Нелинейный изгиб упругого стержня следящей и распределенной нагрузками тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Скоробогатов Алексей Дмитриевич

НЕЛИНЕЙНЫЙ ИЗГИБ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ СЛЕДЯЩЕЙ И РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКАМИ

01 о&о^- «Механика деформируемого твердого тела»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2009

003476463

003476463

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Сибирский государственный технологический университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Юрий Владимирович Захаров

Официальные оппоненты: доктор технических наук Александр Витальевич Лопатин

доктор физико-математических наук Юрий Иннокентьевич Маньков

Ведущая организация: Сибирский федеральный университет (г Красноярск)

Защита состоится « 18 » сентября 2009 г в _15_ часов на заседании

диссертационного совета Д 212 249 04 при ГОУ ВПО «Сибирский

государственный аэрокосмический университет имени академика

МФ Решетнева» по адресу 660014 г Красноярск, пр им газеты «Красноярский рабочий», 31

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М Ф Решетнева»

Автореферат разослан « 17 » августа 2009 г

Ученый секретарь диссертационного совета А

доктор физико-математических наук (у С С Аплеснин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Во многих областях современной промышленности авиационной, ракетной, кораблестроительной и др, -большое внимание уделяется вопросам устойчивости и колебаний стержневых конструкций Особый интерес к таким вопросам возникает в областях промышленности, производящих устройства микромеханики и занимающимися нанотехнологиями, поскольку миниатюризация устройств приводит к тому, что каждое из них можно рассматривать в виде тонкого стержня, либо тонкостенной оболочки В экстремальных условиях эксплуатации часто поведение конструкций является закригическим, не описывающимся линеаризованными уравнениями сопротивления материалов

Для решения подобных задач очень часто применяют приближенные или численные методы, и только небольшое число задач удалось решить точно аналитически Практически все полученные данными методами решения сложны и труднодоступны для применения инженерами Поэтому одной из важных задач является получение точных аналитических решений проблем устойчивости таких конструкций, что требует развития математического аппарата, и создает предпосылки для создания пакетов прикладных программ визуализации полученных точных решений Это дает в руки инженеров-практиков мощные инструменты для выбора оптимальных характеристик создаваемых устройств микромеханики, эксплуатация которых будет проводиться в экстремальных условиях.

Цель работы. Исследование устойчивости упругих стержней под действием сосредоточенной следящей и нормальной распределенной внешних нагрузках в геометрически нелинейном случае, нахождение порогов устойчивости и соответствующих им форм изгибов Основные задачи работы:

1 исследовать геометрически нелинейный изгиб тонкого упругого стержня при нагружении следящей сосредоточенной нагрузкой,

з

2 геометрически нелинейный изгиб тонкого упругого стержня при нагружении нормальной распределенной нагрузкой,

3 провести исследование перемагничивания тонкой ферромагнитной пленки на антиферромагнитной подложке вращающимся магнитным полем на основе аналогии с геометрически нелинейным изгибом тонкого упругого стержня следящей сосредоточенной нагрузкой,

4 на основании полученных алгоритмов решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела составить программу расчета и визуализации форм изгиба тонкого упругого стержня при приложении следящей сосредоточенной нагрузки

Научная новизна работы:

1 получены выражения для геометрически нелинейного изгиба стержней сосредоточенной следящей нагрузкой, показано, что переход между модами решения происходит бсспороговым образом, под действием поперечной сосредоточенной следящей нагрузки при определенных ее значениях стержень может изгибаться навстречу приложенной нагрузке,

2 получены точные аналитические решения в виде дробно-линейной комбинации эллиптических функций Вейерппрасса задачи об изгибе тонкого упругого стержня нормальной распределенной нагрузкой при различных условиях закрепления стержня,

3 на основе разработанных алгоритмов решения нелинейных задач создана программа для визуализации форм изгиба тонкого упругого стержня под действием сосредоточенной следящей силы,

4 проведена аналогия между перемагничиванием тонкого ферромагнитного слоя на антиферромагнитной подложке под действием вращающегося магнитного поля и задачей об изгибе тонкого упругого стержня сосредоточенной следящей нагрузкой

Научная и практическая значимость. Были получены точные аналитические решения задач об изгибе стержня сосредоточенной следящей и

нормальной распределенной нагрузкой, и показана возможность беспорогового перехода между модами решения с различным числом точек перегиба под действием плавно увеличивающейся нагрузки

Полученные решения можно использовать при проектировании устройств микромеханшш и для отладки численных методов решений нелинейных задач механики деформируемого твердого тела На основе разработанных алгоритмов создана программа для визуализации форм изгиба тонкого упругого стержня под действием сосредоточенной следящей силы, которая может представлять интерес для инженеров

Личный вклад автора: Автор работы внес личный вклад в постановку задачи, выбор методов исследования и обсуждение результатов, а также успешно выполнил все этапы исследовательской работы Настоящая работа является итогом исследований, выполненных автором в 2002-2008 гт

Публикации. По материалам диссертации имеются 23 публикации Список 14 основных публикаций приводится в конце автореферата, из них 2 по перечню ВАК

Положения, выносимые на защиту:

1 получены точные аналитические выражения в компактом виде для форм изгиба упругого стержня следящей нагрузкой, которые записаны в едином параметрическом виде и зависят от одного параметра - угла наклона внешней силы, определяемого величиной нагрузки, углом слежения и модой решения,

2 показана возможность беспорогового перехода между модами решения с различным числом точек перегиба под действием плавно увеличивающейся нагрузки,

3 при нагружении поперечной сосредоточенной следящей силой при некоторых значениях нагрузки стержень может изгибаться навстречу приложенной нагрузке,

4 получены точные аналитические выражения в виде дробно-линейной комбинации эллиптических функций Вейерштрасса для форм изгиба упругого

стержня при нагружении нормальной распределенной нагрузкой в геометрически нелинейном случае, зависящие от одного параметра, определяемого внешней приложенной нагрузкой,

