Развитие и применение МКЭ для решения геометрически нелинейных задач тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.03 ВАК РФ

ПРЕДИСЛОВИЕ.А

1. КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР РАБОТ ПО РАСЧЕТУ

СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ, МЕМБРАН, ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ.

1.1. Введение .&

1.2. Методы расчета стержневых систем,мембран, пластин и оболочек в геометрически нелинейной постановке ."

1.3. Применение МКЭ к решению геометрически нелинейных задач.

1.4. Общие уравнения строительной механики.

2. РАСЧЕТ СТЕР&НЕВЫХ СИСТЕМ.

2.1. Введение

2.2. Общие уравнения строительной механики для решения геометрически нелинейных задач с использованием метода Ньютона-Рафсона

2.3. Получение касательной матрицы жесткости для расчета стержневых систем с шарнирными узлами.^

2.4. Примеры расчета стержневых систем с шарнирными узлами.

2.5. Получение касательной матрицы жесткости для расчета плоских стержневых систем.

2.6. Исследование устойчивости стержневых систем

2.7. Примеры расчета плоских стержневых систем

3. РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ

3.1. Введение

3.2. Получение касательной матрицы жесткости для треугольного мембранного элемента .9Ц

3.3. Примеры расчета мембран.

3.4. Построение матрицы жесткости для расчета пластинок и оболочек.

3.5. Примеры расчета пластинок и оболочек . 1Ъ

4. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ДЛЯ РАСЧЕТА СИСТЕМ С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ . *

4Л. Введение

4.2. Описание методов и алгоритмов для решения геометрически нелинейных задач.

4.3. Описание программного комплекса.

ВЫВОДЫ.

В соответствии с решениями ХХУ1 съезда КПСС и основными направлениями пятилетнего плана в нашей стране увеличиваются объемы и темпы капитального строительства. Это достигается за счет совершенствования конструкций, снижения материалоемкости строительства, улучшения качества проектных работ. Наиболее перспективными в строительстве являются тонкостенные пространственные конструкции, образованные из стержней, мембран, пластин и оболочек. Подобные конструкции необходимо рассчитывать с учетом геометрической нелинейности. Развитие более точных методов расчета на базе мощных ЭВМ позволяет достичь снижения веса названных конструкций при сокращении их высокой надежности.

Расчет конструкций в геометрически нелинейной постановке основан на фундаментальных работах Л.Эйлера, И.Г.Бубнова,Б.Г. Галеркина, П.Ф.Папковича, С.П.Тимошенко, Е.Л.Николаи, А.И. Лурье, В.З.Власова, В.В.Новожилова, В.В.Болотина, В.И.Фео-досьева, Э.И.Григолюка, И.И.Гольденблата, Я.Г.Пановко, А.Р. Ржаницына и других ученых. Получение аналитических решений геометрически нелинейных задач является сложной математической проблемой. Поэтому для решения этих задач широко используются численные методы, развитие которых тесно связано с применением современной вычислительной техники. Большую роль в развитии численных методов сыграли работы А.Ф.Смирнова, А.С. Вольмира, Л.А.Розина, В.А.Постнова, А.П.Филина, Д.В.Вайнбер-га, Н.П.Абовского, А.В.Александрова, А.Л.Синявского, А.С.Сахарова, А.С.Городецкого, А.Г.Угодчикова, В.И.Мяченкова, Р.А. Резникова, Б.Я.Лащеникова, Н.Н.Шапошникова, З.И.Бурмана, В.Н. Кислоокого и др.

Настоящая работа посвящена развитию метода конечных элементов (МКЭ) применительно к расчету геометрически нелинейных стержневых, мембранных, пластинчатых и оболочечных конструкций. Работа состоит из четырех глав. В первой главе приведен краткий перечень работ по общим вопросам расчета стержневых систем, мембран, пластин и оболочек в геометрически нелинейной постановке, дан краткий обэор работ по применению МКЭ для решения этих задач. Особенностью работы является широкое использование принципа двойственности и общих уравнений строительной механики, поэтому в этой главе приведены краткие сведения об этих уравнениях. Во второй главе, посвященной расчету стержневых систем, дано дальнейшее развитие общей системы уравнений строительной механики применительно к решению геометрически нелинейных задач с использованием метода Ньютона-Рафсо-на. На базе этих уравнений построены касательные матрицы жесткости для стержня с шарнирными и жесткими узлами. Рассмотрены вопросы исследования устойчивости равновесных форм плоских стержневых систем, описана экспериментальная диалоговая система для решения геометрически нелинейных задач. В третьей главе построена касательная матрица жесткости для расчета мембран. В этой же главе приведена матрица треугольного элемента, работающего на изгиб, для расчета пластин и оболочек в геометрически нелинейной постановке. Материал второй и третьей глав проиллюстрирован большим количеством тестовых задач и задач, решенных для нужд практики. В последней главе рассмотрены вопросы реализации.

