Регуляризирующие итерационные алгоритмы для решений некоторых классов интегральных уравнений первого рода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Черный Владимир Валентинович

РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена в Кубанском государственном университете и Научно-исследовательском вычислительном центре Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научные руководители: кандидат физико-математических

наук, доцент А. В. Смирнова кандидат физико-математических наук С. Ф. Гилязов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор И. К. Лифанов кандидат физико-математических наук, доцент М. М. Потапов

Ведущая организация: Московский государственный

авиационный институт

Защита состоится 1998 года в ча-

сов на заседании диссертационного совета К.053.05.84 в МГУ им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы Горы, НИВЦ МГУ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИВЦ МГУ. Автореферат разослан " 1998 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н. ____

В. В. Суворов

Актуальность темы

При численном анализе математических моделей в различных областях физики и техники (геофизика, оптика, теплофизика и другие) часто возникает необходимость решения интегральных уравнений первого рода, линейных или нелинейных. Интегральные уравнения первого рода с математической точки зрения формулируются в форме более общей задачи решения операторного уравнения первого рода.

В работах А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова разработана теория некорректно поставленных задач и основные подходы к конструированию эффективных регуляризирующих алгоритмов их решения. Одним из подходов к построению регуляризирующих алгоритмов для решения интегральных уравнений первого рода является использование различных итерационных процедур, таких как, например, методы простой итерации, градиентного спуска, сопряженных направлений в сочетании с критериями останова итераций в зависимости от уровня погрешности исходных данных. Предложенный и обоснованный М.М.Лаврентьевым для простейших итерационных процедур типа простой итерации, этот подход в дальнейшем получил развитие в работах О.М.Алифанова, А.Б.Бакушинского, Г.М.Вайникко, С.Ф.Гилязова, В.А.Морозова, А.С.Немировского, С.В.Румянцева, Л.Сарва.

В последние годы в работах В.В.Васина, M.Hanke, A.Neubauer, О.Scherzer доказана сходимость регуляризирующих итерационных алгоритмов на основе методов градиентного спуска и сопряженных направлений для специальных классов нелинейных уравнений первого рода при возмущении правой части.

В то же время вопросы сходимости регуляризирующих итерационных алгоритмов для решения некорректных уравнений первого рода пока исследованы недостаточно, дальнейшее их изучение является актуальным.

Цель работы

Целью работы является обоснование сходимости регуляризи-

рующих итерационных алгоритмов на основе метода градиентного спуска., метода сопряженных градиентов и проекции сопряженных градиентов для решения специальных классов интегральных уравнений первого рода: линейных с самосопряженным незнакоопределенным оператором, нелинейных с оператором, дифференцируемым по Фреше, при наличии погрешностей в операторе и правой части.

Научная новизна работы

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Обоснован регуляризирующий метод сопряженных градиентов для решения линейных операторных уравнений с самосопряженным оператором. Получены достаточные условия слабой и сильной сходимости в гильбертовом пространстве.

2. Исследован регуляризирующий метод градиентного спуска для решения нелинейных операторных уравнений с оператором, дифференцируемым по Фреше. Доказана сильная сходимость при условии согласования номера итерации с уровнем погрешности исходных данных.

3. Получена оценка погрешности аппроксимации решения нелинейного операторного уравнения регуляризирующим методом градиентного спуска. Обоснован апостериорный способ выбора номера итераций в зависимости от уровня погрешности исходных данных.

4. Исследован регуляризирующий метод проекции сопряженных направлений для решения нелинейных операторных уравнений с ограничениями на решение в виде принадлежности выпуклому замкнутому множеству. Получены достаточные условия сильной и слабой сходимости в гильбертовом пространстве.

5. Доказана сильная сходимость регуляризирующего метода проекции сопряженных направлений в применении к реше-

нию линейных операторных уравнений с ограничениями на решение в виде принадлежности шару.

6. Проведено численное исследование на модельных задачах (линейные и нелинейные интегральные уравнения с гладкими решениями) регуляризирующих методов сопряженных градиентов. Численно изучена зависимость погрешности аппроксимации гладкого решения от соотношения шагов сеток для решения и его производной.

