Расчет нестационарных колебаний мачты с антенной в потоке воздуха тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

^^ На правах рукописи

Скуев Михаил Валерьевич

УДК 531.22.8

РАСЧЕТ НЕСТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАНИЙ МАЧТЫ С АНТЕННОЙ В ПОТОКЕ ВОЗДУХА

01.02.06 — Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат

^'Ш^Оса^'" диссертации на соискание ученой степени кащщцата технических наук

Москва

1998

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете имени Н. Э. Баумана

Научный руководитель —

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Светлицкий В. А. доктор технических наук, профессор Чирков В. П. (МЭИ) доктор технических наук, доцент Аринчев С. В. (МГТУ)

Ведущая организация

ГосМКБ «Вымпел»

Защита состоится " 14 " (ХКЗИлЯ 1998 г. в час. на заседании Спе циализированного совета К 053.15.11 в Московском государственном тег ническом университете имени Н. Э. Баумана по адресу: 107005, Москвг 2-я Бауманская ул., д. 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТ" им. Н. Э. Баумана.

Автореферат разослан _1998 г.

Ученый секретарь Специализированного совета доктор технических наук, доцент ^ / Попов П. Ь

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачи расчета конструкций или их элементов, взаимодействующих с потоком воздуха, встречаются во многих областях техники. К этим задачам, в частности, относится расчет высотных сооружений (мачтовых и башенных конструкций) в условиях нагру-жения аэродинамическими силами. Мачтовые конструкции, являющиеся опорами для антенн в системах радиорелейной связи, при эксплуатации нагружаются аэродинамическими силами, вызванными потоком воздуха, скорость которого может очень сильно изменяться, в том числе и случайно. Аэродинамические силы вызывают колебания мачты с антенной, что может привести к нарушению нормального режима ее работы из-за недопустимого отклонения фокальной оси направленной антенны. Несмотря на большое число публикаций, посвященных расчету мачтовых конструкций, развитие техники предъявляет новые требования, среди которых основным является увеличение точности расчетов и, как следствие этого, увеличение точности работы и надежности системы мачта - антенна, особенно в экстремальных условиях, когда система нагружается внезапно приложенными или импульсными аэродинамическими силами (детерминированными или случайными). Внезапное воздействие на систему мачта — антенна аэродинамических сил вызывает нестационарные колебания, которые могут привести к появлению опасных напряжений в мачте и большим линейным и угловым отклонениям антенны. Увеличение точности расчетов требует как применения новых численных математических методов, так и уточнения математических моделей с максимальным учетом физических особенностей работы мачты с антенной в реальных условиях. Эти задачи существовали и раньше, но рассматривались в упрощенной постановке из-за отсутствия быстродействующей вычислительной техники. Поэтому разработка новых математических моделей и высокоточных численных методов исследования нестационарных колебаний мачтовых конструкций является актуальной проблемой.

Целью диссертации, выполненной в соответствии с планом госбюджетной научно-исследовательской тематики МГТУ им. Н. Э. Баумана, и посвященной исследованию мобильных мачтовых опор антенн, является:

- разработка математической модели и соответствующих численных методов расчета мачты с антенной и локальными связями (оттяжками), находящейся в потоке воздуха;

- разработка численного метода решения нелинейных уравнений равновесия при статических нагрузках с определением напряженно-деформированного состояния мачты;

- определение и анализ напряженно-деформированного состояния мачты с антенной при нестационарных колебаниях, вызванных детерминирован-

ными и случайными аэродинамическими силами;

- разработка численного алгоритма определения максимально возможного отклонения луча антенны при нестационарном, стационарном и импульсном случайном нагружении системы мачта - антенна.

Методом исследования в диссертации является компьютерное моделирование, при котором в зависимости от поставленных задач используются следующие адекватные подходы:

- для нелинейного статического расчета реализован вариант метода дискретного продолжения по параметру с уточнением касательной матрицы по БроЙдену;

- дискретизация системы по пространству при решении динамических уравнений в частных производных осуществлена методом, использующим обобщенный принцип возможных перемещений;

- вероятностные расчеты выполнены на основе корреляционной теории случайных процессов.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, состоит в следующем:

- разработан общий алгоритм численного анализа статического и динамического напряженно-деформированного состояния стержня, имеющего сосредоточенные не точечные массы и локальные связи и нагруженного гравитационными и аэродинамическими детерминированными силами;

- установлено влияние нелинейных слагаемых на точность численных результатов при решении уравнений равновесия, что позволяет для аналогичных конструкций обосновать возможность использования линейных уравнений;

- разработан алгоритм численного решения системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных при вынужденных колебаниях мачты с антенной, позволяющий получать решения с требуемой точностью;

- разработана методика определения вероятностных характеристик напряженно-деформированного состояния ствола мачты при нестационарных колебаниях, вызванных внезапным нагружением конструкции случайным ветровым потоком;

- разработан метод численного определения максимальных перемещений и углов поворота антенны при действии случайных аэродинамических сил, имеющих случайное направление, что дает возможность определять максимально возможные отклонения луча антенны от заданного направления.

Практическая ценность работы состоит в разработке прикладных программ расчета, в которые входят:

- программы численного определения статического напряженно-деформированного состояния мачты с оттяжками с учетом гравитационных и

детерминированных аэродинамических сил для линейной и нелинейной математических моделей;

- программа численного определения критических гравитационных нагрузок;

- программа определения собственных значений и собственных векторов при пространственных колебаниях мачты с антенной;

- программа редукции системы линейных уравнений в частных производных (уравнений колебаний мачты с антенной) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений;

- программа численного решения уравнений малых нестационарных колебаний, вызванных случайными стационарными и нестационарными (импульсными) аэродинамическими силами, с определением вероятностных характеристик компонент вектора состояния системы;

- программа определения максимально возможного отклонения луча антенны (фокальной оси) при нестационарных случайных колебаниях системы.

