Численное моделирование поведения системы "тело-трос" с учетом изгибной жесткости троса и механизм петлеобразования тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение.

ГЛАВА 1. Численное моделирование поведения системы тело-трос» в потоке жидкости с учетом изгибной жесткости троса.

1.1 Учет жесткости троса в задаче академика А.Н. Крылова.

1.2 Изучение влияния кривизны троса в ненагруженном состоянии на конфигурацию системы

ГЛАВА 2. Поведение тонкого прямолинейного стержня под действием комбинированной нагрузки.

2.1 Постановка задачи. Математическая модель и вывод уравнений.

2.2 Определение прогиба оси тонкого стержня при осевом сжатии и кручении по методу Бубнова - Галеркина.

2.3 Исследование устойчивости недеформированного стержня. Сведение краевой задачи на собственные значения к трансцендентному уравнению.

ГЛАВА 3. Пространственные конфигурации оси тонкого упругого стержня и механизм образования петли.

3.1 Режимы изменения нагрузки, приводящие к образованию петли.

3.2 Уравнения равновесия и два типа граничных условий.

3.3 О колебаниях стержня относительно стационарного состояния.

3 .4 Об одном классе решений стационарных уравнений.

Актуальность темы. Математическое моделирование поведения систем типа «тело-трос» является актуальным для практики. В ряде задач, требующих учета начальной деформации троса или при анализе сложного процесса образования петель, трос или нить не могут предполагаться абсолютно гибкими. Поэтому возникает необходимость в создании алгоритмов, дающих возможность исследовать подобные ситуации.

Диссертационная работа посвящена изучению конфигурации и колебаний тросовых систем с учетом изгибной жесткости троса.

Цель работы. Целью диссертационной работы является.

1) выяснение существенности влияния кривизны троса в ненагруженном состоянии на конфигурацию системы «трос-тело» в задаче А Н. Крылова с дополнительным учетом изгибной жесткости;

2) построение математической модели, позволяющей провести точный количественный анализ процесса петлеобразования на гибком тросе или нерастяжимой оси тонкого стержня;

3) описание поведения оси тонкого стержня под действием комбинированного нагружения и определение различных режимов изменения нагрузок, приводящих к образованию петли.

Научная новизна. Научная новизна полученных результатов состоит в предложении асимптотического подхода для решения задачи равновесия системы «трос-тело» в потоке жидкости. В работе сформулирована новая для нелинейной теории тонких стержней краевая задача, установлены определяющие параметры, влияющие на механизм петлеобразования, продемонстрирована двух-этапность процесса образования петли и рассмотрены типы «первичной» и «вторичной» потери устойчивости.

Основные положения, выносимые на защиту. К основным положениям диссертационной работы относятся

1) использование процедуры разложения по малому параметру сингулярно возмущенных уравнений для получения конфигурации системы «трос-тело» в потоке жидкости;

2) решение задачи определения максимальной амплитуды прогиба оси прямолинейного троса при осевом сжатии и скручивании по методу Бубнова-Галеркина;

3) разработка алгоритма, гарантирующего нахождение всех собственных частот колебаний оси длинного тонкого прямолинейного стержня с шарнирно-опертыми концами под действием сложного нагружения;

4) примеры пространственных статических форм оси стержня с различными вариантами граничных условий и результаты исследования уравнений малых колебаний относительно полученных положений равновесия;

5) анализ бифуркационной диаграммы и построение возможных сценариев образования петли. Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач моделирования поведения тросовых систем. В работе представлена методика для анализа влияния изгибной жесткости на конфигурацию тросовой системы в потоке жидкости. Показано, что численное интегрирование системы дифференциальных уравнений для определения равновесных состояний оси тонкого стержня предполагает минимизацию по 1 или 2 переменным. Приведены примеры пространственных форм стержня, полученные в результате решения нелинейной системы 5-го порядка. Сформулирована концепция процесса петлеобразования в рамках построенной математической модели и проанализировано несколько сценариев. Разработана последовательность действий, позволяющая получать представляющую интерес для практики область определяющих параметров, при которых петля не образуется.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах и конференциях, среди которых: семинар кафедры прикладной механики и управления МГУ (рук. академик РАН А.Ю. Ишлинский) , 2000 г. семинар «Динамика относительного движения» МГУ (рук. член-корр. РАН В. В. Белецкий и проф. Ю.Ф. Голубев) , 2000 г. семинар кафедры «Прикладная механика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (рук. проф. В.А. Светлицкий), 2000 г.

Всесоюзная конференция «Современные проблемы механики и технологии машиностроения». Москва, 16-18 апреля, 1989 г.

Всесоюзная научно-техническая конференция ( XXXIV Крыловские чтения 1989 года), Ленинград.