Практическая ценность работы

Полученные результаты позволяют обоснованно расширить сферу применения регуляризирующих итерационных алгоритмов, основанных на методах градиентного спуска и сопряженных направлений. Развитая в работе техника теоретического анализа регуляризирующих итерационных алгоритмов для нелинейных уравнений первого рода может быть использована в дальнейших исследованиях свойств таких алгоритмов при менее сильных ограничениях на оператор уравнения.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следу-щих конференциях и семинарах:

• Семинар в Institute for Mathematical Modelling of Danish Technical University, апрель 1997 года, Copenhagen, Denmark.

• Научная конференция "Ломоносовские чтения", апрель 1997 года, Москва.

• Конференция "Современные проблемы механики сплошной среды", октябрь 1997 года, Ростов-на-Дону.

• Семинар кафедры математического моделирования Кубанского государственного университета под руководством академика РАН, профессора В.А.Бабешко, октябрь 1997 года, Краснодар.

• XV научная конференция молодых ученых ВУЗов юга России, март 1998 года, Краснодар.

• Научно-исследовательский семинар НИВЦ МГУ "Современные проблемы численного анализа" под руководством профессора В.А.Морозова, апрель 1998 года, Москва.

• Семинар по численным методам для интегральных уравнений под руководством профессора И.К.Лифанова и профессора Е.В.Захарова, ВМК МГУ, сентябрь 1998 года, Москва.

• Семинар "Математическое моделирование и обратные задачи в технических системах" под руководством профессора О.М.Алифанова, МАИ, сентябрь 1998 года, Москва.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 7 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Работа содержит введение, четыре главы, заключение, содержащее перечень основных результатов, приложение и список литературы (51 наим.). В состав работы входят 5 иллюстраций. Объем работы — 111 листов.

Постановка задачи. Рассмотрим задачу решения интегрального уравнения вида

А(и) = /, и 6 U, f€F, (1)

где U и F — гильбертовы пространства, / G F — заданный, u (z U — искомый элемент. Пространства U и F предполагаются вещественными. Всюду в дальнейшем мы будем считать, что уравнение (1) имеет единственное решение û € U.

Краткий обзор работы.

Первая глава содержит обоснование метода сопряженных градиентов в применении к решению линейного уравнения Au — / с самосопряженным оператором.

§1.1 Постановка задачи. Рассмотрена задача решения уравнения (1) с незнакоопределенным оператором А = А*. Вводится

итеративный метод, по схеме совпадающий с методом сопряженных градиентов для положительного самосопряженного оператора А. Предполагается, что исходные данные задачи (1) заданы с погрешностью, а именно определены линейный ограниченный самосопряженный оператор А : V —> F, элемент / £ V, а также числа 77 > 0, 5 > 0,1}?+62>0 такие, что

Приводятся примеры истокообразного представления решения в виде

я

й(з) = ВЪ = 1у)й{у)йу, а < 5 <6, (2)

р

где функция й(у) б^гЬ, определяется однозначно.

§1.2 Метод сопряженных градиентов для решения операторного уравнения с самосопряженным оператором. Рассматривается итерационный процесс из §1.1 в предположении незнакоопределенности квадратичной формы (Ам,гх). Доказывается теорема, дающая условия сильной и слабой сходимости итераций метода. Рассматривается случай, когда нарушено условие (Арк,рк) т~ присутствующее в теореме сходимости. Показано, что в этом случае можно произвести обновление итераций, приняв рк = дк- Приведены условия, при выполнении которых погрешность метода на следующей после обновления итерации будет уменьшаться. Доказана теорема сходимости при наличии возмущений в исходных данных задачи.

§1.3 Метод сопряженных градиентов для вычисления истокообразно представимых решений. Предполагается, что решение уравнения (1) представимо в виде й = Вь, так что исходная задача сводится к задаче отыскания прообраза решения из уравнения

АВи = /. (3)

Предполагается, что линейный ограниченный взаимно однозначный оператор В -.V и задан с погрешностью. Заданы линей-

ный ограниченный оператор В : V II и число £ > 0 такие, что

||в - в\\ < с,

где V — вещественное гильбертово пространство.

