Количественная оценка сложности колебаний и формирование тестовых хаотических сигналов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

. Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского

На правах рукописи

КИПЧАТОВ Алексей Александродич.

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА СЛОЖНОСТИ КОЛЕБАНИЙ И ФОРМИРОВАНИЕ ТЕСТОВЫХ ХАОТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

01.04.03 — радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов — 1996

Работа выполнена на кафедре электроники и волновых процессов Саратовского государственного университета, в НИИ Механики и Физики СГУ и в Государственном учебно-научном центре "Колледж" СГУ.

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН, профессор Д.И.Трубецхов Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.С.Анищенко доктор физико-математических наук, профессор В.П.Пономаренко

Ведущая организация:

Саратовский филиал института радиотехники и электроники АН РАН

Защита состоится 17 мая 1996г. в Ю00 часов на заседании специализированного Совета Д063.74.01 по специальности 01.04.03 в Саратовском государственном университете (410026, Саратов, Астраханская, 83).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СГУ.

Автореферат разослан 15 апреля 1996г.

Ученый секретарь специализированного Совета,

кандидат физико-математических наук, доцегф /1 / Аникин В.М.

Актуальность исследуемой проблемы Огромное количество различных систем (физических, электронных, биологических, социальных и т.п.) являются колебательными или волновыми. Причем простые периодические или, тем более, гармонические колебания и волны рождаются в них как исключение, а правилом для реальных систем является сложная динамика, включающая хаотическое поведение. Именно открытие сложности привело к тому, что подобные системы в последние десятилетия находятся в центре внимания исследователей.

Выявлению закономерностей сложного и хаотического поведения способствовало развитие качественных и количественных методов анализа динамических систем, которое привело к формированию новой междисциплинарной науки — нелинейной динамики. В настоящее время в основном сформировался предмет этой науки. В частности, понятие детерминированного хаоса прочно вошло в современную картину мира.

Помимо фундаментального и даже мировоззренческого значения нелинейная динамика имеет ряд важных практических применений. Например, таких, как разработка новых принципов обработки сигналов (распознавание образов, кодирование-декодирование сигналов, сжатие информации), развитие возможностей нелинейпого моделирования и прогнозирования поведения систем, диагностика состояния различных (механических, физических, биологических, экономических и т.п.) систем по колебаниям, которые они порождают.

Большие успехи, достигнутые в качественной теории динамических

систем и в экспериментальном исследовании низкоразмерной хаотической динамики, связаны с переходом к рассмотрению образов колебаний в фазовом пространстве, например, аттракторов и репеллеров. Основная нагрузка при этом легла на качественные методы анализа и их визуальную интерпретацию в виде проекций аттракторов или их сечений Пуанкаре. Но визуализация ограничивает возможности анализа лишь трехмерными образами, и продвижение в выявлении закономерностей поведения высокоразмерных процессов требует развития методов количественной оценки характеристик сложных колебаний, которые могли бы стать инструментом для ранжирования развитых хаотических колебаний по их сложности.

Идеология количественной оценки сложности колебаний активно начала развиваться в 70 - 80 годы нашего столетия. Этому развитию предшествовал ряд основополагающих работ, среди которых особо следует отметить труды Мандельброта, вводящие понятие фракталов и "переоткрытие" фрактальной размерности; публикации Паккарда, Мане, Такенса по доказательству возможности однозначного восстановления аттракторов динамических систем по скалярным временным реализациям колебательных процессов; гипотезу Каплана-Йорка с связи размерности со спектром ляпуновских характеристических показателей (ЛХП); развитие методов определения спектра сингулярно стен Брумхидом и Кингом; выдвижение алгоритма оценки корреляционной размерности Грассбергером и Прокачиа; разработка алгоритме оценки размерности по ближайшим соседям Бадии и Полити и т.д Среди отечественных исследователей, внесших заметный вклад в раз витие количественных методов нелинейной динамики, следует отме тить работы А.И.Хибника с соавторами по разработке и внедреник программного обеспечения для анализа поведения динамических си стем; большое количество работ нижегородской школы радиофизи ков (М.И.Рабинович, Ю.И.Неймарк, В.С.Афраймович, А.М.Рейман И.С.Арансон, и т.д.); работы, выполненные в МГУ под руковод ством П.С.Ланда; работы ИРЭ РАН (В.Я.Кислов, А.С.Дмитриев А.О.Старков и др.); работы Ю.А.Кравцова (ИКИ РАН); фундамен тальные труды Ю.Л.Климонтовича; работы, выполненные под руко

