К задаче Дарбу для многомерных гиперболических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ш О У

ИРКУТСКИЙ ВЫЧЙСЖШь^Й ЦШ'Р Си rih СССР

На правах рукописи

Кутузов Владимир -Рролович

К ЗАДАЧЕ ДАРа/ fóhuiUMEPnaX l'HíiEpDÜjIH4hErikÍA cnc'í'üv;

Л.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 1992

Г S

Работа выполнена в Читинском политехническом институте.'

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А.К.Янушаускас Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор С.С.Харибегашвили кандидат физико-математических наук, доцент Г.В.Васильева Ведущая организация - институт математики и механики

йН Казахстана

Защита состоится на заседании специализированного совета К 003.63.01 Иркутского вычислительного центра СО АН СССР по адресу: 664033, г.Иркутск, ул.Лермонтова, 134.

С диссертацией молено ознакомиться в библиотеке Иркутского вычислительного центра СО АН СССР.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета

А.И.Тятюшкин

.. о

СБчАЯ :ШЖГЕБ1СТЖА РАБОТЫ

т«1

т

зргациА

Актуальность теш. Для дифференциальных уравнений гипер-

болического типа с двумя независимыми переменными основными задачами, наряду с задачей Коши и смешанной задачей, являются характеристическая задача Коши или задача Гурса и задача Дарбу. Для гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными эти задачи достаточно хорошо изучен'-:. Научный нкторос представляют правильная постановка и исследование .задач Гурса и Дарбу для гиперболических систем второго порядка с двумя и более независимыми переменными.

для одного гиперболического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными корректно поставлены задачи Гурса и Дарбу. При переходе к системам второго порядка появляются особенности, которые не имели места в случае одного уравнения. Впервые это показал А.В.Бкцадзе. Лм били построены примеры гиперболических систем второго порядка, для которых соответствующая однородная характеристическая задача имеет конечное и даяе бесконечное мнокество линейно независимых решений, а так-::е показан эсапект влияния младших членов на корректность постановки характеристических задач с двумя независимыми переменными.

В качестве одного из построенных примеров служит система

-ч- 2 -— + -Г-— = О

дх* дхду

¿'¿/г ¿Щ

- - ■/• -- =о

дх2- дхду ду1

(I)

13 области, ограниченной характеристиками системы Х-у=о . Х+у=0 > х>0 характеристическая задача

поставлена некорректно, а именно, соответствующая однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых решении.

Достаточно полное исследование задачи Гурса с двумя неза-висимнмп переменными для гиперболической систем второго порядка в общем виде провел С .С .ларибегашвшш.

Для многомерного аналога системы (I) задача Гурса была исследована А.П.Янупаускасом. Для многомерного аналога упе не наблюдается столь существенного нарушения корректности задачи Гурса.

3 настоящее время характер корректности задачи Дарбу для гиперболических систем с двуш и многими независишми переменными не исследован, такке мало исследована задача Гурса для систем с многими независишми переменными, поэтому исследование этих задач является актуальным.

Цель работы. Целью работы является исследование характера корректности задач Дарбу и Гурса для гиперболических систем с двумя и многими переменными.

Методика исследования. Представление решений гиперболических систем уравнений второго порядка с двумя и многими независимыми переменными через решения более простых уравнений и классические методы исследования гиперболических уравнений.

(2)

(о; = (О), ¿ = 1,2 х >,0

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации исследована корректность постановки задач Дарбу и Гурса для гиперболических систем второго порядка с кратными характеристиками, которые и выносятся на защиту:

1. Исследована задача Дарбу для гиперболической системы

с двумя независимыми переменными, обобщающей систему А.В.Бица-дзе.

2. Построены примеры многомерных гиперболических систем, для которых однородная задача Дарбу имеет бесконечное множество -линейно независимых решений.

3. Построены примеры многомерных гиперболических систем, для которых однородная задача. Гурса имеет нетривиальные решения.

Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при исследовании корректности задач Гурса и Дарбу для гиперболических систем уравнений второго порядка.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры кнтегро-дифференциальные уравнения ИГУ (руководитель кандидат физ-мат.наук, доцент В.Г.Трубин), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений ТаджГУ (руково-,. • дитель доктор физ.-мат. наук, член-корр. АН ТССР Н.Р.Раджабов), на семинаре по дифференциальным уравнениям в МИ АН СССР им.В.А. Стеклова (руководитель доктор физ.-мат.наук, профессор В.П.Михайлов), на семинаре Иркутского ВЦ АН СССР (руководитель доктор физ.-мат.наук, профессор Толстоногов A.A.), на 1-й и 2-й Все-.союзных школах "Математические проблемы экологии"(г.Чита,1988г., 1990г.), на научно-технических конференциях Читинского политехнического института (1986-1991гг.).

- б -

Публикации.. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-^].

Объём работы. Диссертация изложена на 76 страницах мааи-нописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 16 названий.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЩИ.

Ьо введении обосновывается актуальность теш и изложены основные результаты работы.

