Синтез фильтра пониженной размерности для динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение.

Г л а в а I. Алгоритм субоптимального оценивания. Оптимальное преобразование гильбертовых пространств.

§ I. Оптимальное линейное преобразование гильбертовых пространств.

§ 2. Уравнения приближенной динамики.

Оценка вектора состояния системы.

§ 3. Уравнения для ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации

§ 4. Оценка нормы ковариационной матрицы ошибки суб оптимальной фильтрации.

Г л а в а 2. Исследование структуры матрицы оптимального преобразования. Задача с неполной информацией.

§ 5. Оптимальное преобразование вектора состояния динамической системы в скалярную величину.

§ 6. Оптимальная матрица преобразования в задачах с неполной информацией

§ 7. Субоптимальное оценивание в установившемся режиме.

Одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов современной теории стохастического управления является теория фильтрации или теории оценок. Известны две взаимосвязанные прикладные задачи: оптимальной оценки и опти -мального управления физическими процессами при воздействии случайных возмущений и случайных ошибок в измерительных устройствах. Задача оценки заключается в аппроксимации поведения процесса по данным зашумленных измерений, наи -лучшей в смысле выбранного критерия, имеющего ряд функции от ошибки оценки. Задача управления состоит в определении входных управляющих воздействий рассматриваемого процесса для достижения определенной цели. Эти две задачи объеди -няют близость используемых математических методов, а глав -ное то, что первым шагом при отыскании управления обычно является оценка, то есть для эффективного управления процессом необходимо знать текущее поведение системы.

Теория фильтрации или теория оценок находит широкое применение для решения практических задач, оптимизации в различных отраслях науки и техники [5, 8, 14, 20, 21, 26, 30, 43-48, 53-55, 58, 60, 68, 69, 71, 72 j . Здесь и задачи навигации [5, 14, 54, 55, 46-48] и наведения [ 8 ] , задачи управления высотой полета и анализа данных после полета самолета или космического аппарата [43 J , задачи связи и радиотехники £ 26, 60 ] , задачи управления крупномасштабным производством [ 53 J .

Первые работы, положившие начало современной теории фильтрации, появились еще в сороковых годах. Это были работы Колмогорова [ 24 J и Винера [$б] , в которых они рассматривали стационарные процессы на бесконечном интервале наблюдений. В случае непрерывного времени полу -чено интегральное уравнение Винера-Хопфа, определяющее весовую функцию фильтра, оптимального в смысле среднеквадратичной ошибки.

В шестидесятых годах появляются работы Калмана и Бьюси [22, 85-87 ] , которые внесли существенный вклад в раз -витие теории оптимальной фильтрации. В этих работах авторы обобщили теорию Колмогорова-Винера на случай нестационарных процессов. В алгоритме фильтрации Калмана для дискретных систем и алгоритме фильтрации Калмана-Бьюси для непрерывных систем ^ -мерный вектор состояния системы задается конечно-разностным уравнением в дискретном случае к.) + KjbTft), sc (o)~oc0 (I) или дифференциальным уравнением в непрерывном случае ft)x, fi)Qft)^ ft), * fa) где %-Cj) 7 J- £ - неизвестный Л--вектор состояния, tS (J) 7 Ju - ^ 7 f>- вектор возмущения типа белого шума с нулевым средним и известной неотрицательной интенсивностью &ft) , переходные матрицы ^ ? ^fat т и aft) имеют соответствующие размерности, ~£0 " начальное время, 310 - гауссовский вектор, ///ЪСо]- «2© 7

ЧГхо Яс'] .

Уравнение измерений ^ fc) имеет вид у ft) = HC-tJotfr) -ffrft) (2) в непрерывном или дискретном случае, где ТУ^г) т. -вектор типа белого шума с нулевым средним и известной положи -тельно определенной матрицей интенсивности ЯН). Вектора

Х0 » t*Tff) > t^ft)- взаимонезависимы. Для такой модели авторами построен оптимальный в смысле среднеквадратичес-кого критерия качества алгоритм оценки.

