Исследование пластин и оболочек по локальной теории упругопластических процессов при сложном нагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

®5 0 5 3 1

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА. ОКТЯБРЬСКОЙ РЕФОЛЮВДИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

КИМ ИН БОН

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ПО ЛОКАЛЫЮЙ ТЕОРИИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1992

Работа выполнена на кафедре теории упругости механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный консультант - доктор физико-математических наук,

профессор В.С.ЛЕНСКИЙ

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор С.А.ШЕСТЕРИКОВ

доктор физико-математических наук, ' профессор В.Г.ЗУЗДАНШОВ

доктор физико-математических наук, профессор В.И.МАЛЫЙ

Ведущая организация - Московский авиационный институт.

Защита состоится " Ш^НЯ 1992 г. в 16 часов

на заседании специализированного Совета Д 053.05.03 в МГУ имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан " ЛЛ<хЯ 1992 г.

Ученый секретарь

специализированного Совета Д 053.05.03 в МГУ,

кандидат физ.-мат.наук,доцент В.А.МОЛЬКОВ

—: ОЩЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность те™. Пластины и оболочки широко применяются в различных областях техники. Теория пластин и оболочек развивается в различных направлениях, относящихся к точным постановкам задач и технике вычислений. Актуальность работы определяется тем, что одним из основных направлений механики деформируемого твердого тела является исследование постановок задач, основанных на определяющих соотношениях, правильно описывающих механическое поведение реальных материалов и отражающих реальные условия работы пластин и оболочек, и построение методов их решения. Локальная теория упругопластических процессов при сложном нагружении обоснована теоретически и экспериментально и обеспечивает физическую достоверность решения соответствующей математической задачи. До сих пор большинство работ го пластинкам и оболочкам за пределом упругости посвящено задачам с использованием классических теорий - теории течения, деформационной теории и теории малых упругопластических деформаций с ограниченной областью их применимости. Имея в виду необходимость охватить нагрузки, приводящие к сложному нагружении, требуется анализ задач о равновесии и устойчивости пластин и оболочек на основе локальной теории упругопластических процессов при сложном нагружении и разработка методов решения поставленных задач.

Цель работы.

- формулировка постановок геометрически линейных и нелинейных задач о равновесии пластин и оболочек с использованием локальной теории упругопластических процессов при произвольном сложном нагружении;

- отработка метода решения поставленных задач, исследование математической корректности и решение некоторых практически важных задач;

- постановка задачи устойчивости и закритического поведения пластин и оболочек по локальной теории упругопластических процессов при сложном нагружении, методы ее решения и применение их к конкретным задачам.

Научная новизна. В диссертации развивается новое научное направление, связанное с разработкой теории пластин и оболочек с учетом упругопластических деформаций, разгрузки и вторичных пластических деформаций в условиях сложного нагружения. А.А.Ильюшиным создана фундаментальная теория пластин и оболочек за пределом упругости на основе теории малых упругопластических деформаций. В диссертации развита эта идея и дана общая постановка задачи о равновесии пластин и оболочек с использованием локальной теории упругопластичности при сложном нагружении.

Получены новые вариационные уравнения в скоростях и перемещениях из принципа возможных перемещений с учетом геометрической нелинейности; из этих вариационных уравнений получаются основные дифференциальные уравнения (в скоростях) - уравнения равновесия и совместности через функции прогиба и напряжений. Показана возможность применения некоторых известных итерационных методов, доказана сходимость общеитерационного метода и метода Бубнова - Галеркина для поставленных нами задач. Для решения поставленных задач предложен один новый эффективный метод - метод осреднения функционалов пластичности по толщине оболочки. Даны постановки задач устойчивости и закритического поведения по локальной теории упругопластических процессов при сложном нагружении и предложен эффективный метод и алгоритм для определения критических нагрузок на основе метода Дубнова - Галеркина и метода последовательных приближений.

Практическая ценность. Поставленные задачи о равновесии, устойчивости и закритическом поведении на основе общих трехчленных соотношений упругопластичности при сложном нагружении и методы их решений могут быть использованы специалистами по расчету тонкостенных конструкций, в частности, в областях самолетостроения, ракетостроения, подводного кораблестроения и др.

Предложенная методика решения задач упругопластического деформирования гибких пологих оболочек и пластин, прямоугольных в плане, позволяет рассчитывать пластины и оболочки практически при произвольных программах многопараметрических нагружений.

Основные научные положения. На защиту выносятся следующие результаты:

- постановка геометрически линейной задачи о равновесии пластин и пологих оболочек в рамках локальной теории упругопластичес-ких процессов при сложном нагружении;

- методы решения поставленных задач о равновесии;

- разработка численных алгоритмов и программ и применения поставленных задач о равновесии к конкретным частным задачам;

- задачи о равновесии упругопластическнх пластин и оболочек при сложном нагруженил с учетом геометрической нелинейности на основе вариационных методов;

- постановка задачи устойчивости и закритического поведения пластин и оболочек по локальной теории упругопластических процессов и метод решения;

- примеры решения задач устойчивости и закритического поведения при сложном нагружении.

Достоверность основных научных положений. Достоверность основных научных положений обеспечивается строгой математической постановкой краевых задач, использованием физически достоверного соотношения пластичности, доказательством сходимости предложенных приближенных методов и численными исследованиями сходимости применяемых методов на практике, соответствием результатов расчетов с данными других исследователей.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ под руководством член-кор. РАН А.А.Ильюшина и в Институте механики АН УССР.

Публикации. Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в девяти работах автора, список которых приведен в конце автореферата, из них три статьи опубликованы в России, шесть статей - в КНДР.

Структура и объем тзаботы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Основная часть работы изложена на 215 страницах машинописного текста. Библиографический список состоит из 251 наименования. Все материалы сброшюрованы в одном томе.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность рассматриваемой темы, проводится обзор работ по исследованиям задач о равновесии, устойчивости и закритическом поведении пластин и оболочек за пределом упругости, и по основным подходам к построению методов решения этих задач. Излагается содержание представленной работы.

В первой главе изложена постановка геометрически линейной задачи о равновесии пластин и оболочек при сложном нагруже-нии в рамках локальной теории упругопласгических процессов.

Для данной постановки уравнение состояния представляется

в виде:

N е - р? , (I)

где

M = p=-Lurc*q.i>- ~

ílr 19 ' v Ьц

,5'm 1?

-t * _ (2)

o o '

- угол между векторами напряжений ¡f' и касательной к траектории деформаций е , - интенсивность напряжений,

Q.. - компоненты скоростей деформаций, £ - дайна дуги траектории деформаций; штрих означает производную по длине дуги

, точка - производную по времени £ , функция определяется из опытов.

На основе гипотезы Кирхгоффа - Лява в теории оболочек и предположения о несжимаемости материала силы и моменты в оболочке в скоростях записываются так:

V,

I т(1, (4 +14) М( - ( 4 +1 л^- 5 ри> ж

-V

^ (3)

+ V ^ + г К ] Р(5, +

А/

^ 'ч, - (¿(1+{- 4,; ^ - +1 >иы3 - ] р<л ■+ ^^

-ъ

. % (4)

7

/

где %.= \ 6Т. с!*, Й..М 6Г. ~

- скорости изменения кривизн, , 3-, = ^

Д . - девиатор напряжений^ = 1. г , 1г - толщина

оболочки, и

ъ

(М.= \ ^ . (5)

Ь' У.\

_Vг

Функции ( 1, 2, з) впервые введены А.Л .Ильюшиным в теории оболочек при малых упругопластических деформациях и активном упругопластическом процессе. ,',ти Функции являются очень важны-ш в теории пластин и оболочек за пределом упругости. До сих пор исследователи рассматривали эти функции только с учетом зон упругости и пластичности по теории галых упругопластических деформаций.

В данной диссертации предложен метод учета зон вторичных

пластических деформаций и разгрузки, включая зоны упругости и

пластичности для трехчленной теории пластичности произвольного

сложного натружения. Использован следующий признак: пластические

деформации (включая вторичные) изменяются при активном процессе,

когда скорость работы напряжений положительна ( е.. > о ) ,

а линейно упругая разгрузка имеет место при отрицательном знаке

скорости работы напряжений ( бу ё,- < о ) . Поэтому в сотно-

шениях (5), если в каком-то слое по толщине > о ,

V ^

то функционалы |\| и р принимаются в виде

¿ЛИ I?

если О

то

I

(б)

N = 3 с-у ( р = о Учитывая это, вычислим ^ следующим образом:

Чг. ¿< ^ =?«

\ N * <** = ] N + ЗСт ^ + | +

+ Збт ^ N + ^ N ¿Г^ +ЗСТ ) $"'4* + ) (?)

*н г» ^

где

= А* ± М I бс _ ±. ь[\k-Pfft

6с

(8)

Р* 5 3 р, = + и ^ ,

+£г1 1- хиьп

Здесь ¿^ - деформации в серединной поверхности, [ <?ь гО, [<?, ^

- области разгрузю "

- предел текучести

области разгрузки и вторичных пластических деформаций, е^ -

Границы этих областей определяются по знаку 51-Основные уравнения - уравнения равновесия и совместности представляются в виде:

4_ а.

где > ^ - функции прогиба и напряжений. +

^г • р! главные радиусы кри- '

визн. Система уравнений (9),(10) составляет замкнутую систему.

Формулируются постановки задач о равновесии пластин и оболочек по локальной теории при сложном нагружении: постановки моментной и безмоментной теорий, а также вариационная постановка задачи. Задачи сводятся к разысканию функций прогиба и напряжений с учетом граничных условий.

Вторая глава посвящена построению методов решения постав-лонных задач, т.е. методам решения системы уравнений (9),(10) с граничными условиями. Поскольку рассматривается сложное на-гружение, все величины зависят от процесса деформации (нагру-кения), и основные уравнения (9),(10) содержат нелинейные функционалы № и р . Поэтому при решении задачи необходимо использовать пошаговую процедуру с итерационным методом на каждом шаге.

Разобьем отрезок времени [_о, т на п равных частей точками -ь>= , г- , ^¿^0,1, л,-- .При этом систему уравнений (9),(10) можно записать в виде

(А • > = % I

. . К" V (II)

Г ■ ° ' '

где

С учетом граничных условий для решения системы уравнений (II) применяется следующий метод последовательных приближений:

. л-** . п

= II ; щ!

£ = - Г < ч . )

(12)

Л®- г -

А. - бигармонический оператор, Рс - "3" - цилиндрическая

жесткость, {Е - модуль Юнга, (ц - модуль сдвига, а - итерационный параметр.

