадии проектирования и эксплуатации различных конструкции. Для этого необходимо изучить специфику волновых процессов, происходящих в рассматриваемых механических системах, и уметь правильно с ними бороться. Разработка эффективных методов расчета распространения колебательной энергии по сложным конструкциям представляет собой важную практическую задачу, что и определяет актуальность данного диссертационного исследования в рамках теории стержней. К упомянутым сложным конструкциям относятся, в частности, трубопроводные системы.

Цель диссертационной работы состоит в разработке метода граничных интегральных уравнений (МГИУ) и демонстрации эффективности его применения к детальному анализу свободных и вынужденных гармонических колебаний одномерных пространственных конструкций, состоящих из прямых трубчатых стержневых элементов - волноводов (трубопроводы пространственной конфигурации с ветвлениями).

Поскольку в диссертационной работе рассматриваются одномерные конструкции, а граничные уравнения формулируются в граничных точках каждой балочной подструктуры, на которые разбивается рассматриваемая конструкция, то применения интегралов, как в МГИУ, не требуется. Тогда формулировку данного метода можно упростить, назвав его методом граничных уравнений (МГУ). Постановка задач, которые решены в данной диссертационной работе упомянутым методом предполагает выполнение следующих расчетов: 1) определение амплитуд вынужденных колебаний стержневых элементов рассматриваемых конструкций; 2) количественная оценка потоков энергии по каждой компоненте деформации и суммарных потоков энергии, распространяющихся по стержневым элементам при заданной частоте возмущения и в диапазоне частот; 3) поиск типов доминирующих деформаций в переносе энергии на каждом из стержневых элементов конструкции; 4) исследование возможности контроля переноса энергии изгибными в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, крутильными и продольными бегущими упругими волнами, распространяющимися по стержневым элементам и между ними в точках стыковок и ветвлений при заданных условиях возмущения, в частности, посредством изменения геометрических и жесткостных характеристик ее элементов.

МГУ широко известен в задачах излучения и отражения звука, но не получил должного развития в теории колебаний таких конструкций. Вероятно, причиной этого является сравнительная сложность математического аппарата, на котором он основан. Универсальность МГУ заключается в том, что он одинаково пригоден для анализа стоячих волн в конструкциях конечной протяженности и для анализа распространения волн в полубесконечных конструкциях с единых позиций. Область применения этого метода определяется допустимостью стержневой аппроксимации элементов трубопровода.

Научная новизна работы заключается в следующих результатах, выносимых на защиту:

• разработана общая формулировка метода граничных уравнений для расчета свободных и вынужденных колебаний пространственных конструкций, состоящих из прямых тонкостенных стержней трубчатого поперечного сечения, позволяющая получить точное решение задачи как в случае конструкции конечной протяженности, так и для «открытых» (полубесконечных) конструкций;

• получены решения модельных задач о распространении вибрации по пространственным полубесконечным стержневым системам;

• проведено параметрическое исследование зависимости особенностей переноса энергии от характеристик геометрии и материала элементов рассмотренных стержневых конструкций.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты представляют собой серьезный вклад в теорию граничных интегральных уравнений и в теорию линейной динамики стержневых конструкций. Разработанные алгоритмы и программы, обеспечивая необходимую точность получаемых результатов, легко могут быть применены для вибрационных расчетов пространственных стержневых конструкций любых конфигураций.

Достоверность результатов, полученных МГИУ для тестовых задач, определяется их совпадением с численными решениями, найденными при помощи стандартных пакетов конечно-элементного анализа ANSYS, COSMOS/M.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались:

• на XXI-ой международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (BEM-FEM-2005, СПб, 2005);

• семинаре по механике СПбГМТУ (СПб, 2004);

• научно-технической конференции по строительной механике корабля «Бубновские чтения» (СПб (СПбГМТУ), 2004);

• международной конференции «Advanced Problems in Mechanics -2004» (СПб (Репино), 2004);

• конференции «Кораблестроительная наука и образование» (СПбГМТУ, 2003).

