Численное моделирование поведения системы «тело-трос» с учетом изгибной жесткости троса имеханизм петлеобразования тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА ррЦ фД

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 531.391

Лось Мария Валериановна

Численное моделирование поведения системы «тело-трос» с учетом изгибной жесткости троса и механизм петлеобразования.

Специальность 01.02.01. - теоретическая механика

1 2 СсН

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2000

Работа выполнена на кафедре прикладной механики и управления механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Орданович А. Е. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Самсонов В.А. кандидат физико-математических наук, доцент Куксенко Б.В.

Ведущая организация: МГТУ им. Н.Э. Баумана

Защита диссертации состоится " О В " О 2000 г.

_ часов_ минут на заседании Специализированного совета

Д 053.05.01 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан " " 2000 г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д 053.05.01 при МГУ имени М.В. Ломоносова доктор физико-математических наук Д.В. Трещев

1. 1, О. 03

Актуальность темы. Математическое моделирование поведения систем типа «тело-трос» является актуальным для практики. В ряде задач, требующих учета начальной деформации троса или при анализе сложного процесса образования петель, трос или нить не могут предполагаться абсолютно гибкими. Поэтому возникает необходимость в создании алгоритмов, дающих возможность исследовать подобные ситуации.

Диссертационная работа посвящена изучению конфигурации и колебаний тросовых систем с учетом изгибной жесткости троса.

Деть работы. Выяснение существенности влияния кривизны троса в ненагруженном состоянии на конфигурацию системы «трос-тело» в задаче А Н. Крылова с дополнительным учетом изгибной жесткости. Построение математической модели, позволяющей провести точный количественный анализ процесса петлеобразования на гибком тросе или нерастяжимой оси тонкого стержня. Описание поведения оси тонкого стержня под действием комбинированного нагружения и определение различных режимов изменения нагрузок, приводящих к образованию петли.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в следующем:

предложен асимптотический подход к решению задачи равновесия системы «трос-тело» в потоке жидкости;

решена новая для нелинейной теории тонких стержней краевая задача; установлены определяющие параметры, влияющие на механизм петлеобразования;

продемонстрирована двух-этапность процесса образования петли и рассмотрены типы «первичной» и «вторичной» потери устойчивости.

Основные положения, выносимые на защиту.

использование процедуры разложения по малому параметру сингулярно возмущенных уравнений для получения конфигурации системы «трос-тело» в потоке жидкости;

решение задачи определения максимальной амплитуды прогиба

оси прямолинейного троса при осевом сжатии и скручивании по методу Бубнова-Галеркина;

разработка алгоритма, гарантирующего нахождение всех собственных частот колебаний оси длинного тонкого прямолинейного стержня с шарнирно-опертыми концами под действием сложного нагружения; примеры пространственных статических форм оси стержня с различными вариантами граничных условий и результаты исследования уравнений малых колебаний относительно полученных положений равновесия;

анализ бифуркационной диаграммы и построение возможных сценариев образования петли.

Практическая н теоретическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач моделирования поведения тросовых систем. В работе представлена методика для анализа влияния изгибной жесткости на конфигурацию тросовой системы в потоке жидкости. Показано, что численное интегрирование системы дифференциальных уравнений для определения равновесных состояний оси тонкого стержш предполагает минимизацию по 1 или 2 переменным и приведены примерь пространственных форм стержня, полученные в результате решенш нелинейной системы пятого порядка. Сформулирована концепция процессе петлеобразования в рамках построенной математической модели I проанализировано несколько сценариев. Разработана последовательное!! действий, позволяющая получать представляющую интерес для практик! область определяющих параметров, при которых петля не образуется. Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались ш семинарах и конференциях, среди которых:

Семинар кафедры прикладной механики и управления МГУ (рук академик РАН А.Ю. Ишлинский ), 2000 г.

Семинар «Динамика относительного движения» МГУ (рук. член-корр РАН В. В. Белецкий и проф. Ю.Ф. Голубев), 2000 г.

Семинар кафедры «Прикладная механика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (рук. проф. В. А. Светлицкий), 2000 г.

Всесоюзная конференция «Современные проблемы механики и технологии машиностроения». Москва, 16-18 апреля, 1989 г.