Предложенный Калманом алгоритм фильтрации кроме ли -нейности системы (I) - (2) и (I1) - (2) еще имеет и положительную определенность матрицы Ы). Существенно также, что возмущения fe)vi ^ft) являются гауссовскими белыми шумами. Позже рядом авторов [ 29, 32, 33 и др. ] рас -смотрен случай вырожденной матрицы . В работах £ 12,

61, 62, 78 ] шумы в измерении или состоянии не являются белыми, но генерируются белым шумом. В £ 76 } для таких систем предложен метод расширения вектора состояния. В [ 32 ] на основании метода регуляризации А.Н.Тихонова £67 ] рассмотрено обобщение метода фильтрации по Калману-Быоси в случае белого вырожденного и цветного шумов.

Для нелинейных систем получены алгоритмы нелинейной фильтрации [ 30, 57, 70 и др.} Способ решения задачи нелинейной фильтрации предложен Стратоновичем £ 65 ] .Но полученное им уравнение для апостериорной вероятности со -держало неточность. Кушнер [90 ] исправил эту неточность. Затем Быоси [ 77 ] доказал этот результат более строгим путем. Основная трудность алгоритмов нелинейной фильтрации, обусловлена решением дифференциальных уравнений в частных производных. Были предложены различные методы решения этих уравнений [ 7, 70, 84 и др. J . Кроме того, попытки непосредственно распостранить методы рекуррентной фильтрации на нелинейные системы натолкнулись на принци -пиальную трудность [ 90 ] , заключающуюся в том, что оптимальный нелинейный фильтр, обеспечивающий минимальную среднеквадратическую ошибку, оказывается бесконечномер -ным, а значит, физически нереализуемым. Поэтому все pea лизуемые фильтры суть конечномерные аппроксимации оптимального фильтра, из-за чего их иногда называют субоптимальныГ ми. Ааким образом, стандартным подходом к решению задач оптимальной оценки состояния для нелинейных систем являет -ся линеаризация уравнений, а затем применение алгоритмов линейной фильтрации.

Алгоритм линейной фильтрации Калмана для дискретных систем и алгоритм фильтрации Калмана-Бьюси для непрерывных систем, изложенные в [ 2, 6, 8, 21, 27, 28, 30, 39, 44, 54, 55, 57, 63 J , требует вычисления матрицы передачи фильтра К СЪ) , которая определяется соотношением:

К ft) = t MH'Wfy, где -Р/У - 'ковариационная матрица ошибки размерности KLXYL , удовлетворяющая матричному дифференциальному уравнению Риккати. Как видно из уравнения оптимального фильтра Калмана-Бьюси [ 7, 17, 20, 21, 39, 57 J первым этапом на пути численной реализации алгоритма получения оценки является решение уравнения Виккати. Существует мно -го методов решения этого уравнения: метод Рунге-Кутта, метод Адамса, метод Ньютона и его различные модификации 9, 31 ] . Все эти методы в той или иной степени стра -дают недостатками, такими как переполнение памяти ЭВМ из -за большой размерности вектора состояния, недопустимым за -тратам машинного времени и, кроме того, они имеют тенден -цию к расходимости и не могут решать задачу фильтрации в реальном масштабе времени.

Размерность вектора состояния является главным факто -ром, определяющим требования к ЭВМ в реальном времени. При известных измерениях фильтр, в котором обрабатывается век -тор всех переменных состояния, может потребовать так много вычислительных операций, что фактически удается использовать только часть располагаемых измерений. Все это приво -дит к необходимости поиска оценок состояния системы пусть не оптимальных, но таких, что алгоритм их получения доста -точно просто реализуется в реальном масштабе времени. Следует отметить, может оказаться, что фильтр, в котором ис -пользуется вектор меньшего числа переменных и все измерения, будет оптимальным. Поэтому, фильтры порядка меньшего, чем вектор состояния или фильтры пониженного порядка или субоптимальные фильтры все больше привлекают внимание.