Далее остановимся на общей характеристике работы.

Актуальность проблемы. В практике современного проектирования все более широко используются гибкие конструкции, представляющие собой отдельные нити, системы нитей, гибкие стерж невые конструкции, мембраны, гибкие пластины и оболочки. Подобные конструкции используются при строительстве спортивных комплексов, покрытий цехов и других сооружений, имеющих большие пролеты. Эти конструкции необходимо рассчитывать с учетом геометрической нелинейности. Поэтому тема диссертационной работы является актуальной.

Цель диссертационной работы. Разработать алгоритм и программный комплекс для расчета стержневых систем, мембран, пластин и оболочек в геометрически нелинейной постановке с учетом исследования их устойчивости.

Научная новизна. Разработана единая методика построения касательных матриц жесткости с использованием общих уравнений строительной механики. Получена новая касательная матрица для расчета мембран, пластин и оболочек. Исследована возможность i применения диалогового режима для решения геометрически нелинейных задач.

Достоверность полученных результатов проверена на большом количестве тестовых задач расчета стержневых систем, мембран, пластин и оболочек, решенных другими методами.

Практическое значение и внедрение. Разработанный комплекс программ включен в систему СПРИНТ, переданную в фонд алгоритмов и программ Госстроя СССР. С использованием этого комплекса рассчитаны следующие практические задачи: поперечная ферма ангара, стенка прямоугольного в плане металлического бассейна, мембранное покрытие хоккейного корта и ряд мембран для ЦНИИСК и ЦНИИПСК.

Доклады и публикации. Основные положения диссертационной работы докладывались на У-ой школе-семинаре "Метод конечных элементов в механике деформируемых тел". (Рига,1981 г.) , на кафедре "Строительная механика" МИИТ (1982, 1983, 1984 гг.) .

Материалы диссертации опубликованы в пяти статьях автора.

Работа над диссертацией выполнялась на кафедре "Строительная механика" в лаборатории "Автоматизация расчетов и проектирования транспортных сооружений и конструкций" (МИИТ) . Работа неоднократно обсуждалась на кафедре "Строительная меха-it ника, сотрудникам которой автор выражает свою признательность. Особую благодарность автор выражает своему научному руководителю профессору Н.Н.Шапошникову и заведующему кафедрой профессору А.В.Александрову.

В заключении предисловия отметим, что в диссертации:

1) принята двойная нумерация параграфов, первая цифра указывает номер главы, вторая - номер параграфа в главе;

2) принята тройная нумерация рисунков, формул и таблиц, первая цифра указывает номер главы, вторая - номер параграфа, а третья - порядковый номер в параграфе.

Объем диссертации:

1. Полный объем - 173 страницы.

2. Пустые места (каждый параграф напечатан с новой страниц цьП - 8 страниц.

3. Объем, занимаемый таблицами - 17 страниц.

4. Объем, занимаемый рисунками - 29 страниц.

5. Список литературы - 15 страниц. Текстовая часть диссертации - 104 страницы.

I. КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР РАБОТ ПО РАСЧЕТУ СТЕШНЕВЫХ СИСТЕМ, МЕМБРАН, ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

I.I. Введение

В диссертации рассмотрены вопросы расчета шарнирно стержневых систем, нитей, плоских стержневых систем с жесткими узлами, мембран, пластин и оболочек при больших перемещениях. Ниже приведены краткие исторические обзоры работ по методам расчета этих систем. В обзорах в основном отражены работы, наиболее близкие к подходам, используемым в данной работе. Более полные обзоры по рассматриваемым вопросам можно найти в следующих работах: по расчету нитей в работах В.К.Качурина [48,49] ; применительно к мостовым конструкциям в работе В.А.Смирнова

121] ; по расчету мембран в работе В.И.Трофимова [129] ; по расчету пластин и оболочек в геометрически нелинейной постановке в работах А.С.Вольмира [211 , П.А.Лукаша [74] ив работе С.Б.Косицына [63] . Общий обзор методов расчета нелинейных задач строительной механики, и в частности геометрически нелинейных, приведен в работе П.А. Лукаша [73] . Обзор зарубежных работ по решению нелинейных задач с использованием МКЭ приведен в статье Х.Мартина (И.С. Moitiiп) [157] , по расчетам пластин и оболочек в геометрически нелинейной постановке в статье Р.Галлахера ( R.M.Goiffa^he'z) [150] .

В настоящей работе для решения геометрически нелинейных задач используется метод Ньютона-Рафсона. В статье В.Шмидта (W F SmloLi) приведен обзор по использованию метода

Ньютона-Рафсона и его модификаций к решению нелинейных уравнений, в том числе вблизи критических точек.

Особенностью настоящей работы является широкое использование принципа двойственности, приведенного в работе А.Р.Ржани-цына [115] , и общих уравнений строительной механики, рассмотренных в работах Р.А.Резникова [109] и Н.Н.Шапошникова

108,136] , Сабо ( Л . S?Gffo) [161] . При составлении общих уравнений строительной механики будем использовать системный подход: первоначально эти уравнения составляются в локальной системе координат для отдельного стержня, далее для составления общих уравнений для всей системы производится перевод в глобальную систему координат. В табл.1.1.1 приведены обозначения координатных осей, перемещений и реакций в глобальной и локальной системах координат. Так как в дальнейшем рассматриваются геометрически нелинейные задачи, введены обозначения этих величин и для деформированного состояния.

Таблица I.I.I

Глобальные Локальные Деформированное состояние

Оси координат X.Y.Z М>г координаты Xi,Yi,Zi перемещения Ui М ,4i Ui,Vc, Wc LL,tf,W t—* Ui,ViM силы RfxjRfyjRi? Zixjlip^ii ^ /V/ fw 7-сx , у Т/г

1.2. Методы расчета стержневых систем, мембран, пластин и оболочек в геометрически нелинейной постановке

Задача учета геометрической нелинейности в стержневых системах впервые возникла при расчетах гибких стержней и нитей. В 1744 году Л.Эйлер исследовал задачу о продольном изгибе стержня с помощью бесконечных рядов. Далее, Su/jo получено С 1823 г.) уравнение кривой, которую занимает цепь под действием равномерно распределенной нагрузки. В 1830 году Навье рассчитал нерастяжимую гибкую нить. Е.Л.Николаи [90*1 изучал нелинейное дифференциальное уравнение упругой линии в плоскости и в пространстве. Расчетом стержней в геометрически нелинейной постановке занимались А.Н.Крылов, П.Ф.Папкович, С.П. Тимошенко [ 127] . Вопросы расчета стержней и нитей с использованием аналитических методов получили дальнейшее развитие в работах Е.П.Попова [102] , Р.Н.Мацелинского [79] , Н.Г. Бондаря [16] и др.

Общая теория расчета гибких нитей разработана В.К.Качури-ным [48,49 1 . В этих работах рассмотрен расчет гибких и жестких нитей, имеющих опоры на разных уровнях. Условные линии влияния при расчете висячих комбинированных систем с учетом геометрической нелинейности предложил Н.М.Кирсанов [58] . Теория расчета висячих комбинированных систем на основе матричных алгоритмов смешанного метода разработана в работах А.А.Петропавловского [96,97] . Ряд-инженерных задач расчета комбинированных систем А.В.Александровым и приведен в работе [8] . Применив метод сил в матричной форме, Э.Р.Даниелов и В.Е.Киселев [Зб] разработали алгоритм расчета рам с учетом геометрической нелинейности. . ^ г i лг' ■"

