Оптимальное и субоптимальное управление позиционированием механических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Оптимальное гарантированное приведение динамической системы в неподвижную целевую точку в ограниченной области при неполной информации.

§1.1. Задача оптимального гарантированного поиска неподвижной целевой точки в ограниченной области.

§1.2. Построение множества поисковых траекторий и сведение основной задачи к задаче определения траектории минимальной длины.

§1.3. Решение задачи простого поиска в прямоугольнике с круговой областью обнаружения.

§1.4. Постановка задачи оптимального гарантированного приведения динамической системы в неподвижную целевую точку.

§1.5. Алгоритм комбинированного гарантированного управления.

§1.6. Решение задачи оптимального гарантированного приведения трехмерной динамической системы в неподвижную целевую точку в случае "медленного" поиска.

§1.7. Решение задачи оптимального гарантированного приведения трехмерной динамической системы в неподвижную целевую точку в случае "быстрого" поиска.

Задачи управления механическими системами, функционирующие в условиях неопределенности, являются предметом исследования современной теории управляемых систем. Эти проблемы имеют своим источником многие прикладные задачи такие, как задача об управляемом приведении механической системы на целевой объект при неизвестных заранее фазовых координатах последнего. Подобные задачи возникают в различных сферах человеческой деятельности и в технике. Например, в задачах управления адаптивными робототехническими системами имеет место ситуация, когда требуется построить управляемое движение роботом-манипулятором, который из заданного положения должен, перемещаясь по соответствующей траектории, наискорейшим образом осуществить захват некоторого подвижного или неподвижного объекта, точные координаты которого управляющей стороне неизвестны. При этом необходимая для реализации условия окончания процесса информация поступает к управляющей стороне после того, как зона чувствительности соответствующего датчика, например видеокамеры, установленной на одном из звеньев робота-манипулятора, охватит окрестность искомого объекта. Описанную ситуацию можно моделировать с помощью двух последовательных подзадач. Первая из них - задача обнаружения искомого объекта - попадает в круг проблем теории поиска. А вторая - задача осуществления захвата искомого объекта при полной информации о его координатах - двухточечная задача теории оптимального управления.

В теории поиска, одного из существенных разделов теории дифференциальных игр [79-81,93,105,129], рассматриваются задачи управления сближением одной системы (поисковой) с другой (искомой) при неполной информации. Характерной особенностью задачи поиска является то, что поисковая система в процессе поиска никакой текущей информации о местоположении искомого объекта не получает.

Начиная с 60-х годов, появилось значительное количество работ, в которых задачи поиска рассмотрены и исследованы в различных постановках. Эти работы условно можно разбить на три группы.

В ходе решения задач первой группы максимизируется вероятность успешного осуществления поиска. В задачах второй группы обеспечивается гарантированный поиск за конечное время. И, наконец, в задачах третьей группы минимизируется, время поиска (или какая-либо другая величина, например, затраченные ресурсы).

Большая часть работ [25, 53, 60, 64, 66, 67, 85, 94, 100-103, 113, 137-140, 145, 153, 154, 156, 157, 159, 175, 176] посвящена решению задач первой группы. При этом в работах [60, 64, 85, 94, 102, 103, 113] обсуждаются задачи поиска {дискретный или непрерывных поиск), в которых искомый объект не оказывает противодействия поисковой системе, а в остальных работах задачи поиска рассматриваются в условиях противодействия (игровые задачи поиска). Если при этом искомый объект обладает достаточной свободой выбора, то задача формулируется в терминах теории игр и часто решается в смешанных стратегиях.

Постановка задачи дифференциальной игры поиска восходит к работе Айзекса [25] и в теории дифференциальных игр с неполной иннформацией известна под названием "Принцесса и чудовище".

Отличительной чертой этой и близких к ней задач является математическое описание постановки и подход их решения. В работах [25, 53, 66, 67, 100-103, 137-140, 145, 153, 154, 156, 157, 159, 175, 176] предполагается, что начальное фазовое состояние искомого объекта задается некоторым вероятностным законом распределения и для решения задачи поиска применяется вероятностный подход.

В [66] решена упрощенная задача "Принцесса и чудовище" при условии, что поисковый и искомый объекты движутся по окружности со скоростями, ограниченными по модулю одной и той же величиной, а их положение в начальный момент подчиняется равномерному закону распределения. Поимка состоится, если оба объекта окажутся в одной точке.

В [137] рассмотрена задача, решенная в [66], и показано, что отсутствие ограничения на величину скорости искомого объекта не влияет на оптимальные стратегии игроков.

В [154] исследована стратегия [66] в упрощенной задаче при условии, что платой для поискового объекта является вероятность непоимки искомого.

В [175,176] рассмотрены дискретный вариант упрощенной задачи "Принцесса и чудовище". В [175] рассмотрена игра, в которой оба игрока знают положение противника в начальный момент, а в [176] - когда начальные положения игроков имеют произвольные распределения.

В [159] рассмотрена минимаксная задача, которая отличается от задачи "Принцесса и чудовище" тем, что искомый объект знает траекторию движения поискового объекта. Для случая прямоугольной области задача "Принцесса и чудовище" была решена в [156]. С использованием этого результата в [153] получено решение для произвольной выпуклой области, а также для области, которая является конечным объединением выпуклых областей.

В [138-140,145] исследованы игровые задачи поиска на линиях, когда искомый объект может выбрать точку своего местонахождения согласно любой функции распределения, а поисковый объект может двигаться вдоль любой непрерывной траектории, принадлежащей множеству (области) поиска.

Отметим, что вероятностный подход, дающий в среднем (по реализациям) лучшие результаты, удобнее использовать при наличии достаточно достоверной информации о статистических характеристиках фазового состояния искомого объекта. Однако, такая информация на практике часто отсутствует. Поэтому целесообразно применять гарантирующий подход к решению задачи поиска.

К настоящему времени методы осуществления гарантированного поиска искомого (подвижного или неподвижного) объекта разработаны в меньшей степени (вторая группа), чем вероятностные, а оптимальности удается достичь лишь в отдельных случаях (третья группа).

Гарантированная постановка задачи поиска одним из первых рассмотрена Ф.Л. Черноусько [122]. В ней при предположении, что известны лишь границы, в которых могут двигаться поисковый и искомый объекты, дана общая постановка задачи гарантированного поиска подвижного объекта и получено решение некоторых характерных конкретных задач. В частности, была рассмотрена задача поиска в выпуклой ограниченной области в двумерном и трехмерном пространствах в случае, когда условием обнаружения являлось попадание искомого объекта в заданную окрестность поискового объекта. Предложен способ движения поискового объекта и установлены условия, гарантирующие успешное завершения поиска.

Л.А. Петросяном и Н.А. Зенкевичем [67, 103] рассмотрена задача поиска подвижного объекта на плоскости при условии, что поисковый объект движется вместе с кругом обнаружения заданного радиуса и обладает лишь информацией об области возможных начальных положений искомого объекта. Предложен такой способ управления, при котором движение поискового объекта происходит по траектории, представляющей собой логарифмическую спираль. Получены оценки параметров задачи, при которых движение по построенной траектории гарантирует осуществление поиска искомого объекта за конечное время.

В работах Е.В. Шикина и его учеников [58, 132-134] предлагается геометрический подход к решению динамических задач поиска подвижного объекта - метод следящих областей. Идея рассматриваемого метода состоит в построении так называемого множества контроля. Это множество поисковый объект как бы несет на себе, и попадание в это множество искомого объекта означает завершение поиска. Контролируемое множество строится из двух подмножеств - остаточного, где искомый не может оказаться, в силу ограниченности скорости, и упреждающего множества, находясь в котором в данный момент времени, искомый объект будет обнаружен в один из последующих моментов. На примере некоторых двумерных поисковых задач показывается, как, пользуясь предложенным методом, можно находить достаточные условия, гарантирующие обнаружение, а также со-ответствую-щие траектории и требуемое гарантированное время.

В работах А. А. Меликяна и его учеников [48, 54, 88-90, 135, 167] впервые предложена математическая модель [88-90] и сформулирована игровая задача об оптимальном по быстродействию гарантированном управлении динамической системой при неполной информации о положении целевой точки, известной в начальный момент с точностью до некоторой заданной области неопределенности. В качестве области обнаружения рассмотрена полуплоскость, связанная с фазовым вектором поисковой системы. Получены полные решения задачи гарантированного быстродействия при различных областях неопределенности (отрезок [88], многоугольник [48], круг [54]). Существенным элементом решений является особая траектория -движение по некоторой ломаной, к которой подходят прямолинейные оптимальные траектории. Подход этих работ, в отличие от других формулировок задач поиска, позволяет не только обнаружить целевую точку, в качестве которой может служить как неподвижная, так и подвижная точка, но и осуществить приведение в нее фазового вектора поисковой системы.

Решения различных задач поиска приводятся в монографиях [1, 62, 72, 121].

Как отмечалось в начале введения на модельном примере захвата роботом-манипулятором целевого объекта с заранее неизвестными координатами, процесс управления наискорейшим приведением схвата манипулятора на уже обнаруженный объект представляет собой задачу оптимального управления манипуляционным роботом.

К настоящему времени имеется огромное количество опубликованных работ, посвященных проблемам динамики и управления движением мани-пуляционных роботов.

С точки зрения механики манипуляционные роботы представляют собой управляемые маханические системы со многими степенями свободы, способные совершать сложные движения в пространстве [73, 76, 90, 106, 117, 127, 154, 173]. Целью этих движений является осуществление заданных перемещений манипулируемого объекта с требуемой точностью и за определенное время. При этом.программа движений робота может быть как заданной заранее, так и перестраиваемой в зависимости от результатов измерений.

