О задачах управления колебаниями мембран и пластин с помощью граничных сил тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

московский государственный университет

имени М. В. Ломоносова механико-математический факультет

НА правах рукописи УДК 517.926.223

005003251

Романов Игорь Викторович

О задачах управления колебаниями

мембран и пластин с помощью граничных сил

Специальность

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 ДЕК 2011

Москва 2011

005003251

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Шамаев Алексей Станиславович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Болотник Николай Николаевич

кандидат физико-математических наук Сурначёв Михаил Дмитриевич

Ведущая организация:

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)

Защита диссертации состоится «16» декабря 2011 года в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские Горы, д.1, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан «15» ноября 2011 года

Ученый секретарь /О

диссертационного совета Д 501.001.85, Сорокин В. Н.

доктор физико-математических наук, профессор

I. Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена вопросам приближенного и точного управления колебаниями двумерных мембран и пластин в случае ограниченного по абсолютной величине управляющего воздействия, сосредоточенного на границах рассматриваемых объектов.

Актуальность темы. Ранее вопрос об управлении колебаниями двумерных мембран и пластин с помощью граничных сил рассматривался многими авторами (например, обзорная статья Ж. JI. Лионса1 и приведенная в ней литература).

В монографии А. Г. Бутковского 2 рассматривается задача об остановке колебаний ограниченной струны с помощью граничного управления и доказывается, что возможно за конечное время полностью остановить колебания струны при ограничении на абсолютную величину управляющего воздействия. Дается оценка времени, необходимого для полной остановки колебаний. Для исследования данной задачи применяется метод моментов. Суть этого метода состоит в том, что вопрос разрешимости исходной задачи сводится к вопросу существования решения счетной системы интегральных уравнений. Данный метод находит широкое применение в различных задачах теории управления, он применяется также и в представленной диссертационной работе.

В монографии Ж. JI. Лионса3 рассматриваются задачи оптимального управления системами с распределенными параметрами и формулируются условия оптимальности, аналогичные принципу максимума Л. С. Понтрягина для систем с конечным числом степеней свободы. При этом указанные условия далеко не всегда приводят к конструктивному способу построения оптимального управления.

В упомянутой выше обзорной работе1 рассматриваются задачи о полной остановке движения мембраны и пластины, доказывается существование граничного управления, приводящего систему в покой, и оценивается время, необходимое для полной остановки колебаний. Здесь авторы во многих постановках задач отказываются от требований оптимальности

1 Lions J. L. Exact controllability. Stabilization and perturbations for distributed systems // SIAM Review. - 1988. - V. SO, № 1. - P. 1-68.

2Бутковскии А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М.: Физматлит, 1965.

3Лионс Ж. Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с. частными производными. — М.: Мир, 1972.

управления и рассматривают только проблему управляемости, что существенно облегчает исследование; в работе не рассматриваются задачи с ограничением на абсолютную величину управляющих сил, а также не приводится явных выражений для управляющих воздействий, а только доказываются теоремы существования.

В работе Л. Д. Акуленко4 приводится явная формула для граничного управления прямоугольной мембраной с ограничениями на управляющее воздействие по абсолютной величине, но при этом конечное состояние считается малой окрестностью состояния покоя.

В работе В. А. Ильина и Е. И. Моисеева5 проводится оптимизация граничных управлений для различных задач по приведению струны в заданное состояние. Для этих задач оптимальные граничные управления предъявляются в явном аналитическом виде.

Возможность полной остановки за конечное время в случае распределенного по всей поверхности мембраны или пластины управления исследуется в монографии Ф. Л. Черноусько, И. М. Ананьевского, С. А. Решмина6. Там же дана оценка сверху для оптимального времени управления.

Таким образом, методы управления, используемые в упомянутых выше работах можно условно разделить на два класса.

Первый класс связан с управляющим воздействием, распределенным по всей поверхности рассматриваемой системы. Второй класс основан на граничном управлении. В данной диссертации рассмотрены только такие задачи, в которых управление распределено по границе. Существенным отличием от других работ является то, что на управляющее воздействие наложено ограничение на максимум абсолютной величины, что существенно усложняет задачу. При этом функция управления приложена ко всей границе, во всех рассматриваемых случаях не ставится вопрос об оптимальности процесса управления. Явный вид предложенных управляющих воздействий позволяет использовать результаты диссертации при решении ряда прикладных задач.

