Устойчивость прямолинейного упругого стержня при скручивании тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

;------П П ----------------------------------

СЕРГЕЕВ

' о

Александр Диевич

УДК 539.3

устойчивость прямолинейного упругого стержня

при скручивании

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

1995

Работа выполнена на ;кафедре «Механика и процессы управления» Санкт-Петербургского государственного технического университета.

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук, профессор П. А. ЖИЛИН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор П. Е. ТОВСТИК;

кандидат технических наук, доцент В. >Н. НАУМОВ

Ведущая организация — Институт проблем машиноведения РАН.

Защита состоится . . . 1995 г.

в . . часов на заседании специализированного совета К..063.38.20 при Санкт-Петербургском -государственном техническом университете по адресу: 195251, С.-Петербург, Политехническая, ,29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГТУ.

Автореферат разослан 1995 г.

Ученый секретарь специализированного

совета К.063.38.20 кандидат физико-математических наук,

доцент В. Н. НОСОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КАБОТЫ

Актуальность проблемы. работе рассматриваются вопроси, связанные с влиянием скручивания на устойчивость прямолинейного стержня.

Конструктивные особенности бурильных колопи.п'рПомпшпп, корлбелъ-пых силовых установок и многих других устройств позволяют анализировать возникающие в них динамические процессы на основе теории тонких упругих стержней. Наличие предварительной теоретически полученной информации помогает в. выборе инженерных решений при реализации конкрешого проекта. Взаимодействия турбины, бурильного инструмента или гребного пинта с внешней средой ш.път;мот сжатие, изгиб и кручение стержневых - элементов конструкций. Причем деформации кручения, как <1&ижла. ошиззйзуся ОслМ'Лями. Опенку работы тзкой сйстемы в реально* ет и помогает осуществить изучение повеления безынерционного или инерционного прямолинейного стержня с рапичными краевыми условиями. Но не все вопросы, связанные с динамическими изгибно-крутильнымн де(1юр-маинями прямолинейного стержня, к настоящему времени разработаны. Например, ло признаниям В.В.Бологина, Г.Циглера и других специалистов в области устойчивости упругих систем, активно обсуждавших в 50-60-е г.г. так называемый "парадокс Николаи", полной ясности'в объяснении данного явления достичь не удалось. Впоследствии интерес к нему снизился. Однако отсутствие удовлетворительной трактовки ойнаруженнсго ПЛ.Николаи факта порождаетопределенные трудности при создании проецируемых п последнее время установок для бурения "вверх*. Опыта их эксплуатации пекл пег. Поэтому предсказать последствия скручивания упругого основания. изготовленного в пиле длинной юнкоП цилиндрической оболочки, на котором размешается тяжелый активный иородоразрушаюший элемент, весьма затруднительно. В этих условиях сушестпенную помощь в решении инженерных вопросов играет продолжение теоретических исследований влияния скручивания на поведение прямолинейного стержня вблизи того или иного равновесного состояния.

Шаым&пш*^

— выяснение существенности нарушения трансверсапьной изотропии упруг«« и инерционных характеристик стержневой системы; учет сил сопротивления среды при наследовании устойчивости равновесной конфигурации скрученного пдржня:-

— изучение особенностей нзгнбных движений прямолинейного консольного стержня, скручиваемого нсхонссрвативними торцевыми мо-мептымн воздействиями при наличии вязкого сопротивления среды.

-Наущая новизна полученных результатов;

— используется новая техника интегрирования ур .внений теории тонких упругих стержней;

— предложен асимптотический подход к построению уравнений в вариациях для инерционного стержня, находящегося в сопротивляющейся среде, при наличии скручивания стержня торцевыми моментными нагрузками;

— продемонстрирована возможность иных, по сравнению с традиционной, трактовок парадокса Николаи, основанных На учете наличия сил внешнего сопротивления.

Оснопные положения, выносимые на защиту.

1. Моментное воздействие, допускающее построение соотношения, которое можно интерпретировать как наличие в системе потенциала внешних сил, а следовательно, и отнесеиие данного моментиого воздействия к разряду консервативных нагрузок.

2. Решение полной нелинейной статической задачи о скручивании прямолинейного консольного стержня, введенным в рассмотрение консервативным следящим моментом; доказательство единственности построенного решения.

3. Установление наличия "парадокса Николаи" в стержневой системе,

которая относится к разряду консервативных.

4. Результаты экспериментального исследования устойчивости консольного стержня, нагружённого торцевым некоисервативным следящим моментом. ■

5. Асимптотический анализ динамических уравнений в вариациях скру-

ченной внешним моментом инерционной балки Тимошенко, находящейся в сопротивляющейся (шюкой) среде.

6. Построение пяти возможных описаний поведения скрученного торцевым моментом стержня вблизи прямолинейной равновесной конфигурации, обусловленных различными сочетаниями порддков асимптотической зависимости величин торцевого момента и сил рапределенного вязкого сопротивления от отношения характерного размера сечения стержня ко осей длине стержня.