водством В.С.Аншценко; работы харьковских ученых (Д.М.Ваврив, В.В.Рябов, О.А.Третьяков); работы К.Пирагаса, А.Томашавичюса, А.Намоюноса из Института Физики Полупроводников (Вильнюс) и многие др. Среди современных западных исследований по проблемам восстановления аттракторов и вычисления размерностей наиболее заметны, кроме вышеперечисленных, работы следующих авторов: E.Ott, J.Yorke, C.Grebogi (University of Maryland); L.Smith (University of Warwick); T.Sauer (George Mason University); J.Theiler (Los Alamos National Lab); L.Pécora (NAVY); H.Abarbanel (Center of Nonlinear Science, San Diego) G.Pfister и Th.Buzug (Institute für. Angewandte Physik, Kiel). Почти все сколько-нибудь значимые публикации, посвященные вопросам диагностики сложного поведения систем по их временным реализациям, собраны в библиографической базе данных Бекмана (http://www.uni-mainz.de/FB/Pliysik/Chaos/chaosbib.html), включающей более 7000 наименований.

Устойчивый интерес исследователей к проблемам развития методов количественных оценок сложного динамического поведения объясняется надеждами на возможности построения динамических моделей по наблюдаемым временным реализациям колебательных процессов или, по крайней мере, создания методов оценки меры сложности различных хаотических процессов для их идентификации. Это необходимо для развития аппарата предсказания сложного поведения систем по известному их поведению в прошлом, а также для выявления закономерностей развития хаоса в распределенных системах, т.к. идеология восстановления, хорошо приспособленная для анализа поведения конечномерных динамических систем, с не меньшим успехом может применяться для любых систем — "черных ящиков", которые демонстрируют незатухающие во времени колебания. В случае получения конечномерных аттракторов можно утверждать, что исследуемая система — динамическая и к ней применимо все многообразие методов нелинейной динамики. Более того, путь восстановления аттракторов по временным реализациям — один из основных инструментов анализа поведения распределенных систем с бесконечномерным фазовым пространством (например, электронных или гидродинамических систем) даже при числен-

ном моделировании нелинейных процессов, т.к. он позволяет перейти к рассмотрению поведения распределенных систем в конечномерном пространстве, по крайней мере, на дороге возникновения хаоса и при низкоразмерном хаосе.

Таким образом, идеология восстановления аттракторов и оценки ю сложности представляется актуальной для следующих целей.

1. Анализ поведения конечномерных динамических систем, описываемых математически в виде уравнений в конечных разностях иле системами обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Анализ поведения экспериментальных систем — "черных ящиков' — по порождаемым ими колебаниям.

3. Анализ поведения распределенных систем, представленных ура внениями в частных производных (численный эксперимент).

Основные трудности применения методов оценки количественны? характеристик степени хаотичности сложных динамических колебанш связаны с тем, что: 1) алгоритм восстановления аттракторов по ска лярным временным реализациям в условиях конечной точности дан ных и конечной длины временных реализаций становится критичнь» не только к выбору величины размерности вложения га, но и к выбор; постоянной времени восстановления т, а критерии корректного выбор: шит ищутся до сих пор; 2) количественные характеристики сложно сти хаотических колебаний, такие, как размерность, могут быть опре делены лишь по большому количеству точек, представляющих аттрак тор системы, причем число точек растет быстрее, чем экспонента пр) росте размерности, что ограничивает реальные возможности оценю размерности на уровне пяти - восьми; 3) алгоритмы вычисления ко личественных мер сложности колебаний (размерности, ляпуновских ха рактеристических показателей, энтропии и т.п.) не имеют каких либ средств оценки точности и достоверности полученных результатов, сами эти характеристики для хаотических колебаний априори не изве стны; 4) естественные шумы и шумы квантования, присутствующие наблюдаемых временных реализациях и вычислительных эксперимев тал, оказываются неустранимыми при помощи методов фильтрацш развитых для периодических и повторяющихся сигналов, и приводя

неопределенным или принципиально неверным результатам в оценке эличественных характеристик хаоса; 5) более того, линейная фильтра-ия низкоразмерных хаотических колебаний даже в отсутствие шумов рансформнрует сигнал в более высокоразмерный, который неотличим т шумов.

Технической причиной всех перечисленных трудностей является то, то все методы оценки количественных характеристик сложных коле-аний определены алгоритмически для бесконечно точных и бесконечно линных временных реализаций. Поэтому принципиальной оказыва-тся недостаточная производительность вычислительных машин, т.к. ля достоверной оценки самой простой меры хаотичности — корреля-;ионной размерности — требуется 10° - 1012 точек в представлении ттракторов и М2 операций по их обработке. Причем выбор параме-•ров процедуры восстановления и параметров алгоритма вычисления »азмерности требует многократного повторения вычислений для их >азличных значений. II поэтому из-за технических ограничений методы оценки корреляционной размерности оказываются более приме-шмыми, т.к. обладают наименьшим количеством параметров.

