Алгебраический подход в теории солитонов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ны. В.А.СТЕКЛОВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

Да правах росписи

САЛЛЬ Михаил Анатольевич АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД В ТЕОРИИ СОЛИТОВОВ

91.01.03 - Математическая фиэиха

АВТОРЕФЕРАТ диссертадш! на соискание ученой степени доктора физнко-млтеиатнческнх паук

Санкт-Петербург 1993

Работа выполнена в Санкт-Петербургской государственной академии аэрокосмигческого приборостроения

ОФФШШАЛЬПЫЕ ОППОБЕЛТЫ:

доктор физико-математических наук АНДРИАБОВ А.А.

доктор физико-математических наук, профессор ДОБРОХОТОВ С.Ю.

доктор физико-математических наук, профессор КОМАРОВ И.В,

ВЕДУШАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Физико-технический институт низких температур

Защита состоится " ^^ 2. № г.

иа заседании специализированного совета Д 002.38.04 при Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стекло-па РАН (г.Санкт-Петербург, Фонтанка, 27).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАЙ.

Автореферат разослан " ¡/.2-г

УчеаыЁ секретарь специализированного' совета, доктор фйз.-маТ. наук, профессор

А.В.О сколков

Овщля характеристика гавоты

Актуальность темы. Открытие метода обратной задачи теории рассеяния в применении к нахождению точных решений нелинейных уравнений математической физики внесло решающее изменение в понимание математики и физики нелинейных явлений. За историю своего существования »тот метод позволил проинтегрировать большое число уравнений, встречающихся в гидродинамике, физике плазмы, нелинейной оптике физике твердого тела и т.д. Широкий спектр конкретных приложений с одной стороны и красота возникающих математических конструкций с другой стороны явились факторами, обеспечившими бурное развитие метода обратной задачи.

Необходимо отметить, что на фоне аналитических подходов, базирующихся на аппарате задачи Римаиа или интегральных уравнений Гедьфаада- Левитана-Марченко, несколько в тени оставался метод, традиционно связываемый с именем Бэклункда.

Одной из трудностей, возникающих на пути реализации итого метода состоит в том, что открывая формальную возможность построения широкого класса решений, преобразования Бэкдунда не дают единого алгоритма реализации этой возможности. Кроме того попытки решения нелокальных уравнений я уравнений с двумя пространственными переменными с помощью »того метода наталкиваются на определенные трудности, которые в ряде случаев так и не удалось преодолеть.

Диссертация посвящена созданию и развитию алгебраического подхода в теории солитонов - метода преобразований Дарбу. Эти преобразования являются мощным аппаратом получения широких классов точных решений нелинейных уравнений, совмещая в себе аналитическую простоту, содержащуюся в преобразованиях Бэкдунда и используя преимущества, даваемые представлениями Лакса-Захарова-Шабата.

Основой работы послужили классические результаты Дарбу,

полученные в 1882г. 1} в связи с исследованиями свойств ковариантности задачи Штурма-Лиувилля. В 1979г. Матвеев перенес метод преобразований Дарбу па уравнения в частных производных и обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. С этого момента и началось последовательное развитие и применение метода к решению различных нелинейных уравнений. Помимо работ автора, выполненных отчасти в соавторстве с В.Б.Матвеевьш, А.Р.Итсом, А.В.Рыбкяым, С.В.Лебяе, А.В.Юровым л М.В.Бабичем следует ответить работы Нейгеб&уера н Крамера и метод Марченко, подход которых во многом аналогичен методу преобразований Дарбу. Пошшо этого следует отметить серию работ Андрвалова, Борисова, Иоффе и Эйдеса» 8) в которых метод преобразований Ларбу в форме метода факторизации позволил достичь определенного прогресса в построении сунерсшшетричной теории. Из последних работ, выполненных в данном направлении следует исследования Матвеева, посвященные сверхбезотражатеяьным потенциалам.

Цель работы, объект и метода мсследоп&кид. Целью работы являлось создание п развитие перспективного направления современной математической физики - алгебраического подхода в теории солитонов. Второй целью было решение проблемы получения широких классов точных решений целого ряда нелинейных уравнений, возникающих при описании разноплановых физических явлений и необходимых для развития соответствующих дисциплин. Помимо

^DarbouxG. //Compt. Rend. 1882. V. 94. P. 1456-1459.

