Нелинейный изгиб и устойчивость упругой двухзвеньевой стержневой системы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Исакова Варвара Владимировна

НЕЛИНЕЙНЫЙ ИЗГИБ И УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГОЙ ДВУХЗВЕНЬЕВОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ

Специальность 01 02 04 - «Механика деформируемого твердого тела»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2009

003476462

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М Ф Решетнева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Юрий Владимирович Захаров

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

Александр Витальевич Лопатин

доктор физико-математических наук, Юрий Иннокентьевич Маньков

Ведущая организация: Сибирский федеральный университет,

г Красноярск

Защита состоится «18» сентября 2009 г в часов на заседании диссертационного совета Д 212 249 04 при ГОУ ВПО «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М Ф Решетнева» по адресу 660014 г Красноярск, пр им газеты «Красноярский рабочий», 31

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика МФ Решетнева»

Автореферат разослан « 17 » августа 2009 г

Ученый секретарь диссертационного совета л ____

доктор физико-математических наук С С Аплеснин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В различных областях науки и техники всегда большое внимание привлекают проблемы устойчивости и колебаний стержневых систем Задачи проектирования устройств микромеханики и зонтичных антенн космических аппаратов требуют поиска точных выражений для форм изгиба стержневых конструкций с различными видами закрепления и способами приложения нагрузки Необходим точный анализ конструкций ферм и рам при различных условиях опирания, которые относятся к распространенным элементам в строительных и авиационных системах

При различных условиях опирания и способах приложения нагрузки могут возникать сложные изогнутые формы конструкций Для понимания устойчивости и поведения таких сложных составных стержневых конструкций необходимо учитывать эффекты нелинейности, что требует применения современных аналитических методов решения

В настоящее время перед инженерами-конструкторами стоят задачи миниатюризации спутников, поэтому создание достаточно удобных программ визуализации точных прогибов изогнутых стержневых конструкций имеет прикладное инженерное значение при расчете устройств точной механики в условиях ограниченных габаритов Сравнение точных аналитических решений с приближенными позволить найти области параметров, где целесообразно использовать точное или возможно использование приближенного решения, и тем самым выбрать оптимальные характеристики проектируемых устройств точной механики

Целью работы является исследование устойчивости упругих стержневых систем под действием внешней нагрузки в геометрически нелинейном случае с учетом изгиба и сжатия, нахождение порогов устойчивости и соответствующих форм изгиба конструкций

Основные задачи работы:

1 провести исследование симметричных и несимметричных форм изгиба упругой двухзвеньевой стержневой системы под действием сосредоточенной нагрузки постоянного направления,

2 исследовать поведение упругой стержневой системы для трех случаев закрепления в основании конструкции шарнирное, жесткое и упругое,

3 исследовать нелинейный изгиб упругой стержневой системы с учетом сжатия,

4 установить аналогию изгиба с учетом сжатия упругой стержневой системы с перемагничиванием двухслойной обменно-связанной структуры с одноосной анизотропией

Научная новизна работы:

- получено и точно' аналитически решено геометрически нелинейное уравнение изгиба упругого стержня с учетом сжатия,

- показано, что зависимость прогиба свободного конца упругого стержня от нагрузки при нелинейном изгибе с учетом сжатия имеет гистерезис, раскрывающийся при пороговом значении материального параметра,

- найдена система статических порогов внешней нагрузки и соответствующие формы изгиба упругой двухзвеньевой стержневой системы,

- показана аналогия прощелкивания упругого стержня при изгибе со сжатием и гистерезиса в двухслойной обменно-связанной магнитной структуре с одноосной анизотропией

Научная и практическая значимость. Проведенные исследования расширяют существующие представления о возможностях и способах построения аналитических решений нелинейных задач механики деформируемого твердого тела в ряде случаев сильных изгибов со сжатием тонких упругих стержневых конструкций под действием внешних нагрузок Полученное точное пороговое значение раскрытия петли гистерезиса для зависимости прогиба от нагрузки позволяет оценить возможности прощелкивания упругой стержневой системы

Полученные решения могут быть использованы при расчете упругих систем микромеханики и при отладке численных методов решения подобных задач Созданные прикладные программы позволяют визуализировать точные формы изгиба упругих стрежневых систем при различных условиях

Личный вклад автора: приняла активное участие в постановке задач исследования и анализе полученных результатов, успешно получила все аналитические решения и выполнила численные расчеты Настоящая работа является итогом исследований, выполненных автором в 2005 - 2009 гг

Публикации. По материалам диссертации имеется 19 публикаций Список 10 основных публикаций приводится в конце автореферата, из них 2 по списку ВАК

Положения, выносимые на защиту:

1 анализ поведения симметричной и несимметричной упругой двухзвеньевой стержневой системы при шарнирном, жестком и упругом закреплении в основании под действием сосредоточенной нагрузки постоянного направления,

2 точное аналитическое решение задачи об изгибе с учетом сжатия упругой стержневой системы,

3 зависимость прогиба от нагрузки при нелинейном изгибе с учетом сжатия и прощелкивание упругой стержневой системы,

4 рассмотрение задачи о перемагничивании двухслойной обменно-связанной магнитной структуры с одноосной анизотропией как аналогии изгиба со сжатием упругой стержневой системы

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на международной молодежной научной конференции «XXXI Гагаринские чтения» (Москва, МАТИ - РГТУ им К Э Циолковского, 2005 г), научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых-физиков (НКСФ-2005, НКСФ-2009, Красноярск, КрасГУ, СФУ, 2005 и 2009 гг), конференции «IV Всесибирский конгресс женщин-математиков» (Красноярск,

СибГТУ, 2006 г), XX международной школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, физфак МГУ, 2006), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, Нижегородский госуниверситет им Н К Лобачевского, 2006 г), IX и X международных научных конференциях «Решетневские чтения» (Красноярск, СибГАУ, 2005 и 2006 гг ), международной конференции «Новое в магнетизме и магнитных материалах» (Москва, физфак МГУ, 2009 г) Работа докладывалась на научных семинарах кафедры технической физики Сибирского государственного аэрокосмического университета и Института вычислительного моделирования СО РАН

На разных этапах работа была поддержана грантами РФФИ проект 02-0101017, Проект 4418 ведомственной научной программы "Развитие научного потенциала высшей школы", Государственный контракт № 02 438 11 7043 с Роснаукой по теме 2006-РИ-16 0/001/076, Программа Минобразования России "Развитие научного потенциала высшей школы" проект № 2 1 1 /735, Государственная премия Красноярского края за высокие результаты в научных разработках, достигнутые в 2007 году

Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, заключения, списка цитируемой литературы и приложений Объем работы составляет 120 страниц, включает 30 рисунков, библиография включает 90 наименований

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается обоснование актуальности темы диссертации, сформулированы задачи и цели диссертационной работы