Всесоюзная научно-техническая конференция ( XXXIV Крыловские чтения 1989 года), Ленинград.

Всероссийская конференция «Современные проблемы механики и ее приложений » Москва, 5- 6 июня, 1996.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в журналах Вестник МГУ [1-3], Дифференциальные уравнения [4] и работах [5 - 9].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения. Общий объем диссертации 92 страницы, включая 14 иллюстраций. Список литературы содержит 66 названий.

Состояние вопроса. В настоящее время в различных областях науки и техники получили широкое применение механические системы, включающие в себя в качестве одного из элементов гибкий трос, например:

- спутники-зонды для исследования верхней атмосферы Земли, соединенные посредством троса с орбитальным самолетом. Использование такого привязного спутника дает возможность измерять магнитные и гравитационные поля, а также фотографировать поверхность планеты.

- технические средства освоения океана - буксируемые подводные аппараты для изучения морского дна, получения проб фунтов и измерения различных параметров.

- привязные летательные аппараты типа воздушного змея и привязного аэростата, вертолеты, транспортирующие подвешенные грузы.

Задача о равновесии системы «трос-тело» в потоке жидкости рассматривалась А.Н. Крыловым в 1909 г. (« О равновесии шаровой мины на течении»). Применительно к аэростатам исследование этой проблемы проведено в 1946 г. Н.Е. Кочиным. В дальнейшем ее постановка усложнялась

многими авторами. В диссертационной работе содержится обзор основных исследований в этой области.

В тросовых системах при большой длине тросов возникают ситуации, в которых существенную роль играют упругие свойства, например, сворачивание в петлю. Предотвращение такого явления очень важно, так как подобная ситуация может привести к обрыву троса. Как свидетельствуют наблюдения, сворачивание троса в петлю происходит очень быстро. Это дает основание предполагать, что такое явление связано с неустойчивостью равновесной пространственной формы троса. В данной работе условия петлеобразования определяются такими параметрами как натяжение, скручивание и изменение расстояния между концами.

В ряде задач "трос-тело" взаимодействия с окружающими телами или потоком порождают изгиб и кручение троса, в результате он оказывается в напряженно-деформированном состоянии. Поведение такой системы в реальных условиях может быть объяснено в рамках математической модели, в которой рассмотрен стержень (нерастяжимая ось тонкого стержня) с различными вариантами краевых условий.

Для стержня с шарнирно закрепленными (опертыми) концами, находящегося под действием сжимающей силы известна формула JI. Эйлера : Ркр = я- 2 А / L2 , где L - длина стержня, А - изгибная жесткость, Ркр - наименьшее значение сжимающей силы, вызывающей бесконечно малый изгиб стержня. При увеличении силы, действующей на конец, форш стержня становится дугообразной, угол подъема дуги растет и нг определенном этапе становится больше я /2 , затем концы стержш сближаются и при Р «21,549 совпадают. При дальнейшем возрастанш нагрузки образуется петля в плоскости, диаметр которой монотонж стремится к нулю при Р —> со . Форма упругой линии известна по; названием эластика.

Система нелинейных дифференциальных уравнений для определения

пространственной конфигурации оси стержня с одинаковыми главными жесткостями при изгибе была записана Пуассоном. Е.Л. Николаи классифицировал различные очертания упругой линии для А2=А3 в сочинении "К задаче об упругой линии двоякой кривизны". Отмечено, что при заданных значениях сжимающей силы и крутящего момента и "начальном направлении" стержня, форма упругой линии не зависит от величины крутильной жесткости ("Труды по механике").

В. А. Светлицкий отмечал, что возможность применения вычислительных процедур приводит к качественно новым методам подготовки задач к решению. В частности, с использованием ЭВМ возможно не только рассчитать статическое деформированное состояние стержня, но и исследовать уравнения малых колебаний относительно этого состояния. В книге "Механика стержней" наряду с теоретическими вопросами рассмотрены примеры прикладных задач, в том числе задачи деформирования пространственно криволинейных и естественно закрученных прямолинейных стержней. Уравнения статики и динамики представлены в двух видах: в проекциях на оси связанной и декартовой систем координат. В диссертационной работе использована методология преобразований "Механики стержней".

