Некоторые задачи стесненного пространственного изгиба упругих стержней тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Р Г Б ОД

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ { ;:'г! ■ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СЕСЮНИН НИКОЛАЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СТЕСНЕННОГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО ИЗГИБА УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва-1997

Работа выполнена в Московском государственном открытом университете

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ И.Н.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

КАЛИНИН А.Г.

доктор физико-математических наук, профессор КУЛИЕВ В.Д.

доктор технических наук, профессор ШАПОШНИКОВ Н.Н.

Ведущая организация: Всероссийский научно-исследовательский институт буровой техники.

Защита диссертации состоится " 2 "ИЮЛЯ " 1997 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 053.20.02 при Московском государственном открытом университете по адресу : 129805, Москва, ул.Павла Корчагина, д. 22. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГОУ.

Автореферат разослан "_"_ мая_1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.Г. Дмитриев

Актуальность, рассматриваемых в диссертации, "проблей обусловлена широким применением в инженерной практике гибких стержневых систем с односторонними связями.Они образуют отдельный класс нелинейных механических систем, для которых общая теория расчета только разрабатывается.Особое место в теории занимают системы с непрерывно распределенными по линии или по поверхности односторонними связя-ми.'которые могут выключаться на любой части линии или поверхности,образуя участки контакта и участки отрыва. Разработка теории стержневых систем с непрерывно распределенными по линии односторонними связями крайне необходима для такой отрасли, как бурение направленных скважин. Правильный расчет формы стесненного изгиба бурильной колонны во многом определяет выбор оптимальной техники и технологии бурения скважин в соответствии с заданным профилем,ее стоимость и сроки строительства. В настоящее время используется теория,основанная на предпоположении плоского стесненного изгиба бурильной колонны в скважине,хотя существуют и пространственные устойчивые формы равновесия. Применение этого допущения существенно упрощает решение практических задач, но в тоже время, модель плоского изгиба не позволяет исследовать другие, более сложные устойчивые пространственные формы равновесия бурильной колонны в скважине, которые обнаружены при прочедении лабораторных испытаний на моделях и, косвенно подтверждаются практикой бурения. Кроме того, модель плоского изгиба неприменима в том случае,когдт ось скважины представляет пространственную кривую.

Поэтому наряду с моделью плоского изгиба необходимо разработать модели пространственного стесненного изгиба упругих стержневых систем с односторонними поверхностными связями,которые создадут предпосылки перехода на качественно новый уровень теоретического анализа процесса управления искривлением скважин и создания более эффективной техники и технологии направленного бурения скважин, что является важным условием для промышленной разработки перспективных многозабойных скважин.

Целью работы является создание теории и эффективных общих методов расчёта пространственного стеснённого изгиба сжатых упругих стержней внутри трубчатого пространства на основе развития и обобщения статики стержневых систем с односторонними связями. Исследование и анализ трехмерного изгиба различных типов компоновок низа колонны.отклоняющих усилий на долоте по азимуту зенитному углу в скважине произвольного профиля. Экспериментальная проверка основных положений разработанной теории пространственного стеснённого изгиба упругих стержней. Разработка методов построения трехмерной геометрии ствола скважины на основе теории стеснённого пространственного изгиба бурильной колонны в скважине.

Научная новизна.В диссертации предложены новые физико-математические модели, позволяющие исследовать стеснённый пространственный изгиб системы упругих стержней с односторонними поверхностными связями на основе обобщения и развития теории плоского изгиба упругого стержня внутри вертикальной и наклонной цилиндрической полости, рассмотренной в работах Г. Вудса, А. Лубинского, В. И. Феодосьева, Н.Ф. Лебедева, Б.З. Султанова, В.Г. Григулецкого и решений, полученных А. Лубинским,И..К. Майоровым, А.Ш. Янтуриным, В.Н. Алексеевым, М.М. Александровым, для участка бурильной колонны, изогнутой по винтовой линии.Полученьг вариационные функционалы Лагранжа и ограничения, накладываемые стенками трубчатой поверхности, на перемещения упругой оси колонны, позволяющие определить её истинные формы равновесия на любой глубине скважи-ны.Математические и вариационные модели приведены к безразмерному виду,что позволяет исследовать широкий класс задач стесненного изги-ба.Для решения вариационных задач с ограничениями типа неравенств предложен единый численный метод решения,эффективный для задач стесненного изгиба упругих весомых стержней в замкнутом пространстве. Изучены законы стесненного деформирования весомых упругих стержней в вертикальной и нахлонной цилиндрической полости. Определены области устойчивого равновесия пространственного и плоского изгиба бурильной колонны в скважине.. Предложено аналитическое решение краевых

задач стеснённого пространственного изгиба упругих невесомых стержней в комплексных переменных. Исследованы закономерности стеснённого деформирования и области существования и единственности решений для плоской и пространственной задач. На базе теории стесненного пространственного изгиба упругих стержней разработан метод расчета пространственной траектории ствола скважины и отклонений скважины по азимуту и зенитному ушу одновременно.

Научная и практическая значимость полученрых результатов. На основе статического расчета модели стесненного пространственного изгиба упругого стержня внутри трубчатого пространства осуществлен подбор оптимизированных компоновок низа колонны для стабилизации направления бурения одновременно в зенитной и азимутальной плоскостях с целью наилучшей реализации проектного профиля скважин.Применяемые в диссертации методы моделирования стесненного изгиба весомых упругих стержней с помощью ЭВМ позволяют значительно сократить затраты на проведение трудоемких натурных и лабораторных испытаний компоновок низа бурильной колонны.Установлены безразмерные критерии,характеризующие переход плоской формы стесненного изгиба длинного стержня в пространственный и наоборот.Это важно для управления направлением ствола скважины с помощью регулирования формы изгиба низа колонны.Дан прогноз пространственного искривления наклонных скважин в зависимости от состояния (износа) технического вооружения низа колонны и режимов бурения.Разработаны методики,алгоритмы и программы для расчета на ЭВМ вариационной модели стесненного изгиба упругого весомого стержня с ограничениями типа неравенств.Полученные в диссертации результаты, внедрены в заинтересованные проектные и производственные организации виде научно-технических отчетов,методик расчета, алгоритмов,прикладных программу также в виде учебно-методических пособий в вузах.