Глава I. Устойчивость стержневых систем и аналогии с перемагничиванием двухслойных обменно-связанных структур. В первой главе приводится обзор сведений об изгибе и устойчивости стержневых конструкций, рассматривается прощелкивание упругих стержневых систем и аналогия изгиба упругих систем с перемагничиванием двухслойных обменно-связанных магнитных структур

Глава II. Нелинейный изгиб упругой двухзвеньевой стержневой системы: сосредоточенная нагрузка постоянного направления Во второй главе приведены точные аналитические решения для геометрически нелинейного случая изгиба симметричной и несимметричной упругой двухзвеньевой стержневой системы при шарнирном, жестком и упругом закреплении в основании под действием сосредоточенной нагрузки постоянного направления Полученные решения записаны через эллиптические функции и интегралы и зависят только от одного параметра, определяемого внешней силой Построены формы изгиба упругой двухзвеньевой стержневой системы и зависимости прогиба в точке приложения силы от внешней нагрузки

Упругая двухзвеньевая система состоит из двух шарнирно соединенных тонких нерастяжимых гибких стержней и этим отличается от классической фермы Мизеса со сжимаемыми и негибкими стержнями В случаи симметричных форм изгиба упругой двухзвеньевой стержневой системы оба стержня в конструкции имеют одинаковые геометрические и физические параметры Для несимметричных форм изгиба стержни в конструкции имеют разные длины и ¿2, но одинаковую изгибную жесткость материала £7, Е - модуль Юнга и I - экваториальный момент инерции сечения стержня

системы Система координат для такой конструкции показана на рис 2 1 Введем обозначения а - начальный угол наклона стержня к оси ОУ, Р - сосредоточенная нагрузка, I - координата точки, отложенная вдоль изогнутой линии стержня, 8 = 0(0 - угол наклона касательной в текущей точке к линии стержня

У

При решении задач в данной главе пренебрегаем деформациями растяжения, сжатия и будем рассматривать только деформации чистого изгиба.

О

Рис 2 1 Симметричная упругая двухзвеньевая стержневая система

Рассмотрим решение задачи о нелинейном изгибе симметричной упругой двухзвеньевой стержневой

Запишем нелинейное уравнение равновесия для каждого стержня в конструкции фермы

~ + q2 siny=0, (2 1)

dt1

где у(/) = 0(f) + фо, t = l / L - безразмерная криволинейная координата точки на изогнутой линии стержня, д2 - Р1?1Е1 - параметр, определяемый внешней нагрузкой Р В случае поперечной нагрузки угол фо = я/2 Уравнение равновесия тонкого гибкого стержня (2 1) является уравнением типа нелинейного маятника Точное решение уравнения (2 1) записано в эллиптических функциях Якоби у(/) = 2 arcsin[£ sn(qi + F0, к)], (22)

~- = 2kq cn(qt + F0,k) (2 3)

a t

Запишем граничные условия к уравнению (2 1) Условие соединения частей симметричной двухзвеньевой стержневой системы

х(1) = sm а (2 4)

упругое закрепление стержня в основании конструкции фермы требует, чтобы

•y(0)-fcY'(0) = ic-a, (2 5)

где А'1 - жесткость закрепления

Граничное условие упругого закрепления (2 5) имеет два предельных случая При h -» 0 это условие переходит в граничное условие для задачи об изгибе двухзвеньевой стержневой системы под действием поперечной сосредоточенной нагрузки при жестком закреплении в основании, а при больших значениях параметра h условие (2 5) переходит в граничное условие для шарнирного закрепления

После применения граничных условий (2 4), (2 5) к решению (2 2), (2 3) уравнения получаем систему двух трансцендентных уравнений для определения собственного числа q и параметра Fa

farcsin [¿sn(F0, k)]-hkqcn(F0,k) = (n-a)/2, ^ ^

\cn(F0 ,k)~ cn (q + F0, k) = q sina/2J:

Решая систему (2 6) с помощью численных методов, найдем зависимость собственного числа q от модуля эллиптических функций к, которая определяет систему порогов внешней нагрузки

Величина нагрузки связана с собственным числом д формулой Р - д2 ЕПЬ1 Используя выражение для эйлеровой критической силы Ре - (я/2)2 ЕПЬ1, получим связь собственного числа д и приведенной нагрузки в виде 9 = (я/2 ){Р!Рс)т

Форма изогнутой линии стержня в параметрическом виде определяется выражениями

- = — [сп(^0Д)-сп(мД)1 - = -/+—[£■ (ат и, &)-£'(ат £)], (27) Ь ц Ь ¡7

где аргумент функций и = дС + Здесь ¿"(агп к, Л) - неполный эллиптический

интеграл второго рода от эллиптической амплитуды Як оби

Эти аналитические решения определяют форму профиля левого стержня изогнутой двухзвеньевой стержневой системы Они точно выражены через эллиптические интегралы и функции Якоби Формы прогиба второго, правого стержня системы получаются симметричным отражением форм прогиба левого стержня относительно вертикальной прямой х1Р = зт а

На рис 2 2 показаны формы изгиба двухзвеньевой стержневой системы при шарнирном закреплении в основании под действием поперечной сосредоточенной нагрузки для угла наклона а = л/3 На рисунке изображены формы изгиба конструкции для разных значений внешней нагрузки, верхнее и нижнее положения фермы соответствуют неизогнутым формам (при нагрузке равной нулю) Сплошные линии - увеличение нагрузки, пунктирные - уменьшение (иначе разгрузка)

Упругая двухзвеньевая стержневая система рассматривалась при различных начальных углах а наклона стержня Начиная от самого пологого случая, когда значение угла а близко к тс/2, и заканчивая углом л/12 - случай острой фермы

Рис 2 2 Формы изгиба симметричной фермы при шарнирном закреплении в основании для а = я/3 Соответствующие нагрузки Pi = 0 85Рс, Рг = 1 52РС, Р3 = О 78/',

Значение координаты у в точке приложения силы будем называть прогибом

стержневой системы Была рассчитана зависимость прогиба от приведенной нагрузки Р/Рс для стержневой системы с углом наклона а ~ я/4 при шарнирном закреплении в основании Результаты представлены на рис 2 3 Сплошная линия - зависимость прогиба при увеличении нагрузки, пунктирная - при разгрузке При шарнирном закреплении стержни при разгрузке распрямляются и занимают положение, симметричное исходному, вершиной вниз

Рассмотрим решение задачи о нелинейном изгибе несимметричной упругой двухзвеньевой стержневой системы при шарнирном закреплении в основании Введем обозначения аь аг - начальный угол наклона первого и второго стержня к оси ОУ

Запишем нелинейные уравнения равновесия, аналогично (2 1), для каждого стержня в конструкции двухзвеньевой стержневой системы

¿2Ъ

Рис 2 3 Зависимость прогиба в точке приложения силы от приведенной нагрузки Р/Рс для симметричной фермы при шарнирном закреплении с а^ л/4