5 на основе разработанных алгоритмов решения нелинейных задач создана программа для визуализации форм изгиба тонкого упругого стержня под действием сосредоточенной следящей силы,

6 рассмотрено перемагничивание двухслойной магнитной системы вращающимся магнитным полем, показано, что процесс перемагничивания аналогичен изгибу стержня следящей силой

Апробация работы Результаты работы докладывались на международных, российских и региональных конференциях и семинарах региональная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука Технологии. Инновации» (НТИ-2002) (Новосибирск, 2002), VI Всероссийская научная конференция «Решетневские чтения» (Красноярск, 2002), Всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука Технологии Инновации» (НТИ-2003) (Новосибирск, 2003), Актуальные проблемы авиации и космонавтики научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов (Красноярск, 2004), XIX международная школа-семинар «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 2004), VIII Всероссийская научная конференция «Решетневские чтения» (Красноярск, 2004), Moscow International Symposium on Magnetism (Москва, 2005), Научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых-физиков «Физика и Эйнштейн» (Красноярск, 2005), Четырнадцатая зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь, 2005), IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), VII Всероссийская конференция по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых) (Красноярск, 2006), VI Всероссийская конференция молодых ученых «Проблемы механики теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 2007), 15 Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь,

2007), Евро-Азиатский симпозиум «Magnetism on a Nanoscale» (EASTMAG-2007) (Казань, 2007), Всероссийская конференция «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва» (Новосибирск, 2007), VIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007), XXXVI научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых-физиков (Красноярск, 2007)

Работа докладывалась на научных семинарах кафедры физики Сибирского государственного технологического университета, Института вычислительного моделирования СО РАН

На разных этапах работа была поддержана грантами РФФИ проект 0201-01017, программа Минобразования России "Развитие научного потенциала высшей школы" проект № 2 1 1/735, грант для молодых ученых Красноярского краевого фонда науки 17G087, премия главы города Красноярска молодым талантам

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, выводов, списка цитируемой литературы и приложений Объем работы составляет 102 страницы, включает 22 рисунка, библиография включает 73 наименования

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении дается обоснование актуальности темы диссертации, сформулированы задачи и цели диссертационной работы

Глава 1. Общие сведения по изгибу тонких гибких стержней и перемагничиванию двухслойных магнитных систем.

В этой главе проводится обзор сведений об изгибе тонкого гибкого стержня под действием нормальной и распределенной нагрузками при различных условиях нагружения стержня и закрепления его концов, о магнитной аналогии изгиба тонкого гибкого стержня - перемагничивании тонкого ферромагнитного слоя на антиферромагнитной подложке

Глава 2. Решение задачи о нелинейном изгибе стержня следящей сосредоточенной нагрузкой.

Был рассмотрен тонкий стержень, изначально прямой, закрепленный на левом конце и свободный либо закрепленный на правом, который подвергается действию (сжатию под произвольным углом) внешней нагрузки, сосредоточенной на правом конце стержня Изначальное неизогнутое положение стержня - вдоль оси ОХ Левый закрепленный конец стержня расположен в начале координат (см рис 1) уИ

Рис 1 Система координат Р - внешняя приложенная нагрузка, <р - угол наклона направления силы к оси ОХ, 9 -угол наклона касательной к оси ОХ, а - угол слежения - угол между направлением внешней приложенной силы и углом наклона касательной к оси ОХ, I - криволинейная длина от начала координат до рассматриваемой точки стержня вдоль стержня, Ь - длина стержня Уравнение равновесия стержня записано в следующем виде

р /о \ п

-т+-81П(0 + ф) = О ,

а2 Е1

где Е1 - изгибная жесткость Граничные условия задачи

е(0) = 0, <&(1)1<И = 0 8(1) = а - ф

Декартовы координаты изогнутой линии стержня даются следующими выражениями

х

Т

-1 + 2

(£,(аши)-£'1)

рК(к)-Рг

(спУ, - спи)

С08ф+2* Рк{к)-Р, 5Шф'

О)

у „. (сп-СПи) 4 = 2кк ..Ач—^соБф-

■г + 2

(Е(ати)- Ех) рК{к)-Е, .

БШф,

Л .Р,

где обозначено

^ = ^[агс51п(5т(ф/2)/А')> А], Я, = £[агс81п(8т(ф/2)/Д и = (рК{к) - + Рь /> = 2л - 1, к = 51п(а / 2), а величина силы будет связана с параметром ф выражением

Я/Рс = (2/л)2{(2л - 1)АГ(з1п(о/2)) - ЯагсБ1п(51п(ф/2)/51п(а/2)), 51п(аУ2)]}2 (2) Здесь Рс = (п/2)2Е1/Ь2 - эйлерова критическая сила, п - номер моды решения, где функции бп и сп - эллиптические синус и косинус Якоби, Дат и) - неполный эллиптический интеграл второго рода от эллиптической амплитуды Якоби, г - приведенная криволинейная координата точки стержня

Таким образом, каждому значению внешней силы Р и номеру моды п при заданном угле слежения а соответствует своя форма изгиба стержня, задаваемая одним параметром - углом ф, который определяется из соотношения (2) по известной силе Р Р/Р1

-я/2 О

Рис 2 Спектр собственных значений, описываемый соотношением (2) Координаты конца Из выражений (1) можно получить координаты (хиУ1) незакрепленного конца стержня, положив I = 1

У\

2 РЕ~Е\ х рК - Рх

2ircn.Fi

I рК-Ъ

СОБф-

С05ф + —-¿51Пф,

рК-Р, РЕ~Е\

БШф

',(фн

(4)

Координаты точек перегиба Точки, в которых обращается в нуль вторая производная с?у/с1х2, являются точками перегиба линии сгержня Обозначим искомую криволинейную координату такой точки А

(2т + 1)к(к)-Р{ (2п-\)к(к)-Р1

Координаты точки сжатия Точки, в которых совпадают угол наклона касательной и угол наклона сжимающей силы к оси ОХ, назовем точками сжатия Обозначим искомую криволинейную координату такой точки /0

2тК(к)-Р1

'о(ф)=;

(5)

Поперечная следящая нагрузка. Для поперечной следящей нагрузки

л/2

угол а = л/2 В этом случае модуль к = -у При этом спектр собственных

значений (2) примет следующий вид \2 / /

Р_ Р.

