Построение и исследование методов регуляризации для задачи связанного псевдообращения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

УДК 517.983 54

Архаров Евгений Валерьевич Построение и исследование методов

регуляризации для задачи связанного псевдообращения

(специальность 01 01 01 - математический анализ)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа Нижегородского государственного педагогического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Р А Шафиев Официальные оппоненты- доктор физико-математических наук,

профессор И.П Рязанцева, кандидат физико-математических наук доцент М А Рекант Ведущая организация: Южно-Уральский государственный университет

Защита состоится 18 января 2006 года в 15 часов на заседании диссертационного совета К 212 286 01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете имени А М. Горького по адресу 620083, Екатеринбург, пр Ленина, 51, УрГУ, комн. 248

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им А.М Горького.

Автореферат разослан "¿0" ноября 2005 года

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук,

профессор ¿т, ( -------В Г Пименов

¿ее*~? 214067$

Общая характеристика работы

Актуальность представляемой диссертации. Задача, связанного псевдообращения заключается в построении элемента ж*, ближайшего к заданному хо £ X, принадлежащего множеству

гдеХ1={х £ Х:\\Вх-г\)= т£ \\Ви-г\\},А: Х->У,В- Х-^г -линейные

иех

непрерывные операторы и X, У. 2 - гильбертовы пространства

Интерес к задаче (1) связан с двумя обстоятельствами во-первых, она является абстрактной моделью многих проблем математической физики оптимального управления и других областей знания: во-вторых, при отсутствии связей, 1 е. 5=0, г=0, она переходит в классическую задачу псевдообращсния, а именно, в проблему построения нормального относительно хо псевдорешения уравнения

Теории и методам решения некорректного уравнения (2) посвящены многочисленные исследования, опубликованные в периодических изданиях и которые нашли отражение в известных монографиях А Н Тихонова и В Я Арсенина, В К. Иванова, В.В Васина и В Г1 Тананы М М Лаврентьева. Ф П Васильева, Г М Вайникко и А.Ю. Веретешш-кова А Б Бакушинского и А В Гончарского, В В Васина и А.Л Агеева и многих других.

Задача связанного псевдообращения в указанной несколько расширенной постановке когда заданный элемент хОу^0, ранее не рассматривалась вообще При £0=0 задача связанного псевдообращения постав-

ил = {з- € : \\Ах - у|| = т| 1|Аи - у||},

(1)

Ах = у.

(2)

1*00. НАЦИОНАЛЬНАЯ

БИБЛИОТЕКА С •5

лена независимо в работах N Minamide и К Nakamura и В А Морозова Японские математики ввели понятие суженного псевдообратного оператора и выписали точное решение задачи, а В А Морозов предложил и исследовал вариационный однопараметрический регуляризиру-ющий алгоритм его построения 1 В.А Морозов и его последователи В И Мелешко, С Джумаев, Б. Алиев, а также L Eiden С W Groetsch и другие исследовали задачу связанного псевдообращения и методы ее решения при условии, что операторы А и В обладают так называемым свойством дополнительности, из которого в частности следует, что множество Ха одноэлементно. При отсутствии условия дополнительности задачу (1) рассмотрел Р.А Шафиев, который предложил двупарамет-рический регуляризирующий алгоритм ее решения 2 Вариационный вариант этого метода регуляризации рассмотрели его ученики М Я Кугель и И Ю Ястребова.

Для решения уравнения (2), кроме вариационных регуляризирующих методов известны удобные в вычислительной практике итерационные процедуры. Проблема распространения итерационных методов на случай решения задачи связанного псевдообращения, несомненно, представляет интерес

Цель работы: разработать и исследовать итерационные методы решения задачи связанного псевдообращения- решить проблемы априорного и апостериорного выбора параметров регуляризации, правила останова

Методика исследования широко использует аппарат теории псев-

А Морозов Регулярные методы решения некорректно поставленных задач -М Наука, 1987 - 360 с

'Шафиев РА Псевдообрашение операторов и некоторые приложения - Баку Элч, 1989 - 152 с

дообращения. теории регуляризации, а также обшие результаты функционального анализа и теории возмущений

Научная новизна исследования заключается в следующих основных результатах диссертации

- предложен способ построения регулярных методов решения задачи связанного псевдообращения базирующийся на аппроксимирующей задаче,

- построены итерированный вариант двупараметрического метода регуляризации, а также неявные и явные схемы итерационных методов решения задачи связанного псевдообращения Исследована сходимость и устойчивость этих методов в классе любых малых по норме возмущений операторов А, 5,

- установлены оценки погрешности методов и на основе принципа минимума мажорантных оценок решена проблема априорного выбора параметров регуляризации;

- исследована проблема выбора параметра г в регуляризирующем алгоритме, порожденном аппроксимирующей задачей, в случае, когда оба оператора А, В заданы приближенно Обоснован выбор параметра по принципу невязки и по обобщенному принципу невязки в суженном классе возмущений операторов А. В. а именно, в классе устойчивого вычисления псевдообратного оператора Г+, который переходит в класс любых малых по норме возмущений А, В при условии дополнительности этих операторов

Исследованный регуляризирующий алгоритм зависящий от одною параметра г, по суще« ву обобщает метод регуляризации В А Мо-

розова из цитированной книги Проблема выбора исс ¡едована В А Морозовым, а также И Ю Ястребовой при возмущении только одного оператора В,

- сформулированы и обоснованы критерии апостериорно1 о последовательного выбора параметров ре1 уляризации для случая неявного итерационного метода в суженном классе возмущений операторов

А, В,

- рассмотрено применение построенной теории к решению задач оптимального управления с минимальными затратами энергии

Научная и практическая ценность. Основные результаты предложенной работы являются новыми и вносят определенный вклад в теорию методов решения некорректных задач Работа носит как теоретический, так и прикладной характер Полученные результаты могут быть использованы при решении экстремальных задач и разного рода интегральных уравнений, к которым сводится достаточно широкий круг прикладных задач

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались:

- на научных семинарах кафедры математического анализа Нижегородского государственного педагогического университета (2000 -2005 г.г.),

- на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета (2000 - 2005 г.г),

- на VI VII, VIII, IX Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки) (г Саров, Нижегородская область, 2001, 2002,

