Методы регуляризации связанных псевдообращений и некоторые приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЛКАДЕМИ" НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕШИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукошісі'

■ ШАФИЕВ Рамиз Алиоисая оглы

УДК 510,0: !317.95/983/.Ой'

МЕТОПЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СЬЛЗАНН^Ч ПСЕВДООВРАІІШШІП И НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.01 - математчческгй анализ

Автореферат диссертации на сопскшшс ученой стопеїпі доктора фиоико—кіатоматичесхих наук ,

ЦОВОСИПИРСК - 1001

Работа сьик.ллина в Институте матимати^н и мс-хашш! АН Асорб.ССР

Официальные оппоненты:

Ьг-лушал сргшшзацля:

Зтщггп со.Л'ОИтся ", ил аигодл !чи С^'сниага’алровалного созога Д 002,23.02 по аащите дчс<-.*р.тчц.Ш да сзискшшэ ученой сгожю! «лпорд наук, при Циститу II л.атамдо-.пш СО АН СССР по «дрепу: 63 0090, .НОВОСИБИРСК, НО, Уюазэрситегекнй проспект, 4.

С Д' -,серташк;й моглл оалшюмитьсн с библиотеке Института матсиашки СО АН СССР, УииперслтетагиЯ проспект,

Автореферат разослан " *___________________199.1 г.

У‘4!пый сокретарь Специализированного совета,

/, ■ _

доктор фшзико—математических наук, профессор ' В.С.Белоносоп

д:ктор фнзнхо-математическлх наук, нрсфоссор Г.М.ВаЙ131ККо

доктор физш^-математ: ческнх наук, профессор В.П.Тана.т

доктор фис ч:;о-млтем«тлчесш1к наук, профессор Г‘, Ш. Рубинштейн

Институт математики и мэханики У(.:аль<:;'ого отделении АН СССР

_ 1991г. в часов

ОВШЛЯ ХЛРАКТЕРИ'СТИКЛ РЛПОТЫ

Актуальность темы. . Осиопнмми об-ьогтамп исследования диесертапии являются связанные пгеплообрлтнме операторы, юучение кптори! имеет целью построения регулярных методов вычисления впи операторов и их применение к построению решений и регулярных Аппроксимаций негоррсктимх задач многоэтапной оптимйлании. . . •

Рагсмотреикме в лкссгртации калачи сттямтоадип П)>едстаплятот собой математическую модель рялащх^блеи оптимально- 1 управления, статической теории упругости, электрических печей и я качестве частных постановок включают п себя проблематику решения линейных операторны» уравнений с линейными связями Г гильбертовых п^хлраж’тпа!, имеющук) М)н.гочисленяые нрило-те!гия в геоф:ютге, технике, иеяиоине, пкжомнке. Кроме того, рагекютреиииг задачи оптимизации имеют широкое распространение п теории пряближп; ш функции, математическом програтл^юптгмя и других рлзделах йатематиги.

Одяи из связанных ггссвдообратных оператор /в иод названием су .теп иг» псепдообрашого оператора плели п науку п )070 юлу Н.Минамиле И К. Накамура, юоторые й установили нажное значение' итого оператора для построения решений линейных операторных уравнений со связями; аналогичное [Х)ли псеп-/«обратного оператора- Мура- Иенроуза и теории операторных уравнений по псем прострапстпе! , ' . : ‘ .

В с.пязи с ваяэдостыо йтого понятия встал поп{>ос о’разработке методой мл-числеиия суггсннт исевлообратн^х операторов. lv.iT. оказалось, гс.пользовагь ЛЛЯ ГУГОГО изнеепше мстолм ПГенЛОобраШеКИЯ, я достаточной мере изученные р литературе, иё представляется возможный..: 1}лолот»орной оказалась лишь тихоновская идея построения рггул'Яри1ируюшего'ал1чэритма. Первый метод регуляризации суженного псевдообрашенил следует отнести на счет В. А, Мо-розона и Н.- II. Киреаноиой, которые подложили спой метол по другому поводу п 1070 юлу. В дальнейшем идея регуляризации 6мла использована для построении суженного псевлообратнот оператора я 1979 тлу И. Харту игом, в 1982. голу Л. Эльдеиом и в !МСт»'лу К. Гречем. - . : -