3) Matveev V.B. // Lett. Math. Pbys. 1979. V. 3. P. 213-216., ibid I*. 217-222.

4) Neugebauer G. // J. Phys. 1979. V. A12. P. 67.. Neugebauer G., Kramer A. // J. Phys. 1983. V. A16. P. 1927-1936.

Марченко B.Ä. Нелинейные уравнения и операторные алгебры.

Киев: Наукова думка. 1986.

Андрианов A.A., Борисов Н.В., Иоффе М.И. // Теор. и мат.

фнз. 1984. Т. 61. № 1. С. 17-28., ibid № 2. С. 183-198.

этого алгебраический подход позволяет получить рад результатов, существенных для развития чисто линейных теорий (^-уравнения, суперсимметричная квантовая механика).

Научная повязка н практическая неняость. Новизна проведенного исследования определяется тем, что что полуденные формулы, описывающие как точные решения ряда нелинейных уравнений, так и выражающие некоторые свойства и отношения на качественном уровне, являются новыми, впервые появившимися в работах автора настоящей диссертации. Практическая ценность определяется потребностями различных физических дисциплин таких как нелинейная оптика, теория твердого тела и т.д.

В области исследования линейных систем получены следующие результаты:

— построены преобразования Дарбу для матричных уравнений с рациональной зависимостью от спектрального параметра;

— исследованы свойства Дарбу-ковариантности ряда разностных и дифференциально-разностных уравнений;

— введены базирующиеся яа использовании контурных интегралов преобразования, названные бинарными преобразованиями Дарбу. Построены бинарные преобразования для всех оспопных типов дифференциальных уравнений в частных производных с двумя переменными, для дифференциально-разностных и матричных уравнений;

— построена общая схема преобразований Дарбу для случая линейных уравнений, рассматриваемых в ассоциативных кольцах с введенной там операцией обобщенного дифференцирования;

— показана схема применения преобразований Дарбу и построению рекурениш* соотношений между д-анаяогаид специальных функций;

— показано, что рекурептяые формулы для классических специальных функций могут быть получены на основе некоторого обобщения преобразований Дарбу. Данный результат открывает

возможность, связанную с упрощением исследования уравнений с большим числом особых точек и уравнений высших порядков;

— формулы бинарного преобразования Дарбу применены к построению двумерных суперсимметричных гамильтонианов, отвечающих расширенной алгебре суперсимметрии.

В области исследования нелинейных уравнений получены следующие результаты:

— построены преобразования Дарбу и получены широкие классы новых решений, для таких уравнений как уравнение Ка-Домцева-Петвнашвили, уравнение Джонсона, уравнение Дэви-Стю-артсоца, уравнения двумеризовашой цепочки Тоды и ее веабе-Левого аналога, уравнения Веселова-Новикова, уравнения самоиндуцированной прозрачности, редуцированная система уравнений Максвелла-Блоха, цепочки уравнений ленгмюровских колебаний ее иеабелевого аналога и ряда связанных с ними систем, нелокального уравнения КдФ и впервые рассмотренного дискретного аналога уравнений Силвна-Тихоачува;

— Получены формулы, описывающие взаимодействие солитонов уравнений Кортевега - де Фриза и нелинейного уравнения Шредингера с фоновыми решениями, рассчитаны фазовые сдвиги, приобретаемые солитоноы в процессе такого взаимодействия;

— построена теория Дарбу-ковариантности цилиндрического аналога уравнения КдФ, уравнения Вуссинеска, уравнения синус-Гордон, N-воянового уравнения, ряда других нелинейных уравнений, таеюпшх-схожие^федставлеяия^ипа Л акса=Захарова=Ш абата и урайнен&в Kayna;

— построена теория преобразований Дарбу для нелинейного уравнения Шредингера, получены новые точные решения этого уравнения на фоне периодической водны, в частности, "вспухающие4 решения - вксультоны;

— построены формулы, описывающие солитон-солитонное рассеяние в общей ситуации, соответствующей многосолитонным реш-

еншш, получаемым с помощью преобразований Дарбу, рассмотрены частные случаи.