Анализу висячих мостов с учетом геометрической нелинейности посвящена работа В.А.Смирнова [l2l] . В ней автор приводит обзор литературы по теории и методам расчета висячих мостов, предлагает алгоритм расчета нитей на основе дискретной схемы. При этом нелинейные дифференциальные уравнения равновесия выражаются системой конечноразностных уравнений и решаются на основе методов линейной алгебры. Вантово-балочные мосты моделируются в виде дискретно-континуальных комбинированных систем в работе В.С.Сафронова [1171 . Для исследования нитей с учетом геометрической нелинейности дискретная модель принята в виде шарнирной цепи. На основе принципа возможных перемещений получена нелинейная система уравнений равновесия. В работе [831 Н.С.Москалев предложил методику расчета двухпоясных вантовых ферм. Расчету мостов с учетом геометрической нелинейности посвящены работы В.И.Скворцова [123] , И.Ш.Гершуни [28] и др.

Метод скорейшего спуска и обобщенный метод Ньютона-Рафсона применил к решению нелинейных уравнений равновесия вантовой сети А.С.Сахаров [118] . Численные (итерационные,шаговые) и аналитические методы расчета вантовых покрытий рассмотрены Л.Г.Дмитриевым и А.В.Касиловым [ 37} . Расчету висячих систем посвящена работа Я Sot^O [162] . Методами расчета и принципами конструирования вантово-стержневых систем занимался А.В.Перельмутер [98] . Вопросы статического и динамического расчета нитей и вантовых систем изучались в работах А.Р. Ржаницына [114] , В.Н.Кислоокого [53] , В.А.Светлицкого [124] .

Далее остановимся на обзоре работ по расчету мембран, пластин и оболочек. Теория упругости с учетом геометрической нелинейности изложена в капитальных трудах А.И.Лурье [76] ,

В.В.Новожилова [88,89] , И.И.Гольденблата [25] , А.Грина и Дж.Адкинса [31] .

Обзор работ по расчету мембран приведен в книге В.И.Трофимова [129] . Расчету круглых мембран на недеформируемом контуре посвящены работы Н.Генки ( N. Wenchy)[152] , С.П.Тимошенко и др. Одним из первых исследований, в котором учитывалась деформация контура, является работа С.А.Алексеева [31 .

В 1907 году А.Фёпплем [130] были получены нелинейные дифференциальные уравнения в декартовой системе координат для тонкой пластинки с изгибной жесткостью равной нулю. Расчету мембран на квадратном плане с недеформируемым и деформируемым контуром с использованием метода Бубнова-Галеркина посвящена работа А.С.Вольмира [20] . Далее эта задача рассматривалась в работах Л.И.Гольденберга [26,27] . Решение системы дифференциальных уравнений методом конечных разностей было предложено Н.Генки и развито в работе А.С.Григорьева Ц32] , П.М.Варвака и др.

Задача нелинейного изгиба пластин была поставлена И.Г.Бубновым в 1902 году при исследовании напряженно-деформированного состояния бесконечно длинной пластины, подверженной изгибу по цилиндрической поверхности. В зависимости от соотношения между напряжениями от изгиба и мембранными напряжениями введена классификация пластин, содержащая жесткие, гибкие и абсолютно гибкие (мембраны1) пластины. Дополнив систему, полученную А.Фёпплем для мембран, членами, учитывающими изгибную жесткость, Т.Карман в 1910 году получил систему дифференциальных уравнений для тонких изотропных пластинок в геометрически нелинейной постановке. Исследование пластинок и оболочек в геометрически нелинейной постановке рассматривалось в работах Х.М.Муштари [81,82] , В.З.Власова [19] , В.И.Феодосьева [131,132] , Э.И.Григолюка [ 33,34 1 , П.М.Огибало-ва, М.А.Колтунова [93] , К.З.Галимова [23] , В.П.Клюшни-кова [61] и других ученых. Метод конечных разностей использовался А.С.Вольмиром и А.Ю. Биркганом [22] при анализе больших прогибов прямоугольных пластин. М.С.Корнишиным [67] предложен вариант конечно-разностных соотношений повышенной точности. Большое количество решений задач изгиба пластин с различными граничными условиями приведено в книге М.С.Корни-шина и Ф.С.Исанбаевой [66] . Расчету осесимметричных оболочек посвящены работы В.И.Мяченкова, И.В.Григорьева [86] , В.П.Мальцева [87] . Пологие цилиндрические панели изучались в работах М.С.Корнишина и Н.Н.Столярова [68,122] . А.А.Лог-винская и В.В.Рогалевич [71] рассмотрели вопросы расчета пластин с переменной толщиной. А.Ф.Смирновым [120] предложен метод интегральной матрицы, который применялся им для решения уравнений Т.Кармана.