Всероссийская конференция «Современные проблемы механики и ее приложений » Москва, 5- 6 июня, 1996.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в журналах Вестник МГУ [1-3], Дифференциальные уравнения [4] и работах [5-9].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения. Общий объем диссертации 92 страницы, включая 14 иллюстраций. Список литературы содержит 66 названий.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ В третьей главе из общих уравнений движения получены нелинейные уравнения равновесия в форме, наиболее удобной для расчетов на ЭВМ. Классификация форм упругой линии проведена в [46], и позже уточнена в [47]. Подобный классический подход показывает качественный характер эволюции кривой. Описание формы стержня уравнением (3.3) с граничными условиями (3.4) полностью совпадает с традиционным, однако наглядная картина несколько иная, что позволило проиллюстрировать процесс петлеобразования. Дополнительно рассмотрен новый тип граничных условий (3.5). Решение краевой задачи проведено численным образом по методу «стрельбы». Отмечено следующее преимущество предложенного в работе метода для задач рассматриваемого типа: в процессе вычислений предполагается минимизация функции невязки не более чем по двум переменным.

Пространственная форма оси стержня, находящегося в напряженно-деформированном состоянии может быть охарактеризована не только парой параметров нагружения М° и , но независимо и парой , у/ 0 , где г° - расстояние между опорами стержня, - угол "скручивания спирали" (рис. 3.10). Указано, что задача является существенно двухпараметрической и увеличение только одного из параметров, например, момента не обязательно вызывает образование петли. Исследованы различные пути в пространстве определяющих параметров ( режимы изменения условий на конце), приводящие к формированию "предпетлевого" состояния. Одним из путей, в частности, является смена граничных условий ( набора

М°, О0 на пару ъ ) после приобретения стержнем дугообразной формы под действием растущей сжимающей силы (1 этап) с последующим монотонным увеличением вращающего момента (2 этап).

В работе изучены вопросы устойчивости найденных стационарных форм по отношению к малым начальным отклонениям координат и скоростей. Рассмотрена задача в вариациях, полученная путем наложения малых динамических возмущений на определенное деформированное статическое состояние оси. Составлена компьютерная программа, проведено детальное исследование, представлены таблицы численных значений параметров и графики. Основные результаты главы опубликованы в работах [2-4,8,9]. а) г) б)

Д) О в) е) рис. 3.9

М°ил =10,3 , С^/А = 36,63 1,(0) = 0,4294997 , 112(0) = 0 !„(!) = - 0,1820088 , 112(1) = 0,3890285 = ,112) , |\л/(0)| = 1„(0) угол скручивания \|/ = 2тс - агс^д (|112(Ь)| / ^(Щ)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассмотрено поведение тросовых систем с учетом упругих свойств троса на основе различных подходов , таких как использование методов приближенного анализа и построение адекватной математической модели, позволяющей провести точное количественное исследование.

Метод асимптотического разложения решений сингулярно возмущенных уравнений по малому параметру применен к задаче «тело-трос» в потоке жидкости. На его основе сделан вывод о малой чувствительности конфигурации системы к значению кривизны троса в ненагруженном состоянии при условии малости изгибной жесткости троса.

В работе предложена математическая модель, предназначенная для изучения сложных эффектов в тросовых системах. В качестве такой модели выбран тонкий длинный прямолинейный стержень круглого сечения, который подвергается комбинированному нагружению. Ось стержня предполагается нерастяжимой, а концы - шарнирно-опертыми.

По методу Бубнова-Галеркина получена формула для определения прогиба оси стержня, находящегося под воздействием сжимающей силы и вращающего момента. Разработана процедура исследования малых колебаний тонкого стержня относительно стационарного состояния, гарантирующая нахождение всех собственных частот путем сведения краевой задачи на собственные значения к одному трансцендентному уравнению.

В работе численным путем найдены статические деформированные состояния оси стержня для различных вариантов граничных условий, в том числе положения равновесия для случая нулевого расстояния между опорами стержня. Соответствующая система нелинейных дифференциальных уравнений пятого порядка решена по методу «стрельбы» и представлены рисунки пространственных форм осевой линии.

В нелинейной постановке рассмотрен следующий режим изменения параметров: сначала прямолинейный тонкий стержень под действием сжимающей силы приобретает дугообразную форму, затем расстояние между концами фиксируется и увеличивается вращающий момент. Показано, что до некоторого (бифуркационного) значения момента существует одна устойчивая форма равновесия и одновременно вторая, отличающаяся от нее, неустойчивая равновесная форма.

Характер устойчивости этих положений равновесия определен на основании численного решения краевой задачи, в которой коэффициенты линеаризованной системы уравнений являются функциями, характеризующими статическую конфигурацию оси стержня. При значениях параметра нагрузки, превосходящих бифуркационное, форм равновесия не существует, таким образом, получено, что в критической точке имеет место потеря устойчивости.