Целью работы является исследование задач граничного управления колебаниями двумерных мембран и пластин.

'Акуленко Л. Д. Приведение упругой системы в заданное состояние посредством силового граничного воздействия. - ПММ. 1981, Т. 45, №6, С. 1095-1103.

5Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны. - УМН, 2005, 60: 6(866), 89-1Ц.

»Черноусько Ф. Л., Ананьевский И. М., Реиилин С. А. Методы управления нелинейными механическими системами. — М.: Физматлит, 2006.

Методы исследований. В работе использованы метод приближения обобщенных решений краевых задач специальными функциональными рядами и метод моментов.

Научная новизна. В диссертации получены новые результаты, основные из них состоят в следующем:

1. Получены новые результаты о приближении решений некоторых краевых задач для волнового уравнения специальными функциональными рядами.

2. Доказывается возможность приведения двумерных мембран и пластин в е-окрестность состояния покоя за конечное время с помощью ограниченного по абсолютной величине управляющего воздействия сосредоточенного на границах рассматриваемых объектов.

3. Доказано, что колебания квадратной пластины можно привести в покой за конечное время с помощью ограниченного по абсолютной величине управляющего воздействия, сосредоточенного на границе данной пластины (для случая краевых условий определенного вида).

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные явные формулы для управляющих воздействий, а также представления решений некоторых краевых задач в виде специальных функциональных рядов могут быть использованы для дальнейшего изучения вопросов граничной управляемости двумерных мембран и пластин.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

1. в МГУ им. М. В. Ломоносова на заседаниях научного семинара по асимптотическим методам для уравнений в математической физике (руководители проф. В. В. Жиков, проф. А. С. Шамаев, проф. Т. А. Шапошникова), неоднократно в 2007 г.;

2. в ИПМех РАН на заседании научного семинара по вопросам механики сплошной среды (руководители проф. Л. Д. Акуленко, проф. Д. В. Георгиевский, проф. С. В. Нестеров), 2010 г.;

3. в ИПМех РАН на заседании научного семинара по динамике управляемых систем (руководитель акад. Ф. Л. Черноусько), 2010 г.;

з

4. на 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Москва-Долгопрудный, декабрь 2010 г.;

5. в МГУ им. М. В. Ломоносова на заседании научного семинара по уравнениям математической физики (руководители проф. Е. В. Рад-кевич, проф. В. В. Жиков, проф. А. С. Шамаев, проф. Т. А. Шапошникова), 2011 г.;

6. в МЭСИ на заседаниях научного семинара по качественной теории дифференциальных уравнений (руководитель проф. И. В. Асташова), неоднократно в 2010-2011 гг.;

7. в Институте механики МГУ им. М. В. Ломоносова на заседании научного семинара им. А. Ю. Ишлинского, 2011 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приведен в конце автореферата [1-3]. Работы [1,2] опубликованы в журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 78 страницах и состоит из четырех глав, где первая глава является вводной. Библиография содержит 51 наименование.

И. Краткое изложение содержания диссертации

В первой главе диссертации, являющейся вводной, содержится обзор литературы по исследуемой теме и основных результатов, сформулированных в последующих главах.

Во второй главе рассматривается задача граничного управления колебаниями плоской мембраны. При этом на управляющее воздействие наложено ограничение на максимум абсолютной величины. Управляющее воздействие представляет собой условие Неймана, т. е. производную по нормали к границе области. Доказывается, что отклонение положения мембраны от состояния покоя в процессе колебания может быть сведено в достаточно малую окрестность нуля за конечное время. Окрестность нуля в данном случае понимается в смысле нормы соболевского пространства Н". Главным отличием результатов приведенных в данной главе от рассмотренных ранее является то, что управляющее воздействие сосредоточено на границе мембраны и на него наложено ограничение по абсолютной величине.

Приведем основные результаты данной главы.

Определим, как обычно, пространство С.Л. Соболева Н*(0,) (при целом ,ч), как пространство, полученное замыканием множества бесконечно-гладких на П функций по норме

!М1я-(п) = / +

п V М=» /

Здесь и далее ¡2 С В,2 — ограниченная область с кусочно-аналитической границей.