<Л2

где д1 =

42

-+q^ Бш у^ " 0,

<12У2 2 йг

(2 8)

Е1 " Е1

Запишем граничные условия для шарнирного закрепления в основании конструкции, когда изгибающие моменты обращаются в ноль

с1у1(0)Ш = 0, <*у2(0)/Л = 0 (2 9)

При сохранении суммы 1о проекций стержней двухзвеньевой стержневой системы на ось ОХ и требовании соединения стержней, определяемом равенством ^созоц =1.2соэа2, имеемусловия

л(1) = л(1)1 х1{1)+х2{\) = Ь0 (210)

Применяя граничные условия, получим систему трансцендентных уравнений для определения системы порогов внешней нагрузки

?1

-12 + (2« -1) (¿2 ), )) - £2 )], (2 11)

Чг

Ч\ Чг

где /^(¿О, /^2(^2) - полные эллиптические интегралы второго рода Форма изогнутой линии стержня в параметрическом виде

<71

=-->>2 =-/¿2 + —^[/Г(ати2>к2)~Кг(к2)], ?2 <7г

(2 12)

где аргументы функций г^ = ^+ (2л-1)ЛГ,(£1), и2 =?2<+(2п-1)^2(Л2)

На рис 2 4 показаны

несимметричные формы изгиба

двухзвеньевой стержневой

системы при шарнирном

закреплении в основании под

действием поперечной

сосредоточенной нагрузки для

угла наклона первого стержня Рис 2 4 Формы изгиба несимметричной

фермы при шарнирном закреплении для а1 = и Длин стержней ¿1=1,

= 71/4, ¿1 = 1, ^-15 Соответствующие ¿=15 исходя из точных нагрузки Р, -1 44Р„ Р2 = 2 31 Ра Р3 -117РС

аналитических решений (2 12) На рисунке изображены формы изгиба конструкции для разных значений внешней нагрузки, верхнее и нижнее положения фермы соответствуют неизогнутым формам (при нагрузке равной нулю) Сплошные линии - увеличение нагрузки, пунктирные - разгрузка.

При изгибе без учета сжатия упругая двухзвеньевая стержневая система последовательно проходит все изогнутые состояния без прощелкивания

Глава III. Нелинейный изгиб упругой стержневой системы: учет сжатия. В третьей главе получено и точно аналитически решено уравнение, описывающие изгиб упругого стержня с учетом сжатия Показано, что зависимость прогиба упругой стержневой системы от нагрузки при нелинейном изгибе с учетом сжатия имеет гистерезис

Рассмотрим решение задачи о нелинейном изгибе с учетом сжатия тонкого упругого стержня длины Ь с изгибной жесткостью Е1, закрепленного на одном конце, под действием продольной сосредоточенной нагрузки на свободном

конце Система координат для такого стержня показана на рис 31 Изначально прямой стержень расположен вдоль оси ОХ Сжатие стержня вызвано действием касательной составляющей Рх результирующей силы Р Обозначим / - длина вдоль линии стержня, 0(/) - угол наклона касательной в текущей точке к линии стержня Запишем уравнение равновесия моментов для стержня

г. л \

где М - изгибающий момент, Р„ - отвечающая за изгиб стержня проекция вектора результирующей силы на нормаль к линии стержня

Деформацию сжатия будем учитывать в соответствии с законом Гука при определении координат профиля стержня как малую добавку С^ к криволинейной длине

1 ЕХБ

где £, - продольный модуль Юнга на сжатие-растяжение, & - площадь поперечного сечения стержня

Выражения для компонент действующей сосредоточенной нагрузки в системе координат, касательной к линии стержня, имеют вид

Рис 3 1 Тонкий упругий стержень

РВ=Р 51П0, РТ=-РСО80

Здесь Р - модуль действующей сосредоточенной силы постоянного

направления, приложенной параллельно оси ОХ В этой задачи для продольной

нагрузки угол касательной 6 будем обозначать у

Учитывая выражение для изгибающего момента М~Е1сЬ{1с11, уравнение

равновесия стержня запишем в виде

с12у Р Р2

——эту--51пусо5у=0

(¡I2 Е1 Е1ЕХБ

Введем безразмерную криволинейную длину (=//.£, изменяющуюся от О

до 1 Получим уравнение типа нелинейного маятника с дополнительным членом,

записанное для угла наклона касательной у в текущей точке к линии стержня с

коэффициентами, которые определяются внешней нагр>зкой и материальными

параметрами стержня

с12у РЬ2 Р21? А

■—-эту--5тусозу = 0 (31)

<Л2 Е1 Е1Е

Подобное уравнение была получено ранее при решении задачи о перемагничивании двухслойной обменио-связанной магнитной структуры Рассмотрение этой задачи приводится в главе IV диссертации Граничные условия

у(0) = 0, Ф/(\)/Л = 0 (3 2)

Точные аналитические решения уравнения были найдены в виде дробно-нелинейных комбинаций эллиптических функций, зависящих от одного параметра - модуля эллиптических функций к Эти решения применительно к задаче об изгибе со сжатием упругого стержня принимают вид

1-х2*2 1-%У

где = функция вп - эллиптический синус

Як-оби, ^ = ~Х{к)1,

К(к) - полный эллиптический интеграл первого рода, зависимость модуля к от внешней нагрузки определяется уравнением

^ К2{к)-9(2к2(3 4)

эйлерова критическая сила Рс = (л/2)2 El/']} , параметры

Г=Ртг

2К{к)

к2~Ъг л f2f P2L2 _аР и Р

Интегрируя соотношения dx/dl = (l+et)cos0, dy/dl = (l+et)sin0, получим систему уравнений в параметрической форме, определяющую произвольные точки профиля стержня

х ' ' V ' '

— = | cos у Л - р| cos2 у Л, = J sm у dt - р J cos у sin у dt

L й о L о о

Если положить

параметр р = О, то получим известные выражения для задачи о чистом изгибе тонкого нерастяжимого стержня под действием продольной нагрузки

На рис 3 2 приведены зависимости прогиба

свободного конца стержня от нагрузки Эти кривые имеют гистерезисный характер в зависимости от значения безразмерного параметра р Точечным пунктиром на рисунке показана не физическая область решения

Изгиб со сжатием упругого стержня характеризуется двумя порогами пороговым значением продольной сосредоточенной нагрузки, после которого начинается изгиб, и пороговым значением параметра р = 1/3, при превышении которого начинается раскрытие петли гистерезиса При достижении порога раскрытия петли упругий стержень под действием продольной нагрузки испытывает прощелкивание

---р=0--р= у--р=1 -

Рис 3 2 Зависимость прогиба свободно ковда стержня от нагрузки при изгибе со сжатием