Апробация работы. Основные положения диссертации заслушаны и одобрены на Всесоюзных совещаниях и конференциях по проблемам наклоннонаправленного бурения скважин (Баку, Ставрополь, 1977, 1980 гг.), ежегодных научных конференциях Пермского госуниверсигета

(1975 - 1981 гг.), Пермского политехнического института (1977 - 1980 гг.),Всесоюзного научно-исследовательского института буровой техники (1978 г.). Тюменского научно-исследовательского и проектного института нефти (1979 г.),Московского государственного открытого университета (1986 - 1995 гг.),научно-исследовательского и проектного института нефти (1981 г.), Рязанской радиотехнической академии (1992 - 1996 гг.), Рязанского высшего военного автомобильного училища (1982 - 1987 гг.), Московского геолого-разведочного института (1986 г.). По теме диссертации опубликованы 24 научные работы и получено авторское свидетельство на изобретение.Диссертация состоит из введения и пяти глав, изложенных на 215 страницах, включая иллюстрации и таблицы. Список использованной литературы включает 95 наименований. Полный объем работы составляет 256 страниц.

Во введении кратко формулируется цель работы и объект исследования, дана характеристика актуальности проблемы, ее научная новизна и практическая значимость, определена структура диссертации.

В первой главе дана общая характеристика и состояние проблемы стесненного изгиба стержней. К конструкциям, работающим в условиях стеснённого изгиба, прежде всего, относятся стержневые системы с односторонними или неудерживающими связями, которые математически записываются в виде неравенств или совокупности уравнений и неравенств. Они отличаются от двухсторонних, обычных связей тем, что реакции односторонних связей не меняют своего знака; они сохраняют его или обращаются в нуль.Наиболее изученными являются системы с сосредоточенными и распределенными связями. Односторонние связи в виде трубчатой поверхности'(например, стенки скважины) представляют обобщение односторонних точечных и линейных связей. Это придает разрабатываемой проблеме общий характер.Процесс стеснённого изгиба стержней можно условно разбить на три фазы. Первая фаза — потеря продольной устойчивости под действием собственного веса и осевых сил, приложенных к ее концам, рассмотрена в трудах А.Н. Динника, JI.C. Лейбензона, Г.М. Саркисова, А.Е. Сарояна, А.Г. Калинина, A.C. Станишевского и др. ученых.

Вторая фаза связана со свободным изгибом бурильной колонны, потерявшей продольную устойчивость внутри скважины, при нагрузках, незначительно превышающих первую критическую. При дальнейшем увеличении нагрузки или длины- колонна коснется стенки скважины. Появляется дополнительная односторонняя сосредоточенная связь. С этого момента начинается фаза стеснённого изгиба упругого стержня. При этом возникает совершенно новая краевая трехточечная задача с дополнительной односторонней связью. Координаты этой связи по высоте цилиндрической полости, как правило, неизвестны.Стеснённый пло-cKuit изгиб сжатого стержня внутри пустотелого цилиндра ( трубы) изучен в работах В.И. Феодосьева. Получены основные формы изгиба упругого стержня по одной, трем, девяти и т.д. плоским полуволнам, которые образуются при значениях осевой силы: F = Fa; F = 16 Fa; F = 144 F3 и т.д.

Существенное усложнение вносит вес самого стержня. Плоский стесненный изгиб весомого сжаторастянутого стержня в вертикальной цилиндрической полости исследован А. Луоинским и В.Г. Григулецким, также в несколько иной постановке Н.Ф. Лебедевым .Однако плоский изгиб бурильной колонны по формам выше первой неустойчив и не подтверждается опытными исследованиями. Стеснённый плоский изгиб колонны с контактом стенки скважины в одной точке при увеличение осевой силы вытесняется устойчивым пространственным изгибом. Поэтому в работах И.К. Майорова, В.Н. Алексеева, А. Лубинского, A.M. Руцкого и др. исследована пространственная форма равновесия упругого стержня внутри цилиндрической полости в виде винтовой линии, которая сформировалась вдалеке от закрепленных концов стержня. В работах В.Н. Алексеева, A.M. Руцкого, Н.Г. Аветисяна, Б.З. Султанова, Е.И. Ишемгужина рассмотрен шаг винтовой линии с учетом закручивающего момента и осевой сжимающей силы. Модель изгиба бурильной колонны по винтовой линии имеет тот недостаток, что она рассматривает только среднюю часть колонны, без учета влияния призабойного участка колонны и взаимодействия с ним.Поэтому необходима обобщенная математическая модель, адекватно описывающая стеснённый нзгиб по всей

длине колонны в широком диапазоне изменения рабочих нагрузок на долото.Дпя описания пространственного изгиба стержня по трем участкам внутри цилиндрической полости используются дифференциальные уравнения равновесия в комплексных переменных. Для класса упругих невесомых стержней сжатых осевой силой F внутри цилиндрической полости, полученное решение зависит от двух безразмерных параметров: длины свободного участка стержня и угла наклона касательной с вертикальной осью в точке первого касания.С помощью разработанной математической модели установлены новые закономерности стеснённого изгиба упругого стержня в цилиндрической полости: определены области устойчивого существования плоского и пространственного изгиба стержня конечной длины, вычислена второя точка бифуркации и смены форм равновесия- Получены аналитические выражения пространственного изгиба сжатого упругого стержня по участкам.

Стесненный пространственный изгиб бурильной колонны в скважине может быть описан системой дифференциальных уравнений равновесия с переменными коэффициентами,но получить решение для такой модели крайне затруднительно.Методы решения дифференциальных уравнений, как известно, не отличаются универсальностью и единообразием. С ростом числа участков отхода и касания колонны стенки скважины увеличивается порядок системы дифференциальных уравнений. В свою очередь,численные методы решения широкого класса вариационных задач с ограничениями типа неравенств единые. Они базируются на эффективном численном методе локальных вариаций с применением ЭВМ.

Пространственные задачи нелинейной теории упругих тонких стержней привлекали внимание ученых: Г.Кирхгофа, А.Лява, Е.Л.Николаи, Г.Ю.Джанелидое, П.М.Риза и других. Современное развитие нелинейная' теория упругих стержней получила в трудах А.А.Илюхина, В.А.Свеглицкого, Н.А.Алфутова, В.И.Феодосьева.В.М.Макушина, Е.П.Попова и др.ученых- механиков. Все эти теоретические работы были рассмотрены и учтены при разработке основ теории стесненного пространственного изгиба весомого упругого стержня в трубчатом пространстве.

При создании вариационной модели стесненного пространственного изгиба изучены публикации по экспериментальному исследованию изгиба упругих стержней в цилиндрической полости. Наиболее полные и достоверные опытные исследования проведены в МИНХиГП под руководством П.В.Балицкого на моделях бурильных труб. Опыты качественно и количественно подтвердили решение вариационной пространственной задачи стесненного изгиба весомого упругого стержня в трубчатом пространстве. Разрабатываемая теория стеснённого пространственного изгиба весомых стержней в трубчатом пространстве на основе вариационных моделей, полностью применима к исследованию статики и динамики низа бурильных труб в скважине, является важным инструментом при создании методик оптимального управления искривлением скважин в пространстве.