При нецелом в, пространство Я5(ДП) определяется как замыкание Я (пространство Шварца) по норме

Ия'СЯ1

:-.) = / (1 + 1*1*)

Заметим, что под обозначением ф(х) понимается преобразование Фурье от функции

Далее определим норму для бесконечно-гладкой функции <р в области

П

1|у||я*(п) = , \Шн>т, Ф е

Ф=ц> на 9П

Взяв замыкание С°°(П) по этой норме, получим пространство Ня(&).

Определим пространство «похожее» на пространство ЯЯ(Г2) .

Рассмотрим в области П оператор Лапласа с условием Неймана ^ = 0, а также систему собственных значений {А,?} (всех за исключением нулевого) и собственных функций {Х*(:е)}, соответствующих этому оператору и этим краевым условиям. Положим теперь:

с» „

1М1яЗ,(П) ГДе

¿=1

Определение 1. Обозначим через Я^Й) замыкание множества бесконечно-гладких на П функций по норме || • Ця-^п) и удовлетворяющих следующим краевым условиям: если 7 6 (0; 1,5), то условия отсутствуют, если 7 е (1,5; 3,5), то = 0, если 7 € (3,5; 5,5), то ^ = 0 и ^ = 0, и т. д. Сформулируем известную теорему.

Теорема 1. Множество всех таких функций и(х), для которых ряд сходится, совпадает со множеством Я^(П).

Значения 7 = 1,5; 3,5; 5,5;... мы не рассматриваем.

Пусть {А,-}о°, {Хг(ж)}о° — системы собственных значений и собственных функций задачи Неймана в области О, т.е. АХ,(х) + \?Х{(х) = О в П, = 0. Заметим, что в данном случае рассматриваются все

собственные значения, включая нулевое (Ао = 0). Обозначим (/, д) :— / и определим следующие числа:

ап

. 1 у у (8ш(Лп - \т)Т зт(Ап + Хт)Т\

"пшИ ) ~ 0\ ч \лп>Лт/ I Г-Г Г~ГТ- / '

¿лплт \ лп~~ "т т "т /

, . 1 . . / вт(А„ - Ат)Т 8т(Л„ + Ат)Т\ СтопИ ) - о Лт) I -Г-Г---Г~П- ] >

" \ лп ~ лтп лп -г Лт /

А т_ 1 /V у С05(Хп - 1 - С08(АП + А т)Т

О-птК1 ) — ГТ- \Л„,Лт) I ---г---Г~П-

\ — лт Лп + лт

т,п— 1,...,^,

а также числа как решения линейной системы:

Е (ЬппЩ + йптЩ) = Ап'(Т), п = 1,..., ЛТ,

ш-1 4 '

Е + СптЩ) = А?>(Т), п = 1,..., ЛГ,

т=1 4 '

где

А^(Т) = <рп соз(АпТ)+^ яп(ЛяГ), ^(Г) = -Ап<Аг 5т{ХпТ)+фп соз(АпТ).

Заметим, что в случае Хп - Хп выражения 1-С0°(л»-А"')Т

следует понимать в смысле предела |А„ - Ат| -> 0, тогда предел первой дроби будет равен единице, а второй — нулю.

Лемма 1. Числа С^(Т), С^'(Т) стремятся к нулю при Т —> оо. Определение 2. Функция у{х,Ь) называется слабым решением задачи:

= 0 в дг = Пх(0,Т),

Зу

у|м> = Ф), 1Й1ы) = Ф{х), = Р(х, *),

(1)

если для любой пробной гладкой финитной функции t) имеет место интегральное тождество:

J J y(x,t)£{x,t)dxdt = J{<pe't-il;Q)\t=Qdx + J P(z,i)©(M)<Z£,

QT fl S

где @(x, t) — решение следующей задачи (которая называется транспонированной):

з©,

©|t=r = ©ilt=T = о, -^-Is = о. Определим функцию Tn{t) как решение дифференциального уравнения

i;'(i) + A2„rn(i)= J Xn(x)P(x,t)da en

с начальными условиями: Тп(0) = ¡рп — (<р,Хп), 0) — фп = (Ф,Хп), а также положим

N

УЛ'(М) :=

п=0

Лемма 2. Пусть P(x,t) — некоторая функция из L2(S) и ф G t/5 £ if1(ii). Гог(?а последовательность функций уpj(x,t) сходится в пространстве обобщенных функций к слабому решению задачи (1). Решение данной задачи понимается в смысле определения 2.

Следующая теорема представляет собой первый главный результат настоящей работы. Утверждение теоремы 2 состоит в оценке решения задачи о колебании мембраны при некотором граничном управлении.