При этом система уравнений (П) переписывается в виде: с 7*

Л " = ^ (13)

а - I &

где

-(Я

Здесь операторы ц , Ц» » ^ входят в систему уравнений (II). Тогда уравнения (12) записываются так:

'"-Г * (14)

и

е —= | - (\ и

где £ / Ч. Л* о

" V °

Доказывается сходимость итерационной схемы (12) (или (14)). На основе рассмотрения сходимости получен следующий вывод: при условиях:

а) й, 4 С М - Р 2)) е ^ Ч, <+°о, (14)1

Йв= {(М- 51^. { С N-роС^ ^ }

* а %

)= ехр(-^ Р^) \ N ехрС ( ( > <Ц

ь) м £ + -{¡-а * иГ с , ^«'•"¿ЛтГ + ^ ] ,

л, 5, е

(14)П

Л, е, е

>11 + К

где Л - с ' + + м,"

О/Г +

Л н-^А, + м*

»'=-¥- • • А - < ^ -

- максимальное и минимальное собственные значения оператора

А ; , р - константы, - константы Фрвдрихса), итерационная схема (12) сходится к точному решению со скоростью геометрической прогрессии.

Дм решения системы уравнений (II) рассматривается метод Бубнова - Галеркина. Функции прогиба и напряжений у за-

даются в виде

члг= 2. ^ (Ы Ь (*, р,

Л"!, р р \ (15)

где , - известные базисные функции, , Ц - продольные внешние нагрузки по д: , у- , "С - сдвиговое усилие. В результате применения метода Бубнова - Галеркина система уравнений (II) сводится к виду

А, и, -- % ^(16)

Это уравнение содержит неизвестные ОСх , I <") ~ N ) . Для системы уравнений (15) применяется метод с использованием спектрально-эквивалентных операторов:

Л п"*' и" -»и

ё, ы<;- а - * т)

Здесь В, - матрица интегралов над оператором Д; ы. принимается согласно уравнению (14), если берутся полные ортогональные базисные функции для , У.

Кроме этого, рассматривается метод Ньютона и его сочетание с методом (17).

Дальше доказывается сходимость метода Бубнова - Галеркина для задач (13): при условиях (14)1 и (14)п оператор Д симметричный и положительно определенный, тогда метод Бубнова- Галеркина сходится.

Дальше излагается алгоритмизация решения поставленных задач на основе метода Бубнова - Галеркина. Для нее надо конкретизировать следующее:

а) метод вычисления функций и 14} , учитывая зоны упругости и пластичности, зоны разгрузки и вторичных пластических деформаций,

Ь) методы вычисления производных и интегрирования в уравнении (16).

На основе этого можно составить алгоритмы следующим образом.

а*

Разобьем оболочку на р равных частей по плоскости ( о , х , м- ) и на Д равных частей по в ( ч> , л - четные числа). Тогда оболочка будет разбита на Л ячеек, область интегрирования по плоскости ( о , х , у-) будет

р= X 2Г • Координаты центра каждых ячеек выража-

Д.= 1 1 )

ются:

(18)

В общем виде функции Мги |\)3 вычисляются по признаку (6) следуюпда образом:

. 1И) (И) • Си)

если \л/ { Л; , (Л. , -¿Г.)= б":- е.. >о , то ячейка

* ) J

находится в активных упругопластических деформациях (включая

вторичные пластические деформации), при этом принимается * 6и 1_ ~см+,'> , £п> оа

м= . Р =-

и (19)

• (И) (И) - 1И)

Если же \д/ = < О , то ячейка находится

^ )

при пассивных деформациях (разгрузке) и

30т , рси+"- е (20)

Отметим, что, как видно из соотношений (19),(20), здесь все величины рассматриваются в процессе последовательных приближений по схеме (17).

При учете только активных упругопластических деформаций для функций |\| и предлагаются следующие аппроксимации:

V , (21)

+ (22)

где

-г » л.

Для подсчета производных подынтегральных функций по X , у-использован метод разностей, для интегрирования - метод Симпсо-на. Дальше излагается алгоритмизация для решения конкретных задач.

В заключение предложен приближенный метод решения задач с помощью осреднения функционалов пластичности по толщине. Заменим в уравнении состояния (I) функционалы пластичности № и Р их средними значениями по толщине в виде

. - < Лг

N = X ) N ^ • Р = £ ) Р"1* . (23)

-Чо

Для оправдания использования средних значений (23) приведем следующие соображения. В общем случае, при сложном нагружении пластинка или оболочка находится в состоянии изгиба и растяжения-сжатия. Из экспериментов найдено, что N изменяется в пределах Збг^ о. • Далее, толщина ii мала по срав-

нению с длиной и шириной. Отсюда можно заключить, что функции

N и Р , по-видимому, изменяются слабее (в частности, по толщине), чем компоненты напряжений и деформаций. При этом в основные уравнения (9),(ГО) будут входить такие величины

/А % М

4 ^ -i и ■ (24)

Для вычисления значений Мир предлагается следующий алгоритм: если в подобласти fT (х • _ ) выполняется неравенство '

\ Л-1 ("> • (и)

€t} % U,. ъ.ъ. V>Of (25)

то

N с*. с-^¿-о,

р: (и+1) , Л-1 • in) ((25)

fc=o 0 »и '

если в р Cii, имеем

| Ü (и) ■ (Ч> ,

д- ^ 6ij е.. [X,, < 0 (26)

fc* о J J '

то _ (»tu ,

N (tj. Zi, = 3G, . j

P™ (t.. *,*)= о J. (26)I

Если рассматриваются активные упругопластические деформации,

то в соотношениях (25),(26) вместо скорости работы напряжений 51- . можно взять интенсивность деформаций еи , используя 4*0, что в упругом состоянии еи <: > в пластическом - V,

В третьей главе рассматриваются конкретные задачи о равновесии пластин и оболочек. Получены численные результаты решения задачи о пластинке, шарнирно опертой по краям, при действиях поперечной в обеих продольных внешних нагружений ( g., ,

). Бри фиксированном значении поперечной нагрузки g. с помощью продольных сел р., , реализовано простое и слож-

ное нагружения. Сложное нагружение создается следующим образом: сначала действует сета j? по направлению X. , затем под углом 90° действует сила рх по направлению . Результаты вычислений показывают, что при одинаковом значении прогиба в центре пластинки vZ нагрузка f?t (при сложном нагруженки) меньше на 23%, чем нагрузка ( при простом) и тех же значениях ft . Чем внешние нагрузки больше, тем эта разность больше.

Для цилиндрической панели, шарнирно опертой по краям, получилась эта разность равна 35$ , а для цилиндрической замкнутой оболочки (при этом излом происходит при фиксированном fío по направлению вектора крутящего напряжения Т с углом 90°) разность нагрузок ~Сс (при сложном) и Гп (при простом) составляет 37% . Скорость последовательных приближений существенно зависит от выбора итерационного параметра oí .

В данной главе сравниваются предыдущие результаты с решением, полученным по методу осреднения функционалов пластичности по толщине. Для стали ЗОХГСА эта погрешность составляет 1.7 — 1.8% . Следовательно, метод осреднения функционалов по толщине является аффективным.

Четвертая глава посвящена задаче о равновесии упруго-пластических оболочек при сложном нагружении с учетом геометрической нелинейности.

В литературе мало изучены геометрически и физически нелинейные задачи пластин и оболочек с использованием теории трехчленного соотношения в скоростях.

В данной главе из принципа возможных перемещений получаются вариационные уравнения, уравнения равновесия и совместности, являющиеся основными в задаче пластин и оболочек. С помощью дифференцирования по времени Ь из принципа возможных перемещений получим следующее уравнение:

С 1 + С

А, >21- их3- эхэу э^

и

ми

дхг эхэ* Э^ -* ^ Эхг Эхзу

+ Э_М« + ^ + Л эУ ,

Н- = о

эи- I

$ 1 (27)

Здесь величина в скобках С ] связана с граничными интегралами, а [ ^р - с интегралами, содержащими условия равновесия элемента, они равняются нулю. Из уравнения (27) при независимости вариаций 5"чГ и §\лг получим два типа вариационных уравнений в скоростях и перемещениях соответственно, а из них соответственно уравнения равновесия в скоростях и перемещениях. Далее будем пользоваться уравнением в скоростях. Аналогичным путем получается уравнение совместности гибких оболочек:

1- Г1( 1± _ 1 И.п + х э , # и

и с % + + ы■

+1- [Л. (а - ± а л!, У ¿иг ^ э^г эиг

т и ^ Л + ^ ^ + (28)

- £ ^ = 0

Зьэ^ эха^

В качестве примера рассмотрена прямоугольная пластинка и проведено сравнение результатов с геометрически линейной теорией.

Пятая глава посвящена постановкам задач устойчивости и закритического поведения оболочек с использованием локальной теории упругопластических процессов при сложном нагружении и методам гас решений.

В связи с тем, что во многих случаях выпучивание оболочки при потере устойчивости охватывает лишь малую область, можно считать, что уравнение потери устойчивости относится именно к этой области, которую можно рассматривать как полоню оболочку. Иначе говоря, принимая это в качестве допустимой гипотезы, будем считать равными нулю вариации (скорости изменений) не только усилий на границах, но и внутренних усилий и поперечной нагрузки. Исходя из этого, уравнение потерявшей устойчивость оболочки представляется следующим образом:

I, {> + ¿0= о > (29)

где » . ». • а.

Оператор 1_ определяется согласно (II). Для критических нагрузок алгоритм составляется таким образом: а) Используя выражения (14) для иГ и 4- , к уравнению (29) применяется метод Бубнова - Галеркина, что приводит к следующему:

£ С V, (се, ^) + Цм (/Ъ + £ с„'м + (30)

где

с - С= г-р, т

р Р Р

Из существования нетривиального решения с(. для критических нагрузок следует такое уравнение:

í I I Я«, /Ы Ьы,ки, ¿) + р,сД, + ргс£+

_ з (31)

+ 1. с С^ ) = о

Ь ) Бри заданных внешних нагружениях , ^ , Те ( -1 -- шаг времени) решается система уравнений (17) и определяются

' • При 0ТОМ М'"1 Р""> и ДР-

вычисляются на а - ом приближении итерационного процесса. Такие значения функций подставляются в уравнение (31).

с) Если система нагрузок , ^ , Т^ является критической, то уравнение (31) тождественно нулю. Бри этом такой -{.-ой шаг соответствует критическому состоянию.