Вторая глава посвящена разработке теории стеснённого пространственного изгиба упругих стержней сжатых осевой силой Р внутри цилиндрической полости ( рис.1), которая является частным случаем трубчатой поверхности. Математическая модель краевой пространственной задачи изгиба стержня представлена системой линейных дифференциальных уравнений равновесия в комплексных переменных по двум характерным участкам ОАнАВ:

и'Ъ + иЪ = 0,

+ «"(4) + Я « = 0, ___(I)

где £ = к г — безразмерная длина стержня, к=^(Р/(Ю)); ц=тЕ]/8Р2 — безразмерная погонная реакция недеформирусмой гладкой стенки полости; 5 — радиальный зазор на сторону. Безразмерная форма уравнений позволяет получить решения для класса родственных задач.

На первом участке ОА решение первого дифференциального уравнения имеет вид

ц,(§) = С|4+С25т^. (2)

На втором, переходном участке АВ вводится допущении о безотрывном прилегании упругого стержня к стенке цилиндрической

полости ил В результате выполнения условий гладкого со-

пряжения первого участка со вторым, получены следующие основные соотношения для анализа решений трехмерного стесненного изгиба невесомого сжатого осевой силой Р упругого стержня внутри цилиндрической

полости:

ч з

ф (а)=а в, Сз=0,

tgа=а62/(e2-l), С4=а296-е4+в2, С1=6/а(1-92+1 ф"),

С2=а/со8а((в2г1) / а+1 (&-ф"/а)), где а — безразмерная длина направляющего участка ОА, а = кЬ; б — угол наклона касательной к упругой оси стержня в точке первого касания стенки цилиндра, С), Сг, Сз, С« — комплексные постоянные интегрирования. Решение пространственной задачи стеснённого изгиба упругого стержня зависит от двух безразмерных параметров а, 8 которые связаны с безраз-

II

мерной длиной стержня у условием <р (у/2)=0. Зависимости а=а(у/2) и 8=9(у/2) приведены на рис.2.Теоретический анализ решений дня математической модели показывает, что устойчивый пространственный изгиб

упругого стержня внутри цилиндрической полости начинает формиро-

2 2

ваться при значениях: а = тс, 9 = 0, у = 2% или 11 = я/к, Р= ЕУ /1 = 4Рэ. Одна из стадий стеснённого деформирования стержня при значении у/2 = 4,62 показана на рис.3. Благодаря математическому моделированию, обнаружен эффект упругого отрыва стержня от недеформируемой стенки полости после касания на длине а. Величина отхода не превышает 5 % от зазора 5.В то же время явление упругого отрыва свидетельствует об односторонней связи стержня и стенки полости,а также о неправомерности допущения о безотрывном прилеганиии стержня на переходном участке АВ.В уточненной математической модели стержня рассматри-

ваются уже три отдельных участка: направляющий, отрыва и переходный, описываемые дифференциальными уравнениями равновесия: щ'^О+из'Ч^О, и2" (50=0,

иЛ^) + из"(5з) + миз(ад = 0. (3)

Интегрирование уравнений (3) и сшивание решений и их производных на границах участков приводит к системе двадцати двух нелинейных трансцендентных уравнений с двадцатью двумя неизвестными велнчина-ми.Решение системы нелинейных уравнений производится по методу наискорейшего (градиентного) спуска. При этом минимизируется некоторая определённо положительная функция

8

Ф(Х1,Х2.....Хп) = £ Б2 (Х1.Х2.....Хп), Х| =ГП5 ,...,Х8= %

1=1

с известным начальным приближением Х|°, Х2°.....хп°.

В результате решения на ЭВМ системы по методу наискорейшего спуска были получены следующие значения искомых величин:

т5 =0,01466, е =0,4600,

Р =0,6000, у =0,5954,

х =0,7100, 8, =0,3300,

т6 =0,0090, « =2,513.

По сравнению с математической моделью, допускающей безотрывное прилегание стержня к стенке цилиндра после первого касания в точке А, основные параметры а и 8 , от которых зависит решение на направляющем и переходном участках, изменились незначительно. Так, безразмерный угол 9 уменьшился на 3,7 %, а длина свободного участка а увеличилась лишь на 0,36 %. В то же время сосредоточенная реакция в точке первого касания уменьшилась более, чем в два раза и стала равной Рна=0,322 Рк5. На переходном участке стержня, начиная от точки второго касания, погонная реакция ц на длине 01=0,52 вновь

имеет отрицательное значение. Следовательно, и после второго касания имеется участок отрыва стержня от стенки полости. Можно предположить, что и после второго участка отхода будут и дальше отходы стержня от стенки полости, однако длина их будет постепенно уменьшаться. Дальнейшее уточнение математической модели вряд ли целесообразно, если иметь в виду работу бурильной колонны в скважине с податливыми стенками.

Достоверность теоретических исследований устойчивости и равновесия упругих стержней в цилиндрическом пространстве проверена с помощью опытов на испытательной установке с системой измерения форм равновесия стержня. Основные цели испытаний были следующие: проверка гипотезы существования и теории пространственного стесненного изгиба упругого стержня, сжатого осевой силой внутри цилиндрического пространства на механической модели; исследование областей существования устойчивого плоского и пространственного изгиба упругого стержня в цилиндрической полости и проверка теоретических решений; определение нагрузки, при которой происходит бифуркация форм равновесия; определение количественных значений параметров пространственного изгиба и сравнение их с расчётными значениями, полученными из математической и вариационной моделей.В результате статических испытаний длинного стержня в области упругих деформаций внутри прозрачной модели скважины получены следующие данные: подтверждена гипотеза о существовании пространственного изгиба упругого стержня в цилиндрической полости; установлена адекватность математической модели, представленной системой дифференциальных уравнений в комплексных переменных, физической модели изгиба упругого стержня сжатого осевой силой в цилиндрической полости; определены границы существования плоской и пространственной форм равновесия упругого гибкого стержня внутри цилиндрической полости и значение второй бифуркации стержня при значении безразмерной длины у =2я; подтверждены (с погрешностью до 25%) количественные показатели основных параметров пространственного стесненного изгиба длинного стержня в цилиндрической полости.

