Колебания анизотропных упругих тел с криволинейными трещинами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

со <-->

гг ^

На правах рукописи

Красников Владимир Валерьевич

КОЛЕБАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ У ПРУГИХ ТЕЛ С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ТРЕЩИНАМИ

01.02.04 - МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 1998 г.

Работа выполнена в Ростовском государственном университете и Донском государственном техническом университете.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор А. О. Ватульян

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор М. Г. Селезнев

кандидат физико-математических наук, доцент

А. Н. Румянцев

Ведущая организация Кубанский государственный университет

Защита диссертации состоится "-3 " ¡¡о^Ьр^) 1998 г. в /6й'' часов на заседании диссертационного совета Д 063.52.07 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу:

344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, РГУ, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ (ул. Пушкинская, 148).

Автореферат разослан 1998 г.

Ученый секретарь J ,

Диссертационного совета Н. В. Боев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы определяется важностью исследования поведения тел, ослабленных дефектами в виде трещин при действии динамических нагрузок, и развитием методов граничных интегральных уравнений (ГИУ) и метода граничных элементов (МГЭ) применительно к рассматриваемому классу проблем.

Цель работы состоит в разработке эффективных подходов и созданию на их основе вычислительных алгоритмов для решения следующих задач:

1) расчет волновых полей в задаче о колебаниях ортотропного упругого тела, ослабленного набором криволинейных трещин и расчет на их основе коэффициентов интенсивности напряжений;

2) расчет волновых полей и коэффициентов интенсивности напряжений в задаче о колебаниях составного ортотропного тела с трещиной на границе раздела сред.

Рассмотрение данных задач ограничено двухмерными постановками: случаями плоской и антиплоской деформации для первой задачи и случаем антиплоской деформации для второй задачи. В обеих задачах рассматривается установившийся режим колебаний.

Методика исследований включала в себя использование методов математической теории упругости, аппарата математического анализа и ТФКП, преобразование Фурье, элементы теории обобщенных функций и теории потенциала, регуляризацию особых интегралов, метод ГИУ и МГЭ.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Сформулированы системы ГИУ. описывающих установившиеся колебания анизотропных тел с трещинами произвольной формы.

2.Произведсно исследование полученных гиперсингулярных интегральных уравнений для плоских и антиплоских задач.

3.Разработана процедура численного анализа полученных ГИУ на основе различных вариантов метода граничных элементов.

^Проанализированы коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от частоты колебаний для различных видов трещин.

Практическую ценность полученные результаты представляют в задачах механики разрушения, изучающих поведение конструкций, ослабленных дефектами в виде трещин, под действием динамических нагрузок.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной научной конференции "Современные проблемы механики сплошных сред" (Ростов-на-Дону, 1995 г.), на научной конференции аспирантов РГУ 1994 г., на ежегодных научных конференциях ДГТУ 1995-1996 гг., на семинарах кафедры теории упругости РГУ.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1-7], список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из1 введения, грех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации 122 страницы. В приложение вынесено 43 рисунка и 8 таблиц. Библиографический список включает 109 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении сделан обзор публикаций по рассматриваемой теме, проведен анализ существующих методов решения, сформулированы цели работы и дана краткая аннотация всех глав диссертации.

Выдвинутая в начале 20-х годов Гриффитсом теория хрупкого разрушения и разработка в конце 50-х Ирвином силового подхода привели К появлению линейной механики разрушения в её современном виде. Исследование проблемы концентрации напряжений в деформируемом упругом теле, ослабленном трещинами, получила дальнейшее развитие в работах В. М. Александрова, А. Е. Андрей-кипа, Г. И. Баренблатта, В. Г. Борисксвского, Р. В. Гольдштейна, А. А. Каминского, Б. В. Кострова, Б. А. Кудрявцева, Е. М. Морозова, II. Ф. Морозова, В. В. Панпскжа В. 3. Партона, Г. Я Попова

М. П. Саврука, Г. П. Черепанова, S. К. Datta, F. Е. Erdogan, G. С. Sih, I. N. Sneddon, M. Lowengrub, J. R. Rice и других отечественных и зарубежных авторов.

Повышение требований к прочности конструкций, работающих в сложных динамическйх условиях, привело к необходимости совершенствования методик расчета соответствуюших динамических задач о колебаниях тел, ослабленных дефектами различной природы.

С конца 60-х годов динамические задачи для тел с трещинами получили свое развитие в работах В. А. Бабешко. В. Г. Борисков-ского, В. В. Зозули, Б. А. Кудрявцева, Е. М. Морозова, В.З. Паргона, JI. А. Фильштинского, J. D. Achenbach, S. К. Datta, G. С. Siii, А. К. Mal, A.-Y. ICuo, J. F. Loeber, Y. Shindo и других авторов.