Теорема 2. Пусть <р € Я^+а(П). ф 6 и функция y{x,t) явля-

ется решением задачи

= 0 в Qr = £ix(0,T), 0у

У |t=o = v(z), i/J|i=0 = ^(г), =

где Ux(t,T,х) = £f=1 (cf(T)^^pl +^(Т) cos АДГ - i)) Xt(x) при t <T и i/jv = 0 при t>T,T = const > 0. Тогда имеет место оценка

Ilv(*.*(n) < с (smaxv{|Cf I, \Cj?|})2/1(ВДЛ0+

+ (iMI^-pi) + М*ч<т) N~a+a> (2)

где a > 0 — положительная постоянная, число а определяется из усло-00

вия сходимости ряда J2 ll^n|||2(am"_2+'7! а величины A(N), B(N) опре-

п-1

деляются равенствами

оо / N

n=N+1 \s=l

Выберем теперь а > а я N так, чтобы второе слагаемое в правой части (2) было меньше е/2, где е > 0 — заданное наперед малое число. Далее, выберем величину Т > 0 так, чтобы первое слагаемое в правой части (2) было также меньше е/2 (это возможно сделать в силу леммы 1). Теперь, увеличивая снова величину Т (если это действительно нужно), удовлетворим условию \U^(t,T,x)\ < М, где М — величина ограничения на граничное управляющее воздействие.

В соответствии с теоремой 2 доказано, что мембрану произвольной формы можно свести в состояние е-окрестности покоя при а < круглую мембрану при а < прямоугольную мембрану при а < 1.

В третьей главе рассматривается задача граничного управления колебаниями двумерной пластины. При этом на управляющее воздействие наложено ограничение на максимум абсолютной величины. Управляющее воздействие представляет собой производную по нормали к границе области от Ay(x,t), где y{x,t) решение задачи. Доказывается, что отклонение положения пластины от состояния покоя в процессе колебания может быть сведено в достаточно малую окрестность нуля за конечное время. Окрестность нуля в данном случае понимается в смысле нормы соболевского пространства Н".

Пусть {^¿(а;)}^0 — системы собственных значений и собствен-

ных функций задачи Рикье в области ft, т.е. A2Xi(x) - A\Xi{x) = 0 в Г2, 75^1 зп = \ш — 0- Заметим, что в данном случае рассматриваются все собственные значения, включая нулевое (А0 = 0). Система собственных функций, определенная выше, является полной в так как она сов-

падает с системой собственных функций в задаче Неймана для оператора Лапласа.

Определение 3. Функция y{x,t) € х (0,Т)) называется слабым решением задачи

J^ + A^y-O в QT = ftx(0,T),

y\t=o = <р(х), у[\,.^ = Ф(х)> E = iZ(a,i)> = (3)

если для любой пробной гладкой финитной функции £(x,t) имеет место интегральное тождество

J[ у{х, Шх, t)dxdt = I{ipQ't - ^e)|t=0dx-n

J P{x, t)Q{x, t)dS - J R(x, i)A0(i)dE,

s s

где S = Ш x (О, T) и 6(a;,f) — классическое решение следующей задачи (которая называется транспонированной):

с>2

Qt

зе, аде, ©1«. = ©¡1«. = о, = =

Определим функцию Тп{Ь) как решение дифференциального уравнения

2^(4) + А£гп(*) = IХп{х)Р(х,^сг + I АХп{х)Я{х,^а зп зп

с начальными условиями: Г„(0) = <рп = 7^(0) = фп = (ф,Хп), а

также положим

лг

п=0

Лемма 3. Пусть Р(х, £), — некоторые функции из ¿2(2) и, V е

Я4(П), ф £ Я2(П). Тогда последовательность функций у и {х,Ь) сходится в пространстве обобщенных функций к слабому решению задачи (3).

Следующая теорема представляет второй главный результат данной работы.

Теорема 3. Пусть <р € ф е и функция y{x,t)

является решением задачи

(S + A2)y = 0 в Qr = nx(0,T),

y\t=a = <p{x), Ж\и=а = Ф(х), ^|s = 0, ^k = UN(x,t),

где UN(t, Т, х) = (Cf (Tjii^il + cf (Г) cos AS(T - i)) ВД при i < T и f/jv = 0 п]ш t>T,T= const > 0. Тогда, имеет место оценка

ll!/M||^(n) < С (ema^ilCf ^(ЛГ)

+ (^ИяГ(П) + М^) (4)

где о > 0 положительная постоянная, число а определяется из усло-00

вия сходимости ряда £ 11^п|1£2(0П)п_4+<Т> « величины A(N), B(N) — равенствами

00 /Л'

n=JV+l \я=1

Заметим, что числа определяются также как и в предыдущей

главе.

Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые приводились для мембраны, можно показать, что с помощью оценки (4) доказывается возможность приведения пластины в состояние е-окрестности покоя за конечное время.

На основании теоремы 3 доказано, что пластину произвольной формы можно свести в состояние е-окрестности покоя при а < 2,5, прямоугольной формы при а < 3, круглой формы при а < 2|.

В четвертой главе рассматривается задача точного управления колебаниями прямоугольной пластины. Исследуется возможность полной остановки колебаний пластины (для определенных граничных условий) за конечное время с помощью сколь угодно малого по абсолютной величине управляющего воздействия. Рассматривается возможность управления двумя краевыми условиями. При этом доказано, что при управлении

с использованием двух краевых условий, класс допустимых начальных возмущений существенно расширяется.

Пусть {А?}5°, — системы собственных значений и собствен-

ных функций оператора Д2. т.е. Д2Х,(х) - А?ЛГ»(аг) = 0 в О, = ДХ*|эп = 0. Система собственных функций, определенная выше, является полной в так как она совпадает с системой собственных функций в задаче Дирихле для оператора Лапласа.

Определение 4. Функция у(х,{) € х (О,!1)) называется слабым решением задачи:

•э2

^2+A2Jy = 0 в QT = ftx(0,T),

y|t=o = ¥>(®), y't\t=o = Цх), y\s = R(x,t), Ay\z = P(x,t), (5)

если для любой пробной гладкой финитной функции i) имеет место интегральное тождество:

If y(x,t)Ç(x,t)dxdt = I(<pQ't - i>Q)\t^dx+

Qt П

+j j

£ E

где E = <9fl x (0,T) и Q(x,t) - классическое решение следующей задачи (которая называется транспонированной):

^ + = в QT,

в|(=г = ©ilt=r = 0, е|Е = де|Е = 0:

Определим функцию Tn(t) как решение дифференциального уравнения

m + AlTn{t) = -1 t)da - f t)da,

дп an

с начальными условиями: Г„(0) = <рп = (<р,Хп), Т'п{0) = фп = {гр,Хп), а также положим

N

yN{x,t) := ¿Txn{x)Tn(t).

71=1

+ Д2Ь = 0 в QT = Slx{0,Tk),

Лемма 4. Пусть Р[х, t), R[x, t) — некоторые функции из ¿г(^) и <р G ф 6 /^(fi). Гогда последовательность функций yx(x,t) сходится в пространстве обобщенных функций к слабому решению задачи (5).

Пусть Тк — время управления. Определим числа:

^№) = -(An^ncos(AnTA) + ^sin(AnTfc)), п = 1,2,... ,

К(тк) = KVn sin(AnTjt) - фп cos(AпТк), п = 1,2,... .

Теорема 4. Пусть fi = (0;тг) х (0;тг), Тк = 2кк, где к = 1,2..., <р е C4(fi) и <р = А<р = 0 на дП, ф £ С3(П), ф = 0 на дП и функция y(x,t)

является решением задачи 'J?

sdt2

2/U=o = ф), y't\t=a = 1>(x), 2/|е = 0, Ay\E = U{x,t), U(x,Tk,t) = -(6;,(T,)sinAni + 6McosAni)^M

71=1 "71

II is (SO)

npu t < Tk и и = 0 при t > Тк, Тк = const > 0. Тогда у{х, Тк) = у[(х,Тк) = 0.

Из теоремы 4 следует также, что, увеличивая время Тк) колебания пластины можно остановить с помощью сколь угодно малой по абсолютной величине силы.

Результат, полученный в теореме 4, допускает обобщение на случай прямоугольной пластины, длины сторон которой являются произвольными рациональными числами. В работе также доказывается, что управляя двумя условиями, начальные возмущения ^ и ф можно выбирать из более широких классов функций.

Благодарность. Считаю своим долгом выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Алексею Станиславовичу Шамаеву за постоянное внимание к данной работе и многочисленные обсуждения рассматриваемых в ней вопросов.

