Встречные формы метода конечных элементов в теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

В в 8 д е н и е

Глава I. Двойственные вариационные принципы и встречные энергетические методы в задачах линейной теории упругости

Глава П. Формы МКЭ, основанные на принципе Менабреа.

Использование с та тик о -г э оме трич е ских аналогий.

Глава Ш. Форш МКЭ, основанные на принципе Кастильяно.

Равновесные модели метода перемещений

Глава 1У.Сопряженные формы МКЭ в квазистатических задачах линейной теории упругости

Глава У. Реализация встречных форм МКЭ в практических расчетах.

Глава У1.Встречные формы МКЭ в нелинейной теории упругости

Цели и задачи исследования. Метод конечных элементов (МКЭ) стал в настоящее время одним из самых распространенных методов решения прикладных задач линейной теории упругости. Однако его формулировка основывается почти всегда на использовании прямого энергетического метода решения краевой задачи линейной теории упругости в перемещениях, т.е. на принципе минимума полной потенциальной энергии системы • Обобщенное решение ы0 задачи линейной теории упругости сообщает минимум функционалу 1(и,) так, что тиг1(и) = 1(|х0) = ~[и,0,и.в"]=-\л/ , где квадратные скобки обозначают скалярное произведение в энергетическом пространстве данной задачи.

Методы решения краевых задач линейной теории упругости, основанные на минимизации функционала дополнительной работы 3(£) с минимумом, равным V/ , по определению С. Г. Михлина /37/, называются встречными по отношению к прямому энергетическому методу. Их использование дает оценку функционала энергии Кц.). или энергетической нормы точного решения.|и.0| , с другой стороны.

Зная два приближенных решения одной и той же задачи, одно из которых построено по прямому, а другое - по встречному энергетическому методу, можно дать апостериорную оценку точности обоих приближений. Встречные формы МКЭ, основанные на аппроксимации напряжений и использовании встречных энергетических постановок, приводят к равновесным моделям, которые обладают рядом особенностей в сравнении с известными совместными моделями МКЭ. Однако такие встречные формы МКЭ не получили еще достаточно широкого распространения, а общей теории их построения и математического обоснования в настоящее время нет.

Первой основной целью настоящей работы является систематическое исследование встречных энергетических постановок задач линейной теории упругости, построение и развитие форм МКЭ, основанных на таких постановках, а также выявление свойств и особенностей новых равновесных моделей МКЭ. Такое систематическое исследование выполняется, по-видимому, впервые в мировой практике. Оно выполняется с позиций функционального анализа и современной математической физики /72, 82/ и основывается на соответствующем анализе традиционных форм МКЭ, приведенном в работах /34, 79/.

Постановки нелинейных задач теории упругости отличаются боль шим разнообразием. При использовании лагранжева подхода с описанием нелинейного поведения упругих систем в метрике натурального состояния вариационный принцип Лагранжа непосредственно обобщается на нелинейные задачи теории упругости. Двойственные или встреч ные вариационные постановки задач нелинейной теории упругости ока зываются возможными лишь при весьма существенных ограничениях, связанных с выпуклостью функционала полной энергии системы /8/. Формы МКЭ, основанные на аппроксимации перемещений и использовании вариационного принципа Лагранжа, получили некоторое распространение в практике инженерных расчетов нелинейно упругих конструкций и систем. Однако сложности, связанные с многовариантностью постановок задачи и неоднозначностью трактовок многих определяющих понятий в нелинейной теории упругости, не позволяют считать такие формы МКЭ ни единственно возможными, ни достаточно обоснованными. Очевидно, что встречные формы МКЭ применительно к задачам нелинейной теории упругости могут быть развиты лишь при весьма существенных ограничениях области их возможного применения В настоящее время нам не известны какие-либо успешные попытки раз вития таких форм для нелинейно упругих систем.

В связи с этим второй, дополнительной целью диссертационной работы является исследование возможностей обобщения результатов разработки встречных форм МКЭ для задач линейной теории упругости на задачи нелинейной теории. Такая цель потребовала развития нового подхода к самой постановке задач нелинейной теории упругости в координатах и развития форм МКЭ, основанных на таком подходе.