Задача о закритическом состоянии, по существу, совпадает с задачей о равновесии оболочки, которую мы рассмотрели в главе 4, если предположить, что после потери устойчивости оболочка имеет большой прогиб.

Лалыле в работе рассматриваются задачи устойчивости и закритического поведения на основе приближенной теории устойчивости А.А.Ильюшина. Предполагая безмоментное напряженное состояние оболочки, даются постановки задач устойчивости и закритического поведения при сложном нагружении. При этом основные уравнения для определения критических нагрузок записываются следующим образом:

- 18 -

4 { с«Ч-1Л 0 + Лф + | (».£,1 ъз} +

• П (6% 4 -Л = о

(32)

Если напряженное состояние является однородным ( [I «

^ то уравнение (32) будет таким:

1 ( г 1 4. 3 / оП ¿"&Г , эк ,

а р* Р^ ^ + I + 2 ас1 + Т ^ ° ' ' ^т! + С1 -¡^"аТ* + 2-11 ^ 1-я

1 эгэ^ (|-(г)Р ^Г " 7 -1 и , (33)

где

+ + А „л

Я* 1 - { (I | г.) + 511-»Я / + /-4 >,

= — Ч? = — М- О- ^

за, , 7а , |Х]- ь\пУзг , Со5 1^ ,

ЖИГ (или - 5

6 6Ч ' (Га ' V ¿>Х; ЭХ- '

» эх2- и ^ -г % ,

п С р, £\лГ)г Рч р

Г' Г' ¡^ Гг ■

В однородном напряженном состоянии справедливо следующее уравнение совместности:

эх5^ ар;

Эхз^3 * • (34'

Здесь ¿"»аГ и ^ являются приращениями функций прогиба и напряжений. Из условий потери устойчивости система уравнений (33),(34) сводится к виду:

Здесь 5р, . 5[л1 - шаги внешних нагрузок, которые заранее задаются, ^ - момент потери устойчивости, - длина дуги траектории деформаций:

Система уравнений (35),(36) вместе с выражением для составляет замкнутую систему. Решая эту систему уравнений, находим систему критических нагрузок. В диссертации предлагаются некоторые алгоритмы для определения критических нагрузок.

В шестой главе рассматриваются конкретные задачи устойчивости и закритического поведения. Решается задача о пластинке, шарнирно опертой по краям. До потери устойчивости на нее действует сдвиговая сила, а затем после потери устойчивости - продольная сила вместе со сдвиговой. Получены численные результаты критических нагрузок, соответствующих разным гибкостям, и связи между нагрузкой и прогибом. Для стали ЗОХГСА критическое напряжение при изломе траектории напряжения на 90° меньше на 20$ по сравнению с простым нагружением. Для примера рассматривается цилиндрическая панель, подвергающаяся действиям двух продольных сил. В результате вычислений при сложном нагружении критические напряжения были меньше на 36$ , чем при простом нагружении.

Решения конкретных задач устойчивости и закритического поведения пластин и оболочек, основанных на локальной теории упругопластических процессов при сложном нагружении, являются очень важными в теоретическом и практическом плане, поскольку результаты вычислений с учетом сложного нагружения существенно отличаются от случая простого нагружения. Для случая простого нагружения полученные результаты согласуются с результатами, полученными другими авторами. Предложенные алгоритмы для определения критических нагрузок удобны при программировании.

лГл *

(36)

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации (см. ниже).

В первом приложении дан алгоритм для решения задач о равновесии оболочки, а во втором - формулы для вычисления интегралов, связанных с поперечной нагрузкой при использовании метода Бубнова - Галерхина. В третьем и четвертом приложениях предложены результаты вычислений интегралов в методе Бубнова - Га-леркина.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Основные результаты, полученные в диссертации, заключаются в следующем:

1. Постановки задач о равновесии пластин и оболочек по локальной теории упругопластических процессов при произвольных сложных нагружениях с учетом геометрической линейности и нелинейности.

2. Применение метода Обнова - Галеркина, общего итерационного метода, метода с использованием спектрально-эквивалентных

операторов и метода Ньютона к решению поставленных задач и их алгоритмизация. Доказательство сходимости итерационного процесса при решении системы уравнений равновесия и совместности, а также сходимости метода Бубнова - Галеркина.

3. Эффективный приближенный метод осреднения функционалов пластичности по толщине, соответствующий алгоритм и реализация для конкретных задач.

4. Вариационные уравнения для пластин и оболочек в скоростях и перемещениях с учетом геометрической нелинейности.

5. Точные и приближенные постановки задач устойчивости и закритического поведения с использованием локальной теории упругопластичности при сложном нагружении и методы их решений. Анализ численных решений конкретных задач устойчивости и закритического поведения показывает, например, что критическое напряжение при изломе траектории нагружения на 90° существенно ниже (на 20 — 36$) по сравнению с простым нагружением.

Автор приносит искреннюю благодарность научному консультанту, профессору В.С.Ленскому, оказывавшему содействие при выполнении научных исследований.

Автор благодарен член-кор. РАН, профессору А.А.Ильюшину,

сделавшему много ценных замечаний по представленной работе.

Основное содержание диссертационной работы представлено

в следующих публикациях:

1. Ким Ин Бон, Сон Сен Гуан. Анализ геометрически нелинейных упругопластических пластин и оболочек. (По-корейски). Вест, университета им. Ким Ир Сена. Пхеньян, 1984, № 4.

2. Ким Ин Бон. Влияние ползучести на собственные числа колебаний вязкоупругих оболочек. (По-корейски). Шт. и физ., Пхеньян, 1985, й I.

3. Ким Ин Бон. Изгиб геометрически и физически нелинейных пластинок при разных граничных условиях. (По-корейски). Вести, универ. им. Ким Ир Сена, Пхеньян, 1986, № 2.

4. Ким Ин Бон. К решению задачи о прочности цилиндрических оболочек, армированных ребрами. (По-корейски). Мат. и физ., Пхеньян, 1987, № 2.

5. Ким Ин Бон. Один приближенный метод в решении задачи о равновесии физически нелинейных вязкоупругих оболочек. (По-корейски). Сборник статей по естественным наукам, Пхеньян, 1987, № 10.

6. Ким Ин Бон, Дой Хо Сан. Исследование о равновесии прямоугольных пластинок с использованием метода £ -функции. (По-корейски). Сборник статей по естественным наукам, Пхеньян, 1988, № 12.

7. Ким Ин Бон. Анализ локальной теории упругопластических оболочек при сложном нагружении. Вестник МГУ, 1992, li I,с.97-101.

8. Ким Ин Бон. Изгиб упругопластических оболочек при сложном нагружении. МГТ, 1992, & I, с. II5-II8.

9. Ким Ин Бон. Метод решения упругопластических оболочек при сложном нагружении. МГТ, 1991, й 5, с. 143-147.

деления, для которых значения в отдельных точках среды не определены, а точный смысл имеют лишь интегральные значения усилии на площадках конечных размеров. Такие представления определяют подход к оценка точности решений МКЭ по напряжениям, которая выполняется в энергетических и интегральных нормах, но из по локальным значения:.!.

Наряду с известной трактовкой двойственных энергетических постановок задач линейной теории упругости как методов ортогонального проектирования в энергетических пространствах, дана их новая трактовка как методов отыскания обобщенных или "псевдо" решений уравнений непрерывности деформации и уразнений равновесия.

Двойственные энергетические постановки задач линейной теории упругости определяются б двух существенно различных формах: принцип Ыенабреа и принцип Кастильяно. Отмечается, что такие постановки формулируются в строгой зависимости от топологических особенностей псслг^емой области - ее мерности и связности. Это обстоятельство определяет существенное отличие МКЭ в форме метода сил от МКЭ в традиционной форме метода перемещений.

Сформулирован двойственный или встречный безусловно экстремальный вариационный принцип для общего случая линейных задач теории упругости, в которых внезниз силы линейно зависят от перемещений. Показана связь нового принципа с вариационным принципом Гартина в стационарных динамических задачах линейной теории упругости и с методом штрафа при решении задач с "мертвой" внешней нагрузкой.

Введено понятие о сопряженном энергетическом простргчст-ве, ве, норма в котором определяется нормой графика оператора уравнений равновесия. Исследованы его особенности и отличия от классических соболэвских функциональных пространств.

Разработана методика построения встречных форм МКЭ в задачах линейной теории упругости для двумерных областей в трах вариантах: I) использование статико-геомэтрическвх аналогий лри непосредственной аппроксимации функций напряжений; 2) переход к интегральным узловым усилиям и равновесным моделям метода перемещений; 3) построение моделей "ЖЭ в форма метода сил в сопряженных энергетических пространствах. Указанная методика позволяет перенести известные теоретические результаты,

полученные для метода перемещений, на ноше встречные формы

ЖЭ.

Получена и обоснованы необходимые условия, обеспечивающее правильность построения равновесных моделей метода перемещений. Определены условия полноты системы базисных функций МКЭ в сопряженном энергетическом пространстве.

Разработана и на практических примерах продемонстрирована методика анализа напрякенно-доформированного состояния конструкций на основе двух дополняющих друг друга встречных расчетов по МКЭ, а также методика апостериорной оценки точности выполненных расчетов.

Дана новая, компактная и удобная при численном решении ¡¿эрмулировка основных уравнений нелинейной теории упругости. Такая формулировка основана на лагранжевом описании поведения упругой системы в метрике натурального состояния и имеет следующие особенности: использование пространственных координат материальных точек вместо перемещений в качестве основных неизвестных, запись закона состояния с использованием нового понятия о тензоре секущей жесткости материала.

На основе полученной формулировки развита методика построения касательной в секущей жесткостей элементов и алгоритмы численного решения нелинейных задач теории упругости с использованием МКЭ в прямой форме.

Полулинейный материал Джона интерпретируется- как прямое и естественное обобщение линейного материала Гука на геометрически нелинейные задачи, нелинейность поведения которых связана исключительно с большими поворотами элементов.

Вариационный принцип Кастильяно-Зубова в задачах нелинейной теории упругости обобщен на случай внешних сил,линейно зависящих от приращений пространственных координат материальных точек тела. Проанализированы возможности использования двойственных вариационных постановок задач нелинейной теории упругости и отмечены существенные ограничения этих возможностей.

Построены алгоритмы и' созданы программы расчета гибких нитей и плоских двумерных систем в геометрически нелинейной постановке на основе МКЭ как в задачах статики, так и динамики. Отличительной особенностью указанных алгоритмов и программ является единство подхода к геометрически изменяемым, обычным и предварительно напряженным конструкциям. 6

Исследоваш вопроси, связанные с двусторонней оценкой точности решений нелинейных задач на основе использования различных экстраполяционных формул.