Третья глава посвящена построению -общей теории стеснённого пространственного изгиба весомых длинных стержней внутри трубчатого пространства на основе вариационных принципов механи-ки.Разработанные во второй главе диссертации математические модели, в виде системы дифференциальных уравнений в комплексных переменных, охватывают класс краевых задач статики невесомых стержней, сжатых внутри в цилиндрической полости. Стеснённый, изгиб бурильной колонны в скважине они описывают приближенно, лишь на небольшом участке, на котором изменением продольной силы можно прене-бречь.Следоватеиьно, вполне естественно в расчетных схемах бурильную колонну представить в вид е. весомого гибкого стержня внутри трубчатой поверхности, моделирующей различные профили скважин. Величина зазора между стержнем и трубчатой поверхностью круглого поперечного сечения существенно меньше длины самого стержня. Поэтому деформации изгиба малы и выполняется закон Гука. Стенки трубчатой поверхности, как и в предшествующих моделях, предполагаются неудержи-вающими, гладкими и недеформируемыми. Статическое взаимодействие долота с забоем имитируется сферическим шарниром упругим на угловое и линейное смещение. Это позволяет моделировать различные условия статического взаимодействия долота с разбуриваемыми породами.

Основная идея теории стеснённого пространственного изгиба весомых стержней состоит в том, что вариационный принцип минимума полной потенциальной энергии, справедливый для свободной механической системы, остается справедливым и для системы с дополнительными односторонними связями. Увеличение числа связей делает систему более жесткой, и при нагружении вызывает уменьшение полной потенциальной энергии деформации. Односторонние связи не нарушают свойства консервативности системы в условиях стеснённого изгиба. Поэтому проблема поиска устойчивых форм равновесия тяжелого стержня внутри трубчатой поверхности сводится к вариационной проблеме отыскания экстремума функционала при дополнительных условиях и ограничениях на перемещения упругой оси стержня.

Ел = Е - = / (0,5 ШО) (ев - ВВоР - Ч,(х - хо) - <ь(у - уо) - - < 4 ) I

где Е - потенциальная энергия изгиба прямого до деформации весомого стержня в узком кольцевом трубчатом пространстве, Е=0,5Е1(з) С92;

- работа сил тяжести весомого стержня на перемещениях, вызванных его изгибом внутри заданной трубчатой поверхности; ®{в)- пространственная кривизна упругой оси длинного стержня, определяемая через

вторые производные от перемещений ЭВ2 (в) = х"20) + у'^О) + г"2(з); - жесткость поперечного сечения на изгибу,- составляющие погонного веса стержня по осям неподвижного базиса XYZ; х(з), у(з), т( х(з), у(8)) - искомые функции прогибов упругого стержня; хф), уо(в), го(в) -известные уравнения оси трубчатой поверхности.Как и при определении перемещений балок и рам по формуле Мора, в функционале (4) не учитывается влияние деформаций сдвига и растяжения-сжатия. Потенциальная энергия кручения прямой до деформации бурильной колонны в условиях стеснённого изгиба и при тех значениях момента сопротивления на долоте, которые реально существуют в практике бурения, мала по сравнению с энергией изгиба.Поиск экстремалей, доставляющих функционалу ( 4 ) стационарное значение производится с учетом ограничений на перемещения, накладываемые стенками трубчатой поверхности.!} подвижной системе координат, связанной с осью трубчатой поверхности эги ограничения имеют вид

I и, ф и 52(3), (5)

где 5(5)- радиальный зазор между стержнем и стенками трубчатой поверхности; 111 (б) - вектор упругих перемещений стержня, и 1(5) = Ьи = Ц г - го) или в скалярной форме

XI = ( х - Хо) 1п + ( у - уо) 112 + ( V го) Ьз, У1 = (х - хо) 121 + (у - уо) Ьг + (г - го) Ьз, 2| = ( х - Хо) Ь| + ( у - уо) 1з2 + ( г - го) 1зз, ( 6 )

где Ь - матрица преобразования неподвижного базиса ¡^ подвижному базису

L = [!„] =

I м I 12 I i3 12« h: Ьз I я I s: I зз

(7)

l„ - проекции базисных векторов.

Общие выражения направляющих косинусов I,j оси трубчатой поверхности, заданные векторным уравнением ro(s), принимают вид: I 11= COS (Х|,Х) = Xn"(So)/ I Го " | , I 12 = COS(X|,y) = yo"(so)/|re"l, I 13 = cos(xi.z) = zo"( so)/l Го" I, I :i = cos(yi,x) = (yo'zo" - Zo'yo")/ ! Го" I, I :: = cos(yi,y) - (Ko'zo" - Zo'xo")/1 го " 1, 1 23 = cos(yi,z) = (xo'yo" - yo'x")/| Го " I , lj| = COS(Z|,x) = x'(s), t 32 = COS(Zl,y) = y'(s), 1 33 = cos(zi,z) = z'(s). (8)

В неподвижно^ системе координат ограничения (5) преобразуются: ((x(s) -xo(s))ln + (y(s) - yo(so))Ii2 + (z(s) - zo(so)) bz + (z(s) - zo(so))b)2 + + ((y(s) - yo(so)) 1:2 + (z(s) - (So)) 1:з)2 < S-'(s). (9)

Вариационная постановка задач стеснённого изгиба упругих стержней включает в себя формулирование дополнительных условий в виде равенств некоторых функций по концам стержня. Для шарнирных, податливых на угловое и радиальное смещение опорах стержня, обобщенные граничные условия принимают вид:

EJwi" - Р wi' + FrWI =0, EJwi"'+ FrWi' +k wi = 0.

(10)

где = х + ¡у - комплексный прогиб, к коэффициент линейной жесткости шарнирной опоры, р - коэффициент жесткости опоры на поворот,Рл- осевая реакция опоры.Итак, вариационная формулировка задач стеснённого . изгиба весомых длинных стержней, шарнирно закрепленных на оси трубчатой поверхности, состоит из вариационного функционала (4), ограничений на перемещения упругого стержня (9) и граничных условий (10). Вариационные модели позволяют искать приближенные решения, как для пространственной, так и для плоской задач стеснённого изгиба стержней.В данном исследовании применены прямые вариационно-разностные методы решения вариационных задач на основе метода локальных вариаций.Вариационно-разностные методы дискретизации

локальных вариаций.Вариационно-разностные методы дискретизации отличаются большей универсальностью, чем аналитические.Функционал Лагранжа для весомого изогнутого стержня имеет вид (4). Конечно-разностное представление этого функционала не участке [0;1] следующее:

N+1

Епг£(ЕШ(хк"2+ук"2+2к"2)+час-(к-1) Дз)ДБ а* . (II)

к=1

Основными задачами численных расчётов краевой пространственной задачи с ограничениями типа неравенств на перемещения упругой оси стержня являются следущие: разработка универсального численного метода расчета задач устойчивости и равновесия упругого весомого стержня внутри трубчатой поверхности; установление областей существования решения плоской и пространственной задачи устойчивости и равновесия упругого весомого стержня в стесненных условиях изгиба;определение действительных точек бифуркации и смены устойчивых форм равновесия в замкнутом цилиндрическом пространстве; сравнение энергетических показателей плоского и пространственного изгиба при одинаковых значениях нагрузки и длины стержня; оценка численного метода решения вариационной задачи экспериментальными методами на физических моделях.