Диссертация состоит из шести глав и заключения. В первой главе рассматриваются классические вариационные принципы линейной теории упругости: принцип Лагранжа и две формы канонически сопряженного с ним принципа минимума дополнительной работы. Такие встречные вариационные постановки интерпретируются Ш в соответствии с работами /37/ и /100/ как методы ортогонального проектирования в энергетических пространствах. Показано, что их можно рассматривать как методы отыскания обобщенных псевдорешений соответственно уравнений непрерывности деформаций и уравнений равновесия. Для квазистатических задач линейной теории упругости, в которых внешние силы линейно зависят от перемещений, приводится новая формулировка принципа Кастильяно, связанная с принципом Лагранжа инволюционными преобразованиями. Для таких задач вводится понятие о сопряженном энергетическом пространстве и определяется норма в этом пространстве.

В соответствии с исследованиями, проведенными в первой главе, основой для построения встречных форм МКЭ в линейной теории * упругости служат:

- принцип Менабреа, в котором отыскивается какое-либо частное решение уравнений равновесия линейно упругой системы, а затем это решение проектируется на подпространство собственных (самоуравновешенных ) напряжений;

- принцип Кастилъяно, в котором функционал дополнительной работы деформации минимизируется на множестве всех возможных решений уравнений равновесия;

- принцип Кастилъяно в квазистатических задачах, который сводится к безусловной минимизации функционала полной дополнительной работы на всем сопряженном энергетическом пространстве. В частном случае "мертвых" внешних сил такая постановка может быть получена при использовании метода штрафа для классической задачи Кастилъяно.

Во второй главе рассматриваются формы МКЭ, основанные на принципе Менабреа. Показано, что для стержневых систем формы МКЭ, основанные на принципе Менабреа, приводят к каноническим уравнениям метода сил и обеспечивают точное решение исходной континуальной задачи. Для двумерных областей, используя функции напряжений и статико-геометрические аналогии, удается построить встречные формы ЖЭ, использующие стандартные элементы и программы метода перемещений. На основании такого подхода выполнены встречные решения для тестовых задач и даны как априорные, так и апостериорные оценки точности выполненных решений. Использование статико-геометрических аналогий позволяет перенести результаты теоретических исследований скорости сходимости процедуры МКЭ в форме метода перемещений на формы МКЭ, основанные на принципе Менабреа. Существенными недостатками такого подхода к построению встречных форм МКЭ являются: I) необходимость построения каких-либо частных решений уравнений равновесия; 2) трудности, возникающие при расчетах многосвязных областей; 3) отсутствие непосредственного определения перемещений.

В третьей главе диссертации рассматриваются равновесные модели ЖЭ, построение которых основано на использовании принципа

Кастильяно. Дискретная модель континуального объекта строится на основе аппроксимации напряжений в пределах элемента с учетом выполнения дифференциальных уравнений равновесия в его пределах. Таким образом, строится конечномерное подпространство в пространстве напряжений. Элементы этого подпространства должны удовлетворять дискретным условиям равновесия на границах и линиях сопряжения между элементами. На множестве всех возможных решений такой системы линейных алгебраических уравнений равновесия минимизируется функционал Кастильяно. Решение такой дискретной задачи с помощью метода множителей Лагранжа приводит к равновесным моделям метода перемещений. В качестве узловых параметров вводятся интегральные усилия, приведенные к центральным узлам на сторонах элементов. Основными неизвестными задачи являются обобщенные перемещения, отвечающие узловым усилиям. Они определяются из решения системы уравнений метода перемещений, но такое решение является встречным по отношению к совместным моделям метода перемещений. Для элементов, полученных во второй главе на основе аппроксимации функции напряжений, и равновесных элементов метода перемещений, полученных здесь, устанавливается однозначное соответствие. Это позволяет перенести результаты исследований в области теории МКЭ в его традиционной форме /34, 79/ на равновесные модели. При этом все недостатки, связанные с использованием подхода, основанного на принципе Менабреа и аппроксимации функций напряжений, ликвидируются.