7. Результаты исследования всех возможных (в рамках линейного подхода) особенностей влияния внешнего трения, пропорционального линейным скоростям инерционных элементов стержня, на устойчивость ршиюмсия скрученного стержня.

Практическая и теоретическая ценность.

В работе введено в рассмотрение новое консервативное момснтпое воздействие. а также решена новая для теории стержнем краевая задача. При ее решении интегрирование всех соотношении нелинейной теории тонких счержней выполнено в инвариантной форме. Продемонстрирована возможность интегрирования "в инвариантной форме (без использования записи всех соотношений в компонентах) линейных уравнений изгиба закрученного стержня, обладающего разными изгибными жесткостями в двух направлениях. Показана недостаточность статического исследования устойчивости равновесной конфигурации стержневой системы лаже при наличии у сиг-ем ы потенциала Внешних сил. Отвергнуто одно из предлагаемых в литературе направлении ¡¡опека "парадокса Николаи". Установлено, что с рамках рассмотрения линейной задачи в вариациях наиболее перспективным направлением такого поиска является изучение динамических эффектов, возникающих при взаимодействии скрученного инерционного стержня со средой, в которой он находится. Предложено несколько новых описаний динамического поведения скрученного стержня в вязкой среде, которые при определенных условиях более адекватно, по сравнениюс традиционными моделями, отражают происходящие в системе физические процессы.

Публикации и аиробапия работы. По теме диссертации опубликовано пять научных работ. Результаты работы докладывались в СпбГТУ на кафедре "Теоретическая .механика", в СП61У (руководитель семинара проф.Товстик П.Е.), на I ¡еделс пауки ПГУПСа, на международной конференции по асимптотическим методам в механике, проходившей в Санкт-Петербургском государственном морском университете.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературных источников. Работ игзожена на 130 страницах основного текста. Библиография включает 33 источника.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит анализ существующего на настоящее время состояния исследуемого вопроса. ЕЛ.Николаи, впервые сформулировавший проблему теоретически получающейся неустойчивости прямолинейного консольного стержня, исследовал явление, названное впоследствии "парадоксом Николаи" на основе модели безынерционной балки Бернулли-Эйлера. Методом наложения малых возмущении на конечную деформацию он получил следующее уравнение движения точечной массы, расположенной на свободном торце первоначально прямолинейного, обладающего одинаковыми

-з-

в двух направлениях и п'ибными жесткостями консольного сгсржпя, скрученного следящим моментом

mw » -f(«)»tl|u)i*»', » г - О, И)

где г — орт оси переформированного стержня;« — параметр. характеризующий величину торцевого скручивающего момента. Коэффнннешы е<«) и f(«) зависяг от« таким образом, чю

lim c(«) = const > 0. lin/-"-= const. (2)

- о „.»'•'

Николаи шжз'ил, чю наличие второго слагаемого в правой части tl) является причиной неограниченного роста |\v'J со временем. Само второе слагаемое с неоГ).\о;шмос1ью понижает, если на свободном торне консольного стержня приложен стелящий или мертвый скручивающие моменты. Выяснилось, чю формально скомпенсирован, дестабилизирующий эффект скручивания, в рамках использованной Николаи модели, удастся лишь за счет добавления и правую часть (1) третьего слагаемого, порождаемого какими-ю дополнительными факторами, которых не было и исходной постановке задачи. Треш. Политик. Цмглср анализировали эю явление на более сложных моделях и подтвердили выводы Николаи. В качестве таких неучтенных существенных дополнительных факторов были выдвинуты: 1) необходимость включения в математическое описание систем с неконсервативными нагрузками диссинативных сил; 2) различие между величинами изгибных жесткостсй стержня в перпендикулярных направлениях; 3) возможность стабилизации равновесной конфигурации стержня за счет наличия у реальных систем нагрузок консервативных составляющих, обеспечивающих повышенную устойчивость .консольного стержня.

В отношении последнего аргумента строгих результатов, его обосновывающих, в литературе не предъявлено. Здесь требуется проверка взаимосвязи между наличием свойства консервативности у внешней нагрузки и свойствами устойчивости равновесных конфигураций систем, в которых эта нагрузка действует на предмет выяснения механизма предполагаемого стабилизирующего влияния консервативных воздействий.

Опыт эксплуатации бурильных колон» и турбомашнн, вообще говоря, не подтверждает объяснение "парадокса Николаи" существенностью различия в значениях величин изгибных жесткостсй стержня. Для подобного рода установок о большинстве случаев нарушение трансверсачьной изотропии геометрии конструкции исчезающе маю. a реализуемое в процессе работы скручивание значительно. В тоже время Николаи говорил о десяти-двенадцати процентном расхождении величии жесткостсй для того, чтобы консольный стержень был "практически устойчив".