На основе принципа минимума полной потенциальной энергии разработана вариационная модель стеснённого пространственного изгиба невесомого, сжатого осевой силой И, стержня в цилиндрической полости круглого поперечного сечения

I

Еп=|(0,5 Шав^) + Р2(1))ск - И. (12)

о

При шарнирном опирании концов стержня на оси цилиндрической полости коэффициенты уравнений (10) р = 0, к -> оо. Тогда, при б = 0 и 5 = 1 ш = 0, \у"=0. (13)

Перемещения х(в) и у(э) упругой оси стержня ограничены стенками цилиндрической полости

Х2(8) + У2(5)2б2(5). (14)

Проведены численные исследования устойчивого стеснённого изгиба стержня круглого сечения длиной у = к! =7,0 > 2я, при которой образуется пространственный изгиб ( глава 2). Кривые стеснённого изгиба упругой оси стержня, полученные по разным математическим моделям идентичны. Расхождения в величине прогиба не превышает 2 "/¿.Подтвержден упругий отрыв стержня от стенки полости после первого каса-ния.Проведен численный эксперимент, целью которого является определение величины полной потенциальной энергии для пространственного и плоского изгиба при одинаковой длине у = 7,0. Установлено, что наименьшое значение полной потенциальной энергии реализуется при пространственном стеснённом изгибе упругого стержня ( Епр = -0,015 Нм И Спл ,= - 0,0128 Нм). Следовательно, при всех значениях безразмерной длины невесомого стержня у > 2% устойчивой является пространственная форма равновесия стержня в цилиндрической полости. Эти результаты подтверждают аналитические решения полученные во второй главе диссертации.

На основе общей теории построены вариационные функционалы для исследования стеснённого пространственного изгиба тяжелого стержня под собственным весом внутри вертикальной цилиндрической полости, характеристики которой даны выше. Полная потенциальная энергия изгиба весомого однородного стержня круглого сечения имеет вид

I

Е„=[(0,5 Шае2(&) + чг^ск .

о

или

I

Е„ = 0,5/(шэв2-д(1-8)(х,2 + у,2))<18. (15)

о

Граничные условия и ограничения для весомого стержня аналогичны условиями (13) и (14). Для исследования напряженно-деформированного состояния весомого стержня при стесненном изгибе внутри цилиндрической полости проведена серия численных расчетов на ЭВМ при дискретных значениях длин X = I / 'V Е= 3,68; 4,19; 4,21; 4,62,

превышающих первую критическую длину X = 2,65 прямого весомого стержня.Кривые изгиба представлены на рнс.4. Рвсчспши путем успшо-пленоприблихсенное значение безразмерной длины весомого однородного переходит стержня, при которой плоская устойчивая форма изгиба плавно ( при нагружении ) в устойчивый пространственный изгиб. Согласно расчетам, ветвление решений и смена форы равновесия наступает при значении безразмерной длины весомого стержня

X = 4,2. (16)

При всех значениях X > 4,2 реализуется устойчивый стеснённый пространственный изгиб,а при значениях длины 2,1 <. К <,4,2 формируется плоский стеснённый изгиб весомого стержня.Полученное решение Я = 4,2 является одним из критериев при управлении стволом вертикального участка скважин. На его основе могут быть вычислены предельные длины одноразмерных бурильных труб. При превышении предельной длины колонны искривление скважины будет происходить по азимуту и по зенитному углу. Если длина бурильных труб меньше предельной, то будет наблюдаться искривление ствола скважины в одной плоскости.Проведен численный эксперимент для доказательства устойчивости пространственного стеснённого изгиба стержня при его длине А. = 4,6 > Япрсд = 4,2. Как и в случае невесомого стержня , минимальное значение полной потенциальной энергии изгиба весомого однородного стержня реализуется при изгибе по пространственной кривой: Епр = - 0,072 Нм и Еш = - 0,065 Нм. Следовательно, при всех значениях X > 4,2 устойчивым является пространственный изгиб упругого весомого стержня в вертикальной цилиндрической полости.Изучена проблема стесненного изгиба бурильной колонны, когда ее верхняя часть становится растянутой по мере углубления скважины. На основе общей теории получен частный вариационный функционал полной потенциальной энергии изгиба сжаторастянутого весомого упругого однородного стержня в вертикальной цилиндрической полости

Е„ = 1(о,5 ЕЛ ее2 - я (1с -э) (Х,г + У'2)) (к, (17)

о

где 1с - длина сжатой части весомого стержня. Остальные обозначения даны выше. Задачи потери продольной устойчивости сжаторастянутого весомого стержня рассматривали А.Н. Динник, Г. Вудс и'А. Лубинский, Ф. Виллерс и другие исследователи. Позднее И.Л. Барский, С.А. Артемьева, В.Г. Григулецкий, Г.Г. Зарипов внесли ряд поправок в окончательные значения критической нагрузки.

Между тем вопрос о значении критической нагрузки при значительных глубинах скважин требует дальнейшего развития. После потери продольной устойчивости сжаторастянутая бурильная колонна работает совместно со стенками скважины, которые должны рассматриваться как односторонние связи, способные включаться и выключаться. Анализ стесненною изгиба позволяет провести вариационный функционал (17) с ограничениями (14) и граничными условиями (13). Теоретический анализ результатов численного решения показывает следующее; при осевой нагрузке на долото Ря =165 кН длина сжатой части колонны ТБПВ 114x7

(ЕЛ = 0,68 106 Нм\ я = 228 Н/м) 1с = 725 м, ( = 50,4) общей длине 1015 м формируется устойчивый пространственный изгиб низа колонны в скважине. Упругая ось бурильной колонны изгибается по линии двоякой кривизны с образованием 20-ти полных витков спирали. Следовательно, при рабочих нагрузках на долото в нижней части длинной бурильной колонны реализуется стеснённый пространственный изгиб; односторонние связи полностью гасят влияние растянутой части колонны. Это видно из сопоставления формы изгиба сжатой бурильной колонны длиной 725м и сжаторастянутой колонны, представленной выше. Поэтому в практических расчетах растянутую часть сжаторастянутой колонны можно не учитывать при исследовании изгиба и проблем управления скважиной; разработан метод расчета устойчивых пространственных и плоских форм равновесия сжаторастянутой

бурильной колонны неограниченной длины и произвольного соотношения длин сжатой и растянутой её частей в скважине.