Внедрение. Результаты, полученные в диссертации используются в учебном процессе в специальных дисциплинах: теория колебаний, статистическая механика.

Апробация работы. Основные результаты работы были изложены:

- на научно-технической конференции аспирантов и молодых ученых кафедры прикладной механики МГТУ им. Н. Э. Баумана, состоявшейся 20 февраля 1997 г.;

- на научном семинаре кафедры прикладной механики МГТУ им. Н. Э. Баумана 25 декабря 1997 г.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в четырех печатных работах.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 113 наименований. Работа содержит 180 страниц компьютерного текста, 75 рисунков, 4 таблицы.

Основное содержание работы

В первой главе диссертации дан краткий обзор научно-технической литературы по следующим направлениям:

- устойчивость мачт с оттяжками;

- статика мачтовых и башенных сооружений в потоке воздуха;

- детерминистский и вероятностный динамический анализ стержневых конструкций при ветровой нагрузке.

Обширная научно-техническая литература, посвященная теории и методам расчета мачтовых конструкций содержит результаты фундаментальных и прикладных исследований ученых, работы которых с

успехом используются в настоящее время. Однако возникают новые проблемы, требующие для решения новых математических моделей и методов. К числу таких проблем относится анализ нестационарных колебаний мачты с антенной, вызванных случайными аэродинамическими силами.

Во второй главе рассматривается статическая устойчивость мачты с оттяжками и с закрепленной на ней радиорелейной антенной, достигающей 30 и более процентов от массы всего сооружения.

Расчетная схема приведена на рис. 1. Силы, действующие на мачту со стороны оттяжек, считаются следящими за соответствующими точками закрепления оттяжек на земле, из приращение при потере устойчивости после линеаризации имеет вид:

АР« = (ff ~ At) (Ащ(зкт Ik ~ (1)

где Nok - сила начального натяжения оттяжки; lok = \ВкСк\ - длина пролета оттяжки в недеформированном состоянии; Aux(s/:) - бифуркационное перемещение точки крепления оттяжки на стволе; -у* = ВкСк1\ВкСк\; А* - эффективная жесткость оттяжки. Величина получена путем линеаризации кубического уравнения равновесия пологой растяжимой нити и равна

Л EkFk (2)

к Nik + EkFkDak/lok lot ' W

где Dok = (mjigsin фк)21%к/12; Ek - модуль упругости каната на растяжение; Fk - площадь поперечного сечения каната; - погонная масса;

Фк ~ угол между осью ствола мачты и хордой оттяжки.

Линеаризованные уравнения равновесия стержня после потери устойчивости в проекциях на декартовы оси имеют вид:

dA®x2 - с22Аих2 - с23Аих3 = 0; d^x3 _ сз2Ди12 - c33Aux3 — 0; as as

^ - - QIM = 0; ^ + - <Гя1АЪ = 0;

S S (3) dAâ2 1 A w „ dAêз 1 A w w

~~î - -j—AMi2 = 0; -j-i - —ДМ,з = 0;

ds A22 as Л 33

dAux2 . . „ dAux3

- Д03 = 0; ——+ Aê2 = 0, ds ds

где AQX2, AQi3, AMx2, AMx3 - приращения проекций поперечных сил и моментов; Дих2 , Диг3 - проекции вектора перемещений осевой линии стержня; Aê2 , Д)?з - углы поворота поперечного сечения стержня; А22 = Е1х2 , А33 = Е1Хз - изгибные жесткости стержня;

пот

сгч- = £ [(Ait - Nok/lokH2 + Nok/lok] S(s - sk) (i = 2,3); b=l

C23 = C32 = E (Ait - N0k/lok)lk2lk3S(s - sk); k=1

Пот (

= -Ша9 + E [1 - H(s - s-Ol-^oi-TM -g rnQ{s') ds'; k=i i

Q*xi - критическая продольная сила в стержне; Ни 6 - соответственно функции Хевисайда и Дирака; т^ - масса оборудования, устанавливаемого на мачте; mo(s) — погонная масса стержня. Решение системы уравнений (3) должно удовлетворять следующим краевым условиям:

1) при s = 0 Аих2 = Аих3 = 0 , Aâ2 = Aâ3 = 0 ;

2) при s = l AQx2 = AQx3 = 0,

ДМх2 - rG\mAgAê2 - 0 , АМх3 - rG1mAgAi?3 = 0 . Результаты расчета ствола мачты переменного сечения, составленного из пяти алюминиевых труб (сплав В95Т2) с суммарной длиной 33 м приведены на графиках рис. 2 и 3, где показана зависимость критического веса антенны Р* — (т^д)* от силы начального натяжения оттяжек. Рис. 2 соответствует расчету мачты с одним ярусом оттяжек с координатами точек закрепления 11, 22 и 33 м (кривые 1, 2. 3). Рис. 3 относится к расчету мачты с двумя ярусами оттяжек при высоте их закрепления 20 и 33м.

Результаты второй главы дают возможность оценить устойчивость

мачты и определить максимально возможный вес антенны в зависимости от числа ярусов оттяжек и их натяжения.

Р

КН _

1510-

-Т—1—Г 1 2

1 / ! 1

1 !

У 1

1—I—I

•3 4 Но.кН О

Рис. 2.

4

Рис. 3,

* Мо,К

Третья глава посвящена определению напряженно-деформированного состояния мачты при статическом нагружении.

Нелинейные векторные уравнения равновесия мачты в связанных осях имеют вид

¿Я

+ ае х $ + <?(г) + д(а) + (Р(г) + Р^Щз -1) + £ ?Юб(а - вк) = 0; (4;

к=1

АМ

+ ае х М + ег х <3 + {гс х + г0х рМ)б(в - I) = 0; (б]

ей?

