Количественная оценка сложности колебаний и формирование тестовых хаотических сигналов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского

' • ' На правах рукописи

2 3 ЛОР

КИПЧАТОВ Алексей Александрович

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА СЛОЖНОСТИ КОЛЕБАНИЙ И ФОРМИРОВАНИЕ ТЕСТОВЫХ ХАОТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

01.04.03 — радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов — 1996

Работа выполнена на кафедре электроники и волновых процессов Саратовского государственного университета, в НИИ Механики и Физики СГУ и в Государственном учебно-научном центре "Колледж" СГУ.

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН, профессор Д.И.Трубецков Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.С.Анищенко доктор физико-математических наук, профессор В.П.Пономаренко

Ведущая организация:

Саратовский филиал института радиотехники и электроники АН РАН

Защита состоится 17 мая 1996г. в 10°° часов на заседании специализированного Совета Д063.74.01 по специальности 01.04.03 в Саратовском государственном университете (410026, Саратов, Астраханская, 83).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СГУ.

Автореферат разослан 15 апреля 1996г.

Ученый секретарь специализированного Совета,

кандидат физико-математических наук, доцекЬ /| / Аникин В.М.

Актуальность исследуемой проблемы Огромное количество различных систем (физических, электронных, биологических., социальных и т.п.) являются колебательными или волновыми. Причем простые периодические или, тем более, гармонические колебания и волны рождаются в них как исключение, а правилом для реальных систем является сложная динамика, включающая хаотическое поведение. Именно открытие сложности привело к тому, что подобные системы в последние десятилетия находятся в центре внимания исследователей. ■

Выявлению закономерностей сложного и хаотического поведения способствовало развитие качественных и количествейных методов анализа динамических систем, которое привело к формированию новой междисциплинарной науки — нелинейной динамики. В настоящее время в основном сформировался предмет этой науки. В частности, понятие детерминированного хаоса прочно вошло в современную картину мира.

Помимо фундаментального и даже мировоззренческого значения нелинейная динамика имеет ряд важных практических применений. Например, таких, как разработка новых принципов обработки сигналов (распознавание образов, кодирование-декодирование сигналов, сжатие информации), развитие возможностей нелинейного моделирования, и прогнозирования поведения систем, диагностика состояния различных (механических, физических, биологических, экономических и т.п.) систем по колебаниям, которые они порождают.

Большие успехи, достигнутые в качественной теории динамических

систем и в экспериментальном исследовании низкоразмерной хаотической динамики, связаны с переходом к рассмотрению образов колебаний в фазовом пространстве, например, аттракторов и репеллеров. Основная нагрузка при этом легла на качественные методы анализа и их визуальную интерпретацию в виде проекций аттракторов или их сечений Пуанкаре. Но визуализация ограничивает возможности анализа лишь трехмерными образами, и продвижение в выявлении закономерностей поведения высокоразмерных процессов требует развития методов количественной оценки характеристик сложных колебаний, которые могли бы стать инструментом для ранжирования развитых хаотических колебаний по их сложности.

Идеология количественной оценки сложности колебаний активно начала развиваться в 70 - 80 годы нашего столетия. Этому развитию предшествовал ряд основополагающих работ, среди которых особо следует отметить труды Мандельброта, вводящие понятие фракталов и "переоткрытие" фрактальной размерности; публикации Паккарда, Мане, Такенса по доказательству возможности однозначного восстановления аттракторов динамических систем по скалярным временным реализациям колебательных процессов; гипотезу Каплана-йорка о связи размерности со спектром ляпуновских характеристических показателей (ЛХП); развитие методов определения спектра сингулярностей Брумхидом и Кингом; выдвижение алгоритма оценки корреляционной размерности Грассбергером и .Прокачиа; разработка алгоритма оценки размерности по ближайшим соседям Бадии и Полити и т.д. Среди отечественных исследователей, внесших заметный вклад в развитие количественных методов нелинейной динамики, следует отметить работы А.И.Хибника с соавторами по разработке и внедрению программного обеспечения для анализа поведения динамических систем; большое количество работ нижегородской школы радиофизиков (М.И.Рабинович, Ю.И.Неймарк, В.С.Афраймович, А М.Рейман, И.С.Арансон, и т.д.); работы, выполненные в МГУ под руководством П.С.Ланда; работы ИРЭ РАН (В.Я.Кислов, А.С.Дмитриев, А.О.Старков и др.); работы Ю.А.Кравцова (ЙКИ РАН); фундаментальные труды Ю.Л.Климонтовича; работы, выполненные под руко-