В работе в рамках традиционного рассмотрения Е.Л.Николаи и А А Илюхина получена оригинальная форма представления упругой линии и, ка» следствие, наглядная картина процесса петлеобразования.

Содержание работы В первой главе проведено численное моделирование поведения системы «тело-трос» в потоке жидкости с учетом изгибной жесткости троса.

В разделе 1.1 рассмотрена классическая задача Крылова с дополнительным учетом изгибной жесткости троса и его начальной деформации. Изучается положение равновесия шара, закрепленного на тросе и плавающего в потоке однородной жидкости. Поведение системы исследовано в декартовой системе координат. Точка закрепления троса

(левый конец) неподвижна, расположена на дне, ось абсцисс горизонтальна и совпадает с направлением вектора скорости потока. Ось ординат направлена против вектора силы тяжести. ,

Предполагается, что трос нерастяжим, имеет длину L, плотность рт , из гибну ю жесткость А, диаметр d , находится под действием гидродинамической силы, силы тяжести и архимедовой силы и имеет кривизну х о в ненагруженном состоянии. Длина дуги s вдоль троса отсчитывается от левого конца. Шар считается твердым телом массы m и радиуса R, на которое действуют гидродинамическая сила, архимедова сила, сила тяжести и сила натяжения троса. Поток однородной жидкости плотности р ж одномерен и характеризуется вектором скорости u 0 = const

При упругих деформациях внутренний момент связан с приращением кривизны соотношением :М = А(^ - % 0) > где А - изгибная жесткость троса. Горизонтальная и вертикальная составляющие силы, действующей в сечении s обозначены Г, V ; x(s), y(s) - декартовы координаты точки троса, М - внутренний момент в сечении s , а - угол между касательным вектором к тросу и горизонталью. Для записи сил сопротивления использованы эмпирические зависимости от угла а , включающие гидродинамические коэффициенты с г . с rj , Сш .

В работе составлена система шести дифференциальных уравнений с шестью неизвестными Г, V, х, у, а , М . Краевые условия, необходимые для выделения конкретного решения, получены в точке шарнирного присоединения s = L из уравнений статики шара. Краевая задача имеет пять условий на конце s = L , зависящих от одного неизвестного заранее параметра h - глубины погружения тела и два условия - на конце s = 0: у(0) = - Н (где Н - глубина водоема) и а (0) = 0 (условие закрепления троса на дне). Значения неизвестных параметров h , a (L) могут быть найдены численным путем в результате минимизации функции невязки по двум

переменным.

Изложенный метод - прямой метод решения задачи. Для учета малой изгибной жесткости система была записана в безразмерных величинах, причем за масштаб длины выбрана - длина троса L , за масштаб сил -архимедова сила faL , действующая на трос (fa - сила, отнесенная к единице длины) и за масштаб момента - faL2// , где fJ. dr dV

---= a cos3 a + b sin3 a ,--= с + a cos2 a sin a - b cos a sin2 a ,

ds ds

d x d у

--= - cos a , ----= - sin a

d s d s

da dM

/л----= - M - ц x о . И---= "rsin a + Vcos a ■

d s ds

Здесь для удобства длина дуги s отсчитывалась от правого (верхнего) конца троса; коэффициенты а, Ь, с имеют вид:

а= рж dcr Uo2/2 , b = р ж d C77U02 / 2 , с = (рж - рт )g ;rd2 / 4 . Для записи безразмерных граничных условий выбран масштаб величины погружения - радиус шара R . В дальнейших обозначениях h безразмерная величина и

Г(0) = 0,5Сш р ж uo2 S(h) / fa , V(0) = (p ж К g U(h) - mg) / f. ,

x(0) = -Rcos/?/L , y(0) = - (Rsin+ h R)/ L , M(0) = 0 , a(l) = 0 , y(l) = -H/L , где ¡5 - \тол между горизонтальной осью и направлением из точки присоединения на центр шара , U(h) и S(h) - объем и площадь сечения погруженной части шара.

