Количественные характеристики хаотических колебаний, прошедших через линейные инерционные цепи тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

/Г// . ^ / ^ у ^

^ / е/ - / / Р^/ 0 ^

Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского

На правах рукописи

К03ЛЕНК0 Егор Львович

КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ, ПРОШЕДШИХ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ИНЕРЦИОННЫЕ ЦЕПИ

01.04.03 — радиофизика

>

Диссертация на соискание ученой степени * кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: к.ф-м.н., доцент

КИПЧАТОВ Алексей Александрович

Саратов —1999

Содержание

Введение....................................4

1 Хаотические колебания в линейных фильтрах 15

1.1. Характеристики хаотических колебаний . . . ...............15

1.1.1. Методология исследований....................15

1.1.2. Восстановленные аттракторы и их сечения ..........18

1.1.3. Ляпуновские характеристические показатели и гипотеза Каплана-Иорка ..................................22

1.1.4. Размерность..............................................24

1.1.5. Энтропия................ . . .............29

1.2. Выбор параметров.................................35

1.3. Линейная фильтрация............................................38

1.3.1. Цифровые фильтры......................................39

1.3.2. Радиофизические фильтры..............................45

1.4. Выводы............................................................48

2 Закономерности изменения размерности аттрактора хаотических колебаний при линейной фильтрации 50

2.1. Возрастание размерности хаотических колебаний при линейной фильтрации (обзор литературы) ......................50

2.2. Методология исследований...............................53

# ■

2.3. Нерекурсивные фильтры .....................................55

2.4. Рекурсивные фильтры..............................59

2.4.1. Суперфрактализация в каскадах...............60

2.4.2. Суперфрактализация в потоках........................62

2.5. Цифровые фильтры высокого порядка..........................64

2.6. Выводы...................................70

3 Закономерности изменения энтропии хаотических колебаний при линейной фильтрации 74

3.1. Корреляционная энтропия ......................................74

3.1.1. Фильтр первого порядка................................74

3.1.2. Фильтр высокого порядка........................78

3.2. Информационная энтропия......................................82

3.3. "Физический" и "информационный" смысл поведения энтропии ................................................84

3.4. Выводы............................................................86

4 "Реставрация" хаотических колебаний, искаженных линейными фильтрами (антифильтрация) 87

4.1. Постановка задачи........................ 87

4.2. Метод ............................... 87

4.3. Антифильтрация в каскадах.................. 92

4.4. Антифильтрация в потоках................... 96

4.5. Выводы..............................109

Заключение...............................110

Благодарности.............................113

Список литературы..........................114

Введение

Актуальность исследуемой проблемы

В последние десятилетия отмечается бурное и успешное развитие нелинейной динамики - междисциплинарной науки, в задачу которой входит выявление закономерностей колебательного и волнового поведения различных по природе систем, например, радиофизических [1, 2, 3], механических [4, 5], биологических [6, 7], экономических [8] и других систем [9, 10, 11, 12] (это работы М.И.Рабиновича и Д.И.Трубецкова; Ю.И.Неймарка и П.С.Ланда; В.С.Анищенко; А.С.Дмитриева и В.Я.Кислова; Г.Шустера; Ф.Муна; Л.Гласса и М.Мэки; П.Берже, И.Помо и К.Видаля; Т.С.Ахромеевой, С.П.Курдюмова, Г.Г.Малинецкого и А.А.Самарского; Е.Федера; А.А.Короновского и Д.И.Трубецкова и др.). При этом стандартным подходом является построение математических моделей реальных систем на основании априорной информации о составляющих системы и о типе взаимодействий между ними. В случае, когда такая информация отсутствует, исследуемая система представляет собой "черный ящик" и для анализа оказывается доступной лишь временная реализация единственной переменной состояния. В такой ситуации делаются попытки построить модель на основании анализа временных реализаций системы, используя метод глобальной реконструкции [13, 14, 15]. На основании этих данных делаются попытки аппроксимировать реальную систему модельной динамической системой и осуществлять предсказание ее будущего поведения [16,17,18].

