Моделирование предельного равновесия криволинейных трещин со взаимодействующими поверхностями в двумерных упругих телах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ О РАВНОВЕСИИ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРЕЩИН С ОБЛАСТЯМИ НАЛЕГАНИЯ И РАСКРЫТИЯ, СКОЛЬЖЕНИЯ И СЦЕПЛЕНИЯ.

1.1. Постановка краевой задачи о равновесии криволинейного разреза с областями налегания и раскрытия, скольжения и сцепления без учета траектории нагружения.

1.2. Анализ влияния траектории нагружения на процесс скольжения контактирующих поверхностей. Модельная задача.

1.3. Постановка краевой задачи о равновесии криволинейной трещины с областями налегания и раскрытия, скольжения и сцепления с учетом траектории нагружения.

1.4. Асимптотическое поведение решения вблизи особых точек ломаных и краевых трещин с контактирующими поверхностями.

1.5. Выводы к главе

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.

2.1. Система интегральных уравнений задачи о равновесии криволинейного разреза в упругой плоскости с областями налегания и раскрытия, скольжения и сцепления без учета траектории нагружения.

2.2. Система интегральных уравнений задачи о полуплоскости, ослабленной произвольной внутренней или краевой трещиной с областями налегания.

2.3. Система интегральных уравнений задачи об эволюции равновесного состояния криволинейной трещины в процессе нагружения.

2.4. Системы уравнений задач об асимптотическом поведении решения вблизи особых точек ломаных и краевых трещин с контактирующими поверхностями.

2.5. Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ.

3.1. Адаптация метода механических квадратур к решению задач о внутренних и краевых криволинейных трещинах в плоскости и полуплоскости.

3.2. Численное решение систем сингулярных интегральных уравнений.

3.3. Критерии и алгоритмы определения границ областей налегания и раскрытия, скольжения и сцепления поверхностей трещины.

3.4. Инкрементальный алгоритм анализа эволюции равновесного состояния криволинейной трещины в процессе нагружения.

3.5. Численный анализ результатов в задачах об асимптотике упругого поля вблизи особых точек ломаных и краевых трещин с контактирующими поверхностями.

3.6. Выводы к главе 3.

ГЛАВА 4. РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.

4.1. Равновесие криволинейных разрезов сложных форм со взаимодействующими с трением поверхностями в условиях двухосного растяжения - сжатия.

4.2. Прямолинейная произвольно ориентированная внутренняя или краевая трещина в упругой полуплоскости в условиях сдвигового нагружения.

4.3. Эволюция равновесного состояния криволинейных трещин-разрезов и уплощенных полостей при нагружении по заданной траектории.

4.4. Асимптотическое поведение упругого поля вблизи особых точек в задачах о ломаных и краевых трещинах с контактирующими поверхностями.

4.5. Выводы к главе 4.

В конструкциях и природных объектах дефекты часто оказываются в зонах, где наряду с растягивающими напряжениями действуют сжимающие и сдвиговые напряжения. Анализ процессов разрушения при наличии дефекта в этом случае требует разработки методов расчета его предельного равновесия, учитывающих возможное возникновение на нем локальных областей контакта. В частности, разрушение часто сопровождается реализацией напряженно-деформированных состояний эквивалентных в зоне трещины полю сжатия и сдвига, что приводит к ситуации, когда противоположные поверхности ее смыкаются, налегая друг на друга.

Следует отметить, что причиной контакта поверхностей трещины может являться не только действие внешних нагрузок, но и особенности формы трещины, а также взаимодействие трещин и других дефектов между собой [25, 86] и с границей упругого тела [67]. Так, например, одноосное растяжение упругой плоскости, ослабленной криволинейной или ломаной трещиной, в ряде случаев вызывает контакт ее поверхностей [3, 28, 67]. Образование области налегания, в частности, имеет место в задаче об упругой полуплоскости, ослабленной произвольно ориентированной прямолинейной краевой (или внутренней) трещиной в случае, когда на поверхностях ее приложены сдвиговые нагрузки [67]. Кроме того, образование областей налегания на поверхностях трещины на границе раздела двух сред может быть обусловлено различием их упругих характеристик [69, 84, 85].

Контакт поверхностей трещины приводит к перераспределению полей напряжений и смещений в ее окрестности, что оказывает значительное влияние на равновесное состояние [3, 18, 19, 38, 39, 40, 67, 114, 115]. Деформация трещиноватой среды при сжатии в результате взаимодействия поверхностей с трением оказывается существенно нелинейной [24, 42, 43], а сама нагруженная среда по отношению к внешнему воздействию эффективно становится анизотропной [22, 24, 42, 43, 70, 92]. Кроме того, влияние сил трения приводит к диссипации энергии в процессе нагружения и необратимости деформации трещиноватого тела [24, 42, 43]. Следует также отметить, что равновесие такой среды не является функцией параметров нагружения, а существенно зависит от процесса нагружения [24, 42, 43].