При р« 1 имеем сингулярно возмущенную задачу с регулярными краевыми условиями. В системах такого вида общее решение весьма

чувствительно к погрешностям в граничных условиях (так как содержи: быстрорастущие функции с характеристикой порядка У /л ) , поэтому решение краевой задачи, когда граничные условия содержат произвольно заданные свободные параметры, экспоненциально возрастает , что может привести к машинному переполнению. Для преодоления возникающих трудностей был применен асимптотический метод.

В разделе 2.1 изучено влияние кривизны троса в ненагруженном состоянии на конфигурацию системы в случае малой изгибной жесткости.

Для построения асимптотического разложения решений сингулярно возмущенных уравнений использован метод пограничных функций, описанный А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузовым. В дальнейшем под г понимаются а и М , а под и понимается Г, V, х, у в совокупности. Поиск решения осуществлялся в виде трех слагаемых г(5, /Л ) = // ) + Щво, /Л) + Лг^, Ц) ,

и^/^и&^О+Пи^/О + Ли^ь/О , где г(Б,(а) = г0(5)+//г,(5)+...+ //^(5)+... , Пг(5о, Ц ) - пограничный ряд в окрестности 5 = 0, %=%!¡л , Пг(5о, ¡л) =Пог(5о)+//П1г(8о)+... +//кПк?(80)+... , УШ$\,[Л) - пограничный ряд в окрестности 8=1, Б] = (в -1)!/л , Лг(81,^) =Ло2(5,)+ //Л,г(5,) + ... + //^(б,)+... .

Аналогичные разложения имеют место для и(Б, ¡л), Пи(Бо, ¡л), Ли^,/л).

Записаны системы уравнений в нулевом, первом и втором приближении. Из уравнений следует, что в регулярной части кривизна % о учитывается только в первом приближении для момента и во втором приближении для координат и сил, а также параметр % о проявляется в погранслоях первого приближения для быстро изменяющихся переменных (Ми а) и в погранслоях второго приближения - для медленно изменяющихся ( х, у, Г и V).

Форма троса представляется кривой: x(s) = Xo(s) + ц X, (s) + ¡л Л, x(s, ) , y(s) = yo(s) + и Ï1 (s) + Ц n,y(s, ) . Результаты расчетов модельной задачи представлены в графическом виде.

В главе 2 рассмотрено поведение тонкого прямолинейного стержня под действием комбинированной нагрузки.

В разделе 2.1 дана постановка задачи и составлены основные уравнения. Задача, описываемая системой нелинейных дифференциальных уравнений, исследуется в следующей постановке. Прямолинейный тонкий стержень подвергается воздействию сжимающей силы Q0 и скручивающего момента . Материал стержня предполагается однородным и линейно упругим, а осевая линия - нерастяжимой. Стержень имеет длину L , площадь круглого поперечного сечения S, плотность р, изгибные

жесткости А2=Аз=А. Ось Z координатной системы OXYZ горизонтальна и направлена вдоль недеформированной оси стержня. Начало координат совпадает с левым концом стержня и длина дуги s осевой линии стержня отсчитывается от точки О. Показано, что, если пренебречь инерцией вращения, уравнения движения элемента оси стержня имеют вид:

5Q, д2х ÔQ2 д2у ЗОз ôh ---= р S--, - =р S--, — =р S--,

д s ôt2 ô s дt2 дs et2

ÔM, Эм2 ----= Qzb-Qjl,; ,--= Qjlu-Qilia ,

ôs ôs

ам3 ô iu i

--= Q1I.2-Q2I11 ,--=--( M2li3 -M3I12),

5s ôs A

0 ii2 1 a 1,3 1

---=---( M3I11 - M] I13 ) , ----=---(M,112-M21„)

ôs A 5s A

д х д у 5 z

---= 1ц , --= 1]2 , ---= 1в •

ds ds ds

Здесь x, у, z - проекции радиус-вектора точки s на оси декартовой системы

координат, Qi ,Q2 ,Оз - проекции вектора внутренних сил, действующих в

сечении s, Мь М2, М3 - проекции вектора внутренних моментов,

действующих в сечении s, t - время, 1ц , I12 , I13 - координаты

касательного вектора к осевой линии стержня в точке s, 1ц2+I122+I132 =1.

