Об однозначной разрешимости некоторых краевых задач для вырождающихся квазилинейных гиперболических уравнений и их систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

р Г 5 ОД

-2ПНВШ5

Туркмепский государственный университет имели Магтымгулы

На правах рукописи

Сейиткупыева Огулжал Акыевна

УДК 517.943

Об однозначной разрешимости некоторых краевых задач для вырождающихся квазилинейных гиперболических уравнений и их систем

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физиш-иатематнческнх наук

Ашгабат—1994

Работа выполнена в Туркменском Государственном педагогической • институте нм.С.Сейдк

Научный руководитель: - доктор физико-математических

наук, член АН Туркменистана, профессор Мередов М.М.

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических

наук .профессор Рахимов М.Р. - кандидат физико-математических наук, доцент Нарчаев А.Н.

Ведущая организация: - Туркменский государственный

институт транспорта и связи

Зашита состоится в часов на заседа-

нии специализированного Совета К.2.В.014 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при ТГУ им.Махтымгулы по адресу: 744014, ш.Ашгабат, Сапармырат Турк-менбашы шаелы, 31, корпус 1, аудит.45.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТГУ им. Маг-тымгулы.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук,

профессор ¿вюу^ А«Ашыралыев

Обит характеристика работы.

Актуальность темы. В силу своей прикладной важности теория уравнений сметанного, составного типов, а также неразрывно связанная с ними теория вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений в настоящее время развиваются быстрыми .темпами и привлекают большое внимание математиков, занимающихся теорией дифференциальных уравнений с частными производными.

Впервые линейные уравнения смешанного типа встречаются в работах Ф.Трикоми. Им были поставлены и ксслсдовапы краевые задачи для модельного уравнения, носящего в настоящсз время его имя. Дальнейшее развитие теория уравнений смешанного типа получила о работах С.Геллерстецта, Ф.И.Франкля, М.Л. Лаврентьева, И.Н.Вехуа, А.В.Вицадзе, К.И.Бабенко. М.Смирнова, А.М.Нахушева, М.Мередова, М.С.Салахитдикова, ТДЛду-раева, В.Н.Врагоэа, Т.Щ.Кальменова и других.

Имя и ралом других авторов указывается на в&шюсть нсакдо-вания краевых задач для уравнений сметанного типа и связи с их примскенпси в теории бесконечно малых изгпбаипй поверхностей, трансзвуковой газовой динамике, безмомеятной теории -обояочаа, шшшгпой гидродинамике и других областях механики.

Теория краевых задач для нелинейных уршшепяй эллиптического, параболического в гиперболического тшгоз привлекает но икдоватолей теп, что многие прикладные задачи сводятся ншашо к нелинейным ур&виеиаяы а системам.

а

Первые публикации по нелинейным вырождающийся эллиптический и гиперболический /равнении, а также уравнении* смешанного типа появились сравнительно недавно. К их числу от-, носятся работы Р.Конти, М.Проттера. В середине шестидесятых годов появились публикации по вырождающийся эллиптический уравнениям и уравнениям смешанного типа. К ним следует отнести работы М.И.Алиева, В.И.Майорова. В этих работах были исследованы краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений,, задачи Трикоми, Геллерстедта, Фраяхля и некоторые другие. Позже появилась работа Д.К.Гвазава, в которой были предложены некоторые методы исследования конкретных классов нелинейных вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений и уравнений смешанного типа.

Цель работы. Постановка задач Дарбу для квазилинейных вырождающихся гиперболических уравнений и их систем в исследование вопроса об однозначной разрешимости указанных задач.

Общая методика пселедосапяа. Для изучения поставленных вопросов использован метод Рнмана, иетодпоследовательных приближений в метод, разработанный в работе М.Мередзза.

Научная вештпа, практическая в теоретическая вескость. Настоящая работа носит теоретический характер.. В дес-сертацпн получен ряд возых результатов, вносящнхвклад в те- ; орвю краевых задач для квазилинейных вырождающихся гиперболических уравнений в вх систем. Эти результаты имеют саг костоатедьиый интерес, кроме тою вх можно вслолыовапь ш

вспомогательны« материал при исследовании краевых задач для нелинейных уравнений смешанного типа.