{2п-\)К

4 2

-Р

агсвш

(6)

Параметр ф изменяется в пределах -зг/2<ф<я/2, задает общую кривизну стержня и определяется действующей силой Р из (6) При значениях угла ф = ± я / 2 из (6) получим пороговые значения поперечной следящей силы

Л

к -

V JJ

* 5 б(и — I)2, и = 1,2,

(7)

При превышении внешней силой порогового значения Р„ происходит плавный переход на следующую моду решения с номером п + 1 Выражения, задающие координаты х, у произвольной точки стержня, имеют вид

х

т

1 + 2(Е(ат и)-Я,)

/-(д/созф-спи)

СОЩ + Ы2--[ г-1 \-Б1Пф,

У /^(л/сояф-спи)

ГГ1Рк{Щ-1С05Ф"

-/ + 2

(£'(атц)-£'|) рК{42!2)-Рх_

вШф

ю

Здесь £((?, к) - неполный эллиптический интеграл второго рода, =.с(агс51п(81Пф/2),^2/2),/>~2л- 1,и= 1,2,

На первой моде (и = 1) имеется одна точка перегиба, лежащая на конце стержня /| = 1 На второй моде (п 2) у основания стержня появляется вторая точка перегиба, которая при увеличении внешней силы плавно перемещается к концу стержня На третьей моде (и = 3) у основания стержня появляется третья точка перегиба и т д

Первая точка сжатия возникает на первой моде у основания стержня, при следящей силе, параллельной оси ОХ (ф = 0), и перемещается к концу стержня Вторая точка сжатия появляется на второй моде также у основания стержня при

Рис 3 Формы прогиба стержня при различных значениях поперечной следящей силы Первая мода (л = 1) кривые I - ф = 2п/5,2 - <р = я/4,3 - ср = 0, 4 = -гс/2 Вторая мода (и = 2) кривые 5 - <р = -л/4, б - <р = 0, 7 — <р = п/2 На кривых кружками отмечены точки сжатия Продольная растягивающая следящая нагрузка. Для продольной растягивающей следящей нагрузки угол а —♦ я При этом модуль к = 1 Спектр собственных значений согласно (2) расходится, Р^РС —> ю Форма стержня останется в этом случае прямолинейной при любых нагрузках.

При любых малых отклонениях угла следящей силы от значения я стержень будет иметь некоторые формы равновесия Для иллюстрации

и

приведем на рис 4 формы изгиба стержня, найденные по выражениям (1) при малом растягивающем угле слежения а = л - О 03 В этом случае параметр

Рис 4 Формы изгиба стержня при различных значениях продольной следящей силы ^-ф = т1-0 07,2-ф = Зл/4,3-<р = л/2,4 -ф = 0,5-ф =-д/2, <5 - ф =-Зя/4, 7-ф = -л + 0 07 Продольная сжимающая следящая нагрузка. Для продольной сжимающей следящей нагрузки угол а = 0 В этом случае параметр к = 0 и параметр <р = 0 В этом случае из (2) получим предельным переходом критические нагрузки

Рг/Рс = (2/тг)2(2И - I)2, (9)

совпадающие с известными критическими нагрузками защемленного стержня при действии продольного сжатия силой постоянного направления Т к. параметр к = 0, то форма стержня останется прямолинейной до тех пор, пока сила не достигнет критического значения Далее, при превышении нагрузкой эйлерового критического значения, в задаче с постоянным направлением действия силы стержень начнет изгибаться В нашем случае по определению продольной следящей силы действующая сила не может изменить свое направление (ф = 0) и формы прогиба не могут быть найдены по условию задачи

Глава 3. Перемагничивание двухслойной магнитной системы вращающимся магнитным полем.

Исследовано поведение ферромагнитного слоя на антиферромагнитнон подложке во внешнем вращающемся магнитном поле Был рассмотрен случай, когда направление внешнего поля всегда совпадает с направлением магнитного момента на поверхности ферромагнитного слоя Показано, что такая задача аналогична изгибу тонкого стержня при действии продольной растягивающей следящей нагрузки при малом угле слежения

Для этого был рассмотрен ферромагнитный слой толщины с/, плоскость которого нормальна к оси г

Внешнее вращающееся магнитное поле П вращается против часовой стрелки Плоскость г = 0 совпадает с границей ферромагнетик-антиферромагнетик. Была рассмотрена широко распространенная ситуация, при которой внешнее магнитное поле много меньше эффективного поля антиферромагнитной анизотропии, следовательно, ориентация намагниченности подрешетки антиферромагнетика остается неизменной Ограничимся случаем большого поверхностного обмена на границе, при котором вектор магнитного момента М ферромагнетика все время остается

закрепленным на границе ферромагнетик-ангиферромагнетик

Статические и динамические свойства ферромагнитного слоя в феноменологическом приближении описываются уравнением Ландау-Лифшица для вектора М

M = ¿fíHíe)\ (10)

с граничными условиями

Mx=Mz = 0, МУ=М при z = 0,

дЙ/дп =о при z = d (11)

Эффекгавное магнитное поле записывается в виде

Й(г) = aV2A? + $МХТ + Й,

где а - постоянная обмена ферромагнетика, р - константа одноосной

анизотропии (р « 4я), Т - орт оси легкого намагничивания, Й - внешние

постоянные и переменные поля Введем нормированные поля Я = Й1М и

намагниченность m =Л? IM, угол поворота момента 0(z) так, что mx= sm9(z),

ту= cosO(z) Без учета одноосной анизотропии получим уравнение

cfQ/dz2 + h¡ sm Q+hy cos 9 = 0, (12)