Но методы, нре/иоженмые *тймй авторами, либо были применимы в чвгт-' имх случалг суженном псгНу^лбратендя; гог/1»пересечение ядер исходных операторов тривиально, либо сгрлимость оСчкй'МЦпаЛпгь при ягестком условии нормальной разрешимости оператора, составленного, ил'’исходных. операторов, Либо присутствовали тог и .другой недостаток А главное, не были

указаны подходы к построению общих методов регуляризации ни двухэтапной лексикографической задачи, так называемой задачи //-псевдообращения, которая также была объектом исследования указанных авторов, ни трехэтапной, рассмотренной в 1955 году А. Б. Назимовым. Не говоря уже о задачах с числом этапов оптимизации более трех, хотя на в&кность и происхождение таких задач обращено внимание, например, в книге Р. Холмса.1

Решению задачи і-псевдообращепия на основе метода регуляризации Морозова носпяздены работы В. И. Мелешко, G. 'Ля маева, а общий двупараме-тричеепш иетод регуляризации jt-псевдообращешш при частных предположениях рассмотрен в работах ученика автора М. Я. Куге ля, а при другой параметризации — в работе Б. Алиева.

Другой связанный псевдооб^атный оператор под названием обратного Бот-та-Даффина введен п книге А. Бен-Израеля и Т. Грезила.2

Он представляет собой обобщение попятил связанного обратного оператора, использованного в 1953 году в работе Р. Ботта и Р. Даффина для обоснования алгебраической части теории электрических цепей, охватывающей задачи олектротехшют а такам; задачи статики и другие научно-технические проблемы. Для ©того связанного псевдообратиого оператора вопросы построения и аппроксимации не рассматривались вообще. .

Таким образом, интерес, проявлешг їй к методам регулярш&ции для задачи ‘ многоэтапной оптимизации, еще раз свидетельствует об актуальности поста-ллекной в диссертации проблемы. ' :

Весьма актуальны также проблемы исследования устойчивости псевдообра-щкккя и методов регуляризации г.севдообращения и всех рассмотренных я par боте задач к возмущениям операторов. Проблемы устойчивости методов непо-сром/стиелно связаны с пх практической реализацией. Однако эти вопросы не былп достаточно изучены. Для задачи псевдообращения они рассматривались В. А. Морозовым и его последователями для метода регуляризации Морозова и длл общего деулара: прическою метода, однако прл частных предположениях, М. Я. Кугелеы. ,

Цель работы заключается в разработке общего подхода к конструиро-

:Н..В. llolmea. Соигве on optimization mid beat approximation. — Berlin; Springer VerJag, 1072. — 233 p. '

2fi Ben-Isracl, T. N. E. Greville. Generalized inveresa. Theory aad Applications. — New York: Wiley, 1874.

ванию методов регуляризации связанных псевдообратньп оператороп и задач многоэтапной оптимизации , на основе которого построить регуляризирующие алгоритмы решения указанпъп задач и исследовать их сходимость и устойчивость к различным классам возмущения входных данных.

Методика исследования основывается на синтезе двух подходов к решению некорректных задач: теории псевдообращения и теории регуляризации. Поэтому при выводе методов регуляризации и га исследовании широко используется аппарат теории псевдообращения, а также общие результаты фунгошо-нальногг анализа в гильбертовых и строго выпут тых банаховых пространствах и теории возмущений.

Научная новизна исследования заключается в следующих основпых результатах диссертации:

1. Найдены новые представления псевдообратньп операторов, сводящие оп-

лачу псевдообращсния к проблеме обращения операторов, и на их основе разработан подход к построению методов рг-'уляризации связанных пгев-дообратных операторов. .

2. Построена теория возмущения псевдообратного оператора в равномерной операторной топологии; введено понятие класса ^рректиых возмущений псевлообрат'о! ) оператора и дана характеризация ©того множества п

, средством геометрического понятия раствора операторов.