Б первом параграфе первой главы приводятся вспомогательные сведения из теории гиперболических уравнений и формулировки корректно поставленных задач Коши, ГУрса, Дарбу для волнового уравнение

Бо втором параграфе подробно показана задача ГУрса для системы (I) и даются различные представления для общего реае-ния обобщенной системы, которая при у1-2. обращается в систему (I)

-¿(и) 1- + Уу) =0

ил

-¿(Ю - (их + ]/у) =о

(3)

д2 д2

где / - двухмерный волновой оператор / - —„ - —~п

ду2

Задача ГУрса в настоящей работе исследуется иными методами, чем в известных работах и этот подход быстрее ведёт к результату.

В третьем параграфе рассматривается теорема Асгейрссона о среднем значении функций для сферы и шара для ультрагипербояи-

ческих уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Дано приложение теоремы Асгейрссона для решения характеристической задачи Когти для волнового уравнения. Все эти результаты будут использованы для исследований задачи Дарбу.

Вторая глава посвящена исследованию корректности постановки задач ГУрса и Дарбу чтя гиперболических систем с двумя независимыми переменными. В начале рассматривается система с разрывными коэффщиентами, характеристики которой совпадают с характеристиками системы (I). Задача ГУрса (2) ставится для области Ц - Д^ иЛ2

• {(Х,У) ! х>0, у>о, х-ую]

4 -'{(X, у)/Х>0, у<0, Х+У40}

для системы В области 2)1

дгУ< д2^ дгиг

- + 2 -- л -=0, -л? -4- --=0

Яхг дхду ^

в области Х)^

Задача (4), (2) всегда разрешима, причем в её решение входит произвольная функция, а соответствующая однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений. Далее рассматривается общая задача Дарбу для системы (4) в области

4 • {{х, Ю !х>и, х+у >0}

гдкривая с непрерывной кривизной, удовлетворяющая

условию^^^-/.Требуется найти регулярное решение ¿/ = (¿/4, ¿/г) с/х

в области Щ удовлетворяющее условиям

^(Х,^ =Р1(х), ¿/¿(х*У), = Гх) /(О) -0, (О) (0) , I = 1,2.

Задача (5), (4) всегда разрешима к её решение определяется с точностью до произвольной функции одного переменного.

Во втором параграфе рассматривается задача Дарбу для сис-теш (3) е угле, ограничиваемой прямой рСх О, / и

характеристикой X ~У=0;Х>0. При Л=2 однородная задача (5),(3) имеет бесконечное множество линейно независимых решений, а неоинородная не всегда разрешима. При задача (5), (3) Есегда разрешима к её решение единственно. Здесь же дана об;цап система двух уравнений с двумя искомыми функциями с постоянным коэффициентами и содержащую только вторые производные искомых функций

Рассматриваются задачи Гурса и Дарбу для систем, полученных из системы (6), при различных соотношениях между коэффициентами системы.

В последней главе исследуются многомерные гиперболические системы. В первом параграфе рассматривается система

Ц^ иХу ихх !/ху Ухх =О С,иху +</£ икх + Ууу +ухх =0

(6)

дí

При Л'Я^ система (7) аналог системы (I) дл<* п переменные. Дтгя системы (7) при П =4 ставится однородная задача Дарбу в обяасти ]):{х70; 0ГРаничиваемой характеристическим конусом и плоскостью Х= О требуется найти регулярное решение ¿/, Н^ № системы (7), удовлетворяющее граничным условием

1/, = V = = иг = О /Л> /ъ А/ 1к1

и, = V, = щ = о (8)

/Х=0 Ы=о /х=0 Iх=о

где

Лспользуя приложения теоремы Асгейрссона для волнового уравнения, доказывается, что задача (8), (7) имеет бесконечное мно-

жество линейно независимых решений.

Далее рассматриваете«* система (7) с гиперболическим оператором

¿ = А-С

дХг

г

п

При Л=2=2С четных п однородная задача Дарбу для системы (7) также имеет бесконечное множество линейно независимых решений. При

где однородная задача 1Урса для системы (7) с данными

на характеристическом конусе имеет конечное число линечно независимых решений.

В заключении автор Еыражает искреннюю благодарность сво-

ему научному руководите™ профессору А.И.Янузлаускасу за постановку задач и постоянное внимание к работе.

РАБОТА АНГОРА ПО ТЕЬЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кутузов В.Ф. К задаче Дарбу для гиперболических систем //Исследования по многомерным эллиптическим системам уравнений в частных производных: Сб. научн. тр./АН СССР. Сиб. отд-е.Ин-т математики. - Новосибирск, 1985.-е. 20-24.

2. Его же. К задаче Гурса для гиперболической систем! //Интегродифференциальные уравнения и их приложения: Сб. науч.тр.-Иркутск, 1987. - с.155-157.

3. Его же. К задаче Дарбу для многомерных гиперболических систем //Тез.докл.Всесоюзн. конф. по мат. проблемам экологи Чита, июль 1988г. - Чита, 1988г. - с.155-157.