где hx = h cos tp, hy = h sm <p - компоненты нормированного вращающегося

внешнего поля h под текущим углом <р к оси ОХ

Граничные условия 6(0)= 0, Q'(d) = 0

Уравнение (12) аналогично уравнению, описывающему изгиб тонкого гибкого стержня сосредоточенной внешней нагрузкой, а граничные условия совпадают с граничными условиями для задачи следящего нагружения, что говорит о том, что поведение рассматриваемой магнитной системы во внешнем вращающемся поле аналогично изгибу упругого стержня следящей силой Решение уравнения (12) записывается в виде

9(2) = -ф + 2arcsm{¿ sn[(/¡/a)"2 z + F¡, Л]} (13)

При учете граничных условий получим, что угол ф связан с внешним магнитным А полем следующим выражением

Л/А„ = (2/л)2{(2п - 1 )К(к) - F[arcsin(sm((p/2)/¿), it]}2,(14)

дсп- номер моды решения, Л„ = (я/2)2 а/с? - пороговое поле потери

устойчивости ферромагнитным слоем при перемагничивании Это поле -аналог эйлеровой силы для магнитных систем При превышении порогового поля происходит смена моды решения Выражения (13) и (14) дают неоднородное распределение намагниченности по толщине ферромагнитного слоя

Глава 4. Решение задачи о нелинейном изгибе стержня нормальной распределенной нагрузкой.

В этой главе был рассмотрен тонкий гибкий стержень длины Ь К стержню приложена распределенная нормальная нагрузка q Будем искать формы изгиба стержня при постепенном увеличении внешней приложенной нагрузки Выберем систему координат согласно рис 6

На рис 6 0 - угол наклона касательной к оси ОХ, (г, <р) - полярные координаты точки стержня, стрелочками показана внешняя распределенная нагрузка с линейной плотностью д Форма стержня определяется углом 0 (/), где / - криволинейная координата вдоль стержня длиной Ь

Система уравнений равновесия стержня была записана в виде

у

я

х

о

Рис 6 Система координат

для касательной i\ и нормальной F„ компонент полной силы внутренних напряжений и угла 0 (/), внешняя приложенная распределенная нагрузка имела компоненты Кх = О, К„ = q Система (15) с помощью введения новой функции

h(u)=(2k)~\dö/du) (16)

была сведена к одному дифференциальному уравнению

(M)2=lz£_h+2k42-k2h\ (17)

{du) k k '

где перемешая и = (gl? / ElJ3 {IIL)~ приведенная длина стержня, к - параметр решения

Данное уравнение решается в эллиптических функциях. Решение этого уравнения было найдено в виде дробно-линейной комбинации эллиптических функций Вейерштрасса

Й=а'+Р*<и>, (18)

a2+ß2g(«)

здесь g= 9} (и, Ь, с) - эллиптическая функция Вейерштрасса, удовлетворяющая уравнению (dg/duf - 4g3 +bg + c Функцию g(u) получают обращением нормальной формы Вейерштрасса эллиптического интеграла 1-го рода

ds

и = I .

5V4s3+6s + c

где b, с - периоды функции Вейерштрасса

Определяя коэффициенты ai, ci2, b, с, получим выражение дня функции h

А = 1 - (4£3/3 + 4kg(u)Y (19)

А

-3

О

10 и

Рис 7 Вид функции А при различных значениях к 1-к = 0 4, 2-к~0 7, 3-к=09

В общем виде функция наклона угла касательной к оси ОХ в(и) описывается выражением

9(м) = 2 А: / Л(ы) с/ы (20)

Для построения изогнутой линии стержня удобнее записать координаты произвольной точки линии стержня в полярной системе координат г и ф, которые выражаются через угол 0 и приведенную длину и

Координаты изогнутой линии стержня зависят от внешней приложенной распределенной нагрузки ц и параметра решения к Соотношение, связывающее эти величины, находится при наложении граничных условий на функцию 0(и) и ее производную

Изгиб распределенной нагрузкой стержня, защемленного на одном конце, свободного на другом.

Граничные условия для стержня запишем в виде

8(/ = 0) = 0 - защемление слева,

сВ / Л (г = 1) =0 - свободный конец справа

(22)

У/1

5

1—Х/Ь

Рис 8 Формы изгиба стержня под действием внешней распределенной нормальной нагрузки при различных значениях параметра к (1-ая мода решения) 1-к = 0\,2-к = 04,3-к = 09,4-к = 0 93,5-к=0 9449

Изгиб распределенной нагрузкой стержня, шарнирно опертого на оба конца. Граничные условия для стержня запишем в виде

Рис 9 Формы изгиба шарнирно опертого стержня под действием внешней распределенной нормальной нагрузки при различных значениях параметра к (1-ая мода решения) 1 -к = 02,2-к=04, 3-* = 0 6, 4-* = 0 81

Изгиб распределенной нагрузкой стержня со скользящим защемлением на обоих концах. Граничные условия для стержня запишем в виде

сВ / Л (< = 0) = 0 - шарнир слева, сВ / Л (г = 1) =0 - шарнир справа 4 Лл11 3

(23)

0 (? = 0) = 0 - защемление слева, 9 (г = 1) =0 - защемление справа

у!1

?

0 35-

0

Рис 10 Формы изгиба стержня под действием внешней распределенной нормальной нагрузки при различных значениях параметра к (1-ая мода решения) 1-к = 0 15, ^ - А: = 0 442,5 - А = 0 63

Глава 5. Аналитические и программные методы расчета нелинейного изгпба стержней. Случай распределенной и сосредоточенной следящей нагрузки.