Ь^ае = 0;

(Ни

— + ае х й + (1ц — 1) е 1 + 12\е2 + /31^3 = 0; М = Аге,

(6)

(7)

(8)

где С} ти М - соответственно вектора внутренних сил и моментов: А = diag(All, Л22,-^зз)! -¿и - жесткость при кручении, А22 и Л33 -жесткости при изгибе; и - вектор перемещений точек осевой линии стержня; д - вектор углов поворота связанных осей; эе - вектор кривизн деформированной осевой линии стержня; ё) - единичные вектора базиса связанных осей; (¡^ , Р^ - аэродинамическая нагрузка; дМ , Р^ -силы тяжести; Р^ - сила, действующая на мачту со стороны к -ой оттяжки; гд - вектор, соединяющий точку крепления антенны с точкой

приложения силы Р ; г о ~ вектор, соединяющий точку крепления антенны с точкой приложения силы ; 1ц , ¿215 ¿31 - элементы матрицы

вд =

COS COS 1?2 sin 1?s + sin COS l?2 sin

COS l?2 COS

— sin 03

. a 0 COS l9i sin l?2 Sm —

sm i92 cos г?з _ a;n

4- sin t?x sin $2 cosi?i cos t>3

— COS t?! sin 1?2 sin COS 1?3 sin i?i sin г?2 sin -f

+ COS COS i?2

Lr1

COS

sin 1?! COS 1?2

COS l?2 o sin i?2

COS i?2 sin COS l?3 sin T?2 sin $3

- sin i?2 cos ^з 0 cos г?г cos г?3

qW = -m0(s) g (lnei + l2ie2 + 1згёз); jP(r) = -mAg(lnei + h\ex + lzlex)\ q (a) = sin Val [(/22 COS a + Z23 sin a)e2 + (/32 cos a + í33 sin c*)e3],

P<a> = ¿At'o! sin <pa| ¿ (Íj2 cos a + ¿¿3 sin. a)ej ,

>=1 s=l

где a - угол, определяющий направление потока воздуха ('vq = г'о cos аГ + t>o sin аг) , cos ipa = {щё\)/\щ\ = cos a -f Z13 sin a, fco = 0,5 cnp^d0 , fc.4 = cxpBd¿ , cn , cx - аэродинамические коэффициенты, рл - плотность воздуха;

р{к) = [Nok + Xk(hk-lokm,

hk — llotL(sk) 7к - u(s*)l> 7¡t = (lokL(si)lk ~ u(s¡t)) /1ц.

Граничные условия: при s = 0 и = 0 , г? = 0 ; при s — I Q — 0 , Л? = 0.

Для численного решения нелинейных уравнений равновесия (4)-(8) был использован метод дискретного продолжения по параметру.

В третьей главе получены нелинейные и линеаризованные уравнения, характеризующие статическое состояние мачты с учетом эксцентриситета сосредоточенной массы и аэродинамической нагрузки. Разработаны и реализованы алгоритмы численного решения нелинейных уравнений методом дискретного продолжения по параметру и решения линеаризованных уравнений методом начальных параметров.

Четвертая глава диссертации посвящена выводу уравнений малых колебаний мачты с антенной и определению собственных значений и собственных векторов.

Полагая Qn = Qo + Q , Мв = М0 + М , где Qo, М0 - соответственно вектора внутренних сил и моментов при статическом нагружении, Q, М - динамические составляющие, получаем линейные уравнения колебаний мачты с антенной в потоке воздуха

дЧ ^ Эй dQ m°d4+Nd¡--d7

AqA-1M = q;

(9)

вч эм х - * _

¿W

д7 дй d¡

-А ~1М = 0; + Aii? = 0;

(И) (12)

где N - диагональная матрица, элементами которой являются коэффициенты вязкого сопротивления; J - диагональная матрица физических моментов инерции поперечного сечения стержня;

В уравнениях (9)-(10)

+ + (Р(-) + рМ + р(*))б(в - 0 + Е - **). (13)

0 Q03 -Q02 0 Моз —Mq2 0 0 0

-<Эоз 0 QOI , Am— -Моз 0 Mol ,AX = 0 0 -1

Q02 -<?01 0 . Мог -Moi 0 0 1 0

¿=1

Д = (Т(и) + fW + T^)6(s -1),

(14)

q - динамическая ветровая нагрузка, полученная с учетом аэродинамического демпфирования и представления модуля скорости ветра в виде суммы средней и пульсационной составляющих v = v0 + исл,

g(a) — kQvlaa + 2k0v0vCjIaa + k0vlAa0i) - knv0Aa^, (15)

где aa = (0, eos a, sin a)T ; Aao и Aa - матрицы, элементы которых зависят от угла а ;

cfW - нагрузка, обусловленная поворотом связанных осей при колебаниях стержня в поле силы тяжести,

gír> = -m0(e)flA1^; (16)

- сила инерции поступательного движения сосредоточенной массы,

ЗЫ fc>2« л д2^

A G

0 -rG з rG2 rG3 0 -rGi -rc2 rGi 0

(17)

рМ — нагрузка, обусловленная поворотом связанных осей при колебаниях тела в поле силы тяжести,

pV = -mAgAM

(18)

Р - динамическая ветровая нагрузка, действующая на антенну,

ди

р(а) = кАь%аа + 2кАу0ислаа + кАь1 Аа2д - кл^оА^ —+

л л /

+кАу0Аа1Ао—, (а = /);

д1 (19)

Р^ - приращение реакции А:-ой оттяжки при колебаниях (я = вц),

Р <*> = А1кё + Аий, А1к = ЛТо^Гць, Аы А») Гц - ^Е, (20)

V 'о* / 10к

Гхд,, Г2к - матрицы, элементы которых зависят от компонент ; Т ('и' - момент инерции антенны относительно точки закрепления на стволе,

ТЫ = -(3А-тААЬ)^-тААс^ (з = 1); (21)

Т^ - моменты от сил Р^ , Р(ЯК

2*(г) = А сР(т\ Г(а) = А (22)

Граничные условия: при 5 = 0 и = 0,г? = 0; при в = I <5 = 0, М = 0.