Наиболее убедительной выглядит гипотеза о существенности учета дис-еннашвны.ч сил при ооьяснении "парадокса Николаи". Следует отметить, однако. чю по пченный и рлГкнах 1 1икол.ш и Болотина характер их влияния на устойчивость скрученного стержня треоует дополнительного обсуждения. Дело и том, что и специально приселенных экспериментальных исследованиях устойчивости прямолинейно!"! равновесной конфигурации консольного стержня. скручиваемою торцевым следящим моментом. был зафиксирован факт повышения устойчивости системы по отношению к внешним возмущениям при увеличении скручивания стержня. Такое повеление стержня не 1;релсы->ыме:с.1 ли одним существующим ц настоящее время описанием чанной задачи.

В перши« главе шша'я « рассчкнрение момси>нос boueiicгене, облала-юшее слелуюшнм свойством: вектор данного момента в любой момент времени совпадаете неподвижным вектором теiпора поворота того сечения стержня, к которому момент приложен. В частности, если" такой момент действует на свободном торне консольного стержня, то закон изменения полной энергии всей системы позволяет получить соотношение

К + U - L 0(1.0 = const. (3)

где К и U — полные кинетическая и внутренняя энергия всей системы, L — неличина торцевого момента. I — длина стержня, t — время. ©(1.;) — угол конечного поворот юрпевого сечения стержня. Соотношение (?) можно трактовать как наличие потенциала внешних сил в системе, включающей внешнее поле. Полому торцевой момент постоянной величины L(t) -- Lm(l.t). гле

I'dO-sO.'.) = пн1Л)'!ЧМ> = m(l,i). Irn I = !, <4>

£(!,l) — тензор попорота торцевого сечения, называется в работе консервативным спедяшим моментом.

Ставится задача о ciai кческом скручивании первоначально прямолинейного, не обладающего естественной закруткой консольного стержня с трансиерсально изотропными учрчтичш свойствами торцевым консерва-пнзным следящим момешом:.

S' = 0, М' + R xN = 0, ( )' = л/лs;

N - У = Р

г * R' - Р-г . !'' -• Р. Ф - - | IP' • Рт1х : (5)

А0 = А|Г г + Л2 (Е -¡.Li< С0 = С|Гг + С2(§ — £ г ) ;

!?<0> - 0. Р(0) " Е, N(1) - 0, МО) « L mil);

ш (I)■ R' а 0 . P(l> -т (!) = m (l)-P(l) - mi!), Iml-l.

Здесь s — материальная (лагранжева) координата сечения стержня, О s s s I ; £ — вектор положения точек стержня в деформированном состоянии; Р — те!пор поворота сечений Стержня в деформированном состоянии, г —единичный вектор, направленный по оси недеформиро ванного стержня; Ц и hl ~ векторы усилий и моментов в сечении стержня с координатой s; г и Ф — векторы деформации растяжения-сдвига и изгиба-кручения упругой линии; До и £о — трансверсально изотропные тензоры упругих модулей стержня с направленной вдоль г осыо изотропии: £ —единичный тензор.

Задача (5) решается в полной нелинейной постановке. Решение строится без перехода к компонентной форме записи всех соотношений. Показывается, что в силу краевых условий деформация растяжения-сдвига отсутствует, пол ому вектор &(s) восстанавливается по предварительно найденному тензору поворота. Тензор поворота сечения стержня £(s) разыскивается в виде композиции двух тензоров поворота, для каждого из которых строится свое уравнение Пуассона. Эти уравнения в совокупности с краевыми условиями позволяют однозначно установить вид каждого из двух тензоров, а следовательно, и вид суммарного поворота каждого сечения стержня.

Одновременно с задачей о консервативном следящем моменте тем же способом решаются еще две задачи, для которых ответы известны. Это задачи о статическом скручивании консольного стержня неконсервативными следящим » мертвым моментами/Избранный путь построения решений является одновременно и доказательством того, что функции

P(s) «• г г(1 - cos^) + Ecos^+ г х Esin — , R(s) = sr (6)

— L.) — L| — V. j "

описывают единственно возможную равновесную конфигурацию консольного стержня при его нагружении всеми тремя видами торцевых моментных воздействий. Различия в характере торцевых моментов должны проявиться при исследовании (6) на устойчивость.

Исследование на устойчивость осуществляется в рамках рассмотрения линейной задачи в вариациях. Стандартная процедура наложения малых динамических возмущений на конечную деформацию прямолинейного консольного стержня (б) дает три системы урав1гсния и краевых условий.

А. Продольные колебания (все три типа моментов — неконсервативный следящий, мертвый и консервативный следящий)

/>Sü А, и", ,u(0,t) = 0, ù'(U) = 0. (7)

здесь р — обгемная плотность материала; S — площадь поперечного сечения стержня; Ai — жесткость стержня на растяжение.

V :■ . ■■ -6- ■•.■"••'"■•"'■

Б. Крутильные колебания (псе три типа моментов)

= С,р0" • Го (°.0 = <>. Ро'(М) = 0, (3)

гле Р>1— полярный момент инерции сечения: С) — жесткость стержня па

кручение.