Недостаточность информации о закономерностях фрактального лира странных аттракторов и отсутствие эталонных хаотических коле-5аний с заранее известной размерностью, а также большое количество шределений размерности привели к широкому распространению стереотипных, но не всегда строго обоснованных результатов. В то же ;амое время остается недосказанность в вопросах учета свойств неоднородности аттракторов при оценке их сложности даже для простых зизкоразмерпых колебаний. Отсутствуют не только строгие, но и просто достаточные для осмысления экспериментальные результаты но линейному взаимодействию хаотических сигналов, и, соответственно, не ясны свойства восстановленных но таким сигналам аттракторов. К последней проблеме относятся вопросы учета влияния аддитивных шумов на хаотический сигнал, вопросы линейного сложения сложных колебаний и проблемы фильтрации хаотических колебаний.

Целью диссертационной работы является поиск путей преодоления перечисленных выше трудностей прн применении методов вос-

становления аттракторов по экспериментальным временным реалиэа циям колебательных процессов, которые обладают конечной точность! и длиной массива данных, и вычисления размерности как характери стики их сложности.

Для достижения поставленной дели необходимо решить следующи задачи:

1) исследовать связь точности результатов оценки количественны характеристик с точностью измерения исследуемых временных реали заций, для чего следует продолжить исследование путей определени. корректных параметров дискретного представления эксперименталь ных сигналов (частота дискретизации), параметров алгоритмов вое становления аттракторов (размерность вложения т и постоянная вре мени восстановления г) п достаточной для оценки количественных ха рактеристик длины массивов данных;

2) создать численные и окспериментальные модели, генерирующи хаотические колебания с заранее предопределенными количественным: характеристиками их сложности, поскольку такие модели необходим! для развития сравнительной метрологии сложности хаотических прс цессов и для тестирования разрабатываемых алгоритмов оценки и при боров измерения этих характеристик;

3) провести исследование свойств аттракторов, восстанавливаемы по колебаниям, которые получены суммированием нескольких колеба ний (одинаковых хаотических, различных хаотических, хаотических : шумовых и т.п.) или преобразованными различными инерционным цепями и средами (фильтрация), т.к. подобные процедуры явно или не явно имеют место при любых экспериментальных исследованиях и су щественно влияют на их результаты.

Методы исследований, выбранные для достижения поставленны в диссертации целей, основаны на экспериментальных исследования радиофизических объектов — сосредоточенных радиотехнических г« нераторов хаоса — и последующего радиофизического и компьютер ного анализа их временных реализации. Экспериментальные резул! таты почти всегда подтверждены компьютерным моделированием, а некоторых случаях (когда это оказывается обоснованным и доказател!

л) представлены результаты только компьютерных экспериментов. :товерность полученных результатов определялась их согласованного при различных методах исследований и соответствием результа-1, полученным по эталонным моделям и алгоритмам, которые широко ;дставлены в литературе по нелинейной динамике и общепризнаны. Научная новизна представленных исследований заключается в дующем.

Основываясь на интерпретации размерности как функции про-)анственного масштаба наблюдения, введена связь между сложного колебаний (размерностью их аттрактора), необходимой длиной ссива данных, представляющих этот аттрактор, и степенью разре-ния тонкой структура аттрактора. Такой подход позволил рассма-ивать функцию размерности как характеристику сложности хаоти-ских колебаний, которая может быть вычислена по данным конечной ины и конечной сложности. Предложен и создан макет аналого-цифрового препроцессора для ,енки размерности колебаний, представленных временными реали-циями, и позволяющий в реальном времени работать с сигналами, ектр которых лежит в диапазоне до 1Мгц.

Проведены исследования поведения радиотехнических генераторов ютических колебаний в пространстве управляющих параметров, что юволило выделить ряд новых черт их динамики, связанных с явлени-.ш добавления периода и мультистабилыюстью.

Обнаружены и подтверждены в натурных и численных эксперимен-э,х закономерности усложнения хаотических колебаний при линейных нерционных преобразованиях, приводящие к развитию многомерного аоса в простых системах. Это явление можно рассматривать как но-ый ранее не исследованный путь возникновения и эволюции высоко-азмерного хаоса.

Практическая значимость работы связана с разрешением пролей корректного определения параметров процедуры восстановления [ оценки размерности хаотических колебаний. Это позволяет внедрить говый набор измеряемых характеристик сложных сигналов, которые >асширяют область инженерно описываемых колебательных процессов,

ограниченную в настоящее время лишь периодическими колебаниям! Появление инструментальных средств для адекватного анализа состой ния систем и процессов по временным реализациям ими порождаемы! должно обеспечить возможность управления ими.