2003, 2004 г г),

- на Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач "(г Екатеринбург 2004 г),

- на научном семинаре "Методы оптимизации"кафедры оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им М В Ломоносова (руководители - проф Ф П. Васильев, доктор физ мат наук АС Антипин, доц ММ Потапов) (2005 г),

- на научном семинаре "Математическая теория оптимального управления "Нижегородского государственного университета им НИ Лобачевского (руководители - проф В И Сумин проф М И Сумин) (2005 г);

- на научном семинаре кафедры прикладной математики Нижегородского государственного технического университета (руководитель -проф И П Рязанцева) (2005 г)

Основные результаты отражены в 11 публикациях, список которых приведен в конце автореферата В совместных работах [9-11], выполненных в соавторстве с РА Шафиевым, личным вкладом диссертанта являются формулировки и доказательства теорем Р А Шафиеву принадлежат постановки задач идеи доказательств основных теорем и общее руководство В совместных работах [5 6], выполненных в соавторстве с Е А Бондарь личным вкладом диссертанта является рассмотрение вопросов, связанных с неявными итерационными схемами, а сфера деятельности Е А Бондарь - явиые итерационные методы В совместных

работах с В Е Уваровым [7, 8] диссертанту принадлежат постановки задач и общее руководство

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения пяти глав заключения и списка литературы, содержащего 62 наименования Материал диссертации изложен на 92 страницах

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы, обозначаются направления исследования дается краткая аннотация работы

Первые два параграфа главы I носят вспомогательный характер В §1 собраны сведения о псевдообратных операторах к линейным ограниченным операторам II: в гильбертовых пространствах, об их устойчивом вычислении в суженном классе возмущений и о связи с нормальными псевдорешениями уравнений.

Приведем здесь одно удобное в теоретических вопросах представление псевдообратного оператора, используемое в дальнейшем'

и+д = (ТРщи) + и*иГ1и*9) \/деО(и+) = Щи)@М(и')., (3)

где Т' Х^Х - линейный оператор такой, что оператор в (3) существует, например, Т—а1, а^О.

В диссертации задача связанного псевдообращения (1) называется основной задачей, элемент х^Хд, ближайший к хо - решением основной задачи а при хо=0 - нормальным решением основной задачи и обозначается х*

г В А

ядро которого ЛГ(Г)=ЛГ(Л)ПЛ''(Л) Ортопроекторы на ядра М(В), N(Г) обозначаются без индексов- Рм(в)~Р Р±=1—Р С2±==/-<2

Важную роль играет составной оператор Г=

х У,

В §2 устанавливаются условия разрешимости основной задачи, вид и свойства решений Так. нормальное решение основной задачи имеет вид

х* = В+г + (АРУ(у-АВ+г) (4)

и является единственным решением лежащим в ТУ (Г)1, решение основной задачи - х„=х*+(2хо и характеризуется включением я,—^обЛ^Г)1.

Центральным в главе I является §3 Поэтому остановимся на нем подробнее Известно, что задача псевдообращения уравнения (2) равносильна уравнению

А'{Ах-у) = 0 (5)

и многие регуляризирующие алгоритмы задачи псевдообращения построены как методы решения уравнения (5)3 Непосредственно использовать эту идею для построения регуляризирующих алгоритмов основной задачи не представляется нам возможным, так как основная задача равносильна паре не вполне подходящих для этого уравнений

В*{Вх-г) = О, РА*(Ах - у) = О

Тем не менее, именно эта идея лежит в основе построения регуляризирующих алгоритмов основной задачи, но применяется она не непосредственно к самой задаче, а к аппроксимирующей ее задаче

В §3 приводится вывод аппроксимирующей задачи Этот вывод основан на замене в точной формуле (4) псевдообратного оператора (АР)+ аппроксимирующим его семейством С помощью формулы (3) (АР)+ представляется в симметричной форме

(АРУ = Р{РТ<ЗР + Р^Р1 + РА* АР)'1 РА*,

'ВайниккоГМ Ворртрннихов А Ю Итерационные процедуры в некорректных задачах -М На> ка 1986 - 184 с

где Т и Т] - соответствующие операторы действующие в ортогональных подпространствах N(T) и N(B)1, а затем в правой части этой формулы ортопроекторы Р и Рх заменяются аппроксимирующими их по методу А Н Тихонова семействами В результате получается семейство операторов

R, = {TQ + rB*B + А*А)'1 А', г > О,

аппроксимирующее (АР)+ при г—>+оо. Подставляя в формулу (4) Rj вместо (АР)+ и вводя обозначения

yjrz

Гг =

Лв

А

■ X-*G, дг =

У

eG,

получим векторы xr—(TQ+T*Tr) ^(jy или согласно (3)

хг = Тг9г,

(6)

(7)

аппроксимирующие нормальное решение основной задачи при г->+оо.

Задача нахождения векторов (7) называется аппроксимирующей задачей, а семейство {хг} - решением аппроксимирующей задачи Аппроксимирующая задача равносильна параметрическому уравнению

Гг(Ггх - дг) = О,

(8)

и именно это уравнение предлагается использовать для построения методов регуляризации основной задачи Таким образом построены итерированный и итерационные методы регуляризации основной задачи

Под итерированным вариантом двупараметрического метода регуляризации понимается последовательное вычисление элементов 2Г1>га,..., %т,та ПО формулам

ахп,га +Г*Ггх„)Г(1 = ахп-11Та + Г*<?Г, г, а > 0, п = 1,2, ,т = сопз1, (9)

10

исходя из начального приближения хп1Та=хг) Элемент хт^га принимается за приближенное решение основной задачи

Итерационный метод заключается в последовательном вычислении элементов хпг но формулам

ахп^ + Т*ТТхп>Т = ахп-1>т + Т*дт, г > 0, п — 1, 2,..., а = сопьЬ > 0 (10)

при заданном начальном приближении хц)Г=.хц

Методы (9) (10) относятся к неявным итерационным схемам решения уравнения (8) Явная итерационная схема приводит к следующему методу

= 2*71-1,Г (ГгХп_1)Г 9т*)) (И)

1де х0г=х0, г>0, п=1,2, . , 0<^г<рДр

Подчеркнем, что эти методы решения основной задачи представляют собой регуляризирующие алгоритмы решения аппроксимирующей задачи Поэтому они двупараметрические и ни при каких значениях параметров не совпадают с основной задачей Кроме того, в случае, когда основная задача переходит в задачу псевдообращения (5=0, г=0), семейство уравнений (8) переходит в уравнение (5) и методы (9) - (11) - в соответствующие методы из книги Г М Вайникко и А Ю Веретенникова Полученные в диссертации в качестве следствий теоремы о сходимости и устойчивости этих методов аналогичны соответст вующим теоремам из цитированной книги

Во второй главе исследуются вопросы сходимости методов, вывода оценок погрешностей и априорного выбора параметров при точных входных данных.