Д.В.Вайнберг, А.С.Сахаров, А.Л.Синявский [17] применили вариационно-разностный метод для расчета гибких пластин и оболочек. В.В.Петров [94] разработал шаговый метод интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений изгиба пластин и оболочек, основанный на линеаризации системы уравнений путем дифференцирования по параметру внешней нагрузки. Таким образом задача определения нелинейных деформаций системы с ростом нагрузки сводится к последовательности линеаризованных задач. Этот метод в дальнейшем получил развитие в работах самого В.В. Петрова и его учеников: В.В.Амельченко, В.А.Крысько, В.В.Карпова С 95,9,47] . А.В.Александров, Г.А.Мануйлов, Г.А.Нольде

5,91,85] применили этот метод к расчету составных осесимметричных пластин и оболочек. Для решения линеаризованной краевой задачи на каждом шаге применялась численная методика, ос нованная на использовании матрицы дифференцирования. В статье В.Л.Григорьевой [35] предложен численный метод исследования работы пластин при больших прогибах. Решение дифференциальных уравнений осуществлялось методом последовательных нагружений в сочетании с методом конечных разностей. На каждом шаге наг-ружения рассматривалась пологая оболочка, апликаты которой равны суммам прогибов за все предыдущие нагружения.

В работах зарубежных авторов нашел применение метод начальных значений, в котором в качестве параметра дифференцирования использовался параметр внешней нагрузки, а для решения систем дифференциальных уравнений применялись методы Рунге-Кутта, Адамса и др. Его развитием занимались Дж.Стриклин, В.Хейслер [1345 и др.

ВЫВОДЫ

1. Общие уравнения строительной механики являются удобным аппаратом для построения касательных матриц жесткости как стержневых, так и континуальных систем.

2. Составляющая касательной матрицы, учитывающая изменение направлений нормальных сил в стержневых системах, существенно влияет на процесс сходимости.

3. При большом количестве делений составляющая касательной матрицы, учитывающая продольно-поперечный изгиб не оказывает заметного влияния на процесс сходимости при расчете стержневых систем.

4. Диалоговый режим является удобным средством при расчете конструкций в геометрически нелинейной постановке и анализе их устойчивости.

5. Построенная в диссертации касательная матрица, учитывающая изменение направлений мембранных усилий может быть широко использована при расчетах мембран, пластин и оболочек в геометрически нелинейной постановке.

6. Метод Ньютона-Рафсона является удобным аппаратом для нахождения равновесных положений, но при его использовании нельзя ничего сказать об устойчивости этого положения. В существующих комплексах для решения систем линейных уравнений используется метод Гаусса, при этом по знакам ведущих элементов можно судить о положительной определенности матрицы, а следовательно, и об устойчивости найденного положения равновесия.

7. Большое количество примеров, решенных автором, говорит о высокой надежности разработанных алгоритмов и программ.

8. Разработанная библиотека конечных элементов и подсистема программ, включенные в комплекс СПРИНТ позволяют рассчитывать широкий класс гибких,упругих конструкций и решать задачи большой размерности.

1. Аргирис Дж. Матричный анализ малых и больших перемещений в трехмерных упругих средах.- Ракетная техника и космонавтика, 1965, №1, с.177-186.

2. Аксельрад ЭЛ. Гибкие оболочки. М.,Наука, 1976.-376 с.

3. Алексеев С.А. Расчет круглой упругой мембраны под равномерной поперечной нагрузкой.- Инж.сб. АН СССР, т.ХХУ,1959.

4. Александров А.В. Об исследовании геометрически нелинейных пологих оболочек методом последовательных догружений.-Тр. МИИТ, вып.456, 1974, с.57-64.

5. Александров А.В.,Мануйлов Г.А.,Нольде Г.А. Нелинейный изгиб упругих неразрезных осесимметричных пластин и пологих сферических панелей.-В кн.: Тезисы 4-й Всесоюзной конференции по проблемам устойчивости в строительной механике. Харьков, 1972, с.121-125.

