Устойчивость и колебания тонкого скрученного стержня в вязкой среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ГБ ОД

д | V РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ

Па правах рукописи УДК 539.3

Сергеев Александр Лиевич

Устойчивость и колебания тонкого скрученного стержня в вязкой среде

Спгпичльность 01.02.04 — "Механика, деформируемого твердого тела"

Автореферат диссертации па соискапие учёной степени кандидата физико-математических Наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена на кафедре "Теоретическая механика" Петербургского государственного университета путей сообщения

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор П. А. Жилин

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор Петр Евгеньевич Товстик

— кандидат технических наук, старший научный сотрудник Дмитрий Анатольевич Индейцев

Ведущая организация — НПО "Механобр"

Защита состоится " 2Ъ " и* о я 1995 г. в /2 на заседании диссертационного Совета Д.200.17.01 при Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, С.-Петербург, В.О., Большой пр., 61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ ИПМаш РАН

Автореферат разослан " 22 " см/>е*я 1995 г.

Учёный секретарь диссертационного Совета

кандидат химических наук В. П. Г линии

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Тонкие прямолинейные стержни, воспринимающие и передающие крутящий момент, являются конструктивными элементами многих технических устройств,' например, бурильных уста-попок. У некоторых типов бурильных устаповок один торец стержня переменной длины закреплен неподвижно, а на другом торце размещается активный породоразрушающий элемент. Б этом случае стержень играет роль упругою основания, воспринимающего воздействие внешней среди. В других конструкциях на пассивный породоразрушающий элемент, закрепленный на. одном из торцов стержпя, крутящий момент передается посредством самого стержня, второй торец которого вращается двигателем. Во втором случае скорости вращения настолько малы, что и в конструкциях первого типа и в конструкциях второго типа фактически имеет место квазистатическое нагружение стержня крутящим моментом. Это однако не означает, что стержень находится в статическом состоянии. Напротив, при определенных условиях он испытывает достаточно интенсивные низкочастотные колебания. Хотя точных экспериментальных данных о колебаниях этого типа обнаружить в литературе не удалось, есть основания Полагать, что эти колебания не относятся к изученному типу колебаний, а их частоты значительно ниже частот поперечных колебаний стержня. Основными особенностями обсуждаемой задачи пвля-ются'два фактора: а) наличие значительных деформаций кручения и б) наличие вязкой среды, коэффициент вязкости которйй меняется в широких пределах. Теоретический анализ почти сразу приводит к исследованию явления, хорошо известного в литературе под названием "парадокс Николаи." А именно, в 1928 году Е.Л.Николаи установил, что прямолинейная равновесная конфигурация скрученного консольного стержня неустойчива при с;»оль угодно малом крутящем моменте Исследования Е.Л.Николаи относятся к периоду с 1928 по 1936 г. Детальные исследования В.В.Болотина, Г.Циглера, А.Треша, М.Века, проводившиеся с 1950 г. по 1965 г., во многом дополнили и уточнили результаты Николаи, но факт неустойчивости прямолинейной конфигурации консольного стержня при скручивании его сколь угодно малым внешним моментом остается теоретически незыблемым и сейчас. Пародоксальность этого факта в том, что на практике, как отмечают многие исследователи, никто

и никогда теоретически предсказываемой неустойчивости ве наблюдал. Возможные объяснения парадокса Николаи приведены в известной монографии В.В.Болотина "Неконсервативвые задачи теории упругой устойчивости." В последующем интерес к этой проблеме у теоретиков исчез. Во всяком случае, за последние 30 лет, видимо, не появлялось работ, посвященных парадоксу Николаи. Вероятно, это объясняется тем, что теоретически дополнить существующие исследования довольно трудно. Практиков этот вопрос не беспокоил, поскольку в реальности парадокс Николаи не проявлялся, а использовавшиеся методики расчета не приводили к каким-либо серьезным веприятностям. Так было до тех пор, пока не начали проектировать дорогостоящие бурильные установки нового типа, потребовавшие уточненных расчетов из-за отсутствия опыта эксплуатации подобного рода машин. Здесь уже недостаточно словесных объяснений, нужны расчетные формулы, получению которых по существующим методикам препятствует наличие парадокса Николаи.