Актуальной инженерной задачей в робототехнике является улучшение функциональных показателей промышленного робота. Наиболее важными и распространенными показателями являются его производительность (скорость выполнения операций), точность позиционирования рабочего органа (схвата или инструмента) и энергозатраты. Эти показатели зависят от конструктивных характеристик робота - кинематики манипулятора, массы его подвижных частей, упругих свойств материалов, используемых в конструкции, типов и характеристик приводов и т.п., а также от режимов управления.

Один из рациональных подходов к расчету режимов управления состоит в их оптимизации по отношению к некоторому показателю качества функционирования манипулятора. При этом режимы управления являются варьируемыми переменными, за счет выбора которых и достигается оптимизация. Математической основой оптимизационного подхода к расчету алгоритмов управления служат теория оптимального управления и методы математического программирования.

Следует отметить, что оптимальные законы управления выявляют предельные возможности робота, показывают резервы его производительности и эффективности. Однако оптимальные управления часто требуют очень трудоемких расчетов для своего построения. Кроме того, встречаются трудности при их реализации на промышленных роботах ввиду сложности этих режимов. Поэтому наряду с оптимальными представляют интерес субоптимальные управления, близкие к оптимальным, но более простые по своей структуре и поэтому более подходящие для практической реализации.

Приведем краткий обзор публикаций по оптимизации режимов управления для манипуляционных роботов, в которых основными критериями функционирования роботов являются время транспортной или технологической операции, энергозатраты и точность исполнения движений. А основными подходами к оптимизации являются непосредственное использование математических методов теории оптимального управления, параметрическая оптимизация и использование методов разделения движений, сравнительный анализ которых, применительно к построению оптимальных и субоптимальных управлений, подробно приведен в обзорной статье [43].

В работах [28, 29, 40-42, 46, 61, 71, 95, 96, 98, 110, 136, 146, 150-152, 158, 161, 162, 164-166, 169] решаются задачи оптимального быстродействия.

Основным подходом к оптимизации режимов управления в публикациях [46, 95, 96, 98, 136, 158, 169] является непосредственное применение математических методов теории оптимального управления

В [95, 96] для манипуляторов, динамика которых описывается совокупностью несвязанных между собой дифференциальными уравнениями первого или второго порядков, рассматриваются задачи оптимального быстродействия при различных ограничениях. Получено точное аналитическое решение при помощи методов вариационного исчисления [118]. Работа [136] посвящена математическому анализу задачи оптимального управления двузвенным манипулятором. Сформулированы условия, гарантирующие существование оптимального по быстродействию управления, переводящего манипулятор из фиксированного начального состояния на заданное терминальное множество. Доказана соответствующая теорема существования. Построению оптимальных по быстродействию траекторий для манипуляторов, работающих в цилиндрических и сферических системах координат, посвящена работа [158]. Сделан вывод, что для рассматриваемых роботов оптимальные программные управления кусочно непрерывны и число моментов переключения конечно. Однако строгий анализ обсуждаемой задачи проделан в статьях [46, 98], где доказано, что возможна ситуация, когда число переключений управляющей функции бесконечно велико, а частота этих переключений возрастает по мере приближения к середине интервала времени оптимального движения. Для решения задачи оптимизации по быстродействию авторами статьи [169] предлагается алгоритм, основанный на вариациях в конфигурационном пространстве. Здесь приведен пример расчета оптимальной траектории для двузвенного антропоморфного манипулятора.

В работах [61, 110, 146; 150-152, 164] исползована параметрическая оптимизация.

В статье [110] предлагается итерационная процедура построения кусочно-постоянных управлений, переводящих многозвенный манипулятор из начального состояния в конечное за минимавльное время. В ходе вычислений определяются число и моменты переключений для каждой управляющей переменной. В [146, 150-152] приводится алгоритм решения задачи оптимального по быстродействию программного управления для антропоморфного манипулятора, если заданы траектория движения схвата и максимально допустимые значения управляющих моментов. Обсуждается возможность реализации построенных оптимальных программ при помощи стандартных систем управления, содержащих контуры обратной связи. В [164] минимизируется время движения схвата робота по траектории, состоящей из отрезков прямых и дуг окружностей при ограничениях на скорость и ускорение. В [61] строится и оптимизируется релейный режим управления многозвенным роботом с последовательным включением приводов. При этом в каждый момент времени происходит движение лишь по одной обобщенной координате, а остальные степени свободы арретирова-ны.

В публикациях [28, 29, 40-42, 71, 161, 162, 165, 166] при оптимизации режимов управления по быстродействию используется метод разделения движений.

Работа [161] посвящена построению субоптимальных управлений многозвенных механизмов на основе замены исходной нелинейной системы уравнений упрощенной линейной моделью. Для манипуляционных роботов со многими степенями свободы в [162, 165, 166] рассматриваются релейные режимы управления обобщенными силами, отвечающие различным обобщенным координатам. Предполагается, что все координаты изменяются монотонно, каждое управление имеет только одно переключение, и в момент приведения манипулятора в заданное положение по какой-нибудь координате соответствующая степень свободы аррентируется. Построены алгоритмы расчета моментов переключения, обеспечивающих минимальное время приведения робота из начальной конфигурации в конечную. Алгоритм иллюстрируется на примере манипулятора с тремя степенями свободы.

Широкий класс задач оптимизации по быстродействию транспортных движений манипуляционных роботов различных типов решен в [28, 29, 4042, 71]. Построены оптимальные и квазиоптимальные управления для антропоморфного манипулятора с безынерционными звеньями [40-42, 29J. Рассчитаны и исследованы различные режимы одновременного управления поворотом и выдвижением руки манипулятора, обладающего одной вращательной и двумя поступательными кинематическими парами [28, 29]. Разработана методика расчета оптимальных движений роботов с кинематической избыточностью [71, 29], построены и реализованы оптимальные режимы управления для различных промышленных роботов.

Во всех отмеченных выше публикациях при решении задач оптимального управления использовались "чисто механические" модели роботов; за управляющие переменные принимались непосредственно силы и моменты, приложенные к звеньям манипулятора. Однако указанные силы и моменты создаются приводами, собственную динамику которых в общем случае необходимо учитывать при составлении уравнений движения. В статьях, цитируемых ниже, задачи оптимизации решаются на основе математических моделей, в которых учтены как свойства самих манипуляторов, так и свойства приводов.

В работе [51] для робота с цикловой системой программного управления разработан алгоритм расчета моментов включения пневманических приводов выдвижения и поворота руки, соответствующих минимальному времени перемещения схвата из одного заданного положения в другое.

В [170] рассмотрен двузвенный антропоморфный манипулятор, управляемый электроприводами с двигателями постоянного тока. При больших передаточных числах редукторов нелинейные уравнения аппроксимируются линейными с постоянными коэффициентами. Однако аппроксимация основанные на отбрасывании нелинейных слагаемых, а на замене угловых переменных в этих слагаемых их средними значениями. По упрощенной модели рассчитываются оптимальные по быстродействию программные управления. Продолжением работы [170] является статья [171], в ней учитываются упругая податливость шарниров и люфт в редукторах манипулятора.

В [27] решается задача оптимального по быстродействию управления антропоморфным электромеханическим роботом. Показано, что для многих промышленных роботов взаимное влияние различных степеней свободы мало и построен приближенный синтез оптимального управления, обеспечивающего наискорейшее приведение робота в заданную конфигурацию, с торможением движения в конце процесса. В работах [37, 38, 55] на основе подхода, сочетающего методы оптимального управления и концепцию обратных задач динамики, строится комбинированное субоптимальное по быстродействию управление электромеханической системой, которое обеспечивает ее приведение в заданное состояние без перерегулирования при выполнении ограничений на напряжение и ток в цепи якоря электродвигателя. В [44] обсуждаются результаты компьютерного моделирования динамики электромеханического манипулятора при оптимальном адаптивном управлении.

Отметим еще некоторые публикации, посвященные оптимизации режимов управления манипуляционных роботов.

Авторами статьи [47] исследованы возможности повышения производительности манипуляторов за счет применения рабочих органов с несколькими схватами и оптимизации маршрута движения. В [49] для трехзвенно-го манипулятора с шестью степенями свободы решаются некоторые задачи оптимизации по быстродействию и энергозатратам путем прямого перебора вариантов движения. На основе простой механической модели в [87] при помощи принципа максимума построено программное оптимальное (по быстродействию) управление движением схвата робота. Субоптимальное по быстродействию управление для робота, работающего в сферической системе координат, строится в [130]. Авторами работы [173] разработана процедура численного расчета субоптимального по быстродействию программного управления движением робота при наличии препятствия в его рабочей зоне. В [177] решается задача оптимизации траектории плоского антропоморфного манипулятора при наличии круглого препятствия в рабочей зоне робота.

В работах [33, 49, 65, 114, 115, 120, 147, 163, 171, 172] рассматриваются задачи минимизации энергозатрат при выполнении роботами транспортных операций.