Формирование структур разрушения в сжатых горных породах и массивных телах рассматривается на основе моделирования взаимодействия, развития и срастания различных дефектов, в частности пор [27] и сдвиговых микротрещин [37, 60, 90, 96, 103]. В условиях квазистатического нагружения траектория и условия развития трещины часто описываются в рамках гипотезы о том, что направление начального распространения трещины совпадает с плоскостью, в которой растягивающие напряжения достигают максимального (критического) значения (принцип локальной симметрии для плоской задачи) [7, 63, 64, 67, 79, 94]. Как следствие, значительный интерес представляет исследование равновесного состояния криволинейной трещины произвольной формы, поскольку результаты решения такой задачи могут быть использованы для определения условий и траектории квазистатического роста трещины в упругом теле при изменении внешних нагрузок [36, 67, 87, 91]. Из экспериментальных исследований распространения трещин (например, при циклическом нагружении) известно, что траектория представляет собой гладкую кривую, однако точка излома может быть в самом начале роста исходной трещины. С этой точки зрения представляет интерес исследование равновесного состояния кусочно-гладких трещин [2, 67, 113, 114, 115]. Отметим, что рост трещины может происходить и при наличии на ее поверхностях областей сцепления.

Диссертация посвящена теоретическому исследованию деформации сред, ослабленных криволинейными и ломаными трещинами со взаимодействующими поверхностями при учете траектории нагружении. Проведен анализ влияния особенностей формы трещины, трения и истории нагружения на напряженно-деформированное состояние упругого тела.

Основным элементом теоретического описания деформации трещиноватой среды является построение решения, описывающего напряженное состояние твердого тела, ослабленного трещиной. Задачи определения напряженнодеформированного состояния в теле с трещиной (полостью) представляют собой в условиях сжатия комбинацию задач о трещинах и о контакте деформируемых тел, поскольку поверхности трещины (полости) налегают одна на другую. Следует отметить, что особенностью построения решения такой задачи является необходимость одновременного определения как полей напряжений и смещений, так и неизвестных границ областей налегания и раскрытия, а при учете трения на поверхности контакта, - границ областей сцепления и взаимных сдвиговых смещений.

В областях налегания в результате взаимодействия поверхностей по закону сухого трения Кулона возникают зоны скольжения и сцепления. При квазистатическом изменении внешних нагрузок в зависимости от некоторых параметров, скольжение на части трещины или на всей ее поверхности молсет прекратиться. В результате возможно образование зон сцепления двух типов - с нулевым и ненулевым скачком смещений [19, 38]. Границы зон налегания и раскрытия, скольжения и сцепления подлежат определению в процессе построения решения. Таким образом, постановка краевой задачи содержит ограничения на смещения поверхностей трещины (полости), что в свою очередь приводит к ограничениям на нормальные и касательные напряжения. Области выхода решения на ограничения заранее неизвестны, что обуславливает нелинейность задачи и ее отличие от традиционных задач с фиксированными линиями раздела краевых условий разного типа. Геометрия неизвестных границ (и областей) и распределение напряжений на поверхности трещины (полости) взаимосвязаны и взаимообусловлены, поэтому решение задачи должно строиться самосогласованно. Существенная трудность задачи связана с тем, что силы трения зависят от распределения нормальных напряжений в области контакта. Последние в общем случае зависят от распределения касательных напряжений. Такая ситуация характерна, например, для криволинейных трещин [3, 39, 40, 66], трещин на границе раздела двух сред с различными упругими свойствами [72, 78, 84, 85], для трещин в телах сложной геометрии [25].

Как уже отмечалось выше, существенную часть задачи о равновесном состоянии деформированного тела, ослабленного трещиной (полостью) в условиях сжатия, представляет собой определение областей реализации того или иного взаимодействия ее поверхностей. В этом контексте задача о трещине близка к классической контактной задаче о взаимодействии упругих тел [1 1, 12, 34, 35, 49, 59], где также необходимо определять размер площадки взаимодействия и контактные напряжения, а при учете сил трения, - распределение областей сцепления и относительного проскальзывания контактирующих тел.

В большинстве работ по теории трещин не рассматривается взаимодействие поверхностей трещины при нагружении. В задачах же о равновесии трещин с учетом налегания их поверхностей часто пренебрегают контактным трением [14, 18, 63, 67, 99], а при его учете полагают, что взаимные сдвиговые смещения имеют место вдоль всей поверхности контакта, а их возникновение определяется из условия превышения сдвиговой силой силы трения [48, 63, 76, 80, 82].

Постановка пространственной смешанной задачи о плоской трещине с учетом образования областей раскрытия, взаимных сдвиговых смещений и сцепления, дана в [32]. Как отмечалось выше, в общем случае скачки нормальных компонент смещений точек поверхностей трещины и нормальные напряжения в области налегания не могут быть определены независимо от касательных компонент скачка смещений и напряжений. Однако в пространственных задачах о трещинах, занимающих плоскую область в бесконечной однородной изотропной упругой среде (и в задачах об уплощенных полостях) указанная трудность отсутствует. Это позволяет разделить общую задачу для данного случая на две, решаемые последовательно [15, 18, 19, 20].