Эта задача чрезвычайно сложна, поэтому часто приходится ограничиваться извлечением определенных характеристик из исследуемого процесса, на основании которых можно будет делать какие-либо выводы о системе, например, о ее динамической природе (в отличие от стохастической), о размерности (число переменных состояния) и т.д. В связи

с этим за последние десятилетия был разработан ряд методов, хорошо зарекомендовавших себя в области анализа сложного поведения систем по временным рядам и получивших широкое распространение среди исследователей. Это прежде всего метод восстановления аттрактора динамической системы, основанный на результатах Н.Пакарда, Ф.Такенса и др. [19, 20], метод оценки корреляционной размерности, предложенный П.Грассбергером и И.Прокаччиа [21], метод оценки ляпуновских характеристических показателей, предложенный А.Вульфом с соавторами [22], метод оценки размерности вложения, предложенный Д.Брумхедом и Д.Кингом [23] и ряд других методов.

Но даже задача определения характеристик сложных колебаний вызывает массу трудностей, так как на практике любые методы оказываются: чувствительными к выбору параметров. В связи с этим, большое число работ посвящено проблеме обоснования выбора параметров, критичных для перечисленных методов. Это работы, касающиеся нахождения достаточной размерности вложения [24, 25, 26], выбора времени восстановления [27, 28, 29], числа отсчетов временного ряда [30, 31].

Следует отметить, что при исследовании реальных систем по выходным колебаниям как правило неявно предполагается, что сигнал (на выходе "черного ящика") предстает в неискаженном виде. На самом деле может оказаться, что сигнал, порожденный динамической системой, прежде чем попасть на выход "черного ящика", прошел через преобразователи, обладающие частотнозависимыми характеристиками в полосе частот исследуемого сигнала. Такие системы, попросту говоря фильтры, чрезвычайно распространены в области обработки и распространения сигналов. Это датчики, АЦП, инерционные или дисперсионные среды, системы с переотражениями, узкополосные линии передач, резонаторы и многие другие. Кроме того, различные фильтры специально включают в системы обработки сигналов с целью избавиться от шумов, присутству-

- б -

югцих в реальном сигнале.

Таким образом, вольно или невольно, исследуемые колебания часто подвергаются фильтрации. Ситуация достаточно проста и не приносит неожиданных эффектов, если исходный сигнал периодический, квазипе-

т

риодический или чисто шумовой. Если же фильтрации подверглись хаотические колебания, то возможно искажение оцениваемых характеристик, в частности, известно, что фильтрация приводит к усложнению фазового портрета хаотических колебаний и возрастанию размерности, на что впервые обратили внимание Р.Бадии и А.Полити [32]. Впоследствии были опубликованы теоретические (например, [33, 34, 35]) и экспериментальные (например, [36, 37, 38]) работы, отражающие эти явления (Р.Бадии, А.Полити, П.Паоли, Ф.Митчке, Т.Сауэр, Д.Йорк, М.Касдагли, Д.Коллинз, Д.Брумхед, М.Дэйвис и др.)

Достигнуты определенные успехи в плане понимания механизма усложнения хаотического аттрактора при цифровой фильтрации [39, 40, 41, 33].

Активно ведутся работы по поиску фильтров, позволяющих повысить соотнощение сигнал-шум, но оказывающих минимальное влияние на аттрактор хаотического сигнала [42, 26, 43, 44]. В частности, предлагаются и непрерывно совершенствуются различные методы адаптивной нелинейной фильтрации [45, 46, 47, 48].

Затрагиваются вопросы, связанные с возможностью устранения искажений хаотических колебаний, вызванных фильтрацией [33, 49].

Знание о характере действия определенных фильтров используются в задачах распознавания природы сигнала (детерменированная, случайная), задачах выделения сигналов из смеси [50, 51], кодировании и декодировании информации [52] и др.