Систему уравнений (9)-(10) можно записать в виде

= А«^ + А^ - + А«?- 6 « - = 0, (23)

где 2 = (<5, , М, г?, и)т, матрицы А^, А®, А® имеют размерность 12 х 12, вектора Ь'[1> и Ь {2) содержат по 12 компонент. В диссертации разработан метод определения собственных значений и собственных векторов для общего случая пространственных свободных колебаний мачты, позволяющий учитывать инерционные свойства антенного оборудования.

Собственные вектора в дальнейшем используются для приближенного решения уравнения малых вынужденных колебаний системы в частных производных (23), которое ищется в виде

г&з)=± (24)

Ь=1

где Z^(s) - собственные вектора, /¿.(£) - неизвестные функции времени, для которых после преобразований, выполненных с использованием обобщенного принципа возможных перемещений, предложенного в

монографии В.А. Светлицкого «Механика стержней» (том 2), полученг следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений

А/+ В/+ Cf = № +

(25)

где элементы матриц А , В , С и векторов (г = 1,2) вычисляются по формулам

ОД = /(А^« .Еоъзк = -Ео2<Л)ёа,

о о

/ г

(26)

Еп =

О О О Е

О

о

Е О

Е

О О

о

1 0 0 '

, Е = 0 1 0

0 0 1

Изложенный алгоритм численного приближенного решения уравнения (23) позволяет исследовать нестационарные и стационарные колебания, вызванные детерминированными и случайными нагрузками. Разработана программа для вычисления элементов матриц А, В, С и компонент векторов (I ^ , й ® , позволяющая учитывать до 50 собственных векторов в приближенном решении, что дает возможность получать результаты практически с любой точностью.

Пятая глава посвящена численному решению уравнений нестационарных и стационарных колебаний мачты с антенной при случайных аэродинамических нагрузках. Рассмотрены случаи внезапного нагруже-ния конструкции воздушным потоком, модуль скорости которого представлен в виде суммы постоянной и случайной составляющих

и = и0 + Ус

(г?о = сопв^,

(27)

и импульсного нагружения, когда время действия аэродинамической нагрузки можно считать малым. Внезапное нагружение приводит к нестационарным колебаниям системы, что представляет наибольшую опасность для ее нормальной работы. В диссертации д ля проведения расчетов выбрана функция, имеющая табличное косинус-преобразование Фурье, близкая по своим свойствам к энергетическому спектру Давенпорта:

- > ), о)

72 - П

ед =

А,

72-71

[т*2 ехр(-|г|/71) -71 ехр(-|т|/т2)],

(29)

1200 2irv

, Dv = 6 fcci»j0, v10 - средняя

где n = 0,4979 a, r2 = 3,347 a, a = скорость ветра на высоте 10 м, кс - коэффициент сопротивления подстилающей поверхности (кс ~ 0,01).

Векторное уравнение (23) можно представить в виде

jf+ Ао у = bx + vj2 (у = (/ , /)т). (30)

Решение уравнения (30) представлено как сумма детерминированного и случайного векторов

y(t) = y0(t) + yc(t), t t где yQ(t) = Ф(<) J $4(t)Mt', yc = Ф(*) fvcJdt', Ф(£) - фундамен-

o _ '

тальная матрица решений (Ф(0) = Е), d(t) = $-1(t) Ь2 - неслучайный вектор.

Взаимнокорреляционные функции компонент у равны

2v iv

КуА^М) = L Е <Pij(tl)<Pml(t2) / d}(t[) / dl(t'2)Kv(t[ - t'2) dt'2dt[.

j=i ;=i о о

Математическое ожидание и дисперсия г -ой компоненты вектора состояния при нестационарных колебаниях вычисляются по формулам:

j=i

j=i fc=i

(31)

(32)

где , ¿[^ - г-ые элементы собственных векторов и ,

/<у = Уоз+и , = кУ{+1/Ут+1/.

Одна из основных целей анализа нестационарных колебаний мачты, заключается в определении максимально возможных угловых отклонений луча антенны от заданного направления. На рис. 4 показан единичный вектор едо , совпадающий по направлению с лучом при неподвижной антенне в системе 0х\х2хз . При колебаниях антенны направление луча характеризуется век-Рис. 4 тором еА .

Угол между векторами едо и еА , определяющий отклонение луча антенны, приближенно равен

/8 « |ёдо х еА\. (33)

При малых углах поворота координатных осей

-.3

едо = ел-1?Ахсд (дА = ^г}), (34)

¿=1

где равны углам поворота поперечного сечения стержня при в = 1.

Из (33) и (34) получаем /? = ^($д)2 — (ёд$д)2. Так как направление луча антенны может быть произвольным, то для оценки максимально возможного значения угла отклонения луча антенны принято выражение

№ = ^Щ2.

(35)

Согласно (24), (3

. £ Е(а»а^ + сгс:)/«Л-. где а' = 4 (0 >

N¿=1;=!