Практическая ценность. На основе теоретического анализа, выполненного в диссертации, автором построен ряд элементов и составлены программные комплексы ТУРК и МОРЕ для решения линейных и геометрически нелинейных задач теории упругости. Использование этих комплексов в практических расчетах сложных конструкций позволяет оценить точность выполняемых расчетов, а также имеет некоторые области рационального применения, в которых представленные здесь методы имеют существенные преимущества в сравнении с традиционными формами 1ЖЭ.

Апробация работы. Основное содержание работы опубликовано в 22 статьях и одном учебном пособии. Основные положения и результаты работы докладывались на семинарах по строительной механика под руководством проф. Л.А.Розина в ЛПИ, под руководством проф. А.П.Филина и проф. В.А.Постнова в ЛКИ, под руководством прол. В.З.Васильева в ЛШЕТэ, на семинаре по теории упругости под руководством проф. Н.Ф.Морозова в ЛГУ, на Всесоюзных школах-семинарах "Метода конечных и граничных элементов в строительно!! механике". Некоторые аспекты работы докладывались на ряде других семинаров и Всесоюзных конференций.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертационная работа состоит из'введения, шести глав, заключения и приложения.

Во введении формулируются цели и задачи исследования и приводится краткое описание содержания глав диссертации.

В первой главе приведены формулировки и дан анализ двойственных или встречных постановок задач линейной теории упругости.

Вариационные постановки задач линейной теории упругости в напряжениях были выполнены в работах Коттерилла, Менабреа, Кастильяно, Кроття, Донатти и других" ученых в конце прошлого века. Теория канонических и инволюционных преобразовании вариационных проблем получила развитие в работах Гильберта, '¿рид-рихса и Куранта в первой половине нашего века. Эта теория заложила основы для двойственных энергетических постановок задач линейной теории упругости.' 13 работах 13зйля, Синджа и Прагэра,

7

С.Г.Ыихлина, выполненных в 40-х и 50-х годах, встречные энергетические постановки задач линейной теории упругости исследовались с позиций функционального анализа и интерпретировались как методы ортогонального проектирования в энергетических пространствах. Оригинальное исследование встречных энергетических постановок задач классической линейной теории упругости с позиций современной математической физики выполнено в первой главе диссертации.

Основное уравнения линейной теории упругости составляют три группы:

1. Уравнения непрерывности:

Аи, = £. , , (I)

где оператор А определяется дифференциальными зависимостями Коши между перемещениями и. и линейной деформацией С , а также кинематическими граничными условиями на части Г, границы Г области 52. . Энергетическое пространство Н(.Й) определяется как пополнение области определения Б(А) оператора А в норме.порожденной энергетическим скалярным произведением вида

[и.,и-] = (Аи.,САи,)

где круглые скобки обозначают скалярное произведение в Область значений Я (А) оператора А замкнута и образует подпространство совместных деформаций в Х1(Й.).

2. Уравнения равновесия:

А*е = ро, А-:ав(а)-н*(а) (2)

Сопряженный оператор А* определяется тождеством

(Аи.,в) = <р0,а> Уи.£Н(£) .

где угловые скобки определяют значение линейного функционала нагрузки р0 6 Н*(й) на элементе *с из энергетического пространства Н(.52.) . Область нулей N (^А*) сопряженного оператора составляет ортогональное дополнение к ЩА) в

3. Уравнения состояния (закон Гука):

€!=С£, * е-С"'б, ¿.ее^й), (3)

где С - положительно определенный, непрерывно обратимый в

оператор Гука, что позволяет отождествить мевду собой пространства напряжений и деформаций. Элементы 1Ж(&) рассматриваются как обобщенные, кусочно-непрерывные пункции или распределения, для которых значения в отдельных точках области

9. не определены, а'их сравнение может быть выполнено»только в норме , т.е. по энергии.

Пели в правой части уравнения непрерывности (I) задана совместная деформация £0 é R(A) , то это уравнение имеет единственное решение ис . Если же заданная деформация зга несовместна, то можно построить всевдоретзние и„ уравнения (I)

aa=A+¿e0, А+: ^(аЬВД, А+А-Е , (4)

где А* - псевдообратнпй (левый обратный) к' А оператор. Псевдорешение и, минимизирует невязку в уравнении Au = XOI которая, с точностью до постоянной ^ •» (ге.в>эе,) , совпадает с функционалом Jlarpatma

mirLÍ[a,a]-2<p0,a>} = -[a0,it0]=-W, р0=А'зео (5)

u.sH

Очевидно, что £0= AU0 есть проекция эе0 на подпространство совместных деформаций R(A) .

Уравнения равновесия (и) тлеют в общем случае множество решений. Это множество составляет аффинное многообразие М = Z0 + М(.А*) в £¿(51). Нормальное псевдорешение уравнении {'¿)

£о=А*+РО , А*+:№Ыг(а), А*"А*"+=С (6)

есть такое из его решений <эвМ , которое тлеет наименьшую длину. Длина вектора €> определяется функционалом Кастилья-но л , следовательно,

mi п. (б.с'б) = (б0.С'ёа) = W (7)

¿É.M

Ясввдообратный оператор + в (6) есть правый обратный к А* оператор, причем А*+='А* ^ . >

Для отыскания нормального псевдорешения €¡0 уравнений равновесия '.:o;-in использовать ортогональное проектирование

произвольного частного решения уравнений равновесия Та на подпространстве N(A*) = RX(.A) . Проекция Ь0о такого вектора £0 на NÍA*') определяется из условий минимума функционала Мопабреа

m.a((co,rw)-2(re,C w)}=-(ü0,C"1co0) = W-^0 , (8)

oJ 6 U

где постоянная равна длине частного решения •

Из условий ортогонального разложения вектора fa следует:

eJ0 = z0- С0о , 60 = CAu,0 (9)

Задача отыскания Ц,0 по (5) является встречной или двойственной по отношению к задачам отыскания по (7) или по (8) и (9).

Квазистатической задачей линейной теории упругости в работе называется задача вида

А* С А и. + í- и, = р0 , р0 в Х2(£) , сю)

где у*. > 0 - определяет реакцию распределенного упругого основания или рассматривается как штрафная функция в классических задачах с "мертвой" внешней нагрузкой. Скалярное произведение в энергетическом пространстве Н(52.) такой задачи рассмат-. ривается как скалярное произведение в пространстве графика оператора А , •

[u,*]- J-K«) + (Au,,CAu)

При этом принцип Лагранжа (5) сохраняет свой вид и для квазистатических задач.

Сопряженное энергетическое пространство 3£(2.) определяется как пополнение D(A*) в норме, порожденной скалярным произведением в пространстве графика оператора /Ч

[«.<Ue + (П)

Тогда встречная энергетическая формулировка квазистатической задачи сводится к утверждению

m¡n.{MГ 2í4pe,A*¿ft = " W-¿'(pe,P») (12)

¡к

Переход от (5) к (12) осуществляется на основе инволюционных IÜ

преобразований Фридерихса. При Л < 0 формулировка (12) сводится к вариационному принципу Гартина для задач динамики линейно упругих систем. При = 0 постановка (12) мокот интерпретироваться как применение метода штрафа к задаче Кастильяно (7). Условия стационарности для (12) приводят к новой форме разрешающих уравнений теории упругости в напряжениях.

Зо второй главе диссертации рассматриваются основные положения МКЭ в его традиционной форме, а таьхе анализируются встречные формы МКЭ, основанные на принципе Менабреа пли методе ортогонального проектирования Гс на N(A") по (8).

Численный метод решения краевых задач, основанный на энергетической постановке, был предложен Ритцем и исследован в работах Фридерихса, Куранта и других математиков. Использование метода Ритца для встречных энергетических постановок вариационных задач было выполнено в работах ВеПля, Вишика и l.tox-лина. В 1943 году Курантом был предложен новый способ выбора базисных функций в методе Ритца, который явился основой для последующего развития МКЭ. Формы МКЭ, основанные на принципе Лагранжа, в настоящее время хорошо изучены и нашли широкое распространение в инженерной практике при расчетах линейно упругих систем. Установлено, что приближенное решение МКЭ - U.", при использовании совместных элементов, представляет собой проекцию точного решения и.0 на подпространстве Н" в энергетическом пространстве H(Q.) , причем

1 и.0- — 0 при NE-^c^ , 1М >10 .(Ю

где НЕ - число элементов.

Некоторые аспекты встречных форм МКЭ исследованы в работах ^.де Вебеке, Зенкевича, Сандера, И.М.Черневой, А.А.Лукашевича и некоторых работах других авторов. Однако всесторонний анализ таких форм впервые выполнен в работах автора и приводится в диссертации.

Весьма важным для последующего анализа встречных форм МКЭ является то обстоятельство, что свойства подпространства N(A*) существэнным образом зависят от топологических особенностей, исследуемой области jSL . Для одномерных областей (старянзвке системы) пространство N(A*) конечномерно, причем его размер-

ность определяется связностью области Я. . Решение задач для одномерных областей на основе принципа Уенабреа (8) сводится к решению канонических уравнений метода сил и приводит к точному решению исходной задачи.

Для двумерных односвязных областей удается построить энергетическое пространство и оператор Ь так, что

у « в з , в: и(а) - м(а*)

где ^ - функция напряжений. Используя известные статико-ге-ометричесхие аналогии, мокно построить решения ЫКЭ на основе принципа Менабреа с использованием обычных элементов и программ МКЭ в форме традиционного метода перемещений. Для выполнения таких решений необходимо строить какие-либо частные решения Г„ уравнений равновесия (2). Истинные напряжения б1" , полученные на основа такой формы ЫКЭ, определяются в соответствии с (8) и (9) в виде

т.е. решение является приближенным и, как любое частное

решение уравнений равновесия, дает оценку .энергии системы сверху.

Использование статико-геометрических аналогий для построения форм МКЭ, основанных на принципе Менабрэа, впервые было предложено в работе Ф. де Вебеке и Зенкевича (1967) и реализовано в работе Сандера (1970). В работах автора такое построение встречных форм ЖЭ было предложено независимо, но позднее (1973). В последующих работах автора впервые отмечаются следующие особенности такого построения:'

- непосредственное исп^ьзование статико-геометрических аналогий ограничено односвязными двумерными областями;

- частное решение г. уравнений равнозесия должно удовлетворять статическим граничным условиям на Г2 , тогда граничные условия относительно на Гг будут однородными;

- интерпретация Лява - Мусхелишвили функций напряжений как интегральных характеристик усилий на гранях элементов позволяет упростить постановку статических граничных условий и использовать оценки точности вычисления перемещений в традиционных формах МКЭ для оценки значений усилий на гранях элементов;

12

- для построения апостериорных двусторонних оценок точности решений МКЭ в энергетической норме по (13) и (14) следует определять постоянную = (ка> С"'то).