Апробация работы. Результаты р а Сот и докладывались в разные годы на семинарах в Физико-техническом институте и Институте прикладной физики РАН, на семинарах им. Петровского, на всесоюзных и международной конференции по нелинейным волнам в Калининграде, на международных конференциях ^тЕЕО'з в Дубне и по физика нелинейных явлений в Киеве. По результатам диссертации был прочитан курс лекций в университете г.Падерборн (Германия).

Дубта&яшнги по теме. Содержание диссертации опубликовано в работах {1-21] и препринтах [22,23].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Первая глава, состоит из десяти параграфов, вторая - из восьми, третья - из семи, четвертая - из девяти. В список цитируемой литературы включено 110 названий.

содержание работы

Во введении дается краткая историческая справка по историк развития теории солитопов, охарактеризованы актуальность настоящего исследования, его цели, новизна и положения выносимые на защиту. Кроме того там описана структура и дано краткое содержание работы.

Первая глава посвящена исследованию вопросов, связанных с изучением ковариантности линейных уравнений относительно специального класса преобразований, традиционно называемых преобразованиями Дарбу. В нервом параграфе приведен краткий обзор результатов, который предегаяягет собой изложение предыстории исследования. В 1882г. Дарбу, изучая ураянение

-фа* = а®,

(1)

показал, что еио ховари&нтно, относительно преобразования

-«*)». (2) (Р

и-* и{1] = «-2<7и =«-2— 1п®1, (3)

а Фл - произвольное фиксированное решение уравнения (1), отвечающее Л = Л].

Преобразование (2,3) открывает возможность строить по одному потенпиалу и, для которого уравнение (1) может быть явно проинтегрировано, другой потенциал и(1], обладающий тем же свойством.

В дальнейшем формулы преобразования (2,3) были проитериро-вапы Кр&мом и перенесены на случай уравнений Более высокой степени и на некоторые матричные уравнения Матвеевым.

В §1.2 рассматривается ьопрос ковариантности матричных уравнений с рациональной зависимостью от спектрального параметра вида

Щ») N

® •=£ £ £ ^ <4> п *=1 /=о

где К1Л и А - диагональные матрицы

А = Аа$г(А ],..., Лт).

Мп=Иад{(\1 - а»)"',..., (А„ - а,)~'),_ф

относительно преобразования

Ф -+ Ф{1) = ФЛ - оФ, «г = Ф,Л,Ф5-1. (6)

Результаты этого параграфа широко используются при исследовании вопроса о ковариантности различных нелинейных уравнений, представление Лакса-Захарова-Шабата для которых базируется на частных случаях формулы (4).

В §1.3 вводятся ннтегродпфференциальпые преобразования, наз-валные автором; бинарными преобразованиями Дарбу. Данный класс преобразований позволяет перевести на двумерный случай важнейшее свойство классического преобразования Дарбу, состоящее в возможности Конструирования точно решаемого уравнения по заданному уравнению с тем же свойством. В атом параграфе рассматриваются уравнение вида

+ + (7)

и формально сопряженное к нему уравнение

-а-ф- + + иф- = 0. (8)

Каждое из уравнений (7,8) ковариантно по отношению к преобразованию Дарбу типа преобразования (2). При в том возникает вопрос: как преобразуются решения сопряженного уравнения (8) при преобразовании потенциала, отвечающему преобразованию уравнения (7)? Для ответа на атот вопрос мы введем дифференциальную форму ЯМ,0) и функцию по формулам:

Шд) = + «"'</¡7» - /М, (9)

^-(+11 = 4(Лг + Вг Л''* (10)

VI •'(«в,и)

На решениях уравнений (7,8) форма является замкнутой.

Оказывается, что уравнение (8) ковариантно по отношению к преобразованию а определяется формулой (10) с произвольными коэффициентами Ль и интеграл вычисляется вдоль произвольного пути, соединяющего точет (¡го, Со) и (*,у).

§1.4 посвязяея исследованию связи преобразований Дарбу с рекуррентными соотношениями на специальные функции. Показано, что эти соотношения могут быть получены с помощью некоторого обобщения преобразования (2). Результаты этого параграфа

открывают возможность конструировать соответствующие соотношения для уравнений высших порядков.