Ьг = г$\1) , с; = - соответствующие значения собственных векто-

ров. Рассматриваются малые колебания, поэтому угол /? можно считать малым, что позволяет воспользоваться методом линеаризации выражения (36) и получить вероятностные характеристики угла (5 :

тд =

Ё ¿(«,«у + Щ + с,су) тп}.т{р

¿=1 ]=1

2 (др\

(36)

(37)

Принято, что |(3\ имеет распределение модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону:

ар

лДп

(38)

Тогда математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение |/3| равны:

тщ = 2 [трФ0(тр/<гр) + ор<р(тр/<тр)}, <тщ = ^а20 + тп| - т2щ, (39)

X

где ¡р(х) = ехр(—ат2/2), Фо(х) = ] ср(х')(1х'. Максимально возможное значение |/?| находится из условия /¿Згаах /(х)с1х = Р. При получении 12

численных значений было задано Р = 0,9973. Разработан алгоритм численного определения вероятностных характеристик эквивалентных напряжений в мачте.

Далее в пятой главе получены вероятностные характеристики вектора состояния при стационарных колебаниях мачты с антенной с целью сравнения с результатами расчета при нестационарных колебаниях. Математическое ожидание вектора / определено из системы линейных алгебраических уравнений

С/о=<Г«. (40)

Спектральная плотность к -ой компоненты / равна

5Л И = = (Ф?* + Ф|0 ЗД. (41)

где Ф ^ - частотная функция. Дисперсия к -ой компоненты вектора f

, оо

о

Интеграл в выражении (42) получается численно при конечном верхнем пределе, устанавливаемом требованиями к точности решения.

Математическое ожидание и дисперсия г -ой компоненты вектора состояния стержня в сечении с координатой в вычисляются по следующим формулам:

тф) = ± /о,- Оф) = ± ви (4Л(з))2. (43)

В диссертации разработана методика расчета стержневой конструкции при нестационарных колебаниях, возбуждаемых импульсным действием порыва ветра или ударной волны. Решение поставленной задачи при случайном модуле и случайном направлении импульса скоростного напора воздушного потока осложняется тем, что, как правило, отсутствует статистическая информация о параметрах потока, воздействующего на типовые мачтовые конструкции, предназначенные для использования в различных географических регионах и в экстремальных условиях. Изложен алгоритм определения максимально возможного значения углового отклонения луча антенны при произвольном направлении вектора скорости потока. Получено выражение для модуля максимального угла отклонения луча антенны в виде

Г = |/ю| \/^шах(*), (44)

где |710] — модуль импульса скоростного напора воздуха, 1?тих(1) - тах[^(а,4)] — функция, зависящая от углов поворота связанных осей стержня в месте крепления антенны. Для случайной величины |7ю| было принято распределение модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону

1(1 Т п 1 Г ( (|/1О|-Ш710)2\ . / (|1ю1 + Ш/10)2\]

/( -»10 ) = -75= ехР--- + еХР---- •

от10л/2»г [V Гм / V 2<т,10 )

Воспользовавшись алгоритмом определения законов распределения функций случайных аргументов, получаем

где тпр- — Ш[и л/, аз- = <Т/10 . Тогда математическое ожидание

и стандарт |/3*| равны

ш^.) = 2 [тр.Фо{тр./(Тр.) + (тр*(р(тр./<тр)], <т\р.\ = уо|. + - т^,

X

где р(х) = —ехр(—х2/2), Ф0(а;) = у (р(х')йх'. Максимально возможное значение |/?*| находится из условия /дтах }(х)в.х = Р. При получении численных значений было задано Р = 0,9973 .

На рис. 5, 6, 7 приведены, для примера, результаты расчета нестационарных случайных колебаний мачты высотой 33 м с двумя ярусами оттяжек и антенной, масса которой равна 100 кг. На рис. 5 показано изменение во времени наибольшего эквивалентного напряжения в заделке при внезапном нагружении конструкции аэродинамическими силами при различных скоростях ветра (указана средняя скорость потока на высоте 10м). Изменение наибольшего угла поворота антенны при тех же условиях нагружения показано на рис. 6. На рис. 7 представлены графики изменения во времени наибольшего угла отклонения луча антенны при импульсном нагружении аэродинамическими силами для различных значений среднего квадратического отклонения импульса скоростного напора, математическое ожидание которого го/10 = 24 Па с .

Основные выводы

1. Разработана методика расчета мачты с антенной, находящейся в потоке воздуха, имеющего как детерминированные, так и случайные характеристики.

2. Изложен алгоритм расчета на статическую устойчивость мачтовой опоры с целью определения предельного веса устанавливаемого антенного оборудования.

max

ma ■300

200-

100—1

$0-10.5%

$0=22,6%

_____ - i 1 1 r 1

—r r 1 r ' III! fatsslc lili 1111 1 1 1 1

Q max

0,5 W 15 2,0 2¿ i,c

Puc. 5

4 1

: n

— }/s^\\lf \ / \ / ■ 1 1 1 1 1 1 1 t tt ¡ 1 1 i 1 1 1 1 ¡ 1 i ! 1 i 1 1

o

*mo%

OS

1,0 fS

Puc. 6

2,0

2,5 te

JZj

- %f0=f6fh¿, 1 m

pf 1 1 1 1 1111 1 7 I 1 i i a 1 . ! / a ' a \ / a / \ 1 /1 ia 1 1 1 \l \ /"X ' / 1 /1 1 \ / / a I W/^^v xi¡\\ )j \ \ ¡1 JL £ 1 _AJi jIj \j 11 &rf0-8/Joa 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i V y 1 1 1 i lili

0,5

f,0 i,5

Puc. 7

¿.0

2,5 t¿

3. Разработал алгоритм, обеспечивающий высокую точность численного решения линейных и нелинейных уравнений равновесия мачты с антенной, нагруженной аэродинамическими силами, для наболее общего случая, когда осевая линия мачты из-за несимметричного нагружения становится пространственной кривой.