3. Построены двупараметрические методы регуляризации свя алных псеп-дообратных операторов, обобщающие методы регуляризации Тихонова и упрощенной регуляризации Лаврентьева, применимые без каких-либо существенных ограничений в том числе ограничений типа; оператор, составленный из исходных операторов, является нормально разрешимым

" или имеет тривиальное ядро. ' '

4. Разработана и притенена методика исследования сходимости и устойчивости предложенных методов регуляризации связанных псевдообращений

_ с получением опенок погрешности а зависимости от свойств исхг хиых операторов и множеств возмущающих отображений.

5. Построены точные решения задач многоэтапной оптимизации, в частности задачи Ь-пеевдообращенпя, и многопараметрические регуляризп’-у- и

кшше аЛШрИТМЦ ЛЫЧИСЛСИИЯ ВТИХ ])СШСНИЙ с помощью ‘сужении! псевдо-обратных онсра орда н шпцкжсиыирумншх ні )>еі улярннх ссыейств опе-' . paropau; исследована сходимость и устойчивость построенных методов

регуляризации; Доказан аналог теорекы В! 11. Маслова об аквиьалентно-еги р<ілр<’шимости лексикографической задачи сюдиискти регу-ішризиру-. . іощеш ее процесса. . . . V

6. Залолтнц основы паргіаішонной теории методов регуляризации решения

лексикографической задачи: указан схлаллнающий мношпараыегриче-cratii фуиклцишал и доказано суще.стііоьание рогуляризогсшниг решений задачи. ‘ .

7. Метода рёгулярипашш суженного ис.енд<>обртенші применены к рс;ие-

пто класса задач оитицалиюго управлении при минимальных затратах энергии. < . • ‘ '

Тeoj штіїческгш и практическая щ.-шшеть. В диссертационной р&бше заложены основи нового направлення а теории. методов регуляризации — теории ці:оічн..іраі:етріічсских .методо» регуляризации. Разработали і; рис ми построении ыяоюиараметрячссклх методо» и иселедрпаинн ні схшишости u устоіічиности. Паіідени іфшю.кетиі: теоретически нсследоналий г. решению задач оптии&лЫюго управлении, статики и «лекц.ичесміх цепей. . .

Апроб, jppi работы. -Результати .диссертации доклшгывались на еєни-ігре ло лслшісйішм сингулярным ин^гральным уршшекшш,. носшіщсшіом 70-летию А. И, І'усейнова /Баку, 1377 г./, Всесоюзних симпозиумах но методам решения нелинейных уравнений и задач оптимизации,/Нирну 'BCQ-P, It/8 г., , Хоапсалу ЭССР,1981 г., Талли», 1984 г., Внлілнди ЭССР, 1987 г./, Всесоюз-. щізтцколах-семішараі но раснаралле’лішаншо обработки информации/ Верхо-ыша, 1983 г.,. Косоа 1985 г., Льнов, 1987 г. и 1989 г./ семинаре отдела условнокорректных задач ВЦ СО АН СССР/ІІоиошбирск, 1984 г./, Меяугуна|хиших конференции! по численным методам и приложенная/ Софші, 1984 г., 1888 г./, Б аіадісшй мелуочіаіюдцой топологической конференции/Баку, 1987 г./, Всесо- ■ ЮЗІЮЙ конференции на условно-корректным задачам математической физики, и анализа/ Алма-Ата, 1989 г./, в таглх га трех семинарах факультета ВМиК Московского университета, под руководством .соответственно А. В. Гончарского!, Ф. II. Васильева, А. М.. Денисова, па-семинаре кафедри математического анализа Уральского уїмюерсшета. ' ■ ... . , - • " • , .' , ,

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы я работах [1]—[20]. Диссертация с незначптельныыи сокращениями издакэ в егщо монографии [20]. .

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введений, трех глав, содержант* 21 параграф, дополнения, заключения и списка цгегг-ровгчшой литературы. Объем диссертации 239 маманопясньгї страяіщ, спттсо". литературы содержит 145 наимеиозщний,

СО ДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сїм::ї.тич:їо прослеживаются тїсюш зарожце^гия ПОНЯТИЯ нсеидообратного оператора и мотпгаы, в силу тюторш; оно полуяило широкое распростралеіже в математической литературе с середткл 50-м годов п дальнейшее развитие /суженное лсепшобргщенке/ в 70-ые годы. Приведшей краткий лптературіпій обзор по этой теме с уазапнем кублигагшй с -оета-точію полной библиографией, а также гг'аткгіі обзор основных результатов диссертация.