В работе приведены примеры встречных решений по МКЭ для уравнения Пуассона (мембрана и кручение приемы) с использованием аналогии Прандтля, а также двойственные решения по МКЭ для плоской задачи теории упругости и задачи об изгибе тонкой пластины. Оценки скорости сходимости процедуры МКЭ в энергетической норме и равномерной сходимости по перемещениям непосредственно переносятся на процедуру МКЭ в том варианта метода сил, который развит в этой главе. Точность вычисления напряжений в обоих вариантах (метод перемещений и метод сил) одинакова. Точность вычисления перемещений в традиционной форме МКЭ соответствует точности вычисления значений усилий на гранях элементов в метода сил.

Достоинством такого подхода к решению задач линейной теории упругости для односвязных двумерных областей является наличие готового программного обеспечения и математического анализа, развитого для традиционной формы 'МКЭ в виде метода перемещений. Основными недостатками такого варианта встречных форм ГЖЭ являются: ограничение двумерными и односвязннми областями; необходимость построения частных решений уравнений равновесия для каддой конкретной.-задачи; отсутствие непосредственной информации о перемещениях при решении задачи по методу сил.

В третьей главе диссертации рассматриваются вопросы построения дискретной модели континуального объекта на основе аппроксимации напряжений и использования вариационного принципа Кас-тильяно (7), а также анализируются методы расчета такой модели.

Основная идея рассматриваемого здесь варианта МКЭ базируется на непосредственном построении конечномерного подпространства 2С* в пространства напряжений Зг{Я.) . В подпространстве С выделяется множество МНСМ таких функип, которые удовлетворяют дискретнмм уравнениям равновесия системы элементов. На этом множестве М" минимизируется функционал Кастиль-яно. Для обеспечения сходимости процедуры МКЭ на таких моделях необходимо и достаточно выполнения двух условий:

- уравнения равновесия (2) должны строго выполняться на любом элементе из множества М" ;

- размерность множества Мы для двумерных и трехмерных

областей должна стремиться к бесконечности при неограниченном увеличении числа элементов.

Л ля построения такой дискретной модели на рассматриваемую область наносится сеть из НЕ элементов, причем так, что на каждом элементе распределенная нагрузка с^ описывается непрерывной функцией, а па каждой грани сетки монет быть приложена распределенная вцоль линии нагрузка р- . В пределах элемента напряжения аппроксимируются так, чтобы уравнения равновесия выполнялись тождественно при любых коэффициентах аппроксимации

где [Х^ - матрица аппроксимирующего полинома, частное

роиение уравнений равновесия при заданной нагрузке с^ . Такая аппроксимация напряжении легко получается, если исходить из аппроксимаций функций напряжений, которые рассмотрены во второй главе. При этом каждому элементу метода сил с использованием функций напряжений может быть поставлен в- соответствие равновесны л элемент, рассматриваемый в настоящей главе.

С учетом (15) функционал Кастильяно (7)представляется г суммой вкладов всех элементов

И.-^МГс-'М^й .се)

где - матрица податливости элемента. Коэффициенты аппрок-

симации напряжений в (16) связаны между собой условиями

равновесия на границах мевд элементами и на части граничного контура Г области Я. .

Для того чтобы обеспечить выполнение таких условий, на границах элементов вводятся интегральные усилия , приведенные к узлам на гранях элементов. Эти усилия должны однозначно определять распределение нормальных и-касательных напряжений по граням элементов при принятой по (15) аппроксимации напряжений в их пределах. Тогда условия равновесия узлов в вида

+ Ч + рг° вззпе 1 или МЭДНРНО!«?)

обеспечивают требуемую непрерывность напряжений на границах между элементами и условия на Гг . Используя граничные условия на контуре элемента и принятую ао (15) аппроксимацию напряжений, можно определить интегральные узловые усилия через 14

коэффициенты в видо

. (ГС)

где [Ы]. - прямоугольная Л*т патрича (л> т ), а столбе;;, определяется частным решением в (113).

Подстановка (18) в (17) дает условия равновесия дискретной модели

[АЖВДЧРМаЫо} , (т)

где [И] - квазидиягональная г.;атр;:ца с блоками [Ы]- на глявно-й квазидиагонали, а - столбец приведенной узловой нагрузки, связанный с в (18). Общез число непзвзстшх коос*;иц!:он-

тов [^Ц , равное ~ , определяет размерность пространства 1ЬМ , а 'дефект матриц» [[А1М] . равный , где -общее число уравнении равновесия узлов п (ТУ), определяет размерность множества М"СИ .

Задача минимизации квадратичной формы (16) на множестве И всех возможных решений уравнений равновесия (19) рожается с использованием метода множителей Лагрянжа, что приводит к разрешающим уравнениям метода перемещений для равновесных моделей. „

где - столбец множителе!! Лагранжа или обобщенных переме-

щений, отвечающих узловым усилит! , а [Я"} - кпазидиаго-

нальная матрица, диагональные блоки которой суть матриш жесткости-. отдельных равновесных элементов

Для одномерных областей указанный путь приводит к традиционному метода перемещений строительной механики стержневых систем и дает точное-решение исходной задачи. Для двумерных областей решение- задачи МКЭ на основе уравнэний (20) и (21) дает приближенное значение энергетической нормы, причем

КГ= ^ПяШмидМ^-у/ (22)

Запись общих уравнений равновесия модели в виде (19) позволяет объяснить и проанализировать появление так называемых "ложных форм" в некоторых равновесных моделях С?, де Вебеке и

неудачи других авторов при их попытках построения МКЭ в форме метода сил. Действительно, условие

j е5 №М - ■ Н^- при № оо (23)

является необходимым условием правильности построения равновесной модели. Излишние требования непрерывности напряжений на границах ме^ДУ элементами в равновесных моделях других авторов объясняются их желанием получить гладкое поле напряжений и тем самым повысить точность (?) определения напряжений. 13 действительности это приводит лишь к увеличению числа N$ уравнений "равновесия" в (19) и возможному нарушению условия (23). Дискретные модели такого типа могут стать изменяемыми, что приводит иногда к абсурдным результатам или "ложннм формам". Даже в том случае, когда условие (23) при этом выполняется и равновесные модели работают, увеличение степени гладкости поля напряжений' лишь понижает размерность N множества Мн , на котором минимизируется функционал Кастальяно. При этом в общем случае точность определения напряжений в энергетической норма понижается, а точность их определения в норме С° (по локальным значениям) не имеет строгого математического смысла.

Использование интегральных узловых усилий, в отличие от локальных значений усилий в узловых точках, принятых в моделях. Ф. де Вебеке, позволяет дать непосредственную физическую интерпретацию множителей Лагранжа и "бесплатно" получать информацию о перемещениях. Кроме того, интегральные узловые усилия непосредственно связаны со значениями функций напряжений в вершинах элемента, что позволяет легко строить такие элементы и обосновывать точность определения усилий в-узлах тагах элементов, используя статико-гэом^трические аналогии.

В диссертации получен целый ряд новых равновесных элементов для краевых задач с уравнением Пуассона и для плоской задачи теории упругости. С использованием этг: элементов выполнено решение тестовых примеров, даны апостериорные оценки точности расчетов и проведен сравнительный анализ МКЭ в форме метода сил и соответствующих равновесных моделей метода перемещений.

Использование равновесных моделей МКЭ требует расширения библиотек элементов действующих программных комплексов за счет включения в них новых равновесных элементов. Однако, в отличие ' от форм МКЭ, приведенных в главе 2, расчеты по равновесным моде-

лям не ограничиваются односвязшми областями, дают информацию о перемещениях и требуют лишь обычной для метода перемещений подготовки исходннх данных, которая не вызывает затруднений у пользователей в рядовых организациях. Соответствие между равновесными элементами и элементами метода сил из главы 2 позволяет перенести все исследования скорости сходимости процедуры МКЭ в традиционной ее форме на равновесные модели..

В четвертой главе диссертации исследуются варианты МКЭ, основанные на использовании новой безусловно экстремальной формулировке принципа минимума дополнительной работы для квазистатических задач линейной теории упругости. Искусственно вводя условное "упругое основание" и интерпретируя его податливость как функцию штрафа, можно использовать развитый здесь подход и для решения классических задач линейной теории упругости при "мертвой нагрузке".

В таких задачах, используя встречную энергетическую постановку в форме (12), необходимо построить минимизирующую последовательность базисных функций МКЭ в сопряженном энергетическом-,;-пространстве со скалярным произведением вида (II). Для

этого на границах элемента вводятся .дискретные узловые значения компонент напряжений , которое определяют независимую ап-

проксимацию напряжений в пределах элемента и обеспечивают требуемую непрерывность напряжений на границах между элементами. Тогда решение МКЭ отыскивается в виде

б'гМ-^Г^М» • (24)

где - искомая -компонента напряжений, б] - узловое

значение <3^ в узла ] , Ч^1 - базисные функции МКЭ (рис. I).

В диссертации показано, что необходимым условием полном системы базисных функций МКЭ в 7£ является условие

при МХс/о , (25)

где М - общее число узловых напряжений <о} в дискретной модели, N5 - общеэ число уравнений равновесия элементов, которое определяется числом элементов МЕ . В соответствии с теоремой Эйлера > где NV - число вершин, N1*-число граней, $ - связность области 52. . Отсюда следует, что для выполнения условия (25) необходимо располагать узлы не

I?

— ?

А |

гп

L-P

s'

i

le'J'

А

2l

ZSZ

^-■ar

i

♦ ,3-L-Y ¡2

V

Vj (oc,y)

Рис. IБазисные функции МКЭ

Si s;

zi

EL68 ELN8 , ELPS ,

V ^ у,

s-s^

ELB1Z < ■ О . , EUH2, - ELF12 Г

/V« /täL-si^^ /Е1-Вэ\ Äff

ЕШ6

Рис. 2. Равновесные элементы для плоской задачи

в вершинах, а на гранях элементов. Аппроксимация напряжений по (24) независима, однако она должна допускать возможность точного удовлетворения уравнений равновесия (2), т.е. среди системы базисных функций должны быть такие комбинации, которые точно удовлетворяют условия равновесия. В противном случае второе слагаэмое в (II) не может быть обращено в ноль при любом число элементов сетки и сходимость процедуры МКЭ в норме сопряженного пространства не обеспечивается. Базисные функции с узлами в вершинах (см. рис. I), используемые для аппроксимации перемещений и функций напряжений, налагают на напряжения излишние требования гладкости и не удовлетворяют условию (25). Все попытки использовать такие функции при решении задач линейной теории упругости на основе принципа Кастильяно и метода штрафа оказались неудачными.

