Устойчивость и случайные колебания сжато-скрученных прямолинейных стержней, взаимодействующих с потоком жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

_ _ Государственный комитет Российской федерации

I | О ОД по высшему образованию

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ У ') УНИВЕРСИТЕТ

" " ИМЕНИ Н. Э. БАУМАНА

На правах рукописи

Резазаде-Лалалу Гадер

УДК :531.22.8

УСТОЙЧИВОСТЬ И СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СЖАТО-СКРУЧЕННЫХ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ПОТОКОМ ЖИДКОСТИ

01.02.06 - Динамика и прочность машин, приборов н аппаратуры.

Автореферат диссертации на соискание ученной степени кандидата технических наук

Москва 1997г.

Работа Выполнена. в Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана.

Научный руководитель

Официальные оппоненты

- д. т. н., профессор Светлпцкпй В .Л.

- д. т. н., профессор Алфутов Н. А.

МГТУ им. Н. Э. Баумана

- д. т. н., ст. науч. сотр. Темнс Ю. М. Ц11АМ. им. Баранова

Ведущая организация

ГосМКБ "Вымпел"

Защита состоится " 19 " нюдя 1997г. в 14 И час. на заседании Диссертационного Совета Д.053.15.08 при Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана по адресу: 107605, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5.

С диссертацией можно ознажомшъся в библиотеке МГТУ имени Н.Э. Баумана.

Ученый секретарь Диссертационного Совета. г,

к.т.н., доцент ??Дубннпя

/

Типография МГТУ им. Н. Э. Баумана

Згиад № 112 „ тираж 100 вкз. подписан к печати «бьем1,0 п.л.

Общая характеристика работы

Актуальность темы Стержневые элементы имеют очень широкие гри;-.:еис5'иг в аггпхззосгроснсе и приборостроение. Оаи попользуются о буровых гсгалозкая (штанги), в медицине (кгигпйтнс-стрикцЕОЯке шиты), в качестве упругих, шемептсв приборов. Работоспособность магшш п конструкций, а также точность юказаяий врпборез, использующих упругие стержневые элементы е большой ггепсЕи зависят от точности расчета упругих элементов с учетои реальных условий IX работы ¡а мсхалачесвснх свойств. Одной из воззгоашых причин потери заботссиссобаостк конструкций, содержащих сгсржпевке упругие элементы, гвлгетея статическая и динамическая потеря устойчивости стержней пра действии ^стсркшшреггиных нагрузок. Несмотря на большое число публикаций, юсзящ;ЕХзьа устойчивости прямолинеяпых стержней, многие прикладные з-адачк, в ггсгпсотд, задача, когда сгато-скручепныЗ сторжспъ ззаянодейстзует о погожем кедкогти (с гвутреззгзве а ЗЕешпим), прячем стержень в сбпзрм случая мок«' хилеть >агсгыг изгзбшгг зжсткоегк, псследозапы недостаточно, хота спи зкегст большое хршекадо'ое зкачепке. Еще мепкпг последовали задачи, тгпссяздееса к гтЕГЕсгической дннаыкке стернпгй, когда ггрз работе (бурение, свергенне) стержень •агругсгетсг случайеымя евнмп, "то пряяеднть к случайным колебаниям стержпя с «зрерызпми захотмякем невреадвннй. Так как ззбавипла л случайных ссэтсоеией вгзазквжго, то необходимо режимы рабспг назначать гахимн, -чтобы »кгЕЬГЕгп» отрэдатгльксе влпгшзе случайных кслебгзнй на прочность. Для этого ¡ада акта сггхЕсигсггхог шлржкигао- деформированное состояние я насколько то огагачастея от предельного критического состояния. Так клк шзтсеслэеосгь лучайпкх катабаипа гаяпсяг от того, насколько действующие за стержень езкы мппгз зс крзтячегкнм. Поэтому аренде чек зсследоаать колебания стержня, ясэхсдако веаядокать устойчивость стержня при заданных сила» с езредеяезвгем :рпгнчесззЕЕ; г.пач;п2Й нагрузок. На кркгаческос ссстояпяг прггмозпшейнсго стержня бур, скерлс) здаает'внутряшнй потоп задхосги, что требуется учитывать пря 1£счсгах (рко. I). Кроне того, крктггееездг катрузхи зазкеят ог докрнтяческого ипр^езЕо-дефоркарсванпсго состошкя стергсяя.

Дело в то?.*, что при лсследсэапгш устойчивости не учитывается начальное (до геггерп устойчивости) кручежс с: срамя. Обичко принимаемое допущ;нпг, что грученкем стсржал кожно пренебречь, раьлоенльпо усяомпс, что круттзгьЕая кйсткссть стержня равна бесконечности. В то время как крутальпая ггггтхссгъ »сального стсряевя одного порядка с пзгабпшш жестокостями.