Первая глава посвящена псевдосбрзщеякю опепатороз А (£ С{Х, У) — пространству всех лине&сых огранняетшх операторов из одяоіа гильбертова пространства X л другое У. В теории лсевдообращеяяя понятия ис.шкяь-ной разрешимости оператора играет важную роль, опо характеризует саойстзо ограниченности псевдообратнот оператора. Поэтому выделим чодмноіжєстпо £о(Х,У) всех нормально разренпвдых операторов го С{Х,У). Псевдообра-шмапо операторов А Є £(А',У) посвящен последний §1,8 глапы, в остальных параграфах, в основном, предполагается, что А Є Со(Х, У).

В дальнейшем будут испо.пьзозаны обозначения £)(•), //{•), Л(-) — область определена, ядро и образ оператора (•), Р,19 — ортогтроекторы на Лг( ), Д(-),

Рх - I - Р.

§1.1 содержит слределеігае псевдообра-пгого оператора Л+, принадлежащее

В. Петршшшу, и доказательства основных его свойств. Главное из них — это свойстпо сопоставлять правой части у Є У операторного уравнении

' Ах = у (1)

нормальное псевдорешение г* = Ац, этого уравнения. Отметим также раяеа-

ZTF^Q

Л* = {А*А)+Л\ (2)

которое нссвдообращение в общем случае свсдят к псевдообршдению в случае саыосоирзженного неотрицательного оператора А*А. На протяжении всей глави в силу (2) результаты для общего случае выводятся ш результатов для случая саігосопряжєіг • эго неотрицательного оператора, хотя ввиду ограничен-нсста места здесь приводятся результаты, в основном, для общего г цучая.

Дентралышы во всей работе является §1.2, в которо— доказываются новые представление псевдообратного оператора. Для самосопряженного оператора К Є Са(Х) в следспяш 2 устанавливается справедливость формулы

К* = (ГР + К)~1РХ, (3)

где Т : X —*■ X — прошво -ъный оператор, для которого обратный в (3) существует. Результат для общего случая приведен в виде теоремы. ■

Теорема 4. Оператор А имеет ограниченный псевдообратный А+ в том и тольш том с луча , если найдется одератс"> Т : X —+ X, при которой оператор ТР 4- А*А имеет обратный, ограниченный на Н(А)Х. При этой справедлива формула .

А* = (ГР + А*А)~1А*. (4)

Эта теорена одновременно дает новый критерий ограниченности псевдообратного оператора. В следствии 5 устанавливаются достаточные условия обратимости оператора ТР + А'А, например, етот оператор обратим, зели Г — лшгейііое взаимно однозначное отображение с областью определена* Л(Т) 2 -Д^(^4), удовлетворяющее условию Л(РГР) = 7У(Л). На приме-

• рал показано. что удачный выбор матриц Г облегчает построение матрицы (ГР + А*А)~1, а значат, в А*. В случае матриц приводятся и другие способы точного построения Л+, Тем не менее формулы (3) и (4) неэффективны при вычислениях. Но они позволяют задачу псевдообращения свести к боле о простой и лучше изученной задаче обращения. Это обстоятельство открывает путь е пряближенш. I вычислениям псевдообратных операторов посредством аппроксимации фигурирующих в отих формулах обратных. В втом заключена основная идея всей работы.

В $1.3 рассмотрен итерационный метод псевдообращения, исследованный в случае нормально разрешимых операторов В. Петришиным. Показывается, что результаты В. Петршпина для этого метода являются простым следствием известных теорем о сходимости итерационных методов обращения операторов, примененных к обратному оператору из формул (3) и (4). '

Как известно, метод регуляризации Тихонова решеяия уравнения (1) состоит в построении семейства регуляргоовашшх решений

ха = (<*1 + Л* Л)-' А*у, а > 0. (5)

В отличие от в&фйгШиоигых соображений, приведших Л. Н. Тихонова к методу регулЯ{ЛЙ&^л1, Сравнение формул (4) п (5) позволяет нятериретъро-вать метод рЬ£^йк^изайии как метод аштрсжсимадии псевдообраткого оператора. АимйгиЙое соображение справедливо дл» истода упрошепвой регуляризации Лаврентьева и формулы (3). Таким образом, с кжощыа формул (3) и

