Преобразование хаотических колебаний линейными инерционными цепями и средами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

КРАСИЧКОВ Леонид Валерьевич

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ЛИНЕЙНЫМИ ИНЕРЦИОННЫМИ ЦЕПЯМИ И СРЕДАМИ

01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертацхш на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 1997

Работа выполнена на кафедре электроники и волновых процессов Саратовского государственного университета, в НИИ Механики и Физики при Саратовском государственном университете и в Государственном учебно-научном центре "Колледж" СГУ.

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических на,у] профессор Д.И.Трубецков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических иау!

с.н.с. В.П.Пономаренко доктор физико-математических иау] с.н.с. А.П.Кузнецов

Ведущая организация: Нижегородский государственный

университет

Защита состоится 5 февраля 1998 г. в 17 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 003.74.01 по специальности 01.04.03 в Саратовском государственном университете (410020, г.Саратов, ул.Астраханская, 83).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СГУ.

Автореферат разослан 29 декабря 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук доцент /

В.М.Аникин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследуемой проблемы. В последние десятилетия наблюдается значительный прогресс в выявлении и понимании основных закономерностей возникновения детерминированного хаотического поведения в простых моделях распределенных систем и систем с сосредоточенными параметрами. В ходе поиска таких закономерностей был разработан и развит набор методов, позволяющих количественно и качественно классифицировать сложнопериодическне и хаотические колебательные режимы, а также отличать детермннироваиное хаотическое поведение от шума. Среди этих методов следует особо выделить метод восстановления поведения динамической системы по одной переменной состояния, основанный на результатах N.H.Packard,

F.Takens, R.Mane (1980, 1981); метод оценки корреляционной размерности, предложенный P.Grassberger и I.Procaccia (1983); метод оценки ляпуновских характеристических показателей по одной переменной состояния, предложенный A.Wolf, J.B.Swift, H.L.Swinney, J.A.Vastano (1985); метод оценки размерности вложения динамической системы, предложенный D.S.Broomhead и

G.P.King (198G).

В настоящее время вышеперечисленные методы широко используются для анализа поведения механических, радиофизических, электронных, гидродинамических, биологических, экономических, социальных и других систем (см. монографии М.И.Рабиновича и Д.И.Трубецкова; А.Лихтенберга и М.Либер-мана; Ю.И.Неймарка и П.С.Ланда; Г.М.Заславского и Р.З.Саг-деева; Г.Шустера; А.С.Дмитриева и В.Я.Кислова; В.С.Ани-щенко; Ю.И.Климотовича; Ф.Муна; А.Ю.Лоскутова и А.С.Михайлова; Г.Николиса и И.Пригожина; Л.Гласса и М.Мэки; Е.Федера; Г.Хакена; П.Берже, И.Помо и К.Видаля; Т.С.Ахроме-евой, С.П.Курдюмова, Г.Г.Малинецкого и А.А.Самарского и др.). Анализ поведения реальных систем затрудняется тем, что сигналы, порождаемые такими системами, как правило, зашумлены. Данное обстоятельство приводит к необходнмо-

сти предварительной обработки сигнала с целью увеличения отношения сигнал-шум.

Традиционно, для уменьшения влияния шума, в случае обработки периодических или сложнопериодических колебаний, применяется линейная фильтрация. Подобная процедура не всегда применима к обработке хаотических сигналов, поскольку, как показано R.Badii и A.Politi1, линейная фильтрация приводит к тому, что размерность хаотических колебаний на выходе фильтра увеличивается. Такой эффект имеет место даже в том случае, если осуществляется фильтрация хаотического сигнала, несмешанного с шумом.