Для решения уравнения (3) используется двухэтапный алгоритм, в котором методом сопряженных направлений сначала восставливается прообраз решения щ, после чего вычисляется приближение к решению исходной задачи Вг>^. Доказана теорема, гарантирующая сильную сходимость итераций такого метода к точному решению.

Вторая глава содержит обоснование метода наискорейшего спуска для решения нелинейных интегральных уравнений с оператором, дифференцируемым по Фреше, производная которого удовлетворяет определенным требованиям.

§2.1 Нелинейные интегральные уравнения. Рассматриваются нелинейные уравнения на примере одномерной задачи гравиметрии и задачи определения коэффициента теплопроводности, зависящего от времени. Предполагается, что в окрестности точного решения Вр(й) С £> {Л) оператор уравнения (1) дифференцируем по Фреше, причем производная А'(и) удовлетворяет условию Липшица и условию

А'(и) = ЯиА'(й), (4)

где Я.и : В —> Р — линейный ограниченный оператор, при каждом фиксированном и 6 Вр (й) такой, что

Цйц - £|| < С||и - й||, С > 0. (5)

Приведены примеры интегральных операторов, для которых выполнены условия (4)-(5).

§2.2 Регуляризирующий метод градиентного спуска. Предполагается, что исходные данные уравнения (1) заданы с погрешностью, а именно заданы оператор А(и) : Б (Л) —> Р, элемент /,

числа г], 6 такие, что выполнены условия аппроксимации

||А(и) - Л(и)|| < 77П (и), и е О (А), ||/ - /|| < 6. (6)

Функционал П (и) ограничен на любом ограниченном множестве из П(А), П (0) = 0.

Оператор А{и) дифференцируем по Фреше в окрестности Вр (и) С И (А), причем производная А'(м) удовлетворяет условию аппроксимации

1Л'(«)-Л'(«)1<С1М1. иевр(й) (7)

и условию Липшица с константой не зависящей от С, Я, <5-

Доказана теорема, дающая условия на длину шага спуска, при выполнении которых любая итерация останется в пределах окрестности Вр, где справедливо указанное выше представление производной. Доказаны леммы, носящие вспомогательный технический характер. Доказана теорема, гарантирующая при определенных условиях сильную сходимость итераций метода к точному решению.

§2.3 Оценка скорости сходимости регуляризирующего метода градиентного спуска. Предполагается, что уравнение (1) имеет для заданного элемента / £ Г единственное решение й 6 Б (Л), представимое в виде

й=1А'(й)]*у, ге^, V ± кег(№)П.

Доказано, что регуляризирующий метод градиентного спуска при специальном способе согласования номера итерации с уровнем погрешности исходных данных аппроксимирует точное решение с гарантированной (по порядку) точностью — и|| =

о (И).

В третьей главе содержится обоснование двухшагового итерационного метода (метода проекции сопряженных градиентов) для решения нелинейных задач с ограничениями, если искомое решение принадлежит непустому выпуклому замкнутому множеству М.

§3.1 Метод проекции сопряженных градиентов для точных данных. Рассматривается задача приближенного решения операторного уравнения с ограничениями, приведены примеры. Доказана теорема, гарантирующая при определенных условиях слабую сходимость итераций метода к точному решению и монотонность нормы погрешности [[и* — й||. Указаны условия на оператор -А(и), при выполнении которых выполнены условия теоремы; тем самым показано, что класс рассматриваемых уравнений достаточно широк. Доказана апостериорная оценка скорости сходимости для невязки. Рассмотрен случай, когда решение уравнения представимо в виде й — ВЪ, где В : V —* {/ — линейный вполне непрерывный оператор, взаимно однозначно действующий из гильбертова пространства У в С/, и задано выпуклое замкнутое множество N С V : В (Ы) С Л4. В этом случае условий теоремы, гарантирующих слабую сходимость итераций и* к прообразу точного решения V, достаточно для сильной сходимости Вгк й.