На рис. I приведены простейшие прямоуголыше элементы для решения задачи Дирихле (расчет мембран) встречными методами. Первый из этих элементов основан на билинейной аппроксимации функций напряжений и использовании принципа Менабреа. Второй из приведенных элементов есть равнов&сный элемент метода перемещений с аппроксимацией напряжений, отвечающей первому элементу. Третий из элементов соответствует двум первым и используется для квазистатических задач (мембрана ча упругом основании) на основе прямого сложения податливостей в соответствии с вариационной постановкой задачи по (12). ,Вид базисных функций МКЭ, соответствующих этим элемента;,I, также представлен на рис. I.

Для одномерных областей в работе установлена формальная аналогия между постановками квазистатических задач в прямой и сопряженной формах, что позволило использовать существуюгяв программы расчета балок на упругом винклеровом основании методом перемещений для выполнения встречных расчетов этих же балок по методу сил. В диссертации получен ряд прямоугольных и треугольных элементов для решения плоской задачи теории упругости (рис. 2) на основе прямого сложения податливостей в соответствии с (12). Выполненные численные эксперименты показали,-что при О развитые здесь встречняе формы МКЭ дают двусторонние оценки точного решения в энергетической корме сопряженного пространства Н . Однако при * О решение методом сил становится численно неустойчивым. При > < О развитый здесь вариант

\

метода сил можно использовать для решения задач динамики линейно упругих систем, однако двусторонние оценки собственных частот колебаний таких систем, в общем случае, получить не удается. Существенным недостатком такого подхода является отсутствие какой-либо информации о перемещениях в непосредственных результатах расчета. *

В этой не главе диссертации дается .другая форма МКЭ, основанная на сопряженной энергетической постановке (12), которая •является обобщением равновесных моделей МКЭ на случай линейных квазистатических задач. Исходя из независимой аппроксимации напряжений, предлагается удовлетворять условия равновесия внутри элемента на основа метода штрафа, а условия равновесия на границах записываются в форме (1Э) и удовлетворяются, как и в равновесных моделях главы 3, на основе метода дискретных мно-■ЖИТЭЛ9Й Лаграняа. В отличие от (15) аппроксимация напряжений здесь не удовлетворяет заранее условиям равновесия, а матрица податливости элемента определяется теперь двумя слагаемыми

Шг 5 [< сн [ГЦ ¿а + зС$ 1№]У(АЧх];Кй

«1 А

Матрица жесткости равновесного элемента определяется по (21),

причем обращение податливости должно быть выполнено в

общей виде. Тогда при -»• 0 никаких особенностей в расчетах • не возникает, а равновесные элементы квазистатических задач естественным образом переходят в равновесные элементы, полученные в главе 3. Использование таких элементов позволяет рассматривать задачи с разрывными .полями напряжений при ре54, что невозможно в первом варианте метода сил для квазистатических задач, рассмотренном выше.

В пятг»* главе диссертации дается краткое описание программных комплексов ТУРК и.ЮРЕ, составленных автором для двойственных или встречных расчетов упругих конструкций по МКЭ. С использованием этих коыплексоз были выполнены расчеты сложных плоских и пространственных упругих тонкостенных систем и выявлены области рационального прийзненпя равновесных моделей МКЭ и различных вариантов метода сил. *

Программный комплекс 1УЕК предназначен, в первую очередь, для исследовательских работ в области теории МКЭ, а также широко используется в учебном процессе и научно-исследовательских 20 •

работах. В состав комплекса входит библиотека загрузочных модулей, реализующих отдельные этапы общего алгоритма МКЭ, и библиотека исходных текстов па ФОРТРАНЕ, содержащая набор типовых головных программ и комментарии. Библиотека элементов комплекса весьма обширна я, наряду с традиционными элементами метода перемещений, содержит элементы различных равновесных моделей !ЖЭ. На рис. 2 представлены некоторые равновесные элементы для решения плоской задачи линейной теории упругости из библиотеки элементов комплекса ТУРК'. В диссертации приведены результаты расчетов встречными методами балок-стенок при различных условиях закреплений и нагрукопий, решены я исследованы задачи о концентрации напряжений около вырезов и в районах действия сосредоточенных сил, а также задачи о распределении контактных напряжений под плоским штампом. Для всех рассмотренных примеров были получены апостериорные оценки точности расчетов при различных сетках элементов разных типов. Анализ результатов расчетов показал:

- все равновесные модели и модели метода сил приводят к точному удовлетворению условий равновесия для любого элемента или группы элементов, что позволяет-успешно развивать на таких моделях алгоритм локальных уточнений путем повторного расчета выделенной части расчетной схем: при бо^ео мелкой езтке;

- наиболее эффективным оказалось применение равновесных моделей метода перемещений с элементами и EL.NI9 ;

- наиболее-эффектные результаты дает применение равновесных моделей при решении контактных задач теории упругости;

- хотя теоретически двусторонние оценки точного решения обеспечиваются только при использовании равновесных моделей с элементами Ы-В^б , ЕЬКПб , Е1»Р16 (см. рис. 2), практически все остальные элементы такие обеспечивали двусторонние оценки при решении плоской задачи линейно;! теории упругости

на основе встречных форм !.КЗ;

- топологические особенности равновесных моделей приводят к увеличению порядка разрешающей системы уравнений для таких моделей в сравнении с традиционными моделями метода перемещений;

- результаты расчетов с использованием совместных и равновесных моделей взаимно дополняют друг друга и только анализ

двух встречных расчетов может дать достаточно полное и достоверное представление о н.д.с. конструкции и точности его определения.

Комплекс 1УРК содержит программы определения собственных частот и форм колебаний систем на основе нового алгоритма, предложенного в диссертации. Этот алгоритм позволяет решать задачи об определении нескольких первых собственных значений для любой ' линейно упругой Системы, статический расчет которой по МКЭ не занимает чрезмерно много времени. В диссертации приведены частоты и формы колебаний балки-стенки, полученные как на основе совместной, так и на основе равновесной модели, при различных сетках элементов. Для большей части из одиннадцати первых частот получены двусторонние оценки, хотя в общем случае .двойственность таких подходов не доказана.

Программный комплекс МОРЕ предназначен для расчетов тонкостенных призматических складчатых конструкций, плоские грани которых работают в условиях плоского напряженного состояния. Конструкции такого типа могут иметь поперечные диафрагмы, а также вырезы и подкрепления продольными стержнями. Комплекс использовался для расчетов вагонных кузовов, судовых отсеков и других объектов с топологически регулярной или искусственно регуляри-зованной структурой. Комплекс ШРЕ ориентирован на ЕС ЭВМ и содержит две основные программы, использующие общую библиотеку стандартных модулей и различные элементы: совместные элементы метода перемещений или равновесные элементы Е1>Т& и Е1_КН2. . Расчеты выполняются с использованием внешней памяти на магнитных дисках. При этом разбивка массивов на блоки относительно больших размеров выполняется автоматически с учетом регулярности расчетной схемы. Решение системы линейных уравнений МКЭ осуществляется методом Гаусса. При этом прямой ход для части матрицы коэффициентов выполняется по мере формирования ее блоков еще до того, как система уравнений сформирована полностью. Указанные особенности программы комплекса МОРК приводят к значительному сокращению объема подготавливаемой исходной информации и обидах затрат машинного времени по сравнению с использованием для аналогичных расчетов комплексов общего назначения типа ЛИРА или КАСКАД.

В диссертации приведены результаты расчета модели кузова железнодорожного вагона по программам комплекса ШРЕ. Модель ку-

2:2

зова представлена в виде тонкостенной призматической складки с прямоугольными вырезами, подкрепленной продольной хребтовой балкой по днищу. Некоторые результаты встречных расчетов стенки модели представлены на рис. 3. Из их анализа оледуют выводы:

Точность расчета в энергетической норме при сетке 10 х 26 элементов составляет 2,4 % (3795,9 4 1б01г< 3982,4). Она несколько выше у равновесной модели, так как последняя использует элемент более высокого порядка, чем совместная модель. Точность в энергетической норме может быть вычислена отдельно по какой-либо части расчетной схемы.

Перемещения определяются на основе совместной модели (max U. = 40,26), для которой тлеет место сходимость по перемещениям в норме С0 . Обобщенные перемещения узлов равновесной модели есть некоторые средние перемещения на гранях элементов. Они могут служить для оценки точности (maxV= 42,66), но их значения в точках на определены.

Равновесные модели определяют интегральные усилия в поперечных сечениях в точном соответствии с уравнениями равновесия ( may М = 8937, Q = 150, R= 212,6). Обобщенные интегральные усилия в совместных моделях определяются средними по полосе элементов значениями напряжений. Эпюры усилий разрывны и проверка условий равновесия в строгом смысле затруднена.

Равновесные модели делают возможной оценку точности определения интегральных усилий по площадкам конечных фиксированных размеров в норме X, , причем точность определения этих усилий равна точности определения перемещений в норме С0 в совместных моделях. Так, максимальное сдвигающее усилие в простенках равно 889,7 с точностью порядка 3 %.

Значения напряжений в точках'как в совместной, так и в равновесной моделях тлеют лишь обобщенный•смысл некоторых средних напряжений в окрестности данной точки. Максимальное нормальное напряжение <ох в нижних волокнах стенки составляет 111,32 по совместной и 116,61 по равновесной модели. Статические граничные условия в равновесных моделях выполняются с точностью до четвертого знака, что позволяет оценить погрешности вычислений на ЭВМ.

Программный комплекс ТУРК включен в межотраслевой банк вычислительных программ по обеспечению прочностных расчетов в машиностроении, созданный ШТК "Надежность" на базе Проблемной

Рис. 3. Стенка модели кузова железнодорожного вагона

научно-исследовательской лаборатории прочности и надежности конструкций при Днепропетровском госуниверситете. Этот комплекс широко используется в учебной и научно-исследовательской деятельности ПИИНТа и ряда организаций. Комплекс МОРЕ использовался при расчетах судовых отсекоз в задачах, связанных с определением параметров центровки валопрозодов в ЦНИИ Технологии Судостроения, а также при разработке методики расчета на прочность пролетных строенийлюстов под два пути на высокоскоростных магистралях. Некоторые* результаты выполненных автором прикладных исследований приведет в приложении к диссертации.