Конкретными прикладными результатами таких исследований яе ляются следующие:

— выработаны требования к параметрам представления аналоге вых данных дискретными последовательностями, пригодных для ана лиза. методами нелинейной динамики;

— выработаны требования к выбору параметров алгоритма вое становления аттракторов динамических систем по временным реали зациям;

— выработаны критериеи достоверности оценки характеристш сложности хаотических колебаний;

— разработан принцип формирования хаотических колебаний с за ранее известными характеристиками их сложности (размерности), ко торые могут служить источниками тестовых колебаний для настройи параметров разрабатываемых алгоритмов.

Структура риссертации. Поскольку цель диссертации состоит I развитии методов количественного анализа характеристик сложности сигналов, рожденных динамическими системами, изложение материалов начинается с известных результатов, служащих основой настоящей работы. Нетривиальность процедуры восстановления аттракторов пс временным реализациям и понятия размерности аттракторов уже не первых шагах изложения приводят к " подводным камням", не позволяющим достичь цели прямым путем. Сложность ситуации заключается в том, что для определения корректных значений параметров алгоритмов восстановления и вычисления корреляционного интеграла необходимо оценить размерность, а для достоверной оценки размерности необходимо знать значения параметров алгоритмов. Первые три главы диссертации посвящены этой "самосогласованной" задаче. В них продолжается расширенное обоснование постановки задачи и получен ряд новых результатов, необходимых для корректного применения методов оценки корреляционной размерности по скалярным временным реали-

»ациям. В "четвертой главе наложена идея создания аналогового пре-хроцессора вычисления корреляционного интеграла по скалярным временным реализациям, поступающим на вход устройства, и приведены результаты оценки размерности этим устройством по экспериментальном данным. Пятая глава посвящена проблемам генерации тестовых <.аотических колебаний и формированию у них заданных характери-:тик сложности (заданных размерностей). Эти тестовые хаотические галебания необходимы для калибровки систем измерения размерности. В заключении подводятся итоги проведенной работы, сводящиеся к рекомендациям по применению процедуры оценки корреляционной размерности для анализа сложных временных реализаций.

Диссертация содержит 124 страницы текста 63 страницы иллюстраций и 17 страниц библиографии.

Содержание работы. Во Введении приводятся цели диссертации и анализируется место поставленной задачи среди известных результатов других исследований, что обосновывает актуальность темы диссертации. Сформулирована научная новизна и практическая значимость полученных результатов, а также положения, выносимые на защиту.

Первая глава является компактным введением в методы анализа сложных колебаний, развиваемые в нелинейной динамике. Кратко рассмотрены вопросы представления колебаний их временными реализациями, выделены различные типы сложных колебаний от периодических до шумовых, введены понятия динамической системы и фазового пространства и представлена основополагающая процедура анализа хаотических колебаний — восстановление аттракторов в квазифазовом пространстве по скалярным временным реализациям. Основное внимание уделено проблемам выбора параметров процедуры восстановления (время восстановления т, размерность вложения ш) для временных реализаций, ограниченных по длине и точности представления данных. Обзорный характер главы нарушается в последнем параграфе, где проводится сравнительный анализ различных способов выбора времени восстановления г аттракторов и анализируется их применимость для колебаний с различными характеристиками. На конкретных примерах для низкоразмерных хаотических колебаний показаны принципиальные

трудности определения времени восстановления аттракторов по вр> менным реализациям, которые обладают спадающими от нуля спе] тральными плотностями мощности. Для колебаний, имеющих выраже! ную ненулевую собственную частоту, предлагается и обосновываете эффективный критерий выбора времени восстановления как четверт периода этой собственной частоты.

Во второй главе рассматривается понятие корреляционного инт< грала, лежащего в основе определения корреляционной размерности, анализируются различные формы его записи и их влияние на эффе! тивность вычислений. Вводится и обосновывается понятие размерно сти как функции пространственного масштаба наблюдения (диапазон разрешения геометрической структуры аттрактора) в виде О0(Е), гд Е = 201о§(£/е:о)[,п1Б], приспособленное для оценки размерности по дак ным конечной длины и конечной точности, т.к. оно не требует почт нереализуемой экстраполяции полученных результатов к бесконечн малым масштабам наблюдения. Предложенный переход от математи ческих е-окрестностей к привычным единицам измерения отношени величин в децибеллах позволяет легко сопоставлять полученные резуль таты оценки размерности с динамическим диапазоном сигналов, спек тральной плотностью мощности, уровнем шума и т.п. Исходя из поня тия размерности как функции пространственного масштаба наблюде ния, получена зависимость необходимой длины массива данных N ог размерности оцениваемых колебаний Пс при заданной точности раз решения тонкой структуры аттрактора Ь [бит] (или заданном урони-шума). Эта оценка сводится к простому и наглядному соотношении вида