Глава IV Гистерезис в двухслойной обменно-связанной структуре с одноосной анизотропией - аналогия прохцелкнвания упругого стержня при изгибе со сжатием. В четвертой главе приводится решение задачи о перемагничивании двухслойной магнитной обменно-связанной системы с учетом одноосной анизотропии

Задачи о перемагничивании магнитомягкого слоя на магнитожесткой подложке с закрепленным и свободным магнитным моментом на поверхностях в постоянном магнитном поле, параллельном плоскости слоя решались на основе уравнение Ландау-Лифшица для статического случая Это уравнение сводилось к уравнению типа нелинейного маятника и решалось с граничными условиями закрепления магнитного момента на одной поверхности слоя и свободного момента на другой Были найдены распределения магнитного момента и пороги перехода магнитомягкого слоя в веерное состояние в зависимости от магнитного поля, приложенного антипараллельно направлению закрепления

В работах ЮВ Захарова и ЕА Хлебопрос (1980 г) было рассмотрено перемагничивание такого слоя с учетом одноосной анизотропии в плоскости слоя, что привело к уравнению типа нелинейного маятника с дополнительным членом

где (р - зависящий от координаты г по толщине слоя угол в плоскости слоя между вектором намагниченности и осью х, совпадающей с осью легкого намагничивания, а - постоянная обмена ферромагнетика, Л - внешнее поле, Р - константа одноосной анизотропии (р < 4я)

Точное решение в этих работах было найдено в виде дробно-нелинейных комбинаций эллиптических функций, зависящих от одного параметра, определяемого величиной внешнего поля Эти дробные выражения были затем приближенно представлены в виде полиномов по эллиптическим функциях, что позволило найти среднюю по толщине слоя намагниченность и показать наличие гистерезиса при перемагничивании Порог перемагничивания был найден в виде й„ + р, где К ~ (л/2)2а/й2, Л - толщина слоя

(41)

В настоящей работе рассматривается точное решение этой задачи в виде дробно-нелинейных комбинаций эллиптических функций

бш ф =—И-ГТП- •

где 5 = бп (Кг / г/, к), функция бп - эллиптический синус Якоби, К(к) - полный

(4 2) (4 3)

эллиптическии интеграл первого рода од ■

о

-од -0,6

______ 1 1 Г

----------- / * //-- А : * К

_.. __.! /' --

/ 1 ____1„ _ _.

- 1Г' ' . » ! >

Точное решение (4 2) было усреднено по толщине слоя На рис 41 приведена зависимость средней по толщине слоя намагниченности тх от постоянного поля Л / которая обнаруживает гистерезисный

-ь

К 1

-ь

Рис 4 1 Зависимость средней намагниченности от постоянного поля

значении параметра одноосной анизотропии Показано, что при Р / К > 1/3 появляется гистерезис Точечным пунктиром на рисунке показана не физическая область решения На рис 4 2 построена зависимость ширины петли гистерезиса Д от величины Р /Л„

При значениях {$ / > 1 зависимость имеет практически линейный характер

Перемагничивание магнитомягкого слоя на магнитожесткой подложке характеризуется двумя порогами пороговым значением постоянного внешнего поля, после которого разворот веера

от величины одноосной анизотропии намагниченности, и пороговым значением параметра одноосной анизотропии, при котором начинается раскрытие петли

о,г

Д'_ _ 1 —иу

! 1 1

1 1 ! /\ \ У 1 ! ✓ |

: * 1/ ; л' . 1 3уГ \ , ,Ни

0,2 0,6 1 Рис 4 2 Зависимость ширины петли начинается

гистерезиса Правый край петли совпадает с пороговым значением постоянного внешнего поля /г„ +13, при котором намагниченность меняется скачком

Уравнение (3 1), описывающее нелинейный изгиб с учетом сжатия упругой стержневой системы, аналогично уравнению (4 1) для магнитной системы с учетом одноосной анизотропии Следовательно, рассмотренная в третьей главе задача о поведении упругого стержня, закрепленного на одном конце, при изгибе со сжатием под действием продольной нагрузки аналогична задаче о перемагничивании двухслойной обмснно-связанной магнитной системы с одноосной анизотропией При достижении порога в магнитной системе под действием поля скачком устанавливается некоторое распределение намагниченности по толщине слоя, а упругий стержень при нагрузке испытывает прощелкивание

ВЫВОДЫ

1 Проведено исследование устойчивости упругой двухзвеньевой стержневой системы при различном закреплении в основании под действием сосредоточенной нагрузки в случае геометрической нелинейности задачи, получены аналитические решения

2 Исследованы симметричные и несимметричные формы изгиба упругой двухзвеньевой стержневой системы, построены зависимости прогиба в точке приложения силы от внешней нагрузки, найдены статические пороги нагрузки

3 Получено и точно аналитически решено геометрически нелинейпое уравнение изгиба упругого стержня с учетом сжатия, показано, что кроме эйлеровой критической нагрузки имеется пороговое значение материального параметра, при котором появляется прощелкивание и раскрывается петля гистерезиса.

4 Показана аналогия перемагничивания двухслойной магнитной структуры с одноосной анизотропией и изгиба упругого стержня со сжатием

5 На основе полученных решений написаны программы для расчета и визуализации точных форм изгиба упругих стержневых систем при различных граничных условиях, в зависимости от материальных характеристик стержней, приложенной силы и моды решения

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Захаров, Ю В Геометрически нелинейный изгиб двухзвеньевой стержневой системы при поперечной сосредоточенной нагрузке / Ю В Захаров, К Г Охоткин, В В Исакова // Вестник Красноярского Государственного Университета - Красноярск КрасГУ - 2005 - Вып 4 -С 25-32

2 Захаров, Ю В Задачи нелинейного изгиба стержневых конструкций / Ю В Захаров, К Г Охоткин, В В Исакова, А Д Скоробогатов // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика МФ Решетнева - Красноярск СибГАУ - 2005 - Вып 6 -С 46-51 (раздел 3)

3 Исакова, В В Нелинейный изгиб двухзвеньевой фермы под действием поперечной нагрузки / В В Исакова, К Г Охоткин, Ю В Захаров // Материалы научной конф студентов, аспирантов и молодых ученых-физиков «Физика и Эйнштейн» (НКСФ-2005) - Красноярск КрасГУ -2005 - С 4-10

4 Исакова, В В Математическое моделирование геометрически нелинейного изгиба составных стержневых систем с упругими связями / В В Исакова, К Г Охоткин, Ю В Захаров // Материалы конференции «IV Всесибирский конгресс женщин-математиков» - Красноярск РИО СибГТУ -2006 - С 71-73

5 Исакова, В В Геометрически нелинейный изгиб составных стержневых систем с упругими связями / В В Исакова // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике Аннотации докладов ТI (Нижний Новгород, 22 - 28 августа 2006) - Нижний Новгород Изд-во Нижегородского госуниверситета им НИ Лобачевского - 2006 -С 55-56