Исследование явлений, связанных с усложнением (увеличением размерности) хаотических колебаний на выходе линейного фильтра, проводилось с целью выявления механизмов такого усложнения (R.Badii, A.Politi, G.Broggi, P.Paoli,

F.Mitschke, T.Sauer, J.A.Yorke, M.Casdagli, M.T.Rosenstein, J.J.Collins, M.E.Davies, K.M.Campbell), а также, с целью построения процедур линейной фильтрации, приводящих к минимально возможным искажениям хаотического сигнала (D.S.Bro-omhead, G.P.King, П.С.Ланда, М.Г.Розенблюм, F.Mitschke). Показано, что усложнение хаотических колебаний может быть сведено к минимуму, но только при соответствующем тщательном подборе типа фильтра и его параметров в каждом конкретном случае (для рассматриваемых хаотического сигнала и шума). Подбор типа фильтра является достаточно трудоемким. В результате получили развитие методы адаптивной нелинейной фильтрации (А.С.Пиковский, S.M.Hemmel, P.Grassberger, T.Schreiber, T.Sauer, R.Hegger, J.D.Farmer, J.J.Sidorowich, E.J.Kostelich, J.A.Yorke, R.Cawley, G.Hsu, N.Enge, Th.Buzug,

G.Pfister, H.D.I.Abarbanel), в большинстве случаев позволяющие эффективно уменьшать влияние шумов, но, в свою очередь, являющиеся многопроходными и требующими значительных

1 Badii R., Politi A. On the fractal dimension of filtered chaotic

signals // In: the Dimensions and Entropies in Chaotic Systems,

edited by Mayer-Kress G. Berlin: Springer-Verlag. 1986. P.67-73.

4

компьютерных ресурсов. Вышесказанное позволяет сделать вывод о том, что механизмы усложнения низкоразмерных хаотических колебаний линейными системами остаются до конца не выясненными и требуют дальнейших исследований.

Рассмотрение линейных систем под действием хаотических колебаний может оказаться полезным при исследовании закономерностей возникновения сложного поведения в распределенных системах. В настоящее время достигнуты значительные успехи в выявлении таких закономерностей при исследовании моделей распределенных систем, представляющих собой решетки нелинейных элементов (С.П.Кузнецов, К.Капеко2). Оказалось, что рассмотрение эффектов, возникающих при распространении хаотических колебаний в линейных средах, также может дать дополнительную информацию для выявления путей к высокоразмерному хаосу н для построения модели возникновения турбулентности (А.В.Гапонов-Грехов, М.И.Рабинович3). Кроме того, линейная система под действием хаотических колебаний может рассматриваться при исследовании стохастических процессов, например, в качестве модели движения броуновской частицы (Т.ЭЫпти).

Таким образом, исследование преобразования хаотических колебаний линейными инерционными системами и средами является актуальным для современной радиофизики с фундаментальной (исследование путей возникновения высокоразмерного хаоса), а также с прикладной (увеличение отношения сигнал-шум при анализе колебательных состояний нелинейных систем) точек зрения.

Цель диссертационной работы состоит в выявлении и исследовании закономерностей преобразования хаотических колебаний линейными инерционными цепями (линейными филь-

2 Theory and applications of coupled map lattices. / edited by Kaneko I<. New York: Wiley. 1993. 195P.

3 Gaponov-Grekhov A.V., Rabinovich M.I., Starobinets I.M.,

Tsimring M.Sh., Chugurin V.V. Sl-dimension of chaotic time series // CHAOS. 1994. V.4. No.l. P.55-G2.

5

трами), а также в исследовании явлений, возникающих при распространении хаотических сигналов в линейных распределенных системах (линейных средах).

Методы исследований и достоверность научных результатов. Большинство результатов, представленных в работе, получено путем численного (компьютерного) моделирования. В тех случаях, когда рассматривался натурный (радиофизический) эксперимент, проводился компьютерный анализ временных реализаций, введенных в компьютер с помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Достоверность полученных результатов подтверждается согласованностью аналитических и численных результатов, воспроизводимостью результатов численного моделирования, подтверждением отдельных результатов натурным экспериментом, а также соответствием результатов, полученных в работе, результатам, широко представленным в литературе.

Научная новизна. В ходе натурных и численных экспериментов детально исследованы закономерности преобразования низкоразмерных хаотических колебаний различными типами линейных фильтров. Выявлены механизмы, приводящие к усложнению (увеличению размерности и изменению структуры аттрактора) хаотических колебаний цифровыми фильтрами. Впервые детально исследовано влияние вида амплитудно-частотных и фазо-частотиых характеристик линейных преобразований на усложнение хаотических колебаний. Впервые рассмотрены особенности распространения низкоразмерных хаотических колебаний в линейной среде с дисперсией и выявлены закономерности изменения их характеристик. Проанализирован ряд методов, позволяющих классифицировать высокоразмерные хаотические колебания по степени их сложности и, в частности, отличать такие колебания от шумовых.

Практическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты могут найти применение при решении задач, связанных с диагностикой сложного поведения сосредоточенных и распределенных динамических систем по одной (временной или пространственной) переменной состояния. Предло-

женныс в работе фильтры низких частот, приводящие к минимальному усложнению колебаний на выходе, могут найти применение для "очистки" от шума хаотических колебаний, полученных в натурном эксперименте, при их подготовке к дальнейшему анализу на основе методов нелинейной динамики. Разработанные методы формирования высокоразмерных детерминированных колебаний могут найти применение при настройке методов анализа сложного поведения динамических систем.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертация содержит 86 страниц текста, 55 рисунков н 15 страниц списка литературы из 164 наименований. Общий объем работы 15G страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель, научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Приводятся положения, выносимые на защиту, а также сведения об апробации результатов.

В первой главе исследуются закономерности преобразования низкоразмерных хаотических колебаний линейными цепями. При построении моделей такие цепи описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

В главе представлены результаты натурного эксперимента по преобразованию хаотических колебаний эллиптическим биквадратным фильтром низких частот 4-го порядка. Сигнал, подаваемый на вход фильтра, генерировался системой Chua (Double Scroll). Анализ выходного сигнала фильтра проводился на компьютере по оцифрованным временным реализациям. На основе анализа восстановленных фазовых портретов, спектров мощности, плотностей вероятности и корреляционной размерности, показано, что в результате фильтрации хаотические колебания усложняются, причем, при определенных значениях параметров фильтров становятся близкими к шумовым. Для анализа степени такого усложнения проведено численное моделирование прохождения хаотических колебаний через линейные

7

фильтры с максимально плоской амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) в полосе пропускания. На вход фильтров подавался хаотический сигнал, генерируемый системой Рес-слера

где е,/, ц - параметры. Проведен сравнительный анализ сложности колебаний (по отображениям последования и графикам зависимости корреляционной размерности от масштаба наблюдения) на выходе полосового фильтра 6-го порядка

где /г(£) - входной сигнал (переменная х системы (1)), ю(Ь) -выходной сигнал, - ширина полосы пропускания фильтра, и>0 - центральная частота полосы пропускания. Показано, что на выходе фильтра (2) при уменьшении структура странного аттрактора изменяется, увеличивается размерность аттрактора на малых масштабах наблюдения, степень неоднородности аттрактора увеличивается.

Для выявления степени влияния вида амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик линейного фильтра на особенности преобразования хаотических колебаний рассмотрены фильтры, позволяющие задавать независимые друг от друга амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики (АЧЗ и ФЧХ). Процедура фильтрации осуществлялась в "частотной области" на основе преобразования Фурье

где £(£) и - сигналы на входе и выходе фильтра, Р и Р* - прямое и обратное преобразования Фурье, II(ш) - передаточная характеристика фильтра. Исследовались простейшие ФНЧ

я = ~{у + у = х + еу, г = / - цг + хг,

(1)

V = -— —

гд = 2Г2(и — и)) — ш^ги,

(2)

(3)

и фазовые фильтры (|//(ы)| = 1 - ЛЧХ фазового фильтра), которые определялись //(ш). АЧХ для ФНЧ были выбраны идентичными, ФЧХ - различными. На вход фильтра £(£) подавались колебания, генерируемые 1) системой Ресслера (1), 2) кусочно-линейной моделью генератора на туннельном диоде [2]. В результате исследований показано, что фильтр низких частот (ФНЧ), обладающий ненулевым фазовым сдвигом, приводит к более значительному изменению структуры странного аттрактора на выходе фильтра, чем ФНЧ с постоянной равной нулю фазо-частотной характеристикой (<p(II(oj)) — 0). Рассмотрение преобразования хаотических колебаний фазовым фильтром позволило сделать вывод о том, что фазовый фильтр также приводит к изменению структуры аттрактора хаотических колебаний, причем чем больше величина фазового сдвига, тем более значительным является такое изменение.