Общая система уравнений движения стержня содержит 12 независимых

переменных, так как среди девяти направляющих косинусов три

независимых. В замкнутой (относительно х, у, z, 1П, li2, Ьз, Q, , Mi )

подсистеме число независимых переменных равно 11, поскольку из трех

координат касательного вектора независимых два по причине имеющейся

между ними связи. Эти уравнения определяют поведение нерастяжимой оси

стержня. Шесть уравнений для l2j ,l3j неявным образом содержат одну

независимую переменную, которая характеризует скрутку стержня. В работе

для изучения поведения оси тонкого стержня исследуется вышеприведенная

система, но не рассматривается скрутка, что в реальных условиях (или при

учете инерции вращения) соответствует случаю бесконечно большой

крутильной жесткости. Показано, что данная модель с поставленными

граничными условиями является одним из возможных обобщений эластики

Эйлера на пространственный случай.

В разделе 2.2 определен прогиб оси тонкого стержня, находящегося

под воздействием вращающего (аксиального) момента и сжимающей силы

по методу Бубнова - Галеркина . Формула, полученная в квадратичном

приближении, имеет вид

8(Q° + п1 A/L2 - V)A

|f|2=----------, V=(M°)2/(4A).

(V - лгA/L2 X 3V + 7V2PJL2)

где | f | - наибольшее статическое отклонение от прямолинейного положения

В разделе 2.3 решается задача исследования малых пространственных колебаний оси тонкого упругого прямолинейного стержня.

Проблема изучения устойчивости прямолинейного стержня круглого сечения сводится, как известно, к нахождению собственных значений Л 2 краевой задачи

рБЛ2 й4 ;М° с13 (5° а2

А ск4 А ск3 А (¿в2

с условиями на концах и(0) = и(Ь) = 0 , и/;(0) = /М° и'(0)/А , и" (Ь) = /М° и'(Ь)/А , где и - комплексное отклонение от прямолинейного положения, С)0 - сжимающая (С?0 < 0) сила, М° - вращающий момент, э - дуговая координата вдоль стержня, отсчитываемая от левого конца .

Числа Я2 определяются путем решения системы, состоящей из характеристического уравнения и определителя. Прямой численный путь решения - минимизация на ЭВМ функции невязки Ф (X2). Однако практическое использование этого метода приводит к трудностям, связанным с существованием локальных минимумов у Ф (Л2) . В работе показано, что задача определения А2 может быть сведена к решению одного трансцендентного уравнения.

В главе 3 рассмотрены пространственные конфигурации оси тонкого упругого стержня и механизм петлеобразования.

В разделе 3.1 проведен анализ некоторых режимов изменения нагрузки, приводящих к образованию петли.

Известно, что при определенных (критических) значениях М°. и (3°. прямолинейная форма становится неустойчивой и стержень приобретает спиралевидную форму, устойчивую в некоторой области закритических значений параметров М° и С>° . При этом расстояние между концами стержня г° является функцией М° и 0° .

В диссертационной работе исследована дальнейшая эволюция этой

спиралевидной формы при другом наборе определяющих параметров: пр] возрастании вращающего (аксиального) момента М° и фиксированно* расстоянии между концами (г° < Ь). В такой постановке сила С?0 являете, реакцией связи и зависит от параметров М° и г° .-Показано, что < увеличением М° форма стержня изменяется согласно рис. 1 и при М° = М°крет принимает характерный "предпетлевой" вид (рис. 1д).

а)

6)

д)

в) е)

Рис. 1. Проекции формы стержня на плоскости ОХ2 и ОУ2.

х(2,Ъ)/Ь и У(2/Ь)/Ь

Рис.1 М°Ь/А МО) 112(0)

а 0 -12,2 0 0,9559

б 1 -11,99 0,2356 0,9228

в 5,5 -3,51 0,8088 0,1604

г 10,3 36,63 - 0,3623 0,2305

д 10,93 57,44 - 0,2467 0,1069

е 10,3 76,77 - 0,1269 0,0807

В диссертационной работе рассмотрены еще два возможных сценария образования петли. 1) Сначала под действием сжимающей силы (5° ( (2° < 0 ) стержень приобретает дугообразную форму; затем будет фиксировано расстояние между концами и приложен вращающий момент М°. 2) К прямолинейному стержню приложен достаточно большой вращающий момент М° н сила, действующая на конец С>° > 0. В некоторый момент под действием внешних причин начинается принудительное уменьшение расстояния между концами г° при постоянном М° . При таком режиме изменения нагрузок стержень также переходит в "предпетлевое" состояние, представленное на рис. 1д.