При общих предположениях относительно операторов А к В, при которых рассматриваются методы в §§4, 5, сходимость методов достигается

за счет согласованного стремления к своим пределам параметров регуляризации Например, для итерационно! о метода, (10) хП]Г—>х, при я->оо, Г-ЮО, и 0

) г

Обойти это ограничение с согласованием параметров для неявных методов удается в §6, в котором предполагается что операторы А и В -обобщенно дополнительные:

а7>0: \\Ах\\2+\\Вх\\2>ч2\\х\\2 \/x£{N{A)nN{B))L. (12)

Кроме того, это условие обеспечивает более высокую скорость сходимости.

Глава III посвящена изучению устойчивости методов (9) - (11), те установлению их сходимости к решению основной задачи в случае, когда вместо точных данных известны приближенные данные At, В^, ут, zg, удовлетворяющие условиям аппроксимации

\\At-A\\<t, \\Bh-B\\<h, \\ут-у\\<т, \\z6-z\\<5

В методах (9) - (11) в случае возмущенных данных вместо Гг и дт используются обозначения Гг и дг, определенные аналогично (6), а приближения по этим методам, как обычно, снабжаются знаком тильда Приведем теорему устойчивости неявного итерационного метода (10). Теорема 7.5 Пусть основная задача разрешима и выполнено условие

А*{Ах* - у) € D(B,+)

Если в возмущенном методе (10) параметры п=п(т],сг), r=r(ri,a). где r]—rj(h, 5), a=a{t, г), выбирать так, что n—»оо, r->оо rn(62+h)-^-0, п(т2-И)->0 при 7?->0, <7->0, то

XnJ —\ X, При Т] —0, (7 —^ 0 12

Если начальная погрешность представима в виде xt- х0 = Г*д, д =

то справедлива оценка погрешности

- Х,|| < (Л + 141 + {t + Vi) |М| +

+ yf («5 + h\\x,\\) + + vf(r + í||^|¡)+ (13)

+ 2f||у - Ах.\\ + (f + ||В*+Л*(у - Ах,)\\ Оценки погрешности вида (13) используются в работе для решения проблемы априорного выбора параметров регуляризации Так, например, в предположении, что выполнено условие

6 + he = К(т + tc)7\

гДе с>||^«|| a K=const>0, найдены параметры

/ а ч 1

п = int\ -5- ímt - целая часть ), г =-7,

+ h (т-Ис)Г

где g=2c-1||u||-1 (\\Рм{В')г\\К+\\у — Аг*||), и получена асимптотическая

оценка погрешности:

^ / j в _

<x(t,í)->0 (7" -f- tej з V

+ c-lq-^\\PNmz\\K + c-yt||2/ - Axt\\ + ql\\u\\) .

Из этой оценки следует, что погрешность метода (10) по порядку не выше, чем (т-Ис)з

В четвертой главе исследуется проблема последовательного выбора параметров регуляризации в возмущенном итерационном методе (10)

При этом предполагается, чю как сами операторы А, В, так и приближенные операторы А(, Вд удовлетворяют обобщенному условию дополнительности Полное описание суженного класса возмущений, для которых возмущенные операторы Вд - обобщенно дополнительные, приводится в §1 Отсюда, в частности, следует что если уровни возмущений из суженного класса Ь и И малы \/12+Ь2<\7, где 7 - константа из (12) то справедлива оценка

\\Atxf + \\Bhxf > -А1гЫ\\ V* е (ЩА() п ЩВ,))1.

Проблеме выбора параметра г по принципу невязки и обобщенному принципу невязки из регуляризирующего алгоритма, который заключается в построении семейства {¿г}; гДе хт - решение вариационной задачи

Рт{хт)= т£ ВД, Рг{х) = \\Ттх-дг\\\ (14)

:ееЛГ(Г)х

посвящен §10

Проблема выбора параметра г в методе регуляризации (14) была рассмотрена ранее в монографии В А Морозова в случае, когда 7У(Г)={0}, и И Ю Ястребовой в ее кандидатской диссертации В отличие от работ В А Морозова и И Ю Ястребовой мы рассматриваем параметр г в промежутке [1, +оо), в связи с чем становятся излишними рассмотрение двойственной задачи (т.е задачи, в которой изменен порядок следования множеств X} и Ха в (1)) и связанные с ней ограничения, в частности, требование, чтобы оператор А и вектор у были вычислены точно

Остановимся подробно на принципе невязки Вводятся обозначения

\\Вх" - г\\ - цв, \\Вх\ - г\\ = щ, и в возмущенном случае

\\Bhi* - \\Bhii - 2,51| = Дь

где х* - нормальное решение возмущенной основной задачи Очевидно, Дв< ß)

Показано, чго в случае выполнения равенства fJs=ß 1 основная задача вырождается в задачу псевдообращения уравнения Гх=д Поэтому интерес представляет случай, когда

цв < ßi- (15)

Доказаны следующие леммы.

Лемма 10.7. Неравенство (15) влечет неравенство ße<ßi-Лемма 10.8. Если выполнено условие (15), то функция

р(г) = ||Bhxr - Zill

непрерывна при VrG[l,+oo), при г->+оо р{г)->рв и является строго убывающей на [1, +оо)

Выбор параметра гд по принципу невязки означает, что гд есть корень уравнения

р(г) = Д, Дв < Д = Дв + hC + 5 < ßb

где С > ||а;*|| и предполагается известным число Дв>//в Доказана следующая

Теорема 10.9. Пусть параметр гд выбран по принципу невязки Тогда, обозначая хг&=хд, имеем ||хд—£*||—»0 при

В §11 исследован возмущенный итерационный метод (10) с фиксированным параметром г=гд ¿о,д—^о,

ажп,д + ГдГджПгд = +Гд^д, п = 1,2,..., а = const > 0 (16)

(здесь вместо индекса гд пишется д) Метод (16) является итерационным методом построения псевдорешения u„=x&+Qxq уравнения Гдг = дд нормального относительно х$. Установлена

Лемма 11.1. (Правило останова (П)) Если по заданному числу а>0 итерации (16) останавливать на таком номере п-п{а) для которого впервые (|жп,д—¿п-^дН^с, то тогда справедливо соотношение

Сформулируем один из критериев посчедовательного выбора обоих параметров регуляризации.