водством В.С.Анищенко; работы харьковских ученых (Д.М.Ваврив, В.В.Рябов, О.А.Третьяков); работы К.Пирагаса, А.Томашавичюса, А.Намоюноса ив Института Физики Полупроводников (Вильнюс) и многие др. Среди современных западных исследований по проблемам восстановления аттракторов и вычисления размерностей наиболее заметны, кроме вышеперечисленных, работы следующих авторов: E.Ott, J.Yorke, C.Grebogi (University of Maryland); L.Smith (University of Warwick); T.Sauer (George Mason University); J.Theiler (Los Alamos National Lab); L.Pécora (NAVY); H.Abarbanel (Center of Nonlinear Science, San Diego) G.Pfister и Th.Buzug (Institute für Angewandte Physik, Kiel). Почти все сколько-нибудь значимые публикации, посвященные вопросам диагностики сложного поведения систем по их временным реализациям, собраны в библиографической базе данных Бекмана (http://www.uni-mainz.de/FB/Physik/Chaos/chaosbib.html), включающей более 7000 наименований.

Устойчивый интерес исследователей к проблемам развития методов количественных оценок сложного динамического поведения объясняется надеждами на возможности построения динамических моделей по наблюдаемым временным реализациям колебательных процессов или, по крайней мере, создания методов оценки меры сложности различных хаотических процессов для их идентификации. Это необходимо для развития аппарата предсказания сложного поведения систем по известному их поведению в прошлом, а также для выявления закономерностей развития хаоса в распределенных системах, т.к. идеология восстановления, хорошо приспособленная для анализа поведения конечномерных динамических систем, с не меньшим успехом может применяться для любых систем — "черных ящиков", которые демонстрируют незатухающие во времени колебания. В случае получения конечномерных аттракторов можно утверждать, что исследуемая система — динамическая и к ней применимо все многообразие методов нелинейной динамики. Более того, путь восстановления аттракторов по временным реализациям — один из основных инструментов анализа поведения распределенных систем с бесконечномерным фазовым пространством (например, электронных или гидродинамических систем) даже при числен-

ном моделировании нелинейных процессов, т.к. он позволяет перейти к рассмотрению поведения распределенных систем в конечномерном пространстве, по крайней мере, на пороге возникновения хаоса и при низ-кораомерном хаосе.

Таким образом, идеология восстановления аттракторов и оценки их сложности представляется актуальной для следующих целей.

1. Анализ поведения конечномерных динамических систем, описываемых математически в виде уравнений в конечных разностях или системами обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Анализ поведения экспериментальных систем — " черных ящиков" — по порождаемым ими колебаниям.

3. Анализ поведения распределенных систем, представленных уравнениями в частных производных (численный эксперимент).

Основные трудности применения методов оценки количественных характеристик степени хаотичности сложных динамических колебаний связаны с тем, что: 1) алгоритм восстановления аттракторов по скалярным временным реализациям в условиях конечной точности данных и конечной длины временных реализаций становится критичным не только к выбору величины размерности вложения тп, но и к выбору постоянной времени восстановления г, а критерии корректного выбора тп и г ищутся до сих пор; 2) количественные характеристики сложности хаотических колебаний, такие, как размерность, могут быть определены лишь по большому количеству точек, представляющих аттрактор системы, причем число точек растет быстрее, чем экспонента при росте размерности, что ограничивает реальные возможности оценки размерности на уровне пяти - восьми; 3) алгоритмы вычисления количественных мер сложности колебаний (размерности, ляпуновских характеристических показателей, энтропии и т.п.) не имеют каких либо средств оценки точности и достоверности полученных результатов, а сами эти характеристики для хаотических колебаний априори не известны; 4) естественные шумы и шумы квантования, присутствующие в наблюдаемых временных реализациях и вычислительных экспериментах, оказываются неустранимыми при помощи методов фильтрации, развитых для периодических и повторяющихся сигналов, и приводят

к неопределенным или принципиально неверным результатам в оценке количественных, характеристик хаоса; 5) более того, линейная фильтрация низкоразмерных хаотических колебаний даже в отсутствие шумов трансформирует сигнал в более высокоразмерный, который неотличим от шумов.

Технической причиной всех перечисленных трудностей является то, что все методы оценки количественных характеристик сложных колебаний определены алгоритмически для бесконечно точных и бесконечно длинных временных реализаций. Поэтому принципиальной оказывается недостаточная производительность вычислительных машин, т.к. для достоверной оценки самой простой меры хаотичности — корреляционной размерности — требуется 105 - 1012 точек в представлении аттракторов и М2 операций по их обработке. Причем выбор параметров процедуры восстановления и параметров алгоритма вычисления размерности требует многократного повторения вычислений для их различных значений. И поэтому из-за технических ограничений методы оценки корреляционной размерности оказываются более применимыми, т.к. обладают наименьшим количеством параметров.

