Нестационарные колебания и устойчивость провисающих проводов воздушных линий при ветровых и гололёдных нагрузках

Соколов, Александр Игоревич

Нестационарные колебания и устойчивость провисающих проводов воздушных линий при ветровых и гололёдных нагрузках тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Соколов, Александр Игоревич АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Нестационарные колебания и устойчивость провисающих проводов воздушных линий при ветровых и гололёдных нагрузках»

Автореферат диссертации на тему "Нестационарные колебания и устойчивость провисающих проводов воздушных линий при ветровых и гололёдных нагрузках"

На правах р\конпен

СОКОЛОВ АЛЕКСАНДР Ш"ОРЕВИЧ

МЕСТ АЩЮ HАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ .'ïlfOBÎICАЮЩИХ ПРОВОДОВ ВОЗДУШНЫХ ЛИНИЙ iïPîf ветровых И ГОЛОЛЁДНЫХ НАГРУЗКАХ

Специальность:

■61,92.06 - Динамика, прочность машин, приборов и а-штарат^'р&й

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени

кандилата технических наук

17 да ш

Москва -2012

005048504

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего ярвф««нона;1ьи<яч> «физовашги «Московский государственный технический университет им, Н.Э. Баумана» на кафедре - «Прикладная механика».

Иаучный руководитель: доктор технических наук, профессор

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Воронов Сергей Александрович

Официальные оппоненты: Пановко Григорий Яковлевич, доктор

технических наук, профессор, ФГБУН ИМАШ им. A.A. Благонравова РАН, заведующий лабораторией

Чирков Виктор Петрович, доктор технических наук, профессор, ФГйОУ В ПО «НИУ «Московский энергстическл™ институт», профессор

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «НИУ «Московский авиационный

институт»

Защита состоится «14» февраля 2013 г. в 12® часов на часе дан« и диссертационного совета Д 212.129.01 ори Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный индустриальный университет» по адресу: 115280, г. Москва, ул. Автозаводская, д. 16, ауд. 1804.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ B1IO «МГИУ».

Автореферат разослан «09» января 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Иванов Юрий Сергеевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы. Провода воздушных линий электропередачи (ЛЭП, рис. 1), канатные подвесные дороги, шланги, трубопроводы и т.п. при

проводов, обусловленное взаимодействием с ветром, что приводит к более сложным задачам аэроупругости. Основная особенность этих задач -невозможность получения полной информации о силах, действующих на стержень. Экспериментально удаётся определить аэродинамические силы только для частных случаев обтекания коротких стержней. Задача усложняется наличием провисания (обусловленного ограничением усилий на опоры, температурным расширением и пр.), из-за которого провода получают заметные перемещения под действием ветра.

Поэтому исследование взаимодействия провисающих проводов с ветром в условиях обледенения является актуальной проблемой.

Цель диссертации. Целью диссертации является повышение надёжности воздушных линий в условиях обледенения провисающих проводов за счёт разработки методики расчёта нестационарных колебаний провода относительно положения равновесия в ветровом потоке для определения конструктивных параметров воздушных линий.

Задачи, рассмотренные в диссертации

1. Вывод выражений для аэродинамических нагрузок, действующих на произвольно ориентированный относительно потока движущийся элемент стержня.

2. Определение статических внутренних силовых факторов (ВСФ) и деформированного состояния пространственно-криволинейных стержней из нелинейных уравнений равновесия провода под действием произвольно направленного стационарного ветрового потока.

эксплуатации воспринимают ветровые нагрузки, а в ряде случаев подвержены оледенению. Указанные факторы, по отдельности и в сочетании, могут привести к авариям (обрывы и пережоги проводов, разрушение опор, разрывы шлангов и трубопроводов).

Рис. 1

Поскольку, выход из строя ЛЭП приводит к значительным экономическим потерям, механическая часть ЛЭП должна обеспечивать высокий уровень надёжности. Этим обстоятельством определяется применение как инженерных методов, так и высокоточных расчётов при проектировании, учитывающих основные особенности эксплуатации ЛЭП в реальных условиях. Проектировщикам необходимо учесть экстремальные условия, в частности, обледенение и возможное галопирование

3. Определение собственных значений колебаний (действительных и комплексных) и собственных векторов для проводов круглого и некруглого (в условиях обледенения) сечений.

4. Определение по действительной части комплексных собственных значений критических скоростей потока, при которых возможна потеря устойчивости положения равновесия провода (динамическим или статическим образом).

5. Определение динамических ВСФ и максимальных отклонений точек провода при нестационарных колебаниях, вызванных воздействием потока.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы были использованы основные положения и уравнения механики стержней и нитей, применялись численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, решения систем алгебраических уравнений и решения задач на собственные значения.

Научная новизна

1. Разработана новая динамическая модель провисающего провода, взаимодействующего с ветром, учитывающая крутильную и изгибные жёсткости провода, а также возможное оледенение с учётом жёсткости льда и несовпадение центров масс и жёсткости сечений.

2. Разработана методика численного решения нелинейных уравнений равновесия пространственно-криволинейных стержней в потоке воздуха с определением статических ВСФ при произвольном направлении ветра.

3. Разработана методика численного определения собственных значений и собственных векторов колебаний, позволяющая найти критические скорости ветра, при которых возможна потеря устойчивости равновесия провода в зависимости от параметров системы "провод-поток".

4. Разработана методика численного решения уравнений колебаний провода, вызванных нестационарным ветровым потоком, с определением динамических ВСФ.

5. Получены скорректированные уравнения, с учётом нормировки производной от радиус-вектора, для приближённого решения нелинейных колебаний нити методом разложения по собственным векторам.

Практическая ценность полученных результатов

1. Разработаны численные алгоритмы и программное обеспечение (ПО), позволяющие рассчитывать ВСФ длиннопролётных стержневых систем под действием аэродинамических нагрузок с использованием нитяной и стержневой моделей.

2. Разработаны численные алгоритмы и ПО определения критических параметров потока, обтекающего протяжённую тросовую систему, при которых возможна потеря устойчивости положения равновесия.

3. Разработана методика для определения максимальных ветровых нагрузок, действующих на стержневые конструкции.

4. Разработанная инженерная методика расчёта пространственно-криволинейных стержней, взаимодействующих с ветром, может быть применена при расчёте стержневых конструкций, взаимодействующих с потоком газа или жидкости.

Достоверность научных положений и выводов вытекает из обоснованности использованных теоретических подходов, подтверждается решением тестовых примеров, их сравнением с аналитическими результатами, сравнением решений, полученных при помощи различных моделей, а также сравнением результатов с расчётами, полученными другими авторами.

Реализация результатов работы. Полученные в диссертации алгоритмы и ПО численного решения уравнений статики и динамики стержней внедрены в расчётную практику ИМАШ им. A.A. Благонравова РАН и Конструкторско-технологического бюро Департамента промышленности ЗАО «СУ-155».

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях аспирантов в МГТУ им. Н.Э.Баумана (2005-2007, 2012 г.г.), на НТС отделения ГНЦ ФГУП "Центр Келдыша" (2012 г.), на XXXII Всероссийской конференции по проблемам науки и технологий (г. Миасс, 2012 г.), на научном семинаре "МЕСМУС" и в отделе "Вибрационная биомеханика" ИМАШ им. A.A. Благонравова РАН (2012 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 научных работ, в том числе 4 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, основных выводов, списка литературы из 85 наименований, приложения; содержит 177 страниц, 122 рисунка и 7 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассмотрены основные проблемы, возникающие в практике проектирования стержневых элементов конструкций, взаимодействующих с потоком; дается обзор научных публикаций наиболее близких к теме диссертации; сформулированы цели и основные задачи, которые рассматриваются в диссертации.

В первой главе дан вывод аналитических выражений для проекций аэродинамических нагрузок при следующих допущениях:

1) набегающий и обтекающий потоки считаются стационарными, а при движении стержня - квазистационарными;

2) справедлива аэродинамическая гипотеза плоских сечений (рис. 2).

Подробное описание форм оледенения (рис. 3) проведено в работе В.Е. Бучинского. Аэродинамические характеристики сечений приводятся, например, в работах C.B. Валандера, С.М. Горлина и др.

Для распределённых аэродинамических нагрузок в работе предложено следующее их описание:

Ч. =<?,o-(vOT/v0)2cos2 ço]e,«g«(cosçol), Q„, =9„1o(aJ'(vor/v0)sin(pal(^r2e2+e<1¿3e3), qt =?io(aJ-(vor/v0)sin9ol(ei'o)r2e3-e^3e2), V-a = fto(«J ' (VOT /V0 )2 Sin2 Ф«1ер qw = cpdl\f(2mBg), qn¡ü(aa) = c¿a)Pd%lK2m0g),

qLt{a, ) = cL (0Co )pd[\\ /(2m0g), ßl0(aj = cm (a. )pd{1)l,vj l{2m0gl), e^j =cosa;j cosß^j' + sinß„/j2' +sina„ cosßi7/'j), sin aa = v0(cosa;; cosß^/f,1 +sinßir/22) +sina„ cosßn/j,' —ß0ii2)/(| v0T |sin<pal), V„r=V0-ú(77,:r), ß0=/p0/v0, p0=7^77,

где v0 - скорость потока; фо1 - угол между единичным вектором (е,), касательным к осевой линии и относительной скоростью потока (vor); и -вектор перемещений точек осевой линии стержня; I - длина провода; ра -размерный параметр; /f.'1 - элементы матрицы преобразования L(l) исходного базиса {е;0} к базису {еу}; ап, ß„ - направляющие углы потока; cj -

аэродинамические коэффициенты; р - плотность воздуха; и /, -

параметры сечения; т0 - масса единицы длины провода; g - ускорение свободного падения; аа - угол атаки.

Из приведённых соотношений, полагая LÍ1' = Li0' (LÍ0' - матрица преобразования базиса {iy} к базису {е;0}), us0, можно получить выражения для аэродинамических сил, действующих на неподвижный стержень.