Материалы диссертационной работы были представлены на международной конференции «Бубновские чтения», посвященной 100-летию кафедры строительной механики корабля СПбГМТУ (г. Санкт-Петербург, 1819 ноября 2004 г.).

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

В данной главе п. 1.1 содержится описание существующих методов расчета вибрации трубопроводов, в п. 1.2 представлен обзор литературы, относящийся к предмету и различным методам исследования колебаний подобных конструкций, в п. 1.3 кратко изложены преимущества применения МГУ к расчету таких конструкций, п. 1.4 - структура данной диссертационной работы.

4.5. Основные выводы по главе 4

По результатам, полученным в данной главе, можно сделать следующие выводы:

• количественная оценка потоков энергии для рассматриваемых конструкций в точках ветвлений показала особенности распределения потоков энергии как между стержнями, образующими ветвления, так и между перечисленными типами распространяющихся волн. Характер таких перераспределений зависит и от конфигурации конструкции, и от рассматриваемого способа возбуждения колебаний (направления действующей нагрузки);

• в конструкции со сложным пространственным ветвлением обнаружены эффекты локализации волнового движения;

• выявлены закономерности распределения потоков энергии от частоты возбуждения колебаний. На всех стержневых элементах наблюдается значительное увеличение суммарных потоков энергии при определенных значениях частот. Для конструкции с плоским ветвлением найденный спектр соответствует спектру средних значений собственных частот отдельно взятого стержня 1 в предположении, что его правая граница или жестко заделана, или свободна. Именно между соответствующими средними значениями частот собственных колебаний одинаковых номеров, присущих такому стержню, и наблюдаются максимумы суммарных потоков энергии на каждом стержне данной конструкции. Конструкция со сложным пространственным ветвлением при той же нагрузке в отличие от конструкции с плоским ветвлением имеет гораздо больше изолированных резонансных пиков. Значения полученного спектра присущи частотам собственных колебаний длинного стержня в виде стыковки стержней 1 и 3, подкрепленного уже двумя упругими опорами;

• с помощью МГУ проведено параметрическое исследование полубесконечной конструкции с плоским ветвлением. Задачи формулируются следующим образом: какое влияние оказывают характеристики геометрии и материала стержневых элементов конструкции, образующих ветвления, на распространение потоков энергии в ней, создаваемых изгибно-крутильно-продольными упругими волнами при выбранных типичных условиях возбуждения. Показано, что жесткости одинаково зависят от модуля упругости, но по-разному от диаметров. С помощью подбора стержневых элементов с необходимыми характеристиками можно управлять распространением потоков энергии в ней. • при исследовании особенностей распространения колебательной энергии по полубесконечной конструкции со сложным пространственным ветвлением, два стержневых элемента которой подкреплены пружинами выяснилось, что чем выше частота действующей нагрузки, тем больше диапазон коэффициента жесткости пружины, при котором в конструкции проявляются резонансные эффекты.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе предлагается общий алгоритм МГУ применительно к задачам теории колебаний стержней. Эффективность метода для вибрационных расчетов продемонстрирована при детальном анализе свободных и вынужденных гармонических колебаний одномерных пространственных конструкций, состоящих из упругих прямых трубчатых стержневых элементов - волноводов (трубопроводы пространственной конфигурации с ветвлениями). Результаты выполненного исследования позволяют сделать следующие выводы:

• сформулирован общий алгоритм МГУ, который одинаково пригоден для анализа стоячих волн в пространственных составных стержневых конструкциях конечной длины и для анализа распространения волн в полубесконечных составных и бесконечно длинных пространственных стержневых конструкциях с единых позиций;

• МГУ при изучении колебаний пространственных стержневых конструкций позволяет исследовать изгибно-крутильно-продольные волны упругих деформаций одновременно;