Недостаточность информации о закономерностях фрактального мира странных аттракторов и отсутствие эталонных хаотических колебаний с заранее известной размерностью, а также большое количество определений размерности привели к широкому распространению стереотипных, но не всегда строго обоснованных результатов. В то же самое вреМя остается недосказанность в вопросах учета свойств неоднородности аттракторов при оценке их сложности даже для простых низкоразмерных колебаний. Отсутствуют не только строгие, но и просто достаточные для осмысления экспериментальные результаты по линейному взаимодействию хаотических сигналов, и, соответственно, не ясны свойства восстановленных но таким сигналам аттракторов. К последней проблеме относятся вопросы учета влияния аддитивных шумов на хаотический сигнал, вопросы линейного сложения сложных колебаний и проблемы фильтрации хаотических колебаний.

Целью диссертационной работы является поиск путей преодоления перечисленных выше трудностей при применении методов вос-

становления аттракторов по экспериментальным временным реализациям колебательных процессов, которые обладают конечной точностью и длиной массива данных, и вычисления размерности как характеристики их сложности.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) исследовать связь точности результатов оценки количественных характеристик с точностью измерения исследуемых временных реализаций, для чего следует продолжить исследование путей определения корректных параметров дискретного представления экспериментальных сигналов (частота дискретизации), параметров алгоритмов восстановления аттракторов (размерность вложения ш и постоянная времени восстановления г) и достаточной для оценки количественных характеристик длины массивов данных;

2) создать численные и экспериментальные модели, генерирующие хаотические колебания с заранее предопределенными количественными характеристиками их сложности, поскольку такие модели необходимы для развития сравнительной метрологии сложности хаотических процессов и для тестирования разрабатываемых алгоритмов оценки и приборов измерения этих характеристик;

3) провести исследование свойств аттракторов, восстанавливаемых по колебаниям, которые получены суммированием нескольких колебаний (одинаковых хаотических, различных хаотических, хаотических и шумовых и т.п.) или преобразованными различными инерционными цепями и средами (фильтрация), т.к. подобные процедуры явно или неявно имеют место при любых экспериментальных исследованиях и существенно влияют на их результаты.

Методы исследований, выбранные для достижения поставленные в диссертации целей, основаны на экспериментальных исследованию радиофизических объектов — сосредоточенных радиотехнических генераторов хаоса — и последующего радиофизического и компьютерного анализа их временных реализаций. Экспериментальные резуль таты почти всегда подтверждены компьютерным моделированием, а ] некоторых случаях (когда это оказывается обоснованным и доказатель

ым) представлены результаты только компьютерных экспериментов, остоверность полученных результатов определялась их согласованно-гью при различных методах исследований и соответствием результа-ам, полученным по эталонным моделям и алгоритмам, которые широко редставлены в литературе по нелинейной динамике и общепризнаны.

Научная новизна представленных хгсследований заключается в ледующем.

Основываясь на интерпретации размерности как функции про-транственного масштаба наблюдения, введена связь между сложно-тыо колебаний (размерностью их аттрактора), необходимой длиной 1ассива данных, представляющих этот аттрактор, и степенью разре-цения тонкой структура аттрактора. Такой подход позволил рассматривать функцию размерности как характеристику сложности хаоти-геских колебаний, которая может быть вычислена по данным конечной цшны и конечной сложности.

Предложен и создан макет аналого-цифрового препроцессора для эценки размерности колебаний, представленных временными реализациями, и позволяющий в реальном времени работать с сигналами, спектр которых лежит в диапазоне до 1Мгц.

Проведены исследования поведения радиотехнических генераторов хаотических колебаний в пространстве управляющих параметров, что позволило выделить ряд новых черт их динамики, связанных с явлениями добавления периода и мультистабильностыо.

Обнаружены и подтверждены в натурных и численных экспериментах закономерности усложнения хаотических колебаний при линейных инерционных преобразованиях, приводящие к развитию многомерного хаоса в простых системах. Это явление можно рассматривать как новый ранее не исследованный путь возникновения и эволюции высокоразмерного хаоса.

Практическая значимость работы связана с разрешением проблем корректного определения параметров процедуры восстановления и оценки размерности хаотических колебаний. Это позволяет внедрить новый набор измеряемых характеристик сложных сигналов, которые расширяют область инженерно описываемых колебательных процессов,

ограниченную в настоящее время лишь периодическими колебаниями. Появление инструментальных средств для адекватного анализа состояния систем и процессов по временным реализациям ими порождаемым должно обеспечить возможность управления ими.