При малых колебаниях в потоке, разложив выражение (1) в ряд по 0 (0 - вектор углов поворота) и й около нуля, получаем линейные приращения аэродинамических сил

Да =1У13)е + 1^4)Эи/Эг-, Да, =М(5)в + М(<,)Эи/Эг,

(2)

ДЧ, =]\(7,0 + 1Ч18|Эи/Эг, Дца = Р(1)е + РшЭи/Зг. Матрицы и Ри) приводятся в приложении к диссертации

Рис. 4

Во второй главе приводятся нелинейные уравнения равновесия (в безразмерном виде) "жёсткого" провода в стационарном потоке газа в связанных осях (рис. 4)

¿/С>/а'Л + кхд + я=0, с/М/с/т^ + кхМ + е, х(3 + ц = 0,

Ь|а'е/б/л + Ь2<)-А-|М=0, (3)

а'и/й1,г| + кхи + (/|1 -1)е, +/21е2 +/31е3 =0, М=А(к-к'"),

где т| - безразмерная дуговая координата (отнесённая к длине провода); к, - векторы кривизны осевой линии стержня соответственно в нагруженном и естественном состояниях; <3, М - внутренние сила и момент; q, ц -внешние распределенные силы и моменты; А - матрица жёсткости стержня. Вывод данных уравнений приведён в работах В.А. Светлицкого.

Система (3) - базовая для определения напряжённо-деформированного состояния (НДС) отклонённого провода, относительно которого, в дальнейшем, рассматриваются задачи динамики. Эта система решается численно с использованием метода последовательного нагружения

г г

(q = ^Дqm; ц = ^Дцт), что позволяет на каждом шаге нагружения (т)

т=1 т=1

решать линеаризованную систему уравнений и методом итераций уточнять решение до заданной точности. Линеаризованные уравнения имеют вид:

сМ{тЮ/Л1) + к'-*н|хМм'Че, х(ГХ4) = 0,

й©1"'х":,/(5'г| + к<"'><*~1>хв<'"х" -А 'М""К" =0, (4)

/й'л+к("'1<i-1, хи<"х1) -тЭ^'Ц +д<"х*>е3 = 0, М(,"х*' = АДк"")(И.

Рис. 5

На рис. 5 представлены формы упругой линии, полученные при решении уравнений равновесия защемлённого провисающего "жёсткого" провода при следующих параметрах: 1=20 м, с/= 10"2 м, т0=0,61 кг/м - длина, диаметр и погонная масса провода; Епр=2-\05 МПа, Ц=0,25 - механические характеристики материала; х1К=0,1, х^ОА - безразмерные координаты крепления правого конца провода; р=1,25кг/м3 - плотность потока; С1=0,1, с„= 1,25 -аэродинамические коэффициенты. Вектор скорости потока (уо= 15 м/с; 30 м/с; 50 м/с) ортогонален плоскости х\Ох2 (ап=90°; (3п=0).

В третьей главе для описания движения стержня в потоке воздуха используются нелинейные уравнения механики стержней, которые после линеаризации принимают вид:

-Э2и / Эт2 + ЭД<3 / Эт) + Дк х + к0 х ДQ = -Дц,

-1Э20/Эт2 + ЭДМ/дг\ + ДкхМ0 + к0 хДМ + е, хД<2 = -ДД,

Э9 / дг) + к0 х в - Дк = 0, (5)

Эи 1дг\ + к0 х и - тЭ3е2 4- Й2е3 = 0,

ДМ = А • Дк,

где т - безразмерное время; I - матрица физических моментов инерции; величины со знаком Д - приращения соответствующих векторов. В матричной форме система уравнений (5) имеет вид

А(|)э22/Эт2+эг/дл + А<2)г = дь, (6)

где Ъ = {Д(2,ДМ,0,и}г; А01 - матрицы коэффициентов, стоящих при компонентах вектора Ъ в выражении (5); ДЬ = -{Д<|,Д|г,0,0}г - вектор приращений аэродинамических и гравитационных нагрузок.

Полученные уравнения в дальнейшем используются для:

1) исследования численными методами колебаний пространственно-криволинейных стержней (определение динамического НДС), нагруженных произвольными динамическими распределенными силами и моментами с помощью собственных значений и векторов, определяемых из (6) при ДЬ = 0;

2) определения комплексных собственные значений при ДЬ Ф 0, зависящих от скорости потока, по которым находятся критические скорости ветра.

В конце главы приводятся уравнения малых колебаний провода при обледенении, когда центры масс и центры жесткости сечений не совпадают, позволяющие исследовать влияние взаимного расположения указанных точек на динамические характеристики провода.

В четвёртой главе рассмотрена задача определения собственных значений и собственных векторов при колебаниях "жёсткого" стержня в стационарном потоке. По действительной составляющей комплексного собственного значения определяется устойчивость положения равновесия провода в потоке. Находятся критические скорости потока, при которых возможна потеря устойчивости.

1. Определение собственных частот и собственных векторов. Рассматриваются малые колебания стержня относительно состояния равновесия стержня в потоке, которое определяется из нелинейных уравнений равновесия стержня, без учета "динамических" составляющих аэродинамических сил, т.е. из однородного уравнения (6).

Решение однородного уравнения (6) (при ДЬ = 0 ) ищется в виде

ъ = (7)

Подставив (7) в уравнение (6), получаем

ж0/^л+(А(2>-р2Аж)г0 = о => г0 = к(п,р)с. (8)

Решение уравнения (8) должно удовлетворять краевым условиям, что позволяет определить (У = 1,2,...).

Каждому Р; соответствует собственный вектор , равный

г'0У) = кс01, (9)

который должен удовлетворять краевым условиям при Г) = О И Т1 = 1. Для частного случая однородных краевых условий (защемления по концам)

¿М1,р,)4»=о. (Ю)

V—1

Из системы (10), задавшись одной из констант, можно определить остальные, после чего задача о нахождении собственного вектора решена.

2. Определение комплексных собственных значений. Рассматриваются колебания стержня (неоднородное уравнение (6)) относительно состояния равновесия в потоке с учётом динамических составляющих аэродинамических сил и моментов.

Динамические составляющие нагрузок зависят от динамических углов 0 и производной вектора перемещений й (2). В этом случае система "стержень-поток" неконсервативна, а собственные значения - комплексные числа =ау±/'Р;).

Вектор приращений аэродинамической нагрузки можно представить в виде ДЬ = -А0)дХ/дт-А<4|г. С учётом вектора ДЬ, получаем уравнение

Компоненты вектора Ъа должны удовлетворять краевым условиям, из которых (при Т) = 1) получаем однородную систему линейных уравнений относительно компонент вектора С, определитель которой должен быть равен нулю. Значения (а<у>;|}<у>) при этом соответствуют комплексным собственным значениям = а] ± .

На рис. 6 приведены графики изменения aJ, в зависимости от

скорости потока при следующих параметрах провода: /=100 м; /(=0,05 м;

-0,02 м; аИ0"2м; £пр=2105 МПа; ц=0,25; тй= 1,18 кг/м; *ік=0,7; х2к=0,4; р=1,25 кг/м3; ап=135°; Рп=0. Как видно из рисунка, при скорости потока ~27 м/с действительная часть третьего собственного значения становится положительной, т.е. провод теряет устойчивость динамическим образом.

Для того же провода, но без обледенения (т0=0,61 кг/м; Сі=0,1; с„=1,25), графики изменения собственных значений приведены на рис. 7. Из рисунка видно, что провод не теряет устойчивости. Следовательно, основное влияние на динамические характеристики провода оказывает форма его сечения (значения аэродинамических коэффициентов).

(И)

(12)

(13)

(14)

У0. М/С V,. м/с

Рис. 6 Рис. 7

В пятой главе исследуются нестационарные колебания провода в потоке воздуха при действии распределенных сил. Рассмотрены три типа нагружения: импульсное, внезапным стационарным потоком, нестационарным потоком в виде суммы постоянной и гармонической составляющих с малой амплитудой. в уравнении (6)

дь = ь(г|, т) - (А(3)эг / Эт+д(4)г), (15)

где Ь - вектор нагрузок, отвечающий за возмущение потока. Подставив (15) в (6), получаем

а(1)э2г / Эх2 + а<3)эг / Эт+эг / дп+( а(2) + а(4) )г=ь. (16)

Приближённое решение уравнения (16) ищется в виде

г=Е/у(т)г<Л(п). (17)

где - неизвестные временные функции; Z¡/' - известные собственные векторы, полученные из (6) с однородной правой частью, компоненты которых удовлетворяют краевым условиям задачи.

Подставив выражение (17) в (16), получим невязку у

£[А<"/У + а<3>/, +(а«> +р2а<")/у]г<» - Ь = у. (18)

№

Для решения (18) применяется обобщенный метод Галёркина (данный метод подробно изложен в.а. Светлицким). в результате, получаем п дифференциальных уравнений относительно fj с постоянными коэффициентами:

+ + = (* = йо. (19)

Для решения системы (19) необходимы начальные условия, которые определяются в зависимости от типа нагружения.

/. Импульсное иагружение. Будем считать, что время действия импульса Дт мало по сравнению с периодом, соответствующим первой частоте (Дт<к7^), и после окончания действия импульса, точки осевой линии провода получают скорости, а их перемещения практически равны нулю. Движение провода после окончания действия импульса описывается уравнением (16) с однородной правой частью и начальными условиями г(Т1,0)=0, ¿01,0)*0.

Для определения /ДО) применим к уравнению (16) обобщённый метод Галёркина и проинтегрируем полученное выражение по времени от 0 до Дт. Меняя порядок интегрирования и пренебрегая малыми величинами после интегрирования по времени можно получить

|([ А(1) (Эг / Эт)0 - ът, ],Е0г(0" Уп=о, (20)

где Ь1М =Дт(-Дч<1;-Дц1;0;0)г.