В этой главе дается описание созданной на основе разработанных алгоритмов решения нелинейных задач программы для визуализации форм изгиба тонкого упругого стержня под действием сосредоточенной следящей силы

1 Получены точные аналитические выражения в компактном виде для форм изгиба упругого стержня следящей нагрузкой, которые записаны в едином параметрическом виде и зависят от одного параметра - угла наклона внешней силы, определяемого величиной нагрузки, углом слежения и модой решения

2 Показана возможность беспорогового перехода между модами решения с различным числом точек перегиба под действием плавно увеличивающейся нагрузки

ВЫВОДЫ

3 При нагружении поперечной сосредоточенной следящей силой при некоторых значениях нагрузки стержень может изгибаться навстречу приложенной нагрузке

4 Получены точные аналитические выражения в виде дробно-линейной комбинации эллиптических функций Вейерштрасса для форм изгиба упругого стержня при нагружении нормальной распределенной нагрузкой в геометрически нелинейном случае, эти выражения зависят от одного параметра, определяемого внешней приложенной нагрузкой

5 На основе разработанных алгоритмов решения нелинейных задач создана программа дм визуализации форм изгиба тонкого упругого стержня под действием сосредоточенной следящей силы

6 Рассмотрено перемагничивание двухслойной магнитной системы вращающимся магнитным полем, показано, что процесс перемагничивания аналогичен изгибу стержня следящей силой

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Захаров, Ю В Перемагничивание пленки вращающимся магнитным полем аналогия с изгибом стержней следящей силой / Ю В Захаров, К Г Охоткин, А Д Скоробогатов // Сб трудов XIX международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники» - М Физфак МГУ, 2004 - С 186 -АЮ-17

2 Захаров, Ю В Изгиб стержней под действием следящей нагрузки / Ю В Захаров, К Г Охотсин, А.Д Скоробогатов // ПМТФ - 2004 - Т 45, № 5 - С 167-175

3 Захаров, Ю В Двухслойная магнитная система во вращающемся магнитном поле - аналогия нелинейного изгиба стержней под действием следящей нагрузки / Ю В Захаров, К Г Охоткин, А Д Скоробогатов // Материалы VIII Всеросс научной конф с междунар участием «Решетневские чтения» -Красноярск СибГАУ, 2004 - С 106-107

4 Скоробогатов, А Д Нелинейный изгиб стержней следящей силой - аналогия с перемагничиванием тонкой пленки вращающимся магнитным полем /АД Скоробогатов, К Г Охоткин, Ю В Захаров // Материалы научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых физиков «Физика и Эйнштейн» -Красноярск КГУ, 2005 - С 60-67

9 Захаров, Ю В Задачи нелинейного изгиба стержневых конструкций / Ю В Захаров, К Г Охоткин, В В Исакова, А Д Скоробогатов // Вестник СибГАУ -Красноярск СибГАУ, 2005 -Вып 6 - С 46-51 (раздел 2)

10 Захаров, Ю В Ферромагнитный слой во вращающемся магнитном ноле -аналогия изгиба тонкого гибкого стержня следящей силой / Ю В Захаров, К Г Охоткин, А Д Скоробогатов // Материалы IX Междунар научной конф Решетневские чтения - Красноярск СибГАУ, 2005 - С 129

11 Захаров, Ю В Нелинейный изгиб консоли распределенной нагрузкой / Ю В Захаров, К Г Охоткин, А Д Скоробогатов // Вестник СибГАУ -Красноярск СибГАУ -2006 - Вып 4(11) -С 21-24

12 Захаров, Ю В Расчет нелинейного изгиба стержней при различных граничных условиях и нагрузках для пакета Maple (NonlmearBendmgElasticRods) / Ю В Захаров, К Г Охоткин, В В Исакова, А Д Скоробогатов // Свидетельство офиц регистр программы для ЭВМ № 2007610500 от 31 01 2007 г (раздел 2 5, см диссертацию)

13 Захаров, ЮВ Изгиб упругой консоли под действием нормальной распределенной нагрузки / ЮВ Захаров, К Г Охоткин, А Д Скоробогатов // Сборник статей 15 Зимней школы по механике сплошных сред 4 2- Пермь ИМСС УрО РАН, 2007 - С 60-61

14 Захаров, ЮВ Изгиб стержня нормальной распределенной нагрузкой / Ю В Захаров, К Г Охоткин, А Д Скоробогатов // Материалы XXXVI научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых физиков - Красноярск Сибирский федеральный ун-т, Институт естественных и гуманитарных наук, 2007 - С 131-133

Отзывы на автореферат в 2-х экземплярах, заверенные печатью учреждения, просим направлять по адресу 660014 г. Красноярск, пр им газеты «Красноярский рабочий», 31, ученому секретарю диссертационного совета Д 212 249 04 Копию отзыва просим присылать по факсу 8 (391) 264-47-09 с пометкой для Решетниковой Светланы Николаевны

Заказ № Тираж ш экз.

Отпечатано ООО «Новые компьютерные технологии» 660049 г Красноярск, ул К Маркса, 62, офис 120, тел.. (391)226-31-31,226-31-11

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ИЗГИБУ ТОНКИХ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ И ПЕРЕМАГНИЧИВАНИЮ ДВУХСЛОЙНЫХ МАГНИТНЫХ СИСТЕМ.

1.1. Устойчивость стержневых систем под действием сосредоточенной нагрузки.

1.2. Устойчивость стержней под действием следящей сосредоточенной нагрузки.

1.3. Устойчивость стержней под действием распределенной нагрузки.

1.4. Перемагничивание двухслойных магнитных систем.

Выводы.

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О НЕЛИНЕЙНОМ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЯ СЛЕДЯЩЕЙ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКОЙ.

2.1. Общее решение задачи об изгибе стержня сосредоточенной нагрузкой

2.2. Изгиб стержня сосредоточенной следящей нагрузкой под произвольным углом.

2.3. Изгиб стержня под действием поперечной сосредоточенной следящей нагрузки.

2.4. Изгиб стержня под действием растягивающей следящей нагрузки при малом угле слежения.

2.4. Изгиб стержня под действием сжимающей следящей нагрузки.

Выводы.

ГЛАВА 3. ПЕРЕМАГНИЧИВАНИЕ ДВУХСЛОЙНОЙ МАГНИТНОЙ СИСТЕМЫ ВРАЩАЮЩИМСЯ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ.