Поэтому кажется необходимым дать такие, пусть даже и приближенные, постановки задач о колебаниях стержня, скрученного немалыми моментами, в которых парадокс Николаи отсутствует. Именно этому вопросу и посвящена данная диссертация, что определяет актуальность ее темы.

Цель работы. На основе современной нелинейной теории стержней, учитывающей деформацию растяжения'и поперечного сдвига, а также инерцию вращения, исследовать малые колебания скрученного внешним моментом консольного стержня, находящегося в вязкой среде, и описать возможные типы движений, остающиеся финитными при ковечных и относительно больших значениях крутящего момента.'

Научная И практическая ценность. Основные результаты диссертации получены впервые и могут быть использованы при расчетах динамического поведения некоторых типов бурильных установок.

Новые результаты, выносимые на защиту.

1. Новое моментное (консервативное) воздействие, допускающее построение потенциала. На основе полной нелинейной теории стержней найдена равновесная конфигурация первоначально прямолинейного консольного стержня, нагруженного указанным моментом, и доказана ее

единственность. При этом получено простое общее решение возника----------

ющой здесь задачи Дарбу.

2. Показано, что статическая краевая задача в вариациях для консервативного момента имеет спектр собственных значений и, следовательно, допускает нетривиальные решения. Поскольку равновесная конфигурация единственна, точки спектра нельзя трактовать как точки бифуркации равновесия.

3. При не малых крутящих моментах и не малом трении обнаружена возможность появления у г-крученттого стержпя незатухающих сверхниэко-частотпых колебаний, частоты которых пропорциональны (Л2//2), где

и I — диаметр и длина стержня. Для сравнения, частоты обычных поперечных колебаний стержня имеют порядок 0(Н/1). Вычислены частоты и найдены формы сверхнизкочастотных колебаний.

4. При не малых крутящих моментах и асимптотически малом трении также возникают чисто колебательные движения, но их частоты имеют порядок О(А/0-

5. При асимптотически малом скручивании и не малом трении имеют место затухающие поперечные колебания, переходящие в нарастающие при достижении крутящим моментом вполне определенных и весьма больших значений. Однако при этих величинах момента допущение о его асимптотической малости уже сомнительно.

6. При асимптотически малом моменте (обращается в нуль главный член асимптотического разложения) и асимптотически сверхмалом трении ("кули" первые два члена асимптотического разложения коэффициента вязкости), возникает классическое уравнение поперечных движений скрученного стержня. Здесь устойчивость теряется уже при весьма малых значениях крутящего момента, если мало внешнее трение.

К сказанному можно добавить, что был проведен специальный эксперимент, имеющий целью установить возможные проявления парадокса Николаи. В эксперименте не подтвердилось поведение скрученного консольного стержня вблизи прямолинейной равновесной конфигурации, предсказываемое классическими моделями. Бели неустойчивость, от-«рытая Николаи, действительно имеет место, то, очевидно, любые воз-лущения, вносимые в систему при наличии скручивания, затухают го-

раздо медленнее, чем те колебания, которые возбуждаются в свободном ненагружеином стержне. Результаты эксперимента указали на стабилизирующую роль следящего момента: время затухания возмущений при наличии следящего момента оказалось примерно, в 1.5 раза меньше, чем время затухания свободных колебаний. Сравнивая визуально наблюдаемую картину с теоретическими результатами, можно отметить, что ближе всего к эксперименту оказался случай асимптотически малых следящего момента и вязкого трения. К сожалению, мы не располагали необходимым оснащением для точных количественных измерений и поэтому проверяли только качественную сторону явления.

Публикации И апробация работы. По теме диссертации опубликовано пять научных работ. Результаты работы докладывались в СпбГТУ на кафедре "Теоретическая механика", в СПбГУ (руководитель семинара проф. Товстик П.Б.), на Неделе науки ПГУПСа, на международной конференции по асимптотическим методам в механике, проходившей в Санкт-Петербургском государственном морском университете.

Объем И структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературных источников. Работа изложена на 135 страницах основного текста. Библиография включает 33 источника.