В §1.5 рассмотрены некоторые разностные уравнения, для которых вводятся преобразовании Дарбу и бинарные преобразования Дарбу.

§1.6 посвящен уравнениям типа

+ + = (11) где Т - линейный оператор, обладающий свойством

ТУд) = Т/Тд, Г(1) = 1. (12)

Исследован вопрос о ковариантности таких уравнений, результаты прнменеаы к построению рекуррентных формул для д-аналогов сдещтальпьгх функций. Рассмотрен Т-алалог уравнений гармонического осциллятора кг показана разрешимость соответствующих уравнений с точностью До решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

В §1.? введены бинарные преобразования Дарбу для эллиптических ш гиперболических уравнений типа

Огд^ф + иф = 0. (13)

Введем дифференциальную форму

. Ш,В) = (1^9 ~ 9дгП*р - (/3,0 - дд,/)^.-(14)

Тогда уравнение (13) ковариантно по отношению к преобразованию

-^М-ОД.ЛЖ"1. ©(/,*)=/ «(/.*) (15)

»[2] = и 2дрдщ 1в , (16)

где & - фиксированное решение уравнения (13), а интеграл я (14} не зависит от пути интегрирования на _ решениях (13). Подучены итерированные формулы преобразования (15,16). Данный результат позволяет строить широкие классы точно решаемых двумерных уравнений типа (13).

§1.8 содержит исследование некоторых линейных уравнений, заданных на алгебраических кольцах с введенной там операцией обобщенного дифференцировала». При »том раскрывается обща*, чисто алгебраическая основа метода преобразований Дарбу. Рассмотрения этого параграфа ках раз и позволили автору настоящей диссертации назвать развиваемый подход алгебраическим подходам в теории солятоиов.

§1.9 посвящен прослеживанию взаимосвязи метода преобразований Дарбу с факторизацией дифференциальных операторов и фактичесхи содержит переформулировку результатов Андрианова, Борисова и Иоффе.

В $1.10 предлагается подход к построению расширенная алгебры суяерсимметрии в двумерном случае. Этот подход базируется на бинарном преобразовании Дарбу.

Во второй главе изучаются нелинейные уравнения, преобразование Дарбу для которых является "классическим", т.е. определяется формулой (2). В $ 2.1 исследуется уравнение КдФ. Результаты этого параграфа используются в $ 2.2 ври исследовании распространения солитонов уравнения КдФ иа фоне произвольного решения. Для этого выбирается ассоциированная с уравнением КдФ линейная система

= (17)

= 2иф, + 4А&, ~ (18)

и решения этой системы ищутся в виде

+ ехр (-к £ »(г, № + «(«)). (1»)

«=»0 + 4*', Д,

оо оо

*=5>"*»(«.'«>, » « о, (20)

«во «асо

оо оо

р(о- £ «->-(0, «со- £ «-«.(«)• (21)

Подстановка анзаца (19-21) в (17,18) приводит к рекурентным соотношениям на н Выполняя Дарбу-одевание с опорной функцией вида (19-21) мы получаем асимптотическое разложение для "одетого* решения уравнения КдФ

и(1] = « + ЪГ*«ая - вк"4^«^ + 4иы„ - «„„) +... - к-1 ия Л !-

—2(к'+ (2к)"' и +.. .)7 ск*/. (22)

/ = «(*-«о)-4кЧ+ / (2кй + «* + ...)<*г+ Л

+ /* ((2к)-Ч+ ...)*.

/«о+*я*<

Член пропорциональный сЛ~3 можно интерпретировать как деформированный солнтон, член, содержащий ЛН, - как член,

описывающий фов-солитоявое взаимодействие. Остальные члены соответствуют деформациям фонового решения, вызванным наличием солктоаа.

В атом же параграфе вычислен фазовый сдвиг, который приобретает солнтон в результате такого взаимодействия.