В. Из( ибно-едвиговые колебания: система уравнений для всех трех индии

МОМСПТОВ

р X ы Д2 + г X •£)' ~ г/0 ч;. = 0;

(">

Г' V - ОгЦ ' - Iг х ¡/ лг I х (№ ' г х , ¿-г « 0. В (9) а - вектор малого поперечного смещения сечения стержня; £ —■ искюр малол> угла яо-сротг сслсппя стгр:::::л; С;.- ттотгг сечешы; къ — жест кооп. стержне ¡:а поперечим!'! ; Сг — л;сст;:ость стержня на изгиб. В систему уравнений (7)-(9) включена сила вязкого трения, причем учтена только ее поперечная составляющая, а до — коэффициент вязкого трения.

Краевые условия для (неконсерватииного) следящего момента

Н(0л) = 0, £(0,0 = 0, »'('.О + гх л(1л) = о, х'(1.0*0. (10) Краевые условия для мертвого момента 2 (0,0 » п . г (0,1) ■= 2, (1,0 + г X г(!,Т) = О , СЛ (1.П - !-Т X V ([.?). (И)

Краевые условия для консервативного следящего моменп нолучакнея через построение неподвижного пе:ггора возмущенного тензора попорота. Осужоеплисчше этоП процедуры лает

>: (0.0 =■ О , )'_ (0,0 0 , ^у (1,0 + г У. v (¡д) = 0 ;

(Г?>

1 , ! ж соэт, , 1.1

С, г' ('.о - 2 ь< IX £ 0.0 V — у 0.0}. »."с;-

Новая для 1тх>р!и!уах>я'1из0стисгержист.1хс11сте>? задача я вариациях (9), (12) набедуется, в статической постановке. Похазыгастся, что условиями сущесгво-вг.нич ей чегририалчюш решения апляются вмиопнетю сетнотений

Тртстог.кл результата (13), как условий возникновения смежных форм рапмппесия в рпггмятриппрмой кпнееппатипной системе невозможна в силу

аншеосшюсти речнгн.'го поди..-!; чслччлг*но|» пя. По <ч • Г>) не дает цщ'Л^СЦ ци+ормц.анн относи;«лы'о гдл-г-м г.ря :.М.м

рЛ^ГОГ'Ср О ПОТСРО уСТЛТИМСП! (6) ¡ЧММ;.;'' :.Ч>;1. ссп''.)-

СОМ'.ДК"!.

Предъявленная ситуация имеет принципиальное значение. Иногда физические соображения позволяют довольно легко иайти какое-то решение нелинейной статической задачи. Однако выяснение вопроса о наличии других статических решений нередко на практике заменяется получением условий существования нетривиальных решений линейной статической задачи в вариациях. Затем сразу следуют выводы относительно возможности бифуркации равновесия в системе и потерн ее устойчивости. Такие обобщения не всегда корректны. Вышеприведенная задача это демонстрирует: бифуркация равновесия отсутствует, но можно указать условия существования нетривиальных решений статической задачи в вариациях. Поэтому, даже несмотря на установление свойства консервативности системы, однозначно ответить на вопрос об устойчивости ее равновесной конфигурации можно только после динамического исследования. Тем более это относится к устойчивости неконсервагивны.х систем.

Вторая глава содержит динамические исследования устойчивости прямолинейной равновесной конфигурации скрученного стержня с трансверсаль-но изотропными упругими свойствами для шести типов скручивания его торцевыми моментными воздействиями. Если не считать чисто технических различий, то применяется традиционный подход: в качестве модели системы используется безынерционная балка Бернулли-Эйлера с расположенным в какой-либо ее точке сосредоточенным инерционным элементом — точечной массой или твердым телом; рассматриваются только поперечные колебания системы. Возмущенное напряженное состояние скрученной упругой линии описывается соотношениями

N=0, М-г •= 0 , М • г = 0 ;

(14)

М " ~ х + = '()'=■ а/

Краевые условия соответствуют: а) скручиванию консольного стержня консервативным следящим моментом, впервые введенным в диссертации; б) скручиванию консольного стержня консервативным моментом, введенным в рассмотрение ЕЛ. Николаи; в) скручиванию пеконсерватив-ным следящим моментом стержня, один торец которого консольно заделан, другой — шарнирно оперт, в случае наличия асимметрии инерционных свойств системы; г) скручивание шариирно опертого стержня некоисервативными следящими моментами; д) скручивание шарнирно опертого стержня мертвыми моментами; е) скручивание шарнирно опертого стержня приложенным на одном торце неконсервативным следящим, на другом — мертвым, моментами.

■ - ■ '

Цель: на основе на:!Д|'нны\ «о всех случаях уравнении движения инерционных элементов проследить связь между свойством koi;серзатиш ioctii системы

и "устойчивостью ее" равновесной' конфигурпшт.'а' таютсвыяснить-возмож-----------

носгьстаГнстза.чи!! равиотччш сгержиеной системы какой-либоко нсериа шпион нагрузкой.