6 Захаров, ЮВ Перемагничивание мультислойной пленки магнитным полем - аналогия с нелинейным изгибом составного стержня с упругой связью / Ю В Захаров, К Г Охоткин, В В Исакова // Сборник трудов XX

междунар школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники» -М Физфак МГУ -2006 - С 159 -АЮ-7

7 Исакова, В В Нелинейные формы изгиба составных стержневых систем с упругими связями / В В Исакова, КГ Охоткин, ЮВ Захаров // Материалы X Междунар науч конф «Решетневские чтения» -Красноярск СибГАУ -2006 - С 166-167

8 Захаров, Ю В Расчет нелинейного изгиба стержней при различных граничных условиях и нагрузках для пакета Maple 8 (NonlinearBendingElasticRods) / Ю В Захаров, К Г Охоткин, В В Исакова, А Д Скоробогатов // Свидетельство об офиц регистр программы для ЭВМ № 2007610500 от 31 01 2007 г (см диссертацию)

9 Захаров, Ю В Гистерезис в двухслойной обменно-связанной структуре с одноосной анизотропией - аналогия прошелкивания упругого стержня при изгибе / Ю В Захаров, В В Исакова, К Г Охоткин // Сборник трудов XXI междунар конференции «Новое в магнетизме и магнитных материалах» -М Физфак МГУ -2009 -С 840-841 -ДС-2

10 Захаров, Ю В Аналогия перемагничивания обменно-связанной магнитной структуры и изгиба упругого стержня со сжатием / Ю В Захаров, В В Исакова, К Г Охоткин // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М Ф Решетнева -Красноярск СибГАУ -2009 -Вып2(23)-Разд 1,2-С 122-125

Заказ № Тираж ^30 экз

Отпечатано ООО «Новые компьютерные технологии» 660049 г Красноярск, ул К. Маркса, 62; офис 120, тел.. (391)226-31-31,226-31-11

Введение

Содержание

Глава I. Устойчивость стержневых систем и аналогии с перемагничиванием двухслойных обменно-связанных структур

1. Устойчивость стержневых конструкций

2. Прощелкивание стержневых конструкций

3. Решение задачи об изгибе стержня

4. Аналогия изгиба упругого стержня с перемагничиванием двухслойной обменно-связанной структуры

Выводы к главе I

Глава II. Нелинейный изгиб упругой двухзвеньевой стержневой системы: сосредоточенная нагрузка постоянного направления

1. Двухзвеньевая стержневая система при шарнирном закреплении в основании

1.1. Симметричные формы изгиба системы

1.2. Несимметричные формы изгиба системы

2. Изгиб при жестком закреплении в основании

3. Изгиб при упругом закреплении в основании 45 Выводы к главе II

Глава III. Нелинейный изгиб упругой стержневой системы: учет сжатия

1. Изгиб упругого стержня под действием продольной сжимающей нагрузки

2. Изгиб двухзвеньевой стержневой системы при шарнирном закреплении в основании 56 Выводы к главе 1П

Глава IV. Гистерезис в двухслойной обменно-связанной структуре с одноосной анизотропией — аналогия прощелкивания упругого стержня при изгибе со сжатием

1. Перемагничивание двухслойной магнитной обменно-связанной структуры с учетом одноосной анизотропии

2. Гистерезис в магнитной структуре - аналогия прощелкивания упругой системы 68 Выводы к главе IV

В различных областях науки и техники всегда большое внимание привлекают проблемы устойчивости и колебаний стержневых систем. Задачи проектирования устройств микромеханики и зонтичных антенн космических аппаратов требуют поиска точных выражений для форм изгиба стержневых конструкций с различными видами закрепления и способами приложения нагрузки. Необходим точный анализ конструкций ферм и рам при различных условиях опирания, которые относятся к распространенным элементам в строительных и авиационных системах.

При различных условиях опирания и способах приложения нагрузки могут возникать сложные изогнутые формы конструкций. Для понимания устойчивости и поведения таких сложных составных стержневых конструкций необходимо учитывать эффекты нелинейности, что требует применения современных аналитических методов решения.

В настоящее время перед инженерами-конструкторами стоят задачи миниатюризации спутников, поэтому создание достаточно удобных программ визуализации точных прогибов изогнутых стержневых конструкций имеет прикладное инженерное значение при расчете устройств точной механики в условиях ограниченных габаритов. Сравнение точных аналитических решений с приближенными позволить найти области параметров, где целесообразно использовать точное или возможно использование приближенного решения, и тем самым выбрать оптимальные характеристики проектируемых устройств точной механики.

Фермы и рамы принято в литературе относить к простейшим стержневым системам. Однако они имеют достаточно сложные нелинейные зависимости прогиба от нагрузки. Характерные черты потери устойчивости конструкций ферменного типа в основном такие же, как и у более сложных систем, например сетчатый купол с треугольной решеткой [1].

Конструкции ферменного типа неоднократно рассматривались многими авторами как самостоятельный объект исследования или как идеализация более сложных стержневых систем.

Система из двух одинаковых стержней, соединенных с основанием и между собой идеальными шарнирами, так называемая ферма Мизеса, была впервые изучена в работах Mises [2], Mises и Ratzersdorfer [3]. В дальнейшем исследованию различных ее модификаций были посвящены многочисленные работы, среди них следует отметить статьи Bellini [4], Walker, Croll, Wilson [5], Турищева [6], Huang, Vahidi [7], Pecknold, Ghaboussi, Healey [8], Ashwani K. Padthe и др. [9].

Задача об изгибе стержня является основой для расчета составных стержневых конструкций. Как правило, такие задачи решаются на базе приближенных линеаризованных уравнений равновесия для изогнутых стержней, приводящих к решениям в виде полиномов. Используются чаще всего именно эти решения. Вместе с тем имеются для некоторых случаев точные решения нелинейных уравнений, выраженные в квадратурах [10-14], или в эллиптических интегралах [15, 16]. В последнем случае решения определяются тремя параметрами. Все эти решения имеют громоздкий вид и труднодоступны для инженеров-практиков, поэтому до последнего времени решались задачи получения приближенных выражений даже для таких стандартных характеристик, как максимальный прогиб стержня [17, 18]. В последнее время есть определенный прогресс в получении точных решений, выраженных через эллиптические функции с единственным параметром, определяемым действующей силой. В связи с этим представляет интерес изучение сильного изгиба составных стержневых конструкций под действием сосредоточенных нагрузок при различных условиях закрепления.

Задача о перемагничивании магнитомягкого слоя на магнитожесткой подложке с закрепленным и свободным магнитным моментом на поверхностях активно изучается длительное время. Закрепление на поверхности раздела слоев обусловлено обменными силами, и такие системы получили название обменно-связанных структур. В работах Ю.В. Захарова [19-21] была найдена аналогия между задачей о перемагничивании магнитного слоя с несимметричными граничными условиями и задачей Эйлера об устойчивости упругого стержня. Для магнитной системы была найдена последовательность пороговых полей потери устойчивости ферромагнитного слоя как аналогия исследованной М.А. Лаврентьевым и А.Ю. Ишлинским [22] динамической потери устойчивости упругой системы.