Первая - нормальная задача, в результате решения которой определяются скачки нормальных смещений точек поверхностей трещины (полости), области их налегания и распределение в этих областях нормальных напряжений [14, 31].

Вторая - сдвиговая задача. В ней с использованием распределения нормальных напряжений в области налегания определяются скачки касательных компонент смещения, касательные напряжения, области скольжения и сцепления (двух типов), если таковые возникают [33, 75].

Общее исследование пространственной нормальной задачи вариационными методами проведено в [13, 26, 31, 32], где эта задача сведена к задаче минимизации квадратичного функционала с ограничениями. Нормальные осесим-метричные задачи о равновесии трещины-разреза с областями налегания в слое рассматривались в [62], при этом области налегания определялись из условия несингулярности напряжений в окрестности их границ в построенном решении. В [18] предложен регулярный численно-аналитический метод отыскания неизвестных границ как линий несингулярности решения, приведены примеры его реализации для осесимметричных полостей при сжатии. В [14] была установлена эквивалентность определения границ областей налегания и раскрытия вариационным методом и путем построения на них несингулярного решения. Вариационный подход в сочетании с модифицированным методом проекции градиента позволяет [5, 26] строить численное решение задач при произвольной форме трещины (полости) в плане (и произвольном начальном раскрытии полости).

Сдвиговая задача с условиями трения в областях налегания рассматривалась в [16, 56], а в [74] исследовалась асимптотика решений вблизи границ областей скольжения и сцепления. В [32, 33, 73, 75, 98] в рамках вариационного подхода предложена методика построения решения с областями сцепления (с нулевым скачком смещений). Рассмотренные в [33, 75] задачи соответствуют [16] частному случаю траектории нагружения. В [21] установлен ряд свойств решения задачи о процессе скольжения поверхностей трещины с учетом сил трения при сложном нагружении. Примеры описания процесса скольжения поверхностей трещин различной геометрии при конкретных траекториях сложного нагружения рассмотрены в [17, 19, 20, 23].

В рамках двумерной задачи линейной теории упругости с учетом контактного трения рассматривались случаи прямолинейной трещины-разреза конечной длины [11, 47, 95, 106] и неэллиптических трещин [9, 53] в условиях сжатия поверхностей трещины с последующим приложением сдвиговой нагрузки. Исследовалась также эволюция равновесного состояния прямолинейных разрезов [8, 38] и плоских неэллиптических трещин [41] при сложном на-гружении с использованием квазистатического описания напряженного состояния. В указанных работах был предложен метод выделения границ областей однородного взаимодействия поверхностей трещины - на этих границах строилось несингулярное решение из условия равенства нулю соответствующего коэффициента интенсивности напряжений. В [10, 81] для определения границ областей скольжения и сцепления использовалось несингулярное решение задачи сопряжения с условием ограниченности его на бесконечности [57, 58]. Система прямолинейных трещин в упругой плоскости с гладким контактом поверхностей рассматривалась в [99], исследовалась также устойчивость краевой прямолинейной трещины в трещиноватой полуплоскости без учета трения на ее поверхностях [105]. В [86] с учетом контактного взаимодействия поверхностей с трением рассматривалась радиальная трещина, исходящая из кругового отверстия в упругой плоскости.

Трещины со взаимодействующими поверхностями на прямолинейной границе раздела двух сред рассматривались в [72, 84], ас учетом трения на поверхности контакта в [85, 88, 89].

В рамках плоской задачи в основном рассматривались криволинейные разрезы при растяжении [28, 52, 65, 104], то есть в случае, когда поверхности трещины не взаимодействуют. В [6] получено решение задачи о полубесконечном криволинейном разрезе, слабо отличающемся от прямолинейного, путем разложения комплексных упругих потенциалов по величине отклонения разреза от прямолинейной оси, касательной к разрезу в его конце. Слабоис-кривленные трещины рассматривались также в [29, 30]. Равновесие разрезов по дуге окружности исследовалось в [57, 63], рассматривалась также задача о трещине на границе упругой плоскости и кругового [109, 110] и эллиптического [111] включения. В [67] при использовании интегральных представлений комплексных потенциалов через скачки смещений на линии разреза построены интегральные уравнения задачи о бесконечной плоскости с криволинейным разрезом произвольной формы, предложен и реализован на ряде примеров численный метод их решения. В [51] рассматривались трещины вдоль криволинейных поверхностей.