Краткое содержание диссертации

Введение содержит анализ существующего на настоящее время состояния исследуемого вопроса. Е. Л. Николаи, впервые сформулировавший проблему теоретически получающейся неустойчивости прямолинейного консольного стержня, исследовал явление, названное впоследствии "парадоксом Николаи" на основе модели безынерционной балки, Бернул-ли-Эйлера. Методом наложения малых возмущений на конечную деформацию он получил следующее уравнение движения точечной массы, расположенной на свободном торце первоначально прямолинейного, обладающего одинаковыми в двух направлениях изгибными жесткостями консольного стержня, скрученного следящим моментом

шй = ^е(а)и) + /(а)тхи), щ-т = 0 (1)

i де т орт оси недеформироващшго стержня; а — параметр. xapavv-— ричующпй величину торцевого скручивающего момента. Коэффициенты <(о) и f(n) зависят <>т '> таким образом, что

linif(ív) = const > 0 , lim—— = const 12)

Л —0 o-n Q

Николаи показал, что наличие второго слагаемого D правой части (1 ) является причиной неограниченного роста |w| со временем. Само в то рое слагаемое с необходимостью возникает, если на свободном торце консольного стержня приложен следящий или мертвый скручивающие моменты. Выяснилось, что формально скомпенсировать дестабилизирующий эффект скручивания, п рамках использованной Николаи модели, удается лишь за счет добавления в правую часть (1) третьего слагаемого, порождаемого какими-то дополнительными факторами, которых не было в исходной постановке задачи. Треш, Болотин, Пиглер анализировали это явление на более сложных моделях и подтвердили выводы Николаи. В качестве таких неучтенных, но существенных дополнительных факторов были выдвинуты: 1) необходимость включения в математическое описание систем с пеконсервативными нагрузками диссипативных сил; 2) различие между величинами изгибных жесткостей стсржпя в перпендикулярных направлениях; 3) возможность стабилизации равновесной конфигурации стержня за счет наличия у реальных систем нагрузок кон сер'вативпых составляющих, обеспечивающих повышенную устойчивость консольного стержня.

В отношении последнего аргумента строгих результатов, его обосновывающих, в литературе не представлено. Практический опыт, вообще говоря, не подтверждает объяснение "парадокса Николаи" существенностью различия в значениях величин изгибных жесткостей стержня. Например, для бурильных установках в большинстве случаев нарушение трансверсальной изотропии геометрии конструкции исчеэающе мало, а реализуемое в процессе работы скручивание значительно. В то же время Николаи говорил о десяти-двенадцати процентном расхождении вели чип жесткостей для того, чтобы консольный стержень был "практически устойчив". Наиболее обоснованной выглядит гипотеза осуЩествениосш учета диссипативных сил при объяснении "парадокса Николаи".

В Первой главе вводится в рассмотрение моментное воздействие, обладающее следующим свойством: вектор данного воздействия п любой

момент времени совпадает с неподвижным вектором тензора поворота того сечения стержня, ж которому он приложен. В частности, если такой момент действует на свободном торце консольного стержня, то закон изменения полной энергии всей системы позволяет получить соотношени

K + U- Ьв{1, t) = const (3)

где К и U — полные кинетическая и внутренняя энергия всей системы, L — величина торцевого момента, I — длина стержня, t — время, в — угол конечного поворота торцевого сечения стержня. Соотношение (3) можно трактовать как наличие потенциала внешних сил в системе, включающей внешнее поле. Поэтому торцевой момент L — Lm{l, t), где

£(/,«)-шМ ~ffl(J, t)■£(i,t) = m(i,t), И = 1 (4)

E(l,t) — тензор поворота торцевого сечения, называется в работе консервативным следящим моментом. <

Ставится задача о статическом скручивании первоначально прямолинейного, не обладающего естественной закруткой консольного стержня с трансверсально изотропными упругими свойствами торцевым консервативным следящим моментом:

s = g-Ex, £ = $*£> g^-HZ-E7)*;

(5)

Ао = Ааг + АгШ-гт), go = CiTx + C2(J?-TT);

