Численный анализ динамики и устойчивости геометрически нелинейных упругих стержневых систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

#*? ж

...... <С //й

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ЛАЗЕРНОЙ ФИЗИКИ Иркутский филиал

На правах рукописи

ЛУКЬЯНОВ Андрей Анатольевич

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИКИ И УСТОЙЧИВОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙН1>1Х УПРУГИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

01.02.06 - динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Остроменский П.И. Научный консультант: кандидат технических наук, доцент Безделев В.В.

Иркутск -1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ .................................................................. 5

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА УПРУГИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.............................................................................. 10

1.1. Геометрически нелинейные математические модели стержневых систем......................................................................................................... 10

1.2. Методы построения уравнений движения геометрически нелинейных стержневых механических систем..................................................... 17

1.3. Методы численного интегрирования нелинейдых.уравнений движения..................................................................................... 19

1.4. Прикладные вопросы динамики упругих геометрически нелинейных стержневых систем.................................................................................... 22

1.5. Задачи динамики и управления упругих манипуляторов......................... 25

1.6. Выводы. Постановка задач и цели исследования.................................... 28

2. УТОЧНЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЕВОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА...................... 31

2.1. Основные кинематические соотношения................................................. 31

2.2. Геометрически нелинейный стержневой конечный элемент.................. 36

2.3. Особенности реализации модели в методе конечных элементов........... 44

2.4. Упругие характеристики отдельного конечного элемента...................... 46

2.5. Итерационный алгоритм статического расчета геометрически нелинейной стержневой системы..................................................................... 49

2.6. Методика учета больших поворотов и перемещений узлов конечно-элементной модели стержневой системы................................................. 50

2.7. Выводы....................................................................................................... 57

3. ЧИСЛЕННАЯ МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА УПРУГИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ..................................................................................................... 58

3.1. Уравнения динамического равновесия системы...................................... 58

3.2. Прямое численное интегрирование нелинейных уравнений движения................................................................................................................... 59

3.3. Исследование точности методик прямого численного интегрирования нелинейных уравнений движения........................................................ 64

3.4. Учет нелинейной зависимости сил инерции от перемещений в методах прямого численного интегрирования................................................... 71

3.5. Выводы........................................................................................................... 75

4. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ

СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ....................................................................................... 76

4.1. Алгоритмы и подпрограммы, реализующие разработанную математическую модель геометрически нелинейного стержневого конечного элемента..................................................................................................... 77

4.2. Модуль прямого численного интегрирования уравнений движения геометрически нелинейных стержневых систем........................................ 83

4.3. Архитектура комплекса программ «COMPASS». Особенности его реализации на основе современного программного обеспечения............ 87

4.4. Верификация разработанных программ: расчет упругих стержней в статике, анализ устойчивости сжатых и изогнутых стержней.................. 93

4.5. Динамический анализ стержневых механических систем при наличии в них состояний неустойчивости.......................................................... 101

4.6. Исследование характеристик упругого виброизолирующего элемента с квазинулевой жесткостью..................................................................... 106

4.7. Выводы........................................................................................................... 111

5. ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ

СИСТЕМ - УПРУГИХ РОБОТОВ......................................................................... 113

5.1. Постановка задач обратной кинематики и обратной динамики упругих манипуляторов........................................................................................ 113

5.2. Методика формирования уравнений динамики упругого манипулятора.................................................................................................................. 115

5.3. Методика решения обратной задачи кинематики упругого манипулятора.............................................................................................................. 123

5.4. Численная проверка методики решения обратной задачи кинематики..................................................................................................................... 135

5.5. Экспериментальная проверка методики решения обратной задачи кинематики на пространственном упругом манипуляторе....................... 138

5.6. Проектирование оптимальных манипуляторов промышленных роботов с учетом параметров управления и динамических ограничений................................................................................................................... 158

5.7. Выводы........................................................................................................... 163

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.............................................................. 164

ЛИТЕРАТУРА............................................................... 166

ПРИЛОЖЕНИЯ.............................................................. 178

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время значительное внимание в мире уделяется проблемам экономии материальных и энергетических ресурсов. Задачи уменьшения веса конструкций и механических систем при одновременном увеличении их надежности являются актуальными не только для аэрокосмической и авиационной техники, но и для других областей народного хозяйства. Негативной стороной уменьшения веса элементов инженерных конструкций является снижение их жесткости. Малая жесткость приводит к большим упругим перемещениям элементов, повышается вероятность потери устойчивости элементов. В управляемых механических системах, например, роботах упругие колебания манипуля-ционных систем малой жесткости оказывают существенное влияние на точность позиционирования и быстродействие. В частности, при повышении скорости движения манипулятора робота упругие колебания рабочего органа нередко превышают допустимую технологическим процессом погрешность.