В [33] при помощи асимптотических методов для сингулярно возмущенных систем приближенно строится оптимальное по энергозатратам программное управление электромеханическим однозвенным манипулятором с пружиной, действующей между рукой и неподвижным основанием. В [49] для трехзвенного манипулятора с шестью степенями свободы решается задача оптимизации по энергозатратам путем прямого перебора вариантов движения. В [65] приводится алгоритм, позволяющий осуществлять оптимальное по энергозатратам движение манипулятора при наличии препятствий. В [114] обсуждаются особенности приводов различных типов с энергетической точки зрения. Методами теории оптимального управления решается задача о переводе двузвенного манипулятора из данной начальной конфигурации в конечную с минимальными энергозатратами. Пример численного решения задачи о перемещении груза из начальной точки в конечную при помощи трехзвенного манипулятора с минимальными затратами энергии приведен в [115]. В работе [120] для расчета программных оптимальных по энергозатратам движений манипулятора с двумя поступательными и одной вращательной кинематическими парами применяется подход, предложенной в [163] для численного решения задачи оптимального управления с интегральным функционалом путем сведения к минимизации функции конечного числа переменных. Аналогичный подход используется в [172] для планирования оптимальных траекторий многозвенных роботов. Автор статьи [147] рассчитывает оптимальные по энергозатратам движения робота, используя численный метод градиентного типа в пространстве управляющих функций. Методом динамического программирования [35] в [171] рассчитывается оптимальный режим управления электроприводом манипулятора'с двумя степенями свободы. Построенные оптимальные законы управления реализованы экспериментально.

Вопросам оптимизации роботов по критериям точности посвящены работы [2, 3, 69, 73, 92, 111] и др.

В этих работах оптимизируются в основном конструктивные параметры манипуляторов и их кинематические характеристики. Так, в [69] предложена методика нахождения конфигурации манипулятора, отвечающей минимуму погрешности позиционирования схвата в заданной точке рабочей зоны. В [92] решается задача выбора оптимального соотношения длин звеньев.

Кроме отмеченных выше трех основных критериев качества - быстродействие, энергозатраты, точность - при оптимизации движений роботов используются и другие функционалы, например, объем движения [73].

Большой цикл работ [31, 32, 59, 123-127] посвящен разработке эффективного метода построения управлений с обратной связью для нелинейных механических систем (в частности для манипуляционных роботов). Метод основан на идее декомпозиции исходной системы со многими степенями свободы на простые подсистемы с одной степенью свободы, которыми можно управлять независимо. Он позволяет приводить систему в заданное состояние за конечное время с учетом ограничений (также смешанных) на управления и неконтролируемых возмущений, действующих на систему.

Работы [57, 82-84, 99] посвящены построению алгоритмов управления ма-нипуляционными роботами на основе решения обратных задач динамики.

Построению режимов управления манипуляционными системами с учетом упругой податливости конструкции посвящены работы [30, 36, 39, 56, 63, 108, 109, 149].

Настоящая диссертационная работа посвящена разработке алгоритмов построения оптимальных гарантирующих управлений динамическими системами в задачах поиска и приведения в целевую точку - на точечный объект - в ограниченной области при неполной информации о ее положении, а также разработке оптимальных и субоптимальных законов управления манипуляционными роботами в задачах приведения манипулятора в терминальное положение при различных динамических ограничениях.

Диссертация состоит из пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Приведем краткий обзор содержания диссертационной работы.

В первой главе рассматриваются задачи оптимального по минимальному времени гарантированного поиска динамической системой неподвижной целевой точки и оптимального по минимальному суммарному времени гарантированного поиска и приведения динамической системы в целевую точку - на неподвижный точечный объект - в ограниченной области при неполной информации о ее положении. Предполагается, что геометрические параметры области обнаружения, движущейся вместе с фазовым вектором системы, намного меньше параметров области поиска. Значительная часть главы отведена случаю, когда поисковая динамическая система управляется по скорости.

В §1.1 дана формулировка задачи оптимального гарантированного поиска динамической системой неподвижной целевой точки - точечного объекта -в плоской ограниченной области. Искомая точка считается обнаруженной при попадании в так называемую информационную область, движущуюся вместе с фазовым вектором системы. В качестве допустимых траекторий рассматривается множество кривых, покрывающих область поиска с заданной точностью, а в качестве допустимых управлений - управления, при которых движение поисковой системы происходит по покрывающей траектории. Установлено, что движение поисковой системы по покрывающей траектории при соответствующем допустимом управлении гарантирует обнаружение искомой точки за конечное время. Доказано существование решения задачи оптимального по минимальному гарантированному времени поиска в рассматриваемом множестве покрывающих траекторий.

В §1.2 задача оптимального гарантированного поиска рассмотрена для двумерной динамической системы, управляемой по скорости, в случае, когда области поиска и обнаружения имеют вид прямоугольника и круга соответственно. Решение рассматриваемой задачи - задачи нахождения траектории, движение, по которой обеспечивает успешный поиск искомого объекта за минимальное гарантированное время, сведено к задаче нахождения траектории минимальной длины из множества покрывающих прямоугольную область с заданной- точностью траекторий. Предложен конструктивный алгоритм построения этого множества, состоящего из траекторий в виде сочленения исходных - двух простых - покрывающих траекторий. Доказано, что в построенном множестве оптимальной в смысле минимальной длины является одна из исходных траекторий.

Получены явные выражения для оптимального гарантирующего управления, траектории и соответствующего гарантированного времени поиска.

В §1.3 приведено полное аналитическое решение задачи определения минимальной длины из двух исходных траекторий, в зависимости от геометрических параметров прямоугольника поиска и радиуса круга обнаружения. Для этой цели проведено подробное исследование функции, представляющей собой разность длин исходных траекторий и рассматриваемой как функция только одного переменного - горизонтальной стороны прямоугольника. Отдельно рассмотрены случаи, когда отношение вертикальной стороны прямоугольника и диаметра круга обнаружения - целое и нецелое числа. Установлено, что оптимальность той или иной исходной траектории зависит от знака функции разности, которая в обоих рассмотренных случаях является кусочно-линейной возрастающей функцией, имеющей конечное число нулей. Получены формулы, позволяющие по заданным параметрам прямоугольника (изменяющимся в заданных диапазонах), радиуса круга обнаружения и начальной точки процесса поиска определить нули функции разности, которым соответствуют определенные значения горизонтальной стороны прямоугольника и при которых обе исходные траектории равносильны в смысле минимальной длины. В остальных точках оптимальность той или иной исходной траектории зависит от знака функции разности.

В §1.4 приводится описание постановки задачи оптимального гарантированного приведения динамической поисковой системы в целевую точку -на неподвижный точечный объект - в ограниченной трехмерной области при неполной информации о координатах искомой точки. В предположении, что система уравнений движения поисковой системы расщепляется на независимые подсистемы, вводится в рассмотрение подвижное и управляемое информационное множество, связанное с текущим значением вектора положения поисковой системы, движущейся в трехмерной области, и позволяющее уточнить информацию о координатах искомого точечного объекта, неподвижного в пределах в двумерной подобласти рассматриваемой трехмерной области, в случае попадания последнего в это множество. Устанавливается конструкция и эволюция информационного множества, представляющего собой круг с центром в точке, являющейся проекцией вектора положения поискового объекта в двумерную подобласть, и с радиусом, зависящим от расстояния поискового объекта до двумерной подобласти.

В §1.5 для исследования поставленной задачи предлагается и обосновывается конструктивный алгоритм комбинированного гарантированного управления, сводящего рассматриваемую задачу к задаче оптимального по минимальному суммарному времени управления гарантированного поиска и приведения на искомый точечный объект. Цель комбинированного управления - обнаружение целевого неподвижного объекта с помощью управляемой информационной области, движущейся вместе с фазовым вектором системы (этап поиска), а затем приведения на него (этап приведения). Существенным элементом предлагаемого подхода является введение в рассмотрение покрывающих траекторий. Установлено, что управляемое движение по введенным траекториям обеспечивает успешный поиск за конечное гарантированное' время и приведение в целевую точку. Доказано существование покрывающей траектории минимальной длины, а также доказано, что чем больше радиус обнаружения покрывающей траектории минимальной длины по которой осуществляется "просмотр" области поиска, тем меньше время завершение поиска искомого объекта.

Найдена зависимость полного времени процесса управления, складывающегося из времени, прошедшего до обнаружения, и оставшегося времени приведения в целевую точку, от параметров задачи. Дана формулировка задачи о минимальном суммарном времени гарантированного поиска и приведения в неподвижную точку.

В §1.6 для трехмерной динамической системы, описывающей движение поискового точечного объекта в параллелепипеде и управляемой по скорости, получено аналитическое решение задачи оптимального гарантированного поиска и приведения, когда искомая целевая точка находится в двумерном прямоугольном основании параллелепипеда, в предположении, что во множестве покрывающих траекторий поиск осуществляется с кругом обнаружения постоянного радиуса. При этом рассмотрен случай "медленного" поиска.

В §1.7 приведено аналитическое решение задачи оптимального гарантированного поиска и приведения в случае "быстрого" поиска. Найдены оптимальные величины радиуса круга обнаружения, при которых суммарное время управляемого процесса минимально. Кроме того, найдены явные выражения для оптимального гарантированного управления и минимального суммарного времени процесса.

В §1.8 на примере манипулятора с тремя степенями свободы, работающего в декартовых координатах, с рабочей зоной поиска в виде прямоугольника и параллелепипеда с конкретными значениями геометрических параметров в явном виде получены оптимальные гарантирующие управления и траектории. Оценен выигрыш по времени, достигаемый за счет движения по найденным оптимальным траекториям.

Вторая глава посвящена исследованию задачи гарантированного поиска подвижного объекта в плоской прямоугольной области с произвольной выпуклой ограниченной замкнутой областью обнаружения, разработке алгоритмов построения поисковых траекторий, установлению условий на параметры задачи, гарантирующих успешное завершение поиска, а также нахождению оптимальных по минимальному гарантированному времени поиска траекторий. •

В §2.1 излагаются постановки задач гарантированного поиска подвижного объекта в плоской прямоугольной области для выпуклой ограниченной замкнутой области обнаружения и для области обнаружения, представляющей собой отрезок, параллельный оси ординат (вспомогательная задача).