R(0) = 0, £(0) = £, tf(/)«ft, М(0 = £ш('); m(l)-B'> о, £(0'm(/) = m(i)-£(0=ffiC), |m| = l

здесь » — материальная (яагранжева) координата сечения стержня, 0 < з < 1; £ — вектор Положения точек стержня в деформированном состоянии; £ — тензор поворота сечений стержня в деформированном'состоянии, т — единичный вектор, направленный по оси недеформироваиного стержня; JV и М — векторы усилий и моментов в сечении стержня с координатой i;j и| — векторы деформации растяжения-сдвагаи изгиба-кручения упругой линии; ф и Со — трансверсально изотропные тензоры упругих модулей стержня с направленной вдоль г осью изотропии; £ — единичный тензор. Задача (5) решается в полной нелинейной постановке. Решение строится без перехода к компонентной форме записи всех

соотношений. Показывается, что в силу краевых условий деформации

_______растяжения-сдвига"отсутствует, поэтому вектор ¿?(«) восстанавливает' «

по предварительно найденпому тензору поворота. Тензор поворота к-кущего сечения стержня Р(«) разыскивается в виде композиции двух тек зоров поворота, для каждого из которых строится свое уравнение Пуас сопа. Эти уравнения в совокупности с краевыми условиями позволяют одвозц&чпо установить вид каждого из двух тензоров, а следовательно, и вид суммарного тензора поворота каждого сечепия стержня.

Одновременно с задачей о консервативном следящем моменте тем же способом решаются еще две задачи, для которых ответы известны. Это задачи о статическом скручивании консольного стержня пеконссрватив-тплмн следящим и мертвым моментами. Избранный путь построения решений является одновременно и доказательством того, что функции •

— С) — С1 — С-1

описывают единственно возможную равновесную конфигурацию консольного .стержня при его вагружении всеми тремя видами торцевых момент-ных воздействий. Различия в характере торцевых моментов должны проявиться при исследовании (6) на устойчивость. Исследование па устойчивость осуществляется в рамках рассмотрения линейной задачи в на риациях. Стандартная процедура наложения малых динамических Воз мутцений на конечную деформацию прямолинейного консольного стержня дает три системы уравнений и краевых условий, отвечающих продоль ним, крутильным и изгибно-сдвигозьш поперечным движениям упругой линии. Исследуемые в диссертации вопросы касаются только изгкбно сдвиговых движений, которые описываются уравнениями

рБй = Аг(ш' + Ххт)' _ Чс!М, =

~ (7)

Р &22 = С27" - ЬгхУ + Л2тх(ш' + ТХ^) , 2'Т = О

здесь — вектор малого поперечного смещения сечения стержня; 7 - -вектор малого угла поворота Сечения стержня; 0г — момент инерции <<• чеяия; А2 — жёсткость стержня на поперечный сдвт-;. Сг — жесткое п. стержня па изгиб, 53 систему уравнений (7) включена сила вязкого трения, причем учтена только ее поперечная составляющая, а — коэффициент вязкого трения.

Краевые условия для (некоясервативного) следящего момента

«(0,0 = й. л(0.<) = 0, «>'('.*)+1*2('> 0 = 0< 2'(М = 0 (я)

Краевые условия для мертвого момента

«2(0,<)=0, 2(0,0 =0, ш'(М) + гХ2(М)=й, С37'('.') = ЬХХ7(',') (9)

Краевые условия для консервативного следящего момента получаю! я через построение неподвижного вектора возмущенного тензора поворота. Осуществление атой процедуры дает

= 7(0,0 = 0, «!'(М) + хх2(М)-!1

С,2'(М) - ^(МН^зМ), «, = £ (10)

Новая для теории устойчивости стержневых систем задача в вариациях (7), (10) исследуется в статической постановке. Показывается, что условиями существования ее нетривиального решения являются выполнение соотношений

£" = 1 - Т' п3*1'2---- О1)

Трактовка результата (11), как условий возникновения смежных форм равновесия в рассматриваемой консервативной системе, невозможна в силу единственности решения полной нелинейной задачи. Иногда физические соображения позволяют довольно легко найти какое-то решение нелинейной статической задачи. Однако выяснение вопроса о наличии других статических решений нередко на практике заменяется получением условий существования нетривиальных решений линейной статической задачи в вариациях. Затем следуют выводы относительно возможности бифуркации равновесия в системе и потери ее устойчивости. Выше приведенная задача демонстрирует: бифуркация равновесия отсутствует, но можно указать условия существования нетривиальных решений статической задачи в вариациях. Поэтому, даже несмотря на установление свойства консервативности системы, однозначно ответить на вопрос об устойчивости ее равновесной конфигурации можно только после-динамического исследования.