Если уравнения канала наблюдения линейны, то оптимальная система оценки вектора состояния должна иметь ту же размерность, что и объект. Но если этот объект очень сложен и его размерность велика, то задача построения оптимального фильтра или вычисления оптимальной оценки состояния объек -та оказывается далеко не тривиальной. Поэтому с практичес -кой точки зрения важно рассмотреть субоптимальные проце -дуры построения оценок, в которых ограничения наклюдывают -ся на допустимую сложность системы оценки или на объем необходимых вычислений. Один из подходов к решению этой задачи состоит в том, чтобы воспользоваться декомпозицией вектора состояния на несколько подвекторов С 2 ] .В этом случае вместо того, чтобы строить оптимальную оценку всего вектора состояния, нужно разбить этот вектор на части и по -строить его субоптимальную оценку, разумным образом объеди -няя оценки, построеннные для каждой из этих частей. Другой подход заключается в построении дополнительного канала на -блюдения, позволяющего расширить число наблюдаемых параметров системы £ 2, 74, 83, 91 J .В этом случае система оценки распадается на две самостоятельные подсистемы. Первая из них динамическая связанная с наблюдаемым вектором состояния линеным преобразованием. А вторая подсистема представляет из себя дополнительный канал наблюдения, поз -воляющий воспроизвести вектор состояния объекта по измере-. ниям и вектору состояния системы наблюдения. В работах 60, 79, 81, 88, 89 J рассмотрено субоптимальное оценивание, где размерность вектора состояния и порядок фильтра одинаковы.

Субоптимальные фильтры, использующие вектора пониженной размерности, привлекают к себе последнее время все больше внимания [ 16, 40-42, 64,70,80, 82, 93, 94, 97 ] . Это и понятно, так как размерность вектора состояния глав -ным образом определяет требования к ЭВМ в реальном масштабе времени, как это уже было отмечено выше. В работе [ 95 ] рассматривается задача оценивания некоторого подпространства состояний. Исследование фильтра минимального порядка при дискретных измерениях выполнено в работах [15,40-42, 75,92,94 J . В[40) предложен метод синтеза субопти -мального фильтра заданного порядка для оценки состояния в линейных непрерывных и дискретных динамических системах, в работах [ 41,42 ] этот метод распостраняется на динами -ческие системы, заданные стохастическими дифференциальны -ми уравнениями, при условии что в дискретные моменты вре -мени наблюдается вектор компонента которого есть линей -ная комбинация компонент вектора состояния динамической системы. При этом задача понижения порядка системы решается на основе критерия наилучшего приближения исходной си -стемы системой меньшей размерности, независимо от задачи синтеза оценки для системы пониженной размерности. В рабо -те [16 ] изложена задача синтеза субоптимальных фильтров пониженного порядка на основе критерия, характеризующего качество получающихся при этом оценок. В работах [49 , 73] предложен субоптимальный алгоритм оценивания состояния и параметров нелинейных дтнамических систем.

В известной нам литературе, где рассматривается задача построения фильтра пониженной размерности для модели (I')-(2), позволяющая значительно сократить объем вычис -лений по сравнению с обычным фильтром Калмана, как прави -ло, не рассматривается вопрос об оптимальном выборе преоб -разования вектора состояния сс{ь)ъ вектор пониженной раз -мерности. Влияние оптимального преобразования на вычисление ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации не исследовано. Нет оценок нормы ковариационной матрицы ошибки.

Поэтому представляется актуальным рассматривать вопрос об оптимальном преобразовании вектора состояния в век -тор меньшей размерности, выявить влияние этого преобразова -ния на алгоритм вычисления ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации, получить оценку нормы кова -риационной матрицы.

Цель данной работы состоит в построении для систе -мы (I')-(2) алгоритма субоптимальной фильтрации с уче -том оптимального в смысле среднеквадратического критерия качества, преобразования вектора состояния в вектор пониженной размерности, получении операторных уравнений для ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации; применение полученного алгоритма к задачам с неполной ин -формацией; нахождение оценки нормы ковариационной матри -цы ошибки субоптимальной фильтрации, позволяющей судить об эффективности предлагаемого метода.