Конкретными прикладными , результатами таких исследований являются следующие:

— выработаны требования к параметрам представления аналоговых данных дискретными последовательностями, пригодных для анализа методами нелинейной динамики;

— выработаны требования к выбору параметров алгоритма восстановления аттракторов динамических систем по временным реализациям;

— выработаны критериеи достоверности оценки характеристик сложности хаотических колебаний;

— разработан принцип формирования хаотических колебаний с заранее известными характеристиками их сложности (размерности), которые могут служить источниками тестовых колебаний для настройки параметров разрабатываемых алгоритмов.

Структура диссертации. Поскольку цель диссертации состоит в развитии методов количественного анализа характеристик сложности сигналов, рожденных динамическими системами, изложение материалов начинается с известных результатов, служащих основой настоящей работы. Нетривиалыюсть процедуры восстановления аттракторов по временным реализациям и понятия размерности аттракторов уже на первых шагах изложения приводят к "подводным камням", не позволяющим достичь цели прямым путем. Сложность ситуации заключается в том, что для определения корректных значений параметров алгоритмов восстановления и вычисления корреляционного интеграла необходимо оценить размерность, а для достоверной оценки размерности необходимо знать значения параметров алгоритмов. Первые три главы диссертации посвящены этой "самосогласованной" задаче. В них продолжается расширенное обоснование постановки задачи и получен ряд новых результатов, необходимых для корректного применения методов оценки корреляционной размерности по скалярным временным реали-

зациям. В четвертой главе положена идея создания аналогового препроцессора вычисления корреляционного интеграла по скалярным временным реализациям, поступающим на вход устройства, и приведены результаты оценки размерности этим устройством по экспериментальным данным. Пятая глава посвящена проблемам генерации тестовых хаотических колебаний и формированию у них заданных характеристик сложности (заданных размерностей). Эти тестовые хаотические колебания необходимы для калибровки систем измерения размерности. В заключении подводятся итоги проведенной работы, сводящиеся к рекомендациям по применению процедуры оценки корреляционной размерности для анализа сложных временных реализаций.

Диссертация содержит 124 страницы текста 63 страницы иллюстраций и 17 страниц библиографии.

Содержание работы. Во Введении приводятся цели диссертации и анализируется место поставленной задачи среди известных результатов других исследований, что обосновывает актуальность темы диссертации. Сформулирована научная новизна и практическая значимость полученных результатов, а также положения, выносимые на защиту.

Первая глава, является компактным введением в методы анализа сложных колебаний, развиваемые в нелинейной динамике. Кратко рассмотрены вопросы представления колебаний их временными реализациями, выделены различные типы сложных колебаний от периодических до шумовых, введены понятия динамической системы и фазового пространства и представлена основополагающая процедура анализа хаотических колебаний — восстановление аттракторов в квазифазовом пространстве по скалярным временным реализациям. Основное внимание уделено проблемам выбора параметров процедуры восстановления (время восстановления г, размерность вложения гп) для временных реализаций, ограниченных по длине и точности представления данных. Обзорный характер главы нарушается в последнем параграфе, где проводится сравнительный анализ различных способов выбора времени восстановления т аттракторов и анализируется их применимость для колебаний с различными характеристиками. На конкретных примерах для низкоразмерных хаотических колебаний показаны принципиальные

трудности определения времени восстановления аттракторов по временным реализациям, которые обладают спадающими от нуля спектральными плотностями мощности. Для колебаний, имеющих выраженную ненулевую собственную частоту, предлагается и обосновывается эффективный критерий выбора времени восстановления как четверти периода этой собственной частоты.

Во второй главе рассматривается понятие корреляционного интеграла, лежащего в основе определения корреляционной размерности, н анализируются различные формы его записи и их влияние на эффективность вычислений. Вводится и обосновывается понятие размерности как функции пространственного масштаба наблюдения (диапазона разрешения геометрической структуры аттрактора) в виде Д:(Е), где Е = 201об(е/£о)[дБ], приспособленное для оценки размерности по данным конечной длины и конечной точности, т.к. оно не требует почти нереализуемой экстраполяции полученных результатов к бесконечно малым масштабам наблюдения. Предложенный переход от математических £-окрестностей к привычным единицам измерения отношения величин в децибеллах позволяет легко сопоставлять полученные результаты оценки размерности с динамическим диапазоном сигналов, спектральной плотностью мощности, уровнем шума и т.п. Исходя из понятия размерности как функции пространственного масштаба наблюдения, получена зависимость необходимой длины массива данных N от размерности оцениваемых колебаний Ос при заданной точности разрешения тонкой структуры аттрактора Ь [бит] (или заданном уровне шума). Эта оценка сводится к простому и наглядному соотношению вида

N = 2№о.