Апробация рпбот. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре в Институте математики и механики АН Туркменистана (руководитель: член АНТ, •д.ф.-м.н., проф. М.Мередов), на городском семинаре по дифференциальным уравнениям (руководитель: член АНТ, д.ф.-м.н., проф. О.Г.Худай-Веренов), на Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физиха и специальные функции" (Самара, 1992 г.), на Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" (Ашхабад, 1990г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата. Из совместной работы приведены результаты, принадлежащие автору.

Структура в объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, списка литературы и изложена на 92 страницах машинописного текста. Библиография адерллт 54 наименовал иг.

Содержание диссертации.

»

Во ввздетш дается краткая историческая справка н сбэср литературы по теме диссертация, обосновывается актуальность ра^-боты и кратко излагается ее содзрааине.

б

В первой главе изучается вопрос об однозначной разрешимости задач Дарбу для квазилинейных вырождающихся гиперболических уравнений.

В §1.1 рассмотрена постановка задач Дарбу для уравнения

Lu = ути„ - u„ = f(x, у,«), (0.1)

где 0 < m < 2 у > 0; /(г, у, и) — заданная, и(х,у)— искомая

?

функция.

Пусть D область, ограниченная отрезком (0, /) оси Ох и характеристиками

АС: Ï-JL-V*2« о, та + 2 ■ '

ВС : ' х + = /

m+ 2

уравнения (0.1), выходящими соответственно из точек Л(0,0), £(/,0)

_// /т + 2.Ч5$з\ и пересекающимися в точке С^-, ^—-—IJ J.

Задача Д. (Первая задача Дарбу). В области D вайтв решение урьяпеииг (0.1), удовлетворяющее краевым уславши:

0<x<i . , {о.2)

«Uo= Ф). о<*<1.

где ф(е), г(х) — задаядые дважды яелрерыяяо дифференцируемые функция, прячем ф(0) = г(0).

• Задача £>3. (Вторая задача Дарбу). В области D влйтв ре-шелле уралпевал (0.1 ), удовлетворяющее краевых условяжи:

в1 «W х). О < х < г,

МИ. ■ • - — -- -

fill

lim—- = v(r), 0<x<i,

t—oay *

* (0.3)

где ф(х) — дважды непрерывно дифференцируемая, u(z) — один раз непрерывно дифференцпруаш функции.

Далее с помощью метода Римапа решепие поставленных задач сводится к исследованию эквивалентного интегрального уравнения.

- В §1.2 с помощью метода последовательных приближений получены решения задач Дарбу в малом.

В §1.3 применяя метод, предложенный в работе М.Мередоаа, доказана однозначная разрешимость задач Дарбу для урышешза (0.1) во всем характеристическом треугольнике ЛВС. Обозначим

W « C(D) П Cl(D\{K UAB}) П C\D\K)

множество функций «(г, у), гдз К — конечное число характеристических линий » области D, АВ — отрезок оси Ох.

Ояредалеппа. Квазирегулмрнъш решением задачи Дарбу Di (пли Di) называется функция u(x,y) G W, удовлетворяющая уравнению (0.1) и краязын условиям (0.2) (или (0.3)), причем па отрезка АВ перпыо пропзЕОшшо функции и(я,у) могут обращаться

в бесконечность порядка m

m-f2

Таким образен, союзный результатом §§1-3 аалавтсасдгдугэ-

1ГОЗ

Теорема 3.1. Пусть 1) /(г,У,0) пелрершвл a U, а /(г,у, и) дггферьшт а ойп&стз {(»»у) € А N < со} д удашггтеергат таи делегат Лапают

по последней переменной

где N1 — постоянная Липшица; 2)0 <т <2,

тогда существует единственное квазирегулярное решение задач* Пи

В §1.4 исследованы первая «.вторая задачи Дарбу для уравнения

ути„ - иуу + а{х,у)их + Ь(х,у)щ = Дат, у, и), (0.4)