Рег:акш работе упруго. стержневых аяеиезгоэ должны быть тахимз, чтобы :р:: совместном действии сил, крутящего момента а потока жядкостп, их «теговые ;п.ачгпяя ас совпадали с критическими значениями. Дяя этого падо знагь сратэтесксе значение сил, моментов, и параметров потоха ж скостк с высокой ргезгеньге точности, что требует более глубокого понимания фгсшхи, белее точных. ртекатпческих моделей п эффективных численных методоз решелия.

Цель диссертации,-

1) разработка теории и численных методов исследования статической динамической устойчивости сжато-скрученных прямолинейных стержней с учете внутреннего и внешнего потока жидкости и начального скручивания;

2) разработка методов численного определения критических нагрузок параметров потоков жидкости для стержней, имеющих локальные шарнирные опор или упругие связи;

3) определение напряженно-деформированного состояния сжато-скрученно] прямолинейного стержня при случайных колебаниях, вызванных случайны! изгибающими моментами, появляющимися из-за смещения линии действ! сжимающей силы и изменения направления вектора скручивающего момента.

Метод ксследокакпя: Для реализации поставленной цели потребовало* вывести нелинейные уравнения движение, уравнения равновесия после ноте! устойчивости и уравнения малых колебании сжато-скрученных стержней с учете внутреннего и внешпего потока жидкости. Разработать прикладные программы да определения критических значений Нагрузок и параметров жидкости. Раэработа-программы для определения комплексных собственных значений и собсгвеннь векторов а так же разработать метод определения комплексных собсгвеннь значений приближенным методом с использованием .принципа возможпь перемещений. Разработать численные методы исследования случайпь сгагдаонарных колебании сжато-скрученных стержней с учетом взаимодейств! стержня с потоком жидкости ц локальных связей.

Научная коеииа результатов полученных в диссертации заключается следующем:

-впервые рассмотрены задачи статической п динамической устойчивое] сжато-скрученных стержней с учетом потока жидкости и начального скручивания;

- изложен приближенный численный метод решения системы уравнеш малых колебаний в частных производных, что позволяет получать решения да прострапсгвепно-кривалипеапых стержней;

-рассмотрены случайные поперечные колебания сжато-скрученно! прямолинейного стержня, вызванные сосредоточенной сжимающей силой ( случайным смещением яшши действия и случайным по паправленп сосредоточенным крутящим Моментом;

-приведен алгоритм определения случайного наяряженно-деформировенно! . состояния с'сржпи при стационарных калебаликх с учетом потока жидкости начального скручивания.

Практическая ценность результатов заключается в следующем:

- в разработке программ, которые дают возможность при проектирован! получшь точаые численные значения критических нагрузок п зависимости ■

онструктивных параметров, условий закрепления ( в той числе и при наличии окальных. связей) п от параметров потока жидкости (скорости и давления);

-в изложенном катоде численного решения уравнения малых колебаний ив ребующем сведепия системы к меньшему чпелу уравнений, который существенно прощает решение, когда коэффициенты входящие в уран нети зависят от осевой оордипат, что имеет место когда рассматриваются колебания с-иосительпо »груженного состояния, а так же когда стсржпн имеют переменное смещения;

-в разработке алгоритма я программы численного определения напрякенно-;ефсрмировалпого состояния при случайных стационарных нагрузках, что газвояяет при проектировании оценить уровень дополнительных случайных галрлжелий и учесть их при расчете на прочность и надежность.

Бподрепве: Результаты полученные з диссертации используются в учебном гроцссм з еяециаяышх дисциплинах ; устойчивость механических систем; торшг :олебапнй систем с распределенными параметрам; статистическая механика..

Аггробацкя работы: Основные результаты работы обсуждались на научной «минаре на кафедре "Прикладная механика" (FK-5) МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Публикации: По теме дпссертадии опубликована статья в журнале MIT № I; 1997; вторая статья принята к печатп в журнале " Вестник МГТУ" (серия 'Машиностроение").

Структура п объем работы: Диссертация состоит нз введения, четырех •лав, зазопочеппя, списка лигературы и приложений, которые изложены на 163 ггранпцал компьютерного (Times New Romans Cyr í 4pt) текста, включая рисунков

Введеипе. В введение дается обзор литературы а формулируется основные идачн. Дастся краткее содержание глав,

В яеряой глаза диссертации приводится вывод общих нелинейных гравненнй движения стержня, которые s последующих главах используются дак зывода ургзягняй рззпегеезя к уравнений малых колебаний сжато-скрученпого tost. ' о линейного степжшг ios с. 2 аЙ1

КРАТКОЕ СОДЕР7КА1ШЕ РАБОТЫ

Приведенные к безразмерной форме записи уравнения движения стержня имеют вид

«3.