Одним из перспективных направлений уменьшения отрицательных факторов, возникающих при использовании элементов малой жесткости в технических системах является разработка эффективных методов расчета, управления и проектирования на базе уточненных нелинейных моделей упругих деформаций основных элементов технических систем. В работе рассматривается класс стержневых геометрически нелинейных упругих механических систем. Геометрическая нелинейность механических систем с упругими элементами может быть обусловлена двумя следующими причинами. Во-первых, при больших величинах упругих перемещений и поворотов элементов деформированной системы нарушается пропорциональная зависимость между приложенными к системе силами и упругими перемещениями [31, 39, 86, 118, 132]. В частности, в стержневых системах, действующие вдоль оси стержней силы приводят к изменению жесткости этих стержней и способны вызвать потерю их устойчивости. Во-вторых, геометрическая нелинейность может быть вызвана перемещениями и поворотами упругих тел механической системы относительно друг друга благодаря наличию между ними кинематических соединений [99, 100,126,129].

В настоящее время для решения геометрически нелинейных задач статики и динамики упругих стержней имеется хорошо разработанная теория тонких стержней [26, 27, 28, 34, 50, 56, 57], на основе которой можно получать аналитические (в некоторых случаях) или приближенные решения. Однако практическое использование указанной теории при вычислительных экспериментах на ЭВМ существенно осложнено, так как требует

решения нелинейных дифференциальных уравнений со сложными граничными условиями. Для численного решения подобных трехмерных задач прикладной механики в вариационной постановке наиболее хорошо приспособлен метод конечных элементов (МКЭ) [5, 29, 30, 53, 93, 94], ставший основным инструментом численного анализа прочности и надежности конструкций и механических систем. Преимуществами МКЭ являются: хорошо обоснованный математический аппарат, универсальность метода, его направленность на численную реализацию с помощью ЭВМ, удобство инженерной интерпретации сложных моделей как ансамбля конечных элементов. Все это обуславливает большую эффективность основанных на МКЭ нелинейных моделей, позволяющих производить сложные статические и динамические исследования геометрически нелинейных стержневых механических систем большой размерности. Однако разработанные в настоящее время конечноэлементные модели геометрически нелинейных стержней [25, 31, 52, 55, 77, 86, 93, 94, 99, 100, 118, 129, 135] не в полной мере учитывают особенности пространственной деформации стержней. В частности, эти модели не учитывают взаимосвязь пространственного изгиба и кручения, взаимосвязь растяжения и кручения, не учитывается нелинейность распределения осевой силы по оси стержня при его изгибе.

Большой интерес уделяется задачам управления нелинейными упругими механическими системами [80, 82, 130, 131, 143, 145, 153]. Примером таких стержневых нелинейных упругих стержневых систем являются упругие манипуляторы роботов [99, 111, 126, 129]. Помимо малой массы данные управляемые упругие механические системы обладают также высоким быстродействием и меньшим энергопотреблением по сравнению с их жесткими аналогами. Однако, при управлении ими возникает целый ряд сложных проблем, связанных с негативным влиянием податливости упругих элементов [84, 90, 146, 147, 149]. Для решения задач управления нелинейными упругими стержневыми системами математические модели таких систем должны позволять быстро определять управляющие воздействия и формировать эти воздействия с учетом упругих колебаний систем [85, 113, 115, 140]. Более того, большой интерес уделяется задачам поиска оптимальных параметров конструкции и оптимального управления упругих механических систем на этапе их проектирования с целью достижения оптимальных характеристик [48, 84, 98, 136,139,148].

Таким образом, задачи разработки и численной реализации уточненных моделей геометрически нелинейных упругих стержневых систем очень актуальны. Эффективное решение этих задач позволяет в свою очередь решать актуальные прикладные задачи

расчета, управления и проектирования упругих стержневых механических систем. Решению этих задач посвящена данная диссертационная работа.

Целью диссертационной работы является разработка уточненных математических моделей упругих геометрически нелинейных стержневых управляемых и неуправляемых механических систем, создание алгоритмов и программных модулей на базе предложенных моделей, а также проверка их эффективности и адекватности при решении конкретных прикладных задач.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения.