Также получено выражение, дающее возможность определить предельную величину достоверно вычисляемой размерности е) для заданной длины массива данных N и заданного пространственного масштаба разрешения структуры аттрактора е как

= 1о8(Л0/1о6(1/£).

Далее на примере колебаний, прошедших через линейные фильтры, про-

12

водится анализ поведения корреляционного интеграла на больших масштабах наблюдения, определяемого краевыми эффектами, которые связаны с топологическими свойствами аттракторов (свойствами исследуемых сигналов). Закономерности влияния краевых эффектов на ход функции размерности позволяют объяснить причины завышения (занижения) оценок размерности по данным конечной длины и точности. Введение понятия внутренних краевых эффектов и связь их со свойствами однородности аттракторов обосновывают возможность интерпретации результатов оценки размерности при отсутствии "плато" на корреляционном интеграле. Это позволяет по виду функции корреляционной размерности в конечном диапазоне пространственных масштабов наблюдения идентифицировать бифуркации периодических режимов и другие перестройки аттрактора, что придает размерности свойство характеристики динамического поведения системы и обосновывает ее применимость в качестве меры сложности динамического процесса.

Третья глава посвящена вопросам определения размерности вложения т при восстановлении аттракторов. Приводится сравнительный анализ методов определения размерности вложения по результатам вычисления корреляционной размерности и методов спектра сингулярно-стей. Рассмотрена зависимость вида корреляционного интеграла от величины размерности вложения (длины окна восстановления) и показана необходимость оптимального выбора т для конкретных временных реализаций. Представлен оригинальный метод восстановления аттракторов по набору коротких временных реализаций, который позволяет корректно оценивать размерность таким образом восстановленного аттрактора при наличии во временных реализациях дефектов (импульсных помех или пропаданий сигнала). Суть метода определяется тем, что для вычисления корреляционного интеграла не важен порядок появления точек при восстановлении аттракторов. Имеет значение лишь место их расположения в квазифазовом пространстве. Поэтому набор любых сколь угодно коротких временных реализаций, каждая из которых допускает восстановление хотя бы единственного вектора состояния, и все они принадлежат одному и тому же колебатель-

ному процессу, достаточен для корректного восстановления аттрактора этого процесса. Возможность накопления данных для восстановления аттракторов позволяет значительно расширить применимость процедуры восстановления аттракторов методом временных задержек для различных экспериментальных последовательностей. Принципиальным остается лишь общее количество точек в восстановленном аттракторе, которое должно удовлетворять соотношению Ат = 2ъо°.

В четвертой главе рассматриваются вопросы увеличения скорости вычисления корреляционной размерности аттракторов, восстановленных по экспериментальным аналоговым данным, за счет выполнения процедуры вычисления расстояний между точками аттрактора аналоговым препроцессором. Препроцессор позволяет производить оценку корреляционого интеграла по серии поточечных размерностей, получаемых сравнением с точностью АС/ в реальном времени т опорных напряжений, задающих опорную точку, с т-мерным вектором входного сигнала, сформированного т пиниями задержки. Отношение времени пребывания траектории в А (/-окрестности опорной точки ко времени наблюдения сигнала (при достаточно большом времени наблюдения) определяет поточечный корреляционный интеграл. Управляющий компьютер циклически считывает это значение через интерфейс препроцессора и изменяет величину точности А(7. Конструктивное решение узла сравнения, использованное в препроцессоре, с одной стороны, не ограничивает ни величину размерности вложения т, ни длину анализируемой временной реализации, а, с другой стороны, позволяет соединять такие узлы параллельно, что обеспечивает усреднение результатов по нескольким опорным точкам. Таким образом аппаратно достигается реализация алгоритма вычисления редуцированной корреляционной размерности по аналоговым данным и перевод аналоговых данных в цифровую форму для дальнейшего логарифмирования юс значений и построения функции размерности на экране ЭВМ. Эффективная длина реализации в экспериментальном препроцессоре могла достигать 2 ■ 107 точек, размерность вложения ограничивалась 4, частотная полоса исследуемого сигнала лежала в диапазоне от 2 • 101 до 106 Гц и ограничивалась сверху скоростью срабатывания схемы сравне-

:ия. В заключительных параграфах главы представлены результаты хспернментальной проверки работы препроцессора. В них приведены фимеры определения размерности по экспериментальным данным для >азличных тестовых сигналов (гармонического, квазппериодического ;аотического), проанализирована точность получаемых результатов и фичины уменьшения диапазона разрешения тонкой структуру аттракторов.