III. Публикации по теме диссертации

1. Романов И. В., Шамаев А. С. Управление колебаниями мембран и пластин с помощью граничных сил.//Доклады Академии Наук. Серия: теория управления. 2011. Т. 438, №3. С. 318-322.

(В данной работе постановки задач в теоремах 1 и 2, а также доказательство леммы 2 принадлежат А. С. Шамаеву. Доказательства теорем 1 и 2, лемм 1, 3 и 4, постановка задачи в теореме 3 и доказательство этой теоремы принадлежит И. В. Романову.)

2. Рома,нов И. В. Управление колебаниями пластины с помощью граничных сил.//Вестник Московского Университета. Серия: математика, механика. 2011. №2. С. 3-10.

3. Романов И. В. Управление колебаниями пластины с помощью граничных сил.//53-я Научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: тез. докл. Москва-Долгопрудный, 2010. С. 27-28.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡00 экз. Заказ №

Глава 1. Введение

Глава 2. О задаче управления колебаниями плоской мембраны в случае ограничения на абсолютную величину управляющего воздействия

Глава 3. Управление колебаниями пластины с помощью граничных сил

Глава 4. Точное управление колебаниями прямоугольной пластины с помощью граничных сил

1. Акуленко Л. Д., Болотник Н. Н., Кукмашев С. А., Чернов А. А. Активное гашение колебаний крупногабаритных несущих конструкций посредством перемещения внутренних масс. - Изв. РАН. Теор. и сист. упр. 2000, №1, С. 135-145.

2. Акуленко Л. Д. Приведение упругой системы в заданное состояние посредством силового граничного воздействия. ПММ. 1981, Т. 45, №6, С. 1095-1103.

3. Ахиезер Н. И., Крейн М. Г. О некоторых вопросах теории моментов ГОНТИ, Харьков, 1938.

4. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Физматлит, 1965.

5. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. М.: Издательство иностранной литературы, 1949.

6. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

7. Добрынина И. С., Черпоусько Ф. Л. Ограниченное управление линейной системой четвертого порядка. Изв. РАН. Техн. кибернет. 1992, №6, С. 94-100.

8. Егоров А. И. Управление упругими колебаниями. Докл. АН УССР. Сер. А, 1986, №5, С. 60-63.

9. Егоров А. И., Знаменская Л. Н. Об управляемости колебаний сети из связанных объектов с распределенными и сосредоточенными параметрами. Журнал вычисл. матем. и матем. физика, 2009, 49:5, 815-825.

10. Егоров А. И., Знаменская Л. Н. Об управляемости колебаний системы связанных объектов с распределенными и сосредоточенными параметрами. Журнал вычисл. матем. и матем. физика, 2006, 46:6, 1062-1018.

11. Егоров А. И., Знаменская Л. Н. Управление колебаниями связанных объектов с распределенными и сосредоточенными параметрами. Журнал вычисл. матем. и матем. физика, 2005, 45:10, 1766-1784.

12. Егоров А. И., Знаменская Л. Н. Управляемость упругих колебаний систем с распределенными и сосредоточенными параметрами по двум границам. Журнал вычисл. матем. и матем. физика, 2006, 46:11, 2032-2044.

13. Зеликин М. И., Манита Л. А. Накопление переключений управления в задачах с распределенными параметрами. СМФН. 2006, Т. 19, С. 78113.

14. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией. Дифференц. уравнения, 2000, Т. 36, №11, С. 1513-1528.

15. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией. Дифференц. уравнения, 2000, Т. 36, №12, С. 1670-1686.

16. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны. УМН, 2005, 60: 6(366), 89-114.

17. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце. -Дифференц. уравнения, 2005, Т. 41, №1, С. 105-115.

18. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при закрепленном втором ее конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны. Докл. РАН. 2004, Т. 399, №6, С. 727-731.

19. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимальное граиичное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергииструны. Докл. РАН. 2005, Т. 400, №1, С. 16-20.

20. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при свободном втором ее конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны. Докл. РАН. 2005, Т. 400, №5, С. 587-591.

21. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце при закрепленном втором ее конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны. Докл. РАН. 2005, Т. 400, №6, С. 731-735.

22. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация граничного управление упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце. -Докл. РАН. 2005, Т. 402, №1, С. 20-24.

23. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация граничного управление упругой силой на двух концах струны. Докл. РАН. 2005, Т. 402, №2, С. 163-169.

24. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация комбинированного граничного управление колебаниями струны. упругой силой на одном конце и смещением на другом конце. - Докл. РАН. 2005, Т. 402, №5, С. 590-596.

25. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. Мир, Москва 1975.

26. Лионе Ж.-Л. Некоторые вопросы оптимального управления распределенными системами. УМН. 1985, 40: 4(244), С. 55-68.

27. Лионе Ж.-Л. Об оптимальном управлении распределенными системами. УМН. 1985, 28: 4(172), С. 15-46.

28. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

29. Никитин А. А. Граничное управление упругой силой на одном концеструны. Докл. РАН. 2006, Т. 406, №4, С. 458-461.

30. Никитин А. А. Оптимальное граничное управление колебаниями струны, производимое силой при упругом закреплении. Дифференц. уравнения. 2010, Т. 46, С. 12.

31. Решмин С. А. Ограниченное управление линейной системой третьего порядка. Изв. РАН. Теор. и сист. упр. 1996, №1, С. 22-26.

32. Фурсиков А. В. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье-Стокса и Эйлера. Матем. сб., 1981, 115(157): 2(6), 281-306.

33. Фурсиков А. В. / Эмануилов Ю. С. Точная локальная управляемость двумерных уравнений Навье-Стокса. Матем. сб., 1996, 187: 9, 103-138.

34. Фурсиков А. В., Эмануилов Ю. С. Точная управляемость уравнений Навье-Стокса и Буссинеска. УМН, 1999, 54: 3(327), 93-146.

35. Черноусько Ф. JT. О построении ограниченного управления в колебательных системах. Прикл. матем. и мех. 1988, Т. 52, вып. 4, С. 549-558.

36. Черноусько Ф. JI. Ограниченное управление в системах с распределенными параметрами. Прикл. матем. и мех. 1992, Т. 56, вып. 5, С. 810-826.

37. Черноусько Ф. JI. Задача оптимального быстродействия при смешанных ограничениях. Изв. РАН. Теор. и сист. упр. 1995, №4, С. 103-113.

38. Черноусько Ф. JI. Управление системой с одной степенью свободы при ограничениях на управляющую силу и скорость ее изменения. Докл. РАН, 1999, Т. 368, №4, С. 464-466.

39. Черноусько Ф. JI. Управление системой с одной степенью свободы при сложных ограничениях. Прикл. матем. и мех. 1999, Т. 63, вып. 5, С. 707-715.

40. Черноусько Ф. JL, Акуленко J1. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980.

41. Черноусько Ф. JL, Ананьевский И. М., Решмин С. А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Физматлит, 2006.

42. Черноусько Ф. JL, Шматков А. М. Оптимальное по быстродействию управление в одной системе третьего порядка. Прикл. матем. и мех. 1997, Т. 61, вып. 5, С. 723-731.

43. Черноусько Ф. JL, Шматков А. М. Синтез оптимального быстродействия в одной системе третьего порядка. ДАН СССР. 1997, Т.354, №2, С. 174-177.

44. Bardos С., Lebeau G., Rauch J., Sharp sufficient conditions for the observation, control and stabilization of wave from the boundary. SI AM. Journal on Optimization and Control, 1992, 30(5), 1024-1065.

45. Chernousko F. L. Control of elastic systems by bounded distributed forces. Appl. Math, and Сотр. 1996, V. 78, P. 103-110.

46. Grisvard P. Caracterisation de quelques espaces d'interpolation. Arch. Rat. Mech. Anal. 25 (1967), P. 40-63.

47. Lions J. L. Exact controllability. Stabilization and perturbations for distributed systems. SIAM Review. - 1988. - V. 30, № 1. - P. 1-68.

48. Zuazua E. Exact controllability of a vibrating plate model for an arbitrarily small time. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 304 (1987), no. 7, P. 173-176.

49. Романов И. В. Точное управление колебаниями прямоугольной пластины с помощью граничных сил. Вестник МГУ, Серия Математика, Механика, № 4, 2011. Принято к публикации, 4 с.

50. Романов И. В. Управление колебаниями пластины с помощью граничных сил. Вестник МГУ, Серия Математика, Механика, № 2, 2011, С. 3-10.

51. Романов И. В., Шамаев А. С. О задачах управления колебаниямимембран и пластин с помощью граничных сил. ДАН, том 438, вып. 3, 2011, С. 318-322.