Так как возможность построения аналитического решения динамических задач механики разрушения ограничена, необходимость анализа таких задач приводит к развитию новых эффективных численных методов, таких, как метод граничных элементов (МГЭ). В основе подхода данного метода лежит построение граничных интегральных уравнений (ГИУ) с их последующей дискретизацией. Исследование ГИУ получаемых в задачах для тел, ослабленных дефектами в виде трещин проводилось в работах В. В. Зозули, С. Крауча, J1. А. Фильштинского, J. D. Achenbach, Т. А. Gruse. F. Е. Erdogan, G. Krishnasamy, S. I. Raveendra, F. J. Rizzo, Ch. Zhang и других.

Несмотря на большое количество работ, посвященных изучению установившихся колебаний тел, ослабленных трещинами, большинство существующих методов решения может быть эффективно применено только для задач с простой геометрией, не учитывающих кривизну трещин, близость их расположения к границам тела, способ приложения нагрузки, анизотропию материала. Цель данной работы состоит в разработке эффективных подходов и созданию на их основе вычислительных алгоритмов для решения задач об установившихся колебаниях орготропного тела, ослабленного

набором криволинейных трещин, позволяющих учесть указанные факторы.

Глава 1 посвящена получению систем ГИУ для задачи о колебаниях ортотропного упругого тела, ослабленного набором криволинейных трещин. В §1.1 дана постановка задачи. Рассматриваются установившиеся колебания ортотропного упругого тела, занимающего область V с границей Б, ослабленного системой криволинейных туннельных разрезов ...Ьп. Оси разрезов сонаправлены с осью х2, а берега свободны от напряжений и не контактируют. Предполагается, что ни один из разрезов не пересекает границы Б или другой разрез. Колебания тела вызываются осциллирующей нагрузкой р(х)е~т', приложенной на участке границы 8С, на участке границы 5и=8\8ст считаются заданными перемещения. Предполагается, что граничные условия и форма границы Б таковы, что компоненты вектора перемещений удовлетворяют условиям

и,- = и](х\,х$)е~ш'* у = 1,2,3, После отделения временного множителя е~проблема описывается следующей краевой задачей: «г^у+рЛ,+/■=<) (1)

~Сук1Ек1> №

су =0.5(и/,_у+иу,/);

хеБи,и1=н°(х)-, (3)

х ~ (х | ),/ ~ 1,2,3.

I + =0,1 = 1,2,3;* = !....,и.- (4)

Здесь - компоненты тензора упругих постоянных для ор-

тотропного материала, £у - компоненты тензора упругих деформаций, 1?, - берега трещин-разрезов, - компоненты единичны.

векторов нормали к берегам к-той трещины, /,■ - массовые силы. В том случае, когда тело содержит бесконечно удаленную точку (полуплоскость, слой) замыкают постановку задачи условия излучения, при формулировке которых использовался принцип предельного поглощения. Далее будет предполагаться, что оси упругой симметрии материала совпадают с осями координат. В этом случае задача распадается на две - задачу о плоской деформации тела V (задача А) и задачу об антиплоской деформации тела V (задача Б).

В §1.2-1.4 построены фундаментальные решения для ортогроп-ной полуплоскости х3 <0 для плоской и антиплоской задач и фундаментальное решение для ортотропного слоя 0 < л^ < Н, — сю < х\ <+оо для антиплоской задачи. Фундаментальные решения представлены в виде суммы:

где иут\х,£)- фундаментальное решение для неограниченной

среды, 5ут\х,£) - регулярная всюду за исключением границ добавка. Фундаментальные решения для полуплоскости отвечают однородным условиям на её границе:

*3=0, 4т)=0; /,т = 1,3 для плоской задачи; / ~т = 2 для антиплоской задачи.

Фундаментальное решение для ортотропного слоя отвечает условиям отсутствия напряжений на верхней грани и условиям жесткого защемления на нижней:

*3 =Я, Г^О;

лг3 = 0, и{2] = о.

Все фундаментальные решения представлены в виде однократных интегралов по контуру в комплексной плоскости, полученному в соответствии с принципом предельного поглощения.

В §1.5-1.6 осуществлено сведение рассматриваемых задач к сис темам граничных интегральных уравнений в случае антиплоской » плоской задач соответственно. Для этого на основании подхода теории дислокаций действие трещин заменено действием фиктивны? массовых сил-

где =0.5{п;Хт+п~тХгЩд).

охк

Здесь Хт - ит ~ит ~ компоненты функции скачков перемещений на трещине, 3{д) ~ дельта-функция Дирака с носителем на трещине.

Далее, на основании теоремы взаимности, получены интегральные представления для перемещений и напряжений во внутренне? точке £ тела V :

5 Ь

Р)

+ \Супи —р-п^4)п-(х)Хк{х)Шх ;

£ б V. (6)

Здесь ¿У^'^р^)- фундаментальное решение для неограниченной орготрошюй среды, = (*)- соответствующий ему вектор напряжений. Здесь и далее в изложении /,/м = 1,3 для плоской задачи; • / - т - 2 для антиплоской задачи.