Величины "статических" приращений аэродинамических сил и моментов при импульсе можно записать следующим образом

АЧ<,=Ч„М-Ч0Ю, Ац1=Ц,(У)-Ц1(У0). (21)

Раскрывая в (20) величину X, согласно (17) имеем

|([А(,) £ /,(0)г<» - ьш,],Е0г<> VII = о. (22)

о М

В результате получаем систему относительно начальных условий (/.(0)) для интегрирования уравнения (19)

2Х/,(°) = 6Г (*=й), (23)

На рис. 8 показано изменение максимальных эквивалентных напряжений, возникающих в круглом проводе для данного нагружения с параметрами провода, рассмотренного в главе 4, при 1= 20 м, начальной скорости ветра у0=5 м/с, скорости при порыве у=15 м/с, времени действия импульса 0,1 Ть

2. Внезапное нагружение стационарным потоком. В данном случае вектор (1 в уравнении (19) отличен от нуля. Вектор приращения нагрузок, отвечающий за изменение "статической" аэродинамической составляющей, равен Ь = (-Дя<1;-Дц1;0;0)т, компоненты которого вычисляются по выражению (21). При этом уравнение (19) решается при нулевых начальных условиях.

1/Т,

Рис. 8 Рис. 9

На рис. 9 показано изменение максимальных эквивалентных напряжений, возникающих в ранее рассмотренном проводе для данного

нагружения при начальной скорости ветра у()=10 м/с и скорости порыва \=\2 м/с.

3. Чередующиеся порывы ветра. Скорость потока для данного нагружения можно представить в виде

у=у0(1+^тол;), (24) где у0 - среднее значение скорости ветра; ^ и со - относительная амплитуда и частота гармонической составляющей потока (| ^ 1).

Вектор (1 в уравнении (19) отличен от нуля. Приращения аэродинами-чередующихся порывах ветра Ь(ш,=(-ДЧ<ш>;-Дц<ш);0;0)г.

Оставляя только линейные слагаемые, получаем

д<г =25ч.(у0)-япш1, дц;»" =2сц1(у0)-япшг. (25)

На рис. 10 представлены максимальные эквивалентные напряжения, возникающие в круглом проводе, рассчитанные для данного нагружения с параметрами у0=10 м/с, ¡¡ = 0,1, со=Р, при нулевых начальных условиях.

В шестой главе исследуются нестационарные колебания нити в ветровом потоке для получения уточнённой оценки сверху максимально возможных отклонений точек провода.

Для решения задачи выводятся выражения аэродинамических сил, действующих на элемент нити в неподвижной системе координат,

Рис. 10 нагрузок

при

использующие допущения, приведённые в главе 1. Выражения для проекций аэродинамических нагрузок имеют вид

3 3

Яш = йоССо + -Ро"уК«,.» -Ро"*)(<0 + и',Х4о + щ) ■

/=I *=1

■sign

(26)

?„,„ =9„о.[ЕТК/ "РоИуХЧ* -Ро"*Х5д "(^0 +«>Х^о + "!)) '

V /=1 *=1

у=1

где - координаты центров тяжести сечений провода в декартовых осях.

Приращения аэродинамических сил при колебаниях можно получить, разложив (26) в ряд по и' и й. Ограничившись линейными слагаемыми, имеем

4i =Чю+А u'—А й,

(27)

Я„=Ч„„+А<3,и'-А(4,й. Статическое положение равновесия нити в потоке воздуха, относительно которого будут исследоваться колебания провода, получается из системы

¿ачо/Лч + ?„,«, + <7„о - 52У = о, и = 1,2,3),

(28)

/ёц - <2Ф /е,0 = о, = йф'

где - проекция осевой силы (2Ш на декартовы оси; с\ща, - проекции нормальной и касательной аэродинамических сил на декартовы оси; 62у - символ Кронекера.

На рис. 11 представлены формы упругой линии, полученные при решении уравнений равновесия нити с теми же параметрами, что и в примере главы 2, для скорости ветра 50 м/с (кривая 1). Там же, для сравнения, приведены результаты для стержневой модели при тех же условиях (кривая 2).

Собственные частоты и собственные векторы получаются при рассмотрении уравнений движения и условия нерастяжимости нити:

Рис. 11

Полагаем

хгх,*+и>п (зо>

где и ., де,, деч. - малые величины.

После преобразований получаем систему линейных уравнений

ЭД(3/дг|-Э2и/Эт2=0, Эи/Эт1 + С0Дд = 0. (31)

Решение системы векторных уравнений (31) ищем в виде

ДСКті^іКпИ51, иСп,т) = Ф(лУР\ (32)

После подстановки (32) в (31) получим систему уравнений

¿Л|//с/г| + р2ф = 0, <Лр/с/г| + СоЧ> = 0, (33)

решение которой

г = К(л,р,^/,ЄІ0)С. (34)

Привлекая граничные условия ф(0) = 0 и ф(1) = 0, будем иметь

ёе1К(1,(3) = 0, (35)

откуда получаем собственные значения р.. Подставляя их в (34) и полагая одну из констант заданной, получаем собственные векторы.

При рассмотрении нелинейных вынужденных колебаний будем исходить из уравнений

Э(3Х /¿>п —Э2х/Эх2 + я =0, (36)

При решении нелинейных уравнений колебаний нити можно воспользоваться методом разложения решения по собственным векторам

этой же системы. Однако собственные векторы выводились из уравнений малых колебаний (33) при предположении нерастяжимости нити (29), которое сводится, к условию е10 ±(ййр0,/*/т|). Вектор е, = х', где е, -касательный вектор к осевой линии нити при колебаниях; х - радиус-вектор элемента нити при колебаниях. С другой стороны, х = х0 + и, где х0 -радиус-вектор элемента нити в положении равновесия; и - вектор конечных перемещений. Таким образом, е,=е10+и', где е,0=х„ (рис.12). Так как перемещения будут раскладываться по собственным векторам, то е10 <р', где ф - вектор, аппроксимирующий перемещения. Следовательно,

|е, |=^1 + (<р')2 > 1, т.е. не удовлетворяется второе уравнение (36). Как следствие, применять метод разложения нелинейных колебаний по собственным векторам без каких-либо модификаций нельзя. Поэтому предлагается нормировать получаемый вектор е, = х'/| х' |.

Величины, входящие в (36), записываем, учитывая уравнения равновесия, в виде:

(2, =<},„ +ДО,, х = х0 + и, б. =6.0 + д2р (37)

я = яо0 + Дч„ + А151и'— А(6|й - ¡2, е, = х'/|х'| = (х'0 + и')/|х'0 + и'|, где яо0 - аэродинамические силы, действующие на деформированный провод в стационарном потоке; Дцо - приращения аэродинамических сил, обусловленные изменением скорости потока; А(5)и' и А<6)й - приращения аэродинамических сил, обусловленные движением провода, где А<5) = А", + А<31, А(6,=А(2|+А<4) (в соответствии с (27)).

Считая, что скорость потока меняет только модуль, компоненты можно записать в виде

(38)

Приближенное решение уравнений (36) ищем в виде

и = Ху}(х)«р0>(л), лс^Е^Мч^Чл). <39>

м м

После подстановки (37) и (39) в (36) применяем обобщённый метод Галёркина. В результате получаем

¡Г + В^Г + В^ + В'^а, В(4)8 = В(5|Г (40)

Для решения задачи Коши необходимы начальные условия. Рассматриваются два случая:

1) Внезапное приложение нагрузки ( Г(0) = 0. ¿"(О) = 0).

Для провода с числовыми параметрами: / = 20м; х,(1) = 14м; х-,(1) =8м; р =1,25 кг/м3; ¿/=0,01 м; т0 =0,61 кг/м; с, =0,1; с„=1,25; а„ = 135° и Р„=0; у0=5 м/с; у=15 м/с. Максимальные отклонения точек провода для внезапно приложенной нагрузки представлены на рис. 13.

2) Импульсное нагружение (1X0) = О, Г(0)^0). Проделывая операции, аналогичные рассмотренным в главе 5, имеем Г(0) = Дт(1.

Для провода, рассмотренного в предыдущем примере, при у0=5 м/с, у=15м/с и Дт = 0,17'|, на рис. 14 представлены максимальные отклонения точек провода для импульсного нагружения.

Рис. 13 Рис. 14

В приложении приводится ряд формул в развёрнутом виде и производится оценка достоверности применяемых методов и получаемых результатов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработана новая модель обледеневшего нерастяжимого провисающего провода, взаимодействующего с потоком воздуха, учитывающая крутильную и изгибные жёсткости провода, для решения задач аэроупругости.

2. Полученные аналитические выражения для аэродинамических нагрузок, действующих на произвольно расположенный элемент провода, дают возможность исследовать задачи статики и динамики проводов, взаимодействующих с потоком воздуха.

3. Разработаны методика и ПО численного определения: статических внутренних силовых факторов провода в стационарном ветровом потоке; собственных значений и собственных векторов колебаний провода относительно состояния равновесия, позволившие найти критические скорости ветра, при которых могут возбуждаться колебания с нарастающими во времени амплитудами.

4. Оценены компоненты напряжённого состояние провода в зависимости от скорости ветра при нестационарных колебаниях на основе разработанной методики и созданного ПО решения линейных уравнений вынужденных колебаний провода в потоке воздуха.

уравнений нестационарных колебаний провода в потоке воздуха для оценки максимальных перемещений точек провода.

6. Показано, что: причиной галопирования проводов является как оледенение, так и нестационарность потока; основное влияние на динамические характеристики протяжённых стержневых элементов оказывает форма оледенения, а смещение между центрами масс и жёсткости за счёт оледенения играет несущественную роль.

Основное содержание диссертации опубликовано в рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Наумов, A.M. Определение напряженно-деформированного состояния "жестких" проводов, находящихся в потоке воздуха / A.M. Наумов, А.И. Соколов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2008. - №2. Серия: "Машиностроение". - С. 11-21.