Вторая глава носит вспомогательный характер. Здесь, на основе классических математических моделей, проводятся исследования устойчивости динамическим методом и выявляются качественные особенности поведения скрученного внешним моментом стержня. Если классические Модели адекватно отражают основные черты поведения скрученного

стержня, то это должно найти отражение в эксперименте по скручива*----------

цию прямолинейного консольного стержня неконсервативпым следящим моментом. Идея проведенного нами эксперимента проста: сравнить время затухания свободных колебаний консольного стержпя и время затухания колебаний того же стержня, но нагруженного на свободном торце следящим моментом. Если неустойчивость, открытая Николаи, имеет место, то, очевидно, во втором случае время затухания должно превышать время затухания свободных колебаний.

Предварительному теоретическому анализу были подвергнуты несколь ко типов скручивания прямолинейного стержня моментными воздействиями. Не считая чисто технических различий, применяется традиционный подход: в качестве модели системы используется безынерционная балка Вернулли-Эйлера с расположенным в какой-либо ее точке сосредоточенным инерционным элементом — точечной массой или твердым телом; рассматриваются только поперечные колебания системы. Возмущенное напряженное состояние скрученной упругой линии описывается соотношениями

¿V' = 0, М' + тх# = О, Е-Х-О, 0;

- х -- (12)

М = СгУ — Ьгх.у, ' «/ + гх2 = 0, ' ( У = 8/9*

Краевые условия соответствуют: а) скручиванию консольного стержня "консервативным" моментом, введенными рассмотрение Е.Л.Николаи, б) скручиванию иеконсервативным следящим моментом стержня, один торец которого консольно заделан, другой — шарнирно оперт, в случае наличия асимметрии инерционных свойств системы; в) скручивн ние шарнирно опертого стержпя пеконеервативными следящими момен тами; г) скручивание шарнирно опертого стержня мертвыми моментами: д) скручивание шарнирно опертого стержня приложенным на одном тор це неконсервативным следящим, на другом — мертвым моментами.

Последняя из шести задач в вариациях, решенных во второй главе, дает возможность увидеть, как в рамках традиционного подхода отражается на устойчивости равновесной конфигурации скрученного стер* ця асимметрия инерционных свойств системы. Для этого рассматривается движения твердого тела, помещенного на шарнирно закрепленной торец стержня. Другой торец стержня заделан. С-ержеиь скручивается приложенным на шарнирно опертом торце неконсервативным глрчящич моментом. Предполагается, что центр масс твердого тела совпадает ! точкой шарнирного опирания стержня. Уравнения, описывающие повг

дение упругой линии, имеют вид (12). Краевые условия формулируются следующим образом:

й(0)«Л, 7(0) = 0, и(0 = 0;

' ¿-¿(О = -1гх7(0 -МО. 1 = Зфп + Щф + ,

где ¿ъ в ¿1 — орты главных осей тензора инерции твердого тела ¿, причем ¿1 == т. При "слабом" скручивании уравнение движения твердого тела принимает вид

*»> - "4 С1" - | (» + ^)ГЧг*2(1» ;

, (.] Су . , , с* . .

!! +

Решение (14) ограничено по модулю при соблюдении следующего условия для величины скручивающего момента

. <"»

Получение, например, уравнения (14) с учетом соотношения (15), показывает, что в классических моделях, с ростом величины скручивающего момента (параметр о), ухудшается, так сказать, "качество" устойчивости.