3.1. Вращающееся магнитное поле как аналогия следящей сосредоточенной нагрузки.

3.1. Перемагничивание двухслойной магнитной системы вращающимся магнитным полем.

Выводы.

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О НЕЛИНЕЙНОМ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЯ НОРМАЛЬНОЙ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ.

4.1. Вывод уравнения равновесия упругого стержня, нагруженного нормальной распределенной нагрузкой.

4.2. Общее решение уравнения равновесия для случая нормальной распределенной нагрузки.

4.2. Изгиб под действием нормальной распределенной нагрузки стержня, закрепленного на одном конце и свободного на другом.

4.3. Изгиб шарнирно опертого стержня под действием нормальной распределенной нагрузки.

4.4. Изгиб под действием нормальной распределенной нагрузки стержня со скользящим защемлением концов.

Выводы.

ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ПРОГРАММНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНОГО ИЗГИБА СТЕРЖНЕЙ. СЛУЧАЙ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ

И СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СЛЕДЯЩЕЙ НАГРУЗКИ.

5.1. Один конец стержня защемлен. Произвольное приложение сосредоточенной следящей нагрузки.

5.2. Один конец стержня защемлен. Поперечное приложение сосредоточенной следящей нагрузки.

5.3. Один конец стержня защемлен. Продольное приложение сосредоточенной следящей нагрузки.

5.4. Программа расчета изгиба тонкого упругого стержня под действием нормальной распределенной нагрузки.

Выводы.

Во многих областях современной промышленности: авиационной, ракетной, кораблестроительной и других, - большое внимание уделяется вопросам устойчивости и колебаний стержневых конструкций, оболочек, мембран и пр. Особо остро такие вопросы встали перед областями промышленности, производящими устройства микромеханики и занимающимися нанотехнологиями, так как миниатюризация устройств приводит к тому, что каждое из них можно рассматривать в виде тонкого стержня, либо тонкостенной оболочки. А условия эксплуатации можно назвать экстремальными. В таких условиях часто поведение конструкций является закритическим, не описывающимся линеаризованными уравнениями сопротивления материалов. Поэтому изучение ударных, или динамических нагрузок всегда является объектом пристального внимания исследователей, особенно после появления основополагающей работы М.А. Лаврентьева и А.Ю. Ишлинского [1].

Такие задачи о поведении стержневых конструкций очень важны как в теоретическом, так и практическом отношении, однако точные решения их получить не всегда удается. Поэтому для решения подобных задач очень часто привлекаются численные методы, и только небольшое количество задач удалось решить точно аналитически.

В последние годы в научно-исследовательской группе под научным руководством д.ф.-м.н., проф. Ю.В. Захарова были разработаны методы исследования устойчивости и изгиба упругих систем при условии конечности перемещений. Разработанные методы позволяют анализировать поведение упругих стержневых конструкций при перемещениях, которые уже не являются малыми, но не настолько велики, чтобы для анализа таких систем надо было использовать нелинейный вариант закона Гука. Также в работах [2, 3] была найдена аналогия между задачей о перемагничивании магнитного слоя с несимметричными граничными условиями и задачей Эйлера об устойчивости упругого стержня. Для магнитной системы была найдена последовательность пороговых полей потери устойчивости ферромагнитного слоя как аналогия исследованной М.А. Лаврентьевым и А.Ю. Ишлинским [1] динамической потери устойчивости упругой системы.

Найденная аналогия может быть использована для проверки опытным путем получаемых аналитических результатов, так как магнитная система является удобной экспериментальной системой.

Использование разработанных методов для упругих систем позволило получить точные аналитические решения в эллиптических функциях нелинейного уравнения сильного изгиба упругого стержня-консоли под действием сосредоточенной нагрузки на свободном конце [5-6].

Полученные теоретические результаты позволяют подойти с новых позиций к анализу задач об изгибе стержня следящей сосредоточенной и распределенной нагрузок.

В то же время интерес представляет не только само явление потери устойчивости стержней и стержневых систем, но и их закритическое поведение после потери устойчивости. Все попытки решать столь сложные проблемы устойчивости механики сплошных сред приводят к необходимости получения нелинейных уравнений равновесия и разработке их методов решения.

Основным вопросом расчета стержневых конструкций является задача об изгибе стержня. Основным способом решения таких задач является получение приближенных линеаризованных уравнений равновесия для изогнутых стержней, решения которых получаются в виде полиномов. Для некоторых случаев есть точные решения нелинейных уравнений, выраженные в квадратурах [7-10], или в эллиптических интегралах [12-13]. В последнем случае решения определяются тремя параметрами, связанными с условиями на двух концах и действующей силой и находящихся из вспомогательных таблиц и номограмм. Такие решения очень громоздки и сложны для использования инженерами-практиками. В то же время есть прогресс в получении точных аналитических решений, выраженных в эллиптических функциях с одним параметром — модулем к, определяемым действующей силой. В настоящее время есть достаточно эффективные, быстрые алгоритмы для вычисления эллиптических функций и интегралов на основе современных математических пакетов, таких как Maple, что позволяет создать эффективные программные продукты для визуализации точных решений для изгиба тонких стержней. В наши дни, когда размеры устойств достигают нанообластей, это имеет ясно выраженное прикладное инженерное значение при расчете устройств точной механики в условиях ограниченных габаритов, поскольку точные аналитические решения в ряде случаев значительно отличаются от приближенных. Поэтому сравнение точных решений с приближенными может позволить найти те области параметров, где целесообразно использовать точное или возможно использовать приближенное решение. Это может позволить выбрать оптимальные характеристики создаваемых устройств микромеханики.

С развитием математического аппарата, в частности, с появлением новых способов разложения специальных функций в ряды, стали появляться приближенные решения задач механики деформируемого твердого тела на основе точных аналитических решений [например, 14].