В §2.2 во вспомогательной задаче для поискового объекта предлагается способ движения по некоторому семейству многопараметрических ломаных - поисковых траекторий - со специальными свойствами. Получено достаточное условие осуществления поиска искомого объекта за конечное время при движении поискового объекта по рассмотренным ломанным траекториям.

В §2.3 излагается методика поэтапного определения параметров поисковых траекторий, удовлетворяющих достаточным условиям успешного завершения поиска. Существенным элементом обоснования изложенной методики является: 1) построение огибающего семейства границ возможных областей движения - областей безопасного движения - искомого объекта в моменты прихода поискового объекта в очередную вершину ломаной - траектории поиска; 2) построение огибающей семейства множеств точек встречи поискового и искомого объектов, к которой с одной стороны, касаясь, подходят прямолинейные участки траектории поиска. Анализируются возможные случаи существования решения вспомогательной задачи в семействе поисковых траекторий в зависимости от разрешимости системы соотношений относительно параметров траекторий. Находятся явные выражения для управления поисковым объектом и для полного времени гарантированного поиска.

В §2.4 излагается алгоритм построения наибольшей области на плоскости изменения параметров задачи, в каждой точке которой существует некоторое множество поисковых траекторий. Существование этой области доказывается теоретически и обосновывается численными построениями. Полученные результаты имеют локальный характер. В последующих параграфах они используются для построения решения основной задачи.

В §2.5 для основной задачи, сформулированной в §2.1, произвольная выпуклая замкнутая ограниченная область обнаружения рассматривается как совокупность параллельных оси ординат отрезков с различными длинами. При таком представлении области обнаружения становится возможным обобщение методики, развитой в §§2.2-2.3 при решении вспомогательной задачи. Вводится расширенное семейство многопараметрических ломаных - траекторий, зависящих'(в отличие от траекторий, рассмотренных в §2.1) от дополнительных параметров. Устанавливается обобщенное достаточное условие завершения поиска за конечное время при движении поискового объекта по траекториям расширенного семейства.

В §2.6 на основе требования выполнения обобщенного достаточного условия за все время движения последовательно находятся параметры поисковой траектории. При этом устанавливается, что область безопасного движения искомого объекта в моменты прихода поискового объекта в очередную вершину ломаной представляет собой объединение областей безопасного движения, соответствующих отрезкам, составляющих исходную область обнаружения.

В §2.7 алгоритм построения областей существования решения вспомогательной задачи обобщается для симметричных областей обнаружения. Приводятся численные построения этих областей для различных областей обнаружения (квадрат, ромб, круг). Устанавливается и численными построениями обосновывается, что если области обнаружения упорядоченно вложены друг в друга, то соответствующие им области существования обладают тем же свойством. Изложенная методика и алгоритм позволяют по заданным допустимым значениям параметров задачи указать начальное положение поискового объекта в прямоугольной области, способ управления и соответствующее им время, не позже которого гарантируется завершение поиска искомого объекта.

В §2.8 излагается постановка задачи нахождения оптимальных по минимальному гарантированному времени поиска траекторий. Выводится формула для полного гарантированного времени поиска в зависимости от значения длины вертикальной стороны прямоугольника. Дается оценка величины гарантированного времени, что позволяет свести поставленную задачу к задаче максимизации величины скорости перемещения поискового объекта по вертикальным сторонам прямоугольника. При заданных симметричных формах областей обнаружения находятся явные выражения для максимизирующих параметров, определяющих структуру оптимальных поисковых траекторий.

Третья глава посвящена построению оптимальных и субоптимальных управлений плоскими движениями антропоморфного двузвенного манипулятора при ограничениях как на управляющие моменты, так и на фазовые переменные, а также построению областей конечных конфигураций, достижимых манипулятором при оптимальных по быстродействию управлениях с минимальным числом переключений с учетом ограничений на угловые скорости звеньев манипулятора. Алгоритмы построения управлений основаны на методах теории оптимального управления и обратных задач динамики.

В §3.1 рассматривается расчетная модель механической части плоского двузвенного антропоморфного манипулятора с произвольными значениями инерционных и геометрических параметров. Считается, что манипулятор расположен в горизонтальной плоскости и сила тяжести не влияет на его движение. Такой моделью часто можно ограничиться при планировании и анализе транспортных движений антропоморфных манипуляционных роботов, не обладающих избыточным числом степеней свободы.

Дана формулировка задачи оптимального по быстродействию управления, в которой требуется найти законы изменения управляющих моментов, приводящие систему из заданного начального состояния покоя в заданное конечное состояние покоя за минимальное время при ограничениях на управляющие моменты.

В §3.2 поставленная задача решается для двузвенного манипулятора со вторым уравновешенным звеном, движение которого описывается линейной системой четвертого, порядка. Так как, согласно принципу максимума, оптимальные управления для рассматриваемой системы релейные, то искомые управления ищутся среди параметрического класса зависимостей с минимальным (равным четырем) числом параметров, достаточным для удовлетворения четырех конечных условий при произвольных начальных условий.

Рассматриваются шестнадцать различных способов управления, отличающихся друг от друга номером момента, имеющего одно и два переключения (два свободных параметра), а также комбинациями значений, определяющих порядок чередования знаков управляющих моментов. Аналитическим способом на конфигурационной плоскости манипулятора построены области, где реализуются соответствующие режимы. Для каждого режима получены явные выражения зависимостей параметров управления от конечных значений углов, при которых управления приводят систему в заданную конечную точку. Аналогичные результаты получены для системы в случае, когда начальные и конечные состояния близки.

В §3.3 для механической модели манипулятора со вторым уравновешенным звеном рассматривается задача построения на конфигурационной плоскости манипулятора областей конечных положений, достижимых манипулятором без нарушения заданных ограничений на угловые скорости, при оптимальных по быстродействию управлениях с минимально возможным числом переключений, построенных в предыдущем параграфе. Предлагается следующая процедура построения искомых областей. На основе анализа зависимостей угловой скорости от текущего угла соответствующего звена манипулятора, найденных при оптимальных режимах и приводящих манипулятор из начального положения в конечное положение по каждой степени подвижности, установлено, что максимальное по модулю значение угловой скорости каждого звена манипулятора достигается в один из моментов переключения управления. Для заданного режима, начальной конфигурации и ограничений из конечных условий получаем два неравенства относительно конечных конфигураций, которые задают две области на конфигурационной плоскости манипулятора. Пересечение этих областей и определяет искомую область.

По предложенной процедуре получены аналитические представления искомых областей при различных режимах управления. Построены также наибольшая и наименьшая области конечных конфигураций, достижимых при всех рассматриваемых режимах и хотя бы одном режиме соответственно. Установлено, что при приведении в точки, принадлежащие участкам границ построенных областей, максимального значения достигает одна из угловых скоростей звеньев манипулятора, а при приведении в узловые точки границ - обе угловые скорости.

В §3.4 решается задача построения управления, обеспечивающего приведение многомерной линейной динамической системы из произвольного начального состояния в заданное конечное состояние при ограничениях на компоненты вектора управления и вектора фазового состояния системы. При решении поставленной задачи, используется известная схема построения управления в отсутствие ограничений.

Получены условия на динамические параметры системы, при которых рассматриваемая задача разрешима для любых начальных и конечных состояний. Дана схема последовательного построения управления. Получены явные выражения для полного времени процесса и управления от времени и фазовых координат конечного положения.

В §3.5 изложенная в предыдущем параграфе схема построения управления использована для определения управляющих моментов двузвенного манипулятора со вторым уравновешенным звеном в задаче приведения манипулятора из заданного начального положения в заданное конечное положение с торможением движения в конце процесса. На управляющие моменты и угловые скорости звеньев наложены ограничения. Получен явный вид управляющих моментов от времени, конечного положения, а также найдено явное выражение для полного времени процесса приведения в зависимости от соотношений между механическими параметрами манипулятора.

В §3.6 для двузвенного" манипулятора с произвольными инерционными и геометрическими параметрами разработан графоаналитический подход к расчету оптимальных и субоптимальных по быстродействию программных режимов управления в задаче, поставленной в §3.1. Подход основан на сочетании методов обратных задач динамики и поиска параметров законов управления, рассмотренных во втором параграфе и приводящих систему в заданное терминальное положение. По предложенной методике проведены расчеты программных управляемых движений, а также приведены результаты численного моделирования движений двузвенного манипулятора при кусочно-постоянных управлениях с четырьмя свободными параметрами. На конфигурационной плоскости манипулятора с конкретными массовыми и геометрическими характеристиками построены диаграммы, позволяющие по заданным начальным и конечным значениям обобщенных координат определить количество точек переключения управляющих моментов, порядок чередования их знаков, моменты переключения и время приведения манипулятора в требуемое положение. Приведены также результаты моделирования движений полной модели двузвенника при управлениях, построенных для упрощенной модели, с учетом ограничений на управляющие моменты и угловые скорости звеньев.

Результаты расчетов показали, что оптимальные режимы управления, построенные в §§3.2,3.5 для упрощенной модели манипулятора, имеют сравнительно большую область применимости, что свидетельствует об их практической приемлемости.

Четвертая глава посвящена построению оптимальных режимов управления упрощенными моделями электромеханического манипуляционного робота и оценке эффективности этих режимов как субоптимальных при моделировании транспортных движений промышленного робота. Рассмотрены различные упрощенные модели, как учитывающие, так и не учитывающие динамическое взаимодействие различных степеней свободы робота.