+riS-

ft»

+ y«., -^.-G^M, +ewQj -T, =0,

(1)

М( = А,(пХхгХ,Н. i^-X,+4*^=0,

P = q + ¿P<¡>б(S-Sl). T = ц +J^T'^s-s,) , 1-1 и

т,(0) '

где Т) - безразмерная координата, т - безразмерное время, у, • проекции вектора скорости перемещений, щ - проекции угловой скорости элемента стержня, Од -углы поворота осей относительно их статического состояния, О) и - соответственно проекции векторов внутренней силы и момента, <] - вектор внешних распределенных сия действующих па стержень; ц - вектор внешних распределенных моментов; РЯ> -вектора сосредоточенных сил; ТШ - вектора сосредоточенных моментов, Дэд -проекции сектора кривизн, • проекции вектора кривизн в состоящей равновесия, Ац - диагональная матрица глазных ггссгокостей (Ли=С^ - жесткость стержня на кручение, а Ап=Ыг . А«=Шз - штабные жесткости стержня), 3$ - физические ыом^'лты инерции элемента стержня, длина, которого равна единице, то - касса единицы длины стержня, у"'; у"*-коэффициенты вязкого сопропшленЕ . Входящая в уравнение (4) н (5) патрицы Ь<1> V имеют следуюпщй внд

L =

cos9 cosG соз®2 sinQj cosOj со8028ш0з&т0, 2 3 +sin92sm8, -8т02соз0, -sm93 cosO, cosQj

cosBj sin9,

sdnG созв sine3 cos8, sin02 sin0j sin0, 1 3 -cos62sin0, +COS02COS0,

L =

cos 6j cos 03 0 -sLq9j

-sinO,

1

0

sin 0, cos 9, 0 cos 63 Полагая, что при малых колебаниях приращения векторов Q, М, и, % в 0 являются малыми из систем I нелинейных уравнений (I) получаем систему линейных ^-эавпешш, г которую введены слагаемые, зависящие от потока хшдксстс (от скоростей внутреннего н внешнего потоков) п внутреннего давления Р, . Систему уравнений удобно представить в виде одного векторного уравнения

oz ez

а,

&t

+ А,—--+ A,Z = b,

1 !3i 9|] '

где Z = (AQjAQ, ДМа ДМ, 6а в, u2 u3]T ; Ь = [ДР3 ДР, ДТ3 ДТ3 0 0 О 0]Т

А,=

0 0 0 0 0 0 1 + п, + п2 0

0 0 0 0 0 0 0 1 + п,

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 'и 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 У 0

0 0 0 0 0 Оу

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 с 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 с 0 0

0 Хм 0 -О.Т/ Аи 0 0 0 0

-Х|» 0 оа/ Аи 0 0 0 0 0

0 I 0 0 0 0 0

-1 0 0 0 0 0 0

0 0 о 0 Хм 0 0

0 0 0 Хн -х» 0 0 0

0 а 0 0 0 1 0 XI»

0 0 0 0 -1 0 -I» 0

0» = = 0.. Iе!; г, = -

Ш| п.т, К Р,+К .

т, т, Р2 Р2

в ДМ] - соответственно проекции приращений векторов внутренней силы в момента стержня, <2н> и Мю - соответственно внутренней продольной силы и крутящего момента стержня в состоянии равновесия, хю -кручение в состоянии эазаовескя, у-козффпциент вязкого сопротивлеиия, оц - касса жидкости, шголшпощея едшшп* длины стерши, пи - масса внешней жидкости, находящейся зокруг единицы длины стержня, р£- безразмерное давление потока жидкости, рц=Л1С|, стг^тугез - усредненные по сечению стержня скорости внутреннего в шедшего потоков жидкости относительно стержня, пч- коэффициент хрнсоедияеяной массы, Ко - площадь сечения стержня, Р1 - площадь отверстая в ¡тержве, р2 - площадь сечения капала.

Вторая глава диссертация посвящгпа исследованию с гати ческой устойчивости сжато-скручеяных стержней, взаимодействующих с потоком кадкости. Выводятся уравнения равновесия после потери устойчивости. Для голучиша линейных уравнения равновесия после потери устойчивбстп, считая , что 1мсет место потеря устойчивости в малом , полагаем <3=<3*+Д(3; М=М*+ДМ;

х=Х*+дХ» где звездочкой отмечены векторы, соответствующие еретическому состоянию равновесия; Д<3, ДМ, Дх;' Дч; Дц - приращения ;оответствукицих векторов при переходе стержня в новое равновесное состояние. Гак как при потери устойчивости в малом предполагается, что новая равновесная •

форма стержня близка к критической, то приращение векторов ДМ, Дх, Д<Ь Дц, ДР и ДТ - можно считается малыми. Полагая в уравнении (2) производные не времени равными нулю получаем уравнения равновесия после потери устойчив оста для прямолинейного стержня, имеющего локальные опоры, нагруженного крутящим моментом Т и распределенными осевыми силами я

АЪ

ь =

2>.Мв<Л-П.) ^К.^П-П.) 0 0 0 0 0 0

(3]

А3=А,(о>г'>); а?», а; - (Рд + ,.,»?).,.