В пятой главе представлены результаты исследования радиотехни-гескнх генераторов хаотических колебаний хак источников тестовых саотических сигналов с заданной размерностью аттракторов. Возмож-юсть получения набора хаотических колебаний с различными размерностями их аттракторов привлекательна для создания средств калибро-зки систем измерения сложности (в том числе и размерности) сигналов.

Для этого проведены экспериментальные исследования поведения ряда радиотехнических генераторов (некоторые из которых имеют оригинальные схемные решения) в пространстве их управляющих параметров и построены подробные двупараметрические бифуркационные диаграммы следующих систем: нелинейного контура с р~п переходом под внешним гармоническим воздействием; кусочно-линейной модели неавтономного генератора Ван-дер-Поля; релаксационного генератора под гармоническим воздействием; генератора на туннельном дноде; генератора типа "двойная спираль"; генератора "торус"; генератора гпперхаоса. Многие из полученных в ходе этих исследований результатов являются новыми и имеют самостоятельное значение для выявления закономерностей перехода от периодических колебаний к хаотическим. Так, например, здесь приведены подробные экспериментальные двупараметрические бифуркационные диаграммы, которые для ряда систем построены впервые (два варианта генератора на туннельном диоде, кусочно-линейная модель генератора Ван-дер-Поля, генератор гиперхаоса), а для других построены впервые со столь подробной и полной структурой бифуркационных линий и областей мультистабильности (неавтономный контур с р-п переходом, генератор "торус", релаксационный генератор). В рамках поставленной в этой главе задачи (отыскание наиболее стабильного генератора, который мог бы быть

генератором тестовых хаотических сигналов) эти параметрические исследования позволили выделить важные с технической точки зрения черты, характеризующие достоинства и недостатки различных радиотехнических генераторов, стабильность и повторяемость хаотических режимов, возможности контроля их режимов и т.п.

Созданные генераторы являются источниками только низкоразмерных хаотических колебании, поэтому размерность их аттракторов ограничена и не может варьироваться в широких пределах. Поэтому следующей важной задачей диссертации ставилось формирование хаотических колебаний с любой наперед заданной размерностью. Изложению результатов решения этой задачи посвящена шестая глава, где рассматриваются два пути формирования тестовых хаотических колебаний с заданной размерностью.

Первый путь формирования сигналов с заданной размерностью — это поэлементное суммирование временных реализаций хаотических колебаний, дающее результирующие колебания, восстановленный аттрактор которых имеет размерность, равную сумме размерностей исходных колебаний, если их рассматривать как функции масштаба наблюдения, нормированные на единую для всех аттракторов величину £о, т.е.

г

где Е = 20^(е/£о) и ео — общая для всех измерений нормировка пространственного масштаба.

Второй путь — линейная фильтрация хаотических колебаний. Этот путь позволяет повысить размерность детерминированных хаотических колебаний на выходе системы до величины, равной сумме размерности исходных колебаний Дп и порядка фильтра г, т.е.

Ази* = Ап + г,

где г — порядок фильтра. При этом спектр мощности таких колебаний стремится к 1//" подобному спектру. Подтверждение возможности формирования детерминированных хаотических колебаний с любой наперед заданной размерностью производится прямым компьютерным

анализом структуры восстановленного аттрактора оригинальным методом многократных сечений Пуанкаре, демонстрирующих самоподобие его усложнений при повышении порядка фильтра.

В заключения подводятся итоги проделанной работы и формулируются ословные результаты, сводящиеся к следующим.

Обоснован и предложен для применения критерий выбора времени восстановления аттракторов как четверти периода основной частоты в спектре исследуемых колебаний.

Предложены простые методы оценки необходимой длины и точности дискретизованных временных реализаций колебательных процессов для корректного вычисления корреляционной размерности в заданном диапазоне разрешения структуры восстановленных аттракторов.

Предложена, обоснована и экспериментально проверена на различных сигналах технология оценки корреляционной размерности как функции разрешения структуры аттрактора (функции масштаба наблюдения), приспособленная для оценки размерности по данным конечной точности и конечной длины, не требующая почти нереализуемой экс-трополяции полученных результатов к бесконечно малым масштабам наблюдения.

Предложен и экспериментально проверен метод восстановления аттракторов по прерывистым временным реализациям, позволяющий осуществлять накопление данных для корректной оценки их корреляционной размерности по набору коротких временных реализаций.

Предложена схема и экспериментально реализовано устройство, осуществляющее аналоговым образом выполнение процедуры вычисления поточечной корреляционной размерности в "реальном масштабе времени" по мере поступления исследуемого сигнала на вход устройства при эффективной длине временной реализации до 2 • 107 точек и сигнальной полосе до 1МГц.