6. Александров А.В.,Нольде Г.А. О численном исследовании работы пластин при больших прогибах.- Тр.МИИТ, вып.618, 1982, с.3-9.

7. Александров А.В.,Зылев В.Б.,Соловьев Г.П. Статический расчет системы нитей при действии неконсервативной нагрузки.- Строительная механика и расчет сооружений, 1983,1. Ю, с.16-20.

8. Александров А.В.,Лащеников Б.Я.Шапошников Н.Н. / Под ред. А.Ф.Смирнова. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. М., Стройиздат, 1983,- 488 с.

9. Амельченко В.В.,Крысько В.А. Исследование с помощью ЭВМ методом Бубнова-Галеркина гибких прямоугольных оболочек в закритическом состоянии.- Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. Вып.1, Саратов, 1972.

10. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.,Высшая школа,1976,272с.

11. Андреев Л.В.,Лебедев А.Г.,0бодан Н.И. Об одном варианте метода конечных элементов в нелинейных задачах теории пластин и оболочек.- Тр. X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Тбилиси, 1975.

12. Бабицкий Э.Г. Шаговый метод решения задачи о равновесии упругой гибкой пластинки в конечно-элементной постановке.- Известия вузов,строительство и архитектура, №9,1975

13. Бате К.,Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М., Стройиздат, 1982.- 448 с.

14. Болотин В.В.,Гольденблат И.И.,Смирнов А.Ф. Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. М., Стройиздат, 1972.- 192 с.

15. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М., Гостехтеориздат, 1956.- 360 с.

16. Бондарь Б.Г.,Осипов A.M. Некоторые нелинейные задачи изгиба стержней.- Исследования по теории сооружений, вып.17, М., Изд-во литературы по строительству,1969, с.153-162.

17. Вайнберг Д.В.,Сахаров А.С.Синявский А.Л. Исследование гибких пластин и оболочек.- Расчет пространственных конструкций, вып.14, М., Стройиздат, 1971.

18. Вайнберг Д.В.,Сахаров А.С.,Киричевский В.В. К исследованию сложных пространственных конструкций методом дискретных элементов при больших перемещениях.- Сопротивление материалов и теория сооружений, вып.15, Киев,Буд1вельник, 1971.

19. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М., Гостехиздат, 1949.- 784 с.

20. Вольмир А.С. Гибкие пластины и оболочки. М.,Гостехиздат, 1956.- 419 с.

21. Вольмир А.С. Обзор исследований по теории гибких пластин и оболочек с 1941 по 1957 гг.- Расчет пространственных конструкций, вып.4, М., Стройиздат, 1958.

22. Вольмир А.С.,Бирвган А.Ю. Исследование больших прогибов прямоугольной пластинки при помощи цифровых электронных машин.- Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение, №2, 1959.

23. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань, 1975.

24. Галлахер Р.Джелатли Р.,Падлог Дж. и др. Расчет неустойчивости тонких оболочек методом конечных элементов.-Ракетная техника и космонавтика, 1967, №1.

25. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М., Физматгиз, 1969. 336 с.

26. Гольденберг Л.й. Расчет металлических панелей с квадратными мембранами.- Строительная механика и расчет сооружений, 1972, № 6.

27. Гольденберг Л.И. Расчет мембраны при различных граничных условиях на контуре.- Строительная механика и расчет сооружений, 1970, № I.

28. Гершуни И.Ш. Построение расчетных моделей и автоматизация расчетов комбинированных мостовых систем с гибкими несущими элементами.- Дис. кацд.техн.наук.М.,1979.-198 с.

29. Городецкий А.С.,Карпиловский B.C. Построение разрешающих уравнений метода конечных элементов для трехмерной задачи нелинейной теории упругости.- Расчет пространственных строительных конструкций. 1975, вып. 5, Куйбышев.

30. Гречанинов И.П. Нелинейный изгиб пологой защемленной по контуру панели оболочки.- Тр.МВТУ, 1970, № 139.

31. Грин Л.,Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М., Мир, 1965.- 455 с.

32. Григорьев А.С.,Шадрин В.А. 0 равновесии квадратной мембраны при больших прогибах. Исследования по теории сооружений. Вып.ХХ1У, М., Стройиздат, 1980.