В [39, 40, 66, 77] была рассмотрена двумерная задача о равновесии дугообразного разреза с учетом взаимодействия его поверхностями с трением и был показан существенно нелинейный характер этого взаимодействия. В [67] исследовалось равновесие произвольного криволинейного разреза со взаимодействующими поверхностями. При этом рассматривались два предельных случая: когда трение между поверхностями трещины ничтожно мало (гладкий контакт) или велико (полное сцепление). В [3] с использованием аналогичного подхода получено решение задачи о произвольной криволинейной трещине с поверхностями, взаимодействующими по закону сухого трения Кулона. Критерием, определяющим положение границ областей налегания и раскрытия, скольжения и сцепления в указанных задачах также служила несингулярность решения в окрестности этих границ. Следует отметить, что в задачах о криволинейных трещинах краевая задача, как правило, сводится к сингулярному интегральному уравнению первого рода с ядром Коши (или системе таких уравнений) [29, 50, 58, 65, 67, 82, 68], которое затем решается аналитически [30, 39, 40] или численно [3, 28 67, 114, 115]. Численные методы решения сингулярных интегральных уравнений, к которым сводятся краевые задачи механики разрушения, исследуются в [45, 46, 52, 58, 64, 67, 83, 93, 108], где имеются и дальнейшие ссылки.

В рамках двумерной теории упругости в [54, 55] рассматривалось растяжение плоскости с трещиной в виде трехзвенной ломаной, близкой к прямой настолько, что граничные условия предполагалось возможным сносить на направление среднего звена. В [101] дано точное решение задачи о полубесконечной трещине в виде двухзвенной ломаной. Решение задач о ветвящихся [67] и ломаных [67, 113] трещинах в указанных работах строилось на основе численного решения системы сингулярных интегральных уравнений. Ломаные трещины со взаимодействующими поверхностями рассматривались в [114], а с учетом трения в областях налегания в [115]. Следует отметить, что в случае, когда поверхности трещины вблизи точки ее излома не контактируют, асимптотическое поведение решения разбивается на две независимые асимптотики для клиновидных областей с вершинами в точке излома. Такие задачи, а именно асимптотика напряжений вблизи вершины клина с различными граничными условиями на его образующих, рассматривались в [1, 44, 82, 107, 112]. Напротив, при налегании поверхностей трещины вблизи точки ее излома, задача не разделяется. Асимптотическое поведение решения в контактной задаче (с учетом трения) о ломаной трещине на границе раздела двух сред исследовалось в [2].

Квазистатический рост произвольной криволинейной трещины при растяжении рассматривался в [36, 67], а слабоискривленной в [30]. В работах [88, 102] исследовалось, с учетом контактного трения, распространение прямолинейной трещины. В [87] предложена постановка задачи о квазистатическом росте внутренних и краевых трещин, с учетом контакта между их поверхностями с трением, при воздействии циклических нагрузок на упругую полуплоскость. Рост плоской пространственной трещины при ее неосесимметричном сжатии рассматривался в [91].

Приведенный выше литературный обзор дает представление о современном состоянии теории, описывающей равновесие упругих сред, ослабленных трещинами со взаимодействующими поверхностями, криволинейными и ломаными трещинами. Как видно, исследования требует широкий круг вопросов, связанных с анализом предельного равновесия трещин различных форм со взаимодействующими с трением поверхностями в условиях нагружения по различным траекториям. Это обстоятельство и определяет актуальность рассматриваемых в диссертации проблем.

Диссертация характеризуется следующими новыми элементами: 1. Развиты численные методы решения двумерных задач о равновесии кусочно-гладких криволинейных разрезов произвольной формы в плоскости и полуплоскости (в последнем случае, включая краевые разрезы) с учетом взаимодействия их поверхностей с трением. 2. Получено решение, описывающее равновесие трещин сложной геометрии с учетом образования на их поверхностях областей сцепления и взаимных смещений. Проанализировано влияние этих областей на их предельное равновесие. 3. Получено решение задачи о равновесии произвольно ориентированной прямолинейной трещины (внутренней и краевой) с контактирующими поверхностями в упругой полуплоскости. 4. Предложен алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния тела с трещиной (уплощенной полостью) произвольной формы при нагружении по заданной траектории. 5. Получено решение задачи об эволюции равновесного состояния криволинейных трещин-разрезов и уплощенных полостей в зависимости от траектории нагружения. Проанализировано влияние истории нагружения и начального раскрытия криволинейной трещины на ее предельное равновесие. 6. Выполнен асимптотический анализ упругого поля вблизи особых точек в задачах о ломаных и краевых трещинах с контактирующими поверхностями.

В главе 1 рассмотрена постановка двумерных краевых задач линейной теории упругости о равновесном состоянии трещин произвольной формы при частичном контакте их поверхностей. Приведена постановка краевой задачи о криволинейном разрезе с поверхностями, взаимодействующими по закону сухого трения Кулона. Иллюстрируется необходимость учета истории нагружения при исследовании напряженно-деформированного состояния трещин с учетом трения между их поверхностями. Рассмотрена постановка задачи об эволюции равновесного состояния трещин в процессе нагружения. Приведены постановки краевых задач об асимптотическом поведении решения вблизи особых точек ломаных и краевых трещин с контактирующими поверхностями.