В езучае скручивании консольного стержня торцевым консервативным моментом инерционный элемент системы ~ точечная масса, и он находится на свободном горце с гержня. Кроеные условия для (1таковы

v.- (0) =- 0 . ¡; (0) 0 . uiï (!) - - N (!) :

(15)

. ; : • .. Чк'= ,1, ¡.'¿'¿Kb г ■ . ■■ ; ■!), , а, - г

jl.. -1 Vi

В процессе решения задачи (14), (15) устанавливается, что связь между

w (!) и W (I), т. е. уравнение движения точечной массы, имеет структуру

..С, LI

mw (1) = - -f (K,(rt,«,) w (I) + K4«.«i) ' * «'(I)). " = 7Г (16)

_ . 1 — ' t-2

Структура (16) полностью совпадает со структурой полученного ЕЛ. Николаи уравнения (1). В частности, когда торцевой момент "очень мал" по

величине (т. с «i* " пределы«.:'.» переход в ( Í6) дает

С, IJ - 16 и С,

íü «■ (!) — - ~ (w (Г/ га~г------- £ X w 'J)¡, ИТ,

— I (i - .") <~i

Шлпчне второго слагаемого в правой части (17) говорит о том, что « рассматриваемой консервативной системе ммест места "парадокс Николаи™.

При нагружении ымсолмюго стержня г.кедемным EJ). Николаи гак называемым "иолукзеагельным" моментом, огнесенным г, литературе к рглмду кпмсерватнипыч момектнь« ио лейстпии, соответствующие краевое условия лдл задачи з вариация* отличаются от {35} только последним условием, которое в данной ситуации будет следующим

C.yV) - Lf v in , ПХ>

А

а полученное на его основе уравнение движения точечной массы имеет вид

.. . С2 а I i-eos«, sine 1 „.

m w 1) = - -2 -g - (— + —-) + j j) w (I) . (19)

V 2 la a* a a

S *p!i "очень мхчом" скручиванич последнее уравнение в пределе таково

! !с.дучсиие урпмени» (19) тракту ется как устойчивость равновесной кон-фип рации скрученного стержня при я < .-г. Более подробное рассмотрение

показывает, что с ростом а "качество" устойчивости ухудшается. И, тем более, никак не проявляется стабилизирующий характер консервативного воздействия.

При исследовании устойчивости прямолинейной равновесной конфигурации скрученного шарнирно опертого стержня в случае его нагружения торцевыми следящими моментами уравнение движения размещенной посредине длины стержня точечной массы имеет вид

„„ 5 а

I с 32 a eos— |

mü( » -^-^-<21)

* 1 a sin— (о2 + 8 (1 - eos-)) - 4 cos^ (а - 2 sin-;

a для приложенных на торцах мертвых моментов получаем

с l6a3cosf

-^--*(-). <22)

1 a s¡n-r +16 sin- ~ 4 a eos— 4 4 4

В предельном случае "слабого" скручивания уравнения (21) и (22) ста-опятся нера уравнением

новятся неразличимыми, ибо при а2 « 1 и то и другое аппроксимируется

„I 48 Сг аг 1

^(^-"T-^'-Teo)^- (23>

Равновесная конфигурация в обоих случаях, в соответствии с (21) и (22), устойчива при |а| < 2 я. Метод Эйлера даеттакое ;ке значение критической величины параметра скручивания а.

Если на одном торце шарнира опертого стержня действует иеконсерва-тивный следящий момент, на другом — мертвый, то отличного от нулевого решения соответствующей задачи в вариациях не существует. Уравнение движения точечной массы имеет структуру (16), а при "слабом" скручивании "2

(а << 1) принимает вид

что говорит о наличии в такой системе "парадокса Николаи".

Последняя из шести задач в вариациях, решенных во второй главе, дает возможность увидеть, как в рамках традиционного подхода отражается на устойчивости равновесной конфигурации скрученного стержня асимметрия инерционных свойств системы. Для этого рассматривается движения твердого тела, помещенного на шарнирно закрепленной торец сгсржня. Другой торец стержня консольно заделан. Стержень скручивается ирило-

акмтт-М на шарнирно опертом торне неконссрватнвным следящим моментом. Предполагался, что центр мисс твердого тела совпадает с точкой ________шарнирного онпрапяя стержня. Уравнения, описывающие поведение упруго!': линии, имеют вид (141. Краевые условии (¡юрмулируются следующим----------------

образом:

«(0) = 0, w (1) = 0:

(2,1)

{•¿(1)= ~ Lt Xj;(¡) - М{1), . S ¿»iiii + JíiOi JjÜb

где i¡. Í2 и ]з — орты главных осей ген юра инерции ткердого гела J, причем XI ~ г. При "слабом" сиручивании уравнение движения твердого тела припишет вид

llvu1 ■ г; Hi2 ,

(26)

. Cj Cj

Решение Í26) ограничено по модулю при соблюдении следующего условия для величины скручивающего момента

•в^-^тг"- <27>

Исследования второй пасы:

— не подтвердили имеющиеся в литературе ссылки на sotvoxhocyu стабилизирующего влияния консервативных составляющих внешних :'3!'ру iOK на прямолинейную равновесную конфигурацию скрученного счсржня;