• проведена верификация МГУ. Найдены значения собственных частот трех низших тонов для тестовой пространственной составной стержневой конструкции конечной длины без ветвлений с помощью МГУ, классического МКЭ и приближенного аналитического решения. Все полученные результаты согласуются;

• для полного описания волновых процессов МГУ позволяет проанализировать на каждом стержневом элементе при их произвольном соединении и при произвольных краевых условиях конструкции: при действии выбранной нагрузки с заданной частотой формы вынужденных колебаний, потоки энергии для соответствующих типов колебаний и суммарные потоки энергии, а также в зависимости от частоты возмущения потоки энергии и суммарные потоки энергии. При возбуждении конструкции одной единственной гармонической силой, действующей в выбранном направлении, колебания конструкции заданной конфигурации могут происходить как в плоскости нагрузки, так и в пространственной форме. Это зависит от конфигурации стержневых элементов конструкции; наличие стационарного течения невязкой сжимаемой жидкости в рассматриваемых конструкциях характер распространения колебательной энергии в них не меняет. В рассматриваемом диапазоне частот допустимо пренебрегать сжимаемостью жидкости. Жидкость учитывается в качестве малой присоединенной массы и на жесткость конструкции никакого влияния не оказывает; в результате анализа распространения колебательной энергии при исследовании вынужденных колебаний трех типовых полубесконечных составных конструкций (с плоским ветвлением, с пространственным ветвлением и сложным пространственным ветвлением) показано, что в точках ветвлений происходит перераспределение потоков энергии как между стержнями, образующими ветвления, так и между перечисленными типами распространяющихся волн. Характер таких перераспределений зависит и от конфигурации конструкции, и от рассматриваемого способа возбуждения колебаний (направления действующей нагрузки); в составной полубесконечной стержневой конструкции ответвление может играть роль упругой заделки. Это объясняет наличие пиков резонансных эффектов при построении кривых суммарных потоков энергии всех типов колебаний на каждом стержневом элементе в фиксированных сечениях при действии выбранной возмущающей нагрузки в заданном диапазоне частот; на участках стержневых элементов между точками стыковок в полубесконечных конструкциях обнаружены эффекты локализации волнового движения, возникновение которых объяснено при помощи анализа потоков энергии. По модам определенных типов колебаний потоки энергии идут в обратную сторону (ловушечные моды), в результате на некоторых участках конструкции возникают достаточно интенсивные вибрации соответствующих видов; получив полную информацию о распространении колебательной энергии, МГУ легко осуществить исследование влияния характеристик геометрии и материала стержневых элементов конструкции на распределение в ней суммарных потоков энергии с целью подбора параметров конструкции, при которых поток энергии, распространяющийся к ее удаленным частям, будет минимальным. Установлено, что роль характеристик геометрии более существенна, чем материала;

• проведено исследование особенностей возникновения резонансных явлений при изменяющейся безразмерной величине жесткости пружины, соединяющей элементы полубесконечной конструкции. Выяснилось, что чем выше частота действующей нагрузки, тем больше диапазон коэффициента жесткости пружины, при котором в конструкции проявляются резонансные эффекты - это определяет чувствительность такой конструкции к изменению рассматриваемого параметра;

• разработан комплекс алгоритмов и программ для расчетов свободных и вынужденных колебаний пространственных стержневых конструкций различных конфигураций с любыми характеристиками геометрии и материала их элементов при воздействии произвольных нагрузок. На основе полученных результатов можно перейти к решению задач виброизоляции удаленных участков таких конструкций.

1. Абрамян А.К., Индейцев ДА. Ловушечные моды колебаний в мембране с неоднородностью // Акустический журнал. 1998. Т.44. №4. С.437-442.

2. Акулаев B.C. Исследование физической природы рассеяния энергии при вибрации корпуса судна: Тр. ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова. Л., 1962.-Вып. 186.

3. Анурьев В.И. Справочник конструктора-машиностроителя. Т.З. М.: Машиностроение, 2001.

4. Артоболевский И.И., Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979.

5. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1972.

6. Бишоп Р. Колебания. М.: Наука, 1986.

7. Ю.Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Изд. ф. «Физ.-мат. лит-ра» ВО «Наука», 1994.

8. И.Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д., Маслов В.П., Римский-Корсаков А.В. Распространение волн в конструкциях из тонких стержней и пластин. -М.: Наука, 1974.

9. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.

10. Бычков Д.В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. М.: Госстойиздат, 1962.

11. Вишневский B.C., Генкин М.Д., Тарханов Г.В. Определение параметров энергетически эквивалентной балки: Сб. ст. «Виброакустические процессы в машинах и присоединенных конструкциях». М.: Наука, 1974.

12. Вороненок Е.Я., Палий О.М., Сочинский С.В. Метод редуцированных элементов для расчета конструкций, 1990.

13. Гладких П.А. Борьба с шумом и вибрацией в судостроении. М.: Машгиз, 1971.

14. Гладких П.А., Хачатурян С.А. Вибрации в трубопроводах и методы их устранения. М.: Машгиз, 1959.

15. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Оптимизация стержней по спектру собственных значений. Киев: Наукова думка, 1979.

16. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981.

17. Гуло Д.Д., Умов Н.А. 1846 1914. - М.: Наука, 1971.

18. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. М.: Наука, 1982.

19. Изак Т.Д., Гомзиков Э.А. Шум на судах и методы его уменьшения. М.: Транспорт, 1987.

20. Индейцев Д.А., Сергеев А.Д., Литвин С.С. Особенности резонансных колебаний упругих волноводов с инерционными включениями // ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.8. С.8-15.

21. Исакович М.А. Общая акустика. М: Наука, 1973.

22. Кайно Г. Акустические волны. М.: Мир, 1990.

23. Капустина Т.В. Компьютерная система Mathematica 3.0 для пользователей: Справ, пособие. М.: СОЛОН-Р, 1999.

24. Ким Я.А. Расчетно-экспериментальный метод определения акустических сопротивлений упругих элементов трубопроводов // Эл. Ж. Техническая акустика. 2001. Т.2. С.1-5.

25. Клюкин И.И. Борьба с шумом и звуковой вибрацией на судах. Л.: Судостроение, 1971.

26. Колебания, излучения и демпфирование упругих структур: Сб. статей. -М.: Наука, 1973.

27. Колесников А.Е. Шум и вибрация. Л.: Судостроение, 1988.

28. Кузнецов Н.А., Попков В.И., Попков С.В. Колебания системтрубопроводов, содержащих упругие неоднородности: Тр. Ill Межд. конф. «Военно-Морской флот и судостроение в современных условиях». СПб.: ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова. 2003. С.329-336.

29. Ландау Л., Лифшиц Е. Гидродинамика. М: Наука, 1986.

30. Лапин А.Д. Резонатор монопольно-дипольного типа для изгибных волн в стержне//Акустический журнал. 2004. Т. 50. №1. С. 90-93.

31. Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. -М.: Мир, 1982.

32. Макарьянц Г.М., Прокофьев А.Б., Шахматов Е.В. Моделирование виброакустических характеристик трубопровода с использованием метода конечных элементов // Известия Самарского научного центра РАН. 2002. Т.4, №2. С.327-333.

33. Миркин А.З., Усиныш В.В. Трубопроводные системы. М.: Химия, 1991.

34. Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука, 1976.

35. Пальмов В.А. Описание высокочастотной вибрации сложных динамических систем методами теории теплопроводности // Избранные проблемы прикладной механики: Сб., посвященный 60-летию В. Н. Челомея. М.: ВИНИТИ, 1974.

36. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М: Наука, 1991.

37. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. П.: Политехника, 1990.

38. Пейн Г. Физика колебаний и волн. М.: Мир, 1979.

39. Писаренко Г.С., Богинич О.Е. Колебания кинематически возбуждаемых механических систем с учетом диссипации энергии. Киев: Наукова думка, 1981.