В четвертой главе исследуются формы МКЭ, основанные на использовании новой безусловно экстремальной формулировки принципа Кастильяно для квазистатических задач линейной теории упругости. Для задач об изгибе балок на упругом винклеровом основании прямая и сопряженная энергетические постановки оказываются формально подобными, что позволяет использовать существующие программы для выполнения встречных расчетов как методом перемещений, так и методом сил. При решении двумерных задач линейной теории упругости (мембрана на винклеровом основании, плоская стационарная задача динамики) применение новой вариационной постановки требует использования для аппроксимации напряжений базисных функций, отличных от тех, которые используются для аппроксимации перемещений в традиционных формах МКЭ. Это обстоятельство объясняется различными условиями гладкости и полноты системы базисных функций в прямом и сопряженном энергетических пространствах. Условия непрерывности налряжений на границах между элементами можно обеспечить как непосредственным объединением узловых параметров, так и с использованием множителей Лагранжа для учета дискретных условий равновесия на границах элементов. Эти два. способа приводят соответственно к методу сил и к равновесным моделям метода перемещений. В частном случае "мертвой" нагрузки податливость условного винклерова основания устремляется к бесконечности и интерпретируется как функция штрафа, наложенного на условия равновесия в классическом принципе Кастильяно.

В пятой главе дается краткое описание программных комплексов ТУРК и МОРЕ, разработанных автором для расчета упругих систем на ЕС ЭВМ с использованием встречных форм МКЭ. Приводятся примеры встречных расчетов различных сложных линейно упругих систем. На основе анализа результатов этих расчетов показано, что:

- наиболее эффективной из разработанных встречных форм МКЭ является равновесная модель метода перемещений;

- встречные формы МКЭ приводят к двусторонней оценке точного решения задачи в энергетической норме;

- точное выполнение условий равновесия обеспечивает преимущества равновесных моделей МКЭ при решении контактных задач и некоторых задач, связанных с концентрацией напряжений;

- при одинаковой с совместными моделями точности решения равновесные модели требуют, как правило, несколько больших затрат памяти ЭВМ и машинного времени.

В шестой главе диссертации излагаются проблемы, связанные с развитием встречных форм МКЭ в задачах нелинейной теории упругости. Предлагается новый подход к постановке задач нелинейной теории упругости, в котором за основные неизвестные принимаются пространственные координаты материальных точек тела в его актуальном деформированном состоянии. Вводится понятие о секущей жесткости материала, а также понятия о секущем и касательном энергетическом ♦ пространствах. Показано, что полулинейный материал Джона есть естественное обобщение материала Гука на геометрически нелинейные задачи, в которых нелинейность поведения определяется большими перемещениями, связанными с конечными поворотами. Приводятся встречные энергетические постановки для таких задач, которые существенно ограничиваются условиями выпуклости функционала полной потенциальной энергии деформации. Решение задачи нелинейной теории упругости сводится к последовательности решений линейных задач в касательных пространствах. Геометрически нелинейные задачи о деформациях гибких нитей и шарнирно стержневых систем решаются как методом перемещений, так и методом сил. Задачи о плоской деформации гибких тел решаются только методом перемещений. Для повышения * точности таких решений и получения их двусторонней оценки используются экстраполяционные методы.

Диссертация заканчивается заключением, в котором приведены основные результаты работы.

6.8. Основные результаты и выводы

В шестой главе была предпринята попытка построения встречных форм МКЭ в задачах нелинейной теории упругости. Однако в нелинейной теории упругости исходные постановки задач весьма разнообразны, а многие определяющие понятия еще не получили общепринятой трактовки. Поэтому основные результаты этой главы связаны с постановкой, линеаризацией и развитием прямых энергетических методов решения задач нелинейной теории упругости, тогда как встречные энергетические методы имеют весьма ограниченную область применения в таких задачах.