В главе 2 для указанных в первой главе краевых задач получены уравнения, описывающие равновесное состояние трещин произвольной формы в плоскости и полуплоскости.

В главе 3 изложены численные методы и алгоритмы, используемые при решении указанных задач.

В главе 4 приведены результаты решения задач о равновесии трещин различной геометрии в условиях, когда на их поверхностях образуются области раскрытия, скольжения и сцепления. Проанализировано влияние областей контакта на поверхностях трещины на перераспределение напряжений и смещений в ее окрестности. Исследовано влияние трения, истории нагружения, формы и начального раскрытия трещины на ее предельное равновесие, проведен анализ взаимодействия трещины с границей упругого тела при контакте ее поверхностей.

Полученные решения задач механики разрушения позволяют выполнять анализ предельного равновесия внутренних и краевых трещин сложных форм в плоскости и полуплоскости со взаимодействующими с трением поверхностями при различных условиях нагружения. Разработанная в диссертации методика может использоваться для решения задач о росте трещин в упругих телах с учетом возможного контакта их поверхностей при изменении внешних нагрузок. Кроме того, результаты исследования могут быть использованы для расчета деформационных характеристик трещиноватой среды с неплоскими трещинами с контактирующими поверхностями.

Результаты диссертации опубликованы в работах [2, 3, 4, 97] и доложены на:

- 23-й, 24-й и 26-й Международных молодежных научно-технических конференциях «Гагаринские чтения» (Москва, 1997, 1998, 2000);

- на 13-й Европейской конференции по разрушению (Сан-Себастьян, Испания, 2000);

- на конференции «Методы и программное обеспечение расчетов на прочность» (Туапсе, 2000);

- на семинарах Института проблем механики РАН.

Автор глубоко признателен своим научным руководителям Роберту Вениаминовичу Гольдштейну и Юрию Владимировичу Житникову за полезные советы и постоянную помощь в работе.

4. 5. Выводы к главе 4.

В настоящей главе приведены результаты решения краевых задач о равновесии трещин со взаимодействующими с трением поверхностями. Проведенный анализ этих результатов позволяет сделать вывод о взаимном влиянии внешних нагрузок, формы и начального раскрытия трещины, величины трения между ее поверхностями, истории нагружения, а также близости границы тела на условия, при которых трещина может достигать предельного равновесия.

Выполнен расчет предельного равновесия криволинейных разрезов в бесконечной плоскости, с учетом образования областей раскрытия, скольжения и сцепления в условиях двухосного растяжения - сжатия (без учета траектории нагружения). Рассмотрены два вида разрезов - в форме дуги параболы и в форме полуэллипса. Проанализировано влияние областей налегания на поверхностях трещины, трения и формы трещины на ее предельное равновесие.

Получено решение задачи о равновесии произвольно ориентированной прямолинейной трещины (внутренней и краевой) с контактирующими поверхностями в упругой полуплоскости в условиях сдвигового нагружения. Проанализировано взаимное влияние областей налегания на поверхностях трещины, трения в этих областях, границы тела и ориентации трещины на ее предельное равновесие. Выявлено существенное влияние особенности в решении вблизи краевой вершины трещины на ее предельное равновесие, определяемое КИН во внутренней вершине.

Получены решения задач об эволюции криволинейных разрезов и уплощенных полостей в форме дуги эллипса в условиях двухосного растяжения -сжатия по различным траекториям нагружения. Рассмотрены два вида криволинейных уплощенных полостей - с плавносмыкающимися поверхностями и с эллиптической формой раскрытия вблизи вершин. Проанализировано влияние истории нагружения и начального раскрытия криволинейной трещины на ее предельное равновесие.

118

Получена асимптотика решения в окрестности точки излома трещины при различных условиях контакта ее поверхностей. Получена асимптотика решения в окрестности краевой вершины разреза, выходящего на границу полуплоскости, при учете образования зоны контакта его поверхностей, прилегающей к этой вершине.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теоретический анализ, проведенный в диссертации, позволил выявить ряд существенных закономерностей решений задач о равновесии трещин с областями налегания и раскрытия, скольжения и сцепления.

1. Выполнен расчет показателя асимптотики упругого поля вблизи точки излома трещины при различных сочетаниях условий контакта поверхностей. Показано, что вблизи точки излома трещины решение может иметь особенность как в отсутствие трения в области налегания, так и при его учете. Результаты расчета позволяют обобщить предложенные в диссертации методы решения задач о гладких криволинейных трещинах с контактирующими поверхностями на кусочно-гладкие разрезы.