Дополнительно проанализированы еще два возможных сценария петлеобразования и приведены иллюстрирующие графики. Представляющий интерес для практики диапазон нагрузок, при которых петля не образуется, найден численно и отмечена граница на плоскости определяющих параметров.

1. Лось M.B., Орданович А.Е. Определение формы гибкого стержня при осевом сжатии и кручении // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1994. № 5. 48-54.

2. Лось М.В., Орданович А.Е. Анализ процесса образования петли на гибком стержне // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. № 3. 62-65.

3. Лось М.В., Орданович А.Е. Определение условий образования петли на гибком стержне // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. (в печати).

4. Лось М.В., Орданович А.Е. О бифуркациях решений дифференциальных уравнений в задаче образования петли на гибком стержне // Дифференциальные уравнения, (в печати) .

5. Орданович А.Е., Лизогуб Г.С., Лось М.В. Математическая модель троса. Соврем, пробл. мех. и технол. машиностр.: Тезисы докл. Всесоюзн. конф. Москва, 16-18 апреля, 1989. М.: 1989. с.8

6. Орданович А.Е., Каликов В.Н., Гребенюк И.С., Лизогуб Г.С., Лось М.В. Математические модели движения тросовых систем в среде. МГУ. НИИ механики. Отчет № 3751 , М., 1989. 55 с.

7. Орданович А.Е., Лось М.В. Анализ процесса образования петли на гибком стержне. Соврем, пробл. мех. и ее прил.:

8. Тезисы докл. Всерос. конф., Москва, 5-6 июня, 1996. М., 1996. с 6.

9. Лось М.В. О различных классах решений уравнений статики в задаче образования петли на гибком стержне. МГУ. М.: 1999. Деп. в ВИНИТИ. № 3608 В99, 03.12.1999.

10. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. М.: Наука, 1990. 329 с.

11. Белецкий В В., Левин Е.М. Механика орбитальной тросовой системы// Космические исследования. 1980. т. XVIII, вып. 5. 678- 688.

12. Белецкий В.В., Новикова Е.Т. О пространственном движении связки двух тел на орбите // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1971. № 5. 23-28 .

13. Левин Е.М. Динамика орбитальной тросовой системы. Автореф. дис.канд. физ.-мат. наук. МГУ: 01.02.01. М.: 1983.

14. Егоров В.И. Подводные буксируемые системы. Л.: Судостроение, 1981. 303 с.

15. Крылов А.Н. О равновесии шаровой мины на течении. Собрание трудов т.1Х ., Ч. 2- М.: Изд-во АН ССР, 1949.

16. Кочин Н.Е. Об изгибе троса змейкового аэростата под действием ветра. Собр. сочин., т.2. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1949.

17. Горшков A.C. Обобщение формул А.Н. Крылова для расчета натяжения и формы гибкой нити в потоке // Океанология . № 6. 1969. 953-958.

18. Салтанов Н.В. Гибкие нити в потоках. Киев: Наукова думка, 1974. 140 с.

19. Букач В.И., Савин В.Г. Колебание нити в потоке. Труды НТО судостроит. пром-ти им. А.Н. Крылова, № 165. Л.: Судостроение, 1971. 82-93.

20. Гребенюк И.С., Орданович А.Е. Свободный полет «змея» с приземным воздушным тормозом в градиентном потоке // Вестник МГУ. Матем. Механ. 1990. № 3. 62-66.

21. СветлицкийВ.А. Механика стержней. Т. 1,2. М.: Высшая школа, 1987. 320 е., 304 с.

22. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей, М.: Машиностроение, 1978. 222 с.

23. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука, 1980. 240 с.

24. Зак М.А. Об устойчивости замкнутого контура гибкой нити в поле силы тяжести // Технология текстильной промышленности. 1967. № 3. 152-153.

25. Горбань В.А., Калюх Ю.И. Анализ динамики буксируемой системы в нелинейной постановке // Доклады АН УССР. Сер. А. 1986. №9. 31-34.

26. Пожарицкий Г.К. Устойчивость равновесий механических систем, включающих гибкую нерастяжимую нить//Приют, матем. и механика. 1973. т. 37. 647- 658.

27. Константинов Н.С. Колебания системы тел, соединенных гибкими нитями в потоке жидкости. Труды НТО судостроит. пром-ти им. А.Н.Крылова, №165. Л.: Судостроение, 1971. 94-101.

28. Поддубный В.И. К исследованию конфигураций нитей в потоках с учетом изгибной жесткости // Гидромеханика. №48. 1983.45-48.

29. Букач В.И., Горбань И М. О равновесии троса с телом, обладающим положительной плавучестью, на течении // Гидромеханика. №17. К.: Наук, думка, 1971. 31-34.