Решение векторного уравнения (3)имеет вид

г = К(1),Р.Т.Ч.*)С+г)1. (4]

где К(11,Р,Т,я,№)- фувдамевтальная матрица решений однородного уравнения; С • вектор начальных данных. Компоненты вектора С определяются из краевьо условий, 2л - частное решение уравнения (3), которое зависит от сосредоточенны; сил Ш. Вектор 2ц равен

^0(Ь,Ь1)=К(Ь)К-'(Ь1))

(5)

Решение (4) должно удовлетворять 8 краевым условиям и дополнительным 2x1 условиям (и1(п,) = 0;и,(111) = 0;1=1...п). Рассмотрены некоторые частные случаз краевых условий в зависимости от характера приложенных сил. Например а краевые условия для стержня, имеющего п промежуточных опор, который жестю закреплен при ц=0 и шарнярно закреплен при П='.и натружен следящем крутяшщ моментом Т н сжимающей силой Г

при ц=0 ; 1 = 5...8 поэтому с5 =с, =с7 =с, =0,а при т\=1

г7(1)-г,(1) = 2з(1)=г4(1) = 0. Помимо этих краевых условий еще имеются Ъ дополнительных условий,г,(цг) = г,(т]г) = 0, (г=1,...п), (перемещения точек осево] линии стержня где имеются шарнирные опоры). Из краевых условий получас] систему алгебраических уравнений вида

оу = О,

где У =[с, с, с, с4 И', К', ... я; Я?]*;

к„(1) О.П.Ц) 0,0.1^)

Ки(1) оми.л,) Он(1,ть)

К,(1Ь) о о

К,(л2) <39(ТЬЧ1) 0

.К-.ОО Си(П,.Л,) 0„(П..1Ь) •

о о о о

о

• Значения Р, Т, при заданных № при которых определитель О обращается в -ель, являются критическими значениями.

Некоторые результаты численного исследования статической устойчивости като-скручснных прямолинейных стержней приведены на рис. З-б. На рис. 3 заведены графики изменения сжимающей силы Р и мертвого крутящего момента Т зависимости от потока жидкости ТУ| для случая когда начальное скручивание штывается (хштО) и когда не учитывается (хю=0). Из полученшлх результатов гедует, что скорость внутреннего потока существенно влияет на критические (ачения силы Р«1. При Wl=10 критнческа я сила Рч по сравнению со случаем, когда 1=0 уменьшалась на 40%. Учет реально существующего начального скручивания ;>о*0) снижает предельное зпачение крутящего момента Тч по сравнению со риближешшм вариантом решения , когда начальным скручнванис ч пренебрегают I 28%. На рис. 4 приведены графики изменения критических значений Р и Т для зух случаев: 1) крутящий момент мертвый (сплошные линии) 2) крутящий момент гедяпщй (пунктирные линии) для ТУ1=0 и Wl=5, При следящем крутящим моменте гержепь может быть нагружен большим крутящим моментом, чем когда крутящий омен.- мертвый. Например, при Р=13.25 Т«®) больше чем Т«<0 на 22%, что при эчных расчетах необходимо учитывать (необходимо иметь информацию о реальном сведении возникающего, например, от сил резания крутящгго момета). ущественное влияние на критическую силу Рч (при заданном крутящем моменте) грает н давление Р, в жидкости (рис. 5). Так при изменении давления от нуля до Р, 5атм. критическая сила (при Т=0) уменьшалась па 27%.

Т

20 Т

0

5

О

5

7.5 Р„ 125 Рм Р.г17.5 ^ Р,г225 0 12

15

Vя 10

.5

и ..I_^_; ......Г 1\

Ц 1б Й20

Р

1)то|=0; 2)^=5; 3)^1=10^22^35=0.664;

4=0; Р^О,-- "Хю^О; —Х>о=°

рцс. 3

1>Г1=0; 2)-№|=5;,122/Ан=0.664;

Я=0; Р,=0; хютЮ Р«С, *7:

Большой практический интерес представляют графики на рис.6, показывающие как изменения критические значения Р« и Т* в зависимости от отношения изгибпых жесткосгей (А22/А33). Из графиков следует, что с уменьшением огношенгя (Ак/Аэз) увеличивается разрыв между первым и вторым критическими значениями до некоторого предельного значения (Ап/Азз). До этого значения кривые замкнутые т.е. с ростом крутящего момента два собственных значения Рч и Р«2 сближаются и при некотором предельном моменте Т сливаются. Если для данного отношения (Ац/Азз), например , равного 0.664 в уравнениях равновесия берутся Т больше предельного, то собственные значения 0?* и Т») отсутствуют , т.е. статической потери устойчивости нет. Следует отметить что до предельного значения отношения (Аи/Азз) стержень потерять устойчивость только от одного момента (при Р=0) не может. При дальнейшем уменьшении отношения (Аи/Азз) с учетом начального скручивания возможна потеря устойчивости отдельно от крутящего момента или от сжимающей силы. Если же начальное скручивание не учитывать то поучается, что потеря устойчивости от одного момента невозможна, что для реального стержня неверно.

*1=5; Аи/Азз=0.б64; ч=10; ^1=0; 1)Ам/Ли=0.б92;

1) РгОайп; 2)Р|=2аЬп;3)Р(=5а1ш 2)Аи/Азз=0.б64;3)Аг2/Ан=0.б02;

4)Аи/Азз=0.55Э; 5)Аи/Азз=0.514; Третья глава диссертации посвящена исследованию динамической устойчивости сжато-скрученных стержней, взаимодействующих с потоком жидкости. Выводятся уравнения малых колебаний, позволяющие определить собственные значения (в том числе и комплексные собственные значения) в собственные вектора, необходимые для приближенного решения задач динамики стержней. Для этого решение уравнения (2) ищется в виде

г-глчУ", (г, = ги+12и);(^=а±ф). (7)

в результате получаем

где А, - матрица, элементы которой есть комплексные числа. Численно решал уравнение (18) задавшись значениями аира требуя, чтобы компоненты вектора То удовлетворяли краевым условиям (и дополнительным условиям при наличии

которые позволяют исследовать динамическую устойчивость сжато-скрученного стержня с учетом конструктивных параметров и параметров характеризующих внешний в внутренний потоки жидкости, условий закрепления стержня и характера поведения приложенной к стержню нагрузки. Решение уравнения (8) имеет вид

Решение (9) должно удовлетворять восьми краевым условиям и дополнительным условиям в сечениях, связанных с шарнирами.

Некоторые результаты численного определения комплексных собственных значений приведены на рис. 7-10. Из графиков рисунка 7,а следует, что стержень геряег статическую устойчивость, так как частоты Р) и рг яри Рч и Ртг обращаются в нуль (при взятых трех значениях крутящего момента Т). Значения Рч и Ргг точно совпадает со значениями, полученными из задачи статической потери устойчивости. На рис. 8 приведены графики изменения р1, рг, он и аг при Р=0 в зависимости от мертвого крутящего момента Т (при тп=5) для случая, к гда начальное скручивание учитывается (Х1с*0) - сплошные линии и когда не учитывается (хю=0) пунктирные танин. Учет реально существующего начального скручивания дает значение гр этического момента Т«=1.4б в то время как без учета начального скручивания срвтвческий момент равен 2.33, что больше на 60%. Полученный результат имеет }ис ладное значения, так как уточненный расчет дает меньше значение критического качения момента.

На рис. 9 показано изменение Р) и сц при Р=8 когда 4*1=0 и т\а=5. Иптересной >собесностью изменения р) и а) па графиках рисунка 9 является существование штервала значен жВ Т где частоты сливаются, т.е. мнимые чясгя комплексных :орней становится равными а (ц и осг разными (отрицательными) до некоторого лачения крутящего момента. Затем с увеличением Т частоты Р|, рг опять тановиться разными а а» и есг одинаковыми (отрицательными) до значений, кйгда [асготы обращаются в нуль. Интервал значений Т, где аг больше пуля отмечен аездочхами. На этом интервале изменения Т стержень теряет динамическую стойчивость. При дальнейшем увеличении Т (если стержню не дать сильно

локальных связей), находятся комплексные собственные значения

г, = к(пЛР,т»с+г,

'с

(9)

раскачаться) частоты опять становится разными а действительные части корней (со и аг) равными и отрицательными. Частоты уменьшаются в при Т=Тч одна из нет обращается в нуль, т.е. стержень теряет статическую устойчивость.