В разделе 3.2 выписаны уравнения равновесия и два типа граничны* условий.

К концу стержня приложены вращающий момент М° и сила 0° : х(0,1) = у(0д) = х(1Л) = у(ЬД) = О, 2(0Д) = 0, (1)

М,(0д) = М2(0д) = М,(Ьд) = М2(Ьд) = О, М3(ЬД) = М°, Оэ(ьд) = <2°.

Первоначально прямолинейный стержень находится в нагруженном криволинейном состоянии < Ь) , к нему приложен вращающий момент М° , а расстояние между концами 2° фиксировано :

х(0Д) = у(0д) = х(ЬД) = у(ЬД) = 0, 2(0,1) = 0, (2)

М^ОД) = М2(0Д) = М!(ЬД) = М2(ЬД) = О, М3(ЬД) = М°, ?.(ЬД) = г°. Уравнения для определения пространственных статических конфигураций оси тонкого стержня записаны в форме

Ах// + М°у/-ОРЬзХ=0

Ау//-М°х'-(2011зу = о (з;

2' = 1,3 , 113= ЫО)- 0?>(х2+у2)/(2А> , 1,з(0)=±{ 1-( х'СО >2 - (>,У2 Граничные условия типа (1) имеют вид :

х(0) = у(0) = х(Ь) = у(Ь) = 0, 2(0) = 0 . (4

Решение нелинейной системы (3) с граничными условиями (4) найден численно методом "стрельбы". При х(0) = у(0) = 2(0) = 0 подбиралось такс значение х/(0) , чтобы на правом конце стержня (б = Ь) выполняло«; условие х2(Ь) + Г(Ь) = 0 с заданной точностью.

Для второго набора граничных условий (2) имеем : х(0) = у(0) = х(Ь) = у(Ь) = 0, 2(0) = О, 2(Ь) = 2° ( 2° < Ь) . (5 Величина (2° = СЬ в уравнениях (3) заранее неизвестна и определялас численно в процессе решения задачи. При х(0) = у(0) = г(О) = 0 подбиралиа такие значения х'(О) и (3° , для которых при б = Ь выполнялос условие х2(Ь) + у^Ь) + ( г(Ь) - 2° )2 = 0. Это достигалось минимизацие: функции невязки по двум переменным.

Отмечено, что в силу уравнений величина у '(0) может быть выбран равной нулю. Однако для построения графиков представлялось боле удобным выбирать х/(0) и /(0) в процессе численного решения таким! чтобы проекция формы стержня на плоскость OYZ была антисимметрично функцией относительно г = г(Ь)/2.

В ситуации рис. 1а (или 16) были изменены граничные условия с тип (4) на (5). Изучена зависимость состояний равновесия от параметра М° пр фиксированном г°/Ь = 0,6274583. Для каждого М° > 0 определялас величина 0° в процессе численного решения уравнений (3) , (5 Соответствующая кривая 0° = 0°(М°) представлена на рис.2. Видно, что дл любого М° < М0,^ существуют два значения параметра С>° и, следовательш два положения равновесия. Когда величина М° возрастает, то форма стержн изменяется от вида на рис. 1а до вида на рис. 1д. В этом случае н

плоскости параметров М°, наблюдается движение вдоль нижней ветви кривой рис. 2 (ёфсМ0 > 0).

Рис.2.

( A-f критШ=10,93 , <?критЬ2/А=57,44 ) В разделе 3.3 рассмотрены уравнения малых колебаний стержня относительно стационарного состояния.