§2.3 посвящен построению формул преобразования Дарбу для осесимметричпого аналога уравнения КдФ. В § 2.4 исследуется уравнение Кадоипеаа-Петвиашвили (КП)

(и, -бии, - 0аа*)а = -Зв1И„,

(23)

[ля которого строятся преобразования Дарбу я их бинарная версия, [ри атом получены широкие классы новых точных решений, срели оторых мы отметим решение вида

«[+ЛГ] = 6. 6)ехр(С1* - - 1260^1 «а«». (24)

де функция О не является произвольной, но может быть выбрана из екоторого достаточно широкого класса.

Помимо этого в данном параграфе исследуются солитонные «тения, решения, представляющие собой связанные состояния плос-их солитонов, я рациональные решения.

В §2.5 исследуется вопрос о фазовых сдвигах солитонов урав-ения КП при солитоя-солитоивом взаимодействии. При этом де-юнстрируется то, что вид формуя для многосолитонного решения, олучаемого с помощью метода преобразований Дарбу крайне удобеп ;ля исследований такого рода.

В §2.6 исследуется осеоюшетричяый аналог уравнения КП -равнение Джонсона. Построенная теория Дарбу - одевания вполне налогична теории развитой для уравнения КП и дает возможность встроить широкие классы точных решений неизвестных равее.

В §2.7 строится схема преобразований Дарбу Для уравнения »уссинеска. И, наконец, в § 2.8 кратко рассмотрена взаимосвязь :етода преобразований Дарбу с методом одевания Задарова-Шаба-а. При этом на некоторых примерах продемонстрировано, что бн-арное преобразование Дарбу является частным случаем яреобразо-авия Захарова-Шабата, отвечающим выбору ядра преобразования простейшей вырожденной форме. Хотя метод интегральных опера-оров и является более мощяым аппаратом исследования нелинейных равнений, метод преобразований Дарбу ямеет свои достоинства, лавным из которых является возможность оперирования на уровне математических структур более "низкого" уровня, нежели те, кото-ые возникают в методе Захарова-Шабата (см. § 1.8). Это приводит, частности, к тому, что при использования метода преобразований

Дарбу не возникает необходимости рассмотрении сходимостей, си гуляриостей и т.п.. Помимо этого эффективность преобразован» Дарбу ярко проявляется при исследовании соднтон-солитонных фоп-сояитонных взаимодействий.

В третьей главе исследуются уравнения, преобразование Дар£ для которых является преобразованием для систем типа систем Захарова-Шабата. В § 3.1 рассматривается нелинейное уравнен] Шредингера

+ *»* + 2о{грг =. 0, (2

для которого строятся преобразования Дарбу в исследуются так решения как нногосолитонное решение иа нулевом фойе и некотор! решения на периодическом фойе, в частности, впервые вредложенн автором евсультоиное решение

т = Л [3А*Ц - 4А** - <3 + 4«*]. [с1 + 1/(4А3) + 4А'?] (2 с = * - хо - 2«*,'

которое как бы "вспухает" на фоне периодического решения, а заи с течением времени расплывается. В этом же параграфе рассмотр а песолитонный случай нелинейного уравнения Шредингера, для « торого выполнены Все аналогичные построения.

В §3.2 проведено исследование фон-солнтооного взаимодейств дал нелинейного уравнения Шредингера. Полученные результа вполне аналогичны соответствующим результатам для у равнее КдФ и имеют вполне определенное значение в связи с потребности нелинейной оптики.

§3.3 посвящен построению преобразований Дарбу для уравнег сшгус-Гордон. При этом иа примере »того уравнения лродем> стрироваиа тождественность преобразований Дарбу и преобра вглий'Баклунда. Необходимо отметить в »той связи, что его при: нение последних рядом неудобств по сравнению с нашим подход Это проявляется, скажем в том, что в ряде случаев (нанриме]

гучае нелокального уравнения КдФ а уравнений с несколькими эостранствеинымн переменными) разрешение формул преобразо-шия Бэклунда представляется достаточно трудной задачей даже ля случая нахождения простевшего со лито иного решения. Вы-эление формул нелинейной "Бэклунд-сулерпозиции" я получение х>тветствующнх многосолнтонных решений так и не было произвел ;по для целого ряда нелинейных уравнений в силу возникающих 5хнических трудностей. Это можно отвести я в другим ситуациям, згда принцип нелинейной суперпозиции, используется пелосрзд-гвенно без рассмотрения ассоциированной линейной задачи. Кроме ого наш подход позволяет исследовать поведение решений па фоне алого решения (что никогда не делалось в рамках преобразований 1эклунда), достаточно просто вычислять фазовые сдвнгй при фоа-олитонном н солитон-солитонном рассеянии и Без особого труда олучать решения, зависящие от функциональных параметров.