В §4.1 выводятся уравнения движения двузвенного манипулятора с учетом динамики приводов, .состоящих из управляемых по напряжению электродвигателей постоянного тока с независимым возбуждением и редукторов.

В §4.2 анализируются возможные упрощения исходной математической модели, связанные с соотношениями порядков физических параметров рассматриваемой электромеханической системы. Показывается, что во многих случаях при расчете законов управления можно пользоваться простой линейной моделью, не учитывающей взаимного влияния различных степеней свободы, а также линейной моделью, в которой учитывается динамическое взаимодействие звеньев (случай статической уравновешенности второго звена манипулятора). Даются математические постановки задач синтеза оптимального (по быстродействию и энергозатратам) управления транспортными движениями манипулятора при различных ограничениях.

В §4.3 для упрощенной модели двузвенного электромеханического манипулятора, в которой отсутствет динамическое взаимодействие звеньев, решается задача построения зависимостей управляющих напряжений от обобщенных координат и скоростей звеньев манипулятора, которые обеспечивают наискорейшее .приведение системы из произвольного начального состояния в заданное конечное положение с торможением движения в конце процесса. Задачи оптимального управления решаются с учетом ограничений на напряжение и мощности тепловыделения в обмотках роторов электродвигателей.

В §4.4 методом численного моделирования исследована динамика конкретного промышленного робота при управлениях, оптимальных в задаче быстродействия для упрощенной модели робота, построенных в §4.3. Результаты моделирования свидетельствуют о приемлемости предложенной методики расчета и о практической эффективности полученных оптимальных режимов. Однако точность позиционирования в окрестности терминального состояния каждой степени подвижности робота оказывается невысокой: происходят нежелательные колебания.

В §4.5 для предотвращения этих колебаний и обеспечения высокой точности позиционирования, предлагается алгоритм комбинированного управления, предусматривающий вне малой окрестности терминального состояния использование оптимального управления, построенного в §4.3, а внутри упомянутой окрестности - линейного регулятора, обеспечивающего асимптотическое приведение манипулятора в заданную конфигурацию. Коэффициенты усиления регулятора определяются исходя из требований удовлетворения ограничений на напряжение и ток (мощность тепловыделения) и быстроты переходного процесса. Результаты проведенного численного моделирования показывают, что за счет подбора коэффициентов удается достигнуть высокой точности приведения системы в терминальное состояние при хорошем быстродействии.

В §4.6 для упрощенной модели двузвенного электромеханического манипулятора, в которой отсутствет динамическое взаимодействие звеньев, решаются задачи оптимизации транспортных движений роботов по энергозатратам. Здесь рассматриваются главным образом комбинированные функционалы, учитывающие наряду с энергозатратами точность приведения робота в заданное положение и время выполнения транспортной операции. Построены оптимальные управления, формируемые по принципу обратной связи. Как и в §4.4, проведено численное моделирование динамики робота конкретного промышленного робота при полученных режимах управления. Результаты моделирования свидетельствуют о практической приемлемости этих режимов.

В §4.7 для линейной модели двузвенного электромеханического манипулятора §4.2, в которой учитывается динамическое взаимодействие звеньев (случай статической уравновешенности второго звена манипулятора), решается задача построения управляющего напряжения, осуществляющего приведение системы из заданного начального состояния в заданное конечное состояние при ограничении на напряжение и ограничении на ток (мощность тепловыделения), которое сводится к совместному ограничению на управляющее напряжение и на угловую скорость соответствующего звена манипулятора.

При решении поставленной задачи используется схема построения управления в отсутствие ограничений, изложенная в §3.4. Получены условия на механические и электромеханические параметры манипулятора, при которых рассматриваемая задача разрешима для любых начальных и конечных состояний, удовлетворяющих полученным условиям. Дана схема последовательного построения управления. Получены явные выражения для полного времени процесса приведения в зависимости от соотношений между механическими и электрическими параметрами манипулятора, а также явное выражение управляющего напряжения от времени и фазовых координат терминального состояния манипулятора.

Законы управления, полученные для упрощенной модели - системы четвертого порядка - использовались при моделировании транспортных движений двузвенного электромеханического манипуляционного робота. Результаты моделирования показывают, что управления, рассчитанные для упрощенной модели, учитывающей динамическое взаимодействие различных степеней свободы манипулятора, обеспечивают более точное приведение в заданное терминальное состояние манипулятора, чем управления, рассчитанные для упрощенной модели, в которой не учтено это взаимодействие.

Пятая глава посвящена оптимизации управляемых движений двузвенного манипулятора, рассматриваемого на основе как механической модели, так и электромеханической модели. Проведенные здесь исследования относятся к случаю, когда второе звено манипулятора уравновешено.

В §5.1 проводится анализ возможности приведения схвата плоского двузвенного антропоморфного манипулятора с произволными массовыми геометрическими параметрами из исходного положения в заданное конечное положение различными путями. Дело в том, что каждому положению схвата, не находящемуся на границе рабочей зоны, отвечают две конфигурации манипулятора. А каждую из этих конфигураций можно задавать с помощью разлчных параметрических представлений. Устанавливается, что эти представления определяют не только одну и ту же конфигурацию манипулятора, но и несут информацию о способе приведения манипулятора в данную конфигурацию из исходной конфигурации, который характеризуется определенным сочетанием поворотов звеньев манипулятора по часовой стрелке и против часовой стрелки.

В §5.2 для двузвенного механического манипулятора со вторым уравновешенным звеном ставится задача определения типа конечной конфигурации, направления поворотов звеньев манипулятора, а также способа управления манипулятором, доставляющих минимальное значение заданному критерию качества функционирования манипулятора, которое зависит от указанных характеристик.

В §§ 5.3, 5.4 излагается методика расчета оптимальных по заданному критерию функционирования манипулятора движений двузвенника. С помощью диаграмм, построенных на конфигурационной плоскости двузвенного манипулятора, решаются задачи оптимального выбора конечной конфигурации и направлений поворотов звеньев двузвенного манипулятора, при которых для заданных способов управления, оптимальных по быстродействию (§5.3) и "комбинированных" функционалов, учитывающих энергозатраты (§5.4), достигается минимальное значение заданного критерия функционирования манипулятора.

В §5.5 задача определения типа конечной конфигурации, направления поворотов звеньев манипулятора, а также способа управления манипулятором с помощью расчетных диаграмм решается для электромеханической модели двузвенного манипулятора. Расчеты показывают, что учет динамики приводов вносит заметное уточнение в результаты определения оптимальных перемещений двузвенного манипулятора.

В §5.6 для манипулятора с конкретными характерными параметрами проведен сравнительный анализ расчетных движений, оптимальных по быстродействию и энергозатратам. Вычислениями устанавливается существенная роль выбора типа конечной конфигурации и направлений поворотов звеньев в улучшении различных показателей функционирования двузвенного манипулятора.

Результаты работы докладывались и обсуждались: на семинаре "Теория управления и оптимизация" ИПМ РАН, под руководством академика РАН Ф.Л. Черноусько, на семинаре по относительному движению кафедры теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (руководители семинара член-корр. РАН, проф. В.В. Белецкий и д. ф.-м. н., проф. Ю.Ф. Голубев) на семинаре кафедры прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (руководители семинара д. ф.-м. н., проф. В.В. Александров, д. ф.-м. н., проф. И.В. Новожилов, д. ф.-м. н., проф. Н.В. Парусников) > на общем семинаре Института механики НАН РА, на семинарах "Механика робототехнических систем", "Механика конструкций из композитных материалов", "Волновые процессы" Института механики НАН РА, на республиканских конференциях: "Современные вопросы оптимального управления и устойчивости систем", Ереван. 28-30 октября 1997 г. и 2002г., на всесоюзных конференциях: "Управление в механических системах". Казань, 12-14 июня, 1985 г.; Львов, 26-28 апреля, 1988 г.; Свердловск, 12-14, июня, 1990 г.,

6-й всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике, Ташкент, 24-30 сентябрь, 1986 г., на международных конференциях: "Information Technologies and Management", Yerevan, 18-20, November, 1999,

8-th International Symposium on Dynamic Games and Applications", Maastricht, The Netherlands, 5-8 July 1998,

10-th International Symposium on Dynamic Games and Applications", Saint Petersburg, Russia, 5-8 July, 2002.

Основные результаты-настоящей работы изложены в публикациях [4-24, 141-143]. В работах в соавторстве диссертанту принадлежат следующие результаты: детальная разработка численного построения расчетных диаграмм субоптимальных программных движений двузвенного манипулятора [19]; решения задач синтеза оптимального управления электромеханическим манипулятором по критериям быстродействия и энергозатрат, а также моделирование субоптимальных транспортных движений электромеханического промышленного робота по критериям быстродействия и энергозатрат [14-18]; разработка и численное реализация алгоритма субоптимального по быстродействию управления с высокой точностью позиционирования [14-18]; постановка задачи гарантированного поиска подвижного объекта в прямоугольной области и разработка методики построения поисковых траекторий [20-22, 143]; постановки задач и разработка методики построения областей достижимости и расчетных диаграмм в [23] и [24] соответственно.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Разработана методика оптимального гарантированного поиска неподвижного объекта в задаче обнаружения и задаче обнаружения с последующим приведением в целевую точку. Предложен класс управлений, гарантирующий успешный поиск. Доказано существование оптимального управления в этом классе.

Разработан конструктивный алгоритм решения задачи с двумерной и трехмерной областью поиска. Найдены явные выражения для оптимального гарантирующего управления, траектории и соответствующего минимального гарантированного времени в зависимости от геометрических параметров прямоугольника поиска и радиуса круга обнаружения.