Вторая глава посвящена исследованию преобразования хаотических колебаний системами с дискретным временем, а именно, системой с запаздывающим аргументом, которая представляет собой цифровой фильтр, а также другими типами линейных цифровых фильтров.

В качестве модели системы с запаздывающим аргументом использовалось преобразование вида

s{t) =u{t) + u{t- г), (4)

где s(t) - выходной сигнал, u(t) - входной сигнал, значение т определяет запаздывание. В качестве входного сигнала использовались хаотические колебания, генерируемые системой Ресслера (1). Преобразование (4) представляет собой цифровой полосно-заграждающий (режекторный) фильтр с частотами максимального подавления и>п = (2n + l)woi = тгг-1, п = 0,1, ...Для системы (4) было исследовано влияние величины запаздывания т на изменение структуры странного аттрактора колебаний на выходе. Показано, что в системе (4) при увеличении г наблюдается изменение структуры странного аттрактора на больших (сравнимых с размером аттрактора) масштабах наблюдения.

Для выяснения особенностей изменения структуры хаотического аттрактора при фильтрации, рассматриваются простейшие цифровые нерекурсивные

гп = (1- у)хп + ухп_1,

(5)

и рекурсивные фильтры

2п = (1 - Т)гп + 7гп-1

(6)

где х, г - входной и выходной сигналы, 7 - коэффициент, задающий частоту среза (0 < 7 < 1). В качестве входного сигнала для фильтров (5) и (б) использовались низкоразмерные хаотические колебания, генерируемые одномерным отображением с квадратичным максимумом

где Л = 1.9. Анализ отображений доследования сиг-

налов на выходе цифровых нерекурсивного (5) и рекурсивного (6) фильтров показал, что такие фильтры приводят к расслоениям ("удвоениям") исходной структуры аттрактора, наблюдающейся на входе фильтров. Нерекурсивный цифровой фильтр, сигнал на выходе которого получен из одного значения сигнала на входе фильтра в данный момент времени и одного значения сигнала на входе в предыдущий момент времени, приводит к повороту странного аттрактора в трехмерном фазовом пространстве системы (5), (7), и, как следствие, к тому, что проекция аттрактора становится расслоенной ("удвоенной"). Нерекурсивный фильтр, выходной сигнал которого получается по двум значениям сигнала на входе в предыдущие последовательные моменты времени, приводит к двум удвоениям странного аттрактора. Рекурсивный фильтр (6) представляет собой цепочку из бесконечного числа нерекурсивных цифровых фильтров, сохраняет информацию о значениях входного сигнала на некотором временном интервале и приводит к возникновению новой фрактальной структуры (суперфрактализации). Для того, чтобы оценить изменение степени неоднородности странного аттрактора на выходе рекурсивного цифрового фильтра был проведен

хп — \ —

(7)

расчет спектра обобщенных размерностей и /(а)-спектра по методу, предложенному T.C.Halsey и др.4

В третьей главе исследуются закономерности распространения низкоразмерных хаотических колебаний в линейных распределенных системах (средах).

Приведены результаты исследований прохождения хаотических колебаний через линейную среду с дисперсией. При построении модели среда представлялась в виде цепочки линейных осцилляторов

щ + ущ + ш^щ = u)j(ui+i - 2щ + u,-_i), (8)

где i = 1, ...,N, N - количество элементов в цепочке, у, со0, - параметры. Граничные условия для системы (8) задавались в виде щ = Uo, им = w;v+i- Рассмотрен случай, когда на одну из границ среды (элемент с номером i = 1) подавались хаотические колебания, генерируемые системой Ресслера (1).

Система (8) исследовалась на предмет возможности возникновения высокоразмерных колебаний при изменении параметров у, W0, W1.