§3.2 Метод проекции сопряженных градиентов для приближенных данных. Предполагается, что исходные данные заданы с погрешностями типа (6)-(7), величины которых заданы числами 6, г7, Доказана теорема, гарантирующая слабую сходимость итераций к точному решению при выполнении условий согласования момента останова с уровнем погрешности исходных данных. Указаны условия, при выполнении которых выполнены условия теоремы, тем самым показана широта класса интегральных уравнений. Для специального случая представимости решения в виде й = ВЪ доказана теорема, гарантирующая сильную сходимость Вуь —> й при стремлении уровня возмущений к нулю.

§3.3 Метод проекции сопряженных градиентов для специального множества ограничений — шара. Рассматривается важный частный случай, когда множество М. — шар заданного радиуса. Доказана теорема, гарантирующая сильную сходимость итераций метода при выполнении определенных условий. Рассматри-

вается случай приближенного задания исходных данных задачи. Доказана теоерема, дающая условия сильной сходимости в приближенном случае.

Глава 4 содержит результаты численных экспериментов, иллюстрирующих теоремы первых трех глав.

§4.1 Задача решения линейного интегрального уравнения с симметричным ядром. В качестве модельной задачи рассматривается уравнение, оператор которого имеет равные по модулю собственные числа разных знаков. Сравниваются два различных критерия остановки итераций: критерий невязки и (^-критерий, теоретически обоснованный в первой главе. Показана возможность применения как 0-критерия, так и критерия невязки, теоретическое обоснование которого затруднено немонотонностью невязки. Сформулирован алгоритм решения уравнений с самосопряженным оператором на основе метода сопряженных направлений.

§4.2 Задача решенья нелинейного уравнения обратной задачи гравиметрии. Двухшаговый итерационный метод (метод сопряженных градиентов) применяется к одномерной обратной задаче гравиметрии. Приведено описание выбора длины шага вдоль направления спуска из условия минимума нормы невязки.

§4.3 Анализ влияния соотношения шагов дискретизации при восстановлении функции через производную. Рассматривается одномерная обратная задача гравиметрии, решение которой может быть представлено в виде и = В\У, или в интегральной форме

и(в) - I у(у)(1у, и(0) — 0.

а

При аппроксимации оператора Вх используется в К раз более редкая сетка по переменной у, чем по переменной я. Приведен

вид матрицы, аппроксимирующей оператор В\.

Раздел выводы содержит основные результаты диссертации.

Приложение содержит 6 лемм, носящих вспомогательный и технический характер.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Морозов В. А., Гилязов С. Ф., Черный В. В. О решении интегральных уравнений Фредгольма I рода методом сопряженных градиентов // Численные методы анализа. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1997. С. 3.

2. Гилязов С. Ф., Черный В. В. О решении некорректных нелинейных уравнений методом сопряженных градиентов // Численные методы анализа. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1997. С. 21.

3. Гилязов С. Ф., Черный В. В. О некоторых свойствах нелинейных отображений // Депонировано в ВИНИТИ 15.06.98 N1800-1398.

4. Гилязов С. Ф., Черный В. В. О сходимости регуляризи-рующего метода градиентного спуска для решения нелинейных некорректных уравнений // Депонировано в ВИНИТИ 15.06.98 Ш802-В98.

5. Черный В. В. Об оценке скорости сходимости регуляризи-рующего метода градиентного спуска для решения нелинейных некорректных уравнений // Депонировано в ВИНИТИ 15.06.98 Ш801-В98.

6. Черный В. В. "Регуляризирующий метод сопряженных градиентов для некорректных нелинейных операторных уравнений" // Вопросы оптимизации вычислений. Труды международной конференции. Киев, 1997. С. 320.

7. Черный В. В. "Регуляризирующий метод сопряженных градиентов для операторных уравнений с самосопряженным оператором" // Алгоритмический анализ некорректных задач. Труды всероссийской конференции. Екатеринбург, 1998. С. 280.