Критерий (ргП) в качестве параметра г примем число гд, найденное по принципу невязки, в качестве п выберем параметр п(а), найденный по правилу останова (П)

Теорема 11.2. Пусть параметры гд и п(а) выбраны по критерию (р, П). Тогда имеем

В главе V неявный итерационный метод (10) применен для решения задач оптимального управления Рассмотрена линейная динамическая управляемая система:

где х^еК" и u(-)€W - вектор-функции состояния и управления, a W{t), V(t) - функциональные матрицы, ограниченные на [to,t\] функциями интегрируемыми с квадратом Пусть заданы функционалы платы:

lim ||in(ff),A—"*|l=0-

~ xt|] ->• 0 при Л ->■ (1В, а

-»■ 0.

^ = W(t)x{t) + V{t)u(t), t0 < t < t,

x(to) = XQ,

(17)

(18)

3{и) = I (и(*), Я(«)и(*))

(20)

где - положительная, а - положительно определенная симметрические ограниченные на [¿о, <1] матрицы вектор-функция наблюдения.

Предположим, что допустимые управления образуют вещественное гильбертово пространство Н вектор-функций из Ь], со ска-

лярным произведением

Рассмотрены две задачи найти (оптимальное) управление «*£#, удовлетворяющее условиям-

далее, в задаче I

3{и*) + 12{и*) < ](и) + 32{и) для всех и таких что З^и) = 3\(и*)\ в задаче II:

< и) Для всех и таких, что ^(и) = ^(и*);

]{и*) < 3{и) для всех и таких, что 7,(и) = г = 1,2.

Задача I была поставлена японскими математиками N Мтаппс1е и К Иакатига И Ю Ястребова к ее решению применила вариационный метод регуляризации В нашей работе задачи I и II сводятся к абстрактной задаче связанного псевдообращения оптимальное управление при

«о

■Ь{и") 5- Л(и) для всех иен-,

эюм является нормальным связанным псевдорешением, а поэтому может быть найдено предложенными нами методами решения этой абстрактной задачи

Показано, что задача оптимального управления I имеет единственное решение u*(t) и для его нахождения применим итерационный метод (10) В задаче II оптимальное управление не всегда существует, но если существует, ю единственно и также может быть найдено итерационным методом (10) В невозмущенном случае последовательные приближения ип.г находятся из системы uo.r=0,

h

{а + ß)un,T(t) + rR'^tjV'it^itut) f 9(tus)V(e)u„,r(s)ds+

tri

+R~1(t)V*(t) IФ*(a, t)Q(s) (f Ф(з, T)V(T)unAr)dr) ds =

t \to /

= aun-ltr{t) + rR-1(t)V'(t)<t>'(tht){<p{t1) - $(ibi0)x0)+

t

В задаче I ß=l, в задаче II ß=0, при этом сходимость в задаче Г

[|ii„,r - я 0 имеет место при п —► оо г -»• оо и n/r -> 0.

В задаче II указанная сходимость имеет место, если задача разрешима.

Применение итерационного метода к решению задач оптимального управления иллюстрируется на примере

В заключении диссертации сформулированы основные результаты, которые приведены в пункте "Научная новизна исследования"

Работы, опубликованные по теме диссертации.

1 Архаров Е В Итерационные методы в задаче связанного псевдообращения // Седьмая нижегородская сессия молодых ученых (Математические науки) Тез докл , г Саров 19-23 мая 2002 года -Н Новгород Изд Гладкова О В , 2002 - С 34-35

2 Архаров Е В Итерационные методы регуляризации задачи связанного псевдообращения // Известия вузов Математика - 2005 -№ 8 ~ С 6-13

3 Архаров Е В Неявная итерационная схема в задаче связанного псев-дообрашения // Восьмая нижегородская сессия молодых ученых (Математические науки) Тез докл . г Саров, 19-23 мая 2003 года - Н Новгород Изд. Гладкова О В . 2003 - С 24-25

4 Архаров Е В О двух задачах оптимального управления // Девятая нижегородская сессия молодых ученых (Математические науки) Тез докл , г Саров, 23-27 мая 2004 года - Н Новгород- Изд Гладкова О В , 2004 - С 39-40

5 Архаров Е В , Бондарь Е А Об одном общем подходе к изучению приближенных методов решения задачи связанного псевдообращения // Шестая нижегородская сессия молодых ученых (Математические науки) Тез докл , г Саров, 13-17 мая 2001 года. - Н Новгород Нижегородский гуманитарный центр, 2001. - С 6-8

6 Архаров Е В , Бондарь Е А Явная итерационная схема решения задачи связанного псевдообращения //Н Новгород, 2003 - 8 с - Деп в ВИНИТИ за № 604-В2003

7 Архаров Е В Уваров В Е Методы регуляризации задачи 2-связан-ного псевдообращсния //Алгоритмический анализ нсусшйчивых задач Тез докл Всерос науч конф , Екатеринбург, 2-6 февр 2004 года - Екатеринбург Изд-во Урал ун-та. 2004 - С 10-11

8 Архаров Е В Уваров В Е О некоторых задачах оптимального управления // Алгоритмический анализ неустойчивых задач Тез докл Всерос науч конф , Екатеринбург, 2-6 февр 2004 года - Екатеринбург Изд-во Урал ун-та. 2004 С 146-147

9. Архаров Е В , Шафиев Р А Регулярные и итерационные методы связанного псевдообращения //Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона Периодический сборник научно-методических работ. Выпуск 5 - Киров. Изд-во ВятГГУ, 2003 - С 68-80.