40. Постнов В.А. Динамические матрицы жесткости балочных элементов и их использование в конечно-элементных процедурах: Тр. МТУ им. Н.Э. Баумана, серия «Прикладная механика». 2005. №1. С.56-65.

41. Постнов В.А. Механика и прочность судовых конструкций: Тр. ЛКИ. — Л.: ЛКИ, 1980.

42. Постнов В.А. Численные методы в расчете прочности и вибрации транспортных судов и плавучих сооружений. Л.: Судостроение, 1991.

43. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974.

44. Постнов В.А. Численные методы решения задач строительной механики: материалы научного семинара «Применение численных методов к расчету прочности корпусных конструкций». Л.: Судостроение, 1979.

45. Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов А.А. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. Л.: Судостроение, 1979.

46. Постнов В.А., Калинин B.C., Ростовцев Д.М. Вибрация корабля. Л.: Судостроение, 1983.

47. Постнов В.А., Перцев А.К. Динамика и прочность судовых конструкций. -Л.: Изд. ЛКИ, 1986.

48. Постнов В.А., Суслов В.П. Строительная механика корабля и теория упругости.-Л.: Судостроение, 1987.

49. Постнов В.А., Тарануха Н.А. Метод модуль-элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1990.

50. Постнов В.А., Тумашик Г.А. Использование динамической матрицы жесткости при исследовании устойчивости трубопровода при протекании по нему жидкости: Тезисы докладов XX Межд. Конф.

51. Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов». 2003. С.149-151.

52. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. П.: Судостроение, 1974.

53. Прокофьев А.Б. Расчет собственных частот и форм колебаний трубопроводов с помощью программного комплекса // Известия Самарского научного центра РАН. 1999. Т.1. №2. С.335-342.

54. Скучик Е. Основы акустики. М.: Мир, 1976.

55. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. М.: Мир, 1971.

56. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972.

57. Слепян Л.И., Царева О.В., Поташников И.А. Резонансные волны в упругих волноводах / Сб. науч. тр. «Волновая динамика машин». М.: Наука, 1991.

58. Справочник по технической акустике: Пер. с нем. / Под ред. Хекла М. и Мюллера Х.А. Л.: Судостроение, 1980.

59. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматгиз, 1964.

60. Умов Н.А. Избранные сочинения / Умов Н.А.; Под ред. Предводителева А.С. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

61. Чувиковский B.C. Численные методы расчета в строительной механике корабля. Л.: Судостроение, 1976.бб.Чувиковский B.C., Постнов В.А. Развитие идей А.Н. Крылова в области вибрации судов // Судостроение. 1963. №8. С.21.

62. Шаров Я.Ф. Колебания и излучения корпусных конструкций. Конспект лекций, ч. 1-2. ЛКИ, 1976.

63. Шиманский Ю.А. Динамический расчет судовых конструкций. Л.: Судпромгиз, 1963.

64. Шиманский Ю.А. Справочник по строительной механике корабля. Л.: Изд-во судостроительной промышленности, 1958.

65. Abu-Hilal M. Forced vibration of Euler-Bernoulli beams by means of dynamic Green functions//Journal of Sound and Vibration. 2003. V.267. Pp.191-207.

66. Ahmida K.M., Arruda J.R.F. On the relation between complex modes and wave propagation phenomena // Journal of Sound and Vibration. 2002. V.255. N.4. Pp.663-684.

67. Ahmida K.M., Arruda J.R.F. Spectral element based prediction of active power flow in Timoshenko beams // Journal of Sound and Vibration. 2001. V.38. Pp. 1669-1679.

68. Antes H., Schanz M., Alvermann S. Dynamic analyses of plane frames by integral equations for bars and Timoshenko beams // Journal of Sound and Vibration. 2004. V.276. Pp.807-836.

69. Chen Y.-H., Sheu J.-T. Beam length and dynamic stiffness // Computational Methods of applied Mechanics in Engineering. 1996. V.129. Pp.311-318.