Для получения системы граничных интегральных уравнений были рассмотрены предельные переходы при £ -> V е .$' в соотношении (5), при £~>.уе /. в соотношении (6). При этом преднола-

к

галось, что все трещины являются гладкими линиями, а граница 5, вообще говоря, может иметь угловые точки. Система ГИУ относительно неизвестных перемещений и напряжений на границе £ и неизвестных функций скачков перемещений на Ь в этом случае имее! следующий вид:

аыик(у) = \\Л(х)и1{т)(х>у)-ик(х)Гк(,п)(х, у)Щ; + \г{гп\х,у)п;(х)Хк<х)Ш,

I

уеЯ. (7)

/

уеЬ. (X)

Интегралы по границе 5 в уравнении (7) системы содержат

особенность вида (л:-у)-1 и понимаются в смысле главного значения по Коши, интегралы по Ь в уравнении (8) содержат на I

особенность вида и понимаются в смысле конечного зна-

чения по Адамару как предел:

= ¡Я;к(х,у)Хк(хуИх-^^(у)}. (9)

Коэффициенты акт в интегральном уравнении (7) появляются в результате скачков сингулярных интегралов при переходе на границу. В случае задачи Б данный коэффициент имеет представление:

С(у) = «22(у) =1 - [ш-сцф^О -Р + Щ)- агацф^О + ¡3 - Ц-))];

¿и 1

где V — С()6/С?44 . Р -половина угла между касательными и угловой точке, 0 -угол поворота построенной в угловой точке биссектрисы относительно оси д-5. Для задачи А получено интегральное

представление коэффициентов аы в зависимости от углов /3 и в (в случае гладкой границы, как известно = д^ /2 ).

Система (7)-(8) значительным образом упрощается в том случае, когда для задачи удается построить функцию Грина. Тогда поле перемещений во внутренней точке тела.имеет представление:

«**(£) = «« (£) + ¡Ъ(ьЧх,&г,;{х)Хк(х)<Ях ; £еУ;

I

где < (£) - эталонное решение задачи без дефекта.

Система ГИУ в этом случае записывается в виде:

¡Ху(х,у)Х^х)с11х=(2№): уе1; (10)

I

гдеКи(х,у) = С!кт5~£-п+к(у)п;(х), ЙЫ = -/?ТЫ, <?(у) -

компоненты вектора напряжений для задачи без дефекта. При этом интеграл в (10) понимается в смысле конечного значения по Адама-РУ-

Вторая глава работы посвящена вопросам дискретизации полученных систем граничных интегральных уравнений. При проведении дискретизации предполагалось, что для рассматриваемой задачи удастся построить функцию Грина и интегральные уравнения имеют вид (10). Дискретизация осуществлялась на основе подхода метода граничных элементов. Согласно подходам данного метода каждая из трещин /,г, аппроксимировалась N -звенной ломаной, на

каждом звене которой неизвестные функции разрывов смещений интерполировались при помощи набора базисных функций. При проведении дискретизации использовались постоянные элементы, а также специальных элементы, учитывающих поведение функции раскрытия трещины в её вершинах. В §2.1 рассмотрена дискретизация интегрального уравнения антшлоской задачи при использовании постоянных элементов. Коэффициенты полученной системы линейных алгебраических уравпеним представлены в виде одно-

ратных интегралов по контуру в комплексной плоскости. При этом юлучено аналитическое представление для коэффициентов, содержащих гиперсингулярные интегралы. В §2.2 рассмотрена дискрети-ация уравнений антиплоской задачи при использовании пециальных параболических концевых элементов, учитывающих юведение перемещений у вершин трещины. В §2.3 выполнена дис-;ретизация и сведение к СЛАУ интегральных уравнений плоской адачи.

В §2.4-2.5 рассмотрены задача о колебаниях ортотропной полу-щоскости с разрезом и задача о колебаниях ортотропного слоя с >азрезом в случае антиплоской деформации. На основании получен-1ых значений функции раскрытия трещины в работе рассчитаны ;начения коэффициентов интенсивности напряжений, а также зна-1ения волновых полей на границе области. Вычисления проводи-шсь для задач с различными геометрическими и физическими сарактеристиками. При расчете коэффициентов интенсивности нс-юльзовались постоянные и специальные концевые граничные элементы. В работе показано, что использование специальных ►лементов не приводит к существенному уточнению результатов 1ри значительном увеличении времени расчетов.

В §2.6 рассмотрена плоская задача о колебаниях ортотропной юлуплоскоети с разрезом. При численной реализации были рас-:мотрены случаи наклонной прямолинейной трещины и трещины в шде дуги окружности. Расчеты проводились с использованием по-:тоянны.\ граничных элементов. В работе приведены графики зависимости коэффициентов интенсивности напряжений от волнового шела при различных геометрических характеристиках задачи для изотропного и ортотропного материалов.