В атом же параграфе рассматривается задача построения реяго-ий веабелевого аналога уравнения сипус-Гордоп и эллиптического равнения синус-Гордон, удовлетворяющих некоторым краевым ус-овиям. На этом примере можно увидеть достаточно интересный ффехт соответствующий возникновению "нелинейного спектра". 1усть

( = * + IV. ч = х- 1у,

(27)

I пусть кроме того

«.(о.и) = «.(£.у) =0-

(28)

3 то рое итерированное решение

«|2] = ± агЫд (

(29)

9 = + ¿К* +

-2»(|А| - щ)(-*8шк + усов«),

при к - *г/2 удовлетворяет граничный условиям (28), если

2(|А|-щ)Ь=ятп, те 2. (30]

Это условие в формирует дискретный 'нелинейный спектр" задачи.

|3.4 посвящен исследованию редуцированной системы Максвел ла-Бяоха, имеющей вид

гк = -шт3, г9С = и»гл + £г,, г»с=-5га, (ЗГ

£т = ~ < Гц >, < />= ^ (32

В (31,32) Т( - линейная комбинация матричных элементов матриць плотности. Для этой системы строятся преобразования Дарбу и ра злачные типы новых решений.

§3.5 содержит исследование уравнений самонндуцированно! прозрачности для которых строятся преобразования Дарбу и ра зличные типы решений как на нулевом фоне, так и на фоне нетрив иальпых затравочных решений, в частности эксультошше решения I решения описывающие процесс образования - аннигиляции солитоа ных пар.

В §3.0 кратко рассмотрен ряд нелинейных уравнений род ствешшх другим уравнениям этой главы. В § 3.7 исследуете -двумершадия нелшвйного-уравневия-Шредингера^уравнеиие Дави Стюартсова:

гщ - - о~*а„ -4- 2ка~% | н |я и - £и = О, (33

а'&г» - = 4*Ц мИ„. (3<

Для этого уравнения строится преобразование Дарбу и бинарно преобразование. Это позволяет найти широкие классы новых и чвыг решений, содержащие в себе, в частности, многоеолитонны

решения, состоящие из солитонов с экспоненциальным убыванием по всей направлениям.

В четвертой главе рассматриваются уравпепия различных типов. Эта глава демонстрирует универсализм подхода, поскольку оказывается, что преобразования Дарбу с той же степенью эффективности применимы к разностпьш, многомерным и нелокальным уравнениям. В § § 4.1, 4.2 рассматриваются уравнения цепочки Тоды, ее двумерного и не&белевого аналогов. Для этих уравнений строятся преобразования Дарбу и широкие классы точных решений, содержащих, а случае двумеризованной цепочки Тоды и ее не-абелевого аналога, функциональные параметры.

В 34.3 рассматривается ряд дифференциально-разностных уравнений связанных с цепочкой Тоды. Приводится методика построения точных решений этих уравнений.

§4.4 посвящен дискретному аналогу уравнений Силина-Тнхон-

чука:

P«t - - e»-i), (35)

-*ni = «»(pm-i -р«-а

Для этих уравнений впервые предложена L - А пара, построены преобразования Дарбу и получены многосолитонные решения. В 54-5 рассматривается нелокальное уравнение КдФ

и, = -UBa„ + у в, 4- 2иа„ (37)

ff = pij, (Г/)(х) = /(* + «).

Это уравнение в предельных случаях переходит в уравнения КдФ и уравнение Бенджамина-Оно. Для него вводятся преобразован^ Дарбу и впервые строятся многосолитонные решения, а также решения на возрастающем фоне.