В этой главе была предложена новая постановка задачи нелинейной теории упругости в форме,аналогичной постановке задачи линейной теории в главе I. Такая постановка основана на лагранжевом описании нелинейного поведения упругой системы в метрике ее натурального состояния. Поскольку в начальном положении система может не находиться в натуральном состоянии, то за основные неизвестные задачи приняты не перемещения, а пространственные координаты материальных точек в конечном состоянии системы. Разрешающие уравнения в координатах представлены,как и для линейной теории упругости, в виде суперпозиции трех операторов

А* $ А х = р (6.8.1)

Сопряженные операторы А и А* не отличаются от соответствующих операторов линейной теории и нелинейность задачи определяется законом состояния материала

5(7Х)=5 ИЛИ $ = УХ , (6.8.2) А где 5 - несимметричный тензор номинальных напряжений Пиола, а

А» - тензор секущей жесткости материала. Такая постановка задачи нелинейной теории упругости является первым основным результатом главы П.

Линеаризация разрешающих уравнений (6.8.1) сводится к линеаризации закона состояния (6.8.2). Линеаризованный закон состояния определяется производной Гато от оператора 3 в (6.8.2).

Для линеаризованной задачи вводится понятие о секущем и касательном гильбертовых пространствах и строятся традиционные формы МКЭ в таких энергетических пространствах. Такой подход к линеаризации задачи естественно возникает при использовании метода Ньютона-Канторовича для решения операторного уравнения (6.8.1) и является вторым основным результатом исследований главы У1.

Закон состояния Джона для полулинейного материала является естественным обобщением закона Гука на геометрически нелинейные задачи, в которых большие перемещения материальных точек системы обусловлены большими поворотами при относительно малых деформациях. Линеаризованный закон состояния Ддона в начальном недеформиро-ванном состоянии тела совпадает с законом Гука и решение задачи линейной теории упругости можно рассматривать как первое приближение в решении нелинейной задачи для полулинейного материала. Другие широко распространенные трактовки геометрически нелинейных задач не удовлетворяют указанному требованию и лишь приближенно могут быть интерпретированы как обобщение закона Гука на случай больших поворотов. Доказательство этого факта является третьим основным результатом исследований главы У1.

Анализ двойственных вариационных постановок задач нелинейной теории упругости показал, что возможности однозначного определения дополнительной работы деформации ограничены требованиями выпуклости функционала полной потенциальной энергии системы. Это требование очень существенно сужает область возможного использования встречных форм МКЭ в нелинейной теории упругости. В главе У1 приведена новая формулировка принципа стационарности полной дополнительной работы для квазистатических геометрически нелинейных задач теории упругости. Основанный на этом принципе метод сил развит только для случая расчета гибких нитей. Этот результат является единственным положительным достижением в области реализации встречных форм МКЭ в нелинейной теории упругости. Общие выводы по результатам главы У1 негативны и не позволяют надеяться на широкое использование встречных форм МКЭ в нелинейной теории упругости.

Практическая реализация традиционных форм МКЭ на основе предложенного здесь подхода црименительно к расчетам шарнирно-стержне-вых систем и гибких тел в условиях плоской деформации показала:

1. Предложенный подход позволяет с единых позиций подходить к расчету геометрически изменяемых и предварительно напряженных систем.

2. Алгоритм Ньютона обладает рядом существенных преимуществ в сравнении с алгоритмом метода последовательных нагружений и обеспечивает существенно более высокую точность результатов.

3. Точность результатов значительно понижается при расчетах гибких тел с большим соотношением основных генеральных размеров области. Для повышения точности расчетов таких тел рекомендуется использование экстраполяционных методов повышения точности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации выполнен систематический анализ двойственных или встречных энергетических постановок задач линейной теории упругости как при статическом, так и при квазистатическом нагружении упругих конструкций. Основное внимание автора было обращено на построение форм МКЭ, основанных на различных формулировках принципа минимума дополнительной работы. Использование таких форм МКЭ привело к приближенным решениям двумерных задач линейной теории упругости, в которых условия равновесия системы выполняются точно, а энергетическая норма точного решения оценивается сверху. В традиционных формах МКЭ энергия упругой системы оценивается снизу и строго выполняются условия совместности деформаций. Использование встречных форм МКЭ позволяет давать апостериорные оценки точности встречных решений.

В диссертации исследуются три возможных подхода к решению статической задачи линейной теории упругости на основе принципа минимума дополнительной работы:

1. Метод ортогонального проектирования с использованием функций напряжений и статико-геометрических аналогий (метод сил).