2. Выполнен расчет показателя асимптотики упругого поля вблизи краевой вершины разреза, выходящего на границу полуплоскости, при образовании области контакта его поверхностей. Показано, что вблизи краевой вершины особенность в решении может иметь место только при наличии трения на поверхности контакта. Результаты расчета использованы при исследовании предельного равновесия краевой трещины с контактирующими поверхностями в упругой полуплоскости.

3. Развиты численные методы, алгоритмы и разработана программа решения задач о предельном равновесии кусочно-гладких внутренних и краевых криволинейных трещин (уплощенных полостей) произвольной формы в плоскости и полуплоскости с учетом взаимодействия их поверхностей с трением с учетом истории нагружения.

4. Получено решение, описывающее равновесие трещин сложной геометрии с учетом образования на их поверхностях областей сцепления и взаимных смещений. Показано, что предельное равновесие определяется комплексным влиянием растягивающих, сдвиговых и сжимающих напряжений, инициированных внешними нагрузками, силами трения в областях налегания и формой трещины. Для всех рассмотренных случаев учет трения между контактирующими поверхностями увеличивает нагрузки, при которых трещина достигает предельного равновесия, причем последние возрастают с ростом коэффициента трения. В зависимости от формы трещины и величины коэффициента трения может наблюдаться как близкое к линейному увеличение (уменьшение) коэффициентов интенсивности напряжений при увеличении внешних нагрузок, так и сильно нелинейная немонотонная зависимость коэффициентов интенсивности напряжений от величины внешних нагрузок.

5. Получено решение задачи о равновесии произвольно ориентированной прямолинейной трещины (внутренней и краевой) с контактирующими поверхностями в упругой полуплоскости в условиях сдвигового нагружения. Показано, что при рассмотренных условиях нагружения при удалении внутренней трещины от границы полуплоскости коэффициенты интенсивности напряжений убывают немонотонно. Учет особенности в решении вблизи краевой вершины оказывает существенное влияние на коэффициенты интенсивности напряжений во внутренней вершине, которые сильно возрастают (приблизительно в два раза).

6. Получено решение задачи об эволюции равновесного состояния криволинейных трещин-разрезов и уплощенных полостей в зависимости от траектории нагружения. Выявлен класс траекторий нагружения, предельное равновесие в конечной точке которых не зависит от пути нагружения, причем решения, полученные в рамках этого класса, совпадают с решением, полученным без учета истории нагружения. Показано, что в зависимости от траектории нагружения возможно образование примыкающей к вершине трещины области сцепления со скачком касательной компоненты смещений отличным от нуля. Как следствие, рост трещины может происходить и при наличии на ее поверхностях областей сцепления. Показано, что форма начального раскрытия трещины, особенно вблизи ее вершин, оказывает существенное влияние на ее предельное равновесие.

1. Аветисян А. Г., Чобанян К. С. Характер напряжений в заделанной окрестности края поверхности соединения составного тела, нагруженного в условиях плоской задачи теории упругости. // Изв. АН АрмССР. Механика. 1972. Т. 25. №6. С. 13-23.

2. Андреев А. В., Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Асимптотический анализ решения в окрестности точки излома трещины на границе раздела двух сред. // ПММ. 1999. Т. 63. № 5. С. 865-870.

3. Андреев А. В., Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Равновесие криволинейных разрезов с учетом образования областей налегания, скольжения и сцепления берегов трещины. // ИПМ РАН. Препринт № 643. Москва. 1999. 36 с.

4. Андреев А. В., Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Равновесие криволинейных разрезов с учетом образования областей налегания, скольжения и сцепления берегов трещины. // Изв. Ан СССР. МТТ. 2000. № 3. С. 137-148.

5. Балуева А. В., Голъдштейн Р. В., Зазовский А. Ф. Метод расчета смещений поверхностей тонких пространственных полостей. // Физ.-техн. пробл. разраб. полез, ископаемых. 1984. № 6. С. 3-9.

6. Баничук Н. В. Определение формы криволинейной трещины методом малого параметра.//Изв. Ан СССР. МТТ. 1970. №2. С. 130-137.

7. Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П. О хрупких трещинах продольного сдвига.//ПММ. 1961. Т. 25. №6. С. 1110-1119.

8. Беркович П. Е., Моссаковский В. И., Рыбка В. М. Влияние истории внешнего нагружения на напряженно-деформированное состояние трещиноватой среды при наличии трения. // Изв. Ан СССР. МТТ. 1977. № 4. С. 137-142.

9. Бойко Л. Т., Беркович П. Е. Контактная задача для плоскости, содержащей щель переменной ширины. // ПММ. 1974. Т. 38. № 6. С. 1084-1089.

10. Витвицкий П. М., Кривенъ В. А. Упругое равновесие тела, ослабленного трещиной со взаимодействующими берегами. // ФХММ. 1981. № 4. С. 111116.11 .Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости. // М.: Наука. 1980. 303 с.

11. Галин Л. А., Горячева И. Г. Контактные задачи теории упругости при наличии износа. // В сб.: Теория трения, износа и проблемы стандартизации // Брянск: Приокское книжное издательство. 1978. С. 251-265.