10 Архаров Е В Шафиев РАО выборе параметров в итерационном методе регуляризации задачи связанного псевдообращения //Весг-ник Нижегородского университета им. Н. И Лобачевского Серия Математика Вып 1(3) Н Новгород- Изд-во ННГУ, 2005 - С. 135149

11 Архаров Е В , Шафиев РА Методы регуляризации задачи связанного псевдообращения с приближенными данными //ЖВМ и МФ - 2003, - Т 43, № 3. - С 347-353

Подписано в печать -2Л // Печать трафаретная

Объем {0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ

Отдел полиграфии AHO «МУК НГПУ» 603950, г. Нижний Новгород, ГСП-37, ул. Ульянова, 1

Ш 2 * 3 1 9

РНБ Русский фонд

2006-4 25319

9 Введение

Глава I. Теоретические основы построения методов

§1. Свойства псевдообратных операторов.

§2. Задача связанного псевдообращения.

§3. Аппроксимирующая задача.

Глава II. Методы регуляризации основной задачи

§4. Неявные схемы итерированного и итерационного методов

§5. Явная схема итерационного метода.

§6. Сходимость методов в условиях нормальной разрешимости составного оператора.

• Глава III. Устойчивость методов регуляризации основной за

§7. Устойчивость неявных схем решения основной задачи

§8. Устойчивость явной схемы решения основной задачи

Глава IV. Апостериорный выбор параметров регуляризации

§9. Устойчивость неявных методов в классе корректных возму

• щений псевдообратного Г+

§10. Выбор параметра г.

10.1 Принцип невязки.

10.2 Обобщенный принцип невязки.

§11. Критерии последовательного выбора параметров регуляризации

11.1 Критерий выбора (р; П).

11.2 Критерий выбора (р, 7; П).

В начале XX века при выяснении вопроса о соответствии математических и физических моделей задач естествознания впервые было введено понятие некорректной задачи. Часто абстрактной моделью таких задач служит линейное операторное уравнение

Ах = у (0.1) с непрерывным оператором А, действующим между гильбертовыми пространствами X и У. По уравнению (1) требуется найти нормальное относительно заданного элемента xqEX псевдорешение ж* (или просто нормальное псевдорешение х*, если £о=0), принадлежащее множеству {х <= X : \\Ах - у\\ = inf \\Аи - у||}. и£Х

Если А+ - псевдообратный к оператору А, то нормальное псевдорешение уравнения (1) запишется в виде х* = А+у, (0.2) а нормальное относительно а?о псевдорешение х* = х* + PN{A)X0i где Р,у(л) ~ ортопроектор на ядро N(A) оператора А. Поэтому задачу отыскания нормальных псевдорешений уравнения (1) можно назвать задачей псевдообращения.

Не останавливаясь на истории вопроса, отметим, что одним из наиболее важных методов решения задачи псевдообращения является метод регуляризации А.Н. Тихонова, состоящий в аппроксимации решения (2) семейством {ха}, а>0, экстремалей функционала о.з)

Теории и методам решения некорректного уравнения (1) посвящены многочисленные исследования, опубликованные в периодических изданиях, и которые нашли отражение в известных монографиях А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [45], В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы [26], М.М. Лаврентьева [29], Ф.П. Васильева [19], Г.М. Вайникко и А.Ю. Вере-тенникова [18], А.Б. Вакушинского и А.В. Гончарского [16], В.В. Васина и А.Л. Агеева [21], а также в работах [17], [30], [31], [36], [38], [43], [47] и многих других.

Начиная с 1970 года, стали появляться практические задачи, абстрактной моделью которых служит уравнение (1), но неизвестная х - не произвольный вектор пространства X, а удовлетворяет некоторым линейным связям, которые можно описать с помощью другого линейного уравнения

Вх = z (0.4) с непрерывным оператором В, действующим между гильбертовыми пространствами X и Z. По уравнениям (1) и (4) требуется найти элемент сс*, ближайший к заданному xq^X, принадлежащий множеству G X! : \\Ах - у\\ = inf \\Аи - (0.5) иех 1 гдеХ!={хбХ: \\Bx-z\\= inf \\Bu-z\\}.

Эта задача по аналогии с предыдущей называется задачей связанного псевдообращения, элемент ближайший к хо, - нормальным относительно xq связанным псевдорешением уравнения (1), а при xq=0 нормальным связанным псевдорешением этого уравнения и обозначается * х .

Задача связанного псевдообращения, когда заданный элемент xq^O, ранее не рассматривалась вообще. При £о=0 задача связанного псевдообращения поставлена независимо в работах N. Minamide и К. Nakamura [58] и В.А. Морозова [37]. Японские математики ввели понятие суженного псевдообратного оператора и записали точный вид нормального решения х* задачи (5): я* = B+z + (АРщв)У(у - AB+z), (0.6) где Pn(b) ~ ортопроектор на ядро N(B) оператора В.

В.А. Морозов предложил и исследовал вариационный однопараметри-ческий регуляризирующий алгоритм построения этого решения, используя функционал А.Н. Тихонова (3) с естественной заменой стабилизирующей его части на ^\Bx—z\\2. Решению задачи связанного псевдообращения методом регуляризации посвящены также работы ряда авторов [3], [23], [33], [40], [55], [56], но во всех этих работах предполагается выполненным условие дополнительности операторов А и В:

37>0: \\Ах\\2 + \\Вх\\2>^\\х\\2 УхеХ, (0.7) из которого в частности следует, что множество Хд одноэлементно. При отсутствии условия дополнительности задачу (5) рассмотрел Р.А. Ша-фиев в работах [48], [49], [50] и других, которые вошли в монографию [51].

Он предложил регуляризирующий алгоритм ее решения, основанный на двупараметрическом функционале

Фга(я;) = г\\Вх - г||2 + ||Ах - у\\2 + аЦхЦ2, г,а>0. (0.8)

Этот вариационный метод регуляризации рассмотрели его ученики М.Я. Кугель [28] и И.Ю. Ястребова [54]. При выполнении условия (7) в функционале (8) можно положить а=0, при этом полученный таким образом функционал с точностью до параметризации совпадает с функционалом В.А. Морозова [37].