Здесь мы обратились к результатам специально проведенных экспериментальных исследований, которые, наоборот, указали на стабилизирующую роль скручивающего следящего момента. Время затухания возмущений при наличии следящего момента оказалось примерно в 1.5 раза меньше времени затухания свободных колебаний системы для такой же начальной амплитуды возмущения. Такое поведение скрученного стержня не предсказывается ни одним из известных из литературы описаний данной задачи.

Третья Глава диссертации посвящена поиску таких описаний поведения скрученного стержая в вязкой среде, которые, с одной стороны, адскв&тао отражали бы реальную картину явления, а с другой — были бы свободны от возникновения парадокса Николаи.

В третьей глазе уравнения в вариациях для инерционного стержня исследуются на основе асимптотического подхода. То, к чему такое рассмотрение может привести, проверяется рассмотрением задач об устойчивости равновесной конфигурации консольного стержня скручиваемого

~ либо иеконсервативным следящим,~ либо мертвым торцевыми ыомептшл ми воздействиями. За исходные уравнения взята система (7) с краевыми условиями (8) и (9), описывающие изгибцо-сдвгговые движения инерционного стержня. Для перехода в (7), (8) и (9) к безразмерному виду вводятся следующие функции и параметры

£ = 1щ(в,()/1, 2(()е$ = 2(в,1); ( У = ;

-г _ Ъ л- ^ 6 - п - <16)

" ~ А3Р' С,' Р ~ А, ' С2 ' Л%

В (16) пиеется естественный малый параметр — г, пропорциональный отношению диаметра стержня ко всей его длине. Для использования этого факта в исследовании системы (7) необходимо установить асимптотические порядки зависимости от е остальных параметров из (1и).

Асимптотический порядок собственных чисел Л должен быть установлен в процессе решения задачи. Параметры /3 и 6 имеют асимптотиче ский порядок 0(1). При оценке порядков параметров торцевого скручивания («) и силы распределенного вязкого трения г] обращается внимание на следующее: создаваемые торцевым моментом Ь в сечении стержня касательные напряжения тг.р должны иметь порядок 0(1) или О^-'), < > 0; при меньших т,р все рассмотрения соотношений в вариациях, связанные с учетом членов Ь-у и отбрасыванием величин второго порядка мало< ти ш2 и у'2 физически мало оправданы, хотя формально и допустимы; далее — сила вязкого сопротивления (г)сМа) пропорциональна площади эффективного сечения — диаметра стержня, умноженного на элемент длины стержня с1з. Оценивая с этих позиций а и I/, получаем

а=у, 4 = ^, а,~0( 1), г/, ~0(1) (17)

Подстановка (16) в (7) с учетом выполненных оценок позволяет получить уравнение для безразмерного вектора поперечного смещения

еу" - еъа,тхр'" - £?(/Дг + г/.А + 5А V + еа.(/ЗА +

(18)

-И/ЗА + г,,)(1 + а2)А,/= о.

Упрощение (18) возможно, если положить 6 г 0. Формально обосновать возможность пренебречь инерцией вращения довольно трудно, но интуитивно она кажется оправданной. Поэтому а качестве разрешающей системы уравнений в работе взяты следующие соотношения

+ + = е22"-«>.гх241х(^ + 1х2) (19)

Краевые условия для следящего момента имеют вид

«(О)-Л, 2(0) = а, У(1) = й, 1!'(1) + 1Х2(1) = й (2°) Краевые условия для мертвого момента таковы

и(0)«а, 2(°)-й. 2,(1) = Т1Х^' ^'(1) +1X2(1) = й (21)

Гешепие (19) ищется в виде асимптотических рядов

ОО О0 00

А-Ее"*». . г = 2=Е*т2га. (22)

т=0 т=0 т=О

у которых основной интерес представляют главные члены этих разложений. Чтобы все-таки учесть возможность изменения асимптотических порядков параметров внешних воздействий, они также представлены в виде разложений

СО 00

а. = Е етат, Ч.= Е £тЧт, (23)

т-0 т=0

причем отличным от нуля в каждом из формальных разложений (23) считаем только главный член. В зависимости от различных сочетаний асимптотических порядков в (23) между параметрами внешних воздействий расщепление (19) с помощью (22) дает пять описаний поведения скрученного стержня вблизи равновесного состояния.