(4) можно конструировать приближенные методы псездообрамеяия типа кгтг>-да регуляризации Тихопоза и упрощенной регудерпзацчн Лаврентьева. Для этого достато'Щ'о в (3), (4) заменить тоответстэукядяй проектор еатгсротхгши-руюядам его яа Л(А") оператором. В §1.4 талям образом получелы не- гди регуляризации

А$ = (т^ + А*А)-1А\ г > 0, , ((5)

Л* «(г^ + ЛМГМ*. г > 0, Я=/-ДЛ’Л. (7)

Класс допустимых регулярширукнцкх оператороя Т в методе (6) определяется условиями: ■

Т* = Т-,в1{х,х)<{Тх>х)<^(г,х), в 6 X,О< 0± < в2;РХТР = 0. (8)

Теорема 2. Для того, чтобы метода (6), (7), гдэ 0 < 0 < 1/|{Л||2, сходились к А+ при г —♦ 0 необходимо и достаточно, чтобы оператор А+ был ограниченным. При этом пыекзт место оценки:

!И+ - А*II < г*3||(ЛМ)+||р+|| = Г02||Л+||3, (9)

||Л+-Л£||<т(1 ^/||Л+|т|Л+|13. (10)

Оценка (10) дохвзывает сходимость метода (7) кап при независимом, так и яри совокупном стремлепт» параметров г —* 0, п —* оо, причем при 'овокуппом р&ссмотрелши параметров спорость сходимости сверхлинейна. Из оценки (10) здщю, что за счет выбора /? множитель (1 - /?/|]Л+|р)" можно сделать сколь угодно близгам к числу (1 - к-2)", где к = РР+Н — 'ЧИСЛО обусловленности эператора Л. Поэтому, рассматривая метод (7) при ^-тхировалном п, м\ хяо!

дать тикую рсюмендацшо, что при плохо обусловленном операторе А следует пользоваться методом (7) с достаточно большим числом п.

Если в определении ьсевдообратлого оператора пользоваться любыми разложениями пространства в прямые суммы, то каждому оператору можно сопо-станить бесконечное множество оііюбщеіпклх обратных операторов, причем &то остается справедливим и для операторов в бальховьи пространства:. В §1.5 представление (4) распространяется на случай обобщении* обращений операторов, действующих в банаховых пространствах. Затрагивается также вопрос

о построении обобщенного обратного оператора, обладающего вкстремальиьши свойствами, подобными свойствам обратного Мура-Пенроуза.

В §1.6 исследуется проблема устойчивости операции псевдообращешхя нормально разрешимых операторов. Эта проблема разрабатывалась многими аи-тор;_.ііи к дія конечномерного случал получила завершение в работе П. Ведина. Введенное П. Ведшшм понятие раствора операторов позволило решить проблему яозмущения ',сеадообрап;ого оператооа в гильбертовні пространствах /ваші [5] z помощью понятия щ. введенного минимального модуля линейного оператора и независимо В. И. Мелеінко на основе аппарата декомпозиции пссвдробратных і. зерзторов/. Эта проблема с позиции спектральной теории 5цсследог,акэ. Г. М. Вайншжо.

Опроделеїше 3. Говорят, что операторы А и V образуют острый раствор, еслп подпространства R{A), il(V) и R(A*), R{V') образуют острый раствор.

По г/ущьспг', для переноса теории возмущения лсездообратного оператора ді» бртгймечломериый случай достаточно было доглзать аналог теоремы Банаха об операторах, «близких» к обратному: *

Теорема б. Если оператор А Є C0(X,Y), операторы А и V образуют острый раствор и || V — Л)| < 1/|]Л+||, то

' ||V4|! < |jv4+||(l - |j.4+j|||V — -АЦ)-1. (11)

Пусть D(U,r) = {Б Є ОДУ) : \\U - В)| < г}. ‘

Определение 5. Скажем, что оператор А+ устойчив к возмущениям из множества М С £(А", У), если Л+ ограничен и А* = (Л -f Д)+ Є £>(Л+,с), Еогд,; А Є 0(0, &) П М. Максимальное множество возмущений, на котором опермгея /1+ устойчива, назовем классом порреггности А+ и будем обозначать МА. -

Теорема 7. Оператор А+ устойчи* относительно возмущения из М тогда и топьт тогда, когда А € Со{Х,У) и М = {Д Є С(Х,У) : А и Л образуют; острый раствор}. .