При всей ясности и проработанности задач об изгибе стержней для случаев малых прогибов, уравнения их равновесия существенно усложняются уже для конечных прогибов стержня. В последнее время, в связи со стремительным развитием ЭВМ, для решения подобных задач механики деформируемого твердого тела привлекаются численные методы, такие как: метод стрельбы, метод Галеркина и т.д.

В связи со всем вышесказанным сформулируем цели и задачи этой работы:

- получение в компактном виде точных аналитических решений задачи об изгибе тонкого упругого стержня сосредоточенной следящей нагрузкой при условии конечности прогибов и исследование устойчивости таких стержней;

- проведение аналогии между перемагничиванием ферромагнитного слоя на антиферромагнитной подложке под действием вращающегося магнитного поля и изгибом тонкого упругого стержня под действием сосредоточенной следящей нагрузки;

- получение в компактном виде точных аналитических решений задачи об изгибе тонкого упругого стержня под действием нормальной распределенной нагрузки при различных условиях закрепления концов и исследование устойчивости таких стержней;

- разработка программы для визуализации изгибов тонкого упругого стержня при различных значениях следящей сосредоточенной нагрузки.

Выводы

Созданная в пакете Maple программа позволяет визуализировать формы изгиба стержня в зависимости от внешней приложенной нагрузки - ее модуля и угла слежения.

На данную программу получено свидетельство о регистрации в едином реестре программ [73].

Заключение

1. Получены точные аналитические выражения в компактном виде для форм изгиба упругого стержня следящей нагрузкой, которые записаны в едином параметрическом виде и зависят от одного параметра - угла наклона внешней силы, определяемого величиной нагрузки, углом слежения и модой решения.

2. Показана возможность беспорогового перехода между модами решения с различным числом точек перегиба под действием плавно увеличивающейся нагрузки.

3. При нагружении поперечной сосредоточенной следящей силой при некоторых значениях нагрузки стержень может парадоксальным образом изгибаться навстречу приложенной нагрузке.

4. Получены точные аналитические выражения в виде дробно-линейной комбинации эллиптических функций Вейерштрасса для форм изгиба упругого стержня при нагружении нормальной распределенной нагрузкой в -геометрически нелинейном случае; эти выражения зависят от одного параметра, определяемого внешней приложенной нагрузкой.

5. На основе разработанных алгоритмов решения нелинейных задач создана программа для визуализации форм изгиба тонкого упругого стержня под действием сосредоточенной следящей силы.

6. Рассмотрено перемагничивание двухслойной магнитной системы вращающимся магнитным полем, показано, что процесс перемагничивания аналогичен изгибу стержня следящей силой.

Автор искренне благодарен Охоткину К.Г. и Власову А.Ю. за пристальное внимание к работе и детальное обсуждение результатов, ШкутинуЛ.И., Баранову A.M., Манькову Ю.И. за полезные обсуждения и интерес к работе.

1. Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // ДАН СССР. 1949. Т. 64. № 6. С. 779 782.

2. Захаров Ю.В. Статическая и динамическая потеря устойчивости ферромагнитного слоя при перемагничивании // ДАН. 1995. Т. 344. № 3. С. 328-332.

3. Захаров Ю.В. Статическая и динамическая потеря устойчивости ферромагнитного слоя при перемагничивании. Пороговые поля и частоты магнитного резонанса // Препринт №758Ф. Красноярск: Ин-т физики СО РАН, Ин-т биофизики СО РАН. 1995. С. 40.

4. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г. Нелинейный изгиб тонких упругих стержней //ПМТФ. 2002. Т.43, № 5. С. 124-131.

5. Захаров Ю.В., Захаренко А.А. Динамическая потеря устойчивости в нелинейной задаче о консоли // Вычисл. технол. 1999. Т. 4. № 1. С. 48 54.

6. Захаров Ю.В., Захаренко А.А. Динамическая потеря устойчивости в нелинейной задаче о консоли и оценка риска катастроф / Препринт №780Ф. Красноярск: Ин-т физики СО РАН. - 1997. - 8 с.

7. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума или минимума. М.: ГТТИ, 1934. - 600 с.

8. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. - 576 с.

9. Ляв. А. Математическая теория упругости. М.; Л.: ОНТИ, 1935. - 674 с.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. - 248 с.

11. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Физматгиз, 1959. - 568 с.

12. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука, 1986. -296 с.

13. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. Л. -М.: ОГИЗ, 1948.-170 с.

14. Астапов Н. С. Приближенные формулы для прогибов сжатых гибких стержней // ПМТФ. 1996. Т. 37, № 4. С. 200 203.

15. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев: Наукова думка, 1975. - 704 с.

16. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.-744 с.

17. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1989.

18. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. — Л.: Из-во ЛГУ, 1988. 254 с.

19. Foppl A. Forlesungen tiber technische Mechanik. Bd 5. Die wichtigsten Lehren der hoheren Eiastizitatstheorie. Leipzig: B.G. Teubner, 1907. 391 s.

20. Karman Th. Festigkeitsprobleme in Maschinenbau. Enzyklopadie der Mathematischen Wissenschaften. Bd IV. Mechanik, Teilband 4, Hft 3, Art 27,. Punkt 8. Ebene Platten. Leipzig: B.G. Teubner, 1910. S. 311 385.

21. Heinzerling H. Mathematische Behandlung einiger grundlegender Fragen des. Knicksproblems des geraden Stabes Diss. — 1938. - Karlsruhe: Borna -Leipzig, 1939-P. 64. (KorreferentDr. phil. h. L. Collatz).

22. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). -М.: Физматгиз, 1968. 504 с.

23. Левяков С.В. Формы равновесия и вторичная потеря устойчивости прямого стержня, нагруженного продольной силой // ПМТФ. 2001. Т. 42, №2. С. 153-159.

24. Кузнецов В.В., Левяков С.В. Эластика Эйлерова стержня с защемленными концами // ПМТФ. 2000. Т. 41, № 3. С. 184 186.

25. Кузнецов В.В., Левяков С.В. О вторичной потере устойчивости Эйлерова стержня // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 6. С. 184 185.