I. В случае оо ф 0, щ ф 0 при расщеплении (19) собственные числа распадаются на два спектра различных асимптотических порядков

А1 •= г3 Аз + 0(е4), А" =-^ + е3А', + 0(е4) (24)

Уравнения, описывающие собственны е функции, отвечающие первому спектру, имеют вид

£»о!'о + %Аа1Х1!о = й> ■ Но + 1*2п т

(25)

Уравнения для собственных функций второго спектра таковы

аох'о - щ>#гХ2а = й. 1Х2„ = В.

£'.о - 71X1»,о » а, + 1X2^ = а (26)

и

_________При данном сочетании асимптотических порядкоп а, и г/, общее решение расщепленной систем!; уравнений представляет собой сумму медленно меняющихся вдоль £ функций (и^ 20)> и быстро меняющихся по £ функций (г,0, 7,0)- Условие непротиворечивости расщепленной системы уравнений и краевых условий позволяют сформулировать краевые условия п следующем виде;

для неконсервативного следящего момента

«о(0)=й, 1'о(0)=0, 12(1) «й; (27)

для мертвого момента

«о(0)=0, ' 1-'0(0)=О, г'о(1)=0, Л(1) =-«2(1) (28)

Обращает на себя внимание тот факт, что для построения решения в задаче о следящем моменте достаточно только медленно меняющихся по £ функций. Для ответа на вопрос об устойчивости прямолинейной равновесной конфигурации скрученного стержня, находящегося в сопротивляющейся среде, необходимо установить структуры собственных чисел первых спектров. Из-за того, что главные члены собственных чисел второго спектра всегда отрицательны, отвечающие им решения всегда затухают с течением времени, и о них говорить не будем. При исследовании краевой задачи (25), (27) показывается, что главная часть собственных чисел первого спектра имеет вид

^ = -.22,2, г = (29)

Ча

где Чк удовлетворяют уравнению

+ 2 сое = 0, (30)

имеющему корнями только действительные числа. То же самое справедливо для краевой задачи (25), (28), с той лишь разницей, что в случае мертвого момента на торце консольного стержня аналогом (30) является

уравнение

.-»-,„(41-1). о (а,)

Устойчивость стержня в этой модели вообще не теряется.

II. Расщепление (19) при «о 7= 0, '/о = 0, щ ф 0 приводит к наличию двух спектров собственных чисел различных асимптотических порядков

А'^А'+ОИ, А'^-е^ + е^У + ОИ (32)

Как и в предыдущем случае, каждому спектру здесь отвечает своя система двух уравнений, аналогичных (25) и (26). Для функций первого спектра это уравнения

щу'1' ■+ n\>\TXvü = 0, ¿0 - 7 Гх2-'.о = ÍL (33)

для функций второго спектра —

«oü?-m4'rxj;0 = 0, v'.o-^rxjz,0 = 0 (34)

Краевые условия в задачах о следящем и мертвом моментах имеют, соответственно, вид (27) и (28). Заменой Ajt —* А^. в (29) выводы здесь можпо получить используя рассмотрение случая 1.

III. В случае о0 — 0, ai ф О, i/o ф 0 при расщеплении снова возникают спектры разных асимптотических порядков

A1 s= t4 A4 + 0(с5), Ап = -| + £4А»+0(е9) (35)

Функции первого спектра описываются соотношениями

dV - a¡TXv'¿' + TjoA^o = й, üi + rx20=O (36)

Функции второго спектра — соотношениями!

UÍV - ailXüíT - Vo*"üo = 0, So + тхуд = 0 (37)

Краевые условия для следящего и мертвого моментов имеют, соответственно, вид

Ü>(0) = ü. SU 0) = Ü, 1Й(1)-Л, 1!?(1)«й; (38) й(0) = íi, з/0(0) = 0, 1^(1) = airx^(l), ]ff(l) = -a?¿(l) (39)

Получить точные выражения для главной части собственных чисел первого спектра в краевых задачах (36), (38) и (36), (39) пе удается. Приближенные методы для первого собственного числа в каждой из этих задач дают результаты, позволяющие хотя бы качественно оценить интересующую структуру А}. В задаче о следящем моменте для первого собственного числа имеем

х! 8 (л 2a? öi • ' 2a? al Л

^"TH^Vl"V-3Í + ,a'(5-8T^2¿)j <40)

Б задаче о мертвом моменте получаем похожее выражение- Из (40) видно, что при исчезающе малом, но существующем трении устойчивость равновесной конфигурации не теряется, т. к. Re А\ < 0.