Несмотря на все вышесказанное, в области фильтрации хаотических колебаний остается немало " белых пятен", в частности:

- не до конца изучен вопрос относительно изменения размерности аттрактора хаотических колебаний, прошедших через линейные фильтры.

- не разработан вопрос, связанный с влиянием линейной фильтрации на другие важнейшие количественные характеристики сложности наблюдаемых колебаний, такие как энтропия (здесь особенный интерес вызывают характеристики, определяемые по восстановленному аттрактору).

- остается актуальной задача об устранении или минимизации последствий нежелательной фильтрации и реставрации исходного сигнала, сгенерированного динамической системой.

Настоящая диссертационная работа призвана в определенной степени восполнить перечисленные пробелы, поэтому она является актуальной как с точки зрения фундаментальных исследований в области преобразования хаотических сигналов (и их характеристик) в линейных инерционных системах, так и с практических позиций разработки алгоритмов компьютерной обработки хаотических реализаций с целью выявления и устранения последствий нежелательной (непреднамеренной) фильтрации.

Целью диссертационной работы является исследование распространения хаотических колебаний в линейных инерционных системах (фильтрах), выявление закономерностей изменения качественных и количественных характеристик хаотических колебаний при линейной фильтрации, а также их использование в задачах реставрации хаотических сигналов, искаженных линейными фильтрами.

Методы исследований и достоверность научных результатов. Результаты, представленные в работе, получены путем численного (компьютерного) моделирования. Достоверность полученных результатов подтверждается прежде всего воспроизводимостью результатов численного эксперимента, согласованностью с теоретическими и экспери-

ментальными данными, представленными в литературе. Кроме того, наглядное представление результатов, соответствие элементарной логике и накопленному в этой научной области опыту говорят сами за себя.

Научная новизна. В работе достаточно подробно освещены следующие вопросы, связанные с фильтрацией хаотических колебаний: изменение фрактальной структуры аттрактора, механизмы ее усложнения, влияние фильтрации на характеристики хаотических колебаний, реконструкция хаотических колебаний, прошедших линейные фильтры. Впервые подробно исследовано (и выявлены закономерности) влияние фильтрации на энтропию хаотических процессов. Впервые подробно рассмотрен вопрос о восстановлении исходного вида хаотических колебаний (реставрации), искаженных линейным фильтром и предложена рекурсивная процедура по осуществлению такой реставрации.

Практическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы при решении задач, связанных с устранением искажений, вносимых фильтрами при фильтрации хаотических сигналов. Полученные результаты, связанные с изменением энтропии при фильтрации, могут найти применение при решении задач диагностики сложного поведения динамических систем, системах связи и т.д.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Диссертация содержит 73 страницы текста, 40 рисунков и 10 страниц списка литературы из 103 наименований. Общий объем работы 123 страницы.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, раскрыты предпосылки исследований, сформулированы цель, научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Кратко рассматри-

ваются основные методы, использованные в исследованиях и мотивируется достоверность полученных результатов. Сформулированы и приведены основные результаты и положения, выносимые на защиту, а также сведения об апробации результатов.

Первая глава носит в значительной мере вспомогательный характер и посвящена в основном методологии исследования динамических систем, демонстрирующих хаотическое поведение, по скалярным временным реализациям, регистрируемым на выходе.

В роли основных качественных характеристик сложных колебаний выступают аттрактор и его сечение Пуанкаре. В связи с этим рассмотрена процедура восстановления аттрактора динамической системы методом временных задержек и процедура его сечения (в том числе многократного) отдельно в случае дискретных и непрерывных во времени систем.

Наиболее информативными с точки зрения анализа сложных непериодических колебаний признаны такие характеристики как размерность и энтропия. Среди различных алгоритмов выделены и подробно рассмотрены метод корреляционной размерности и корреляционной энтропии, основанный на вычислении корреляционного интеграла (предложенный П.Грассбергером и И.Прокаччиа), и метод информационной энтропии, основанный на энтропии Шеннона.