2. Для манипулятора с тремя степенями свободы, работающего в декартовых координатах, с рабочей зоной поиска в виде параллелепипеда с конкретными значениями геометрических параметров, в явном виде получены оптимальные гарантирующие управления и траектории. Оценен выигрыш по времени, достигаемый за счет движения по найденным оптимальным траекториям.

3. Разработана методика гарантированного поиска подвижного объекта в прямоугольной области в классе многопараметрических траекторий. Получено достаточное условие, при котором гарантируется завершение поиска искомого объекта за конечное время.

Разработан алгоритм поэтапного определения параметров поисковых траекторий. На плоскости изменения параметров задачи построены области существования поисковых траекторий.

4. Решена задача определения параметров оптимального по минимальному гарантированному времени поиска траекторий.

5. Для двузвенного манипулятора со вторым уравновешенным звеном построены оптимальные релейные программные режимы управления с минимально возможным числом переключений. На конфигурационной плоскости манипулятора построены области конечных положений, достижимых манипулятором при оптимальных по быстродействию управлениях с учетом ограничений на угловые скорости.

6. Для линейной динамической системы построены управления и получены условия, при которых обеспечивается приведение системы из заданного начального состояния в заданное конечное состояние за конечное время при ограничениях как отдельно на компоненты вектора управления и вектора скорости системы, так и при совместных ограничениях.

Построены управляющие законы моментов сил и входные напряжения, обеспечивающие приведение механического и электромеханического двузвенного манипуляторов со вторым уравновешенным звеном из заданного начального состояния покоя в заданное конечное состояние покоя при ограничениях, соответственно, на моменты сил и угловые скорости звеньев манипулятора, и на напряжения и ток в цепях якорей электродвигателей.

7. Построен синтез оптимального по быстродействию управления электромеханическим манипулятором, не учитывающий динамического взаимовлияния различных степеней свободы при ограничениях на напряжение и ток в цепях якорей электродвигателей, а также, синтез оптимального управления по отношению функционалам, учитывающим тепловые потери в обмотках якорей электродвигателей.

Разработан алгоритм суб оптимально го по быстродействию управления электромеханическим роботом с высокой точностью позиционирования. Предложено комбинированное управление, которое позволяет привести манипулятор в требуемое положение с любой заданной точностью. Путем численного моделирования установлено, что предложенные в работе оптимальные и субоптимальные управления позволяют существенно улучшить функциональные показатели манипуляционных роботов по сравнению с существующими.

8. Построены диаграммы на конфигурационной плоскости двузвенного манипулятора, позволяющие решить задачу оптимального выбора конечной конфигурации и направлений поворотов звеньев плоского механического и электромеханического двузвенного манипулятора, при которых для заданного способа управления (оптимального) достигается минимальное значение заданного критерия функционирования манипулятора (быстродействие, энергозатраты). Для манипулятора с конкретными характерными параметрами проведен сравнительный анализ расчетных движений, оптимальных по нескольким критериям.

1. Абчук В. А., Суздаль В. Г. Поиск объектов. - М.: Советск. радио. 1977.

2. Аветиков Б.Г., Барт М.Е., Кошунов A.M., Корытко О.Б. Определение оптимальных конфигураций плоского трехзвенного манипулятора // Робототехника. Л.: ЛПИ. 1977.

3. Аветиков Б.Г., Смольников Б.А., Сорин В.М. Некоторые вопросы синтеза кинематических схем манипуляторов // Теория, принципы устройства и применение роботов и манипуляторов. Л.: ЛПИ. 1974.

4. Аветисян В.В. Оптмизация транспортных движений манипуляцион-ных роботов с ограничением на мощность тепловыделения // Изв. АН СССР. Техн. Кибернетика. 1987 № 4.

5. Аветисян В.В. Оптимальное и су б оптимальное управление транспортными движениями манипуляционных роботов. Кандидатская диссертация. Москва. 1988 г.

6. Аветисян В.В. Оптимальные по энергозатратам перемещения электромеханического манипуляционного робота // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996 № 4.

7. Аветисян В.В. Ограниченное векторное управление линейной динамической системой // Сб. науч. труд, конф-ии "Вопросы оптимального управления, устойчивости и прочности механических систем". Ереван. 1997.

8. Аветисян В.В. Оптимизация конфигураций и поворотов движений двузвенного манипулятора по комбинированным критериям качества // Изв. НАН РА. Механика. 1998 № 4.

9. Аветисян В.В. Ограниченное управление линейной динамической системой с ограничением на фазовую скорость // Изв. НАН РА. Механика. 2000 № 4.

10. Аветисян В.В. Управление электромеханическим манипулятором при ограничениях на напряжение и ток // Изв. НАН РА. Механика. 2002 № 1.

11. Аветисян В.В. Оптимальный по минимальному гарантированному времени поиск неподвижного объекта в прямоугольной области // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2002 № 1. .

12. Аветисян В.В. О задаче оптимального гарантированного приведения динамической системы в целевую точку в ограниченной области при неполной информации // Изв. НАН РА. Механика. 2002 № 3.

13. Аветисян В.В. Оптимальный по минимальному суммарному времени гарантированный поиск и приведение динамической системы в неподвижную точку в прямоугольной области // Изв. НАН РА. Механика. 2002 № 4.

14. Аветисян В.В., Акуленко Л.Д., Болотник Н.Н. Моделирование и оптимизация транспортных движений промышленных роботов // Изв. АН СССР. Техн.Кибернетика. 1986 № 3.

15. Аветисян В.В., Акуленко Л.Д., Болотник Н.Н. Оптимальное управление электроприводами промышленных роботов // Препринт № 283 -М.: ИПМ АН СССР. 1986.

16. Аветисян В.В., Акуленко Л.Д., Болотник Н.Н. Оптимизация режимов управления манипуляционными роботами с учетом энергозатрат // Изв. АН СССР. Техн. Кибернетика. 1987 № 3.

17. Аветисян В.В., Акуленко Л.Д., Болотник Н.Н., Рачков М.Ю. Система управления положением объекта // Авторское свидетельство СССР №1141380, кл. 05 3/00. 1988.

18. Аветисян В.В., Болотник Н.Н. Субоптимальное управление электромеханической системы с высокой точностью позиционирования // Изв. АН СССР. МТТ. 1990 № 5.

19. Аветисян В.В., Болотник Н.Н., Черноусько Ф.Л. Оптимальные программные движения двузвенного манипулятора // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1985 № 3.

20. Аветисян В.В., Меликян Т.Т. Управляемый поиск подвижного объекта в одном семействе траекторий в прямоугольной области // Докл. НАН РА. 1997 № 4.

21. Аветисян В.В., Меликян Т.Т. Гарантированное управление поиском подвижного объекта в прямоугольной области // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1999 № 1.

22. Аветисян В.В., Меликян Т.Т. О задаче гарантированного поиска подвижного объекта в прямоугольной области // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1999 № 2.

23. Аветисян В.В., Овакимян Н.В. Оптимальные плоскопараллельные движения двузвенного манипулятора // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1995 № 2.

24. Аветисян В.В., Овакимян Н.В. Построение областей возможных приведений двузвенного манипулятора с учетом ограничений на угловую скорость // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997 -№ 4.

25. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир. 1967.

26. Акуленко Л.Д. Асимптотические методы оптимального управления. -М.: Наука. 1987.

27. Акуленко А.Д., Болотник Н.Н. Синтез оптимального управления транспортными движения промышленных роботов // Изв. АН СССР. МТТ. 1986 № 4.

28. Акуленко Л.Д., Болотник., Каплунов А.А. Оптимизация режимов управления манипуляционными роботами // Препринт № 218. М.: ИПМ АН СССР, 1985.

29. Акуленко Л.Д., Болотник., Каплунов А.А. Некоторые режимы управления промышленными роботами // Изв. АН СССР. Техн. Кибернетика. 1985 № 6.

30. Акуленко Л.Д., Гукасян А.А. Управление плоским движением упругого звена манипулятора // Изв. АН СССР. МТТ. 1983 № 5.

31. Ананьевский И.М. Управление линейной системой четвертого порядка при смешанных ограничениях // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 6.

32. Ананьевский И.М., Добрынина И.С., Черноусько Ф.Л. Метод декомпозиции в задаче управления механической системой // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1995 № 2.

33. Бабицкий В.И., Ковалева А.С. Управление резонансными манипуляторами, минимизирующее затраты энергии // Изв. АН СССР Техн. кибернетика. 1987 № 3.

34. Барсегян В.В. Оптимальное управление линейными системами при фиксированных промежуточных фазовых состояниях // Изв. НАН РА. Механика. 1999'. № 2.

35. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ. 1960.

36. Бербюк В.Е. Динамика и оптимизация робототехнических систем. -Киев. Наукова думка. 1989.

37. Болотник Н.Н., Горбачев Н.В., Шухов А.Г. Комбинированное субоптимальное управление электромеханической системой // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1991 № 6.

38. Болотник Н.Н., Горбачев Н.В., Шухов А.Г. Оптимизация управления электромеханической системой с минимаксным критерием качества // Изв. PAH. МТТ. 1992 № 6.

39. Болотник Н.Н., Гукасян А.А. Управление движением манипулятора с учетом упругих колебаний стрелы // Изв. АН СССР. МТТ. 1984-№ 4.

40. Болотник Н.Н., Каплунов А.А. Оптимальные прямолинейные перемещения груза при помощи двузвенного манипулятора // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1982 № 1.