IV. Случай »о =0, «[ ф 0, щ = 0, гц ф 0 вполне аналогичен предыдущему с той лишь разницей, что собственные числа обоих спектров имеют другие асимптотические порядки

А1 = е3Аз + 0(£4), А" = -е ^ + £3ЛУ + 0(е4) (41)

Функции первого и второго спектра удовлетворят, соответственно, уравнениям

Ь'Г - "HXiiï' + Vi^U'o - a, ü'o + ГХТ0 = 0 (42)

v'oV ~ <*\m'ö ~ >>АЗ!!О = Q, i'i + rxlo = 0 (43)

Краевые условия для следящего момента имеют вид (38), для мертвого — (39). С помощью замены »J0A4 (40) можно распространить на задачу (42), (38).

V. Отличный в качественном отношении от всех предыдущих ситуаций результат дает расщепление (19) при щ = 0, ai ф 0 и »je = >7i = 0, ffr ф 0. Здесь оба спектра собственных чисел имеют одинаковый асимптотический порядок

А1'" = е2А£" + 0(е3), (44)

а отвечающие им функции удовлетворяют уравнениям одинаковой структуры

slV ~ "HXü'o" + О**»" + Va)A2Hïo = 0 (45)

По сравнению с предыдущими описаниями в случае V в уравнение, которому удовлетворяет функция и0, попал параметр ß, в то время как во всех предыдущих системах уравнений инерционные слагаемые отсутствуют. Краевые условия здесь для следящего и мертвого моментов, как и в случаях III и IV, имеют вид (38) и (39).

Описание стержня уравнением (45) полностью совпадает с традиционным, краевые задачи для которого исследовали А.Трсш и В.В.Болотин, поэтому соответствующий анализ в работе опущен. Здесь лишь подчеркнем, что традиционное описание дает не самые ' низкочастотные" движения, в чем легко убедиться, сравнивая асимптотические порядки собственных чисел в (24), (35), (41) и (44).

IT

При остальных сочетаниях асимптотических порядков а, и *}. в описание поведения стержня, получающееся расщеплением (19), по меньшей мере, какой-либо один из параметров внешних воздействий не попадает.

Заключение содержит выводы, сопровождающие введение, первую, вторую и третью главы.

В приложении I предложена процедура инвариантного интегрирования уравнений в вариациях для стержня, обладающего различными изгибными жесткостями в двух направлениях. Данный способ интегрирования уравнений теории тонких стержней является развитием техники интегрирования, применявшейся в первой и второй главах диссертационной работы. Эта техника может найти применение при исследованиях поведения естественно закрученных стержней.

Приложение II содержит описание эксперимента по скручиванию прямолинейного консольного стержня неконсервативным следящим моментом.

Основные результаты опубликованы в работах

1. Cepzf.ee А. Д. Исследование особенностей автоколебательных процессов в некоторых бурильных установках с помощью новой механической модели. - Рига: РфЛИИЖТа, 1991. - 13 с.

2. Сергеев А.Д. Бифуркация равновесия сжатого стержня, скрученного следящими и мертвыми моментами: - Тр. СПбГТУ,- 1993, - Н 446. -С.193-195.

3. Жилин П.А., Сергеев А.Д. Экспериментальное исследование факта устойчивости коасольного стержня: - Тр. СПбГТУ. -1993. - Н 446. - С.174-175.

4. Жилим U.A., Сергеев А.Д. Кручение консольного стержня консервативным моментом: - Тр. СПбГТУ. - 1994. - Н 448.

5. P.A.ZhiKn and A.D.Sergeev. Au Asymptotic Analysis of the Stability of Thin Rod under Twisting Lord. Report on the Intern. Conf. on Asimp. in Mech. -St. P. State Marine Technical University, 1994.