Поставленная задача решалась с использованием тео -рии матриц [I, 4, 10 ] , теории устойчивости [ 13, 19,J теории обыкновенных дифференциальных уравнений f 13, 18,

34, 50 ] , теории случайных процессов [II, 51, 52, 56 J , функционального анализа [ 3, 23, 25, 66 J .

Работа состоит из введения, двух глав (7 параграфов), заключения, списка литературы (97 наименований) и с одер -жит 102 страницы машинописного текста.

Во введении проведен обзор работ по теории оптимальной и субоптимальной фильтрации, показана актуальность исследований для задач теории и практики.

Первая глава состоит из четырех параграфов. В этой главе построен алгоритм субоптимальной фильтрации на осно -ве оптимального линейного преобразования гильбертова про -странства в гильбертово пространство меньшей размерности. Оптимальность понимается в смысле среднеквадратичеекого критерия качества. В § I рассматривается линейное преобра -зование, понижающее размерность вектор-функции как элемен -тов гильбертова пространства. Получено необходимое условие оптимальности для матрицы такого преобразования. В качестве обратной матрицы к матрице оптимального преобразования, понижающего размерность вектора, выбрана псевдообратная матрица. На основе линейных операторов в § 2 найдены уравнения приближенной динамики системы (1)-(2) и построен алгоритм субоптимального оценивания в случае оптимального преобразования вектора состояния. Уравнения для ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации при оптимальной матрице преобразования понижающего размерность вектора получены в § 3. В § 4, на основании неравенства Важевского 13 J , для каждого момента времени получены оценки нормы ковариа -ционной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации и ряда других матриц ее определяющих, в том числе оценка по норме матрицы передачи фильтра Калмана. Здесь же рассмотрен случай стационарных, ассимптотически устойчивых динамических

- II систем и найдены численные оценки по норме соответствующих матриц в этом случае.

Вторая глава работы состоит из трех параграфов. В этой главе проведены исследования оптимальной матрицы преобразования, понижающего размерность вектора состояния динамической системы. В § 5 рассмотрена матрица-строка №) оптимального преобразования вектора в скаляр. Показано, что ковариационная матрица ошибки субоптимальной фильтрации зависит лишь от отношения // L 7J ^ ^^^ ? ^/■> при любом фиксированном ь . Здесь /Х- - число элементов строки . Использование субоптимального алгоритма в задачах с неполной информацией рассмотрено в § 6. Под неполной информацией здесь понимается недостаток информации или вообще ее отсутствие об исходных данных, то есть вектор состояния динамической системы измеряется частично. В таких задачах оценка строится не всего вектора состояния, а лишь его части. Здесь же приведено несколько частных случаев и выявлена структура матрицы оптимального преобразования в зависимости от структуры ковариационной матрицы состояния системы. Последний параграф (§7) главы 2 посвящен субоптимальной оценке в случае постоянной матрицы оптимального преобразования, понижающего размерность вектора состояния в установившемся режиме. Рассматривается конкретный пример.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, получены следующие результаты:

1. Найдено условие оптимального линейного преобразо -вания гильбертова пространства в гильбертово пространство меньшей размерности (I.I.8). Это условие представляет собой нелинейную алгебраическую зависимость элементов матрицы преобразования через элементы ковариационной матрицы вектора состояния . Элементы матрицы АУ имеют явную зависимость от элементов матрицы /Чалишь в двумерном случае.

2. Построен оператор отображения {L 9 ) пространства в пространство ( ) для вектора состоя ния динамической системы осШ е Zt, который дает возмож -ность перехода к системе пониженной размерности.

3.Предложен алгоритм для решения задачи субоптимальной фильтрации (I.2.I5)-(I.2.I6), использующий матрицу преобра -зования, понижающую размерность состояния динамической системы. При этом структура этого субоптимального фильтра похожа на структуру оптимального фильтра Калмана, хотя по сути это не фильтр Калмана.