Другими словами, доказало, что '

Мл = {А Є С{ХІ У) : ЛиЛ образуют острый раствор }. (12)

1*ри этом для любого А Є 0(0,6) П Мл = 1)^(0,6), где 5 < ||А+||-1, справедлива оценка .

||А+ - Л+|| < /і||Л+||3||Д||(1 - |М+||||Д||)-1 (). - константа /.

Для конечномерного случая Мл характеризуется как множество возмущений, которые не изменяют ранга матрицы А.

В теореме 2 установлено, что Мл — £(Х, У) тогда и только тогда, когда А или оператор регулярного типа /т. е. М(А) = {0}/, или сюръективный оператор /т. е. Й(Л) = У /. •

В §1.7 изучается устойчивость методой псевдообращения, рассмотренных в §§1.3-1.4, в смысле следующего определения: алгоритм псевлообрыдения оператора А устойчив к возмущениям из множества М С £(Х, У), если Л+ ограничен и для любой окрестности Б(А■*■, г) С С(У, л ) найдется окрестность /)(0,5) такая, чте ти УД Є 0(0,8}ПМ псов/юобращение оператора Л = 44 -А данным алгоритмом лежит в І7(Л+, с).

Все результаты по устойчивости, относящиеся ч случаю самосопряженного неотрицательного оператора К Є £о(Х), лам представляются новыми. Та* в теореме 1 устанавливается устойчивость методов упрощенной регуляризации Лаврентьева КМ = {тТ + К^Р^-.К* = (г5^+ К)~ХР^ относительно возмущений из класса В^(0,6) = {Д € Дц(0,5) : Я — положительный} при г —* 0 и 5/г —»0; в теореме 2 показало, что в более узком классе возмущений •0^(0,5) = {Д Є О £ (0,8) : К — самосопряженный] устойчивость имеет место уже при т —*• 0, & —*• 0. В теореме & доказано, что для устойчивости итерационного метода псевдообращепия относительно возмущений из класса 1?£(0,£) необходимо и достаточно, чтобы К* был ограниченным.

Методы типа ыеточоз регуляризации Тихонова (6) и (7) обладают тем преимуществом, что они устойчивы в классе всех малых по норме возмущений из С(Х, У), но при этом требуется согласование параметра регулярпзапии с уровнем возмущений. В классе корректности псепдообрати^го Мл С С(Х,У) ,тв "

методы устойчивы уже без согласования. Явление независимости параметра регуляризации и уровня возмущений в существенно более узком классе возму-идезшіі /когда ЩА) — Л(А) и Н{А") = Л(А*)/ обнаружил впервые В. А. Морозов. Во всех теоремаж этого параграфа приводятся оценки погрешности.

Псездообращегшк- ограиичешшж операторов с необязательно замкнутым образом иоскааиеи §1.8. Показывается, что в ©том случае ксевдг'обратний А'ь является замкнутым оператором с плотной с К с /ластыо определенна Л{А*} — Д(.А) ф N {А*). Поэтому задача нахождения нормального всевдо-рекешш уравнедгиа (1) является некорректной по \дамару и цсевдообрадекге определяет одш: та иодаодоа к решению векорректныг задач.

По сразнегшю с нормально разрешимым случаем равенства (2), (3), (4) справедливы уже не всегда, а только ка области определения исездообраткого о. зратора. Ураздсвшз (1) їаїййг ниеет нормальное исевдорешеиие только крн уЄВ(Л+). •

Рассмотрены мтсрадаокзіьзе к регулярные методы исевдообращеїшя. Для етсрацшшого коаодг. т:аг. тяг, з~ы. к рагаше, с исяальэовакЕем формулы (1) устш:овлез:о .

Следетзкт 3. Пусть К неотрицательный и О < /? < 2/||1-Г||. Тогда последовательность где . ,

’ ’ Р~I

Кп*1 - кп ]£(/ - Кь*)\ Ко = /?/,. Р > 2,

і=о .