В первой главе приводится краткий аналитический обзор основных существующих методов моделирования геометрически нелинейных упругих стержневых систем, методов численного анализа динамики указанных систем, прикладных вопросов проектирования и управления, связанных с динамическим анализом указанных систем. Проанализированы их особенности, достоинства и недостатки, которые следует учитывать при разработке новых математических моделей и реализации методов численного анализа, позволяющих реализовать статический и динамический расчет широкого класса указанных систем в универсальном пакете программ на ЭВМ. Проанализированы методы решения прикладной задачи динамики и управления упругих манипуляторов роботов - обратной задачи кинематики, отмечены их особенности и недостатки. На основании проведенного анализа формулируются основные задачи исследования.

Во второй главе рассматривается предложенная уточненная модель геометрически нелинейного стержневого конечного элемента для решения задач статики, устойчивости и динамики упругих пространственных стержневых систем; рассматриваются методика учета больших перемещений и поворотов узлов конечного элемента. С использованием аппарата метода конечных элементов разработан геометрически нелинейный стержневой конечный элемент. В аналитическом виде получены выражения для вычисления компонентов матрицы касательной жесткости, вектора упругих сил и вектора напряжений стержневого элемента. Исследованы упругие характеристики разработанного стержневого конечного элемента, подтверждающие особенности его уточненной математической модели. Разработана методика для учета больших перемещений и поворотов узлов стержневых элементов в глобальной системе координат на итерациях нелинейного численного анализа при соблюдении гипотезы о малости поворотов узлов в локальных системах координат элементов.

В третьей главе разрабатывается алгоритм численного интегрирования геометрически нелинейных систем. Дифференциальные уравнения движения геометрически нели-

нейной системы получаются из принципа Даламбера. Проводится сравнительный анализ неявных методов прямого численного интегрирования уравнений движения нелинейных упругих систем, по результатам которого выбирается наилучший метод численного интегрирования. Анализируется точность решения методик в сравнении с аналитическим решением на примере вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы с нелинейной упругой характеристикой. Анализируется ошибка решения для обобщенных перемещений, величина невязки уравнений динамического равновесия, влияние величины шага интегрирования и амплитуды колебаний на точность решения. Исследуется применимость методик для динамического анализа геометрически нелинейных систем с состояниями неустойчивости.

В четвертой главе дается описание подпрограмм и алгоритмов для численного анализа геометрически нелинейных стержневых систем, разработанных на основе предложенных математических моделей, соотношений, методик и алгоритмов. Рассмотренные подпрограммы реализованы на языке Fortran-90 и позволяют моделировать геометрически нелинейные стержневые системы, а также производить их статический и динамический анализ. Рассмотренные подпрограммы выполнены в виде программных модулей, которые были добавлены в состав комплекса программ «COMPASS», что позволяет с его помощью производить статический и динамический расчет широкого класса упругих стержневых систем с учетом их геометрической нелинейности, производить анализ их устойчивости. В главе приведены результаты верификационных расчетов геометрически нелинейных стержневых систем, которые сравниваются с аналитическими решениями задач. Произведен динамический анализ стержневой системы с наличием неустойчивого состояния равновесия. Выполнен прикладной расчет стержневой системы с квазинулевой жесткостью с целью выявления зависимости параметров квазинулевого участка упругой характеристики системы от конструктивных параметров системы.

В пятой главе рассматривается прикладные задачи динамики упругих манипуляци-онных систем. Для решения первой задачи, обратной задачи кинематики упругих манипуляторов роботов, предлагается новый численный итерационный метод. Для моделирования динамики упругого манипулятора использована эффективная приближенная методика, позволяющая получить уравнения движения манипулятора в кратком аналитическом виде, что значительно сокращает вычислительные затраты на реализацию модели в системе управления. Дифференциальные нелинейные уравнения движения манипулятора в его обобщенных координатах получаются в аналитическом виде на основе уравнений Лагранжа второго рода. Обратная задача кинематики упругого манипулятора формули-

руется в виде системы нелинейных дифференциальных алгебраических уравнений, состоящей из алгебраического уравнения геометрической связи, наложенной на положение рабочего органа манипулятора, и дифференциального уравнения динамического равновесия. Решение обратной задачи кинематики находится в процессе совместного интегрирования данной системы уравнений итерационным численным методом. Исследована устойчивость предложенного численного метода, получено достаточное условие его сходимости, выявлены влияющие на сходимость факторы. Проведена экспериментальная проверка разработанного метода решения обратной задачи кинематики на пространственном упругом манипуляторе. Численные и экспериментальные результаты показали хорошую эффективность предложенного метода. В частности, при использовании метода в эксперименте ошибка в отслеживании траектории была уменьшена более чем в 3 раза,