Как и в случае с вертикальной скважиной, актуальной является проблема расчета устойчивого пространственного изгиба низа бурильной колонны в наклонной прямой скважине.Опираясь на теорию пространственного стеснённого изгиба весомого стержня внутри трубчатой поверхности, построен вариационный функционал полной потенциальной энергии изгиба весомого стержня в прямой наклонной цилиндрической полости с гладкими недеформируемыми стенками. Силы трения предполагаются малыми по сравнению с осевыми погонными силами от собственного веса и работы не совершают: i

Е, = 0,5 J (EJ 6S2(s) - q ( x(s) sina + (l -s) cosa (x'2 + y'2) )as - 0,5 q l2 cosa,( 18) o

где a - зенитный угол между осью скважины и вертикальной осью связанной с устьем скважины.Разработаны: методы расчёта, алгоритмы и рабочие программы для исследования устойчивых пространственных форм равновесия бурильной колонны в наклонной скважи-не.Проведены численные исследования устойчивых статических форм равновесия бурильной колонны на основе вариадионных принципов механики в соответствии с функционалом (18) и с учётом дополнительных ограничений (13) и (14).Изучены закономерности стеснённого изгиба бурильной колонны ТБПВ 114x7 длиной 540м в зависимости от изменения зенитного угла скважины а. Формы изгиба колонны представлены на рис.5. Построена кривая бифуркации ( смены форм равновесия) при стеснённом изгибе бурильной колонны в наклонной скважине (рис.6). График имеет практическое значение для задач управления стволом скважины одновременно в двух плоскостях ориентирования и подбора оптимизированных компоновок и режимов бурения, реализующих наклонную скважину.

Разработаны безразмерные критерии управления стволом скважины и качества стабилизирующих компоновок по зенитному углу и азимуту:

19

EJx'"(0) f •

Фх =- +■ x'(0),

Frz EJy'"(0) f

Фу =- +y'(0), (19)

Frz

где f - коэффициент фрезерующей способности долота. Получена зависимость изменения критериев управления от зенитного угла а ( рис.7). Благодаря графикам, возможен болеее качественный прогноз искривления наклонной скважины. Положительному значению функции Фх соответствует увеличение зенитного угла а, а положительному значению Фу - отклонение скважины влево по азимуту. Проведенные исследования стеснённого изгиба бурильной колонны с учетом одностороннего действия стенок наклонной скважины, качественно согласуются с практикой направленного бурения скважин.Построены вариационные модели, которые позволяют изучать стеснённый пространственный изгиб неоднородных, в частности ступенчатых бурильных колонн с вооружением типа: калибраторы, центраторы и других элементов внутри скважины. Получен вариационный функционал для 3-х ступенчатой компоновки низа бурильной колонны ( КНБК) в наклонной скважине: 1 li

Е" " J (EJl 33 2(s>" 4i cosa (h - s) (x'2 (s) + y'2(s)) - 2qi sina x(s)) ds+

0

Ii+l:

+ J (EJl 382(s) -q2cosa (li +h - s)(x'2(s) + y'2(s)) - 2q2sina x(s)) ds+ I,

I

+ J(EJ3 ae2(s) -q3cosa (1 - s)(x'2(s)+y'2(s))-2q3sina x(s))ds). (20)

b+h

где 31, -Ь, Лз - осевые моменты инерции сечения по участкем колоннк ф» Яз - погонный вес колонны по участкам; Ь и Ь - длины первого и второго участков колонны; 1- длина всей бурильной холонны. В связи с изменением поперечных размеров колонны меняется величина радиального зазора

В прямой скважине пространство перемещений упругой оси колонны ограничивается кругом

Предлагаемая математическая модель использует допущения: силы трения между КНБК и стенками скважины малы по сравнению с силами тяжести самой колонны (происходит смачивание трущихся поверхностей промывочной жидкостью и влияет вибраций); центробежные силы от протекающей промывочной жидкости по искривленной колонне не учитываются в силу их малости; действие выталкивающей архимедовой силы равносильно уменьшению удельного веса материала КНБК на величину удельного веса промывочной жид-кости.Предложенные вариационные модели достаточной точностью

описывают трехмерный изгиб тяжелых длинных стержней под соб-

V

ственным весом в цилиндрической полости.Разработан метод расчёта 3-х ступенчатых КНБК без вооружения в наклонном прямом стволе скважине. Созданы алгоритмы и рабочие программы для расчёта на ЭВМ устойчивого стеснённого изгиба КНБК в скважине. Проведены результаты исследований по вариационной модели (20), граничным условиям (13) и ограничениям (22). Установлено, что жесткий низ колонны изгибается преимущественно в плоскости сил тяжести. Определены боковые усилия в азимутальной плоскости и плоскости зенитного угла.

(21)

8з, 1| + Ь£*£ 1|+Ь+1з = 1.

х\в) +у2(з)<62,(з),

(¡=1,2,3...) (22)

Предложена математическая модель стеснённого пространственного изгиба неоднородного весомого стержня ( бурильной колонны ), которая включает в себя техническое вооружение: калибраторы, центраторы, а также бурильные замки, соединяющие между собой бурильные трубы.Дополнительно к ограничениям на перемещения (21) и (22) вводятся неравенства:

■» ■> 2 х"Ы +у"(5к) <> 8 к,

х2(*ц) +у2(»ц) ^ 82ц,

7 '

Х>0 +у'(8.) < 3"|, (1 = 1,2,3...) (23)

где 5к, в,,, - расстояние от шарнирной опоры (долота) до места расположения калибратора, центратора, бурильного замка соответственно; <\, 5«, 3, - радиальные зазоры между калибратором, центратором, замком и стенкой скважины.Для построенной вариационной модели разработаны методы расчёта, инструкции и рабочие программы для ЭВМ. Полученные модели, методики расчёта и рабочие программы в форме научно-технического отчёта, внедрены в объединении Пермнефть и ПермНИПИнефть.Построены зависимости изменения отклоняющих безразмерных факторов на долоте Фх и Фу в зависимости от износа калибратора. Дан прогноз искривления ствола скважин по азимуту и углу как при новом, так и изношенном калибраторе. Расчётные зависимости подтверждаются результатами промысловых бурений скважин КНБК с калибратором на площадях объединения Пермнефть.

Центраторы, как и калибраторы, являются дополнительными опорами колонны при касании стенки скважины. В рамках вариационной модели (20), (23) и (13) изучены закономерности стеснённого изгиба ступенчатой КНБК, построены зависимости изменения отклоняющих безразмерных функций Ф* и Фу от положения центраторов, зенитного угла а, осевой нагрузки на долото и дан прогноз искривления ствола скважины в двух плоскостях. Зависимости Фх в зенитной плоскости удовлетворительно согласуются с аналогичными

зависимостями, полученными при решении плоской задачи стеснённого изгиба бурильной колонны в скважине.