§4.6 посвящеп изучению общего уравнения типа КдФ

u< = Srif —

(38)

где 5 - некоторое линейное преобразование [5,0Л] =0. К уравнениям такого типа относятся уравнения Беиджамина-Оно и Бюргерса. В этом параграфе строится некоторая общая схема исследования уравнений типа (38), позволяющая воспроизвести результаты, касающиеся многосолитошшх решений этих уравнений.

В §4.7 показано, что преобразование Бэклунда для уравнения Kayna

где - циклическая перестановка чисел 1,2,3, совпадает с бинарным преобразованием Дарбу. Применение бинарного преобразования антересено тем, что оно позволяет строить решения, содержащие функциональные параметры для уравнения, а которое все три независимые переменные входят равноправным образом.

§4.8 посвящев исследованию уравлеяий Веселова-Новикова

Показана ковариантность этих уравнений по отношению к бинарному преобразованию Дарбу введенному в § 1.7. Это позволило найти широкие классы иовых решений этих уравнений, простейшее из которых, обладающее свойством несингулярности, имеет вид

(30)

(40)

9v'*#u, = ö«, ö = ~,

Яг ßt*

(41)

u{2}=2ÖBh(C+\f\3l

föf,* о, и =

(42]

(43]

Выбирая / в форме

мы можем получить простейшее рациональное решение уравнений (40).

В §4.9 анализируется общий случай солитои-солитонного рассеяния. При этом показано, что многосолитонные формулы, получаемые с помощью метода преобразований Дарбу позволяют получать формулы для фазовых сдвигов солитонов тривиальным образом. Кроме того показано как из многосолитонных решений могут быть выделены решения, отвечающие связанным состояниям солитонов (в случае уравнений с двумя пространственными переменными, наври-мер таких как уравнение Кадомцева-Петвяашвили в дяумеризованная цепочка Тоды).

В заключения приведен перечень новых результатов полученных автором работы.

Н»,?9тату ВВДРШСЯ; сдедуювш? водо^ещш;

1. Построение и развитие теория ковариантности широкого класса линейных систем, относительно специального типа преобразований, простейшие яз которых были введены Дарбу.

2. Построение интегральных преобразований, отвечающих за ковариантность двумерных уравнений и названных автором бинарными преобразованиями Дарбу.

3. Приложение преобразований Дарбу к исследованию ряда нелинейных уравнений математической физики И получение широких классов новых решений таких уравнений как уравнение Кадомцева-Петвиашвиля, уравнение Джонсона, нелинейное уравнение Шредии-гера, редуцированная система уравнений Максиелла-Бяоха, уравнения самоиндуцироваяноЙ прозрачности, нелокальное уравнение Кортевега - де Фриза, двумеризованяая цепочка. Тоды и ее ве-абелев аналог, уравнения нелинейных фильтров, решеточные уравнения Силина-Тихоячука, уравнения Дэви-Стюартсопа и Веселова-Новикова.

4. Разработка подхода, позволяющего описывать взаимодействие солитоиа с фоновым решением и вычислять фазовые сдвиги возникающие ври фон-солитоняон рассеянии. Разработанный подход применен к исследованию фоп-солитонного взаимодействия в нелинейном уравнении Шредангера и уравнении Кортевега - де Фриза.

Основное содержание диссертации опубликовало в работах:

1. Matveev V.B., Satie М.А. Dfferencial-diflerenae evolution equations. Л; (Darboux transformation for the Toda lattice)// Lett. Math. Phys. 1979. V. 3. P. 425-429.

2. С ал ль M .А., Матвеев В.Б. Условвонериодические решения уравнений нелинейных фильтров // В кн.: Теория рассеяния. Теория колебаний. Л.: ЛГУ, 1979. С. 128-133.

3:. Матвеев В.В., С ал ль М.А. Преобразование Дарбу а двуыери-зованная цепочка Тоды // Записки научных семипароз ЛОМИ. 1981. Т.101. С. 111-118.

4. Матвеев В.Б., С ал ль М.А. Нелокальные аналоги уравнений Кортевега - де Фриза и Кадомцева - Петвиашвили // Доклады АН СССР. 1981. Т. 261. Я 3. С. 533-537.

5. Б обед ко А.И., Матвеев В.Б., Салдь М.А. Нелокальные ааалогв уравнений Кортевега - де фриза и Кадомцева - Петви-ашвняи.П // Доклады АН СССР. 1982. Т. 265. Jí» 6. С. 1357-1360.