N = 2"Ч

Также получено выражение, дающее возможность определить предель ную величину достоверно вычисляемой размерности 0'С(АГ, е) для за данной длины массива данных N и заданного пространственного масштаба разрешения структуры аттрактора е как

Далее на примере колебаний, прошедших через линейные фильтры, про

12

одится анализ поведения корреляционного интеграла на больших мас-1табах наблюдения, определяемого краевыми эффектами, которые свя-аны с топологическими свойствами аттракторов (свойствами иссле-уемых сигналов). Закономерности влияния краевых эффектов на ход )ункции размерности позволяют объяснить причины завышения (зажжения) оценок размерности по данным конечной длины и точности, {ведение понятия внутренних краевых эффектов и связь их со свой-твами однородности аттракторов обосновывают возможность интер-[ретации результатов оценки размерности при отсутствии "плато" па юрреляционном ннтеграле. Это позволяет по виду функции корреляци-ШНОЙ размерности в конечном диапазоне пространственных масшта-юв наблюдения идентифицировать бифуркации периодических режи-юв и другие перестройки аттрактора, что придает размерности свой-тво характеристики динамического поведения системы и обосновы-¡ает ее применимость в качестве меры сложности динамического провеса.

Третья глава посвящена вопросам определения размерности вложе-шя т при восстановлении аттракторов. Приводится сравнительный шализ методов определения размерности вложения по результатам вы-шеления корреляционной размерности и методов спектра сингулярно-:тей. Рассмотрена зависимость вида корреляционного интеграла от ?еличины размерности вложения (длины окна восстановления) и по; азан а необходимость оптимального выбора т для конкретных временных реализаций. Представлен оригинальный метод восстановления ггтракторов по набору коротких временных реализаций, который позволяет корректно оценивать размерность таким образом восстановленного аттрактора при наличии во временных реализациях дефектов (импульсных помех или пропаданий сигнала). Суть метода опреде-гяется тем, что для вычисления корреляционного интеграла не важен торядок появления точек при восстановлении аттракторов. Имеет значение лишь место их расположения в квазифазовом пространстве. Поэтому набор любых сколь угодно коротких временных реализаций, каждая из которых допускает восстановление хотя бы единственного век-гора состояния, и все они принадлежат одному и тому же колебатель-

ному процессу, достаточен для корректного восстановления аттрактора этого процесса. Возможность накопления данных для восстановления аттракторов позволяет значительно расширить применимость процедуры восстановления аттракторов методом временных задержек для различных экспериментальных последовательностей. Принципиальным остается лишь общее количество точек в восстановленном аттракторе, которое должно удовлетворять соотношению N = 21Вс.

В четвертой главе рассматриваются вопросы увеличения скорости вычисления корреляционной размерности аттракторов, восстановленных по экспериментальным аналоговым данным, за счет выполнения процедуры вычисления расстояний между точками аттрактора аналоговым препроцессором. Препроцессор позволяет производить оценку корреляционого интеграла по серии поточечных размерностей, получаемых сравнением с точностью Д(7 в реальном времени т опорных напряжений, задающих опорную точку, с т-мерным вектором входного сигнала, сформированного т линиями задержки. Отношение времени пребывания траектории в ДХТ-окрестности опорной точки ко времени наблюдения сигнала (при достаточно большом времени наблюдения) определяет поточечный корреляционный интеграл. Управляющий компьютер циклически считывает это значение через интерфейс препроцессора и изменяет величину точности ДII. Конструктивное решение узла сравнения, использованное в препроцессоре, с одной стороны, не ограничивает ни величину размерности вложения гп. ни длину анализируемой временной реализации, а, с другой стороны, позволяет соединять такие узлы параллельно, что обеспечивает усреднение результатов по нескольким опорным точкам. Таким образом аппаратно достигается реализация алгоритма вычисления редуцированной корреляционной размерности по аналоговым данным и перевод аналоговых данных в цифровую форму для дальнейшего логарифмирования их она чений и построения функции размерности на экране ЭВМ. Эффек тивная длина реализации в экспериментальном препроцессоре могл; достигать 2 • 107 точек, размерность вложения ограничивалась 4, ча стотная полоса исследуемого сигнала лежала в диапазоне от 2 • 101 д 106 Гц и ограничивалась сверху скоростью срабатывания схемы сравнс

я. В заключительных параграфах главы представлены результаты :перимепталыюй проверки работы препроцессора. В них приведены имеры определения размерности по экспериментальным данным для яличных тестовых сигналов (гармонического, квазипериодического .отического), проанализирована точность получаемых результатов и шчины уменьшения диапазона разрешения тонкой структуру аттрак->ров.