Отдельный раздел посвящен обсуждению гипотезы Каплана-Йорка о ляпуновской размерности и основанному на ней объяснению повышения размерности при фильтрации.

В разделе 1.З., приводится описание основных типов цифровых и радиофизических фильтров, которые являются основными объектами исследования в диссертации. Рассмотрены уравнения, описывающие цифровые и потоковые фильтры, принципиальные схемы и характеристики фильтров.

Вторая глава посвящена оценкам размерности аттрактора хаотических колебаний при линейной фильтрации и начинается с краткого обзора литературы, касающейся данной темы. Проведенный анализ накопленной по данному вопросу литературы позволяет сделать вывод о том, что для фильтрованных хаотических колебаний, рожденных в динамической системе характерно увеличение размерности, представленной в виде функции масштаба наблюдения. Уменьшение размерности возможно только на масштабах сравнимых с размером аттрактора.

Далее подробнее рассматривается влияние различных фильтров на размерность аттрактора хаотических колебаний. Исследовано прохождение хаотических сигналов через нерекурсивные и рекурсивные фильтры, на примере низкоразмерных колебаний, генерируемых логистическим отображением в хаотическом режиме. Подтверждено, что такие фильтры оказывают принципиально различное воздействие на исходный хаотический сигнал. Нерекурсивные цифровые фильтры вызывают конечное число расслоений аттрактора и перепутыванию траекторий за счет возможных растяжений и складываний, вследствие чего размерность возрастает на больших пространственных масштабах. Рекурсивные цифровые фильтры приводят к расслоению исходного аттрактора хаотических колебаний сразу на всех масштабах вплоть до бесконечно малых (супер-фрактализация), вследствие чего размерность увеличивается также на всех масштабах, величина повышения размерности в пределе развитого хаоса и сильной фильтрации может достигать единицы в случае фильтра первого порядка. В случае фильтров высокого порядка она сравнима с порядком фильтра.

Исследована фильтрация хаотических сигналов в системах с непрерывным временем на примере системы Ресслера с добавленным простейшим потоковым фильтром первого порядка. Показано, что для систем с непрерывным временем справедливы все выводы, сделанные для цифро-

вых рекурсивных фильтров.

В Третьей главе рассматривается влияние фильтров на оценки энтропии хаотических колебаний.

Существенной особенностью является рассмотрение поведения энтропии как функции размерности вложения в случае корреляционной энтропии (Кс(п)) и длины слова в случае информационной энтропии (/¿П(п)). В случае хаотического сигнала такая функция спадает начиная с п = 1 и затем асимптотически сходится к некоторому положительному значению.

Проведены исследования по оценке энтропии хаотических колебаний прошедших через линейные фильтры на примере отображения Хенона и системы Ресслера, дополненных цифровыми и потоковыми фильтрами соответственно. При этом также как в случае размерности вначале были рассмотрены фильтры первого порядка, затем фильтры высокого порядка, моделируемые цепочками фильтров первого порядка.

Показано, что функция энтропии фильтрованного сигнала сходится к тому же значению, что и функция энтропии исходного хаотического сигнала, т.е. асимптотическое значение энтропии остается неизменным. Характер сходимости энтропии хаотического сигнала к асимптотическому значению определяется параметрами фильтра, а имеено: функция энтропии сдвигается в облать больших п, причем величина сдвига в пределе сильной фильтрации равна порядку фильтра аналогично предельному увеличению размерности в фильтрах высокого порядка.

В Четвертой главе рассматривается проблема реконструкции хаотического сигнала, порожденного динамической системой и искаженного линейным фильтром.

Предложен метод, названный условно "антифильтрация", позволяющий при анализе хаотических колебаний на выходе неизвестной динамической системы выяснить, является ли анализируемый сигнал "зафиль-

и

трованным и в случае, если хаотическии сигнал оказался за