2. Соколов, А.И. Определение частот свободных колебаний провода, находящегося в стационарном потоке / А.И. Соколов // Известия вузов. Машиностроение. - 2008. - №9. - С. 25-34.

3. Соколов, А.И. Нелинейные колебания абсолютно гибкого провода в потоке воздуха / А.И. Соколов // Наука и образование [Электронный ресурс]. - 2008. - №4 (http://technomag.edu.ru/doc/87224.html).

4. Соколов, А.И. Устойчивость стержней в потоке воздуха / А.И. Соколов // Наука и технологии: материалы XXXII Всероссийской конференции по проблемам науки и технологий. - Миасс: МСНТ, 2012. -С. 152-154.

в других изданиях:

5. Наумов, А.М. Численные методы исследования устойчивости стержней в потоке / A.M. Наумов, В.А. Светлицкий, А.И. Соколов // Проблемы прикладной механики, динамики и прочности машин : сб. ст. - М.: Из-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. - С. 229-243.

Подписано в печать: 29.12.2012 Тираж 100 экз. Заказ №915 Отпечатана в типографии «Реглет» г. Москва, Ленинградский пр-т д.74 (495 )790-74-77 www.reglet.ru

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Соколов, Александр Игоревич

Введение

Обзор литературы

Цель работы

Задачи, рассмотренные в работе

Содержание глав

Научная новизна

Практическая ценность

Достоверность

Реализация результатов работы

Апробация работы

Публикации

Глава 1. Аэродинамические силы, действующие на стержень в потоке воздуха

1.1. Безразмерные переменные и параметры

1.2. Аэродинамические силы, действующие на движущийся стержень в потоке

1.3. Аэродинамические силы, действующие на неподвижный стержень в потоке

1.4. Аэродинамические силы при малых колебаниях стержня в потоке

1.5. Выводы

Глава 2. Статическое напряжённо-деформированное состояние стержней при конечных отклонениях в стационарном потоке

2.1. Постановка задачи

2.2. Уравнения равновесия стержня ("жесткого" провода) в потоке

2.3. Численное интегрирование нелинейных уравнений равновесия стержня методом последовательных нагружений

2.4. Проверка разработанного алгоритма и программы численной реализации

2.5. Выводы

Глава 3. Уравнения движения стержня

3.1. Нелинейные векторные уравнения движения стержня

3.1.1. Уравнение движения стержня в неподвижных декартовых) осях

3.1.2. Уравнения движения в связанных осях

3.2. Уравнения малых колебаний "жесткого" провода в потоке

3.3. Уравнения малых колебаний провода при обледенении, когда центры масс и центры жесткости сечений не совпадают.

3.4. Выводы

Глава 4. Определение собственных значений и собственных векторов.

Устойчивость положения равновесия

4.1. Определение собственных частот консервативных задач динамики стержней

4.2. Определение собственных векторов

4.3. Определение собственных значений для неконсервативных задач.

Устойчивость положения равновесия

4.3.1. Точный численный метод определения комплексных собственных значений

4.3.2. Приближенное определение собственных значений

4.4. Численное исследование задач определения собственных значений и собственных векторов для стержней, взаимодействующих с потоком

4.4.1. Определение собственных значений (частот) и собственных векторов при колебаниях провода в стационарном потоке

4.4.2. Определение комплексных собственных значений круглого провода без обледенения с учётом аэродинамических сил

4.4.3. Определение комплексных значений провода при обледенении с учётом аэродинамических сил и момента

4.4.4. Влияние расстояния между центром масс и центром жёсткости на собственные значения

4.5. Выводы

Глава 5. Нестационарные колебания "жестких" проводов при действии аэродинамических сил

5.1. Уравнения движения провода при возмущениях потока

5.2. Начальные условия и аэродинамические нагрузки для решения задачи нестационарных колебаний

5.2.1. Импульсное нагружение

5.2.2. Внезапное нагружение стационарным потоком

5.2.3. Чередующиеся порывы ветра

5.3. Оценка прочности провода при колебаниях

5.4. Оценка относительной сходимости решений

5.5. Численное исследование задач нестационарных колебаний

5.6. Выводы

Глава 6. Нелинейные колебания проводов при действии нестационарных аэродинамических сил

6.1. Аэродинамические силы

6.1.1. Определение аэродинамических сил, действующих на провод в стационарном потоке

6.1.2. Определение аэродинамических сил, действующих на неподвижный провод

6.1.3. Определение приращений аэродинамических сил при колебаниях провода

6.2. Определение статического НДС абсолютно гибкого провода

6.3. Определение собственных значений и собственных векторов

6.4. Нелинейные вынужденные колебания провода в потоке

6.5. Оценка относительной сходимости решений

6.6. Численное исследование нестационарных колебаний

6.7. Выводы . . . . . . . . . 152 Основные результаты и выводы . . . . . . . 153 Список литературы . . . . . . . 154 Приложение

ПЛ. Развёрнутый вид использованных выражений

П.2. Оценка достоверности

П.2.1. Подстановка полученного приближённого решения в исходные нелинейные уравнения . . . . . 164 П.2.2. Оценка достоверности на основе сравнения решения с аналитическими решениями для коротких прямолинейных стержней . . . . . . . 167 П.2.3. Сравнение результатов, полученных на основе нитяной модели с результатами, полученными другими авторами . . 169 П.2.4. Сравнение результатов, полученных на основе различных моделей

Введение диссертация по механике, на тему "Нестационарные колебания и устойчивость провисающих проводов воздушных линий при ветровых и гололёдных нагрузках"

Стержни, стержневые элементы находят широкое применение в технике, как составные элементы конструкций, агрегатов машин и механизмов, приборов.

Стержень является наиболее простой моделью физических объектов, изучаемых в механике деформируемого твёрдого тела. Способы оценить

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5. прочность и перемещения моделирующихся стержнем колон и шарнирно опёртой балки предлагались ещё Леонардо да Винчи, консольной балки -Галилео Галилеем (рис. 1).

В дальнейшем, на основе линейных зависимостей между деформациями и перемещениями в упругих постановках были разработаны технические теории деформирования стержней, с помощью которых удалось обосновать Прочность сложных инженерных сооружений (рис. 2-5).

Рис. 1.

Рис. 2

Геометрически нелинейную задачу деформирования стержня в плоскости рассматривал Л. Эйлер (эластика Эйлера - рис. 6) [52]. Существенное значение при нелинейном деформировании приобретает поведение векторов сил, действующих на систему. Задача о формоизменении кругового кольца под внешним распределённым давлением была решена Ж. Альфаном (рис. 7) [77].

Для расчёта линейных стержневых систем методы решения основывались на аналитических зависимостях. Для нелинейных систем возникла необходимость разработки специальных методов вычислительной математики, поскольку аналитические решения уравнений удавалось получить крайне редко. Довести же практические задачи до численных результатов с помощью аналитических зависимостей достаточно неудобно и трудоёмко.

Рис. 9.

Рис. 11.

В настоящее время повышается продуктивность активного применения в расчётах на прочность и жёсткость технических устройств, где используются стержневые модели с учётом нелинейных соотношений геометрии в пространстве, особенностей воздействующих нагрузок, переменности вдоль оси распределённых масс и характеристик сечения и т.д. и т.п. Этот факт связан с развитием вычислительной техники и тем обстоятельством, что адекватно смоделировать некоторые технические объекты альтернативной стержню моделью просто невозможно. На рис. 8-11 показаны примеры таких объектов технических устройств.

Если говорить о геометрической нелинейности, то большой вклад в развитие теории пространственно-криволинейных стержней внесли такие учёные как Р. Кирхгоф, А. Клебш, Е.Л. Николаи, В.А. Светлицкий и др [49,74,79,56-59].

В диссертации рассматривается задача о динамическом поведении обледеневших проводов (тросов) линии электропередачи (ЛЭП) и подвесных транспортных систем от ветрового воздействия (рис. 8, 11). При этом, поведение провода, как пространственно криволинейного стержня, зависит от аэродинамических нагрузок, изменяющихся по направлению и величине, связанных с изменением формы провода.

В работе растяжимость реальных стержней не учитывается. Учёт растяжимости в теории пространственно криволинейных стержней, как показал Д.Р. Меркни на примере абсолютно гибкой нити, не приводит к существенным уточнениям результатов для провисающих проводов, и лишь усложняет решение [44].

Механизм возникновения аэродинамических и гидродинамических сил один и тот же, и при равных числах Рейнольдса и Маха нагрузки от потока будут отличаться только скоростным напором. Поэтому, все соотношения для потока газа, остаются справедливыми и для потока жидкости. Так уравнения для описания поведения каната, удерживающего речной бакен (рис. 10), будут теми же, что и для провода ЛЭП, находящегося в потоке воздуха (рис. 11), или шланга системы дозаправки воздушных судов (рис. 9).

Выход из строя ЛЭП приводит к значительным экономическим потерям, а подвесных канатных дорог усугубляется опасностью для жизни людей, поэтому при расчётах проводов, мачт, креплений и т.д. должны учитываться конкретные особенности эксплуатации проводов (тросов) в реальных условиях, включая и возможные экстремальные условия (порывы ветра, обледенение, возникновение пляски проводов).

В настоящее время различают два наиболее опасных для прочности проводов и тросов явления, связанные с ветром - это галопирование и "эолова" вибрация.

Под "эоловой" вибрацией понимают высокочастотные колебания проводов с малой амплитудой, преимущественно в вертикальной плоскости. Причиной этого явления считаются силы Кармана. Так для чисел Рейнольдса (11е) от 200 до 200000, число Струхаля (8И) приблизительно постоянно и равно 0,2, частоту вихреобразования можно подсчитать по формуле / = • у/Ь, где V - скорость ветра, Ь - характерный размер провода (например диаметр). Для скорости ветра 10 м/с и диаметре провода 0,01 м, получаем частоту вихревой дорожки Кармана ~200 Гц, что подтверждает предположении о природе указанного явления. Данное явление в работе не рассматривается.