-- показхчк, что само по себе свойство ««консервативности внешних скручивающих воздействии не лежит в основе объяснения "парадокса Николаи";

— установили, что стержневые системы, скручиваемые моментными воз-

.ittiUrriiítMí», г:Сдаль.«)Т cpymyprtoil пегстойчнаостью — слабое парьи-. ¡юияне г\то п?р imciju системы ка»; направление вектора торцевого момента приводит, в рамках традиционного подхода, к существенному изменению качественного характера поведения системы;

— гролемонстрмролгчи. что объяснение отсутствия потери устойчивости асимметрией инерционных (и упругих) свойств системы неубеди-(ельно, таи как для этого на критическую величину скручивающего момента нмадиваются гесьма жес;кие ограничения; тем не менее факты, тесаные из опыта эксплуатации турбомашин и бурильных

-Ü-

установок, говорят о том,что даже когда эти ограничения заведомо нарушены, потери устойчивости в прямолинейной равновесной конфигурации стержня не происходит.

В третьей главе уравнения в вариациях для инерционного стержня исследуются на основе асимптотического подхода. То, к чему такое рассмотрение может привести, проверяется рассмотрением задач об устойчивости равновесной конфигурации консольного стержня скручиваемого либо неконсервативным следящим, либо мертвым торцевыми момеитными воздействиями. За исходные уравнения взята система (9) с краевыми условиями (10) и (11), описывающие изгибно-сдвиговые движения инерционного стержня. Для перехода в (9), (10) и (И) к безразмерному виду вводятся следующие функции и параметры

л к

5 = 5/1, у (£) е» = £ (5,!)/1, £(£)еТ = 5:($,|); ( )' « ■

(28)

, С2 Ц д ¿Б^ . ¿6,1* По\г

""с? й—сГ'

В (28) имеется естественный малый параметр с, пропорциональный отношению диаметра стержня ко всей его длине. Для использования этого факта в исследовании (9) необходимо установить асимптотические порядки зависимости « ог остальных параметров из (28).

Асимптотический порядок собственных чисел X должен быть установлен в процессе решения задачи. Параметры р и д имеют асимптотический порядок 0( 1). При оценке порядков параметров торцевого скручивания (а) и силы распределенного вязкого трения (г;) обращается внимание на следующее: создаваемые торцевым моментом V в сечении стержня касательные напряжения должны иметь порядок 0(1) или О (г-1), I г= 0; при меньших тгр все рассмотрения соотношений в вариациях, связанные с учетом

2 2

членов Ь}; и отбрасыванием величин второго порядка малости I иц физически мало оправданы, хотя формально и допустимы; далее — сила вязкого сопротивления (>го!*сЫ пропорциональна площади эффективного сечения — диаметра стержня, умноженного на элемент длины стержня (1$. Оценивая с этих позиций а и п- получаем

V.

« = ~, •«. -0(1)7.-0(1). (29)

Г [одстановка (28) в (9) с учетом выполненных оценок позволяет получить уравнение для безразмерного вектора поперечного см1чцеиия

Г* v,v -Л,тх у'" - егф).г + tj.x + 6 Лг) V" + г. a. (/U + tj.)Xx х v' +

+ (fit- + '/.)(' ¿¿V-V^O. (30)

. _ Упрощение (30) невозможно, так как существуют такие A -O(l) и такие

решения v(J): |v'| -»"' |v|. Ситуация упрощается, если положить <5 э П. Формально обосновать возможность пренебречь ииерцпей вращения ло-чольпо трудно, но интуитивно она кажется оправданной. Поэтому н качестве разрешающей системы уравнений в работе ,чзятм следующие соотношения

г <v + г х v)' - {Р. ;. t- /;.) ?. v = q :

<3 v" - «. г X I' + г х (V' -I I >'. V) =- О . (31)

Краевые условия для следящего момента имеют вид

vJO) ' 2. z'V""' г •*<>• viii-M A/ii'j^p, C2)

Краевые условия для мертвого момента таковы

1(0) = 0, irCO) = о . z'(l) = 7>tfl). У"(1) + £ xK(i) = о . (33)

Решение (31) ищется в виде асимптотических рядов

v = £emvra, n = ££mi:m. (34)

m-0 m-0 га - 0

у которых основной интерес представляют глазные члены этих разложений.

Чтобы ('СС-тркк учесть возможность зт^!fCEiifr1 асимгтггическнл норвдкт.л параметров вмсшних воздействии, очи также представлены в пиле па). шженпй

'"<» ' X Г"' <1т • '?• С'П Irr. 1 'J5)

н - о it. ' 0

причем отличным от нуля в чяжлом из формалина разложений (35) считаем только главный член. 15 шшеимоети от раличных сочетаний асимпт отических порядков в (35) между параметрами внешних почлейсгвий растепление (31) с помощью (34) даст пять описаний поведения скрученного стержня вблизи равновесного состояния.