На рисунке 1 и в таблице представлены результаты, полученные идя плоской задачи о колебаниях ортотропного полупространства с трещиной в форме дуги окружности. При численном реализации орались следующие параметры: радиус окружности А' - ¡. координаты точки центра (л1Г.л-1Г)м1.--), внутренний угол тменч.к.ч п

пределах —<ц.<л. Предполагалось, что колебания вызываются сосредоточенной нагрузкой приложенной в точке Х\р =-1.5 под углом 135° к положительному направлению оси X], величина сосредоточенной нагрузки Р0 =] Р | С~1 = 1. Расчеты проводились для аустенитной стали со следующими характеристиками: П «1.216, у5 = С55С~31 «0.597, у7 * 0.671, а

также для соответствующего данной стали эффективного изотропного материала с соотношением модулей у\ = 1,

у5 =С55Сзз »0.597, у5 =с55сТз -0.597. В качестве характеристик напряженно-деформированного состояния у вершин трещины в рассмотрение были ведены коэффициенты:

г г .

п >

I— X Кт = С33 л/л" =-

у/Г

где х - (х 1 > X з) - значение вектора раскрытия трещины в узле концевого граничного элемента; п - вектор нормали в той же точке; г - вектор касательной;

/•-расстояние от вершины трещины до узловой гочки концевого граничного элемента.

Введенные коэффициенты, с точностью до постоянных множителей, имеют смысл коэффициентов интенсивности напряжений. На рисунке 1 приведены графики зависимости модуля безразмерного коэффициента Кп =| Л'„ |/К^ от безразмерного волнового числа

к = кI, где к = со I сх, С] = \iC33Jp , I - длина трещины. В качестве статического коэффициента брался коэффициент, полученный для аустенитной стали в вершине А (ближней к границе). Сплошная ли-

ния на графиках соответствует результатам, полученным для аусте-нитной стали, пунктир — эффективному изотропному материалу. Расчет производился с использованием 30 граничных элементов. Волновое число к является волновым числом для аустенитной стали. Из полученных расчетов следует, что замена анизотропной среды на изотропную в рассматриваемой задаче приводит с ростом частоты к возникновению значительной погрешности и качественно другому виду получаемой зависимости.

Рисунок 1.

В таблице приведена зависимость модуля безразмерных коэффициентов интенсивности напряжений Кк в вершине трещины А от количества используемых граничных элементов для различных значений безразмерного волнового числа а- . В первом столбце таблицы указано значение волнового числа, для которого производился расчет, далее в строке - полученные значения коэффициента для различного числа используемых элементов. Полученные результаты свидетельствуют о стабилизации значений коэффициента ингенсип-мости с увеличением числа используемых грзничпых элементов.

Таблица.

Количество элементов

К ЛГ = 10 N = 20 N = 30 N = 40

0.52 1.94 1.90 1.88 1.87

1.05 1.70 1.70 1.70 1.70

1.57 0.84 0.83 0.82 0.82

2.09 1.04 1.01 1.00 0.99

В третьей главе диссертации рассмотрена задача об антиплоски: колебаниях составного ортотропного тела с трещиной на границ раздела сред. §3.1 содержит постановку задачи. В §3.2 задача сведе на к системе граничных интегральных уравнений относительно не известных перемещений и напряжений на границе тела и лини: раздела сред. В §3.3 рассмотрена задача о колебаниях составной ортотропного слоя 0 <х3 <,Н, — <х><х^ <оо с границей раздела ма териалов, проходящей по линии х, = 0, ослабленного туннельныг разрезом ; Ь ось которого сонаправлена с осью х2, лежащим на гра нице раздела материалов строго внутри слоя. Предполагалось, чт< нижняя грань слоя жестко защемлена, а колебания слоя вызываютс сосредоточенной нагрузкой р(Х)) = /^(Х] - х1р).

Коэффициенты интенсивности напряжений для данной зада чи рассчитывались по асимптотической формуле: К ш ;

где / - напояжение в узле ближнего к вершине трещины элементе г -расстояние от данного узла до вершины трещины.

На рисунке 2 приведена зависимость вещественной (сплошна линия) и мнимой (штрих-пунктирная линия) частей безразмерног коэффициента интенсивности напряжений в вершине В от безраз

мерного волнового числа л: = кг1 = 1со/с= ^С^ /р2 ^циф

и

" КIII !\ 1 /IX \ 1

2.0 /1А \ У Л ---------- 1 \ '!' I \ 1

I 1 1 0.1 1 I 1 1 \ I 1 1 1 1-1 | 1 ► 1 | 1.5 л: 1 1

Рисунок 2.

рой ,2 обозначались константы левого полуслоя, цифрой 1 - правого). При этом рассматривалась задача со следующими параметрами: толщина слоя Я = 3, координаты вершин трещины = 1, дгзв=2, точка приложения нагрузки .т1р =-1.5. В качестве материала для левого полуслоя бралась медь, в качестве материала для правого полуслоя - аустенитная сталь. При таком выборе безразмерные параметры задачи принимают следующие значения:

И0 «0.64, И2> я 1.0, V,2 =С^)/С44> и1-83> Р\/Р2 »0.912. Пунктиром на графике отмечены значения волнового числа = 0.524

и /с<п « 0.646, которые при выбранных параметрах являю:ся частотами запирания соответственно для левого и правого полуелоя.