Под галопированием понимают низкочастотные колебания большой амплитуды, происходящие преимущественно в горизонтальной плоскости с образованием двух, трёх (иногда и более) полуволн в пролёте. Причиной этого явления часть авторов считает наличие подъёмной силы у провода некруглого сечения. Однако данное явление наблюдалось и у круглых проводов, для которых подъёмная сила и аэродинамический момент равны нулю. Поэтому, полного понимания природы данного явления на сегодняшний день нет.

Основной особенностью задач взаимодействия стержня с потоком газа или жидкости является сложность получения экспериментальной информации о силах, действующих на стержень, находящийся в потоке, что приводит к более сложным задачам по сравнению с традиционными задачами, которые рассматриваются в механике стержней. Наряду с этим, как правило, нет аналитических выражений для аэродинамических сил, входящих в уравнения статики и динамики стержней, без которых получить числовые результаты невозможно.

Под действием потока воздуха стержни могут очень сильно отклоняться от первоначальной равновесной формы. От формы деформированной осевой линии зависят аэродинамические силы, действующие на провод. Теоретическое исследование статического и динамического напряжённо-деформированного состояний стержней, нагруженных аэродинамическими силами, предполагает наличие аналитических выражений для аэродинамических сил и моментов. Получить аналитические выражения для сил, действующих, на провод, учитывающих непрерывное изменение угла набегания потока при увеличении его скорости, можно на основе общих закономерностей аэроупругости с привлечением экспериментальных данных для частных случаев обтекания.

Несмотря на большое число публикаций, посвященных экспериментальным исследованиям стержневых элементов конструкций, взаимодействующих с потоком, рассматривались, как правило, только частные случаи - в основном прямолинейные стержни, когда поток ортогонален стержню [16-19,25-27,29,31,33,54-55,70-71,81-85]. Например, результаты экспериментальных исследований обтекания прямолинейных стержней различных профилей приводятся в статьях и монографиях Н.М. Бычкова, М.И.Казакевича, Г. Паркинсона, и др. [14,22-23,51,78,82,84]. Большой практический интерес представляют экспериментальные исследования (определение аэродинамических коэффициентов) стержней, сечения которых близки к сечениям провода со льдом [23,32].

Для прямолинейных стержней произвольного сечения при экспериментальных исследованиях определяются аэродинамические коэффициенты силы лобового сопротивления, подъемной силы и коэффициент аэродинамического момента при скорости потока, ортогональной осевой линии стержня. Этот случай является частным случаем реального воздействия потока на стержневые элементы конструкций, при котором угол набегания потока может быть произвольным. Для криволинейного стержня, даже если он абсолютно жесткий, этот угол зависит от дуговой координаты. Чтобы получи ть распределенные аэродинамические силы, действующие на криволинейный стержень, классических экспериментальных исследований недостаточно. А проведение экспериментальных исследований взаимодействия криволинейного стержня с потоком произвольного направления практически невозможно. Кроме того, реальный стержень с увеличением скорости потока деформируется, и угол набегания потока (даже для первоначально прямолинейного стержня) непрерывно меняется, что экспериментальными исследованиями (если этот эффект имеет место) не учитывается.

Т.о. аэродинамические силы, действующие на деформируемый стержень, непрерывно изменяются, что необходимо учитывать при расчетах. Поэтому в диссертации приводится вывод аэродинамических сил и моментов -"статических" и "динамических" при произвольном направлении вектора скорости потока (более подробно это изложено в работах В.А. Светлицкого [58-59]), учитывающих возникающую связь между аэродинамическими силами и деформируемым состоянием стержня.

Обзор литературы

Как правило, в задачах взаимодействия проводов ЛЭП с потоком воздуха, провода рассматривались, как абсолютно гибкие стержни (нити). Такое допущение существенно упрощает решение, но не всегда достаточно в расчётной практике, когда требуется оценить реальную прочность н надёжность проводов.

Колебания нитей рассматривались в работах [16,25,28,34,56,75-76,83]. В основном, в этих работах изложены алгоритмы определения частот и форм при свободных колебаниях проводов. и

Более полные списки работ, относящихся к исследованиям абсолютно гибких стержней приведены в [5,42,58].

В наиболее общей постановке, статика и динамика нитей, взаимодействующих с потоком воздуха, рассмотрены в работах [4,25-27,3842,59,58,83]. В этих работах впервые получены нелинейные уравнения равновесия абсолютно гибкого стержня в потоке с аналитическими выражениями для проекций аэродинамических сил (что позволило использовать численные методы решения нелинейных уравнений равновесия). Рассмотрены (численными методами) нестационарные и нелинейные колебания абсолютно гибких проводов, вызванные импульсными аэродинамическими силами и потоком с переменной во времени скоростью [4,41,42,58].

Большое число публикаций, как у нас, так и за рубежом, посвящено проблеме возникновения "галопирования" ("пляски") проводов, представляющих наибольшую опасность для прочности и надёжности проводов воздушных ЛЭП [5,6,9,11,13,17,25,29,51,55,69,80-81,84-85]. В основном в этих работах рассмотрены приближённые математические модели провода, которые не учитывают многих реальных особенностей проводов ЛЭП.

Математические исследования динамического взаимодействия провода с потоком (по принятым моделям) содержат интересные и полезные результаты, позволяющие понять "физику" возникновения "пляски" проводов, но только для используемых моделей. Использовать эти модели и результаты для расчёта реальных проводов нельзя.

В работе P.M. Бекметьева рассмотрены упрощённые физические и математические модели задач динамики провода (абсолютно гибкого стержня), находящегося в потоке воздуха с приближённой оценкой амплитуды колебаний провода при "пляске" и изложены возможные методы борьбы с "пляской" проводов [5]. Монография содержит большой объём полезной фактической информации о случаях галопирования с указанием конкретных параметров проводов. В работе [6] (это продолжение исследований, изложенных в [5]) изложен алгоритм приближённого учёта динамических нагрузок (действующих на участок провода), возникающих при установившейся "пляске" абсолютно гибкого провода. Вопрос о том какие возникли конечные колебания провода не обсуждается.

Исследованию теоретически возможных моделей возникновения автоколебаний (галопирования) воздушных ЛЭП посвящены работы [35-36,80,84-85].

В работе П.С. Ланды эффект галопирования проводов в стационарном потоке воздуха объясняется возникновением вихрей (отрывное обтекание провода), что приводит к появлению периодически изменяющихся сил Кармана [36]. Для математического анализа колебаний провода используются "модельные (нелинейные) уравнения автоколебаний" (уравнения колебаний струны в двух взаимно ортогональных плоскостях), которые с уравнениями колебаний реальных проводов никак не связаны, так как не учитывают основные особенности реальных проводов (провисание, пространственную форму провода в потоке, силы тяжести, краевые условия). Нарастающие колебания, вызванные срывом вихрей (ветровой резонанс) имеют место при синхронизации частоты срыва вихрей с частотами колебаний обтекаемого тела (например провода). Многочисленные статистические данные, например [56,29,84], показывают, что галопирование проводов имеет место на низших частотах, которые почти на два порядка меньше частот срыва вихрей. Поэтому "резонансные" колебания должны возникнуть на очень высоких частотах колебаний провода, но такие случаи в практике не были зафиксированы. В работах [70-71] приводятся результаты экспериментальных исследований отрывного обтекания прямолинейного цилиндрического стержня. Показано, что в силе лобового сопротивления, при появлении вихрей (из-за периодического изменения давления за цилиндром), появляется периодическая составляющая, изменяющаяся с удвоенной частотой срыва вихрей, т.е. с очень высокой по сравнению с частотами колебаний провисающего провода, и существенного влияния на колебания провода в целом эта динамическая составляющая лобового сопротивления не имеет.

В работе того же автора [35] рассмотрен ещё один теоретически возможный случай возникновения автоколебаний провода, даже в безветренную погоду, вызванных тензорезистивным эффектом (изменение электрического сопротивления, вызванное деформациями проводника, называется тензорезестивным эффектом). Считается, что процесс возникновения автоколебаний при тензорезестивном эффекте аналогичен термомеханической модели лампового генератора, рассмотренного в монографии К.Ф. Теодорчика [64]. Числовых результатов решения уравнений колебаний реального провода, вызванных этим эффектом, в статье пет. Весьма сомнительно, что этот эффект может в безветренную погоду раскачать провод длиной 100 м и весом 800 Н.

Исследованию галопирования провода посвящена статья М. Новака, в которой рассматривается провод (как абсолютно гибкий стержень) [81]. Основной акцент при объяснении возникающего при определённых условиях галопирования делается на аэродинамический коэффициент подъёмной силы (сечение провода некруглое), который представляется в виде конечного ряда, слагаемые которого зависят от угла скоса потока Лг(у/у0) (г = 1,2./г), где у -скорость элемента стержня ортогональная скорости потока у0. Коэффициенты ряда Лг определяются экспериментально. В статье приводятся графики изменения коэффициентов силы лобового сопротивления, подъёмной силы и аэродинамического момента в зависимости от угла скоса (яг = ;>/у0) для ряда некруглых сечений, которые очень полезны при приближённых оценках возможных значений (интервала) коэффициентов аэродинамических сил и момента при обледенении.

В работах [29,72] рассмотрены галопирующие колебания проводов ЛЭП, вызванные "влиянием следов в потоке" (взаимное аэродинамическое влияние проводов, входящих в "пучок" проводов). Модель пучка включает два прямолинейных натянутых упругих провода (струн), соединённых между собой рядом жёстких невесомы стержней. Система трёх дифференциальных уравнений (два линейных перемещения и одно угловое) описывающих колебания связана аэродинамическими силами. Приближённое решение этих уравнений позволяет выяснить параметры этой модели и скорости потока при котором возможны неустойчивые колебания (галопирование). Изгибные и крутильная жёсткости не учитываются.