Реализована серия радиотехнических генераторов низкоразмерных хаотических колебаний, которые могут быть использованы как генераторы тестовых сигналов с предопределенной величиной размерности их аттракторов. Выявлены причины неустойчивости сложных колебательных режимов в таких генераторах, связанные с мультистабильностью

(неоднозначностью) их поведения в пространстве управляющих параметров.

Экспериментально подтверждена возможность возникновения хаотических колебаний в неавтономном генераторе Ван-дер-Поля при реализации его нелинейной характеристики в виде кусочно-линейной функции и построена подробная двупараметрическая бифуркационная диаграмма режимов его работы.

Впервые построены подробные двупараметрические бифуркационные диаграммы для генератора на туннельном диоде (генератора Кияшко-Рабиновича-Пиковского), демонстрирующие самоподобные области возникновения хаотических колебаний по сценарию удвоения периода, разделенные линиями добавления периода.

Выявлено, что при линейной фильтрации хаотических' колебаний возможно фрактальное усложнение структуры аттрактора, восстановленного по выходным колебаниям, на всех масштабах наблюдения, что ведет к реальному увеличению его размерности.

Выявлено, что предельная величина увеличения корреляционной размерности хаотических колебаний, прошедших фильтр п-порядка с бесконечной памятью о предыстории входных колебаний, равна порядку фильтра.

Обнаружено, что корреляционная размерность суммы хаотических колебаний (поэлементной суммы временных реализаций) равна сумме их размерностей как функций масштаба наблюдения, нормированных на единую для всех исходных аттракторов величину.

'Предложен путь формирования тестовых хаотических колебаний с любой наперед заданной величиной размерности путем их фильтрации или суммирования.

Положения, выносимые на оащиту.

1. Корреляционная размерность как функция пространственного масштаба наблюдения может быть использована в качестве меры сложности колебаний в динамических системах. При оценке корреляционной размерности по данным конечной длины и конечной точности существуют оптимальные значения параметров восстановления аттрактора (размерность вложения т и время восстановления т), при которых

достигается максимальное разрешение тонкой структуры аттрактора. Более того, длина исследуемой временной реализации N и масштаб пространственного разрешения аттрактора с (или уровень шума исследуемого сигнала) однозначно определяют предельную величину размерности D'c(N,e), которая может быть корректно оценена как = log(AT)/log(lA).

2. Тестовые хаотические сигналы с любой наперед заданной размерностью, необходимые для проверки и калибровки программных и аппаратно-программных средств оценки сложности хаотических колебаний по размерности, могут быть получены суммированием низкоразмерных хаотических колебаний или их линейной фильтрацией.

3. Корреляционная размерность суммы хаотических колебаний равна сумме их корреляционных размерностей D-g(E) = ^íDí(E), рассматриваемых как функции пространственного масштаба наблюдения Е — 20]og(e/£0), нормированного на единую величину £04. Предельная величина повышения размерности хаотических колебаний при их линейной фильтрации равна порядку линейного фильтра г, если он обладает свойствами бесконечно глубокой памяти о предыстории входного сигнала, и размерность выходных колебаний Dout может достигать величины Dout = Дп + г, где £>,•„ — размерность входных колебаний.

Апробация работы и публикации. Материалы диссертационной работы являются итогом более чем десятилетней работы и использованы при выполнепии хоздоговорных и госбюджетных НИР, проводимых в НИИ Механики и Физики СГУ и Государственного учебно-научного центра " Колледж" СГУ , а также в учебном процессе кафедры Электроники и волновых процессов СГУ. Представленные результаты неоднократно докладывались на различных семинарах и конференциях, среди которых: "Школа-семинар по стохастическим колебаниям в радиофизике и электронике" (Саратов, 1985, 1988, 1991, 1994), "Зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике" (Саратов, 1989, 1992, 1993), "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении" (Горький, ГГУ, 1989,1993), "Метрология в прецизионном машиностроении" (Саратов, 1990), "Нелинейные Цепи и Системы" (Москва, 1992)

"Self-Formation in Physics, Thechnology and Application" (Vilnius, 1992), "International Simposium on Nonlinear Theory and Its Applications" (NOLTA'93, Hawaii, USA, 1993), "Эколого-физиологические проблемы адаптации" (Москва, 1994), "Int.Conf. on Dynamical Systems and Chaos" (Tokyo, 1994), "Dynamic and Stochastic Wave Phenomena" (N.Novgorod, 1994), "The International Conference on Criteria of Selforganization in Physical, Chemical and Biological Systems" (Moscow-Suzdal, 1995), "International School in Nonlinear Science" (Nizhny Novgorod, 1995).