Для решения уравнения (1), кроме вариационных регуляризирующих методов, известны удобные в вычислительной практике итерационные процедуры. Многие из этих алгоритмов представляют собой методы решения уравнения

А*{Ах-у) = 0, (0.9) которое, как известно, равносильно задаче псевдообращения уравнения (1). Примеры таких итерационных методов можно найти в работах Г.М. Вайникко и А.Ю. Веретенникова [18], А.Б. Бакушинского и А.В. Гончарского [16] и других авторов.

В данной диссертационной работе исследуется проблема распространения итерационных методов регуляризации для решения задачи связанного псевдообращения. Предполагается, что А: X—>Y, В: X—>Z -линейные ограниченные операторы, X, Y, Z - гильбертовы пространства. Способ построения итерационных методов базируется на аппроксимирующей задаче, вывод которой основан на замене в точной формуле (6) псевдообратного оператора аппроксимирующим его семейством (§3) и опирается на известные факты из теории псевдообратных операторов и теории некорректных уравнений (глава I, §§1 и 2). Аналогом уравнения (9) в случае задачи связанного псевдообращения может служить параметрическое уравнение, которое равносильно аппроксимирующей задаче. С помощью оператора Гг и вектор дг:

Гг = фв А

X -л Z хУ = G, дг = frz У

ZG это уравнение можно записать в виде r;(rr®-0r) = o.

0.10)

Именно это уравнение предлагается использовать для построения методов решения задачи (5). Таким образом построены итерированный и итерационные методы регуляризации задачи связанного псевдообращения (глава II, §4).

Под итерированным методом регуляризации понимается последовательное вычисление элементов x\jra,.хт<га по формулам аХп,га+К^гХп,га=ахп^га-{-Г*дг, г, с*>0, п=1, 2,.m=const, (0.11) исходя из начального приближения xqjTCX=xq. Элемент хт>га принимается за приближенное решение основной задачи. Итерационный метод заключается в последовательном вычислении элементов хП)Г по формулам о;жП)Г+Г*Гг£П)Г=а;жп1)Г+Г*#г, г>0, п=1, 2,., a=const>0 (0.12) при заданном начальном приближении хо^г=хо.

Методы (11) - (12) относятся к неявным итерационным схемам решения уравнения (10). Явная итерационная схема приводит к следующему методу: хп^г — хп—1)Г nrY Г(Г rxn—i>r Qr)i (0.13) где ж0)Г=а;о, г>0, п=1,2,., 0</ir<p£jp

Построенные методы являются двупараметрическими и ни при каких значениях параметров не совпадают с задачей связанного псевдообращения (5).

Во второй главе рассматриваются вопросы сходимости методов, вывода оценок погрешностей и априорного выбора параметров при точных входных данных при общих предположениях относительно операторов А и В (§§4, 5). В этом случае сходимость методов достигается за счет согласованного стремления к своим пределам параметров регуляризации. Например, для итерационного метода (12) жП)Г—при п—>оо, г—оо, и ^—>0 (теорема 4.5). Приведенные для задачи псевдообращения (В=0, z=0) следствия, соответствуют известным результатам из [18].

Для сходимости хщг к я*, когда п—Уоо, г—>оо независимо (§6, следствие 6.2), потребовалось, чтобы операторы А и В были обобщенно дополнительные:

Зу > 0 : \\Axf + \\Bxf > 72||а;||2 Уж € (N(A) П iV(5))x. (0.14)

Но для метода (13) даже это условие не обеспечивает сходимости без согласования параметров. Этому препятствуют релаксационные множители цг (замечание 6.4).

В случае, если известны приближенные данные задачи: At, Bh, ут, то предполагаются выполненными следующие условия аппроксимации:

Л-Л||<*, ||ДА-В||<Л, \\ут-у\\<т, \\Z6-Z\\<5. (0.15)

При выполнении условия (15) установлена устойчивость регуляризиру-ющих алгоритмов (§§7, 8). Так, для неявного итерационного метода (12) в возмущенном случае доказано хщг—при h, t, 5, г—>0, со, г-^оо и выполнении условий согласования >0, rn(S2+h)—>0, п(т2-И)—»0 (теорема 7.5). Для рассматриваемых методов выведены оценки погрешности при обычном условии истокопредставимости начальной погрешности. Априорный выбор параметров осуществлен по полученным оценкам при условии, что точность приближенных оператора В^ и вектора z$ выше, чем оператора At и вектора ут.

Для итерационных процедур более удобным и практичным является апостериорный выбор параметров, выбор момента останова. В диссертации для решения этой проблемы используется идея последовательного выбора параметров регуляризации, предложенная в работе Р.А. Шафие-ва и И.Ю. Ястребовой [52]: параметр гд выбирается по принципу невязки или обобщенному принципу невязки из регуляризирующего алгоритма, который заключается в построении семейства {хг}, где хг - решение вариационной задачи

Fr(xr)= inf Fr(x), Fr(x)=\\rrx-gr\\2=r\\Bhx-z5\\2-\-\\Atx~yT\\, xeN(f)L

0.16) где оператор Гг составлен из приближенных данных аналогично Гг, а оператор Ti обозначается без индекса Г. Второй параметр п выбирается по правилу останова в итерационном методе (12) при фиксированном г=гд. Проблема выбора параметра г в методе регуляризации (16) была рассмотрена ранее в монографии В.А. Морозова [37] при ограничении (7), и И.Ю. Ястребовой [54] при условии (14). В этих работах поведение нормы невязки \\BhXr—zs|| изучается при 0<г<оо, что приводит к необходимости исследования так называемой двойственной задачи и введением связанных с ней дополнительных ограничений, в частности, требования, чтобы оператор А и вектор у были вычислены точно.

В отличие от работ В.А. Морозова и И.Ю. Ястребовой, мы рассматриваем параметр г в промежутке [1,+оо), в связи с чем становятся излишними рассмотрение двойственной задачи и дополнительные ограничения. Последовательному выбору параметров посвящена четвертая глава диссертации, состоящая из трех параграфов (§§9 - 11). Здесь предполагается, что как сами операторы А, В, так и приближенные операторы At, Bh удовлетворяют обобщенному условию дополнительности. Полное описание класса возмущений, для которых приближенные операторы At, Вь - обобщенно дополнительные, приводится в §1. Отсюда, в частности, следует, что если уровни возмущений из этого класса t и h малы: \/t2jrh2<\7, где 7 - константа из (14), то справедлива оценка

Atx\\2 + \\Bhx\\2 > i72|И|2 Vz g (N(At) П N(Bh))L .