33. Григолюк Э.И. Устойчивость сферической оболочки при конечных прогибах и несимметричной деформации. Изв. АН СССР ОТН механика и машиностроение. М., I960, № 6.

34. Григолюк Э.И.,Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М., Наука, 1978.- 360 с.35• Григорьева В.Л. Расчет гибких пластин. Строительная механика и расчет сооружений. Реферативная информация. К., 1976, вып. 7, с.16-17.

35. Даниелов Э.Р.,Деревянкин Б.А.Киселев В.Е. Алгоритм расчета нелинейных стержневых систем.- Строительная механика и расчет сооружений, 1974, № 5.

36. Дмитриев Л.Г.,Касилов А.В. Байтовые покрытия. К., БудТвельник, 1974.- 272с.

37. Демидович Б.П.,Марон И.А. Основы вычислительной математики. М., Гос.изд. физико-математической литературы, I960.- 659 с.

38. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1976,- 542 с.

39. Зылев В.Б.Соловьев Г.П. Алгоритм расчета плоской стержневой системы в случае больших перемещений.- Строительная механика и расчет сооружений, 1980, № 5, с.35-38.

40. Зылев В.Б.,Штейн А.В. Итерационный метод расчета сильно нелинейных систем не требующий решения алгебраических уравнений на каждом шаге.- Тр.МИИТ, вып. 618, 1982,с.32-38.1. АО

41. Исследование напряженно-деформированного состояния корпуса прямоугольного в плане стального резервуара с гибкой стенкой. /Б.В.Поповский,А.Б.Пуховский,М.И.Бетиголь скис, В.А.Гордин,Е.Г.Перушев. МИСИ.М., 1984, 23 сДРук.деп. во ВНИЙИС 14.09.84, № 4814) .

42. Исследование алгоритмов решения нелинейных задач теории упругости конечных элементов /Исаханов Г.В.,Кепплер X., Киричевский В.В.,Сахаров А.С,- Сопротивление материалов и теория сооружений, вып. 27, 1975, с.3-9.

43. Инструкция к программе расчета комбинированных систем методом конечного элемента СПРИНТ /Н.Н.Шапошников,В.Б.Бабаев,Г.В.Полторак, A.M.Зак,В. А.Ожерельев.Е.Г. Перушев, Д.Б.Гуров. М., ЦНИИпроект, 1982.- 140 с.

44. Йодан Э. Структурное проектирование и конструирование программ. М., Мир, 1979.- 415 с.

45. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории' неоднородных пологих оболочек. К., Наукова думка, I97I.

46. Карпов В.В.Петров В.В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек.- Известия АН СССР, МТТ, № 5, 1975.

47. Качурин В.К. Гибкие нити с малыми стрелками. М., Гостехиздат, 1956.- 224 с.

48. Качурин В.К. Теория висячих систем. М., Госстройиздат, 1962.- 224 с.

49. Кармшпин А.В. ,1ясковец В.А. ,Мяченков В.И.,Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М., Машиностроение, 1975,- 376 с.

50. Карпов В.В. Модификации метода последовательных нагружений и их применение к расчету гибких пластин и оболочек на действие нагрузки и температурного поля,- Дис. . канд.техн.наук, Саратов, 1974.

51. Кислоокий В.Н.,Сахаров А.С. Большие прогибы и устойчивость оболочек сложной формы.- Сопротивление материалов и теория сооружений, вып. 16, 1972, с.164-167.

52. Кислоокий В.Н.,Синявский А.Л. Нелинейные колебания пологих ортогональных вантовых сетей.- Сопротивление материалов и теория сооружений, вып. I, 1965.

53. Кислоокий В.Н. Исследование статики и динамики висячих пневмонапряженных и комбинированных систем методом конечных элементов.- Строительная механика и расчет сооружений. М., 1977, J6 4.

54. Кислоокий В.Н. ,Пасюта А.В.,Подгорный И.А. и др. Автоматизация процессов формообразования оболочек висячих покрытий.- В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 32, Киев, 198I.

55. Киричевский В.В.,Сахаров А.С. Исследование больших прогибов нетонких оболочек методом конечного элемента.-Проблемы прочности, № II, 1975, с.64-71.