* В тестой главе диссертации исследуются возможности построения встречных форм МКЭ в нелинейной теории упругости.

В настоящее время постановки задач нелинейной теории упругости отличаются большим разнообразием подходов и отсутствием общепринятой терминологии. Поэтому в диссертации приведена новая, оригинальная формулировка основных уравнений нелинейной теории упругости, удобная при численном решении задачи по МКЭ. Такая формулировка основана на лагранжевом описании поведения системы в метрике ее натурального (ненапряженного) состояния и использовании пространственных координат материальных точек системы в качестве основных неизвестных задачи.

Как и в линейно!! теории, основные уравнения нелинейной теории составляют три группы:

1) уравнения непрерывности

УОС = С|. или »Эху3^. ( хеН , (26)

где V - набла-оператор Гамильтона, зс - вектор пространственных координат материальных точек, д. - несимметричный тензор градиент координат, - материальные координаты точек в натуральном состоянии тела;

2) уравнения равновесия

= р или (ух, $) = <р0>х> ¥• хеН , (27)

где в - несимметричный тензор напряжений Пиола, а р0 £ Н* -обобщенная функция, описывающая "мертвую" внешнюю нагрузку;

3) уравнения состояния

в = или /<£■<%. , (28)

где $ -нелинейный оператор в ^¿(Я.) , У/(с|) - упругий потенциал, задание конкретной формы которого определяет закон состояния данного материала.

Поскольку уравнения-'(26) и (27) линейны, нелинейность задачи теории упругости всегда связана с нелинейностью закона состояния в форме (28), в том числе и для геометрически нелинейных задач» В .диссертации показано, что закон состояния можно представить "в форме

5 = или & Л , (29)

где - тензор секущей жесткости, материала,

Я — С*'*")/а - тензор кратности удлинений,

¿ = - тензор деформации Грина,

- тензор напряжений Яумана.

Для геометрически нелинейных задач; зависимость между напряжениями Яумана и деформацией Коши: £ = Е определяется законом Гука: €£ =* ^.Е * ,, где 1ц, - первый инвариант тензора £ . Тогда 'секущая жесткость- такого- материала определяется в виде

- Я"1 + Е , (30)

где Л , - упругие постоянные Ляме- Материал с такими

свойствами известен; как полунинейный материал Джона. В работе утверждается,, что такой материал представляет собой единственное возможное обобщение материала Гука на случай геометрически нелинейных задач, при относительно малых деформациях я конечных углах поворота-

С учетом- (26)-(29)' разрешающие уравнения, нелинейной теории упругости принимают вид

V- £(7х) - р; или Р (31)

Эти уравнения являются условиями стационарности функционала полной потенциальной энергии деформации системы

- 5 АГ . (32)

гдэ потенциал внешних объемных сил V имеет вид

V = - рв-зс + ^ С-Х-Х , (33)

где С - положительная скалярная функция. При С = 0 получаем частный случай "мертвой" нагрузки.

Принцип стационарности дополнительной работы деформации при действии "мертвой" нагрузки впервые был сформулирован в работе Л.М.Зубова (1970). Основой для его формулировки служат канонические преобразования вариационной задачи Лагранжа (32). Такие преобразования возможны, если уравнения состояния (28) могут быть однозначно разрешены относительно компонент тензора

, а функционал полной энергии (32) выпуклый. В противном случае фиксированное поле напряжений Пиола б не определяет положения тела в пространстве, а дополнительный упругих потенциал не имеет однозначного определения. Указанные условия существенно ограничивают область применения двойственных вариационных постановок задач нелинейной теории упругости. Обобщение принципа стационарности дополнительной работы на случай квази-статичепких задач с потенциалом внешних сил вида (33) впервые выполнено в работах автора. Для геометрически нелинейных задач с секущей жесткостью, определенной по (30), функционал дополнительной работы деформации имеет вид

Ш)V*)¿а

г,

где дополнительный упругих потенциал V/* определяется через напряжения Яумана <2 и напряжения Пиояа 5 в виде

V/ - У/(в)+1«(*) . где ¿«(Б.*1)"1 ,

а дополнительный потенциал нагрузки определяется через напряжения Пиола с учетом (27) в виде

V*- р»х-V = (7.$ + р,)г/2с

На варьируемые напряжения 5 не накладывается никаких дополнительных ограничений, но область действия самого принципа ограничена интервалами нагрузки, при которой функционал П(х) выпуклый, а функционал ^(в) однозначно определен.

Метод Ньютона, развитый в работах Л.В.Канторовича применительно к функциональным уравнения:,! в банаховых пространствах,

позволяет построить последовательность приближенных решений нелинейной задачи (31) в вице

= И-к • <34>

гдо Х„ - какое-либо начальное приближение, достаточно близкое к точному решонию X* задачи при заданной нагрузке р^ . Изменения координат или перемещения и.ц на каждом шаге итерационного процесса Ньютона определяются из решения линейного уравнения

V-Si- VU.u= Лр* , (35)

где линейный оператор S'K есть производная Гато нелинейного опоратора S в законе состояния (28) или касательная жесткость материала в текущем состоянии"К". Нагрузка дрц на каждом шаге процесса определяется в виде

дРк~ p,~v-6l<-vxl< , (36)

где 6"к - секущая жесткость материала в состоянии "К". Решение линейных задач (35) выполняется на основе встречных форм МКЭ в касательных гильбертовых пространствах.

Пара-лэтры касательной жесткости материала в соот-

ветствии с (29) определяются суммой

где второе слагаемое названо в диссертации мгновенной жесткостью материала. Если в начальном положении Х0 тело не имеет предварительного напряжения и имеет натуральное состояние, то = 0 и касательная жесткость совпадает с мгновен-

ной. Для полулинейного материала (30) касательная и мгновенная жесткости в начальном состоянии без предварительного напряжения совпадают с жесткостью материала 1^ка: S0 — С • Таким образом, линейные задачи теории упругости могут рассматриваться как первое приближение в итерационном процессе Ньютона при решении геометрически нелинейных задач.

В диссертации рассматриваются вопросы, связанные с применением изложенной выше теории для построения алгоритмов л программ расчета гибких нитей и шарнирно-стержневых систем. Расчет

таких систем методом корректировки координат по алгоритму Ньютона близок к известным традиционным методам. Отличие заключается в способа построения матрицы касательной жесткости элемента, который приводит к ее представлению в виде суммы се-, кущей и мгновенной жесткостей в соответствии с (37). Секущая жесткость используется при определении невязки Дрк по (36). Рассмотрены также вопросы, связанные с расчетом геометрически изменяемых и предварительно напряженных вантовых систем. Для геометрически изменяемых систем'"начальное" положение есть лишь начальное приближение при расчетах и понятие о перемещениях материальных точек но определоно. Для предварительно напряженных систем начальное положение системы заранее неизвестно и определяется расчетом, исхода из условного начального приближения. При этом необходимо знать способ создания начального натяжения.

При определенных ограничениях общности постановки задачи удалось построить алгоритмы и составить программы расчета гибких нитей методом сил. Такой подход связан с формулировкой и использованием вариационного принципа Кастильяно и ограничивается определенными диапазонами нагрузок. При расчетах отдельных нитой метод сил оказывается значительно более выгодным, чем метод перемещений.

В диссертации получены матрицы касательной и секущей жест-костей треугольного элемента из полулинейного материала, работающего в условиях плоской деформации. Программный комплекс ТУРК был расширен путем включения в него программ расчета нелинейно упругих систем по методу Ньютона, а также методом пошагового нагружения. Были выполнены расчеты гибкой консольной плиты и пологого цилиндрического свода, работающих в условиях плоской деформации при неограниченных перемещениях. Анализ результатов расчетов показал:

- метод пошагового нагружения приводит к существенному искажению результатов, причем точность расчетов этим методом не повышается при увеличении числа шагов нагружения свыше 1Ь-20;

- точность решения задачи по метода Ньютона определяется точностью решения линейных задач по МКЭ на каздом шаге итерационного процесса;

- точность решения задач в областях, близких к критическому нагрукению, падает из-за вырождения касательной жесткости системы;

- для гибких теп при больших отношениях длины и высоты сечения тела точность решения линейнфх задач при густых сетках элементов резко ухудшается из-за плохо» обусловленности системы уравнений МКЭ и влияния ошибок округления;

- для повышения точности расчетов таких систем предлагается использовать интерполяционные уточнения, выполняя расчеты на двух вложенных относительно грубых сетках;

- для получения двусторонних оценок точности решений нелинейных задач представляется перспективным использование различных интерполяционных формул, которые позволяют не только уточнить решения, но и оценить их сверху и снизу.

Построение методов расчета, основанных на использовании вариационного принципа Кастильяно-Зубова,практически весьма затруднено, так как для этого необходимо установить и постоянно проверять условия выполнения формальных критериев однозначности такой формулировки. Поэтому кроме алгоритма расчета отдельных нитей такая встречная форма МКЭ в нелинейных задачах в диссертации не реализована.

СоБместноа использование элементов гибкой нити и треугольных элементов для плоской задачи позволяет выполнять расчеты армированных тел с предварительным натяжением арматуры. В диссертации приведен пример расчета предварительно напряженной балки на двух опорах, работающей в условиях плоской деформации. Анализ результатов расчета показывает, что применение развитой в диссертации теории, методики и программ к расчету предварительно напряженных систем имеет широкие перспективы.

В приложении к диссертации приведены некоторые результаты теоретических исследований и практических расчетов,выполненных автором за последние годы с использованием программного обеспечения и теории, развитых в диссертации.

В теоретическом плане здесь наибольший интерес представляют использования формы разрешающих уравнений нелинейной теории упругости в виде (31) и закона состояния в виде (29) для постановки и численного решения задач о нелинейных колебаниях упругих систем и задач исследования устойчивости предварительно напряженных конструкций. Показано, что при численном интегрировании уравнений движения нелинейно упругих систем с приведенными к узлам массами решение задачи в координатах выполняется боз вычисления касательной жесткости системы и тробует на

\ \

Балка с предварительно напряженной арматурой:

1 - при отсутствии предварительного натяжения арматуры;

2 - начальное состояние без'нагрузки;

3 - при нагружении предварительно напряженной балки.

В расчетах принималось: для материала балки Е = 1000 МПа, ■0 =0.16; для стержня арматуры, установленного на расстоянии 0.2 и от нижней кромки балки, ЕР = 50 Ш. Нагрузка I !Л1/м

Для свода: очертание по окружности радиуса 40 м, толщина 1м, Е = 9600 МПа, М = 0.2.