I. В слуга г?о 0, "О - О при ряг.шеплении (31) собственные числа рзсиадякпся m диз спскци различны; асимптот «чеишл порядком

' ■■ 'д!='г}дГ+0(е4), Д"**- ^ + + 0(г4). <3ъ>

Уравнения, описывающие собственные функции, отвечающие первому

Уравнения для собственных функций второго спектра таковы "оХо"' ~ Ча*з ío " 0. ío'+lxlo -Q.'

«о .

í'.0"7-£x = v'.0 + t х Л.Обо-

при данном сочетании асимптотических порядков«, и ij. общее решение расщепленной системы уравнений представляет собой сумму медленно меняющихся вдоль $ функций (vo.j: о функции (v»о, z«о-Условие непротиворечивости расщепленной системы уравнений и краевых условий позволяют сформулировал, краевые условия в следующем виде: для неконсервативного следящего момента

i о (0) »0, v'o(0)»0, v"o (1) = О; (39)

для мертвого момента

v0(O)=O. v'0 (0) •» О, v-0(l) = O, v-'.o(l) = -v"0(l). (40) Обращает на себя внимание тот факт, что для построения решения в задаче о следящем моменте достаточно только медленно меняющихся по i функций.

II. Расщепление (31) при «о * 0, j;q = 0,;; i * 0 приводит к наличию двух спектров собственных чисел различных асимптотических порядков

А1 «г14 + 0(г2), Хи~~с ~ + с2Л121 + 0(е}). (41)

Как и в предыдущем случае, каждому спектру здесь отвечает своя система даух уравнений, аналогичных (37) и (38). Для функций первого спектра это уравнения

I а0

для функций второго спектра —

и «о

"оХо"'r*ZobO. í-о - Y-* - •<> " (43)

Краевые условия в задачах о следящем и мертвом моментах имеют, соответственно, вид (39) и (40).

Ш. С случае «о = 0, «i О при расщеплении снова возникают

спектры разных асимптотических порядков

Л1 » е4 + 0(г5). Л" + е4 А" + 0(г5) . (44)

Функции первого спектра описываются соотношениями

vJv-a,rxv0'"+i?0AÍv0 = g, vo' + rXj;0 = O. (15)

Функции [¡Toporo СПСК-фЗ — соотношениями . . ,

-Í4-

vjv-a,r х уд'"-ij0-l"v0 = 0, y„'+ ГХ£0 = 0. (46)

Краевые условия для следящего и мертвого моментов имеют, соответствен________но, вид _____________

vo(0) = 0, v •<>(<)) = О, ï"o С) ®2i ü"'0(l) = 0; (47)

vo(0) = 0, v'ût0) = 0, v-0(l) = «,r X v'0(l), v"'0(l) = -«2v'a(l). (48)

!V. Случайно = 0, «I * 0, ijo = 0, ?л * 0 вполне аналогичен предыдущему с той лишь разницей, что собственные числа обоих спектров имеют другие асимптотические порядки

А1 = с3 А'з + О (г4). А" =■ - с -Д- + с3 аУ + ou:4) . (49)

Функции первого и второго спектра удовлетворят, соответственно, уравнениям

v£v - я, г х V о'" + IJ, A3 v0 = О, vo' + rxj;0 = 0. (50)

ïôV - «il х v о'" ~ 7i Л" v о = 0 . vo'+rX£0 = 0. (51)

Краевые условия для следящего момента имеют вид (47), для мертвого — (48). •

V. Отличный в качественном отношении от всех предыдущих ситуаций результат дает расщепление (31) при его ■= 0, «1 * 0 и i/o - 71 " 0. >72 * О. Здесь оба спектра собственных чисел имеют одинаковый асимптотический порядок

AUI-fl4" + 0(r3). (52)

а отвечающие им функций удовлетворяют уравнениям одинаковой структуры ïo' - «il X v"o + <fi Al'" + V0 = 0. (53)

По сравнению с предыдущими описаниями случай V содержит еще одно отличие: в.уравнение, которому удовлетворяет функция уо, попал параметр ß, в то время как во всех предыдущих системах уравнений инерционные слагаемые отсутствуют. Краевые условия здесь для следящего и мертвого моментов, как и в случаях III и IV, имеют вид (47) и (48).

Описание стержня уравнением (53) полностью совпадает с традишшн -ны.м, краевые задачи дня которого исследовали Л. Трсш и В.В. Болотин, поэтому ссютветствующий анализ в работе опущен. Здесь лишь подчеркнем, что традиционное описание дает не самые "низкочастотные" движения, в 'тем легко убедиться, сравнивая асимптотические порядки собственных чисел я (36), (44), (49) и (52).

При остальных сочетаниях асимптотических порядков и* и //. и описание поведения стержня, получающееся расщеплением (31), по меньшей мере, какой-либо один из параметров внешних возлейомий не попадает.