2. Построение дискретной расчетной модели области с использованием дискретных множителей Лагранжа в качестве основных неизвестных (равновесные модели метода перемещений).

3. Использование метода штрафа (возмущений) при формулировке цринципа Кастильяно.

Первый из указанных подходов (метод сил) существенным образом зависит от топологических особенностей исследуемой области (ее мерности и связности) и требует построения частных решений уравнений равновесия для каждой конкретной задачи. Расчеты с использованием статико-геометрических аналогий не требуют создания дополнительной библиотеки элементов и рекомендуются для исследований двумерных од-носвязных упругих конструкций простой формы при относительно простом нагружении.

Равновесные модели метода перемещений, по мнению автора, являются наиболее удобной из встречных форм МКЭ. Такие модели дают информацию не только о напряжениях, но и о перемещениях упругой системы. Расчеты выполняются в традиционной форме метода перемещений и не зависят от топологических особенностей исследуемой области и характера нагрузки. Для использования метода требуется создание библиотеки равновесных элементов. Некоторые простейшие элементы для решения краевых задач второго порядка на плоскости (мембрана и плоская задача) рассмотрены в диссертации. Исследования, выполненные в диссертации, показали широкие возможности, которые предоставляют равновесные модели при решении контактной задачи теории упругости, задач о концентрации напряжений и исследований напряженного состояния тонкостенных конструкций типа вагонных кузовов.

Использование метода штрафа позволяет сформировать принцип Кастильяно как безусловно экстремальную задачу и построить модели МКЭ, основанные на аппроксимации напряжений. Однако и здесь, особенно в задачах с нарушениями непрерывности поля напряжений, удобнее использовать равновесные модели метода перемещений. Такие модели являются непосредственным обобщением равновесных моделей на квази-статические задачи теории упругости и при к = 0 или бесконечном увеличении функции штрафа приводят к обычным равновесным моделям,

В задачах нелинейной теории упругости встречные или сопряженные энергетические постановки имеют весьма ограниченную область применения. Однако использование нового подхода к постановке и линеаризации задач нелинейной тэории упругости позволило развить достаточно общие формы МКЭ, основанные на аппроксимации пространственных координат материальных точек системы. Такие формы МКЭ имеют весьма широкие перспективы развития при расчетах предварительно напряженных систем.

1. Абовский Н. П., Андреев Н. П., Деруга А. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, 1978. -287 с.

2. Александров А. В., Лащеников Б. Я., Шапошников Н. Н. Строительная механика. М.: Стройиздат, 1983. - 488 с.

3. Алексеев Н. И. Статика и установившееся движение гибкой нити. М.: Легкая индустрия, 1970. - 270 с.

4. Аргирис Д. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. -М.: Стройиздат, 1968.

5. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры. -М.: Наука, 1983. 336 с.

6. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов. -М.: Наука, 1986. С. 175-182.

7. Бородачев Н. М. Вариационный принцип для решения задачи теории упругости в налряжениях//Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев. - 1981. - № 38. - С. 69-73.

8. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. - 446 с.

9. Бурман 3. И., Лукашенко В. И., Тимофеев М. Т. Расчет тонкостенных подкрепленных оболочек методом конечных элементов с применением ЭЦВМ. Казань: изд. Казанского ун-та, 1973.

10. Буслаев В. С. Вариационное исчисление. Л.: Изд. ЛГУ, 1980. - 146 с.

11. Вайнберг Д. В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. Киев: Будивельник, 1973. - 487 с.

12. Вишик М. И. Метод ортогональных проекций для самосопряженных уравнений. ДАН СССР, т. 56, № 2, 1947.

13. Воеводин В. В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980. -400 с.

14. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. -М.: Наука, 1972. 432 с.

15. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576 с.

16. Годунов С. К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978.

17. Городецкий А. С. Вычислительный комплекс для расчета строительных конструкций на ЭВМ//Организация, методы и технология проектирования. 1976. - Вып. 9.

18. Дарков А. В., Шапошников Н. Н. Строительная механика. -М.: Высшая школа, 1986. 606 с.