Модель бурильной колонны с бурильными замками, имеющие меньший радиальный зазор, важна для практики бурения с точки зрения проблемы износа замков и их давления на стенки скважины. Установлены предельные зенитные углы, при которых бурильная труба между замками - как опорами, касается стенки скважины.Приводится сопоставление результатов математического моделирования работы бурильной колонны на основе вариационных принципов механики с экспериментальными исследованиями статической устойчивости бурильных труб на моделях в МиНХ и ГП. Опытные данные подтверждают достоверность и адекватность математических моделей реальным формам изгиба колонны в скважине.

В четвертой главе разрабатываются вариационные модели стеснённого пространственного изгиба КНБК в скважинах сложного профиля, а также в скважинах с уширениями ствола, вследствие обвалов и оползней, податливыми стенками и забоем скважин на основе теории, построенной в третьей главе. Приводится классификация задач стеснённого изгиба упругих стержней в трубчатом пространстве. Получены вариационные функционалы и пространство перемещений упругого весомого стержня, ограниченное трубчатой поверхностью с осью в виде винтовой линии, дуги окружности, параболы, гиперболы, а также комбинированного 3 и Б - образного профилей, широко применяемых при проводке скважин.Разработаны вариационные задачи стеснённого пространственного изгиба весомых стержней в случае вращения колонны с постоянной угловой скоростью «в (роторное бурение), а также модели, учитывающие центробежные силы от протекающей по искривленным бурильным трубам промывочной жидкости, и влияние вращающего момента на доло-те.Предложены вариационные модели стеснённого изгиба бурильной колонны с податливыми стенками и забоем скважины. Разработана методика статического расчёта на ЭВМ КНБК с податливым на поворот и смещение долотом, взаимодействующим с забоем скважины. Это позволяет моделировать породы различной твердости,а также углы падения

пластов и анизотропию породВыполнены численные расчёты стеснённого изгиба весомых однородных стержней с упругим на поворот шарнирном в вертикальной цилиндрической полости при значении осевой силы Ряг = 1,83 Ркр на ЭВМ. Приведено сопоставление с экспериментальными исследованиями в МИНХ и ГП при одном и том же значении Рад = 1,8 Ркр (рис.8). Опыты подтверждают адекватность ириведенных математических моделей механической модели бурильной колонны с упругим на поворот шарниром.

Разработана методика расчёта гибких балок на упругом основании, сопротивляющемся только сжатию. Получено решение задач и проведено сравнение с классическим решением изгиба балки на винклеровом основании (рис.9). Методика применима для исследования упргих балок и ленточных фундаментов на нелинейном упругом неоднородном основании. Построены вариационные модели и ограничения на пространство перемещений упругой оси колонны в уширенном стволе скважины. Предложены вариационные задачи для исследования стеснённого изгиба бурильной колонны в скважине некруглого сечения и оценки прочностной надежности КНБК. В заключении главы приводится системная классификация задач стеснённого изгиба упругих весомых стержней внутри трубчатого пространства.

Пятая глава посвящена постановке актуальных проблем оптимального управления стволом скважин, в том числе многозабойных разветвленных скважин на основе теории стеснённого пространственного изгиба весомого стержня, в трубчатом пространстве, разработанной в третьей главе. Это важно, так как существующие методики расчёта траектории основываются на предположении плоского стеснённого изгиба низа колонны в скважине. Как следует из расчетов,приведенных в третьей главе диссертации, в области рабочих нагрузок на долото, длинные бурильные колонны изгибаются, как правило, по линии двоякой кривизны внутри скважины.Предложена метод пошагового углубления скважин с расчетом на каждом шаге устойчивых форм равновесия бурильной колонны на основе теории стеснённого пространственного изгиба.Направление вектора углубления определяется с помощью двух отклоняющих функций

Ф,и Ф, в зенитной и азимутальной плоскости. Длина шага углубления определяется формой профиля скважины.При больших глубинах расчет ведется по нижней, сжатой части колонны длиной 50 - 70м, так как влияние верхней части быстро гасится за счет связей, наложенных со стороны скважины. Разработана модель построения пространственной траектории скважин малой глубины.Глобальная система координат XYZ совмещается с устьем скважины.

Уравнения оси скважин на к-м шаге углубления имеют вид: к-1

. Xiß) = ALZ sin<t>* +(4-(к- 1)AL) sinO*; i=0

k-1

ytß) = ALE sin«l>y( + (4 - (к - I)AL) sinOyt; i=0

k-1

zk(§) = ALZ cm®* + - (к - l)AL) cos®*. (24)

i=0

Полная потенциальная энергия всей бурильной колонны равна сумме энергий по отдельным участкам траектории к

En = £ En = Eni + Ео2 + Епз +... + Enk-i .

В ходе численного, решения вариационной задачи на к-м шаге углубле-

^ /

ния получают: координат« упругой оси компоновки низа колонны; отклоняющие функции Ф„ и Фу;координаты забоя скважины на к-м шаге углублению; отклонения скважины от проектного профиля по углу и ази-муту.В ходе расчёта траектории и отклонений скважины от заданного профиля принимаются решения по изменению режима нагружения, состава КНБК или реализуются другие необходимые решения.Разработана модель построения траектории пространственных скважин на основе теории и численных исследований,выполненных в диссертации.

В результате проведенных теоретических и экспериментальных исследований упругих стержневых систем с односторонними поверхностными связями решены все основные проблемы,поставленные в диссертации, и на основании этих исследоаий можно сделать следующие выводы:

1.Разработаны физико-математические модели для нелинейных пространственных задач стесненного изгиба упругих стержневых систем с односторонними поверхностными связями Построена общая теория стесненного изгиба упругих стержней внутри трубчатой поверхности с неудер-живающими стенками-связями .

2. Впервые для исследования проблем стесненного пространственного изгиба бурильной колонны в скважине и определения искривления сква-

, жин по азимуту и зенитному разработано семейство вариационных функционалов Лагранжа и аналитические аналитические выражения трубчатой поверхности для профилей плоских и пространственных скважин, в том числе и многозабойных.

3. Применительно к вариационным задачам стесненного изгиба упругих стержнем внутри трубчатой поверхности предложен единый вариационно-разностный способ решения на основе метода локальных вариаций. Создан общий метод расчета стесненного пространственного изгиба весомых гибких стержней внутри трубчатой поверхности.

4. Предложены критерии образования пространственного изгиба низа бурильной колонны как в вертикальной, так и в наклонной скважине, обеспечивающие более надежное управление искривлением ствола скважины по азимуту и зенитному углу .

5. Разработан метод двухпараметрической оптимизации и предложены компоновки низа бурильной колонны,обеспечивающие стабилизацию оси скважины по зенитному углу и азимуту одновременно.

6. Построена математическая модель трехмерного стесненного изгиба невесомых упругих стержней, сжатых осевой сосредоточенной силой внутри цилиндрического пространства и разработана методика аналитического решения математической модели в комплексных перемен-

ных.Получены критерии образования трехмерного стесненного изгиба упругих невесомых стержней в цилиндрической полости.