4. Разработан метод определения собственных значений и собственных векторов для общего случая пространственных колебаний мачты, позволяющий учитывать инерционные свойства антенного оборудования.

5. Исследованы стационарные колебания мачты с антенной при стационарных аэродинамических нагрузках с определением вероятностных характеристик вектора состояния системы.

6. Разработан метод расчета нестационарных случайных колебаний мачты с антенной, позволяющий определить вероятностные характеристики напряженно-деформированного состояния мачты и угла отклонения фокальной оси направленного антенного устройства при действии:

- внезапно приложенной случайной аэродинамической нагрузки;

- случайной по модулю и направлению импульсной нагрузки.

7. На основе теоретических результатов, численных методов и алгоритмов выполнены расчеты трех конструкций мачт, подверженных аэродинамическому воздействию.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Скуев М.В. Статическая устойчивость мачт с оттяжками / Деп. в ВИНИТИ 07.05.97 г. №1522-В97.

2. Светлицкий В.А., Скуев М.В. Нестационарные колебания мачты с антенной при импульсном нагружении / Деп. в ВИНИТИ 29.07.97 г. №2528-В97.

3. Скуев М.В. Расчет радиорелейных мачт при случайных аэродинамических нагрузках / Тезисы научно-технической конференции аспирантов и молодых ученых кафедры прикладной механики МГТУ им. Н.Э.Баумана 20 февраля 1997 г. // Известия вузов. Машиностроение. — 1997. — № 1-3. — С. 143.

4. Светлицкий В.А., Скуев М.В. Нестационарные колебания стержня со сосредоточенной массой при случайном импульсном нагружении потоком воздуха // Вестник МГТУ. Машиностроение. — 1998. — № 1. — С. 3-17.

Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана Заказ № 92 , тираж 100 экз. Подписано к печати Объем 1 п.л.

Московский государственный технический университет

им. Н. Э. Баумана

Па правах рукописи

Скуев Михаил Валерьевич

УДК 531.22.8

РАСЧЕТ НЕСТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАНИЙ МАЧТЫ С АНТЕННОЙ В ПОТОКЕ ВОЗДУХА

01.02.06 — Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель -доктор технических наук, профессор Светлицкий В. А.

Москва - 1998

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 5

1. Обзор литературы и формулировка основных задач диссертации 7

1.1. Анализ научной литературы, посвященной расчетам мачтовых и башенных сооружений............ 7

1.2. Объект, основные задачи и цели исследования..... 15

2. Статическая устойчивость мачты с оттяжками 19

2.1. Линеаризованные уравнения равновесия мачты

после потери устойчивости..................................19

2.2. Численное определение критических нагрузок..........27

2.3. Анализ результатов расчета мачты на статическую устойчивость..................................................29

3. Определение напряженно-деформированного состояния мачты при статическом нагружении 35

3.1. Нелинейные уравнения равновесия прямолинейных стержней с локальными упругими связями....... 35

3.2. Определение статических сил и моментов, действующих на стержень со стороны антенного блока..... 37

3.3. Распределенная статическая нагрузка от сил тяжести

и стационарного потока воздуха ............. 41

3.4. Силы, действующие на мачту со стороны оттяжек ... 43

3.5. Численное решение нелинейных уравнений равновесия методом дискретного продолжения по параметру ... 44

3.6.

3.7.

Определение статического напряженно-деформированного состояния из линейных уравнениях равновесия . 53 Анализ напряженно-деформированного состояния мачты 56

4. Вынужденные и свободные колебания мачты с антен-

ной 73

4.1. Линеаризованные уравнения малых вынужденных колебаний стержня ...................... 73

4.2. Определение сосредоточенных и распределенных сил и моментов, действующих на мачту и антенну при колебаниях ............................ 75

4.3. Уравнения малых колебаний мачты с антенной .... 84

4.4. Определение собственных значений и собственных векторов ............................. 88

4.5. Общий метод приближенного решения системы линейных неоднородных уравнений малых колебаний в частных производных...................... 92

4.6. Результаты расчета собственных значений и собственных векторов......................... 95

5. Определение вероятностных характеристик напряженно-деформированного состояния мачты при нагруже-

нии случайными аэродинамическими силами 103

5.1. Вероятностные характеристики аэродинамических нагрузок .............................104

5.2. Нестационарные колебания при внезапном приложении аэродинамической нагрузки............. 111

5.3. Стационарные колебания при стационарных аэродинамических силах.......................125

5.4. Определение вероятностных характеристик угла отклонения луча антенны при нестационарных колебаниях, вызванных случайным импульсным нагружени-

ем аэродинамическими силами..............129

5.5. Анализ результатов расчета нестационарных колебаний мачты с антенной в потоке воздуха.........136

Основные выводы 164

Список использованной литературы 166

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена одному из научных направлений в механике стержней — механике упругих стержней, взаимодействующих с потоком воздуха или жидкости.

Статическое и динамическое взаимодействие конструкций в целом и их элементов с детерминированным и случайным потоками воздуха или жидкости весьма типично для техники и вызывает значительные трудности при решении прикладных задач, так как обычно эти задачи являются неконсервативными.

Анализ взаимодействия упругих элементов конструкций с потоком воздуха или жидкости требует, при точной постановке, совместного рассмотрения уравнений теории упругости (или в частных случаях — теории стержней, пластин, оболочек) и аэрогидромеханики. Это необходимо для определения сил, действующих на элементы конструкций со стороны потока и зависящих от деформации упругих элементов. Теоретически вывести аналитические выражения для этих сил очень сложно, однако для широкого класса частных задач можно получить аналитические выражения для аэродинамических сил с использованием результатов экспериментальных исследований, что позволяет оценить статическое и динамическое напряженные состояния, вызванные детерминированным, стационарным или нестационарным потоком воздуха или жидкости. К этим частным задачам можно отнести и задачи статики и динамики высотных сооружений, например мачтовых и башенных конструкций.