56. Кирсанов Н.М. Висячие системы повышенной жесткости. М., Стройиздат, 1973.- 116 с.

57. Клаф Р.,Пензиен Дж. Динамика сооружений. М.,Стройиздат, 1979.- 320 с.

58. Климанов В.И. Применение приближенных методов к исследованию деформации гибких ортотропных цилиндрических панелей.- В кн.: Теория оболочек и пластин. М.,Наука,1973.1СА

59. Клюшников В.П. Изгиб прямоугольных пластинок с учетом больших прогибов.- Инж.сб. АН СССР, т. ХХ1У,М.,1956.

60. Колгадин В.А.,Гинесина Э.М. Геометрически нелинейная задача изгиба ортотропных пластин.- Прикладная математика, т. 7, вып. 3, 1971.

61. Косицын С.Б. Решение нелинейных задач статики прямоугольных в плане пологих оболочек и пластин методом конечных элементов.- Дис. . канд.техн.наук,М.,1977.- 202 с.

62. Коннор Дж.,Морин Р. Метод возмущений в расчете геометрически нелинейных оболочек.- В кн.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ, т.2, Л.,Судостроение,1974.

63. Корнеев В.Г,,Постнов В.А. Использование МКЭ в нелинейных задачах деформирования оболочек вращения.- Тр.ЛКИ, вып.85 1973, с.43-48.

64. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели. М., Наука, 1968.- 258 с.

65. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М., Наука, 1964.- 192 с.

66. Корнишин М.С.,Столяров Н.Н. Большие прогибы прямоугольной в плане пологой цилиндрической панели с неподвижными краями.- Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 6-7, Казань, 1970.

67. Куземко Н.И. Исследование сходимости метода последовательных приближений при решении нелинейных задач теории пологих оболочек.- Вычислительная и прикладная математика, вып. 26, 1975.

68. Кузнецов Э.Н. Введение в теорию вантовых систем. М., Стройиздат, 1969.

69. Логвинская А.А.,Рогалевич В.В. Большие прогибы сжато-изогнутой пластинки.- Строительная механика и расчет сооружений, № 2, 1971.

70. Ливсли Р. Матричные методы строительной механики. М., Стройиздат, 1980.- 224 с.

71. Лукаш П.А, 0 нелинейной строительной механике краткий обзор задач и методов .-Исследования по теории сооружений, вып. 20, 1974, с.12-17.

72. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. М., Стройиздат, 1978.- 204 с.

73. Лукаш П.А. Расчет пологих оболочек по нелинейной теории при различных граничных условиях.- Тр.МИСИ,М., 1963.

74. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости.М.,Наука,1980,-512 с.

75. Людковский И.Г.,Иванов М.А. Висячие покрытия в виде тонколистовых мембран.- В кн.: Пространственные конструкции зданий и сооружений. Вып. I. М., Стройиздат, 1972.

76. Малый В.И.Долгишов И.Л.,Куликов В.Л. и др. Расчет упругих мембран с гибким контуром. Строительная механика и расчет сооружений, № 2, 1982.

77. Мацелинский Р.Н. Статический расчет гибких висячих конструкций. М., Госстройиздат, 1980.- 192 с.

78. Майерс Г. Надежность программного обеспечения. М., Мир, 1980.- 360 с.

79. Муштари Х.М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с приложением к задаче устойчивости упругого равновесия. ПММ, т. 2, вып. 4, 1939.

80. Муштари Х.М.,Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань, 1957.- 431 с.

81. Москалев Н.С. Расчет двухпоясных вантовых ферм.- В кн.: Стальные предварительно напряженные и тросовые конструкции. М., Стройиздат, 1964.

82. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. М., Наука, 1980.- 240 с.

83. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. /А.В.Александров,Б.Я.Лащеников,Н.Н. Шапошников,В.А,Смирнов. Под ред.А,Ф.Смирнова. В 2-х ч., М., Стройиздат, 1976.- 586 с.

84. Мяченков В.И.,Григорьев И.В. Расчет составных оболочеч-ных конструкций на ЭВМ. Справочник. М., Машиностроение, 1981.- 216 с.

85. Мяченков В.И.,Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. М., Машиностроение, 1984.- 280 с.88