Для ответа па вопрос об устойчивости прямолинейной равновесной конфигурации скрученного стержня, находящегося в сопротивляющейся среде и описываемого одной из четырех систем уравнений (37) - (38), (42) - (43). (45) - (46) и (50) - (51), необходимо установить структуры собственных чисел первых спектров. Из-за того, что главные члены собственных чисел второго спектра всегда отрицательны, отвечающие им решения всегда затухают с течением времени, и о та говорить не будем. При исследовании краевой задачи (37), (39) показывается.что главная часть собственных чисел первого спектра имеет вил

4 = ■ <54)

где цк удовлетворяют уравнению

с* ¥ + 2 ом—3 - О. (55)

имеющему корнями только дейстшггсльные числа. То же самое справедливо для краевой задачи (37), (40), с той лишь разницей, что в случае мертвого момента на торце консольного стержня аналогом (55) является уравнение

е~ ¥ - 2 - |) = О . (56)

Заменой Д^ - д(ц, 170 ■* 7» в (54) данные результаты можно использовать и при определении структуры главной части собственных чисел в задачах (42), (39) и (42). (40).

Получить точные выражения для главной части собственных чисел первого спектра в краевых задачах (45), (47) и (45), (48) не удается. Приближенные методы для первого собственного числа в каждой из этих задач дают результаты, позволяющие хотя бы качественно оценить интересующую структуру В задаче о следящем моменте для первого собственного числа имеем

I 8,2«? 2 2«} ,

--^"{1- "Г" 36 +""<3- 8Г + Ш"' <57>

"+ 324>'

В задаче о мертвом моменте получаем

, . Та* 2«? - ' ± 21 •

г,0Д4 = - 8 {1 - |80 - "¿а/ - 864о + ( 15 + 45 + 10800 ) 1 Х

16«? а* .

Х<, + ЙГ + •Г80+1М600 ) ■ .;, ш>

С помощью замены >/оД-7|Л (57) и (58) можно распространить на задачи (50), (47) и (50), (48) соответственно.

Исследования третьей главы показали, что

— возможно такое влияние внешних факторов на повеление скрученного стержня вблизи равновесной конфигурации, при котором инерционные свойства самого стержня окатываются несущественными для его -движения:

— при весьма сильном скручивании («. -0(1)> устойчивость прямолинейной равновесной конфигурации консольного стержня с равными изгибными жесткостими, находящегося и сопротивляющейся среде и скрученного следящим или мертым торцевыми моментами, вообще не теряется;

— если исходить из предположения о реализации в стержне напряженного состоят«? с <ww о»«Г»мм ь асимншшчссмш смысле скрутгг-нием (а. -О(г)) и не слишком малом мзком трении (7. O(t) или г/, -0(f)). то состояние неустойчивости равновесной конфигурации скрученного консольного стержня при исчезающе малом, но существующем трении не наступает, что более адекватно отражает известные из опыта результаты, нежели традиционная модель учета сил вязкого сопротивления, предполагающая -0(г ).

Заключение содержит выводы, сопровождающие введение, первую, вторую и третью главы. На их основе можно предположить, что настоят??.-? времени, по-видимому, все возможности объяснения "парадокса Николаи" и рамках рассмотрения линейных уравнений в вариациях исчерпаны. Приходиться констатировать некоторую неудовлетворенность предлагаемым в диссертации решением задачи Николаи. Однако все выполненные в работе-исследования убеждают, что дальнейший прогресс п данном иаправчечни возможен только на нуги апалша нелинейных уравнений.

В Приложении, завершающем работу, продемонстрирована проце;тура инвариантного итерирования уравнений а вариациях дня стержня, обладающего различными изгибными жесткостями в двух направлениях. Данный способ интегрирования уравнений теории тонких стержней яп.ичек'я развитием техники интегрирования, применявшейся в пергой и торой главах диссертационной работы. Эга техника может найти применение при исследованиях повеления естественно закрученных стержней.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Сергеев АД. Исследование особенностей автоколебательных процес-

сов в некоторых бурильных установках с помощью новой механиче-• ской модели.-Рига: РФЛИИЖТа, 1991,-13 с.

2. Сергеев АЛ- Бифуркация равновесия сжатого стержня, скрученного

следящими и мертвыми моментами: - Тр. СПбГТУ. 1993. - N? 446. -С. 193-195.

3. Жилин ПЛ., Сергеев АД. Экспериментальное исследование факта устойчивости консольного стержня: - Тр. СПбГТУ. 1993. - № 446. - С. 174-175.

4. Жилин ПА, Сергеев АД. Кручение консольного стержня консервативным моментом: - Тр. СПбГТУ. - 1994. - N® 448.

5. PAZhilin and АЮ-Sergeev: An Asymptotic Analysis of the Stability of Thin Rod under Twisting Load. Report on the Intern. Conf. on Asimp. in Mech. - StPJState Marine Technical University, 1994.

Подписано к печати 06.01.95 Объем 1.2 п.л.

Печать офсетная. Бумага для множит, aim. Формат 60x84 1 /16 *Гираж 100 око. Заказ

Р ГП ПГУГ1С Санкт-Петербург, ЛЬи конг кий пр.9.