В главе также рассматривается распространение хаотических колебаний, генерируемых логистическим отображением (7), в линейной среде с однонаправленной и диффузионной связью. Модель такой среды, представляет собой решетку линейных элементов с дискретным временем

zn+i,i = (1 — £)zn,i + + -v(znii+i - 2zHii + z7li,-_i), (9)

где n - дискретное время (n = 1,2,...), i - дискретная пространственная координата (г = 1,2N - размер системы), е задает величину однонаправленной связи, v задает величину диффузионной связи. Рассмотрены граничные условия вида

4 Halsey Т.С., Jensen М.Н., KadanofT L.P., Procaccia I., Sliraiman B.I. Fractal measures and their singularities: The characterization of strange sets // Phys. Rev. A. 1986. V.33. No.2. P.1141-1151.

2п,о = — 2п,ЛГ+1- На вход системы (9) подавались ха-

отические колебания, генерируемые системой (7). Проведена оценка, качественных и количественных характеристик колебаний, реализующихся в различных сечениях представленной линейной среды. При анализе поведения цепочек с однонаправленной связью (р = 0) выявлено, что сложность (размерность) колебаний нарастает при удалении от источника возмущения. Показано, что для решеток с однонаправленной и диффузионной связью {и ф 0 и е ф 0) характерно разрушение структуры, наблюдаемой на пространственно-временной диаграмме, и переход к нерегулярному пространственно-временному поведению при движении от источника возмущения.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Основные результаты и выводы.

В ходе натурных и численных экспериментов подтверждено, что линейная фильтрация приводит к усложнению низкоразмерных хаотических колебаний, а именно, к увеличению размерности колебаний на выходе фильтра. Функция плотности распределения вероятностей становится близкой к нормальной для колебаний на выходе линейного фильтра при определенном значении его параметров.

Предложены модели линейных фильтров с максимально плоскими амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) в полосе пропускания. Показано, что при прохождении низкоразмерных хаотических колебаний через фильтры низких частот (ФНЧ) и полосно-пропускающие фильтры (ПФ), обладающие такими АЧХ, происходит изменение на малых масштабах наблюдения структуры странного аттрактора, восстановленного по колебаниям на выходе таких фильтров.

Предложены простейшие модели линейных фильтров низких частот, позволяющие задавать их амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики независимо друг от друга. Исследовано влияние амплитудно-частотных и фазо-частотных характеристик на изменение структуры аттрактора низкоразмерных хаотических колебаний.

Выявлено, что фильтры низких частот, обладающие постоянным и близким к нулевому фазовым сдвигом, приводят к минимальному изменению структуры аттрактора хаотических колебаний.

Показано, что линейная система с запаздыванием приводит к изменению характеристик низкоразмерных хаотических колебаний. Структура странного аттрактора колебаний на выходе такой системы изменяется на больших масштабах наблюдения.

Предложено качественное объяснение изменения структуры аттрактора хаотических колебаний, генерируемых логистическим отображением, цифровыми нерекурсивным и рекурсивным фильтрами. Проведена оценка степени неоднородности странного аттрактора на выходе рекурсивного цифрового фильтра.

Предложены модели линейных инерционных сред, представляющие собой цепочки рекурсивных цифровых фильтров. Исследовано влияние величины однонаправленной и диффузионной связи на изменение характеристик низкоразмерных хаотических колебании при распространении в таких средах.

Показано, что оценка динамических (корреляционная размерность и ляпуновскпе характеристические показатели) и статистических (автокорреляционная функция, плотности вероятности, структурная функция) характеристик может быть применена для классификации высокоразмерных хаотических колебаний, а также, для того, чтобы, в ряде случаев, отличить высокоразмерные хаотические колебания от шума.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Линейные инерционные преобразования (фильтры), сохраняющие информацию обо всех значениях сигнала на входе, приводят к увеличению размерности аттрактора низкоразмерных детерминированных хаотических колебаний.

2. Линейное преобразование, обладающее только фазовыми свойствами (фазовый фильтр) приводит к усложнению структуры аттрактора хаотических колебаний, причем чем больше величина фазового сдвига, вносимого фильтром, тем больше

13

структура аттрактора отличается от исходной. Линейный фильтр низких частот приводит к минимально возможному усложнению низкоразмерных хаотических колебаний в том случае, когда обладает зависимостью фазы от частоты равной нулю во всем диапазоне частот.