В работе Л.В. Яковлева дается качественное объяснение физических особенностей "пляски" проводов с использованием более общей (по сравнению с предыдущими публикациями) модели провода, как системы с гремя степенями свободы [69]. Уравнений, описывающих колебания провода в потоке автор не приводит, т.е. реальный провод не рассматривается. Рассматривая результаты, полученные при записях колебаний ("пляски") проводов на действующих линиях и опытных участках, автор высказывает предположение, что пляска проводов (возникающий неустойчивый режим колебаний провода в потоке) родственна флаттеру крыла самолета. Это предположение позволяет разработать технические устройства, использующие основные физические особенности флаттера, которые ограничивают колебания провода с гололедом при пляске. Приводятся результаты экспериментальных исследований аэродинамических характеристик проводов с гололедом при различных профилях. Например, зависимость коэффициента подъемной силы от угла атаки, что может быть полезным при численных решениях уравнений динамики проводов при обледенении в потоке.

В работах [13,31,37,50,54] приводятся статистические данные многочисленных наблюдений и регистрации гололедообразовання на проводах ЛЭП. Например, в работе С.С. Ржевского приведены результаты наблюдений обледенения проводов ЛЭП Башкирии и случаи возникновения пляски проводов [54]. Эти статистические данные использованы автором для определения статистических характеристик профилей гололедообразовання и скоростей ветра при пляске проводов (для конкретных районов). Эта информация очень полезна, так как реальный профиль стержня со льдом является случайной функцией [28], но использовать эти результаты в практике проектирования при оценке возникновения галопирования проводов нельзя, так как не учитывается целый ряд параметров ЛЭП (длина провода, координаты точек закрепления концов участка провода, направление скорости потока воздуха, реальные изгибные и крутильная жесткости провода).

В статье [85] рассмотрена двухстепенная модель провода со льдом, когда центр масс элемента не совпадает с центром жёсткости. Аэродинамические коэффициенты подъемной силы и момента являются нелинейными функциями угла атаки, который зависит от двух обобщенных координат (от вертикального смещения и угла поворота элемента провода (модели)). Система нелинейных уравнений с правой частью, зависящей от малого параметра, решается приближенно, что позволяет определить периодические и квазипериодические движения (и их устойчивость) элемента провода со льдом методом, родственным методу Ван-дер-Поля. Но для исследования колебаний провисающего "жёсткого" провода (как системы с распределенными параметрами) эти результаты малополезны.

В статье [75], посвященной колебаниям ЛЭП основное внимание уделено гасителям (демпферам) колебаний проводов, вызванных нестационарным потоком воздуха. Провод моделируется прямолинейным стержнем, который колеблется только в вертикальной плоскости. Имеющие место отклонения провода от вертикальной плоскости из-за действия потока не учитываются. Критические скорости потока не определялись.

В статье [80] исследуются нелинейные колебания (галопирование) абсолютно гибких провисающих проводов в стационарном потоке воздуха при большом числе допущений и упрощений. Например, принято, что ледяное отложение настолько тонкое, что инерционный момент пренебрежимо мал, а изменением угла атаки при повороте сечения можно пренебречь. Т.е. не учитывается основная причина, вызывающая галопирование проводов, когда ледяное покрытие существенно изменяет форму поперечного сечения и возникают подъемная сила и аэродинамический крутящий момент, зависящие от изменения угла атаки.

Полезная информация о взаимодействии проводов ЛЭП и о возможных демпфирующих устройствах, позволяющих частично "гасить" возникающие колебания проводов, содержатся в отчете [84]. В этом отчете содержится большой объем информации об имеющих место галопировании (пляске) проводов в различных областях Канады и Японии. Исследователи, которые занимаются изучением галопирования проводов [5,29,84] считают, что это наиболее опасное для прочности проводов явление, в подавляющем большинстве случаев, возникает при обледенении. В опубликованных статьях приводятся качественные объяснения причин возникновения галопирующих колебаний при обледенении провода полезных для понимания "физики" колебаний, но не достаточных для разработки математической модели взаимодействия жесткого провода с потоком воздуха.

Проведённый анализ литературы, по исследованиям статических и динамических задач проводов ЛЭП, находящихся в потоке, позволяет сформулировать следующие основные замечания:

1. Применяемые математические модели рассматривают частные случаи задач статики и динамики проводов с большим числом допущений и упрощений.

2. Основным недостатком используемых моделей можно считать тог, что не применяются дифференциальные уравнения в частных производных для описания систем с распределёнными параметрами, какими являются "жёсткие" провода.

3. Провисающий провод в стационарном потоке может сильно отклоняться от вертикальной плоскости, что существенно влияет на колебания.

4. Не учитывается, что реальные провода не являются абсолютно гибкими стержнями (нитями). В действительности провода имеют малые, но не равные нулю изгибные и крутильную жесткости. Учет изгибной и крутильной жесткостей в задачах статики и динамики "жестких" нитей (проводов) приводит к напряженно-деформированному состоянию отличному от напряженно-деформированного состояния абсолютно гибкого стержня (особенно в местах закрепления провода).

5. На реальные провода, находящиеся в потоке воздуха действуют распределённые аэродинамические нагрузки, зависящие от отклонения провода. Без учёта этой зависимости корректно определить статическое напряжённо-деформированное состояние провода не представляется возможным.

6. Не рассматривались нестационарные колебания "жёстких" проводов воздушных ЛЭП (как систем с распределёнными параметрами) при внезапном возникновении потока воздуха и при импульсном нагружении проводов аэродинамическими силами.

В настоящее время практически нет общей теории расчёта проводов, которые позволяли бы исследовать возникающие в расчетной практике проблемы при проектировании ЛЭП при статическом и динамическом нагружении потоком воздуха, несмотря на то, что провода относятся к одному из разделов механики твердого деформируемого тела - механике стержней.

Цель работы

Целью диссертации является повышение надёжности провисающих проводов воздушных линий в условиях обледенения за счёт разработки методики расчёта нестационарных колебаний провода относительно положения равновесия в ветровом потоке.

Задачи, рассмотренные в работе

2. Определение статических внутренних силовых факторов и деформированного состояния пространственно-криволинейных стержней из нелинейных уравнений равновесия провода под действием произвольно направленного стационарного ветрового потока.

5. Определение динамических внутренних силовых факторов и максимальных отклонений точек провода при нестационарных колебаниях, вызванных воздействием потока.

Содержание глав

В первой главе дан вывод аналитических выражений для проекций аэродинамических сил и моментов, действующих на элемент стержня при его движении в потоке.

Во второй главе диссертации рассмотрены задачи статики С1ержней в стационарном потоке (на примере "жёсткого" провода). Приводятся нелинейные уравнения равновесия провода. Изложен алгоритм численного решения системы нелинейных векторных уравнений равновесия провода, (статическое напряженно-деформированное состояние провода необходимо знать при исследовании задач динамики, которым посвящены остальные главы диссертации). Приводятся результаты численного решения нелинейных уравнений равновесия "жесткого" провода в стационарном потоке воздуха.

В третьей главе приводятся нелинейные векторные уравнения движения пространственно-криволинейного стержня в связанных осях. Получены уравнения малых колебаний "жесткого" провода круглого и некруглого сечений (провод при обледенении, когда сечение провода со льдом может существенно отличаться от круглого). Рассматривается случай, когда центр жёсткости сечения не совпадает с центром масс.

В четвертой главе изложен алгоритм определения собственных частот и собственных векторов для систем линейных векторных уравнений свободных колебаний консервативных систем и комплексных собственных значений для неконсервативных систем ("провод-поток"). Приводятся результаты численного определения собственных значений, зависящих от статического напряженно-деформированного состояния провода и компоненты собственных векторов. По найденным комплексным собственным значениям, определяется устойчивость положения равновесия провода в потоке. Находятся критические скорости ветра при которых возможна потеря устойчивости.

В пятой главе изложен метод приближенного численного решения систем линейных векторных уравнений нестационарных колебаний в частных производных при импульсном нагружении аэродинамическими силами (порыв ветра, ударная волна), внезапном нагружении провода потоком воздуха с постоянной скоростью и при чередующихся порывах ветра. Приводятся результаты численного решения уравнений малых колебаний для этих случаев нагружения провода аэродинамическими силами. Дается оценка относительной сходимости приближенного решения. Приводятся результаты численного определения компонент вектора динамического состояния провода. Решение уравнений нестационарных колебаний позволяет получить динамическое напряженно-деформированное состояние "жесткого" провода, необходимое для оценки его прочности.

В шестой главе рассмотрены нелинейные колебания абсолютно гибкого провода (классическая модель провода) при различных случаях нагружения провода потоком, что позволяет выяснить влияние модели провода ("жесткий" или абсолютно гибкий провод) па осевое усилие в проводе и максимально возможные перемещения точек его осевой линии при колебаниях. Обсуждаются ограничения изложенного метода решения.

В заключении приводятся основные новые научные результаты и выводы, полученные в диссертации.

В списке литературы приводятся статьи и монографии, имеющие наиболее близкое отношение к теме диссертации.

В приложении дан ряд формул, используемых в работе, в развёрнутом виде. Рассматривается достоверность разработанных методик и программ.

На защиту выносятся следующие результаты, полученные в диссертации:

1. Аналитические выражения для проекций распределённых аэродинамических сил и момента в связанной системе координат, действующих на элемент стержня (круглого и некруглого сечений) в ветровом потоке, что позволяет численным методом исследовать задачи аэроупругости стержней.

2. Методика решения нелинейных уравнений равновесия стержня, учитывающих непрерывное изменение "статических" аэродинамических сил, вызванное деформацией осевой линии стержня в потоке воздуха.

3. Методики численного определения собственных значений и собственных векторов при колебаниях пространственно-криволинейных стержней в потоке воздуха.

4. Методика численного решения векторных уравнений нестационарных колебаний пространственно-криволинейных стержней в потоке воздуха.

5. Методика численного решения нелинейных нестационарных колебаний абсолютно гибких стержней (например, проводов ЛЭП, которые рассматриваются, как нити).