70. Cho P.E., Bernhard R.J. Energy flow analysis of coupled beams // Journal of Sound and Vibration. 1998. V.211. N.4. Pp.593-605.

71. Clough R.W., Penzien J. Dynamics of structures International Editions, McGraw, Inc. 1993. Pp.738.

72. Dowell E.H. Comment on energy flow predictions in a structure of rigidly joined beams using receptance theory // Journal of Sound and Vibration.1996. V.194. N3. Pp.445-447.

73. Doyle J.F. Wave Propagation in Structures // New York: Springer-Verlag,1997.

74. Eisenberger M. Exact vibration frequencies and modes of beam with internal releases // International Journal of structural Stability and Dynamics. 2002. V.2, N.1. Pp.63-75.

75. Eslimy-lsfahany S.H.R., Banergee J.R. Use of generalized mass in the interpretation of dynamic response of bending-torsion coupled beams // Journal of Sound and Vibration. 2000. V.238, N.2. Pp.295-308.

76. Eslimy-lsfahany S.H.R., Banergee J.R., Sobey A.J. Response of a bending-torsion coupled beam to deterministic and random loads // Journal of Sound and Vibration. 1996. V.195, N.2. Pp.267-283.

77. Finnveden S. Evaluation of modal density and group velocity by a finite element method // Journal of Sound and Vibration, Stockholm. 2004. -V.273. - Pp. 51-75.

78. Finnveden S. Spectral finite element analysis of vibration of straight fluid-filled pipes connected with flanges // Journal of Sound and Vibration. 1997. V.199. N.1. Pp.125-154.

79. Kolousek V. Dynamics in engineering structures. Butterworths: London, 1973.

80. Langley R.S., Smith J.R.D., Fahy F.J. Statistical energy analysis of periodically stiffened damped plate structures // Journal of Sound and Vibration. 1997. V.208. N.3 Pp.407-426.

81. Langley R.S., Shorter P.J. Vibro-acoustic analysis of complex systems // Journal of Sound and Vibration. 2005. V.288. N.3 Pp.669-699.

82. Shankar K., Keane A.J. A study of the vibrational energies of two coupled beams by finite element and Green function (receptance) methods // Journal of Sound and Vibration. 1995. V.181. N.5. Pp.801-838.

83. Shankar K., Keane A.J. Energy flow predictions in a structure of rigidly joined beams using receptance theory // Journal of Sound and Vibration. 1995. V.185. Pp.867-890.

84. Shankar K., Keane A.J. Vibrational energy flow analysis using a substructure approach: the application of receptance theory to FEA and SEA // Journal of Sound and Vibration. 1997. V.201. N.4. Pp.491-513.

85. Sorokin S.V. Asymptotic analysis and numerical solution of the two-level boundary equations of a plane problem of stationary hydroelasticity // J. Appl. Math. & Mech. 1993. V.57(1). Pp.105-115.

86. Sorokin S.V., Nielsen J.В., Olhoff N. Analysis and optimization of energy flows in structures composed of beam elements Part I: problem formulation and solution technique // Springer-Verlag. 2001. V.22. Pp.3-11.

87. Sorokin S.V., Nielsen J.В., Olhoff N. Analysis and optimization of energy flows in structures composed of beam elements Part II: examples and discussion //Springer-Verlag. 2001. V.22. Pp. 12-23.

88. Thanoon W.A., Paul D.K., Jaafar M.S., Trikha D.N. Influence of torsion on the inelastic response of three-dimensional r.c. frames // Journal of Sound and Vibration. 2004. V.40. Pp.611-628.

89. Wu S.R. Classical solutions of forced vibration of rod and beam driven by displacement boundary conditions // Journal of Sound and Vibration. 2005. V.279. Pp.481-486.

90. Yan Yong. Response of pipeline structure subjected to ground motion excitation //Engineering Structures. 1997. V.19. Pp.679-684.