3. В результате исследований особенностей преобразования хаотических колебаний, генерируемых логистическим отображением, цифровыми рекурсивными и нерекурсивными фильтрами, выявлено два пути усложнения хаотических колебаний. Показано, что преобразование хаотических колебаний нерекурсивными фильтрами приводит к растяжению и складыванию странного аттрактора, и к усложнению аттрактора на больших масштабах наблюдения. Рекурсивные фильтры приводят к расслоению странного аттрактора на всех масштабах наблюдения, и, как следствие, к появлению новой фрактальной структуры.

4. Низкоразмерные хаотические колебания усложняются при распространении в цепочках и решетках линейных элементов. Показано, что в цепочках однонаправленно связанных линейных фильтров размерность хаотических колебаний нарастает при движении по пространственной координате от источника хаотических возмущений. В результате исследования особенностей распространения низкоразмерных хаотических колебаний в цепочках линейных элементов показана возможность получения на выходе такой цепочки, колебаний, которые невозможно отличить от шумовых по оценкам таких характеристик, как корреляционная размерность, спектр мощности, плотность распределения вероятности.

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались на III и IV школах-семинарах "Стохастические колебания в радиофизике и электронике" (Саратов, 1991, 1994), на IX зимней школе-семинаре по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов, 1993), на Международном семинаре "Нелинейные цепи и системы" (Москва, 1992), на III конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 1993), на "International Conference on Dynamical Systems and Chaos" (Tokyo, 1994), на "International School in

Nonlinear Science" (Nizhny Novgorod, 1995), на "International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine" (Saratov, 1996). Материалы диссертационной работы неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры электроники и волновых процессов СГУ. Результаты работы использованы прн выполнении хоздоговорных НИР "Цикл", "Цуг" и "Ценз", "Кард", госбюджетных НИР "Вакханалия-РВО" и "Фрактал", проекта "ТРАЛ" выполненного в рамках программы "Университеты России", грантов Российского Фонда Фундаментальных Исследований (93-0216171, 95-02-06262, 96-02-16753). По теме диссертации опубликовано 19 научных работ (12 статей [1-3,5,6,9-12,14,18,19] и 7 тезисов докладов [4,7,8,13,15-17]). В работах, выполненных в соавторстве, Краснчкову Л.В. принадлежит осуществление всех численных экспериментов, а также, либо постановка задачи, либо обоснование и анализ полученных результатов.

Основные результаты работы опубликованы в следующих изданиях:

1. Кипчатов A.A., Красичков Л.В., Андрушкевич A.B. Диагностика сложных колебаний по корреляционной размерности // Нелинейные Цепи и Системы. Доклады Международного Семинара. Москва: 1992. Т.2. С.308-317.

2. Андрушкевич A.B., Кипчатов A.A., Красичков Л.В., Ко-роновский A.A. Путь к хаосу в кусочно-линейной модели генератора на туннельном диоде // Известия ВУЗов сер. Прикладная Нелинейная Динамика. 1993. T.I. N.1-2. С.93-103.

3. Кипчатов A.A., Красичков Л.В. Изменение структуры странного аттрактора при полосовой фильтрации хаотических колебаний // Письма в ЖТФ. 1993. Т.19. N.17. С.68-71.

4. Кипчатов A.A., Красичков Л.В. Фильтрация хаотических сигналов // Нелинейные колебания механических систем. Тезисы докладов III конференции, Нижний Новгород: 1993. С.95.

5. Kipchatov A.A., Krasichkov L.V. Passing of chaotic signals through linear band-pass filter // In: the Proceedings of Internatonal Simposium on Nonlinear Theory and Its Applications (NOLTA'93). Hawaii, USA: 1993. V.l. P.243-246.

6. Андрушкевич А.В., Кипчатов А.А., Красичков JI.B., Митрофанов А.П., Трубецков Д.И. Корреляционная размерность как мера сложности колебаний // Физика. Сборник статей (Программа "Университеты России"), под ред. Тихонова А.Н., Садовничьего В.А. и др. Москва: МГУ. 1994. С.32-40.

7. Kipchatov A.A., Krasichkov L.V. Fractal complications of attractor structure in linear discret-time media // In: the Abstracts of the Second International Scientific School-Seminar on Dynamic and Stochastic Wave Phenomena (Nizhny Novgorod-Mos-cow-Nizhny Novgorod, 21-28 June 1994), edited by Gurbatov S.N., Shalfeev V.D. Nizhny Novgorod: Nizhny Novgorod University Press. 1994. P.78.