7. Осуществлена экспериментальная проверка основных научных результатов, гипотез и предположений на специальной лабораторной установке и проведено сопоставление полученных результатов с известными исследованиями статических форм изгиба бурильной колонны в скважине на моделях.Получено качественное и количественное подтверждение фундаментальных положений теории стесненного пространственого изгиба упругих стержней внутри цилиндрической полости.

8. Разработан метод построения пространственной траектории ствола скважины в однородной толще пород и регулирования вектора бокового усилия на долоте, которые позволяют проводить отработку техники и технологии направленного бурения с помощью ЭВМ.

9.Впервые изучены законы стесненного деформирования весомого гибкого стержня внутри трубчатого пространства с учетом нелинейной зависимости реакции связи от внешней нагрузки.

Ю.Предложен эффективный метод расчета гибких балок и ленточных фундаментов на упругом неоднородном одностороннем основании

11. Результаты научных исследований внедрены в различные организации и предприятия в форме научно-технических отчетов, методик, инструкций и программ расчета на ЭВМ компоновок низа бурильной колонны в скважине, а также в учебные пособия и методические разработки ряда вузов.

Основные результаты диссертационной работы нашли отражение в следующих статьях:

1. A.C. 1578401 СССР. Редуктор с бесступенчатым изменением крутящегося момента./ Сесюнин H.A., Сердюков В.В. (СССР).- № 4391398 Заявл. 10.03.88.

2. Сесюнин H.A. Равновесие бурильной колонны в скважине. Труды Пермского СХИ, т.130, Пермь, 1977, с.95-99.

3. Сесюнин Н.А.Равновесие стержня конечной длины внутри цилиндрической полости. Труды Пермск. СХИ, т. 130, Пермь, 1977, с.17-20.

4. Сесюнин H.A. О форме равновесия бурильной колонны в вертикальной скважине. В кн.: Статика и динамика забойных двигателей. Пермск.ун-т. Депонирована во ВНИИОЭНГ, 1978, № 531.

5. Сесюнин H.A. Пространственный изгиб КНБК с центраторами и отклонения скважины по азимуту. — Изв.ВУЗов. Нефть и газ, 1986, № 9, с. 19-22.

6. Сесюнин H.A., Селиверстов А.Н. Применение метода локальных вариаций к расчету балок на упругом основании. — Сельскохозяйственное строительство и строительные конструкции. Тр.Пермск. СХИ, т. 145, Пермь, 1979, с.22 —25.

7. Сесюнин H.A. Устойчивость и равновесие гибких стержней внутри ограниченного пространства. Тезисы докладов. XIII научно-методическая конференция Рязанского высшего военного автомобильного инженерного училища. Рязань, 1983. — с.67-68.

8. Сесюнин H.A. Об изгибе весомого стержня в наклонной цилиндрической скважине. — Изв.ВУЗов Нефть и газ, 1983, № 9, С..22-25.

9. Сесюнин H.A. О бифуркациях при сжатии гибкого стержня в трубе. — Изв.ВУЗов. Строительство и архитектора, 1991,№5, с.17-20.

Ю.Сесюнин H.A., Кутин В.А. Продольный изгиб стержня в цилиндрической полости. В кн.: Статика и динамика забойных двигателей. Пермск.ун-т. Депонирована во ВНИИОЭНГ, 1978, №531.

11. Сесюнин H.A. Стесненный изгиб тяжелого стержня. Строительная механика и расчет сооружений, 1992, № 4, с.25-32.

12. Сесюнин H.A., Кетов В.М. Влияние податливости стенда на собственные частоты модели турбобура ЗТСШ - 195. Уч. зап. Пермск. ун-та. —

Некоторые задачи нелинейного анализа и механика деформируемых тел, 1975, № 291, с.72..

13. Сесюнин H.A. Пространственный изгиб бурильной колонны с учетом замков. — Нефтяное хозяйство, 1994, № 10, с. 18-21.

14. Сесюнин H.A. Математическое моделирование пространственной траектории отверстий при глубоком сверлении. Тезисы доклада РВВАИУ. Рязань, 1987.-47с.

15. Сесюнин H.A. Кипарисова Н.Г. программа расчёта статически неопределённых систем методом перемещений. Рязанский ЦНТИ. Рязань. Инф. листок. 1993, № 15.

16. Сесюнин H.A., Пашуков С.А., Лебедев B.C. Программа расчёта элементов рамных конструкций на стадии проектирования с использованием ЭВМ. Рязанский ЦНТИ. Рязань. Инф." листок. 1997, № 43.

17. Сесюнин H.A. Лебедев Б.С. Экспериментально-теоретический способ определения центра масс пространственных конструкций. Рязанский ЦНТИ. Рязань, 1991, №5.

18. Сесюнин H.A., Утробин A.C., Банных A.B. Влияние диаметра калибратора на азимутальное искривление скважины. — Бурение, Москва, 1982, № 2, с. 8-9.

19. Сесюнин H.A. Исследование пространственных форм равновесия стержня, сжатого внутри цилиндрической полости, применительно к работе бурильной колонны в скважине. Канд. диссерт. Пермь, 1980. — 139 с.

20. Лебедев Н.Ф., Сесюнин H.A. Приложение теории пространственного изгиба к статическому расчету компоновки низа бурильной колонны Тр.Всееоюзной конференции по наклонному бурению. Баку, 1978.

21. Лебедев Н.Ф., Сесюнин H.A. Краевой эффект при сжатии полубесконечного стержня в цилиндрической полости. — Нефть и газ, 1976, № 9, с. 19-22.

22. Лебедев Н.Ф., Сесюнин H.A. Равновесие полубесконечного стержня, сжатого в цилиндрической полости, с учётом участка отрыва. — Изв. вузов. Машиностроение, 1977, № 10, с. 27-30.

23. Лебедев Н.Ф., Сесюнин H.A. Равновесие сжато-скрученного стержня в цилиндрической полости. Уч. зап. Пермск. Ун-та. — Некоторые задачи нелинейного анализа и механика деформируемых тел. Пермь, 1975, № 291, с.49-51.

24. Лебедев Н.Ф., Сесюнин H.A. О форме низа бурильной колонны в скважине. — Нефть и газ, 1977, № 4, с. 27-31.

H

î

Рис.!

Рис.2

Рис.6

Рис.4

а) Л =3.68 б) Л=4.19 в) Л=4.21 г) Л =4.62

Рис.7

1 \Fki*ttF*f ^

Рис.8

L' lo.

Y/

a/- y

-V

.....4 s -N- -y ?

T xr / u

Pkc.9