4.Получена компактная система линейных дифференциаль -ных уравнений CI.3.II)—(1.3.14), определяющая ковариационную матрицу ошибки субоптимальной фильтрации. При этом использовано условие оптимальности (I.I.8).

5. Получена система рекуррентных соотношений (1.3.23)-(1.3.26) для дискретных моментов времени, определяющих ковариационную матрицу ошибки субоптимальной фильтрации.

6. Получена оценка нормы ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации для любого момента времени (1.4.7),(1.4.22),(1.4.31). Так как ковариационная матрица ошибки характеризует качества работы фильтра, то по этой оценке можно судить в каждом конкрнтном случае об эффектив -ности метода субоптимального оценивания.

7. Получена оценка нормы матрицы передачи фильтра Калмана .16), которая необходима для получения оценки нормы ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации.

8. Для стационарных, устойчивых систем найдена оценка ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации в установившемся режиме.

9. Доказано, что при определенной структуре матрицы оптимального преобразования вектора состояния системы, а именно в случае матрицы-строки, для определения ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации достаточно знать решение элементов оптимальной матрицы строки.

10. Получена зависимость элементов матрицы оптималь -ного преобразования от элементов ковариационной матрицы состояния динамической системы в случае некоторых нулевых элементов оптимальной матрицы-строки.

11. Для случая, когда матрица оптимального преобра -зования является двумерной строкой, получена явная зависимость отношения элементов этой строки от элементов ковариационной матрицы состояния динамической системы t£.5.4).

12. Рассмотрен вопрос выбора оптимальной матрицы преобразования, поникающего размерность вектора состояния в за -дачах с неполной информацией, то есть когда измеряются не все компоненты вектора состояния. В этом случае получено необходимое и достаточное условие того, чтобы оптимальная матрица имела блочную структуру вида квадратная матрица и нулевая (2.6.25). Построена система линейных дифференциальных уравнений, определяющих ковариационную матрицу ошибки субоптимальной фильтрации.

13. Решена задача субоптимального оценивания векто -ра состояния динамической системы в установившемся режиме.

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М., Наука, 1977, 223 с.

2. Аоки М. Оптимизация стохастических систем. М., Наука, 197I, 424 с.

3. Балакришнан А.В. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. М., Мир, 1974, 259 с.

4. Беллман Р. Введение в теорию матриц. 2-е изд. М., Наука, 1976, 351 с.

5. Богуславский И.А. Методы навигации и управления по неполной информации. М„, Машиностроение, 1970, 256 с.

6. Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления. М., Мир, 1972, 544 с.

7. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М., Наука, 1980, 200 с.

8. Бэттин Р. Наведение в космосе. М., Машиностроение, 1966, 448 с.

9. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремаль -ных задач. М., Наука, 1980, 520 с.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 2-е изд.М.,Наука, 1967,575 с.

11. Гихман И.И.,Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М., Наука, 1977,567 с.

12. Гулько Ф.Б., Новосельцева Ж.А. Решение нестацио -нарных задач фильтрации и упреждения при произвольной помехе методом моделирования. Автомат, и телемех., 1966,1. Ю, с. 153-168.

13. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., ааука, 1967, 472 с.

14. Дмитриев С.П. Нелинейные задачи обработки навига -ционной информации. Научные трудь^ШИ механики МГУ, 1973, №29, с. 153-157.

15. Домбровский В.В. Метод синтеза субоптимальных фильтров пониженного порядка для дискретных линейных динамических систем. Автомат, и телемех., 1981, HI,с.66-73.

16. Домбровский В.В. Синтез фильтра пониженного порядка оценивания состояния динамических систем. В сб. Математическая статистика и ее приложении. Томск, 1980, 1(6, с.88-93.

17. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М., Наука, 1970, 703 с.

18. Зубов В.И. Теория уравнений управляемого движения. Л., изд.ЛГУ, 1980, 288 с.

19. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М., Наука,1975, 496 с.

20. Казаков И.Ф., Артемьев В.М. Оптимизация динами -ческих систем случайной структуры. М., Наука, 1980, 381 с.

21. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управ -ления в пространстве состояний. М.,Наука,1975, 432 с.

22. Калман Р.Е.,Бьюси Р.С. Новые результаты в линей -ной фильтрации и теории предсказания. Техническая механика, 1961,№1, сер.Д., с.123-141.

23. Ковригин А.Б. Математический анализ динамических систем, учебное пособии. Л.,Изд.ЛГУ,1980, 155с.

24. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирова -ние стационарных случайных последовательностей. Изд.АН СССР, сер. мат.,1941, №5, с.3-14.

25. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1976,543 с.

26. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. 2-е изд. М., Наука, 1975, 550 с.

27. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. М., Наука, 1966.

28. Лившиц Н.А., Виноградов В.Н., Голубев Г.А. Корреляционная теория оптимального управления многомерными процессами. М., Сов. радио, 1974, 327 с.

29. Липцер Р.Ш. Уравнение почти оптимального фильтра Калмана при особенной матрице ковариации шума в наблюдениях. Автомат, и телемех., 1974, № I, с. 35-41.

30. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы. М., Наука, 1974, 696 с.

31. Лосева Н.В. Исследование нестационарных дифференциальных уравнений Риккати при помощи рядов Вольтерра. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.мат. наук. (ЛГУ им.А.А.Жданова, каф.Вымшей математики). Л., 1981, 104 маш.листов.

32. Ляшко И.И., Диденко В.П.,Цитрицкий С.Е. Фильтрация шумов. Киев.,Наукрва думка,1979, 232 с.

33. Ляшко И.И., Диденко В.П., Колос И.В. О задаче фильтрации при наличии цветного шума. Докл.АН УССР,сер.А, 1977, Ш, с. 744-747.

34. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск., Вышэйшая школа. 1974, 766 с.

35. Малинина Т.Б. Построение субоптимальных оценокв задаче фильтрации. В сб. Проблемы управления, Ji., 1983, с. 2-7. Рукопись деп. в ВИНИТИ 21.03.83,№1421-83 Деп.

36. Малинина Т.В., Смышляева Л.Г. Один метод построе -ния субоптимального фильтра. В сб. Математические методы оптимизации управления в сложных системах. Калинин, 1982,с.139-151.

37. Малинина Т.В., Смышляева Л.Г. Оценка нормы кова -риационной матрицы в задаче субоптимального оценивания.

38. В сб. Некоторые задачи навигации и управления. М., Изд. МГУ, 1983,с.95-102.

39. Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. М., Энергия, 1973, 440 с.

40. Овчаренко В.Н. Субоптимальный фильтр для оценивания состояния непрерывной линейной системы по дискретным измерениям. Автомат, и телемех. 1980, Ш.

41. Овчаренко В.Н. Синтез субоптимального фильтра заданного порядка. Автомат, и телемех. 1978, №5, с.45-51.

42. Овчаренко В.Н. Субоптимальное оценивание состояния непрерывной линейной системы с дискретным измерен:ем. В те -матическом сборнике научных трудов Московского авиационного института, 1979, № 486, с. 71-78.

43. Олдрич Г.Т., Кребилл У.Б. Применение Калмановской фильтрации к радиолокационному сопровождению самолетови ракет. Ракет, техника и космонавтика. 1973, II №7, с 46-53.

44. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М., Мир, 1973, 322 с.

45. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М., Сов. радио, 1976, 184 с.

46. Парусников Н.А., Морозов В.М., Борзов В.И. Теория навигационных систем. М., изд.МГУ, 1980, 228 с.

47. Парусников Н.А., Морозов В.М. Прикладные методы оптимизации. Учебное пособие. М., Изд.МИРЭА,1977, 65с.

48. Парусников Н.А., Морозов В.М., Борзов В.И. Задача коррекции в инерциальной навигации. М., изд. МГУ,1982,175 с.

49. Перельмутер В.М. Субоптимальный алгоритм оценки параметров и состояния динамических систем. Автомат, и телемех., 1973, №12, с.52-59.

50. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1974, 231 с.51.„Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая стаистика. М., Наука, 1979, 496 с.

51. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее при -менение к задачам автоматического управления. М., Наука, 1962, 883 с.

52. Рейбман Н.С., Чадеев В.М. Построение моделей процессов производства. М., Энергия,1975, 375 с.

53. Ривкин С.С. Методы оптимальной фильтрации Калмана и его применение в инерциальных навигационных системах. Ji., Судостроение, 1973, ч Л,

54. Ривкин С.С. Методы оптимальной фильтрации Калма -на и его применение в инерциальных системах. ч.2,Л., Судостроение, 1974, 156 с.

55. Розанов Ю.А. Введение в теорию случайных процес -сов. М., Наука, 1982, 128 с.

56. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М., Наука, 1978, 552 с.

57. РойтенбергЯ.Н. Идентификация и оценивание состояния нелинейных систем. В сб. Некоторые вопросы навигации и управления. М.,1980, с.4-28.

58. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М., Наука, 1968, 464 с.

59. Сейдж Э., Меле Д. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М., Связь, 1976, 496 с.

60. Смышляева Л.Г. Алгоритм оптимального предсказания в дискретных системах. Техн. кибернетика,1981, №1,с. 175-179.62Смышляева Л.Г. Оптимальная оценка гауссовской марковской последовательности второго порядка. Вестник ЛГУ, 1981, №7, с.62-67.

61. Современная теория систем управления ( Под ред. Леондеса К.Т.)М.,Наука, 1970, 512 с.

62. Соколов А.И., Юрченко Ю.С. Субоптимальная дискретная фильтрация случайных процессов. Известия ВУЗов. Радиоэлектроника, 1979, 22, №7, с. 83-86.

63. Стратонович P.JI. Условные марковские процессы и их применение в теории оптимального управления. М., изд. МГУ, 1966, 319 с.

64. Талдыкин А.Т. Элементы прикладного функционального анализа. Учебное пособие. М., Высшая школа, 1982, 382 с.

65. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1979, 228 с.

66. Тихонов В.И. Нелинейная фильтрация и квазиопти -мальный характер автоподстройки частоты. Изв.АН СССР. Техн. кибернетика, 1965, ff°2, с.81-101.

67. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М., Сов. радио, 1975, 704 с.

68. Фильтрация и стохастическое управление в динами -ческих системах (под ред. Леондеса К.Т.) М., Мир, 1980, 407 с.

69. Юдин Д.Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. М., Сов. радио, 1974, 339 с.

70. Цыпкин Я.З., Попков 10.С. Теория нелинейных импульсных систем. М., Наука, 1973, 416 с.

71. Шин В.И. Субоптимальный алгоритм оценивания состояния и параметров многомерных непрерывных нелинейных систем. Автомат, и телемех., 1984, № I, с. 101—106.

72. V/. Joki М. ctsvcL HuoloLle. У. И. £$ilh*.oCtLon-Игл. sitite- vecyto^c оф сх iitbO-скл. g^oc-bustcc, syitetn. wtth. oc cx>n£t<c€bln.e.cL esit/ncttor, IE £ £ Tt-cuts. 4ut. CorCtwt,