В пятой главе представлены результаты исследования радиотехнических генераторов хаотических колебаний как источников тестовых ютических сигналов с заданной размерностью аттракторов. Возмож->сть получения набора хаотических колебаний с различными размер-)стями их аттракторов привлекательна для создания средств калибро-:и систем измерения сложности (в том числе и размерности) сигналов.

Для этого проведены экспериментальные исследования поведения ща радиотехнических генераторов (некоторые из которых имеют зигинальные схемные решения) в пространстве их управляющих пара-етров и построены подробные двупараметрические бифуркационные таграммы следующих систем: нелинейного контура с р-п переходом эд внешним гармоническим воздействием; кусочно-линейной модели ^автономного генератора Ван-дер-Поля; релаксационного генератора эд гармоническим воздействием; генератора на туннельном диоде; знератора типа "двойная спираль"; генератора "торус"; генератора ;шерхаоса. Многие из полученных в ходе этих исследований результа-ов являются новыми и имеют самостоятельное значение для выявления ахономерностей перехода от периодических колебаний к хаотическим, ак, например, здесь приведены подробные экспериментальные двупа-аметричеекпе бифуркационные диаграммы, которые для ряда систем остроены впервые (два варианта генератора на туннельном диоде, усочно-линейиая модель генератора Ван-дер-Поля, генератор гипер-аоса), а для других построены впервые со столь подробной и полной труктурой бифуркационных линий и областей мультистабильности неавтономный контур с р-п переходом, генератор "торус", релак-ационный генератор). В рамках поставленной в этой главе задачи отыскание наиболее стабильного генератора, который мог бы быть

генератором тестовых хаотических сигналов) эти параметрические исследования позволили выделить важные с технической точки зрения черты, характеризующие достоинства и недостатки различных радиотехнических генераторов, стабильность и повторяемость хаотических режимов, возможности контроля их режимов и т.п.

Созданные генераторы являются источниками только низкоразмерных хаотических колебаний, поэтому размерность их аттракторов ограничена и не может варьироваться в широких пределах. Поэтому следующей важной задачей диссертации ставилось формирование хаотических колебаний с любой наперед заданной размерностью. Изложению результатов решения этой задачи посвящена шестая глава, где рассматриваются два пути формирования тестовых хаотических колебаний с заданной размерностью.

Первый путь формирования сигналов с заданной размерностью — это поэлементное суммирование временных реализаций хаотических колебаний, дающее результирующие колебания, восстановленный аттрактор которых имеет размерность, равную сумме размерностей исходных колебаний, если их рассматривать как функции масштаба наблюдения, нормированные на единую для всех аттракторов величину ео, т.е. .

Dz(E) = J2DÍ(E), i

где Е — 201og(e/£o) и £о — общая для всех измерений нормировка пространственного масштаба.

Второй путь — линейная фильтрация хаотических колебаний. Этот путь позволяет повысить размерность детерминированных хаотических колебаний на выходе системы Dout до величины, равной сумме размерности исходных колебаний Д-„ и порядка фильтра г, т.е.

Dout = Din + h

где i — порядок фильтра. При этом спектр мощности таких колебаний стремится к 1//а подобному спектру. Подтверждение возможности формирования детерминированных хаотических колебаний с любой наперед заданной размерностью производится прямым компьютерным

анализом структуры восстановленного аттрактора оригинальным методом многократных сечений Пуанкаре, демонстрирующих самоподобие его усложнений при повышении порядка фильтра.

В заключении подводятся итоги проделанной работы и формулируются основные результаты, сводящиеся к следующим.

Обоснован и предложен для применения критерий выбора времени восстановления аттракторов как четверти периода основной частоты в спектре исследуемых колебаний.

Предложены простые методы оценки необходимой длины и точности дискретизованных временных реализаций колебательных процессов для корректного вычисления корреляционной размерности в заданном диапазоне разрешения структуры восстановленных аттракторов.

Предложена, обоснована и экспериментально проверена на различных сигналах технология оценки корреляционной размерности как функции разрешения структуры аттрактора (функции масштаба наблюдения). приспособленная для оценки размерности по данным конечной точности и конечной длины, не требующая почти нереализуемой экс-трополяции полученных результатов к бесконечно малым масштабам наблюдения.