41. Болотник Н.Н., Каплунов А.А. Оптимизация управления и конфигураций двузвенного манипулятора // Изв. АН СССР. Техн. Кибернетика. 1983 № 4.

42. Болотник Н.Н., Каплунов А.А. О синтезе управления двузвенным манипулятором // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1985 № 3.

43. Болотник Н.Н., Черноусько Ф.Л. Оптимизация управления мани-пуляционными роботами // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1990 №1.

44. Болотник Н.Н., Саттар Т.П. Адаптивное оптимальное управление ма-нипуляционным роботом // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1993- № 3.

45. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления.- М.: Наука. 1968.

46. Борисов Б.П., Зеликин М.И. Режимы с учащающимися переключениями в задаче управления роботом // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 6.

47. Ботвинник А.Х., Гусев А.П. Оптимизация работы транспортных многозахватных манипуляторов // Механика машин. М.: Наука, 1974.

48. Бочаров В. Ю, Меликян А. А. Задача гарантированного быстродействия с поиском целевой точки в многоугольной области неопределенности // Изв. АН СССР. Техн. Кибернетика. 1991 № 1.

49. Бутырин С.А. Решение задачи оптимального управления манипулятором путем прямого перебора вариантов движения // Динамика управляемых систем. Новосибирск. 1979.

50. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных систем. М.: Наука. 1973.

51. Воробьев Е.И., Щеголева А.Н. Оптимизация по быстродействию пневматического манипулятора выбором маментов переключения приводов // Машиноведение. 1978 № 3.

52. Габриелян М.С. Об оптимальном управлении механической системой мощности континуума в конфликтных ситуациях // Изв. НАН РА. Механика. 1998. № 4.

53. Гарнаев А. Ю. Решение задачи поиска в области // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. мат., мех., астрон. 1987. Вып.2

54. Головко А. С. Меликян А. А. Задача оптимального быстродействия с поиском целевой точки в круговой области неопределенности // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1994 № 4.

55. Горбачев Н.В., Сафонов А.В., Шухов А.Г. Синтез и оптимизация алгоритмов управления на основе концепции обратных задач // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1990 № 2.

56. Гукасян А.А. Исследование управляемых движений упругого манипулятора с тремя степенями подвижности // Изв. НАН РА. Механика. 1983. № 3.

57. Гукасян А.А., Барсегян В.В. Обратная задача динамики электромеханического манипулятора // Изв. НАН РА. Механика. 1994. № 5-6.

58. Губайдулин С.М., Шикин Е.В. Следящие области на цилиндре и на торе // Вестн. МГУ. Сер. 15. Вычисл. Мат. и кибернетика. 1992- № 2.

59. Добрынина И.С., Черноусько Ф.Л. Ограниченное управление линейной системой четвертого порядка // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1982 № 6.

60. Дубрович К. О., Сиротин П. А. Время пребывания цели в районе поиска // Морской сборник. 1965 № 6.

61. Дунская Н.В., Пятницкий Е.С. Адаптированное управление манипулятором: алгоритмы обучения движению // Автоматика и телемеханика. 1983 № 2.

62. Емельянов А А., Абчук В. А., Лапшин В. П., Суздаль В.Г. Теория поиска в военном деле. М.: Воениздат. 1964.

63. Зак В.Л., Пирумов Г.У. Оптимальный экспоненциальный закон разгона-торможения манипулятора // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1988. № 4.

64. Запальский М. Б. Расчеты маневрирования при поиске цели // Морской сборник. 1965 № 6.

65. Згуровский М.З., Швачко Г.Г. Оптимальное управление рабочим органом робота-манипулятора // Химическая технология. 1987 № 5.

66. Зеликин М. И. Об одной дифференциальной игре с неполной информацией //ДАН СССР. Серия математика, физика. 1972. Т. 202. № 5.

67. Зенкевич Н. А. Одна оценка для для простого поиска на плоскости // Вестн. Ленингр. ун-та. Серия мат., мех., астрон. 1981. Вып.4.

68. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука. 1981.

69. Иовлев В.Ю., Коршунов А.Н., Корытко О.Б., Смольников Б.А. Исследование влияния конфигурации манипулятора на ошибки позиционирования схвата // Робототехника. Л.: ЛПИ. 1979.

70. Калман Р. Об общей теории систем управления // Тр. 1- го конгр. Международной федерации по автомат, управлению (IFAC). М.: Изд-во АН СССР. 1961. Т.2.

71. Каплунов А.А. Оптимизация движений манипулятора с кинематической избыточностью // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1984 -№ 1.

72. Ким Д. П. Методы поиска и преследования подвижных объектов. -М.: Наука. 1989.

73. Кобринский А.А., Кобринский А.Е. Манипуляционные системы роботов. М.: Наука, 1985.

74. Козлов В.В., Макарычев В.П., Тимофеев А.В., Юревич Е.И. Динамика управления роботами. М.: Наука. 1984.

75. Козырев Ю.Г. Промышленные роботы: Справочник. М.: Наука. 1983.

76. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1981.

77. Коловский М.З., Слоущ А.В. Основы динамики промышленных роботов. М.: Наука. 1988.

78. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука. 1968.

79. Красовский Н. Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука. 1970.

80. Красовский Н. Н. Об управлении при неполной информации // ПММ. 1976. Т. 40. Вып. 2.

81. Красовский Н. Н., Осипов Ю. С. К теории дифференциальных игр с неполной информацией // Докл. АН СССР. 1974. Т.215, № 4.

82. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука. 1988.

83. Крутько П.Д., Попов Е.П. Построение алгоритмов управления движением манипуляционных роботов //Докл. АН СССР. 1980. Т. 255, № 1.

84. Крутько П.Д., Попов Е.П. Обратные задачи динамики управляемых систем и оптимальные процессы //Докл. АН СССР. 1982. Т.263, № 5.

85. Лапшин В. П. Кинематические основы теории поиска // Морской сборник. 1962 № 8.

86. Летов A.M. Динамика полета и управления. М.: Наука. 1969.

87. Лонцих П.А. Оптимальное по быстродействию управление относительным движением материальной точки // Управляемые механические системы. Иркутск: ИПИ. 1977.

88. Меликян А.А. Минимаксная задача управления при неполной информации о положении целевой точки // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1989 № 2.

89. Меликян А. А. Задача оптимального быстродействия с поиском целевой точки // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 1.

90. Меликян А. А. Оптимальное гарантирующее управление динамической системой с поиском целевой точки // ДАН СССР. 1991. Т. 316. № 4.

91. Механика промышленных роботов. Учебное пособие для втузов. В 3 кн. / Под ред. К.В.Фролова, Е.И. Воробьева. М.: Высш. шк., 1988.

92. Никифоров С.О., Смольников Б.А. Оптимизация параметров трех-звенного манипулятора // Робототехника. Л.: ЛПИ. 1976.

93. Никольский М. С. Об одной задаче преследования с неполной информацией. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1971- № 5.

94. Новожилова Л. М. Некоторые модели поиска движущегося объекта: Автореферат диссертации. Л.: ЛГУ. 1975.

95. Носов В.Н., Троицкий А.В., Троицкий В.А. Оптимальные задачи кинематики манипуляторов // Изв. АН СССР. Техн. кибернет. 1988 -№4.

96. Носов В.Н., Троицкий А.В., Троицкий В.А. Некоторые задачи оптимизации движений однозвенных манипуляторов // Изв. АН СССР. МТТ. 1989 № 2.

97. Ольшанский В.К. Игра преследования с ограничением на кривизну траектории и число маневров преследующего // Автоматика и телемеханика. 1972 № 8.

98. Осипов С.Н., Формальский A.M. Задача о быстрейшем повороте манипулятора // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. б.

99. Петров Б.Н., Крутько П.Д., Попов Е.П. Построение алгоритмов как обратная задача динамики // Докл. АН СССР. 1979. Т.247. № 5.

100. Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования. Л.: ЛГУ. 1977.

101. Петросян Л. А. Одновременная игра поиска и случайное распределение точек на плоскости // Вестн. Ленингр. ун-та. Сериа мат., мех., астрон. 1985. Вып. 1.

102. Петросян Л. А., Гарнаев А. Ю. Игры поиска. Изд-во С.-Петерб-го университета. 1992.

103. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А. Оптимальный поиск в условиях конфликта. Л.: 1987.

104. Петросян Л. А., Томский Г. В. Геометрия простого преследования. -Новосибирск. Наука, 1983.

105. Петросян Л. А., Томский Г. В. Дифференциальные игры с неполной информацией. Иркутск. 1984.

106. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных прцессов. М.: Наука. 1969.

107. Робототехника и гибкие автоматизированные производства / Под ред. И.М. Макарова. Кн. 3. М.: Высш. шк. 1988.

108. Рогов Н.Н. О торможении двухмассовой колебательной системы // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1988 № 4.

109. Рогов Н.Н., Черноусько Ф.Л. Оптимальное управление электродвигателем робота с упругим элементом // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1989 № 1.

110. Сергеева Н.А. Алгоритм обучения манипулятора движению // Автоматика и телемеханика. 1984 № 3.

111. Синев А.В. Параметрическая оптимизация нелинейных систем виброизоляции с использованием многомерного преобразования Фурье // Машиноведение. 1982 № 6.

112. Скитович В. В., Чистяков С. В. Игровые задачи сближения и поиска. М.: 1985.

113. Староверов О. В. Об одной задаче поиска // Теория вероятностей и ее применение. 1963. Т. 8. № 2.

114. Степаненко Ю.А. Некоторые вопросы оптимального управления манипуляторами // Механика машин. 1969 Вып. 22.