Найденная аналогия помогла получить ряд аналитических результатов для описания устойчивости магнитных и упругих систем. Так, для упругих систем были найдены точные решения в эллиптических функциях нелинейного уравнения сильного изгиба упругого стержня под действием поперечной сосредоточенной нагрузки на свободном конце [23, 24].

Полученные теоретические результаты позволяют подойти с новых позиций к анализу более сложных упругих систем, и, в частности, к анализу задач об изгибе двухзвеньевой стержневой системы.

В работах Л.И. Шкутина [25, 26] краевые задачи плоского изгиба прямого стержня сформулированы на основе обобщенных уравнений, учитывающих нелинейную зависимость между деформациями изгиба, растяжения и сдвига. Рассмотрен продольный и поперечный вариант нагружения стержня следящей силой и силой постоянного направления. Такие нелинейные краевые задачи были численно решены методом стрельбы. В связи с этим представляет интерес аналитическое решение задачи об изгибе с учетом сжатия упругой стержневой системы.

Интересно не только само явление потери устойчивости конструкций, но и их закритическое поведение. Всякие попытки точно решать сложные проблемы устойчивости и механики сплошных сред приводят к необходимости получения и решения соответствующих, как правило, нелинейных уравнений.

Целью работы является исследование устойчивости упругих стержневых систем под действием внешней нагрузки в геометрически нелинейном случае с учетом изгиба и сжатия, нахождение порогов устойчивости и соответствующих форм изгиба конструкций.

Основные задачи работы:

1. провести исследование симметричных и несимметричных форм изгиба упругой двухзвеньевой стержневой системы под действием сосредоточенной нагрузки постоянного направления;

2. исследовать поведение упругой стержневой системы для трех случаев закрепления в основании конструкции: шарнирное, жесткое и упругое;

3. исследовать нелинейный изгиб упругой стержневой системы с учетом сжатия;

4. установить аналогию изгиба с учетом сжатия упругой стержневой системы с перемагничиванием двухслойной о бменно-связанной структуры с одноосной анизотропией.

Научная новизна работы:

- получено и точно аналитически решено геометрически нелинейное уравнение изгиба упругого стержня с учетом сжатия;

- показано, что зависимость прогиба свободного конца упругого стержня от нагрузки при нелинейном изгибе с учетом сжатия имеет гистерезис, раскрывающийся при пороговом значении материального параметра;

- найдена система статических порогов внешней нагрузки и соответствующие формы изгиба упругой двухзвеньевой стержневой системы;

- показана аналогия прощелкивания упругого стержня при изгибе со сжатием и гистерезиса в двухслойной обменно-связанной магнитной структуре с одноосной анизотропией.

Научная и практическая значимость. Проведенные исследования расширяют существующие представления о возможностях и способах построения аналитических решений нелинейных задач механики деформируемого твердого тела в ряде случаев сильных изгибов со сжатием тонких упругих стержневых конструкций под действием внешних нагрузок. Полученное точное пороговое значение раскрытия петли гистерезиса для зависимости прогиба от нагрузки позволяет оценить возможности прощелкивания упругой стержневой системы.

Полученные решения могут быть использованы при расчете упругих систем микромеханики и при отладке численных методов решения подобных задач. Созданные прикладные программы позволяют визуализировать точные формы изгиба упругих стрежневых систем при различных условиях.

Личный вклад автора: приняла активное участие в постановке задач исследования и анализе полученных результатов, успешно получила все аналитические решения и выполнила численные расчеты. Настоящая работа является итогом исследований, выполненных автором в 2005 - 2009 гг.

Публикации. По материалам диссертации имеется 19 публикаций [72-90], из них 2 по списку ВАК.

Положения, выносимые на защиту:

1. анализ поведения симметричной и несимметричной упругой двухзвеньевой стержневой системы при шарнирном, жестком и упругом закреплении в основании под действием сосредоточенной нагрузки постоянного направления;

2. точное аналитическое решение задачи об изгибе с учетом сжатия упругой стержневой системы;

3. зависимость прогиба от нагрузки при нелинейном изгибе с учетом сжатия и прощелкивание упругой стержневой системы;

4. рассмотрение задачи о перемагничивании двухслойной обменно-связанной магнитной структуры с одноосной анизотропией как аналогии изгиба со сжатием упругой стержневой системы.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на: международной молодежной научной конференции «XXXI Гагаринские чтения» (Москва, МАТИ - РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2005 г.), научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых-физиков (НКСФ-2005, НКСФ-2009, Красноярск, КрасГУ, СФУ, 2005 и 2009 гг.), конференции «IV Всесибирский конгресс женщин-математиков» (Красноярск, СибГТУ, 2006 г.), XX международной школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, физфак МГУ, 2006), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского, 2006 г.), IX и X международных научных конференциях «Решетневские чтения» (Красноярск, СибГАУ, 2005 и 2006 гг.), международной конференции «Новое в магнетизме и магнитных материалах» (Москва, физфак МГУ, 2009 г.). Работа докладывалась на научных семинарах кафедры технической физики Сибирского государственного аэрокосмического университета и Института вычислительного моделирования СО РАН.

На разных этапах работа была поддержана грантами: РФФИ проект 02-01-01017; Проект 4418 ведомственной научной программы "Развитие научного потенциала высшей школы"; Государственный контракт № 02.438.11.7043 с Роснаукой по теме 2006-РИ-16.0/001/076; Программа Минобразования России "Развитие научного потенциала высшей школы" проект № 2.1.1./735; Государственная премия Красноярского края за высокие результаты в научных разработках, достигнутые в 2007 году. i

Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, заключения, списка цитируемой литературы и приложений. Объем работы составляет 120 страниц, включает 30 рисунков; библиография включает 90 наименований.

Выводы к главе IV

В четвертой главе рассмотрена задача о перемагничивании двухслойной обменно-связанной магнитной структуры с одноосной анизотропией как аналогии изгиба со сжатием упругой стержневой системы.

Используя точные решения уравнения для задачи о перемагничивание ферромагнитного слоя с учетом одноосной анизотропии, построены зависимости средней по толщине слоя намагниченности от постоянного поля. Уточнено пороговое значение параметра одноосной анизотропии, при котором начинается раскрытие петли гистерезиса. При достижении порога в магнитной обменно-связанной системе под действием поля скачком устанавливается некоторое распределение намагниченности по толщине слоя, а упругий стержень при нагрузке испытывает прощелкивание.

Результаты этой главы опубликованы в работах [84, 86, 88].