19. Зенкевич 0. Метод конечных элементов: от интуиции к общности/механика (сб. переводов). М.: Мир, 1970. - I 6. - С. 90-103.

20. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 542 с.

21. Зубов Л. М. Принцип стационарности дополнительной работы в нелинейной теории упругостч^ШМ. 1970. - Т. 34. - С. 241-245.

22. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. -М.: Наука, 1984. 750 с.

23. Качурин В. К. Гибкие нити с малыми стрелками. М.:ГИТТЛ, А/1956.

24. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. I. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. - 476 с.

25. Курочкин В. Н. Решение плоской задачи теории упругости в напряжениях методом Галеркина с конечно-элементной аппроксимацией. Доклад на семинаре Л. А. Розина в ЛПИ. 1986.

26. Лавендел Э. Э. Расчет резино-технических изделий. М.: Машиностроение, 1976. - 232 с.

27. Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Мир,1965.

28. Лалин В. В. Постановка и решение МКЭ задач строительной механики в напряжениях//МК и ГЭ в строительной механике:доклад/ УШ Всесоюзная школа-семинар. 1987.

29. Литвинов В. Г., Пантелеев А. Д. Принцип Кастильяно в задачах изгиба пластин переменной толщины//Прикладная механика,

30. АН УССР, Т. 14. № 7. - С. 63-69.

31. Лукашевич А. А. Использование функций напряжений при решении МКЭ задач теории тонких упругих оболочек//Прочность и устойчивость инженерных сооружений/Алтайск. ПИ. Барнаул, 1983. - № 14.

32. Лукашевич А. А. К расчету плоской задачи теории упругости в напряжениях на основе метода штрафа/ ЛПИ. Депонирована в ВИНИТИ, 1983.

33. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 940 с.

34. Лурье А. И. Теория упругости для полулинейного материала// ПММ. 1968. - Т. 32. - Вып. 6. - С. 1053-1069.

35. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточ-ные методы. М.: Наука, 1981. - 416 с.

36. Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука, 1980.

37. Митчел Э., Уайт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. - 216 с.

38. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике.-М.: Наука, 1970. 512 с.

39. Метод супер-элементов в расчетах инженерных сооружений/ Под ред. В. А. Постнова. Л.: Судостроение, 1979. - 287 с.

40. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. В 2-х частях/А. В. Александров, Б. Я. Лащени-ков, Н. Н. Шапошников, В. А. Смирнов. М.: Стройиздат, 1976.

41. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

42. Никольский М. Д. Расчет систем конечных элементов в уси-лиях//Расчет пространственных конструкций на прочность и жесткость.- JI.: Стройиздат, 1973. С. 194-207.

43. Никольский М. Д. К решению плоской задачи теории упругости методом конечных элементов//Расчет пространственных конструкций на прочность и жесткость. Л.: Стройиздат, 1973. - С. 208-217.

44. Никольский М. Д. Расчет кузова железнодорожного вагона на основе МКЭ//Расчет пространственных конструкций на прочность и жесткость. -Л.: Стройиздат, 1973. С. 218-227.

45. Никольский М. Д. Расчет вагонных кузовов на основе МКЭ// Исследования по строительной механике/Лен. ин-т инж. ж.д. тр-та, 1975. Вып. 388.

46. Никольский М. Д. Исследование сходимости решения плоской задачи теории упругости методом конечных элементов//Исследования по строительной механике/Лен. ин-т инж. ж.д. транспорта, 1975. Вып. 388. - С. 88-97.

47. Никольский М. Д. Расчет объемных судовых конструкций на основе МКЭ//Применение численных методов в строительной механике корабля/НТО им. А. Н. Крылова. Л.: Судостроение, 1976. - Вып. 239.

48. Никольский М. Д. К оценке точности МКЭ//Экспериментальные и теоретические исследования искусственных сооружений:межвуз. сб. трудов. Хабаровск: ХПИ, 1977. - С. 10-17.