26. Кузнецов В.В., Левяков С.В. Многозначные решения пространственных задач нелинейного деформирования тонких криволинейных стержней // ПМТФ. 1998. Т. 39, № 2. С. 141 149.

27. Halphen G.-H. Sur une courbe elastique // Journal de l'ecole polytechnique. Paris, 1884. V. 54. p 183.

28. Halphen G.-H. Traite des fonctions elliptiques. Paris, 1888.

29. Elishakoff, I. Controversy Associated With the So-Called "Follower Forces": Critical Overview / I. Elishkoff // Applied Mechanics Review. 2005. March, Vol.58.-P. 117-142.

30. Шкутин, Л.И. Численный анализ развлетвленных форм изгиба арок ПМТФ. 2001. Т. 42, № 4. С. 155-160.

31. Шкутин, Л.И. Численный анализ развлетвленных форм изгиба стержней ПМТФ. 2001. Т. 42, № 2. С. 141-147.

32. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. -М.: Наука, 1979. 384 с.

33. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. -984 с.

34. Детинко, М.Ф. Следящая нагрузка и устойчивость плоской формы изгиба стержня / М.Ф. Детинко // Механика твердого тела. 2002. №5. - С. 137144.

35. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г. Магнитные колебания в пленке аналогия с механическими колебаниями стержня // Тезисы Байкальской междунар. научно-практ. конф. «Магнитные материалы». - Иркутск: ИркГПУ, 2001. С. 77.

36. Горнаков B.C., Кабанов Ю.П., Никитенко В.И. и др. Хиральность формирующейся спиновой пружины и особенности перемагничивания двухслойной ферромагнитной системы // ЖЭТФ. 2004. Т. 126. Вып. 3(9). С. 691 -703.

37. Захаров Ю.В., Игнатченко В.А. Частоты магнитного резонанса в пленках на антиферромагнитной подложке // ЖЭТФ. 1970. Т. 59. № 3. С. 951 956

38. Zakharov Yu., Ignatchenko V.A. Magnetic resonanse in films on antiferromagnetic substrate // Czech. J. Phys. 1971. V. B21. № 4-5. P. 482 -485.

39. Хрусталев Б.П., Мельник A.C. Низкочастотная область спин-волнового резонанса в тонких металлических слоях с обменной анизотропией // ФММ. 1973. Т 36. № 2. С. 435 436.

40. Саланский Н.М., Ерухимов М.Ш. Физические свойства и применение магнитных пленок. Новосибирск: Наука, Сибирское отд., 1975. - 222 с.

41. Salansky N.M., Khrustalev В.P. Peculiarities of the resonance absorption in the magnetic films magnetized to non-saturated state // Czech. J. Phys. 1971. V B21. № 4—5. P. 419 428.

42. Aharoni A., Frei E.H., Shtrikman S. Theoretical approach to the asymmetrical magnetization curve // J. Appl. Phys. 1959. - V. 30. №12. - P. 1956 - 1961.

43. Goto E., Hayashi N., Miyashita Т., Nakagawa K. Magnetization and switching characteristics of composite thin magnetic films // J. Appl. Phys. 1965. V. 36, №9. P. 2951 -2958.

44. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Физматгиз, 1977. - 408 с.

45. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

46. Справочник по специальным функциям // Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган, М.: Наука,

47. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1968.

48. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. — М.: Физматгиз, 1967.

49. Сикорский Ю.С. Элементы теории эллиптических функций. — М. —Л.: ОНТИ, 1936.

50. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений.-М.: Физматгиз, 1962.

51. Цимринг Ш.Е. Специальные функции и определённые интегралы. Алгоритмы. Программы для микрокалькуляторов: Справочник. М.:

52. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г., Скоробогатов А.Д. Изгиб стержней под действием следящей нагрузки // ПМТФ. 2004. Т. 45, № 5. С. 167-175.

53. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г., Исакова В.В., Скоробогатов А.Д. Задачи нелинейного изгиба стержневых конструкций. // Вестник СибГАУ, — Красноярск: СибГАУ, Вып. 6, 2005, С. 46-51. (раздел 2)

54. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г., Скоробогатов А.Д. Нелинейный изгиб тонкого гибкого стержня следящей силой // Сборник тезисов четырнадцатой зимней школы по механике сплошных сред. — Пермь: Институт механики сплошных сред УрО РАН, 2005. С. 125.

55. Скоробогатов А.Д. Нелинейный изгиб стержней следящей силой — аналогия с перемагничиванием тонкой пленки вращающимся магнитным полем // Тезисы докладов НКСФ-2005 «Физика и Эйнштейн», КГУ, 2005. С. 110.

56. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г., Скоробогатов А.Д. Ферромагнитный слой во вращающемся магнитном поле — аналогия изгиба тонкого гибкого стержня следящей силой // Материалы IX Междунар. научной конф. Решетневские чтения, Красноярск: СибГАУ, 2005, С. 129.

57. Zakharov Yu.V., Okhotkin K.G., Skorobogatov A.D., Isakova V.V. Magnetization reversal of the multilayer magnetic film. // Тезисы докладов Евро-Азиатского симпозиума «Magnetism on a Nanoscale» (EASTMAG-2007). Казань: КГУ, 2007. P. 184.

58. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г., Скоробогатов А.Д. Нелинейный изгиб консоли распределенной нагрузкой // Вестник СибГАУ, Красноярск: СибГАУ, Вып. 4(11), 2006, С. 21-24.

59. Охоткин К.Г., Скоробогатов А.Д. Нелинейные формы изгиба упругой консоли при действии нормальной распределенной нагрузки // Аннотации докладов IX Всеросс. съезда по теоретической и прикладной механике. Т.1.-Н. Новгород: ННГУ, 2006. С. 93.

60. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г., Скоробогатов А.Д. Изгиб упругой консоли под действием нормальной распределенной нагрузки // Сборник статей 15 Зимней школы по механике сплошных сред. Ч. 2. Пермь: ИМСС УрО РАН, 2007. С. 60-61.