Заключение

1. Проведено исследование устойчивости упругой двухзвеньевой стержневой системы при различном закреплении в основании под действием сосредоточенной нагрузки в случае геометрической нелинейности задачи, получены аналитические решения.

2. Исследованы симметричные и несимметричные формы изгиба упругой двухзвеньевой стержневой системы; построены зависимости прогиба в точке приложения силы от внешней нагрузки; найдены статические пороги нагрузки.

3. Получено и точно аналитически решено геометрически нелинейное уравнение изгиба упругого стержня с учетом сжатия; показано, что кроме эйлеровой критической нагрузки имеется пороговое значение материального параметра, при котором появляется прощелкивание и раскрывается петля гистерезиса.

4. Показана аналогия перемагничивания двухслойной магнитной структуры с одноосной анизотропией и изгиба упругого стержня со сжатием.

5. На основе полученных решений написаны программы для расчета и визуализации точных форм изгиба упругих стержневых систем при различных граничных условиях, в зависимости от материальных характеристик стержней, приложенной силы и моды решения.

Приношу искреннюю благодарность научному руководителю Ю.В. Захарову за постановку задачи, постоянную помощь и внимание к работе.

Автор искренне благодарен К.Г. Охоткину за многолетнюю помощь и сотрудничество, Л.И. Шкутину за пристальное внимание к работе и детальное обсуждение результатов.

1. Вольмир, А.С. Устойчивость деформируемых систем / А.С. Вольмир -М.: Наука, 1967.-984 с.

2. Mises, R. Ueber die stabilitatsprobleme der elastizitatstheorie / R. Mises // Zeitschrift fur angewandte mathematik und mechanik, 1923. В.З, H.6. -S.406-422

3. Mises, R. Die knicksicherheit von fachwerken / R. Mises, J. Ratzersdorfer // Zeitschrift for angewandte mathematik und mechanik, 1925. B.5, H.3. -S.218-235

4. Bellini, P.X. The concept of snap-buckling illustrated dy a simple model / P.X. Bellini // Intern. J. of Non-linear Mechanics, 1972. Vol.7, N.6. -P.643-650

5. Walker, A.C. Experimental models to illustrate the nonlinear of clastic structures / A.C. Walker, J.G.A. Croll, E. Wilson // Bull. Of Mech. Eng. Educ, 1971. Vol. 10, N.3. - P.247-259

6. Турищев, Л.С. Нелинейный анализ и исследование устойчивости плоской двухстержневой системы с жесткой вставкой в узле / JI.C. Турищев // Исследование теории сооружений. М.: Стройиздат, 1972. Вып.19. - С.95-103

7. Huang, N.C. Snap-through buckling of two simple structures / N.C. Huang, V. Vahidi // Intern. J. of non-linear mechanics, 1971. Vol.6, N.3. -P.295-310

8. Pecknold, D.A. Shap-through and bifurcation in a simplestructure / D.A. Pecknold, J. Ghaboussi, T.J. Healey // J. Eng. Mech., 1985. Vol.111, N.7. - P.909-922

9. Ю.Эйлер, JI. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума или минимума / Л. Эйлер. М.: ГТТИ, 1934. - 600 с.

10. П.Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. -М.: Наука, 1975. 576 с.

11. Тимошенко, С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / С.П. Тимошенко. М.: Наука, 1971. - 808 с.

12. Ляв, А. Математическая теория упругости / А. Ляв. М.; Л.: ОНТИ, 1935.-674 с.

13. Ландау, Л.Д. Теория упругости / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифпшц. -М.: Физматлит, 2001. 260 с.

14. Попов, Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней / Е.П. Попов. Л. М.: ОГИЗ, 1948 г.

15. Попов, Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней / Е.П. Попов. -М.: Наука, 1986.-296 с.

16. Астапов, Н.С. Приближенные формулы для прогибов сжатых гибких стержней / Н.С. Астапов // ПМТФ, 1996. Т.37, №4. - С. 135-138

17. Астапов, Н.С. Приближенное представление формы сжатого гибкого стержня / Н.С. Астапов // ПМТФ, 1999. Т.40, №3. - С.200-203

18. Захаров, Ю.В. Статическая и динамическая потеря устойчивости ферромагнитного слоя при перемагничивании / Ю.В. Захаров // ДАН, 1995. Т.344, №3. - С.328 - 332

19. Захаров, Ю.В. Статическая и динамическая потеря устойчивости ферромагнитного слоя при перемагничивании. Пороговые поля и частоты магнитного резонанса / Ю.В. Захаров // Препринт №758Ф. Красноярск: Ин-т физики СО РАН, Ин-т биофизики СО РАН, 1995. -40 с.

20. Zakharov Yu.V., Uvaev I.V. // Proc. of Moscow International Symposium on Magnetism. P. И. M.: Физический факультет МГУ, 1999. P.44-47

21. Лаврентьев, M.A. Динамические формы потери устойчивости упругих систем / М.А. Лаврентьев, А.Ю. Ишлинский // ДАН СССР, 1949. -Т.64, №6. С.779-782

22. Шкутин, Л.И. Численный анализ разветвленных форм изгиба стержней / Л.И. Шкутин // ПМТФ, 2001. Т.42, №2. - С. 141-147

23. Шкутин, Л.И. Инкрементальная модель деформации стержня / Л.И. Шкутин // ПМТФ, 1999. Т.40, №4. - С.229-235

24. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. М.: Наука, 1989.

25. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работнов. М.: Наука, 1979. - 744 с.

26. Власов, В.З. Тонкостенные упругие стержни / В.З. Власов. -М.: Физматгиз, 1959. 568 с.

27. Heinzerling, H. Mathematische Behandlung einiger grundlegender Fragen des Knicksproblems des geraden Stabes / H. Heinzerling Diss., 1938. -Karlsruhe: Borna Leipzig, 1939. - P.64. (Korreferent Dr. phil. h. L. Collatz).

28. Коллатц, JI. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями) / Л. Коллатц. М.: Физматгиз, 1968. - 504 с.

29. Zakharov, Yu. Magnetic resonanse in films on antiferromagnetic substrate / Yu. Zakharov, V.A. Ignatchenko // Czech. J. Phys., 1971. V.B21, №4-5. -P.482 - 485

30. Хрусталев, Б.П. Низкочастотная область спин—волнового резонанса в тонких металлических слоях с обменной анизотропией / Б.П. Хрусталев, А.С. Мельник // ФММ, 1973. Т.36, №2. - С.435 -436

31. Саланский, Н.М. Физические свойства и применение магнитных пленок / Н.М. Саланский, М.Ш. Ерухимов. — Новосибирск: Наука, Сибирское отд., 1975. 222 с.