49. Никольский М. Д. Об уравнениях линейной теории упругости в налряжениях//Экспершентальные и теоретические исследования по механике твердых деформируемых тел/Лен. ин-т инж. ж.д. тр-та, 1978.- Вып. 551. С. 70-74.

50. Никольский М. Д., Чернова И. М., Безперстова Н. Ф.,

51. Клещёва Г. Н. Комплекс программ МОРЕ для расчета сооружений по методу конечных элементэв//Эксперименталъные и теоретические исследования по механике твердых деформируемых тел/Лен. ин-т инж. ж.д. тр-та, 1978. Вып. 551. - С. 74-88.

52. Никольский М. Д. К вопросу о формулировке принципа минимума дополнительной работы в линейной теории у пру г о с ти//М ехани ка материалов и транспортных конструкций/Лен. ин-т инж. ж.д. тр-та, 1980. С. I08-117.

53. Никольский М. Д. Формы МКЭ, основанные на принципе Ка-стильяно//Строительная механика и расчет сооружений. 1983. -й I. - С. 23-28.

54. Никольский М. Д. Особенности формулировки и использования принципа Кастильяно в некоторых задачах теории упругоети//Е1риклад-ные проблемы прочности и пластичности: всесоюз. межвуз. сб. тр. -Горький: Г1У, 1983. С. 27-33.

55. Никольский М. Д. Использование статико-геометрических аналогий при расчетах упругих систем по МКЭ//С трои тельная механика и расчет сооружений. 1984. - В 5. - С. 18-22.

56. Никольский М. Д. Псевдорешения и псевдообратные операторы в линейной теории упругости//Прочность материалов и механика транспортных конструкций/Лен. ин-т инж. ж.д. тр-та: сб. тр. 1984.1. С. 53-56.

57. Никольский М. Д. Сопряженные энергетические методы в задачах линейной теории упругости/УПрикладные проблемы прочности ипластичности:всесоюзн. межвуз. сб. Горький:Г1У, 1986. - С. 18-25.

58. Никольский М. Д. Вариационные постановки геометрически нелинейных задач теории упругости//МТТ. 1986. - № 6. - С. 66-70.

59. Никольский М. Д. Лагранжев подход в теории гибких нитей// Исследования по строительной механике: сб. науч. статей/Лен. ин-т инж. ж.д. тр-та, 1987. С. 152-164.

60. Никольский М. Д., Трощенков Э. Д. Исследование напряженно-деформированного состояния уплотнителей//Теоретические и экспериментальные исследования по строительной механике транспортных сооружений/Лен. ин-т инж. ж.д. тр-та. 1977. - Вып. 407. - С. 8489.

61. Никольский М. Д., Рубин М. Б., Яшкин А. Г. Распределение давлений на. металло-полимерной поверхности трения//Вопросы судостроения, Серия: Технология судостроения. 1978. - Вып. 17. - С. 14-23.

62. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

63. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. М.-Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948. - 212 с.

64. Норри Д., Де Фриз 1. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 386 с.

65. Обэн Ж. П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977. - 386 с.

66. Оден №. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 464 с.

67. Ортега Дж., Рейнболт В. 'Итерационные метода решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975

68. Партон В. 3., Перлин П. И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. - 688 с.

69. Полак I. С. Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике. М.: ГИЗ Ф.-М.Лит., 1960. - 566 с.

70. Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974.

71. Резников Р. А. Решение задач строительной механики на ЭВМ. -М.: Стройиздат, 1971. 310 с.

72. Рихмайер Р. Принципы современной математической физики. -М.: Мир, 1982. 486 с.

73. Розин Л. А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд. ЛГУ, 1978. - 224 с.

74. Розин Л. А. Стержневые системы как системы конечных элементов. Л.: Изд. ЛГУ, 1976. - 322 с.

75. Сандер Г. Применение принципа двойственного анализа//Рас-чет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Т. I. Л.: Судостро ение, 1974. - С. 120-150.

76. Смирнов В. А. Висячие мосты больших пролетов. М.: Высшая школа, 1975. - 368 с.

77. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974.

78. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд. СО АН СССР, 1962. 256 с.

79. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. -М.: Мир, 1977. 349 с.

80. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. - 575 с.