Рис. 7

1)Т=0; 2)Т=0.4; 3)Т=0.7; \У|=5; А22/А«=0.аб4; ч=0; Р,=0; хюзЮ;г=0;п<=0

15

Рис.8

ЧУ1=5;Р=0; -Хк>*0;-Ь»=0

Ал/Ам=-0.бб4; я=0; Р,=0;у=1.2;ш=0 ОЛ

2 Рис.9

---w^=S; --*/|=0; Р=8;Х1о*0;

А22/Ан=0.бб4; ч=0; Р,=0; у=1.2; ш=0

^>цс.10

wl=0;p=0; --х1«=0

а22/аН=0.514;ч=0; рр0;у=1.2;1и=0

1в

На рве. 10 приведены графики изменения ^ и 04 в зависимости от крутящего момента при (Аи/Ан)=0.515 в №1=0. Для случая когда начальное скручивание учитывается (Х(«*0) (сплошные линии) и когда не учитывается (^ю=0) (пунктирные линии). Из графиков следует, что с учетом начального скручивания стержень теряет статическую устойчивость как при Т=0, так и при Р=0 ( этот результат был получен и во второй главе рис. б). При обычно принятом приближенном варианте уравнений (при XI о=0) их решение дает качественно отличный результат. Из графиков рис. 10 следует, что стержень теряет динамическую устойчивость (при Тч =2.5) в то время как с учетом скручивания (хю*0) динамической потери устойчивости нет. На рис. 11 приведены графики изменения Р} н щ для стержня, имеющего одну промежуточную шарнирную опору (правый конец стержня свободен). Графики получены при Т=0, (Ап/Азз)=1, для Wl=0 при разных значениях координаты щ, Особенность приведенных трафиков на рисуете 11. изменения (3) и щ заключается в том, что стержень со следящей силой Р э зависимости от положения шарнира (координаты г) 0 может быть как динамически неустойчивый (при изменении тц от 0 до т)«1=0.51), так и статически неустойчивый на интервале значений тц от г]«1До 1.

Определив собственпыь значения находятся соответствующие им собственные векторы. Из решения (9) для X) имеем

г^к^ЛХ^ + г?» (Ю)

Из системы (б) взяв, например, первые 4+2п-1 уравнений определяются с^.с'Дс'ДКз"'.^"^^ = 1,...п) в зависимости от С,, который полагаем равным единице. Определив с^.с'Дс^.с'ДЯ^.К^^Г = 1,...п) из (10) получаем собственные векторы , которые используются в четвертой главе посвяшеИпой случайным колебаниям сжато-скрученшлх прямолинейных стержней. В третей главе изложен метод приближенного определения комплексных определения собственных значений с певдигьзоааниек собственных векторов для системы уртпекпй.

ю о

-ю -20

■ I ■" ....... 1 / 1 ■ 1^4, / тж

V ! V \ \ хк лН

<4 у .... —\

Ь"<2 1

35-35-5С-80

Рис. И ту!=0; т=0; хн>*0; А22/А»=1. я=0; Р,=0;у=0 ; т=0

В четвертой главе рассматриваются случайные колебания сжато-скрученных. стержней. Случайные колебания возникают из-за неоднородности внешней среды н технологических несовершенств конструкций, что приводит к появлению эксцентриситета сжимающей силы и случайному отклонению вектора сосредоточенного крутящего момента зависящего от случайных сил резания.

Из-за случайного эксцентриситета силы Р при т)=1 возникает случайный изгибающий момент ДТ, равный

ДТ, = ЛТ1ре2 + АТ^е, (11)

Отклонение вектора крутящего момента от осевой лшш приводит к появлению еще одного случайного Сосредоточенного изгибающего момевпга

ДТХ = ДТ„сг>+ ДТзте, (12)

В результате получаем ( в проекциях на главные оси сечения) два сосредоточенных изгибающих момента

АТ2 = АТ2р + ДТ2Т; ДТ, = ДТ3„ + ДТ„. (13)

Случайные изгибающие моменты ДТ2 и ДТ, приводят к появлению случайных поперечных колебаний стержня. В данном случае вектор Ь в уравнении (б) имеет вид

Ь = [¿В.&ц-т,,) ¿^(Ц-Ч,) ЛТг6(п-1) ДТ,5(т1-1) 0 0 0 01 . Приближенное решение уравнения (2) со случайной правой ищем в виде

м

С вспальзованием обобщенного принципа в озможных перемещений получаем

¿2Г, аг,

и

da = |5(n-l)z«>(T1)dn = zO»(I) , dll=js(T,-l)z«>(T,)dn = ^(l) .

• g

Считаем, что Ф стационарная случайная функция и ее можно представить в виде интеграла Фурье. <р= jí^e^do . (16)

Вероятностные характеристики компонент вектора 0(t) взвсстны.(Считаем, что компоненты вектора Ф везавнеимые).

Стационарное решение уравнения (15) ищем в виде f = JfjC^dta (17)

Из уравнения (15) получаем алгсбралчсског уравнение в частотной области

[(ico)1 А + (io)B + c]f„ (к>) = DAT, (го ) (18)

Вектор ^(й) равен

1« (® ) = )ОДТ9 (ю). = [(к»)1А+(1а>)в + с]'} (19)

Определив численным счетом матрицу \У с комплексными элементами получим ^(п>) =

V,! WIJ ... V!!