где 0 < т < 2, у > 0; а(х,у), Ь(х,у), /(х,у,и) — заданные функции, и(х, у)—искомая функция. Доказала следующая

Теорема 4.1. Пусть коэффициенты уравнения (0.4) удовлетворяют следующим условиям:

1) а(х,у), Ь(х,у), /(х,у,0) непрерывны в Ю;

2) /(*> У>") непрерывна в области {(г, у) 6 В, |о| < оо} и удовлетворяет таи по последней переменной условию Липшица

где — постоянная Липшица;

3) 0 < ш <

тогда существует единственное квазярегулярное решение задачи 1?ь удовлетворяющее уравнению (0.4) и краевым усрошяи (0.2).

В §1.5 рассмотрен вопрос об однозначной разрешимости первой я второй задачи Дарбу для уравнения

угаи„ - и„ = Дг.у.и.и.,«,), (0.5)

где 0 < т < 2, у > 0; /(х, у, и, и„и,) — заданная, и(х,у) — искомая функция. Доказана следующая Теорема 5.1. Пусть 1) /(г,у,0,0,0) непрерывна, в ~П, /(г,у,и,«г,иу) непрерывна, в области

{(г, у) € О, Н < со, |и,| < оо, < оо> я удовлетворяет там ло последним треп переменным условию

- Лг,у, и", <,«»)! <

где N5 — постоянное число;

тогда существует единственное хв&зирегупзрное решеяне задам Б\, удовлетворяющее уравнению (0.5) и краевым условиям (0.2).

Замечание. Аналоги теорем 1.3, 1.4 и 1.5 справедливы и для второй задачи Дарбу.

Вторая глада, содержащая два параграфа, посвящена постановке и исследованию однозначной разрешимости задач Дарбу для системы уравнений вида

у"и„- и„ = /(г,у,(0.6)

где 0 < в < 2, у > 0; /(я,у,и,о,,«,) = (/ь/а,...,/т) — заданный, «(*,у) — («1,41,...,и„) — искомый вектор.

Исслагюзалия задач Дарбу для системы (0.6) можно свести к исследованию систем янтегро-дифференциальиых уравнений, состоящих из отдельных уравнений. Поэтому получаем возможность применить методику главы 1 для исследовали» поставленных задач для системы вида (0.6). Этому вопросу посвящен §2.1.

Определение. Квазирегулжрным решением задачи Д (или 0%) называется вектор-функция

У) е С(П) П С\~П\{АВ и А-}) П С\й\К)>

где К — конечное число характеристических линий в области О, АВ — отрезок оси Ох, удовлетворяющий системе (0.6) и Браевьш условиям.

где г{г) — заданные дв&кды непрерывно дифференцируемые аеаи^тфулждаа, прячем ^(0) « г(0),

дли

он . 2 (0.8)

№$}*>$(«) — заданный дваады непрерывно дифференцируемый, один раз непрерывно дифференцируемый вектор-фушаиш. В .§2 .глады 2 доказана следующая Тезра^аЗЛ. Цусть: I ):/{(*<>неарершш в и, /,(«, у,«,«»,«») непрершвы в

обл&стя

{(*,у) 6 D, < со, < 00, < 00} л удовлетворит там по последний трем векторам условию

< * (£ к - «Г1+1 i^1 - Ml+у* £ - Щ).

- 4t!1' .viiöy djfV'

где Nt — постоянное число; 2) 0 < m < j,

тогда существует единственное квазирегулярпое решеляе системы (0.6), удовлетворяющее краевым условиям (0.7).

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Сейнткулыева O.A. Решение задает Дарбу для одной, квазилинейной вырождающейся системы уравнений гиперболического типа //Дифференциальные уравнения и оптимальное управление: Тезлохл.Всесоюз.конф.-Ашхабад, 1990.-С.116-117.

2. Сейитхулыева O.A. Решение задачи Дарбу для одного вырождающегося уравнения гиперболического типа //Изв.АВ ТССР.-1991.