81. Тонти Э. Вариационные принципы в теории упругоети//Механика: период, сб. переводов. 1969. - А^ 5.

82. Треногин В. А. Функциональный анализ. -М.: Наука, 1980.

83. Тихонов А. Н., Арсеяин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. - 286 с.

84. Филин А. П. , Тананайко 0. Д., Чернева. И. М., Шварц М. А. Алгоритмы построения разрешающих уравнений механики стержневых систем. -Л.: Судостроение, 1983. 230 с.

85. Чернева И. М. Дискретные расчетные схемы пластин и оболочек: Дис. . канд. техн. наук. -Л., 1967.

86. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. - 335 с.

87. Численные методы решения задач по расчету транспортных сооружений с использованием ЭЕМ:Учебное пособие/Ленько 0. Н., Никольский М. Д., Чернева И. M. 1986. - С. 35-74.

88. Шапошников H. Н., Тарабасов Н. Д., Петров В. Б. и др. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость. -М.: Машиностроение, 1981.

89. Шварц М. А. Метод конечных элементов, основанный на вариационном принципе Кастильяно. Доклад на семинаре ЛПИ. 1987.

90. Шварцман Б. С. Построение двусторонних приближений экстра-поляционным методов/Исследования по строительной механике и строительным конструкциям/Томск, ун-т. Томск, 1987. - С. 188-192.

91. Шинкаренко Г. А., Левченко 0. М. Аппроксимация градиента Розв"язку крайовой задачи для ривнення Пуассона методом штрафу// Задачи прикладной математики и механики: Вестник Львивського университету, Вып. 26, 1986.

92. AEErrtaa D.. On CompatiBEe and E^uiEifoiam Models vwitk Lineez Stress Stzeckiruj. EBastic PEates // Enezgty Method in Finite Element MaEys/s / IWiCe^ & Sons^ New-Hoik y 1879. Ck.6 ,-pp. 109-126.

93. G-aztin M.E. A GenezaEi zati on o^ BeEtzami Stress FurLctiOfis in Coatin.uu.nt Mechanics // Azc,h, Rat. Meek. Ana.E./ V.13, 1363 pp. .

94. Gaztin. M.E. VaziationaE Pzinci pEes ^oz Linear EEastodijnamics y/Azck. Rat. Meek . Ana£/ 1964 pp. 36-50.95. 3okfisori C.j Mezciez B. Some E^iu'Eittziurw Finite EEernertt Metkods Continuum Mechanics // £ Method in Finite EEemeai AnaEysis /lWi£cg; CK.11

95. Muzakawa H., Reed K.W., AtEim SM.y RuBerLsteirt R. Sia^iEii^. anaXysis o^ structures via. anew compEementa.'Zjf eaez^y metkocl // Irvtez. 3. Coptp, and Stzact./V. 13, 1981

96. Oden XT. The CtassicaE Vaziationa£ PzincipEes o^ Mechanics // Enezgy, Method in Finite EEe/nent Anacqsis/ 3.Wr£ejj & Soas , New-Ootfc , 1573. Ck.1 , pp. 4-32L.

97. P^agez W. ; Syage 3.L. Appzoximatrons in Elasticity flase<£the Concept Ficnetion Spaced

98. Quail. AppE, Maih./N5, -1647 pp. 241-269.

99. Raviazt P.A-, Thomas 1M. Dtca£ Finite Yemeni ModeEs Second Ozdez E££iptic pToiEems// Enezg^. Method in finite Eiemeni Analysis /7 1673 Ch.%-pp. 17T-I52.1. ZB5

100. Stitnrip-J H. EuaE Extzemum P-ziricipPes and1.zo? Bounds in Nori£inea^ EEctsiicity Theotjj // louznaE Eeasticit^/ Hi9 1378.- pp. 4 2f-43g.

101. Synge The Hljpeгc¡гc(e in Mathematical Phisics, // Cam&ztdLqe IfniV. Pzess/ New 3otk ^ -I3S? .

102. V€u£efee cte.F, San^et G-. An E<^ui Modet P£ate Bending Iniez. Sotidsand Struct.N4,.1966.-pp. 378-3g€ .