Указанные ограничения обеспечивают независимость параметров в случае возмущенных данных (§9).

Далее, исследуя свойства функции-невязки p(r)=\\BhXr—zs\\, приходим к выводу, что р{г) непрерывная и строго убывающая на [1,+оо) функция, значения которой заполняют промежуток (Д^Аг] (лемма 10.8). С помощью этих результатов установлена возможность выбора параметра регуляризации г по принципу невязки как корня уравнения р(г) = А. (0.17)

Зафиксируем параметр г=гд и перепишем возмущенный метод (12): жо,д=Я(ь ажп>д+ГдГд5п,д—д<7д, п = 1,2,., a=const>0, (0.18) где обозначено хп^=хЩГл, Гд=ГГд, <7д=<7-Гд. Очевидно, метод (18) является итерационным методом построения псевдорешения u*=x&+Qxq уравнения Гдж=^д нормального относительно xq. Здесь Q - ортопроек-тор на ядро оператора Гд.

После нахождения параметра гд из уравнения (17), параметр п=п(а) находится по правилу останова для итераций из (18) как номер, для которого впервые ||жП)д—жп^д||<о", где а - наперед заданное число.

В заключение отметим, что формулировки некоторых практических задач, абстрактной моделью которых служит задача связанного псевдообращения, можно найти в [56]. Одна из этих задач рассмотрена в [58]. Суть этой задачи состоит в том, что требуется найти управление системой обыкновенных дифференциальных уравнений, которое за заданное время Т переведет эту систему из начального состояния x(t0) в состояние ti=t0+T, наименее уклоняющееся от заданной точки <p(t 1) фазового пространства, и при этом минимизирующее энергетические затраты. Приведенное в [58] решение связано с обращением ряда операторов. В главе V диссертации эта задача и аналогичная ей решена итерационного методом.

Применение итерационного метода к решению задач оптимального управления иллюстрируется на примере.

В диссертации принята следующая система нумерации. Нумерация параграфов в работе сквозная. Формулы в работе занумерованы двумя числами, разделенными точкой. Первое число в номере формулы - номер параграфа, в котором приводится данная формула, второе - номер формулы в параграфе. Во введении номер формул начинается с нуля. При ссылке на формулы внутри параграфа указывается только ее номер в данном параграфе. Нумерация определений, теорем, следствий, лемм и замечаний единая в параграфе и состоит из двух чисел, разделенных точкой. Первое число - номер параграфа, в котором сформулировано предложение, второе - номер предложения в параграфе. При ссылке на предложение указывается полный его номер.

Основные результаты предложенной работы являются новыми и вносят определенный вклад в теорию методов решения некорректных задач. Они опубликованы в [4] - [14] и докладывались на Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (г. Екатеринбург, 2004 г.), на научном семинаре "Методы оптимизации" кафедры оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководители - проф. Ф.П. Васильев, доктор физ.-мат. наук А.С. Антипин, доц. М.М. Потапов) (2005 г.), на научном семинаре "Математическая теория оптимального управления" Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (руководители -проф. В.И. Сумин, проф. М.И. Сумин) (2005 г.), на научном семинаре кафедры прикладной математики Нижегородского государственного технического университета (руководитель - проф. И.П. Рязанцева) (2005 г.), на VI, VII, VIII, IX Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки) (г. Саров, Нижегородская область, 2001 - 2004 г.г.), на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета (2000 - 2005 г.г.), на научных семинарах кафедры математического анализа Нижегородского государственного педагогического университета (2000 - 2005 г.г.).

Заключение

Подводя итог изложенному, сформулируем основные результаты, выносимые на защиту.

1. Для задачи связанного псевдообращения в случае непрерывных операторов в гильбертовых пространствах предложен способ построения регулярных методов ее решения, базирующийся на аппроксимирующей задаче.

2. Построены итерированный вариант двупараметрического метода регуляризации, а также неявные и явные схемы итерационных методов решения задачи связанного псевдообращения. Исследована сходимость и устойчивость этих методов в классе любых малых по норме возмущений операторов.

3. Установлены оценки погрешности методов и на основе принципа минимума мажорантных оценок решена проблема априорного выбора параметров регуляризации.

4. Исследована проблема выбора параметра г в регуляризирующем алгоритме, порожденном аппроксимирующей задачей, в случае, когда оба оператора заданы приближенно. Обоснован выбор параметра по принципу невязки и по обобщенному принципу невязки в суженном классе возмущений обоих операторов.

5. Сформулированы и обоснованы критерии апостериорного последовательного выбора параметров регуляризации для случая неявного итерационного метода в суженном классе возмущений операторов.

6. Рассмотрено применение построенной теории к решению задач оптимального управления с минимальными затратами энергии.

1. Агеев A.J1. Регуляризованный спектральный анализ и решение уравнений I рода с конечномерной нелинейностью: Автореф. дис. . доктора физ.-мат. наук. Екатеринбург: 1997. - 24 с.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. - 432 с.

3. Алиев Б. Об обобщенном принципе невязки для L-псевдообращений // Докл. АН ТаджССР. 1989. - Т. 32, № 3. - С. 147-152.

4. Архаров Е.В. Итерационные методы в задаче связанного псевдообращения // Седьмая Нижегородская сессия молодых ученых (Математические науки): Тез. докл., г. Саров, 19-23 мая 2002 года. -Н.Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2002. С. 34-35.

5. Архаров Е.В. Итерационные методы регуляризации задачи связанного псевдообращения. // Известия вузов. Математика. 2005. -№ 8. - С. 6-13.

6. Архаров Е.В. Неявная итерационная схема в задаче связанного псев-дообрашения // Восьмая Нижегородская сессия молодых ученых (Математические науки): Тез. докл., г. Саров, 19-23 мая 2003 года. Н.Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2003. - С. 24-25.

7. Архаров Е.В. О двух задачах оптимального управления // Девятая Нижегородская сессия молодых ученых (Математические науки): Тез. докл., г. Саров, 23-27 мая 2004 года. Н.Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2004. - С. 39-40.

8. Архаров Е.В., Бондарь Е.А. Явная итерационная схема решения задачи связанного псевдообращения. //Н.Новгород: 2003. 8 с. - Деп. в ВИНИТИ за № 604-В2003.