Рис. 4. Примеры решений плоской задачи теории упругости в геометрически нелинейной постановке

каждом шаге по времени вычисления только секущей жесткости, что значительно экономнее. Задачи исследования устойчивости систем сводятся к проверке положительной определенности касательной жесткости системы. Эта проверка выполняется путем подсчета числа отрицательных членов на главной .диагонали фактори-зованной матрицы разрешающих линейных уравнений на каждом шаге нагружения. Краткое изложение теории иллюстрируется примерами численного интегрирования уравнений движения составных упругих систем, а также задачей об исследовании устойчивости консоли, работающей в условиях плоской деформации и предварительного напряжения арматуры.

ОСНОВШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В .диссертации выполнен систематический анализ двойственных или встречных энергетических постановок задач линейной теории упругости как при "мертвом", так и при квазистатическом на-гружении упругих конструкций. Основное внимание автора было обращено на построение форм МКЭ, основанных на различных формулировках принципа минимума дополнительной работы. Использование таких форм МКЭ привело к приближенным решениям двумерных задач линейной теории упругости, в которых условия равновесия систе-т выполняются точно, а энергетическая норма точного решения оценивается сверху.

В диссертации исследуются три возможных подхода к решению статической задачи линейной теории упругости на основе принципа минимума дополнительной работы:

1. Метод ортогонального проектирования с использованием функций напряжений и статико-геометрических аналогий (метод сил).

2. Построение дискретной расчетной модели области с использованием аппроксимации напряжений и дискретных множителе!; Лагранжа в качестве основных неизвестных (равновесные модели).

3. Использование метода штрафа при формулировке и реализации принципа Кастальяно.

Первый из указанных подходов (метод сил) существенным образом зависит от топологических особенностей исследуемой области (но мерности и связности) и требует построения частпих решз-уравнений равновесия для каждой конкретной задачи. Расчета

с использованием статико-геометрических аналогий не требуют создания дополнительной библиотеки элементов и рекомендуются для исследований двумершпс односвязкых упругих конструкций простой форш при относительно простом нагружении.

Равновесные модели метода перемощений, по мнению автора, являются наиболее удобной из встречных форм МКЭ. Такие модели дают информацию не только о напряжениях, но и о перемещениях упругой системы. Расчеты выпелняются в традиционной форме метода перемещений и не зависят от топологических особенностей исследуемой области и характера нагрузки. Для использования метода требуется создание библиотеки равновесных элементов. Некоторые простейшие элементы для решения краевых задач второго порядка на плоскости предложены в диссертации. Исследования, выполненные в диссертации, показали широкие возможности, которые предоставляют равновесные модели при решении контактной задачи теории упругости, задач о концентрации напряжений и исследовании напряженного состояния тонкостенных конструкций типа вагонных кузовов.

Использование метода штрафа поззоляет сформулировать принцип Кастильяно как безусловно экстремальную задачу и построить модели. МКЭ, основанные на аппроксимации напряжений. Однако и здесь, особанно в задачах с нарушениями непрерывности поля напряжений, удобнее использовать равновесные модели метода перемещений. Такие модели являются непосредственным обобщением равновесных моделей на квазистатические задачи теории упругости и при \ = 0 приводят к обычным равновесным моделям.

Особая ценность встречных форм МКЭ заключается в их взаимном дополнении друг друга:

Совместные модели обеспечивают точное выполнение условий совместности, сходимость в энергетической норме снизу и сходимость по перемещенишл в норме С*. Оценка поля деформаций выполняется функциями,непрерывными в одном направлении (по ^ для ех) и разрывными в .другом.

Равновесные модели обеспечивают точное выполнение условий равновесия, сходимость в энергетической норме сверху и сходимость в норме по интегральным усилит на произвольной поверхности конечных размеров. Аппроксимация поля напряжений выполняется функциями, непрерывными в направлениях, противоположных совместным моделям (по эс для бл ).

Только выполнение двух встречных расчетов обеспечивает надежность и достоверность полученных результатов, апостериорную оценку точности выполненных расчетов и значительно расширяет возможности анализа н.д.с. исследуемой конструкции по результатам расчетов.

В нелинейной теории упругости прямые постановки задач в перемещениях и основанные на них методы численного решения с использованием МКЭ весьма разнообразны и далеки от той совершенной формы, которую имеют аналогичные задачи линейной теории упругости. Более удобную и более общую форму задачи нелинейной теории упругости приобретают, если их формулировать, используя в качества основных неизвестных пространственные координаты материальных точек системы, а не их перемещения. Такая постановка задачи, развитая в диссертации, приводит к определению понятия о тензоре секущей жесткости материала и разрешающим уравнениям в координатах,структурно аналогичным уравнениям Ля-ме в линейной теории упругости. Используя метод Канторовича для линеаризации этих уравнений в окрестности текущего состояния системы, удалось построить удобный и хорошо обоснованный алгоритм численного решения нелинейных задач. На каждом шаге этого алгоритма линеаризованные задачи в касательных энергетических пространствах можно решать по МКЭ о использованием его встречных форм. Развитые в диссертации постановки и алгоритмы численного решения задач нелинейной теории упругости оказались оообенно эффективными при расчетах предварительно напряженных конструкций как при статическом, так и при динамическом нагру-жаниях.

Двойственные энергетические постановки задач нелинейной теории упругости и основанные па них встречные формы МКЭ имеют весьма ограниченную область применения."-Это объясняется тем, что решение нелинейных задач в общем случае не единственное и функционал дополнительной энергии не определен однозначно. Двусторонние оценки точности решений нелинейных задач возможны при построении нескольких прямых решений на вложенных сетках с последующей экстраполяцией их результатов по двум сопряженным экстраполяционным форвдлам.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

I. Никольский М.Д. Расчет систем конечных элементов в

усилиях//Расчет пространственных конструкций на прочность и жесткость. - Л.: Стройиздат, 1973. - С. 194-207.

2. Никольский М.Д. К решению плоской задачи .теории упругости методом конечных элементов//Расчет пространственных конструкций на прочность и жесткость. - Л.: Стройиздат, 1973. -С. 208-217.

3. Никольский М.Д. Исследование сходимости решения плоской задачи теории упругости методом конечных .элементов/исследования по строительной механике/ЛИИКТ, 1975. - йга. 388. -

С. 88-97.

4. Никольский М.Д. К оценке точности МКЭ//Эксперименталь-ные и теоретические исследования искусственных сооружений/ Межвуз. сб. трудов. - Хабаровск: ХНИ, 1977. - С. 10-17.

5. Никольский М.Д. Об уравнениях линейной теории упругости в напряжевиях//Экспериментальные и теоретические исследования по механике твердых деформируемых гел/ЛИЖТ, 1978. - Вып. 551. - С. 70-74.

6. Никольский М.Д. К вопросу о формулировке принципа минимума дополнительной работы в линейной теории упругости//Меха-ника материалов й транспортных конетрукций/ЛИИНТ, 1980. -

С. 108-11?.

7. Никольский М.Д. Формы МКЭ, основанные на принципе Кас-гильяво//СтрттШ1Ьная механика я расчет сооружений. - IS83. -№ I. - С. 23-28.

8. Никольский М.Д. Особенности формулировки и использования принципа Кастильяво в некоторых задачах теории упругости// Прикладные проблемы прочности и пластичвости/Всесоюз. межвуз. сб. тр. - Горький: Г1У, 1983. - С. 27-33,

9. Никольский М.Д. Использование статико-геометрических аналогий при расчетах упругих систем по МКЭ//Строительная механика и расчет сооружений. - 1984. - <Ь 5. - С. 18-22.

10. Никольский М.Д. Псевдорешения и псевдообратные операторы в линейной теории упругости//Прочность материалов и механика транспортных конструкций/ЛИЖТ, 1984. - С. 53-56.

11. Никольский М.Д. Сопряженные энергетические метода в задачах линейной теории упругости//Приклаише проблемы прочности и пластичности/Зсесопз. межвуз." сб. тр. - Горький: ГГУ, 1986. - С. 18-25.

12. Никольский М.Д. Вариационные постановки геометрически

нелинейных задач теории упругости//Механика твердого тела: Изв. АН СССР. - 1986. - й 6. - С. 66-70.

13. Никольский И.Л. Лагранжэв подход в теории гибких ни-тей//Исследования по строительной механике/ЛИИлТ, деп. ВНИИИС, 1988. - £ 9148. - С. 152-164.

14. Никольский М.Д. Расчет вагонных кузовов на основе МКЭ//Исследования по строительной моханике/ЛИИЕТ, 1975. - Вып. 383. - С. I02-II4.

15. Никольский М.Д. Расчет объемных судовых конструкций на основе МКЭ//Применание численных методов в строительной механике корабля. - Л.: Судостроение, 1976. - Вип. 239. -

С. 21-24.

16. Никольский М.Д. Способ определения частот и форм собственных колебаний при оценке сейсмостойкости сооружонил с применением Г.КЭ//Строительство в особых условиях. Сейсмостойкое строительство. Экспрасс-информа"ия. Серия 14, Вып. 4. -М., 1984. - С. 4-9.

17. Никольский М.Д., Peiym Л.А., Матюшин К.Г. Влияние неравномерности распределения контактных напряжений на герме -газирующую способность кольцевых полимерных уплотнителей//Во-просы судостроения. Серия: Технология судостроения. - Зип. 12, 1976. - С. 70-75.

18. Никольский М.Д., Трощэнков Э.Д. Исследование напряженно-деформированного состояния уплотнителэй//Теоретические и экспериментальные исследования по строительной мэханико транспортных сооружений/ЛИЖТ, 1977. - Вып. 407. - С. 84-89.

19. Никольский М.Д., Чернева И.М., Безперстова Н.§<., Кле-щева Г.Н. Комплекс программ МОРЕ для расчетов сооружений по метода конечных" элементов//Экспоримэнтальные и теоретические исследования по механике твердых деформируемых тал/ЛИ1СТ, 1978. - Шп. 551. - С. 74-88.

20. Никольский М.Д., Рубин М.Б., Яшкин А.Г. Распределение давлений на ыоталло-пояикерной поверхности трения//Зопро-ш судостроения. Серия: Технология судостроения. - 1978. -Вып. 17. - С. 14-23. •

21. Никольский М.Д., Ленько 0.11., Чернева И.М. Численные методы рашония задач по расчету транспортных сооружении

с использованием ЭВМ///чеб. аособ., ЛИКХТ. - 1906. - С. 35-74.