Основные результаты опубликованы в научных сборниках:

1. А.А.Кипчатов, Л.В.Красичков, А.В. Андрушкевич. Диагностика Сложных Колебаний по Корреляционной Размерности. Нелинейные Цепи и.Системы // Доклады Международного Семинара. Москва. 1992. Т.2. с.308-31?.

2. А.В.Андрушкевич, А.А.Кипчатов, Л.В.Красичков, А.П.Митрофанов, Д.И.Трубецков. Корреляционная размерность как мера сложности колебаний // Физика. Сборник статей (Программа "Университеты России") // под ред. А.Н.Ткхонова, В.А.Садовничего. Москва. МГУ. 1994. с.32-40.

3. A.A.Kipchatov, L.V.Krasichkov. On Reconstruction of Chaotic Attractor from Time Series Represented as "Clusters" // In: Proceedings of the International Conference on Dynamical Systems and Chaos, edited by Aizawa, Y., Saito, S., and Shiraiwa, K. Singapore: World Scientific, 1995. p.355-358.

4. A.A.Kipchatov, L.V.Krasichkov. The Creation of High-dimensional Oscillations from Low-dimensional Systems // In: Proceedings of the International Conference on Dynamical Systems and Chaos, edited by Aizawa, Y., Saito, S., and Shiraiwa, K. Singapore: World Scientific, 1995. p.359-362.

5. A.A.Kipchatov, L.V.Krasichkov. Passing of Chaotic Signals Through Linear Band-Pass Filter // In: Proceedings of Internatonal Simposium on Nonlinear Theory and Its Applications (NOLTA'93), Hawaii, USA. 1993. p.243-246.

6. B.P.Bezruchko, A.A.Kipchatov, L.V.Krasichkov, Y.P.Seleznev. Complex Dynamics of Driven Piece-Wise Linear Oscillator // In: Proc

of International Simposium on Nonlinear Theory and Its Applications (NOLTA'93) Hawaii, USA. 1993. p.471-474.

Опубликовано в периодических изданиях:

7. А.А.Кипчатов. Особенности сложной динамики неавтономного нелинейного контура // Известия ВУЗов Сер. Радиофизика. 1990. Т.33 No.2 с.182-190.

8. А.В.Андрушкевич, А.А.Кипчатов. Хаос и периодичность в генераторе на туннельном диоде // Известия ВУЗов. Сер. Радиофизика. 1990. Т.ЗЗ. No.4. с.431-434.

9. А.В.Андрушкевич, А.А.Кппчатов, Л.В.Красичков, А.А.Коронов-ский. Путь к хаосу в кусочно-линейной модели генератора на туннельном диоде // Известия ВУЗов. Сер. Прикладная Нелшгейпая Динамика. 1993. T.I. No.1-2. с.93-103.

10. А.А.Кипчатов, Л.В.Красичков. Изменение структуры странного аттрактора при полосовой фильтрации хаотических колебаний // Письма в ЖТФ. 1993 Т.19. No. 17. с.68-71.

11. А.А.Кипчатов, Л.В.Красичков. Суперфрактализация хаотического аттрактора при линейной фильтрации // Письма в ЖТФ. 1995. Т.21. No. с.1-6.

12. А.А.Кипчатов, Л.В.Красичков. Восстановление аттракторов по набору коротких временных реализаций//Письма в ЖТФ. 1995. Т.21. No.3. с.39-42.

13. А.А.Кипчатов. Оценка корреляционной размерности аттракторов, восстановленных по данным конечной точности и длины // Письма в ЖТФ. 1995. Т.21. No. 15. С.90-95.

14. А.В.Андрушкевич, А.А.Кипчатов, Л.В.Красичков, А.А.Коронов-ский. Экспериментальное двупараметрическое исследование неоднозначных режимов колебаний при разрушении квазипериодических торов // Известия ВУЗов. Сер. Радиофизика. 1995. Т.38. No.И с. 1195-1203.

15. A.Kipchatov, L.Krasichkov. Generating high-dimensional chaotic signals by the sum // Preprint. Available from comp-gas bulletin board in Los Alamos (ftp://xyz.lan.gov) as manuscript No.9601001. 1996.

КИПЧАТОВ Алексей Александрович

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА СЛОЖНОСТИ КОЛЕБАНИЙ И ФОРМИРОВАНИЕ ТЕСТОВЫХ ХАОТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Автореферат

Ответственный за выпуск к.ф.-м.н., доцент Ю.И.Левин

Заказ N0.10. Подписано к печати 12.05.1996г. Объем 1.4 усл.печ.л. Тираж 100 экз. Издательство ГосУНЦ " Колледж" СГУ, Саратов.