12. Голъдштейн Р. В. Плоская трещина произвольного разрыва в упругой среде. //Изв. АН СССР. МТТ. 1975. №3. С. 111-126.

13. А.Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Равновесие полостей и трещин-разрезов с областями налегания и раскрытия в упругой среде. // ПММ. 1986. Т. 50. №5. С. 826-834.

14. Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Равновесие трещин и полостей при сложном нагружении с учетом областей контакта и свободной поверхности, скольжения и сцепления. // ИПМ АН СССР. Препринт № 276. Москва. 1986. 63 с.

15. Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Анализ равновесия плоской трещины с учетом образования в областях налегания зон скольжения и сцепления при сложном нагружении. // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 2. С. 141-148.

16. Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Напряженное состояние упругой среды, ослабленной эллиптической трещиной со взаимодействующими поверхностями при сложном нагружении. // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. № 1. С. 126132.

17. Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Численно-аналитический метод решения пространственных смешанных задач теории упругости с неизвестной границей для полостей и трещин. Часть I. // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. № 4. С. 7585.

18. Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. О некоторых особенностях деформации трещиноватой среды при сдвиговом нагружении. // Докл. АН СССР. 1991. Т. 321. № 5. С. 929-931.

19. Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Анализ предельного равновесия трещин при сложном нагружении с учетом образования областей налегания и раскрытия, скольжения и сцепления ее поверхностей. // ФХММ. 1993. № 4. С. 38-45.

20. Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Деформация трещиноватой среды при сдвиговом нагружении. // Изв. Ан СССР. МТТ. 1993. № 3. С. 161-168.

21. Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В., Морозова Т. М. Равновесие системы разрезов при образовании на них областей налегания и раскрытия. // ПММ. 1991. №4. С. 672-678.

22. Голъдштейн Р. В., Савова Л. Н. Об определении раскрытия и коэффициентов интенсивности напряжений для гладкой криволинейной трещины в упругой плоскости. // Изв. Ан СССР. МТТ. 1972. № 2. С. 69-78.

23. Голъдштейн Р. В., Салганик Р. Л. Плоская задача о криволинейных трещинах в упругом теле. // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. № 3. С. 69-82.

24. ЗЪ .Гольдштейн Р. В., Спектор А. А. Вариационный метод исследования пространственных задач о плоском разрезе в упругой среде при наличии проскальзывания и сцепления его поверхностей. // ПММ. 1983. Т. 47. № 2. С. 276-285.

25. ЪА.Горячева И. Г. Плоские и осесимметричные контактные задачи для шероховатых упругих тел. //ПММ. 1979. Т. 43. № 1.

26. Горячева И. Г., Добычин М. Н. Контактные задачи в трибологии. // М.: Машиностроение. 1988. 254 с.36Дацышин А. П., Марченко X. П., Панасюк В. В. К теории развития трещин при контакте качения. // ФХММ. 1993. № 4. С. 49-61.

27. Житников Ю. В., Тулинов Б. М. Расчет деформационных свойств твердого тела с закрытой трещиноватостью в сложнонапряженном состоянии. // Изв. Ан СССР. МТТ. 1984. № 1. С. 117-124.

28. Каландия А. И. Замечания об особенности упругих решений вблизи углов. // ПММ. 1969. Т. 33. № 1. С. 132-134.

29. Каландия А. И. Математические методы двумерной упругости. // М.: Наука. 1973.303 с.

30. Карпенко Л. Н. Про зображення функцш за допомогою многочлешв Якоб1 та обчислення деяких гнтегралгв типу Кони. // Вюник Кшвського ушверситету. Сер1я математики та мехашки. 1971. № 13. С. 74-79.

31. Карпенко Т. Н. Контактная задача для цилиндрической оболочки со штампом в условиях сцепления. // Прикладная механика. 1980. № 5. С. 57-61.

32. Костров Б. В., Фридман В. Н. Механика хрупкого разрушения при сжимающих нагрузках. // В кн.: Физика очага землетрясения // М.: Наука. 1975. С. 30-44.

33. Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: МГАПИ. 1997. 340 с.

34. Линьков А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. // Санкт-Петербург: Наука. 1999. 384 с.

35. Линьков А. М., Могилевская С. Г. Конечно-частные интегралы в задачах о пространственных трещинах. //ПММ. 1986. Т. 50. № 5. С. 844-850.

36. Линъков А. М., Могилевская С. Г. Гиперсингулярные интегралы в плоскихзадачах теории упругости. // ПММ. 1990. Т. 54. № 1. С. 116-122.

37. Моссаковский В. И., Загубиженко П. А., Беркович П. Е. Об одной задаче для плоскости, содержащей трещину // Прикладная механика. 1965. № 8. С. 108111.

38. Моссаковский В. И., Рыбка В. М. Неосесимметричное сжатие упругого пространства ослабленного круговой щелью. // В кн.: Гидроаэромеханика и теория упругости. // Днепропетровск: Изд-е ДГУ. 1976. № 23. С. 149-156.