Полученные зависимости показывают, что наибольших значении на рассмотренном спектре частот коэффициент интенсивноегн достигает на участке между частотами запирания для левою и правого полуслсев.

Основные результаты.

1 .Сформулированы системы ГИУ, описывающих установившиеся колебания анизотропных тел с трещинами произвольной формы.

2.Произведено исследование полученных гиперсингулярных интегральных уравнений для плоских и антиплоских задач.

3.Разработана процедура численного анализа полученных ГИУ на основе различных вариантов метода граничных элементов. Показана достаточная эффективность использования постоянных граничных элементов.

^Проанализированы коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от частоты колебаний для различных видов трещин. Показано,1 что замена анизотропного материала на эффективный изотропный может в рассматриваемых задачах приводить с ростом частоты к значительным погрешностям при вычислении коэффициента интенсивности напряжений и качественно другому виду получаемых зависимостей.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Ватульян А. О., Красников В. В. Антиплоские колебания орто-тропного полупространства с криволинейной трещиной // Изв. СКНЦ ВШ. Сер. Естеств. науки. - 1992. - №3-4. - С. 13-16.

2. Ватульян А. О., Красников В. В. О колебаниях ортотропной полуплоскости с криволинейной трещиной // Механика деформируемых тел: Межвуз. сб. науч. тр. - Ростов н/Д, 1992. - С. 31-34.

3. Ватульян А. О., Красников В. В. Колебания ортотропного полупространства с туннельной трещиной // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. - Новгород, 1993.-Вып. 1,-С. 171-177.

4. Ватульян А. О., Красников В. В. Об установившихся антиплоских колебаниях ортотропной полосы с криволинейной трещиной / Ростов, гос. ун-т. - Ростов н/Д, 1994. - 7с. - Деп. в ВИНИТИ 23.05.94, №1266.

5. Ватульян А. О., Красников В. В. Антиплоские колебания составного ортотропного слоя с трещиной на границе раздела сред / ДГТУ. - Ростов н/Д, 1995.- 10 с.-Деп. в ВИНИТИ 28.11.95, №3124.

6. Красников В. В. Колебания составного ортотропного слоя с трещиной на границе раздела сред // Современные проблемы механики сплошной среды : Тез. докл. междунар. науч. конф., 19-21 июня. - Ростов н/Д, 1995. - С. 28.

7. Красников В. В. Гиперсингулярные интегральные уравнения в задаче о колебаниях кусочно-однородного ортотропного тела с трещиной на границе раздела сред // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения: Межвуз. сб. науч. тр. - Ростов н/Д, 1996.-С. 92-97.

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КОЛЕБАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ТРЕЩИНАМИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Красников Владимир Валерьевич

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Ватульян А. О.

Ростов-на-Дону 1998

Содержание

Введение.......................... 4

Глава 1. Сведение задачи о колебаниях ортотропного упругого тела с криволинейными трещинами к системе интегральных уравнений.

§1.1. Постановка задачи.................... 10

§1.2. Фундаментальное решение для ортотропной полуплоскости

(антиплоская задача)..................... 13

§1.3. Фундаментальное решение для ортотропного слоя (антиплоская

задача)..........................................17

§1.4. Фундаментальное решение для ортотропной полуплоскости (плоская задача)........................ 21

§1.5. Сведение задачи об антиплоских колебаниях ортотропного тела к

системе граничных интегральных уравнений................31

§1.6. Сведение задачи о колебаниях ортотропного тела в плоской постановке к системе граничных интегральных уравнений..... 39

Глава 2. Дискретизация систем ГИУ.

§2.1. Дискретизация ГИУ антиплоской задачи.......... 52

§2.2. Использование специальных граничных элементов при

дискретизации ГИУ антиплоской задачи............. 58

§2.3. Дискретизация ГИУ плоской задачи............. 60

§2.4. Пример 1. Антиплоские колебания ортотропного

полупространства с трещиной.................. 65

§2.5. Пример 2. Антиплоские колебания ортотропного слоя с трещиной. ....................................................72

§2.6. Пример 3. Плоская задача о колебаниях ортотропной полуплоскости с трещиной................... 78

Глава 3. Колебания кусочно-однородного ортотропного тела с трещиной на границе раздела сред.

§3.1. Постановка задачи.................... 86

§3.2. Сведение задачи о колебаниях кусочно-однородного ортотропного тела с трещиной на границе раздела сред к системе граничных

интегральных уравнений..............................87

§3.3. Задача о колебаниях составного ортотропного слоя с трещиной на границе раздела сред................................89

Заключение.........................95

Литература.......................... 96

Приложение.........................106

Введение

Прочность реальных конструкций в значительной степени определяется наличием в них различных микродефектов, развитие которых под действием приложенных нагрузок приводит к появлению трещин, их росту и, как следствие, к частичному или полному разрушению. Перераспределение напряжений в телах после появления в них трещин и изучение работоспособности таких конструкций является одной из основных проблем современной механики разрушения.