Уравнения колебаний стержня относительно состояния равновесия получены в предположении, что возникающие при колебаниях дополнительные внутренние усилия и перемещения являются малыми. Содержащиеся в уравнениях функции x(s), y(s), 1ц (s), li2(s), ln(s) и величина Q° , найдены предварительно в результате решения статической системы (3) при заданных значениях М° и z°. Из необходимых одиннадцати краевых условий пять определены на левом конце стержня (s=0) : A z(0)= Д Mi(0)= А М2(0)= А х(0)= Д у(0) = 0 и пять - на правом конце (s=L) : Д z(L)= Д Mi(L)= Д M2(L)= Д x(L)= Д y(L)= 0. Еще одно соотношение A M3(L)=0 получается из условия M3(L,t)=M°. Уравнения малых колебаний совместно с этими краевыми условиями определяют краевую задачу на

собственные значения. Собственные значения и формы колебаний найдены численным путем.

В качестве примера рассмотрено видоизменение формы стержня с увеличением вращающего момента при фиксированном расстоянии

между концами г°/Ь = 0,6274583. Как следует из рисунка 2, для каждого значения 0 < М°<М°ЧЖГ существуют два значения параметра (3° » соответствующие им статические формы. Получено, что для значений С?0, принадлежащих нижней ветви кривой (сК^/сЗМ0 > 0 или С?0 < О^ц,^ эти статические решения устойчивы (формы а-г на рис. 1), а для значений С?0 принадлежащих верхней ветви ( ёС^/сйИ0 < 0 или С>° > (^„г ) ■ неустойчивы (форма е на рис. 1). Из рис. 2 видно, что при М° > М0,^ не существует статических решений для действительных значенш параметра С?4.

Как следует из рис. 1д , форма стержня при М° = М0,^ приобретает характерный "предпетлевой вид". При превышении критического значенш момента стержень "вторично" теряет устойчивость и быстро сворачиваете) в петлю. Для практики представляет интерес область параметров

и г

при которых петля не образуется . Эш множество определено численно дш 0,6 < г°/Ь < 1. Приведена зависимость от критического момента М°крОТ Кривая делит плоскость параметров на две части, причем над криво! находится искомая область устойчивых состояний равновесия.

Раздел 3.4 посвящен отдельному классу решети стационарных уравнений. Рассмотрены решения уравнений статики пр] условии нулевого расстояния между концами стержня г(Ь) = 0 ) представлены иллюстрирующие графики.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные : диссертации.

Список работ автора, содержащих основные результаты диссертант

1. ЛосьМ.В., Орданович А.Е. Определение формы гибкого сгержш

при осевом сжатии и кручении // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1994. №5. 48-54.

2. Лось М.В., Орданович А.Е. Анализ процесса образования петли на гибком стержне // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. № 3. 62-65.

3. Лось М.В., Орданович А.Е. Определение условий образования петли на гибком стержне // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. (в печати).

4. Лось М.В., Орданович А.Е. О бифуркациях решений дифференциальных уравнений в задаче образования петли на гибком стержне // Дифференциальные уравнения, (в печати).

5. Орданович А.Е., Лизогуб Г.С., Лось М.В. Математическая модель троса. Соврем, пробл. мех. и технол. машиностр.: Тезисы докл. Всесоюзн. конф. Москва, 16-18 апреля, 1989. М.: 1989. с.8

6. Лизогуб Г.С. , Лось М.В., Орданович А.Е., Каликов В.Н. Учет жесткости троса в задаче академика АН. Крылова. Физ.-мат. моделир. при решении пробл. гидроаэромех. и динамики судов и средств освоения мирового океана. Всесоюзн. научно-техн. конф. (XXXIV Крыловские чтения 1989 года): Тезисы докл. Л.: Судостроение, с 113-114.

7. Орданович А.Е., Каликов В.Н., Гребенюк И.С., Лизогуб Г.С., Лось М.В. Математические модели движения тросовых систем в среде. МГУ. НИИ механики. Отчет №3751 , М., 1989. 55 с.

8. Орданович А.Е., Лось М.В. Анализ процесса образования петли на гибком стержне. Соврем, пробл. мех. и ее прил.: Тезисы докл. Всерос. конф., Москва, 5-6 июня, 1996. М., 1996. сб.

9. Лось М.В. О различных классах решений уравнений статики в задаче образования петли на гибком стержне. МГУ. М.: 1999. Деп. в ВИНИТИ. № 3608-В99, 03.12.1999.

ИЦ МНИИП. Заказ № 57. Тираж 100 экз. 20.08.2000.