К настоящему времени учеными достигнут высокий уровень теории и расчета мачтовых систем, дальнейшее развитие которых связано с новыми требованиями к повышению точности расчетов и оценке

надежности функционирования конструкций. Это весьма актуально для мачтовых систем, работающих в экстремальных условиях, когда воздействие внезапно приложенной или импульсной детерминированной и случайной аэродинамических нагрузок приводит к нестационарным колебаниям мачт.

Увеличение точности расчетов требует как применения новых численных математических методов, так и уточнения математических моделей, отражающих физические особенности работы мачты с антенным или другим оборудованием в реальных условиях. Решению этих проблем в современных условиях способствует развитие и распространение быстродействующей вычислительной техники. Поэтому разработка новых математических моделей и высокоточных численных методов исследования нестационарных колебаний антенно-мачтовых систем является актуальной проблемой.

1. Обзор литературы и формулировка основных

задач диссертации

1.1. Анализ научной литературы, посвященной расчетам мачтовых и башенных сооружений

Научная литература по механике стержней и стержневых конструкций весьма обширна, поэтому рассмотрены монографии и статьи, имеющие наиболее близкое отношение к теме диссертации, которая посвящена разработке методов расчета стержней (мачтовых конструкций), взаимодействующих с потоком воздуха.

К основополагающим работам, связанным с общими вопросами теории антенно-мачтовых сооружений и методами их расчета относятся [21, 26, 54, 72, 82, 83].

При эксплуатации мачтовые и башенные конструкции нагружаются:

- статическими силами (силы веса и аэродинамические силы при стационарном обтекании);

- динамическими детерминированными силами (внезапно приложенными и импульсными аэродинамическими силами);

- динамическими случайными аэродинамическими силами, как стационарными, так и нестационарными.

Поэтому, как правило, исследования и методы расчета мачтовых и башенных конструкций посвящены:

- расчетам конструкции при статическом нагружении с определением напряженно-деформированного состояния и анализом статической устойчивости;

- определению спектра частот конструкции и напряженно-деформи-

рованного состояния при нагружении детермированными силами; - определению напряженно-деформированного состояния конструкций при нагружении случайными силами (случайные аэродинамические силы и случайные сейсмические силы).

Рассмотрим более подробно содержание и полученные результаты по каждому из вышеперечисленных научных направлений в работах, приведенных в списке литературы.

Специфические особенности мачтовых конструкций с анализом физических основ их работы рассмотрены в книге [72]. При составлении уравнений равновесия ствола мачты используется метод перемещений, но при этом силы, действующие на мачту со стороны оттяжек, определяются по нелинейным соотношениям. Математическая модель содержит нелинейную систему алгебраических уравнений, для решения которой использован метод простых итераций.

Статический расчет мачт с оттяжками изложен в [110]. Мачта рассматривается как упруго опертая неразрезная балка, поддерживаемая тремя оттяжками; при определении сил, действующих на мачту со стороны оттяжек, отыскиваются корни полинома 7-ой степени; проведены численные исследования влияния конструкционных параметров мачты и внешней нагрузки на напряженно-деформированное состояние.

Статический анализ напряженного состояния вантовой мачты методом перемещений в матричной форме изложен в [102]. Вопросы выбора проектных нагрузок и начальных сил натяжения оттяжек на основе опыта эксплуатации мачт рассмотрены в работе [112]. В [100] отмечается, что в литературе, как правило, приводятся методы расчетов мачтовых сооружений при симметричном расположении тросов и действии аэродинамических сил в плоскости симметрии кон-

струкции. Поэтому автор обобщает эти методы для случая несимметрично расчаленных мачт при воздействии произвольно направленной горизонтальной аэродинамической нагрузки. В [106, 111] для расчета расчаленных мачт под действием произвольной статической нагрузки использованы итерационные методы при решении нелинейных уравнений равновесия.

Теория статического расчета стержней, взаимодействующих с потоком воздуха или жидкости, изложена в монографиях [73,74, 76], в которых, для решаемых в диссертации задач, особый интерес вызывают разделы, посвященные определению сил, действующих на находящийся в потоке стержень. Прикладные задачи статики стержней в потоке воздуха или жидкости в нелинейной постановке решаются в работах [41, 42, 43, 50, 51, 79].

Основы расчетов на статическую устойчивость упругих систем и, в частности, стержневых конструкций изложены в трудах [2, 16, 19, 35, 46, 74, 78, 86]. Устойчивости мачт с оттяжками посвящена монография [39], где в качестве расчетной схемы используется сжатый или сжато-изогнутый стержень на упругих опорах, определению жест-костей которых автор уделяет особое внимание. Для решения используется метод перемещений. В статье [97] с позиции статической устойчивости рассмотрена несущая способность мачты с одним ярусом оттяжек; приведены способы повышения жесткости расчаленных мачт; однако используемая авторами математическая модель не позволяет оценить влияние начального натяжения на устойчивость мачты.

Устойчивость несущих элементов с растяжками исследуется в работе [105], где в качестве примеров рассмотрены расчаленные шар-нирно опертые стержни, для которых пространственная задача сво-

дится к плоской. В статье [65] предложен метод статистических испытаний для расчета антенно-мачтовых сооружений на устойчивость, реализуемый с помощью компьютерного эксперимента. В качестве критерия отказа выступает потеря общей устойчивости ствола мачты с выходом из плоскости действия ветровой нагрузки. Используемый при расчете алгоритм моделирования случайного направления ветровой нагрузки изложен в [45]. В работе [49] устойчивость и состояние равновесия многоступенчатой мачты без оттяжек рассмотрены с позиции теории гибких упругих стержней, изложенной в монографии [62], а для численного решения нелинейных уравнений равновесия используется метод стрельбы.