Выдвинутая в начале 20-х годов Гриффитсом [80] теория хрупкого разрушения и разработка в конце 50-х Ирвином [83, 84] силового подхода привели к появлению линейной механики разрушения в её современном виде. Исследование проблемы концентрации напряжений в деформируемом упругом теле, ослабленном трещинами, получила дальнейшее развитие в работах В. М. Александрова, А. Е. Андрейкива, Г. И. Баренблатта, В. Г. Борисковского, Р. В. Гольдштейна, А. А. Каминского, Б. В. Кострова, Б. А. Кудрявцева, Е. М. Морозова, Н. Ф. Морозова, В. В. Панасюка, В. 3. Партона, Г. Я. Попова, М. П. Саврука, Г. П. Черепанова, S. К. Datta, F. Е. Erdogan, G. С. Sih, I. N. Sneddon, M. Lowengrub, J. R. Rice и других отечественных и зарубежных авторов [1, 2, 4, 8-10, 12, 23, 25,27-28, 30-37, 39, 42,46,47, 49, 50, 53-58, 62-64,66,67, 68,71-73,75, 78,83, 87, 88, 90, 94, 97, 98102, 104]. Обзор разработанных методов решения, а также наиболее полную библиографию опубликованных работ можно найти в монографиях В. М. Александрова, Б. И. Сметанина, Б. В. Соболя [1], А. Е. Андрейкива [2], В. 3. Партона, Г. В. Борисковского [55], В. 3. Партона, Е. М. Морозова [58], В. 3. Партона, П. И. Перлина [60], В. В. Панасюка, М. П. Саврука, А. П. Дацышин [53], других монографиях и справочниках [12, 25, 49, 63, 64, 66, 73].

Наиболее часто встречающейся постановкой задач для тел с трещинами является постановка, в которой предполагается, что берега трещин не контактируют, хотя в работах [ 67, 68, 75] рассматривается случай, когда берега трещины взаимодействуют по линейному закону, что соответствует модели трещины в композиционном материале. В работах [27, 28, 30-36] предложены методы решения и рассмотрены примеры задач для трещин с учетом контакта их берегов.

Повышение требований к прочности конструкций, работающих в сложных динамических условиях, привело к необходимости совершенствования методик расчета соответствующих динамических задач о колебаниях тел, ослабленных дефектами различной природы. При этом необходимо отметить, что большинство современных конструкционных материалов обладает свойствами выраженной анизотропии, которые обуславливаются как физической природой материалов, так и способом их технологической обработки [3]. Также в ряде случаев моделью анизотропного однородного тела могут быть описаны некоторые композиционные материалы [7].

Решение динамических задач анизотропной теории упругости даже при исследовании простых областей (плоскость, полуплоскость) представляет значительные трудности и требует применения численных методов решения. С конца 60-х годов динамические задачи для тел с трещинами получили свое развитие в работах В. Г. Борисковского, В. В. Зозули, Б. А. Кудрявцева, Е. М. Морозова, В. 3. Партона, JI. А. Филыптинского, S. К. Datta, G. С. Sih, А. К. Mal, A.-Y. Kuo, J. F. Loeber, Y. Shindo и других авторов [8-10, 23, 30-36, 46, 54, 57, 71, 72,78, 86-88, 90, 91, 94, 96, 98,99,104,109].

Решение поставленных задач в вышеперечисленных работах осуществлялось при помощи различных методов, таких как операционный метод, методы ТФКП и сингулярных интегралов, метод граничных интегральных уравнений, метод конечных элементов, метод граничных элементов, различ-

ные асимптотические методы. Большинство из отмеченных подходов эффективны при исследовании задач акустики, антиплоских и плоских задач теории упругости для областей с простой геометрией (трещина прямолинейна и параллельна или перпендикулярна границе области) и имеют ограниченный диапазон применимости при решении задач об исследовании волновых полей в телах, содержащих приповерхностные дефекты и задач о криволинейных трещинах. Наиболее эффективным для решения данного класса задач является применение метода граничных интегральных уравнений (ГИУ) [38, 48].

Метод ГИУ базируется на использовании фундаментальных решений, на основании которых строятся системы граничных интегральных уравнений. При этом в случае областей, содержащих бесконечно удаленную точку (полуплоскость, слой), чтобы упростить вид получаемых интегральных уравнений, избежать интегрирования по бесконечной границе и связанных с этим трудностей при дискретизации, необходимо использовать функции Грина соответствующих задач. Отметим, что даже для среды, обладающей анизотропией простейшего вида (трансверсально-изотропная или ортотропная) фундаментальные решения динамической задачи не могут быть представлены через элементарные или специальные функции и записываются только в виде интегральных представлений [16].

Проблемам разработки методов решения граничных интегральных уравнений и систем посвящены работы [22,59, 85, 88].

В связи с развитием вычислительной техники одним из наиболее эффективных методов численного решения граничных интегральных уравнений является метод граничных элементов (МГЭ) [6, 11, 43, 70]. В соответствии с подходами данного метода граница области аппроксимируется ломаной, на каждом звене которой неизвестные функции интерполируются при помощи набора базисных функций. В результате применения такого

подхода задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений неизвестных функций.