Научная новизна

2. Разработана методика численного решения нелинейных уравнений равновесия пространственно-криволинейных стержней в потоке воздуха с определением статических внутренних силовых факторов при произвольном направлении ветра.

4. Разработана методика численного решения уравнений колебаний провода, вызванных нестационарным ветровым потоком, с определением динамических внутренних силовых факторов.

Практическая ценность

1. Разработаны численные алгоритмы и программное обеспечение (ПО), позволяющие рассчитывать внутренние силовые факторы длиннопролётпых стержневых систем под действием аэродинамических нагрузок с использованием нитяной и стержневой моделей.

Достоверность

Реализация результатов работы

Полученные в диссертации алгоритмы и ПО численного решения уравнений статики и динамики стержней внедрены в расчётную практику ИМАШ им. A.A. Благонравова РАН и Конструкторско-технологического бюро Департамента промышленности ЗАО «СУ-155».

Апробация работы

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях аспирантов в МГТУ им. Н.Э. Баумана (2005-2007, 2012 г.г.), на НТС отделения ГНЦ ФГУП "Центр Келдыша" (2012 г.), на XXXII Всероссийской конференции по проблемам науки и технологий (г. Миасс, 2012 г.), на научном семинаре «МЕСМУС» и в отделе «Вибрационная биомеханика» ИМАШ им. A.A. Благонравова РАН (2012 г.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 5 научных работ, в том числе 4 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Глава Аэродинамические силы, действующие на стержень в потоке воздуха

При численном решении прикладных задач взаимодействия стержней с потоком газа основная сложность связана с отсутствием необходимой информации об аэродинамических силах для общего случая обтекания. Без аналитических выражений для проекций аэродинамических сил, входящих в уравнения статики и динамики стержня, численно решить эти уравнения затруднительно.

Получить теоретически из общих уравнений гидроаэромеханики аналитические зависимости для компонент векторов распределённых аэродинамических сил при обтекании пространственно-криволинейного стержня, учитывающих непрерывное изменение угла набегания потока, практически невозможно. Не менее сложно получить и экспериментально информацию об аэродинамических силах, которые учитывали бы все особенности взаимодействия стержней с потоком при изменяющейся в процессе нагружения геометрии осевой линии в виде, необходимом для численного решения уравнений статики и динамики.

Одна из особенностей взаимодействия упругих элементов (систем с распределенными параметрами) заключается в том, что под действием потока форма провода непрерывно изменяется. И поэтому непрерывно изменяются и аэродинамические силы из-за изменения угла (ра между вектором скорости потока и единичным вектором е,, направленным по касательной к осевой линии стержня (рис. 1.1). Учет зависимости аэродинамических сил от деформаций упругого элемента качественно меняет характер этих сил, а соответствующие задачи динамики упругих элементов становятся, как правило, неконсервативными.

Другой особенностью является то, что в ряде районов в холодное время года провода подвержены обледенению. Форма и размеры наледи могут быть весьма разнообразными. Систематизация и описание форм оледенения подробно изложено в работе В.Е. Бучинского [13]. На рисунке 1.2 приведены часто встречающиеся формы оледенения.

Большой объем информации о работах (отечественных и зарубежных) в области аэроупругости содержится в статьях и монографиях, приведенных в списке литературы [8,21,67-68]. Экспериментальные исследования взаимодействия стержней с плохообтекаемым профилем с потоком газа или жидкости приведены, например, в работах [3,14,22-23,51,78]. Несмотря на очень большое число публикаций посвященных теоретическим и экспериментальным исследованиям в области аэроупругости, в том числе и

Рис. 1.2. публикаций относящихся к аэроупругости стержневых элементов и конструкций, не всегда этими результатами можно воспользоваться при решении возникающих прикладных задач. Поэтому нужно получить аналитические выражения для проекций аэродинамических сил, учитывающие основные физические особенности взаимодействия стержней с потоком, совпадающие с числовыми значениями, полученными экспериментально для частных случаев обтекания стержня.

При выводе аналитических выражений для проекций аэродинамических сил используется ряд допущений. К основным допущениям относятся следующие: 1). набегающий и обтекающий потоки считаются стационарными, а при движении стержня - квазистационарными; 2). справедлива аэродинамическая гипотеза плоских сечений (течений) [67] (подробное обоснование этого метода приведено в [57-59]), когда предполагается, что местный поток, действующий на элемент стержня, является плоским.

Первая гипотеза позволяет не учитывать влияние стержня на поток, а также налагает условия на скорость точек стержня - они должны быть минимум на порядок меньше скорости основного потока. Вторая гипотеза позволяет разложить относительную скорость потока на две составляющие: касательную, от которой зависит боковая сила, и нормальную \ОТп (рис. 1.3), от которой зависят лобовая и подъёмная силы, а также крутящий момент.

В общем случае, на стержень действуют аэродинамические силы и моменты (в статике и динамике): боковая сила ц,, сила лобового сопротивления Ч„ (огя), подъемная сила д¿(о^) и крутящий момент ци(дгд), где аа - угол атаки (рис. 1.3). Для частного случая - круглого сечения подъёмная сила и аэродинамический момент равны нулю, а сила лобового сопротивления не зависит от угла атаки. Боковая сила q1 на порядок меньше остальных аэродинамических сил.

Для учёта в модели оледенения можно не рассматривать конкретную его форму, а ограничиться заданием простого сечения (например, эллипса) со статическими характеристиками соответствующими действительному сечению с оледенением, а так же заданием аэродинамических коэффициентов, определяемых по результатам продувок натурных моделей в аэродинамических трубах, либо на основании численного эксперимента методом конечных элементов.

Заключение диссертации по теме "Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры"

Основные результаты и выводы

1. Разработана новая модель обледеневшего нерастяжимого провисающего провода, взаимодействующего с потоком, учитывающая крутильную и изгибные жёсткости провода, для решения задач аэроупругости.

3. Разработаны методика и программное обеспечение численного определения: статических внутренних силовых факторов провода в стационарном ветровом потоке; собственных значений и собственных векторов колебаний провода относительно состояния равновесия, позволившие найти критические скорости ветра, при которых могут возбуждаться колебания с нарастающими во времени амплитудами.

4. Оценены компоненты напряжённого состояние провода в зависимости от скорости ветра при нестационарных колебаниях на основе разработанной методики и созданного программного обеспечения решения линейных уравнений вынужденных колебаний провода в потоке воздуха.

5. Предложена поправка в метод разложения нелинейных колебаний нити по собственным векторам линеаризованной системы в отклонённом состоянии, позволившая уточнить алгоритм и создать программное обеспечение решения уравнений нестационарных колебаний провода в потоке воздуха для оценки максимальных перемещений точек провода.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Соколов, Александр Игоревич, Москва

1. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк., 1994. - 544 с.

2. Афанасьева H.A., Казанцева Н.Э. О расчете совместного воздействия ветра и гололеда на провод ВЛ // Ветровые и гололедные нагрузки на провода воздушных линий электропередачи.- М.,-1985. с.39-44.

3. Афанасьева H.A., Казанцева И.Э. Оценка ветровых нагрузок при гололеде на провода ВЛ // Ветровые и гололедные нагрузки на провода воздушных линий электропередачи. М., - 1985. - с.44-49.

4. Бадзгарадзе А.Г., Лукьянова В.И., Светлицкий В.А. Нелинейные колебания абсолютно гибких стержней и шлангов при импульсном нагружении потоком жидкости или воздуха. Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение, 1991, № 1. с. 10-21.

5. Бекметьев P.M., Жакаев А.Ш., Ширинских Н.В. Пляска проводов воздушных линий электропередачи. Алма-Ата: Наука КазССР, 1979. - 152 с.

6. Бекметьев P.M., Джаманбаев М.А. Методика расчета характеристик движения провода при пляске // Ветровые и гололедные нагрузки на провода воздушных линий электропередачи. М., - 1985. - с.3-21.

7. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика. М.: Машиностроение, 1977.-488 с.

8. Бисллингхофф Р.Л., Эшли X., Халфмэн Р.Л. Аэроупругость.- М.: ИЛ, 1958,- 799 с.

9. Бошнякович А.Д. Механический расчет проводов и тросов линии электропередачи,- Л.: Энергия, 1971. 296 с.

10. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1980. - 704 с.

11. Бургсдорф В.В. Новые исследования воздушных линий электропередачи // Воздушные линии электропередачи. М., 1975. - с. 3-12.

12. Бургсдорф В.В. О применении новых методов расчета воздушных линий электропередачи // Электрические станции. 1987. - № 2.- с.71-72.

13. Бучинский В.Е. Атлас обледенения проводов JI.: Гидрометеоиздат, 1966.- 115 с.

14. Бычков Н.М., Коваленко В.М. Аэродинамические характеристики кругового цилиндра в поперечном потоке. // Известия АН (Сибирское отделение). Серия технических наук. 1980, №8, вып. 2.-е. 114-124.

15. Валандер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. Из-во ЛГУ, 1978.295 с.

16. Вибрация проводов воздушных линий электропередачи // Воздушные линии электропередачи. М.: Энергия, 1972. - с.26-46.

17. Винантс В., Риец М. Пляска проводов воздушных линий // Воздушные линии электропередачи. М., 1972. - с.47-56.

18. Виткуте А. Э.Ю., Матеконис Т.П. Реакция проводов на воздействие сильных ветров // Вибротехника. - 1974. - Т.1, № 22. - с. 79-83.

19. Глазунов A.A. Основы механической части воздушных линий электропередачи. Т.1. Работа и расчет проводов и тросов. М., 1956. -с. 190- 192.

20. Горлин С.М. Экспериментальная аэромеханика. М.: Высшая школа, 1970.-423 с.

21. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогидроупругость конструкций. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 592 с.

22. Графский И.Ю., Казакевич М.И. Аэродинамика плохообтекаемых тел. Днепропетровск: Изд-во ДГУ, 1983. - 112 с.