Деформирование и устойчивость гибкого стержня с продольными связями применительно к расчету вантовых стоек исследованы в работе [25], причем решение дается в рядах, что не очень удобно при расчетах. В [47] при расчете мачты определяется закон изменения суммарной силы от оттяжек (при изгибе в плоскости) в зависимости от величины смещения точек их закрепления на стволе. Для решения задачи устойчивости рекомендуется использование метода начальных параметров, для нелинейного расчета предложен итерационный метод. Способ организации итерационного процесса на основе создания упрощенной математической модели с постепенным ее уточнением, при котором реальной мачтовой конструкции при каждом приближении ставится в соответствие уточненная расчетная схема, рассмотрен в [59].

Классификация явлений аэродинамического и аэроупругого характера строительных сооружений приведена в работе [87]. Анализу ветровой нагрузки посвящены труды [14, 40, 68, 71, 80]. Специальные вопросы обтекания конструкций и определения аэро- и гидродинами-

ческих сил рассмотрены в [18, 31, 37, 60, 63, 88, 93, 98]. Задачи динамики высотных сооружений рассмотрены в работах [8, 10, 29, 53, 57, 66, 91, 96, 99, 101, 103, 107, 109]. Систематические сведения о расчете мачт с оттяжками на сейсмические и ветровые воздействия содержатся в [66]. Предлагаемый алгоритм динамического анализа мачты изложен с учетом колебаний оттяжек. Несмотря на то, что состояние оттяжек описывается нелинейными соотношениями, задача свободных колебаний мачты решается в линейной постановке. Проведенные экспериментальные исследования на моделях мачт с оттяжками и сравнение опытных и расчетных данных подтвердили возможность такого допущения. Свободные колебания мачтовых конструкций с оттяжками рассматриваются в работах [91, 99]. Авторы этих работ считают, что необходимо учитывать инерцию оттяжек при определении частот. Противоположный вывод делает автор статьи [57], где проведен численный расчет на ЭВМ частот и форм собственных колебаний 350-метровой мачты с оттяжками с использованием модели мачты как прямолинейного стержня; по результатам расчета сделан вывод о том, что учет инерционных свойств оттяжек существенного значения на частоты колебаний мачты не оказывает. В работе [53] исследуются малые колебания мачты с учетом статического напряженно-деформированного состояния.

Экспериментальным исследованиям антенно-мачтовых конструкций посвящены работы [61, 92], в которых отражены вопросы выбора и нормирования аэродинамических нагрузок, однако процессы колебаний мачт при обтекании воздушным потоком устройств, размещаемых на мачтах не рассматривается.

Одним из основных требований, предъявляемых к современным антенно-мачтовым конструкциям с высотным расположением техно-

логического оборудования, является обеспечение его параметрической надежности при экстремальных воздействиях. В связи с тем, что научно-техническая литература по этому аспекту не столь обширна, наибольший методический интерес представляют исследования колебаний стержней при импульсном аэродинамическом нагру-жении, приведенные в трудах [5,30, 33], в которых колебательные процессы анализируются с позиций как линейной, так и нелинейной теории.

Проблемам расчета высотных сооружений посвящены многочисленные работы, опубликованные в зарубежных научно-технических изданиях. В обзорных статьях [103, 109] рассмотрены виды аэроупругих колебаний высотных конструкций. В работе [101] отмечается, что имеет место большое число аварий мачтовых конструкций, вызванных аэродинамическими силами при больших скоростях потока воздуха. Автор предлагает метод расчета мачтовых конструкций с условным разделением колебаний мачты на высокочастотные и низкочастотные. При низкочастотных колебаниях нагружение мачты приближенно рассматривается как квазистатическое, что упрощает расчет. Авторы работы [29] для исследования динамических характеристик мачт с оттяжками предлагают упрощенный метод расчета, который предусматривает разделение динамических характеристик в частотной области на последовательное определение диапазона низких частот колебаний и диапазона высоких частот. Анализ точности решений, полученных по этой упрощенной схеме, не приводится.

Шаговый метод решения нелинейных уравнений расчаленной мачты на действие турбулентного ветрового потока, аэродинамическая нагрузка от которого задается в виде функции времени, изла-

гается в [96]; используемая математическая модель позволяет учитывать ударное нагружение конструкции при обрыве вант. В [107] описывается численный метод расчета мачты с оттяжками на воздействие ветра, причем скорость ветра задается детерминированной периодической функцией времени, которая представлена как сумма постоянного во времени среднего значения и осциллирующей синусоидальной добавки; построение разностных схем основано на введении сосредоточенных масс; по результатам расчета делается вывод, что квазистатический подход, предполагающий постоянство скорости ветра, дает неудовлетворительные результаты.

В реальных условиях высотные сооружения нагружаются не только детерминированными нагрузками, но и случайными, которые представляют наибольшую опасность. Для анализа динамических процессов, возникающих при колебаниях мачтовых конструкций при случайном нагружении используются методы статистической механики, изложенные, например, в работах [4, 17, 20, 34,56, 77]. Методы расчета при случайном нагружении строительных конструкций нашли отражение в нормативных материалах [81], обоснование которых дано в [6, 90], а также в рекомендациях [67, 70]. Методы расчета мачты при стационарных случайных колебаниях изложены в работах [7, 8, 9, 11, 12, 13, 48]. В работе [8] в качестве нагрузки, действующей на систему, принимается пульсационная составляющая давления ветра, рассматриваемая как пространственно-временной стационарный гауссовский случайный процесс. Зад