В настоящей работе на основании подходов метода граничных интегральных уравнений и метода граничных элементов исследуются задачи об установившихся колебаниях ортотропного упругого тела с криволинейными трещинами в плоской и антиплоской постановке, а также антиплоская задача о колебаниях составного ортотропного тела с трещиной на границе раздела сред.

Диссертация содержит 3 главы. Первая глава посвящена разработке метода сведения плоской и антиплоской задач о колебаниях ортотропного тела с криволинейными трещинами к системам граничных интегральных уравнений. В §1.1 дана постановка плоской (Задача А) и антиплоской (Задача Б) задач об установившихся колебаниях ортотропного упругого тела, ослабленного набором криволинейных трещин. В §1.2-1.4 построены фунда-

и __ ________

ментальные решения для ортотропнои полуплоскости для плоской и антиплоской задач и фундаментальное решение для ортотропного слоя в случае антиплоской задачи. Фундаментальные решения представлены в виде однократных интегралов по контуру в комплексной плоскости. Каждое из решений записывается как сумма фундаментального решения для неограни-

ь> к* г*

ченнои среды и регулярной всюду за исключением границ добавки, которая в сумме с решением для неограниченной среды удовлетворяет однородным граничным условиям.

В §1.5-1.6 осуществлено сведение рассматриваемых задач к системам граничных интегральных уравнений. В том случае, когда для задачи удается построить функцию Грина, плоская задача сведена к системе гиперсингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных функций скачков перемещений на трещине. При этом ядра полученных интегральных уравнений выражаются в виде интегралов по контуру в комплексной плоскости.

Аналогичным образом антиплоская задача сведена к решению гиперсингулярного интегрального уравнения относительно неизвестной функции раскрытия трещины.

Вторая глава работы посвящена вопросам дискретизации полученных систем граничных интегральных уравнений. Дискретизация осуществляется на основе подхода метода граничных элементов с использованием постоянных элементов, а также специальных элементов, учитывающих поведение функции раскрытия трещины в её вершинах. В §2.1 рассмотрена дискретизация интегрального уравнения антиплоской задачи при использовании постоянных элементов. Коэффициенты полученной системы линейных алгебраических уравнений представлены в виде однократных интегралов по контуру в комплексной плоскости. В §2.2 рассмотрена дискретизация уравнений антиплоской задачи при использовании специальных концевых элементов, учитывающих поведение перемещений у вершин трещины. В §2.3 выполнена дискретизация и сведение к СЛАУ интегральных уравнений плоской задачи. В §2.4-2.6 рассмотрены задачи о колебаниях ортотропной полуплоскости с разрезом в случае плоской и антиплоской деформации [17, 19], а также задача о колебаниях ортотропного слоя с разрезом в случае антиплоской деформации [21]. На основании полученных значений функции раскрытия трещины в работе рассчитаны значения коэффициентов интенсивности напряжений в зависимости от частоты колебаний для трещин различной геометрии, а также рассчитаны значения волновых полей на границе области. Результаты проведенного численного анализа в виде графиков и таблиц вынесены в приложения.

Третья глава диссертации состоит из 3-х параграфов и посвящена рассмотрению задачи об установившихся антиплоских колебаниях составного ортотропного тела с трещиной на границе раздела сред. Актуальность задач такого рода обуславливается широким внедрением в практику композицион-

ных конструкций со сварными или клеевыми соединениями. Математическая модель дефекта такого соединения рассматривается данной задачей. Различные статические и динамические задачи для тел с трещинами на границе раздела сред рассматривались в работах Б. N. АЙип, А.-У. Кио, I. Р. ЬоеЬег, М. Таке^ О. С. БШ, К. N. 8пуаз1вуа, У. 8Ыпс1о, К.-С. Wu и других авторов [77, 79, 81, 89, 90, 92, 93, 101-103, 105-108].

§3.1 содержит постановку задачи. В §3.2 предложен способ сведения исходной задачи к системе граничных интегральных уравнений с сингулярными ядрами. В §3.3 рассмотрена задача о колебаниях составного ортотропного слоя с трещиной на границе раздела сред [18, 40, 41]. На основании полученного поля напряжений на линии раздела сред исследуются коэффициенты интенсивности напряжений для данной задачи в зависимости от частоты колебаний для материалов с различными характеристиками. Результаты численного анализа в виде графиков и таблиц вынесены в приложения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17-21, 40, 41]. В работах [17-21 ] Ватульяну А. О. принадлежит постановка задач и основные идеи их решения, диссертанту принадлежит реализация метода граничных элементов (построение алгебраических систем, численный расчет коэффициентов интенсивности).

Глава 1. Сведение задачи о колебаниях ортотропного упругого тела с криволинейными трещинами к системе интегральных уравнений.

§1.1. Постановка задачи.