8. Kipchatov A.A., Krasichkov L.V. Method of null hypothesis test by time series similar to surrogate data // In: the Abstracts of the Second Internetional Scientific School-Seminar on Dynamic and Stochastic Wave Phenomena (Nizhny Novgorod-Mos-cow-Nizhny Novgorod, 21-28 June 1994), edited by Gurbatov S.N., Shalfeev V.D. Nizhny Novgorod: Nizhny Novgorod University Press. 1994. P.79.

9. Кипчатов А.А., Красичков JI.B. Суперфрактализация хаотического аттрактора при линейной фильтрации // Письма в ЖТФ. 1995. Т.21. N.4. С.1-6.

10. Кипчатов А.А., Красичков JI.B. Восстановление аттракторов по набору коротких временных реализаций // Письма в ЖТФ. 1995. Т.21. N.3. С.39-42.

11. Kipchatov A.A., Krasichkov L.V. On reconstruction of chaotic attractor from time series represented as "clusters" // In: the Proceedings of the International Conference on Dynamical Systems and Chaos, edited by Aizawa Y., Saito S., Shiraiwa K. Singapore: World Scientific. 1995. V.2. P.355-358.

12. Kipchatov A.A., Krasichkov L.V. The creation of high-dimensional oscillations from low-dimensional systems //In: the Proceedings of the International Conference on Dynamical Systems and Chaos, edited by Aizawa Y., Saito S., Shiraiwa K. Singapore: World Scientific. 1995. V.2. P.359-362.

13. Kipchatov A.A., Krasichkov L.V., Kozlenko E.L. Mechanizm

of attractor destruction under linear filtration // In: the Abstracts of the International Conference on Criteria of Selforganization in Physical, Chemical and Biological Systems (Moscow-Suzdal, June 12-18, 1995), Suzdal: 1995. P.133.

14. Krasichkov L.V., Kipchatov A.A. On high-dimensional oscillations from lattice of linear elements // In: Nonlinear Waves. Synchronization and Patterns, edited by Rabinovich M.I., Sushchik M.M., Shalfeev V.D. Nizhny Novgorod: Nizhny Nonvgorod University Press. 1995. V.l. P.69-74.

15. Krasichkov L.V. Complication of low-dimensional chaotic oscillations by linear media // In: the Abstracts of the International Conference on Contemporary Problems in Theory of Dynamical Systems (CPTDS'96) (Nyzhny Novgorod, Russia, 1-6 July 199G), Nyzhny Novgorod: Nyzhny Novgorod University Press. 199G. P.31-32.

1G. Krasichkov L.V., Kipchatov A.A. High-dimensional oscillations from deterministic dynamical systems: Linear filtering // In: the Book of Abstracts of the International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine (ICND-96) (Saratov, Russia, July 8-14, 1996), Saratov: 1996. P.101.

17. Красичков Jl.В. Преобразование хаотических колебаний: влияние амплитудно-частотных и фазо-частотных характеристик линейных фильтров // Нелинейные колебания механических систем. Тезисы докладов IV международной конференции. Нижний Новгород: 1996. Р.83.

18. Красичков JI.В. Влияние амплитудных и фазовых свойств линейного фильтра на преобразование хаотических колебаний // Письма в ЖТФ. 1996. Т.22. N.22. С.72-77.

19. Krasichkov L.V. Filtering of chaotic oscillations: effect of transfer function // In: the Proceedings of the 5th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES-97) (Moscow, Russia, June 26-27, 1997), Moscow: 1997. P.464-468.

КРАСИЧКОВ Леонид Валерьевич

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ЛИНЕЙНЫМИ ИНЕРЦИОННЫМИ ЦЕПЯМИ И СРЕДАМИ

Автореферат

Ответственный за выпуск — к.ф.-м.н., доцент Ю.И.Левин

Заказ № 61. Подписано к печати 17.12.97. Объем 1.1 печ.л. Тираж 100 экз. Изд-во ГосУНЦ "Колледж", г.Саратов.