9. Архаров Е.В., Уваров В.Е. Методы регуляризации задачи 2-связан-ного исевдообращения //Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф., Екатеринбург, 2-6 февр. 2004 года. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2004. - С. 10-11.

10. Архаров Е.В., Уваров В.Е. О некоторых задачах оптимального управления // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф., Екатеринбург, 2-6 февр. 2004 года. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2004. - С. 146-147.

11. Архаров Е.В., Шафиев Р.А. Регулярные и итерационные методы связанного псевдообращения //Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. Периодический сборник научно-методических работ. Выпуск 5. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2003. - С. 68-80.

12. Архаров Е.В., Шафиев Р.А. О выборе параметров в итерационном методе регуляризации задачи связанного псевдообращения // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. Серия Математика. Вып. 1(3). Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2005. -С. 135-149.

13. Архаров Е.В., Шафиев Р.А. Методы регуляризации задачи связанного псевдообращения с приближенными данными //ЖВМ и МФ. 2003, - Т. 43, № 3. - С. 347-353.

14. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. - 544 с.

15. Бакушинский А.В., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректный задач. -М.: Наука, 1989. 189 с.

16. Вайникко Г.М. Методы решения некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту: Изд-во Тарт. гос. ун-та, 1983. -45 с.

17. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. - 184 с.

18. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. - 400 с.

19. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1988. 552 с.

20. Васин В.В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993. - 261 с.

21. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971. -248 с.

22. Джумаев С., Назимов А. Об одном способе приближенного вычисления квазирешений // Докл. АН ТаджССР. 1983. - Т. 26, 4. -С. 195-198.

23. Емелин И.В. Красносельский М.А. Правило останова в итерационных процедурах решения некорректных задач // АиТ. 1978. - № 12.- С. 59-63.

24. Емелин И.В. Красносельский М.А. К теории некорректных задач // ДАН СССР. 1979. - Т. 244, № 4. - С. 805-808.

25. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

26. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.- 740 с.

27. Кугель М.Я. Вариационные методы L псевдообращения линейных операторов: Дис. . кандид.физ.-мат. наук. - Баку, 1985. 110 с.

28. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962. - 92 с.

29. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1991. - 331 с.

30. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Изд-во ин-та математики, 1999. - 702 с.

31. Мелешко В.И. Возмущения неограниченных замкнутых псевдообратных операторов //Дифференциальные уравнения. 1979. -Т. 15, № 4. - С. 681-694.

32. Мелешко В.И. Исследование устойчивых L псевдообращений неограниченных замкнутых операторов методом регуляризации // Дифференциальные уравнения. - 1979. - Т. 15, № 5. - С. 921-935.

33. Мелешко В.И. Псевдообратные операторы и рекуррентное вычисление псевдорешений в гильбертовых пространствах // СМЖ. 1978. -Т. 19, № 1.-С. 108-121.

34. Мелешко В.И. Устойчивое к возмущениям псевдообращение замкнутых операторов // ЖВМ и МФ. 1977. - Т. 17, № 5. - С. 1132-1143.

35. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 215 с.

36. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. - 360 с.

37. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992. - 319 с.

38. Морозов В.А., Кирсанова Н.Н. Об одном обобщении метода регуляризации // Вычислительные методы и программирование. М.: МГУ, 1970. - Вып. 14. - С. 40-45.

39. Морозов В.А., Назимов А.Б. К теории L-псевдообращения // Численный анализ: методы, алгоритмы, программы. М.: МГУ, 1983. -С. 20-29.

40. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.- М.: Мир, 1979. 587 с.

41. Садовничий В.А. Теория операторов: Учеб. для вузов. М.: Дрофа, 2001. - 384 с.

42. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981. - 157 с.

43. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. - Т. 151, № 3. - С. 501-504.

44. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1986. 288 с.

45. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регу-ляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. - 200 с.

46. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. - 229 с.

47. Шафиев Р.А. К теории методов регуляризации Тихонова Лаврентьева // ДАН СССР. - 1985. - Т. 282, № 4. - С. 804-808.

48. Шафиев Р.А. О многоэтапной лексикографической задаче. // Баку, 1986. 28 с. - Деп. в ВИНИТИ за № 3266-В86.

49. Шафиев Р.А. О регулярных методах вычисления L-псевдообратных операторов // ЖВМ и МФ. 1983. - Т. 23, № 3. - С. 536-544.

50. Шафиев Р.А. Псевдообращение операторов и некоторые приложения. Баку: Элм, 1989. - 152 с.

51. Шафиев Р.А., Ястребова И.Ю. О выборе параметров в методе регуляризации L-псевдообращения // Известия вузов. Математика. -2001. № 11. - С. 71-76.

52. Ястребова И.Ю. Алгоритм вычисления параметра регуляризации в задаче связанного псевдообращения // ЖВМ и МФ. 2002. - Т. 42, № 10. - С. 1466-1474.

53. Ястребова И.Ю. Метод регуляризации решения задачи связанного псевдообращения: Дис. . кандидата физ.-мат. наук. Екатеринбург: 2003. 134 с.

54. Elden L. A weighted pseudoinverse, generalized singular values, and constrained least squares problems // BIT. 1982. - V. 22. - P. 487-502.

55. Groetsch C.W. Regularization with linear equality constraints // Lect. Notes Math. 1986. - № 1225. - P. 168-181.

56. Holmes R.B. Course on optimization and best approximation. Berlin: Springer-Verlag, 1972. - 233 p.

57. Minarnide N. Nakarnura K. A restricted pseudoinverse and its application to cotrained minima // SIAM J. Appl. Math. 1970. - V. 19. -P. 167-177.

58. Moore E.H. On the reciprocal of the general algebraic matrix // Bull. Amer. Math. Soc. 1920. - V. 26. - P. 394-395.

59. Penrose R. On a generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1955. - V. 51, № 3. - P. 406-413.

60. Petryshyn W.V. On generalized inverses and on the Uniform convergence of (/ — /3K)n with application to iterative methods //J. Math. Anal. Appl. 1967. - V. 18. - P. 417-439.

61. Wedin P. Perturbation theory for pseudo-inverses // BIT(SVER). -1973. V. 13, № 2. - P. 217-232.