л Д&6.-С. 10-17.

3. Сейиткуяыева O.A. О разрешимости задача Дарбу для одной системы нелинейных уравнений //Условно-корректные задачи математической физики и анализа: Тезлркл.Всесоюзлаояф.-Вовосибнрск,1992.-С.193-194.

4. Сейнткулыева O.A., Зуева P.A. О разрешимости задачи Дарбу для одной системы нелинейных уравнений //Математический анализ и дифференциальные уравнения: Ме^вуз.сб.научн.тр.-Еовосибирск, 1992.-С.94-Э8.

В заключение, автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.-м.н., проф. М.Мередрву за постановку задач, за полезные советы и замечания, сделанные при обсуждении данной работы, а также к.ф.-м.н., доц. М.М.Овеэовой за ряд полезных замечаний.

Реферат.

Тарышых типли денлеыслермн, хусусы енуыля де^емстяывр теориясыиын, тазе болуми болуп сайры йылларда хасда егли.Бу осуш гарышык типли денлемелер учли гоюлян мсселелерин свс тязлятипден ёкаркы тизлнхдэкя газ дннамих&сында ве устлериц тукеняксяэ кипи гышардылмагьища эмеле гелйэн меселелерде гос-гвня улаиылянлыгы билен баглаяьшгьпелыдыр. Гарышык типли деилемелериц теориясы билен берк баглы болан типинн уйтгедй-ан гиперболах ве зллилтик типли деялемелернц теорисыныц, йузе чыхыагыла ве eaiermie гетирди.

Гарышых тнпля деилемелериц, теориясы ялхннжл яталян маг тематнгп Ф.Трикоми тарапындан середилди, соцра бу теория С.Геллерстеитяц, Ф.И.Франклыц, М.А.Лаврентьевцц, А.В.Бицад-заньщ ве оларыя, охувчыларыньщ пшлеридде хас осдурилдя.

Соцкы йылларда чызыклы болмадых гарышык тнпли децле-деелермц теоряясы хеы оедурлллп башланды. Ол меселе болса оз гезегнпде тополи уйтгедйэн чызыклы болмадых гиперболнк ве эл-лвнтяк дгылеиелери учни иеселглсри овреннехлнгн тал ал эд&эр.

Шу дассертшшон нш тшпши уйтгедйзн гвперболлх децдеио-лер m оларын систеыасы учинДарбунын, меселесшш дерцрмех-лпге багышлап&лдыр. Дпссертадноп шп гиршщкл, пкп бапдааса эдэбяятларыц саныпдаи ыбаратдыр.

Гприщдедиссертацняныц темасы боюнча бар болан эдабаатгдзг ра гысгача маглумат бернлйэр ве диссертааиянып, ыазмукы «ас' гача беян эдвл&р. Днссертащшшц бирпилщ баЯында чшьгклм

'V 13 .'■

болмадых тишгни уйтгадйзн гкперболик дечлемеси учи» Д&рбу иеселеснне ссредилйэр. Дяссертацияныц щемили бабылда болса Дарбу иеселеси шол типля денлемелернн, системасы учан сере-дилйзр.

Двссертацкон кшде агпакдакы нетиж,елер алынды.

1. Эгер тншши уйтгедйан гкперболик денлемэниц уйтгсиеги-нжц тертнбя 0 < т < 2 болса ве чыэыхлы дзллнгн дице гвзлеийэц функция баглы болса, ондаоиун, учин Дарбу ыеселеси коррект (до-гры) гоюландыр.

2. Эгер типнни уйтгетйан гвперболак де]у1ешннн,чыэыхлы дал

балеги гэзленйэн функция ве онуц бнриниф] тертнпли онунлерине

баглы болса Дарбу меселесилнц коррект (догры) болянлыгы типиц

4 '

уйтгемегншш, тертиби 0 < ш < - учмн субут эдилендкр.

3

3. Вир ден/ьеые учнн алынан нетигфлер екарда айдылан дацле-ыелериц састеиасы учил хеи догрылыгы субут эдилйэр.

^ 4