39. Никитин Л. В., Одищев В. Н. Распространение трещин отрыва в сжатых горных породах. // В сб: Пластичность и разрушение твердых тел. Сер. Прочность и вязкоупругопластичность. //М.: Наука. 1988. С. 157-165.

40. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики.//М.: Наука. 1984.344 С.

41. Ы.Никишин В. С., Шапиро Е. С. О локальном осесимметричном сжатии упругого слоя, ослабленного кольцевыми и круговыми щелями. // ПММ. 1974. Т. 38. № 1. С. 139-144.

42. Панасюк В. В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. // Киев:

43. Наукова думка. 1966. 246 с.бА.Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышш А. П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. // Киев: Наукова думка. 1976. 443 с.

44. Саврук М. П. О построении интегральных уравнений теории упругости для тел с криволинейными трещинами. // ФХММ. 1976. № 6. С. 111-113.

45. Саврук М. П. Контактная задача теории упругости для бесконечной плоскости с криволинейным разрезом. // ФХММ. 1981. Т. 17. № 1. С. 67-71.

46. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. // Киев: Наукова думка. 1981. 323 с.

47. Саврук М. П. Система криволинейных трещин в упругом теле при различных граничных условиях на их берегах. // ФХММ. 1978. V. 14. № 6. С. 74-84.

48. Салганик Р. Л. О хрупком разрушении склеенных тел. // ПММ. 1963. Т. 27. № 5.С. 957-962.

49. Салганик Р. Л. Механика тел с большим числом трещин. // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. №4. С. 149-158.71 .Сеге Г. Ортогональные многочлены. // М.: Физматгиз. 1962. 500 с.

50. Спектор А. А. Асимптотика решений некоторых пространственных контактных задач с проскальзыванием и сцеплением около линий раздела граничных условий. //Изв. АН АрмССР. Механика. 1980. Т. 33. № 1. С. 43-53.

51. Спектор А. А. Некоторые пространственные статические контактные задачи теории упругости с проскальзыванием и сцеплением. // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. №3. С. 12-25.

52. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. // Л.: Наука. 1967. 402 с.

53. Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных материалов. // М.: Наука. 1983. 296 с.

54. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. // М.: Наука. 1974. 640 с.

55. Chau К. Т., Wang Y. B. Singularity analysis and boundary equation method for frictional crack problems in two-dimensional elasticity. // Int. J. Fracture. 1998. V. 90. P. 251-274.

56. Chawla M. M., Ramacrishnan T. R. Modified Gauss-Jacobi quadrature formulas for the numerical evaluation of Cauchy type singular integrals. // BIT. 1974. V. 14. № l.p. 14-21.

57. ComninouM. The interface crack. // J. App. Mech. 1977. V. 44. P. 631-636. %Ъ.Сотптои M. Interface crack with friction in the contact zone. // J. App. Mech.1977. V. 44. P. 780-781.

58. Comninou M., Chang F.-K. Effects of partial closure and friction on a radial crack emanating from a circular hole. // Int. J. Fracture. 1985. V. 28. P. 29-36.

59. Datsyshyn O. P., Panasyuk V. V. Durability and fracture calculation model of solids under their contact interaction. // Proceedings of the 11th Biennial European Conference on Fracture. France. 1996. V. 2. P. 1381-1385.

60. Deng X. An asymptotic analysis of stationary and moving cracks with frictional contact along bimaterial interfaces and in homogeneous bodies. // International Journal of Solids and Structures. 1994. V. 31. P. 2407-2429.

61. Deng X. A note on interface cracks with and without friction in contact zone. // J. App. Mech. 1994. V. 61. P. 994-995.

62. Dyskin A. V., Salganik R. L. Model of dilatancy brittle materials with cracks under compression. //Mechanics of Solids. 1987. V. 6. P. 165-173.

63. Erdogan F. E., Gupta G. D., Cook T. S. The numerical solutions of singular integral equations. 11 In: Methods of Analysis and Solutions of Crack Problems. Noordhoff Intern. Publ. Leyden. 1973. P. 368-425.

64. Goldstein R. V., Entov V. M. Variations bounds and qualitative methods in fracture mechanics. // Prock. 4th Internal Conf. on Fracture. Canada. 1977. New-York // London: Pergamon Press. 1978. V. 4.

65. Goldstein R. V., Zitnikov Y. V. Equilibrium of a crack system with a partial contact and opening of their surfaces. IJ С. R. Academie des Sciences Paris. Mecanique des solides. 1992. T. 315. Seriell. P. 1581-1584.

66. Irwin G. R. Analysis of stress and strain near the end of crack traversing a plate. II J. Appl. Mech. 1957. V. 24. № 3. P. 361-364.

67. Khrapkov A. A. The first basic problem for a notch at the apex of an infinite