Предложен и экспериментально проверен метод восстановления аттракторов по прерывистым временным реализациям, позволяющий осуществлять накопление данных для корректной оценки их корреляционной размерности по набору коротких временных реализаций.

Предложена схема и экспериментально реализовано устройство, осуществляющее аналоговым образом выполнение процедуры вычисления поточечной корреляционной размерности в "реальном масштабе времени" по мере поступления исследуемого сигнала на вход устройства при эффективной длине временной реализации до 2 • 107 точек и сигнальной полосе до 1МГц.

Реализована серия радиотехнических генераторов низкоразмерных хаотических колебаний, которые могут быть использованы как генераторы тестовых сигналов с предопределенной величиной размерности их аттракторов. Выявлены причины неустойчивости сложных колебательных режимов в таких генераторах, связанные с мультистабильностыо

(неоднозначностью) их поведения в пространстве управляющих параметров.

Экспериментально подтверждена возможность возникновения хаотических колебаний в неавтономном генераторе Ван-дер-Поля при реализации его нелинейной характеристики в виде кусочно-линейной функции и построена подробная двупараметрическая бифуркационная диаграмма режимов его работы.

Впервые построены подробные двупараметрические бифуркационные диаграммы для генератора на туннельном диоде (генератора Кияшко-Рабиновича-Пиковского), демонстрирующие самоподобные области возникновения хаотических колебаний по сценарию удвоения периода, разделенные линиями добавления периода.

Выявлено, что при линейной фильтрации хаотических колебаний возможно фрактальное усложнение структуры аттрактора, восстановленного по выходным колебаниям, на всех масштабах наблюдения, что ведет к реальному увеличению его размерности.

Выявлено, что предельная величина увеличения корреляционной размерности хаотических колебаний, прошедших фильтр п-порядка с бесконечной памятью о предыстории входных колебаний, равна порядку фильтра.

Обнаружено, что корреляционная размерность суммы хаотических колебаний (поэлементной суммы временных реализаций) равна сумме их размерностей как функций масштаба наблюдения, нормированных на единую для всех исходных аттракторов величину.

Предложен путь формирования тестовых хаотических колебаний с любой наперед заданной величиной размерности путем их фильтрации или суммирования.

Положения, выносимые на защиту.

1. Корреляционная размерность как функция пространственного масштаба наблюдения может быть использована в качестве меры сложности колебаний в динамических системах. При оценке корреляционной размерности по данным конечной длины и конечной точности существуют оптимальные значения параметров восстановления аттрактора (размерность вложения ш и время восстановления г), при которых

достигается максимальное разрешение тонкой структуры аттрактора. Более того, длина исследуемой временной реализации N и масштаб пространственного разрешения аттрактора е (или уровень шума исследуемого сигнала) однозначно определяют предельную величину размерности D'c{N,e), которая может быть корректно оценена как = log(TV)/log(l/£).

2. Тестовые хаотические сигналы с любой наперед заданной размерностью, необходимые для проверки и калибровки программных и аппаратно-программных средств оценки сложности хаотических колебаний по размерности, могут быть получены суммированием низкоразмерных хаотических колебаний или их линейной фильтрацией.

3. Корреляционная размерность суммы хаотических колебаний равна сумме их корреляционных размерностей Ds(E) = Yli^d^)' Рас~ сматриваемых как функции пространственного масштаба наблюдения Е — 201og(e/e0), нормированного на единую величину Cq.

4. Предельная величина повышения размерности хаотических колебаний при их линейной фильтрации равна порядку линейного фильтра г, если он обладает свойствами бесконечно глубокой памяти о предыстории входного сигнала, и размерность выходных колебаний Dout может достигать величины Dcut = Д„ + г, где Дп ■— размерность входных колебаний.

Апробация работы и публикации. Материалы диссертационной работы являются итогом более чем десятилетней работы и использованы при выполнении хоздоговорных и госбюджетных НИР, проводимых в НИИ Механики и Физики СГУ и Государственного учебно-научного центра "Колледж" СГУ, а также в учебном процессе кафедры Электроники и волновых процессов СГУ. Представленные результаты неоднократно докладывались на различных семинарах и конференциях, среди которых: "Школа-семинар по стохастическим колебаниям в радиофизике и электронике" (Саратов, 1985, 1988, 1991, 1994), "Зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике" (Саратов, 1989, 1992, 1993), "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении" (Горький, ГГУ, 1989,1993), "Метрология в прецизионном машиностроении" (Саратов. 1990), "Нелинейные Цепи и Системы" (Москва, 1992)

"Self-Formation in Physics, Thechnology and Application" (Vilnius, 1992), "International Simposium on Nonlinear Theory and Its Applications" (NOLTA'93, Hawaii, USA, 1993), "Эколого-физиологические проблемы адаптации" (Москва, 1994), "Int.Conf. on Dynamical Systems and Chaos" (Tokyo, 1994), "Dynamic and Stochastic Wave Phenomena" (N.Novgorod, 1994), "The International Conference on Criteria of Selforganization in Physical, Chemical and Biological Systems" (Moscow-Suzdal, 1995), "International School in Nonlinear Science" (Nizhny Novgorod, 1995).