30. Алексеев Н И. Статика и установившееся движение гибкой нити. М.: Легкая индустрия, 1970, 268 с.

31. Орданович А.Е., Каликов ВН., Жирков А Н., Гребенюк И.С., Лизогуб Г.С., ПашновА.М. Численное моделирование управления движением буксируемых тросовых систем. МГУ. НИИ механики. Отчет № 3832 . М., 1989. 138 с.

32. Орданович А.Е., Каликов ВН., Жирков А.Н., Пашнов A.M., Гребенюк И.С., Лизогуб Г.С. Разработка математической модели и расчеты на ЭВМ движения буксируемой тросовой системы. МГУ. НИИ механики. Отчет № 3954, М.,1990. 221с.

33. Грумондз В.Т., Матус В.Д., Орданович А.Е. О возможности использования воздушного змея для транспортировки полезной нагрузки. Труды XXXI Научных чтений К.Э. Циолковского, Калуга, 1996. Тезисы докл. М : Изд-во ИИЕТ АН СССР, 1996. с. 88-89.

34. Лизогуб Г.С. О равновесии двухтросовой системы в потоке жидкости// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1989. №3. 82-85.

35. Кухта К Я., Салтанов Н.В., Янковский Л.И. О приближенном отыскании равновесных конфигураций нити в потоке. Труды НТО судостроит. пром-ти им. А.Н. Крылова, № 165. Л.: Судостроение, 1971. 66-73.

36. Sanders J.V. A three-dimensional dynamic analysis of a towed system. Ocean Eng., 1982. Vol.9, № 5. 483- 499.

37. Ablow C.M. and Schechter S. Numerical simulation of towed cables. Ocean Eng., 1983. Vol.10, № 6. 443- 457.

38. Delmer T.N., Stephems T.C. and Сое J.M. Numerical simulation of towed cables. Ocean Eng., 1983. Vol.10, № 2. 119-132.

39. Орданович A.E., Каликов В Н. Динамика систем типа привязных летательных аппаратов. МГУ. НИИ механики. Отчет № 2308, М., 1980. 69 с.

40. Эйлер Л., Метод нахождения кривых линий обладающих свойствами либо максимума, либо минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. М.-Л.: Гостехиздат, 1934. 600 с.

41. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.-Л.: Гостехиздат, 1946. 532 с.

42. Работнов Ю Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

43. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 339 с.

44. Ишлинский А.Ю., Малашенко C.B., Темченко М.Е. О разветвлении устойчивых положений динамического равновесия одной механической системы. Изв. АН СССР, ОТН. № 8. 1958. 53-61.

45. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

46. Николаи Е.Л. Труды по механике. М.: Гостехиздат, 1955. 583 с.

47. Илюхин A.A. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: Наук, думка, 1979. 216 с.

48. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука, 1986. 294 с.

49. Пановко Я.Г., Губанова И.Н. Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, парадоксы и ошибки. М.: Наука, 1987. 352 с.

50. Antman S.S. The theory of rods . Hand. Phys., 1972. Springer, Berlin. Vol. 6. a/2, pp. 641-703.

51. Green A.E. and Laws N. A general theory of rods . Proceedings of the Royal Society of London A293, 1966. № 1433. pp. 145-155.

52. Oden J.T., Ripperger E.A. Mechanics of elastic structures. Cambridge etc: Hemisphere. 1981. 460 c.

53. Wempner G. Mechanics of solids with applications to thin bodies. New York , McGraw-Hill, 1973. 633 p.

54. Plaut R.H. , Suherman S., Dillard D.A., Williams B.E., Watson L.T. Deflections and buckling of a bent elastica in contact with a flat surface. Int.J.Solids Structures, 1999.Vol.36, № 8. 1209-1229.

55. O' Reilly O.M. On constitutive relations for elastic rods. Int.J.Solids Structures, 1998. Vol.35, № 11. 1009-1024.

56. Pai P.F., Palazotto A.N. Large-deformation analysis of flexible beams. Int. J. Solids Structures. 1996. Vol.33. № 9. 1335-1353.

57. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. шк. 1990. 208 с.

58. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 с.

59. Болотин В В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат. 1956. 600 с.

60. Михлин С.Г. Прямые методы в математической физике. М,-Л.: ГИТТЛ. 1950. 428 с.

61. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука. 1976. 576 с.

62. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968. 504 с.

63. Николаи Е.Л. К задаче об упругой линии двоякой кривизны. Пг., 1916. 200 с.

64. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 598 с.

65. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. 534 с.

66. Сазгаран М. Устойчивость и колебания сжато-скрученных прямолинейных стержней с учетом конечной жесткости на кручение. Автореф. дис. . канд. техн. наук. МГТУ им. Н.Э. Баумана: 02.02.06. М.: 1996. 16 с.