32. Salansky, N.M. Peculiarities of the resonance absorption in the magnetic films magnetized to non-saturated state / N.M. Salansky, B.P. Khrustalev // Czech. J. Phys., 1971. V.B21, №4-5. - P.419 - 428

33. Aharoni, A. Theoretical approach to the asymmetrical magnetization curve / A. Aharoni, E.H. Frei, S. Shtrikman // J. Appl. Phys., 1959. Vol.30, N 12. -P. 1956- 1961

34. Goto, E. Magnetization and switching characteristics of composite thin magnetic films / E. Goto, N. Hayashi, T. Miyashita, K. Nakagawa // J. Appl. Phys., 1965. V.36, №9. - P.2951 - 2958

35. Левяков, C.B. Формы равновесия и вторичная потеря устойчивости прямого стержня, нагруженного продольной силой / С.В. Левяков // ПМТФ, 2001. Т.42, №2. - С. 153-159

36. Кузнецов, В.В. Многозначные решения пространственных задач нелинейного деформирования тонких криволинейных стержней / В.В. Кузнецов, С.В. Левяков // ПМТФ, 1998. Т.39, №2. - С. 141-149

37. Кузнецов, В.В. О вторичной потере устойчивости Эйлерова стержня / В.В. Кузнецов, С.В. Левяков // ПМТФ, 1999. Т.40, №6. - С. 184-185

38. Кузнецов, В.В. Эластика Эйлерова стержня с защемленными концами / В.В. Кузнецов, С.В. Левяков // ПМТФ, 2000. Т.41, №3. - С.184-186

39. Захаров, Ю.В. Нелинейный изгиб тонких упругих стержней / Ю.В. Захаров, К.Г. Охоткин // ПМТФ, 2002. Т.43, №5. - С. 124-131

40. Halphen, G.-H. Sur une courbe elastique / G.-H. Halphen // Journal de l'ecole polytechnique. Paris, 1884. V.54. - P. 183

41. Halphen, G.-H. Traite des fonctions elliptiques / G.-H. Halphen. Paris, 1888.

42. Янке, E. Специальные функции / E. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. -М.: Наука, 1968.

43. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М.: Физматгиз, 1967.

44. Сикорский, Ю.С. Элементы теории эллиптических функций / Ю.С. Сикорский. М. -Л.: ОНТИ, 1936.

45. Пановко, Я. Г. Механика деформируемого твердого тела / Я.Г. Пановко. М.: Наука, 1976. - 286 с.

46. Пановко, Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем / Я.Г. Пановко, И.И. Губанова. М.: Наука, 1979. - 384 с.

47. Феодосьев, В.И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем / В.И. Феодосьев // ПММ, 1963. -Т.27, вып.2. С.265 - 274

48. Феодосьев, В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов / В.И. Феодосьев. -М.: Наука, 1973. -400 с.

49. Феодосьев, В.И. К расчету хлопающей мембраны / В.И. Феодосьев // ПММ, 1946. Т. 10, №2. - С.295 - 300

50. Григолюк, Э.И. Конечные прогибы и прогцелкивание тонких упругих пологих панелей / Э.И. Григолюк, Е.А. Лопаницын // ПММ, 1966. -Т.60, №5. С.865-876

51. Шкутин, Л.И. Численный анализ разветвленных форм изгиба арок / Л.И. Шкутин // ПМТФ, 2001. Т.42, №4. - С.155-160

52. Лебедев, Л.П. К термодинамике и устойчивости фермы Мизеса / Л.П.Лебедев // Изв. АН СССР. Механика тв. Тела, 1991. №2. -С. 177-178

53. Кузнецов, Н.Б. Применение теории катастроф к исследованию прощелкивания механических систем / Н.Б. Кузнецов // Аналитические и численные методы исследования механических систем. М., 1989. -С. 17-20

54. Постон, Т. Теория катастроф и ее приложения / Т. Постон, Й. Стюарт. -М.: Мир, 1980.-608 с.

55. Томпсон, Дж. М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике / Дж. М.Т. Томпсон. М.: Мир, 1985. - 255 с.

56. Якушев, B.JI. Решение задачи об устойчивости стержневой системы методом реологической вязкости / B.JI. Якушев // Аэрофизика и геокосмические исследования. МФТИ. М., 1984. С. 134-143

57. Якушев, В.Л. Исследование симметричных и несимметричных форм потери устойчивости фермы Мизеса методов дополнительной вязкости / В.Л. Якушев // Прикладные задачи аэромеханики и геокосмической физики. МФТИ. М„ 1991. С.80-88

58. Nachbar, W. Asymmetric snap-buckling of a column restrained by a stiff wire / W. Nachbar // Meccanica, 1970. Vol. 134, N.5. - P. 134-142

59. Nachbar, W. Dynamic snap-thorough of a simple viscoelastic truss / W. Nachbar, N.C. Huang. // Quart. Appl. Math., 1967. Vol.65, N.25. -P.65-82

60. Britvec, B.J. Overall stability of pin-jointed frameworks after the onset of elastic buckling / B.J. Britvec. // Ingenieur Archiv., 1967. Vol.443, N.32. -P.443-452

61. Захаров, Ю.В. Магнитный резонанс в пленках с доменной структурой на антиферромагнитной подложке / Ю.В. Захаров, Е.А. Хлебопрос // Препринт ИФСО-131Ф, 1980.

62. Якушев, В.Л. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек / В.Л. Якушев. М.: Наука, 2004. - 278с.

63. Theocaris, P.S. Instability of cantilever beams with non-linear elements: butterfly catastrothe / P.S. Theocaris // Intern. J. Mech. Sci., 1984. Vol.26, N.4. - P.265-275

64. Budiansky, B. Theory of buckling and post-buckling behavior of elastic structures / B. Budiansky // Advances in Applied Mechanics, 14, Academic Press,-PP. 1-65

65. Исакова, B.B. Обзор задач нелинейного изгиба составных конструкций / В.В. Исакова, С.П. Тумаев // Тез. науч.-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых специалистов «Актуальные проблемы авиации и космонавтики» Красноярск: СибГАУ. - 2004. - С. 99.

66. Исакова, В.В. Нелинейный изгиб двухзвеньевой фермы при поперечной нагрузке / В.В. Исакова, Ю.В. Захаров // Тезисы докладов науч. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых-физиков «Физика и Эйнштейн» (НКСФ-2005) Красноярск: КрасГУ. - 2005. -С. 109.

67. Исакова, В.В. Нелинейные формы изгиба составных стержневых систем с упругими связями / В.В. Исакова, К.Г. Охоткин, Ю.В. Захаров // Материалы X Междунар. науч. конф. «Решетневские чтения» -Красноярск: СибГАУ. 2006. - С. 166-167.

68. Zakharov, Yu.V. Magnetization reversal of the multilayer magnetic film / Yu.V. Zakharov, K.G. Okhotkin, A.D. Skorobogatov, V.V. Isakova //

69. Тезисы докладов Евро-Азиатского симпозиума «Magnetism on а Nanoscale» (EASTMAG-2007). Казань: КГУ, 2007. Р. 184.