Основные результаты опубликованы в научных сборниках:

1. А.А.Кипчатов, Л.В.Красичков, А.В. Андрушкевич. Диагностика Сложных Колебаний по Корреляционной Размерности. Нелинейные Цепи и Системы // Доклады Международного Семинара. Москва. 1992. Т.2. с.308-317.

2. А.В.Андрушкевич, А.А.Кипчатов, Л.В.Красичков, А.П.Митрофанов, Д.И.Трубецков. Корреляционная размерность как мера сложности колебаний // Физика. Сборник статей (Программа "Университеты России") //под ред. А. II .Тихонова, В.А.Садовничего. Москва. МГУ. 1994 с.32-40.

3. A.A.Kipchatov, L.V.Krasichkov. On Reconstruction of Chaoti Attractor from Time Series Represented as "Clusters" // In: Proceeding of the International Conference on Dynamical Systems and Chaos, editei by Aizawa, Y., Saito, S., and Shiraiwa, K. Singapore: World Scientific 1995. p.355-358.

4. A.A.Kipchatov, L.V.Krasichkov. The Creation of High-dimension? Oscillations from Low-dimensional Systems // In: Proceedings of tb International Conference on Dynamical Systems and Chaos, edited b Aizawa, Y., Saito, S., and Shiraiwa, K. Singapore: World Scientific, 1991 p.359-362.

5. A.A.Kipchatov, L.V.Krasichkov. Passing of Chaotic Signals Throug Linear Band-Pass Filter // In: Proceedings of Internatonal Simposium с Nonlinear Theory and Its Applications (NOLTA'93), Hawaii, USA. 199 p.243-246.

6. B.P.Bezrucbko, A.A.Kipchatov, L.V.Krasichkov, Y.P.Selezne Complex Dynamics of Driven Piece-Wise Linear Oscillator // In: Pre

if International Simposium on Nonlinear Theory and Its Applications NOLTA'93) Hawaii, USA. 1993. p.471-474.

Опубликовано в периодических изданиях:

7. А.А.Кипчатов. Особенности сложной динамики неавтономного [елинейного контура // Известия ВУЗов Сер. Радиофизика. 1990. Т.33 ío.2 с. 182-190.

8. А.В.Андрушкевич, А.А.Кипчатов. Хаос и периодичность в гене-»аторе на туннельном диоде // Известия ВУЗов. Сер. Радиофизика. 990. Т.ЗЗ. No.4. с.431-434.

9. А.В.Андрушкевич, А.А.Кипчатов, Л.В.Красичков, А.А.Коронов-:кий. Путь к хаосу в кусочно-линейной модели генератора па туннель-юм диоде // Известия ВУЗов, Сер. Прикладная Нелинейная Динамика. .993. T.I. No.1-2. с.93-103.

10. А.А.Кипчатов, Л.В.Красичков. Изменение структуры стран-гого аттрактора при полосовой фильтрации хаотических колебаний // 1исьма в ЖТФ. 1993 Т.19. No.17. с.68-71.

11. А.А.Кипчатов, Л.В.Красичков. Суперфрактализация хаотиче-;кого аттрактора при линейной фильтрации // Письма в ЖТФ. 1995. Г.21. No. с.1-6.

12. А.А.Кипчатов, Л.В.Красичков. Восстановление аттракторов по iaöopy коротких временных реализаций// Письма в ЖТФ. 1995. Т.21. ^о.З. с.39-42.

13. А.А.Кипчатов. Оценка корреляционной размерности аттракторов, восстановленных по данным конечной точности и длины // Письма з ЖТФ. 1995. Т.21. No.15. С.90-95.

14. А.В.Андрушкевич, А.А.Кипчатов, Л.В.Красичков, А.А.Коронов-:кий. Экспериментальное двупараметрическое исследование неоднозначных режимов колебаний при разрушении квазипериодических горов // Известия ВУЗов. Сер. Радиофизика. 1995. Т.38. No.И г. 1195-1203.

15. A.Kipchatov, L.Krasichkov. Generating high-dimensional chaotic signals by the sum // Preprint. Available from comp-gas bulletin board in Los Alamos (ftp://xyz.lan.gov) as manuscript No.9601001. 1996.