6. Салдь М.А. Преобразования. Дарбу для веабедевых а нелокальных уравнений типа цепочка Тоды // Теоретическая и математвческаяфнзихаЛ982^Т^53гЖ4г,Х^227^23Ь_

7. Матвеев В.Б., Салдь М.А. Рассеяние солитовов в формализме преобразований Дарбу // Записки научаых семинаров ЛОМИ. 1982. Т. 120. С. 136-141.

8. Матвеев В.Б., Саляь М.А. Метод преобразований Дарбу a точные решения в теории нелинейных воли // Совещание но цунами. Горьк&В. 1984. С. 51-52,

9. Бабич М.В., Матвеев В.Б., Сад ль М.А. Бинарные преобразования Дарбу для цепочки Тоды // Записки научных семинаров

ЛОМИ. 1985. T. 145. С. 34-45.

10. Лебле С.Б., Салль М.А. Преобразование Дарбу для дискретного аналога уравнений Снлнна-Тихончука // Доклады АН СССР. 1985. Т. 284. № 1. С. 110-114.

11. Matveev V.B., Rybln A.V., Salle М.А. Coherent Interaction of the Light Pulse With Two Level Media // Preprint DESY. 1985.; Inverse Problems. 1S88. N 4. P. 173-183.

12. Салль М.А. L-A пары с рациональной зависимостью от спектральных параметров // Записки научных семинаров ЛОМИ. 19S7. Т. 161. С. 34-39.

13. Рыбии А.В., Салль М.А. Взаимодействие содитонов уравнения Кортевега, - да Фриза с фоновым решением // Теор. и мат. физика. 1985. Т. 63. К* 3. С. 333-339.

14. Итс А.Р., Рыбин А.В., Салль М.А. К вопросу о точном интегрировании нелинейного уравнения Шредипгера. // Теоретическая и математическая физика. 1988. Т. 74. № 1. С. 29-45.

15. Matveev Y .В., Salle М.А. New Families oî the Explicite Solutions of the KP and Tbeir Application to Johnson Equation // In: Боше Topics of Inverse Problems. Singapure: World Scientific. 1988. P. 182-212.

16. Leble S.B., Salle M.A., Yurov A.V. Darboux Transformation of Davey - Stewardson Equation and soli tons //In: Nonlinear World. Vol .2. Kiev. Naukova Dumka. 1989. P. 287-291.

17. Салль М.А. Преобразования Дарбу для уравнений Дэвн -Стюартсона // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1990. Т. 191. С. 48-57.

18. Матвеев В.В., Салль М.А. Солитоны // В кн.: Физика па пороге новых открытий. Л.: ЛГУ. 1990. С. 246-278.

19. Matveev V.B., Salle М.А. Darboux Transformation and Soîitons. Berlin, Heidelberg: Springer Verlag. 1991;

20. Салль М.А. и др. Некоторые приложения методов теории солитонов в физике слабой сверхпроводимости // В вн.: Высокотемпературная сверхпроводимость. Актуальные проблемы. Л.: ЛГУ. 1991. С. 171-186.

21. ЬеЫе Б.В., 8а11е М.А., Уигоу А.У. БагБоих Ъ-апяСопшакт о£ Пауеу • 31еуш-ё8оа Ефцгёоп ал<3 8оИй>м // Ьпгегае РгоЫета. 1992. N 4. Р. 432-440.

22. БаБе МЛ. ВагЬош йапаГаго^кт аа<1 ч-едиаЦопа // РгерпЛ 8С-МАЕ. 1992. 1-Ыоу-92.

23. СалльМ.А., Юров А.В. Построение двумернойрасширенной алгебры суперсимметрии // Препринт Научно-методического центра аэрояосмического образования. 1993. 15-Июнь-93.

Подписано к печати ¡26/й 93. Формат 60 х 84 1/

Бумага тип. К«3. Печать офсетная, Усл. печ. л.

Уч.-изд. л. 4,25. Тираж 100 экз. ■ Заказ №-3//

Ротапринт СПбГААП. 190000, Санкт-Петербург, Б.Морская ул.,