М-** ... Wлl

; где ^ = + ¡те£>)

"»2 '•• '"'к!

Находим компоненты вектора Го(ю): [„ , (<в) = ДТМ(а>) + Ч^ЛГ,,(а>) (4* = WD). Спектральные плотности компопент Го,(а>) и компонент вектора 7. равны

Б^оО^Чт^НЫЧт;^); ^^^¿МЧ.^) (20)

Р

Находим дисперсии компонент вектора Го

= + (се))*» (21)

Интегралы получаются чнелепно при конечных пределах, которые впредепаются из требования выполнения заданной точности конечного результата. ¡Дисперсии и среднеквадратичные отклонения компонент вектора состояния Z равны

= = (22)

Полученные выражения для дисперсией и среднеквадратичных значений (22) сомпонепт я дают возможность определить нх значения я любом сечении стержня, о гом чпел. в сечениях, где они достигают максимальных значений.

Некоторые результаты численного решения уравнений случайных колебаний гредставяепы па рис. 12-14. На рис. 12 представлены графики спектральных слота остей для функций входящих в приближенное решение (14). Графики 3,(1(и>) получены для ту|=0 (сплошные линии) п для ЧУ1=5 (пунктирные линии). Из рафнкоз следует, что скорость (при взятой значении влияет па максимальные начёния 5Г>) (а). Изменение среднеквадратичных значений компопепт вектора

остоягош (гз) по осп стержня показано па рис. 13. Из графиков следует, что реднеквэдратичзша значения компопепт вектора состояния имеют экстремальные пачеипя при различных значениях осевой координаты, т.е. имеются несколько паспых сечепип с экстремальными значениями эквивалентных напряжений, что еобходпмо иметь в виду при определении минимального коэффициента езопасностй, например, по пределу текучести. Основную роль в напряженном зстояшш стержня играют случайные нормальные напряжения, зависящие от тупайпых изгибающих моментов (от среднеквадратичных значений оАЬц я ог^ ).

■ г ,

ТчЬ

25

50

75

I А

На рис. 14 приведены графики изменения в зависимости от осевой координаты т| дисперсии случайных изгибающих моментов для трех значений снимающей осевой силы Р. Увеличение сжимающей осевой силы Р приводит к увеличению-экстремальных значений дисперсией, что и следовало ожидать, так чем ближе осевая сала к критическому значению, тем больше амплитудное значение компонент вектора состояния, в том числе н амплитудное значение изгибающих моментов ДМ2 в ДМ,.

5ХКГ6 г--л-

4ХКГ6

ЗхЮ"6 2хКГв МО"6 О

.006 .004 .002

ад

Рис. 12

-^=5; Т=1; хш*0; А22/А33=0.бб4; у=1.2; Р=30; Ц1=0.б5

о

8x10" бхКг4 4хЮч 2хЮч о

..................;................... _ _ 1 1

I 1 ■

1. 1111

ЛУ1=5; Т=1; хю^О; Аи/Ау^-О.Ш; г=1-2; Р=30; ^1=0.65

' Статическое напряженно-деформированного состояние сжато-скрученного стержня, нагруженного крутящим моментом Т, и сжимающей силой Р и распределенными силами веса 9 зависит от нормального ст0 и касательного Т0 напряжений равных

~Qi»(l)_ P + qn.

М„(л) Wk

W,

(23)

Согласно теории "энергии формоизменения" эквивалентное напряжение

равно ст„ = + Зт; . (24)

Из (24) можно получить эквивалентное напряженке с учетом случайных нормальных напряжений от изгибающих моментов ДМ, и ДМ,

0,(П) = ^,(Т1) + Д0(л))г+Зт5. (д„(л) = Лолм,(т1) +Д^лмДч)) (25)

Эквивалентное напряжение (25) в каждом сечении л достигает максимального значения т.е.

шах(ег,(п)) = д/(о.(п) + тах(До(л)))2 +3tJ . Напряжения Acr¿Ml и До^ равны

_ДМ1(П)х?>_г1(т1)х''> ДМ,(Я)х»> z4(n)xg

----j- • ^лм,--;---j—

jj j, j,

(26)

(27)

где 2з и Z4 - компоненты вектора Z.

Считая что нормальные напряжения ДоДМ1 и Дсти,1 имеют нормальные

распределения воспользуемся правилом трех сигм J3 J3

(28)

Приняв, что шах^ДаЛМ1(1)) +ДоШ1(ц))<а» разложим выражение (25) в ряд и ограничившись линейной частью разложения получим

(25)

пкЦсг, <„)) = <т„ (Л) t-í^ruM^ín)).