115. Степаненко Ю.А. Задача оптимального управления манипулятором. -М.: Наука. 1970.

116. СубботинаН.Н., Субботин А.И. Игровая задача при неполной информации // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1977 № 2.

117. Тимофеев А.В. Адаптивное управление роботами // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1989 № 1.

118. Троицкий В.А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. Л.: Машиностроение. 1976.

119. Формальский А.И. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука. 1974.

120. Хейман Б., Лоозе X., Шмидт К.Д., Роте X., Любушин А.А. Динамика и оптимальное управление роботами манипуляторами // Успехи механики. 1984. Т. 7. Вып. 4.

121. Хеллман О. Введение в теорию оптимального поиска. М. 1985.

122. Черноусько Ф.Л. Управляемый поиск подвижного объекта // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 1.

123. Черноусько Ф.Л. О построении ограниченного управления в колебательных системах // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 4.

124. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция и субоптимальное управление в динамических системах // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 6.

125. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция и синтез управления в динамических системах // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1990 № 6.

126. Черноусько Ф.Л. Синтез управления нелинейной динамической системой // ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 2.

127. Черноусько Ф.Л. Синтез управления динамической системой при смешанных ограничениях // ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 2.

128. Черноусько Ф.Л., Болотник., Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы. М.: Наука, 1989.

129. Черноусько Ф. Л., Меликян А. А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука. 1978.

130. Чешанков Б. Оптимольно по бързодействие управление на няком манипулятори /Год. Вуз. Техн. механика. 1985. Т. 20. № 1.

131. Чиликин М.Г., Ключев М.И., Сандлер А.С. Теория автоматизированного электропривода. М.: Энергия. 1979.

132. Чхартишвили А.Г. Об одном геометрическом свойстве следящей области в задачах поиска // Вести. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1992 № 3.

133. Чхартишвили А.Г. Об одном геометрическом свойстве следящей области в двумерной задаче поиска // № 60-В 91.М.: Деп. ВИНИТИ, 1991.

134. Чхартишвили А.Г., Шикин Е.В. Метод следящих областей в задачах поиска // Математический сборник. 1993. Т. 184, № 10.

135. Adams S., Melikyan А.А. Optimal trajectory planning for manipulators with goal point uncertainty // 6-th International Conference on

136. CAD/CAM. Robotics and Factories of the Future, 1991, London. Proceedings.

137. Ailon A., Langholz G. On the existence of time optimal control of mechanical manipulator // J. Optimiz. Theory and Appl. - 1985. V. 46, № 1.

138. Alpem S. The search game with mobile hider on the circle // Differential Games and Control Theory. New York; Marcel Dekker. 1974.

139. Alpem S. The rendezvous search problem // SIAM J. Control Optimization. V. 33. No. 3. 1995.

140. Alpem S., Lim W.S. Minimax rendezvous on the line // SIAM J. Control Optimization. V. 34. No. 4. 1995.

141. Alpem S., Beck A. Rendezvous on the line with an unknown initial distance // 8-th International Symposium on Dynamic Games and Applications. Maastricht, The Netherlands, 1998.

142. Avetisyan V.V. Optimization of movements of an electromechanical manipulator robot with a minimum criteria of quality //ASCIS, AEA. Information Technologies and Managment. 1999, № 4.

143. Avetisyan V.V. The problem of optimal guaranteed search and capture of immobile object in rectangular domain // 10-th International Symposium on Dynamic Games and Applications. Saint Petersburg, Russia, 2002.

144. Avetisyan V.V., Melikyan T.T. On search game of mobile object in rec-tanguar domain // 8-th International Symposium on Dynamic Games and Applications. Maastricht, The Netherlands, 1998.

145. Akulenko L.D., Bolotnik N.N., Chemousko F.L., Kaplunov A.A. Optimal control of manipulation robots // A Brige Between Control Science and Technology. Proceedings of the Ninth Triennial World Congress of IFAC. Budapest. Hungary. 1984. V.l.

146. Beck A., Newman D. J. Yet more on the linear problem // Ibid. 1970. V.8.

147. Bobrow J.E., Dubowsky S., Gibson J.S. Time optimal control of robotic manipulators along specified paths. - The International Jounal of robotics Research, 1985, v.4, № 3.

148. Bohm D. Ein kombiniertes asstiges und strufverfahren fumichtlinieare optimal steuerungsaufgaben // Macshinen-bautechink. - 1985. № 1.

149. Brammer R.F. Controllability of linear autonomous systems with positive pastive controllers // SIAM J. on Control. 1972. V. 10. No 2.

150. Chemousko F.L., Rogov N.N. Optimal control of a robot with electric drive and elastic element // Robot Control 1988 (SYROCO). Preprints of the IFAC-Simposium. Karlsruhe. Fed. Rep. Of Germany.

151. Dubowsky S., Blubaugh T.D. Time optimal robotic manipulator motions and work places for point to point tasks // Proc. Of the 24th IEE Conf. On Decision and Control. Fort Lauderdale FL. 1985.

152. Dubowsky S., Norris M.A., Shiller Z. Time optimal trajectory planning for robotic manipulators with obstacle avoidance: A CAD approach // Proc. IEEE Intern. Conf. On Robotics and Automation. San Francisko. CA 1986.

153. Dubowsky S., Shiller Z. Optimal dynamic trajectories for robotic manipulators // Theory and Practice of Robots and Manipulators: Proceeding of Ro Man Sy'84. The Fifth CISM IFTo MM Symposium. - London: Hermes Publishing, 1984.

154. Fitzgerald С. H. The princess and monster differential game // SIAM J. on Control and Optimization. 1979. V. 17, No. 6.

155. Foreman J. G. Differential searh games with mobile hider // SIAM J. on Control and Optimization. 1977. V. 15, No. 5.

156. Fu K.S., Gonzalez R.C., Lee C.S.G. Robotics: Control, Sensing, Vision and Intelligece. Udine. Italy. 1984.

157. Gal S. Search games. New York. 1980.

158. Gamaev A.Yu. Search game in a Rectangle // Journal of Optimization Theory and Applications: Vol. 69. No. 3. 1991.

159. Geering H.P., Guzzella L., Hepner S.A.R., Onder C.H. Time optimal motions of robots in assembly tasks // IEEE Transactions on Automatic Control. 1986. V. AC-31. No. 6.

160. Halpem B. The robot and the rabbit pursuit problem // The American Math. Monthly. 1969. V. 76. No. 2.

161. Hanafi A., Wright F. W., Hewit J.R. Optimal trajectory control of robotic manipulators // Mechanism and Machine Theiry. 1984. V.19. № 2.

162. Kahn M.E., Roth B. The near minimum-time control of openloop articulated kinematic chains // Trans. ASME. J. Dynamic Syst. Measurem. And Control. 1971. V. 93, № 3.

163. Kiriazov P., Marinov P. Control synthesis of manipulator dynamics in handling operations // Теоретична и приложна мешаника. 1983 №2.

164. Looze Н., Rothe Н., Schmidt C.-D. Verfaren und Programme zur optima-len Steu erung von Industrierobotem // Z. angew. Math. Und Mech. -1984. V. 64. № 10.

165. Luh J.Y.S., Lin C.S. Optimum path planning for mechanical manipulators // Trans. ASME. J. Dyn. Syst. Measur. And Control. 1971. V. 93. № 3.

166. Marinov P., Kiriazov'P. Synthesis of time optimal control for manipulator dynamics // Теоретична и приложна мешаника. 1984 - № 1.

167. Marinov P., Kiriazov P. A direct method for optimal control synthesis of manipulator dynamics // Preprints of the 9the IFAC World Congress. -Budapest, Hungary, 1984. 226

168. Melikyan A.A. Time optimal control problem with goal point uncertainty // Modeling Techniques for Uncertain Systems. Progress in Systems and Control Theory. Vol. 18. Eds. A.B.Kurzhanski, V.M.Velov. Boston, Birkhauser. 1994.

169. Rajan V.T. Minimum time trajectory planning // Proc. Of the 1985. IEEE Conference on Robotics and Automation. St. Louis. Missouri. 1985.

170. Sahar G., Hollerbach J.M. Planning of minimum time trajectories for robot arms // The International J. of Robotics Research. 1986. V.5. № 3.

171. Sato О., Shimojina H., Kitamura Y. Minimum time control of a manipulator with two degrees of freedom // Bull. JSME. 1983 - № 218.

172. Sato O.,Shimojina H., Yoinara H. Minimum energy control of^a manipulator with two - degree of freedom // Bull. JSME. 1986. V. 29. № 248.

173. Schmitt D., Soni A.H., Srinvasan V., Nagamathan G. Optimal motion programming of robot manipulators // J. of Mechanisms, Transmissions and Automation in Design. 1985. V. 107.

174. Takano M., Sasaki K. Time optimal control of PTP motion of a robot with collision avoidance // Towards third generation robotics. Proc. Of the 3 rd Conference on Robotics ICAR 1987. Versalies. France.

175. Vukobratovic M., Potkonjak V. Dynamics of manipulation robots. Springer Verlag. Berlin. Hidelberg. New York. 1982.

176. Wilson D. J. Isaac's princess and monster game on the circle // J. of Optimization Theory and Aplications. 1972. V. 9. No. 4.

177. Worsman R. H. A discrete game with a mobile hider // Differential Games and Control Theory / New York: Marcel Dekker, 1974.

178. Zhang W., Wang R.K.C. Collision free time optimal control of a two -link manipulator // Inter. J. of Robotics and Automation. 1986. V.l. № 3.