23. Графский И.Ю., Казакевич М.И., Лукьянова В.Н. Экспериментальное определение аэродинамических сил, действующих па стержень с плохообтекаемым сечением // ИВУЗ. Машиностроение. 1985. - № 1. - с. 17-20.

24. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1988. - 232 с.

25. Григорьянц М.С., Лукьянова В.Н. Определение частот и форм колебаний абсолютно гибкого стержня, нагруженного аэродинамическими силами // Расчеты на прочность. 1982. - Вып.23. - с.222-226.

26. Григорьянц М.С., Лукьянова В.Н., Светлицкий В.А. Определение формы и натяжения провода (нити), находящегося в потоке воздуха // Расчеты на прочность. 1981. - Вып.22. - с.204-208.

27. Григорьянц М.С., Мирошник P.A. Определение натяжения и формы троса, провисающего в плоскости потока // ИВУЗ. Машиностроение. 1981. -№ 2. - с.3-6.

28. Григорьянц М.С., Светлицкий В.А. Колебание стержня со случайным профилем в потоке воздуха // Расчеты на прочность. 1980. - Вып.21. -с. 142- 149.

29. Гувер А., Хокс Р. Роль турбулентности и явления галопирования линий электропередачи, обусловленном влиянием следов // Ракетная техника и космонавтика. 1976. - Т.14, №12. - с. 72-77.

30. Деп-Гартог Дж. Механические колебания. М.: Физматгпз, 1960.580 с.

31. Заглиев И.Г. Оценка форм и размеров гололедного осадка на проводах ВЛ // Ветровые и гололедные нагрузки на провода воздушных линий электропередачи. М., 1985. - с.32-39.

32. Казакевич М.И. Аэродинамика мостов. М.: Транспорт, 1987. - 240с.

33. Кастанета H.H. Динамическое поведение линий электропередачи под действием ветра // Воздушные линии электропередачи. -1972. с.57-71.

34. Кларсн Р., Диапа Дж., Николипи П. Колебания проводов в расщепленных фазах // Воздушные линии электропередачи. М., 1971. -с. 36 - 62.

35. Ланда П.С. Автоколебания провода, нагреваемого электрическим током, с учетом тензорезистивного эффекта. // ИВУЗ. Прикладная нелинейная динамика. 2008. - № 1. - с. 19-32.

36. Ланда П.С. Срывной флаттер как один из механизмов возбуждения автоколебаний линий электропередачи. // ИВУЗ. Прикладная нелинейная динамика. 2009. - № 2. - с. 3-15.

37. Ланда М.Л., Лукьяненко Ю.Д. Обследование и анализ гололедно-ветровых аварий на воздушных линиях электропередачи // Электрические станции. 1981. - № 6. - с.44-48.

38. Лукьянова В.Н. Определение максимальных отклонений абсолютно гибкого стержня, находящегося в потоке воздуха // ИВУЗ. Машиностроение.1983. № 11.-с. 25-29.

39. Лукьянова В.Н. Определение осевого усилия и перемещений при внезапном нагружении // ИВУЗ. Машиностроение. 1985. - № 1.-е. 6-9.

40. Лукьянова В.Н., Светлицкий В.А. Статика абсолютно гибких стержней с плохообтекаемым профилем в потоке // Расчеты на прочность.1984. Вып.25. - с.252-259.

41. Лукьянова В.Н., Светлицкий В.А. Нелинейные задачи динамики абсолютно гибких стержней // Расчеты на прочность. 1986. - Вып. 26. -с. 196-204.

42. Лукьянова В.Н. Разработка методов расчета абсолютно гибких стержней (проводов) при обледенении и нестационарных колебаниях: дис. . канд. тех. наук: 01.02.06 / МВТУ им.Н.Э.Баумана. М., 1987. - 275 с.

43. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на фортране. М.: Мир, 1977. - 584 с.

44. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука, 1980.240 с.

45. Наумов A.M., Светлицкий В.А. Определение напряженно-деформированного состояния "жесткого" шланга, находящегося в потоке воздуха или жидкости. // МТТ, №6, 1999. с. 167-172.

46. Наумов A.M., Светлицкий В.А., Соколов А.И. Численные методы исследования устойчивости стержней в потоке. Сборник статей "Проблемы прикладной механики, динамики и прочности машин". Из-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2005. - с. 229-243.

47. Наумов A.M., Соколов А.И. Определение напряженно-деформированного состояния "жестких" проводов, находящихся в потоке воздуха. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия "Машиностроение", 2008, №2.-с. 11-21.

48. Наумов A.M., Тихонова О.И. Определение частот и форм свободных колебаний предварительно нагруженного резинокордного шланга (трубопровода), находящегося в потоке газа или жидкости. // Вестник МГТУ "Машиностроение". 2000, №3. с.91-102.

49. Николаи Е. JI. Труды по механике. М.: Гос. изд-во тех-теор. лит-ры, 1955. 584 с.

50. Оценка гололедных нагрузок на воздушные линии Р.Джонсен, К.Шетне, М. Эрвик и др. // Воздушные линии электропередачи. М., 1978. - с. 106-115.

51. Паркинсон Г., Брукс Н. Аэроупругая неустойчивость плохообтекаемых цилиндров // Труды Американского общества инженеров механиков. Прикладная механика. 1961. - Т.28, № 2. - с. 115-123.

52. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука, 1986.-296 с.

53. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т.1. М.: Наука, 1983.463 с.

54. Ржевский С.С. Профиль гололеда и максимальная скорость ветра при пляске ВЛ // Электрические станции. 1972. №4. с. 44-46.

55. Ржевский С.С. Физико-математическая модель пляски проводов воздушных линий электропередачи без крутильных колебаний // ЛВУЗ. Энергетика. 1975. - № 7. - с.3-7.

56. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М.: Машиностроение, 1982. - 279 с.

57. Светлицкий В.А. Механика стержней (т. 1: Статика; т. 2: Динамика). -М.: Высшая школа, 1987.

58. Светлицкий В.А. Механика абсолютно гибких стержней. М.: Изд-во МАИ, 2001.-432 с.

59. Светлицкий В.А. Механика стержней (т. 1: Статика; т. 2: Динамика). -М.: Наука, 2009.

60. Светлицкий В.А. Нестационарные колебания стержней при импульсном нагружении. МТТ, 2006, №2.

61. Соколов А.И. Нелинейные колебания абсолютно гибкого провода в потоке воздуха. Наука и образование, 2008, №4. // URL http://technomag.edu.ru/doc/87224.html (дата обращения 26.11.2011).

62. Соколов А.И. Определение частот свободных колебаний провода, находящегося в стационарном потоке. Известия вузов. Машиностроение. 2008, № 9. с. 25-34.

63. Справочник "Прочность, устойчивость, колебания", Т.З. М.: Машиностроение, 1968. - 567 с.

64. Тсодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. M-JT.: Гос. Изд. Технико-георет. литературы, 1952. 272 с.

65. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. - 320 с.

66. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.: ОНТИ, 1937. - 500 с.

67. Фершинг Г. Основы аэроупругости. -М.: Машиностроение, 1984.600 с.

68. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости. М.: Физматгиз, 1959.524 с.

69. Яковлев J1.B. Физическая сущность пляски проводов. // Электрические станции, 1971, №10. с. 45-49.

70. Bishop, R. E. D., Hassan, A. Y. (1964) The lift and drag forces on a circular cylinder oscillating in a flowing fluid. Proceedings of the Royal Society of London, Series A, 277, pp. 32-50.

71. Bishop, R. E. D., Hassan, A. Y. (1964) The lift and drag forces on a circular cylinder oscillating in a flowing fluid. Proceedings of the Royal Society of London, Series A, 277, pp. 51-75.

72. Brzozowski V.J., Hawks R.J. Wake-Induced Full-Span Instability of Bundle Conductor Transmission Lines. AIAA Journal, 1976, v 14, No. 2, pp. 179184.

73. Buckner W.F., Papailiou K.O. Planung und Betrieb von Freileitungen im Hinblick aufWindbedingte Seilschwingungen. -Electrizitatswirtschaft, 1987, vol.86, N 10.

74. Clebsch A. Theorie der Elasticitaet der fester Koerper. Leipzig: 1862.242 s.

75. Dhotararad M.S., Ganesen N., Rao B.V. Transmission Line Vibrations. Journal of Sound and Vibration (1978) 60(2), pp. 217-237.

76. Griffin O.M., Skop R.A., Koopmann G.H. The Vortex-Excited Resonant Vibrations of Circular Cylinders. Journal of Sound and Vibration (1973) 31(2), pp. 235-249.

77. Halphen G. Traite des functions elliptiques et de leurs applications. 1886-1891.

78. Kazakevych M.I., Vasylenko O.H. Analytical Solution for Galloping Oscillations. Journal, of Engineering. Mechanics. June 1996. pp. 555-558.

79. Kirchhoff G.R. Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastichen Stäben // Crelle Journal fiir die reine und angewandte Mathematik. 1858. -Bd. 56.-S. 285-313.

80. Novak M. and Tanaka H., Effect of Turbulence on Galloping Instability. J. of the Engineering Mechanics Div. ASCE, Vol. 100, No. EMI, Feb. 1974. -pp. 27-47.

81. Parkinson G.V., Smith J.D. The Square Prism as an Aeroelastic Non-Linear Oscillators. Qourt. Jornal Mech. And Appl. Math., 1964, No. 17. pp. 225-239.

82. Svetlitsky V.A., Yankin V.A. Oscillations of an Absolutely Flexible Pipe-Line Model with Concentrated Masses in the Liquid Flow. International conference on flow-induced vibration. London / United Kingdom / April 1995.

83. State of the Art of Conductor Galloping. A complementary document to EPRI Orage book published in 1979.

84. Yu P., Shah A.H., Popplewell N. Inertially Coupled Galloping of Ice Conductors. Journal of Applied Mechanics, March 1992, Vol. 59. pp. 141-145.