о* (л)

В сваю очередь тах(ог,(л)) имеет максимум по коордаяате л

^maxn(max(o, (Л)))). поэтому коэффипиепт безопасности равен

<*т >

шах, (иах(0,)) '

где от- предел текучести.

0025 0020

а

Рис. 14

wi=5; Т=1; Аи/Аз^О.бМ; 7=1.2;

l)P=Oj 2)P=10l 3)Р-20; d)P=;30¡ t)i-0.6S

Рис. 15

Хю*0; А22/Азз=0.б64; r=I-2; ni-0 65

На рис. 15 приведены графики изменения коэффициента безопасности Пт в завксЕносгв от осевой селы (предел текучести сгт брался равным 2x10* ~Н/т.2 для .. стержня, нагруженного следящим моментом. Графика получены для трех значений скорости потока ховдксстк при фиксированном моменте Т. Без учета случайных изгибающих моментов при '.VI =0 (кривая 1) коэффициент безопасности мало уменьшается в зависимости от силы ?. Кривые 2, 3 и 4 получены с учетом нормальных случайных напряжений. Случайные нормальные напряжения оказывает очень сильно; аяияаие кг коэффициент безопасности пг . Сравнивая кривые ! к 2 (прЕ 7/|=0) получаем, что, например, при Р=б коэффициент безопасности пт уменьшался на 11%.

Основные выводы

1. Из общих псаашсЙЕЫХ уравнений даизксиия получены лилейные уравнения равновесия к малых колебаний сжато-скрученного кргмолкпейиого стерхсЕЕ с учетом ппегпаего п £кутреянего потока жцдксста, начального скручивания п лежал; аых связей.

2. Разработан численный метод оггаедедения критических нагрузок (статически потеря устойчивости) с учетом котоха авдкеетп для мертвых н следящих нагрузок с учетом начального ссфучизагшс. Показано, что учет начального ехручиианш: приводит ко только к хсяичосгвгызык новым результатам по сравнено» с традиционный вариантом решении, когда крутильная жесткость считается равной бесконечности, но к новым качественным результатам (рас. б ).

3. Разработан алгоритм чсслекясго псскедозаппа статической устойчивости сгерзквсй с учетом локальных озазей (промежуточных. пир^лгрсв), потока жидкости и распределенных осевых сил (сил веса).

4. Излсжкза численные методы снргдслеЕЕК со&гевппда: зкаченкй для консервативных и пеконсерватазпых глдач иалых колебшгй сж&то-скручезньгх пртаолнпейпых сгергапсй с учетом потоков аздаостн (внутрг^гго н гнетшего); разных нзгибаых ясеетжосгей; саз какого тренш:; давлгзш; ь аагдкеэтп; сосредоточенных сжимающей силы е крутгщего иог:езтс. Нсетгдозгко вялггпж; на когаэагевьк собственные зиачеаиг кв^сдокпзьвх Еаракзтроз п вкрагзярез, характерЕзукявцх нэтол жидкости. Показано, что с завЕсзойсгга от коордыгатьс расположений промежуточной шарнирной озоры дал хоксояьзсго стсрахня, нагруженного следящей сгапшзщей силой , стсржега ыохэт нотерата как статическую так е дваакнч;скую устойчивость. Погсазаао, что щщгшгчгскЕн игтед апаздза устойчивости авлгетег более гффепткпщгк так как дает гсзислЕ&сга определить крктпческуго нагрузку, ври которой возгякаак. а отаттгажш астгрг устойчивости.

5. Разработай численный глтерутг опредвяешзя сеЗггсгшшк векторов с учетом локальных связей, что позволяет кеелгдоз&та прЕблакгЕЕымЕ кетсдаыг слозные задаче динамика стержней.

6. Разработал алгоритм решлшг с^стсгйз уравнений стационарных кадкх колебаний сжато-скручгшшх прхмач.тнейаых стсрагггй: с уч~С1: истока кддкогта; конструктивных параметров а промежуточных локальных связей с опргдглешггаг вероятностных характеристик компонент вектора состоании. Определены вероатностные характергешкв случайных соспшввзвдг нормальных саарявгоай» возникающая в стержне, что ксзвоясст оцеЕвга ех ыакяшгльпэ возкогшоз значение н определить козффациепг безопасввстЕ,

Оеаоияые результаты диссертации ©аубйикаиеядаз в лтал

I. Резазаде-Лалзлу Г. , Сьетлигвсай В. А. Влитие потока жкдкосга ш статнчсскую'устоцщвосгь схито-схзучсзшого прхмолЕпсйлого стезжсс, МТТ. К2 3 , ¡997.

2; Резазаце-Лалалу Г. , Светлпцкин Б. А. Злзшше потока асддкостк на дииа41ачесгуго устойчивость сжато-скрученного креколипейного сгерлша", Веспшк

мгту^игз, iqq■?.