73. ДС-te, Wi*/ 9 />. ИЛ^ЬЪ (AufubiiBil).rs. Jskzx. А. в., /Leaves А.А/. J£££

74. T^ctn-b. Лъъо. Mea. Sys.; J£S-H, 400 (WS)4. BcSWPLZ MiouSc$ J./С.ct-i^oiCt/ttn* ^on^^C^acLx.

75. SMvcrtking. £ Ъсес&. JewJ^oL&JL

76. У/. Scre^ Jforuicrvaast. JtiietLvq -theory

77. J£££ Tx-ccn,^. on* Jlu-tom. toni^o-i.

78. U ЛС-iO } /965~9 j>% M, ЯЛ. Ор-£ст.<кЛ JtH&i-iH'Cj Jo*c.n,Otg£. . — У. Mailt. Jlbvc^-i. frbvoL Af>f>£. jZ0?• J-8.

79. G^/fin- AS. , Sage. J. P. ТЕ EE T^cuuz . Jf-uto. Con,bc.fго. QeM J. fed J J-ff-tuoL 0/otiM.cU.

80. Bzicntcctiotu; /С/7 7* РЧЛ4-1, Ссспиё^лоС^Л}1. Mcmcu^usedfa > /9W.

81. HuUolz X IffE Тчлиь*. J/uio. С out.1. Я9 Af>tf>*4to ХЖ; Hoy ИХ1 £EF 9 ASS' Ж Г, p.fj. Уоксси&е-Уь. & /Г. Of-бСмбкЛ. tiotJ^o^ytifL sysizws with. tohbp'te.DLl'tglet. LcU.}

82. SbfA-v-ctyUOL. P-Ze-cstv-e^Uc. Syi- tentf, -alon-e^f Рч-oelutrts)

83. KoU&ctlv /. / rCuts -Ыг*се.е. plztCLalM £><(-£с'п.е.ссл~ fe-Bie-^ny -t/тло^. -IEIFF Тчоьщ Чи^' Тке-оъу, f AO? p. -//У.ft>~ к. В. Л пгит 0Lfop4.oct(^h. to <£inecvt.fci-tescincj CCKPL p-x&Uittivn- .

84. Ttotw. JS/Sf , } sir. p OS-ior.f6. Карман. Я.Е. Jfew nie-thod-i ctneL ъ-езьсбЬ*

85. CHL -CcnAGVi. /t Z^e ^CbLOt p i<L tlOh$•ikboty. Tee^/t. kept 4961, 6i-1

86. KcUma-H. Я. E., Я. JK&US чмиЛ-Н in,ttve.ctA- J-i'tie'cCybg ссгъеС psi£&U(Ucon. -ih-ystg. Thorns. Jt.S.ME., Y96J,p- $5*- -fO}s^ecte. ei-irc пи&Ьоъ. -xU JAfA Сои-tv. T/je-Oxg Pvez, Ce>nf.

87. ConU. Tkeoty, Ske^i-ed, love/on , Y9M? <P<M- <P<P9.^0-eCLCt, SuSofte^d&ty cxfytocUQ-•fcce. systems: street touted- "U.^GJtz.tcbinstc^ Ctyu£ LH,if4«CHyLCctCOtt- «Ubistbts.

88. Ku&fvex. H. У. 0n, oCtf'fviJL'LttouL-я^иаЛСоиЛ sot^tc^ceoL i^r CoKclUconeUdzbbyL^iet c^f. Мял, zo\sръэемт nsctk. afptitor+cc**. tf SIM Co>d., Svc. /9*4

89. M buuetvfesiepsL S -(rtvc state.1. SyS-fetPt. 7'V^ff.1. Mi fr/revzy F г e tton.1. ЛръсС /964J

90. УГ&зЖ A. t d'JtfpUito Hoy * .y.

91. Л n -e^c /fcLvt^frttpn- fgstefifS.- £14/} t Pc^^u У° fe J4S, /$12 t

92. Hedueeai. fottfL^^ ^rth- strbtsL ^^ /W ЛснЛ. Jutoyyv.0*4.} Pkc&eCUfkiCL, Pec, mf,

93. PftChb&st a^ci zu4eftL>ru>JL «ccstoLii Ck- auvoC - d^cei&^t Ръое. ДиЛояъяЛг.

94. Ио^^ыан- Т^б^сл. in, Theoryotn.d fyp-UicUioHS t>J KtU^CLn--ctnp^ (в.Г eof.J, 4 GAILtoof^ctpA /39 /е го,

95. Юплъ ж. TU FKt*ieLf>0<bcbcoK t, Уи,i-e^tp0 €CL.tco^ auu?{ ^oetkeng ^1. МсЖопщу TCWul ; /к у.

96. H^ttson. % J- , А/с'Ль-ъо- Я. Ж"1. OtotfL -ut L n^LltDms4W-4S6.