Рассматриваются установившиеся колебания ортотропного упругого тела, занимающего область V с границей ослабленного системой криволинейных туннельных разрезов ■■■Ьп (Рис. 1). Оси разрезов

сонаправлены с осью х2, а берега свободны от напряжений и не контактируют. Будем предполагать, что ни один из разрезов не пересекает границы 5 или другой разрез. Колебания тела вызываются нагрузкой, приложенной на участке границы на участке границы = будем считать за-

данными перемещения.

Далее будем считать, что граничные условия и форма границы £ таковы, что компоненты вектора перемещений удовлетворяют условиям

и^;= Иу(хг,х3)е~ш*, ] - 1,2,3. Тогда, отделяя временной множитель е~ш\ получим, что проблема описывается следующей краевой задачей: <7&и +рсо2щ +/;. =0 = 1,2,3.

хеБ^а^ = /?,( х);

хеЗи, и1 =и]{х)\ х = (х1,х3), I = 1,2,3.

= 0,г = 1,2,3; к = \,...,п.

Здесь CijM - компоненты тензора упругих постоянных для ортотроп-

ного материала, €у - компоненты тензора упругих деформаций, L^ - берега

трещин-разрезов, Пу - компоненты единичных векторов нормали к берегам k-той трещины, fi - массовые силы.

В том случае, когда область V содержит бесконечно удаленную точку (полоса, полуплоскость), для определения решения единственным образом необходимо ставить условия излучения волн на бесконечности. При формулировке таких условий будем использовать принцип предельного поглощения [24].

В дальнейшем будем предполагать, что оси упругой симметрии материала совпадают с осями координат. В этом случае задача распадается на две - задачу о плоской деформации тела V (задача А) и задачу об антиплоской деформации тела V (задача Б). Задача А.

Считая, что из компонент вектора перемещений отличны от О щ =ul(xl,x3)e~ia>t и иъ = щ(*!,х3)е~шг, отделяя временной множитель

e~mt, получим следующую краевую задачу:

LyUj + pw1ui + /f = 0; / = 1,3. (1-1.1)

<ти =Спщх +С1ъиъъ\

&13 =с55(*<1,з +«эд); (1Л-2)

аЪЪ = С13«1,1 + СэЗ^ЗЗ'

cTyitj =

xeSu, щ=щ{х); (1.1.3)

х = (хих3), i = 1,3.

с7ijnj

± = 0, i = l,3; к = \,...,п. (1.1.4)

Lk

Здесь Ly - дифференциальные операторы в частных производных с постоянными коэффициентами следующего вида:

Ln =Сххд\ + Съъдз; Ьъъ = Съъд\ + Съъд\;

Li3=(C13+C55)^3 = L3l; dj = j = 1,3. (1-1.5)

СИ=СШЬС'13=С1133'С33=С3333'С55 = С1313 ~ упругие константы материала.

В том случае, когда тело содержит бесконечно удаленную точку замыкают постановку задачи условия излучения, при формулировке которых использовался принцип предельного поглощения.

Задача Б.

Считая, что из компонент вектора перемещений отлична от нуля только и2 = u(xl,x3)e~iat, получим, что после отделения временного множителя e~mt Краевая задача имеет вид:

Обм»п +Сф4м'33 +рю2и + / = 0; (1.1.6)

^12 = C*66M'l > а2Ъ ~ ^*44w'3 » (1.1.7)

леЗ^, o-yrij = р(х)\

xeSu, и = н°(лс);

= (,х1»хзУ>

(1.1.8)

±=0, ¿ = 1,..,я. (1.1.9)

Lk

Здесь введены те же обозначения, что и в задаче А,

^66 = £-1212 '^44 = 0*323-

Как и в задаче А в случае, когда область V содержит бесконечно удаленную точку, замыкают постановку задачи условия излучения, при формулировке которых используется принцип предельного поглощения [24].

§1.2. Фундаментальное решение для ортотропной полуплоскости (антиплоская задача).

Ключевым моментом при сведении краевых задач к интегральным уравнениям является построение фундаментальных решений. Под фундаментальным решением Ujm\x,g) будем понимать поле смещений, вызванное

действием сосредоточенной силы fj = SjmS(x - e~mt в точке % в безграничной упругой среде. Решение Uf\ х, £) определяется с точностью до

решения соответствующего однородного дифференциального уравнения, поэтому удобно выбирать его таким образом, чтобы оно заведомо удовлетворяло некоторым граничным условиям на части границы соответствующей краевой задачи.

Под фундаментальным решением для ортотропной полуплоскости х3<0 будем понимать решение для неограниченной ортотропной среды, удовлетворяющее однородным граничным условиям на границе полуплоскости х3=0. В случае антиплоской задачи после отделения временного множителя e~mt этому решению будет соответствовать следующая краевая задача:

С66£/,п+С44£/,зз+рш2С/ = (1.2.1)

5{х, £) = 8{хх - )5{хъ - );

v _С £L. У -С —•

¿к\ дхз

х3 = 0, £23 = 0; (1.2.2)

Замыкают постановку задачи условия излучения, при формулировке кото