сэтлько сходятся к К* и при Рхя Є И(К2) справедлива оценка

\\К*х-КпР1-х\\йО{^~а) ■

/лдесь к е дальнейшие за недостатком места оцєзїгиї приводятся по порядку сгодшисстк/.

Отот результат, мермшяашый с помоадыо равенства (2) на общий случай, ярньодег. к цззестному результату М. Еешеда.

Рассмотрены -шоке методу регуяарнзаккк (6) и (7) н ш упрощенные парн-шш таадкзтода Лаврентьева. Доказано, иалрішер,

Следстпмэ 4. Пусть К кеотриаателызьй и 0 < /? < Ції’)!-1. Если Рхх Є

Н(Кй), то К^.х = (г5,1+ К)~гРхх, где 3 — I — /ЗК, сходятся г. К+х (как при

Г V

г —♦ О, так и при п —* со) и справедлива оцеїтз ||К*х~— К$тх\\ < . j|/7'l-ftr+:x!|. Если Рхх Є R{K3), то \\К+х - Kgx\\ < 0($). '

Вр всех приведенных опенках погрешности метода (6) ясно видна роль регу-ляризуклцего оператора Т. Удачный его выбор позволяет получать залмвук» точность погрешности яри больших значениях параметра г, что весьма существенно при вычислениях.

В заключение параграфа изучены вопросы устойчивости рассмотренных методой пг.евдообращенил. Каг. вам представ ля е^"л, все результаты §§1.7 и 1.8 по устойчивости методов псевдообращения, предиазна екныж для самосопряженных операторов, не были известны.

Операторный подход к конструированию методов регу ляразвдда, развитый в первой главе, оказался в высшей степени эффективным в зад&чаг связанного псевдообращения. Связашгым г.сгвдообратяым операторам а методам it регуляризации посвящена вторая глава диссертации. .

Пусть А Є С[Х, У) /или £(Х)/,В є £(Х, ”), а X, У, Z — гальбер-овы пространства, В 1970 году Н. Мииамидг и К. Накамура ввели понятие суженного псевдообратного оператора А%, определив его так пссадообратяый к оператору А в, являющемуся сужением оператора Л ня гильбертово прострьп-ство N{B) с шідуцированной топологией пространства X. В предположении нормальной разрешимости оператора А в : N(B) У они, следуя Р. Г чиро-узу, показали, что суженный псевдообратныЙ обладает свойством «паллучюего прлближешюго решения»: х' = Аду Є N(B),

\\Ах* - у|| = цЛд < \\Ах - !/)( для всех s Є N(B)

і 11**11 < 1WI. если x € N(B) и ||Лг - y|| = цАо, т. е. /іду является квазпрешением /ло В. К. Иванову/ па ?етожсстг.е N(B) минимальной нормы уравнения со связями .

Ах = у, х Є jV(B). (13)

Элемент Ид у назігаается с;; ениьш нормальным леевдообращением «равнения со связями (13). .

В §2.1 локазиваеты, что уравнение (13) имеет единственное суженное нормальное псевлорешгеше тогда и тояьг.о тогда, когда у 6 D((AP)+), гдц Р — ортопроектор нл N(B). При этом выясняется, что :ia D(A^) енрапедлияо пр п-ст=*вление Ад = (АР)+.

А+уф+у, yeD(A+),

где — ортогоиальн Й проектор на N(B) пространства X, которое полу-чьехеш из X введением с помощью нового скалярного произведенит [х, h] — ' [Bxt Bh) + (j4x, Ah) вкаиваленткой нормы. Это предстаьлеіше ие только справедливо, вообще говора, на более узком множестве, но и предполагает наличие ограниченна

' ||2?г||3 + (}ЛгЦ2 > т||г||2, гЄ^,т>0,

па исходные о) :раторы. Поэтому построенный на базе отого представленая метод регуляризации аналогичен іетоду Морозова и применим в весьма частині случаял. '

Важную іарактеристику суженному цсевдообращеншо дает Теорема 2. Элемент х — суігеїшое нормальное псевдорешение а том В только том случае, если х Є N(B) П (N(B) П Я(А))1 и удовлетворяет уравнению *

' РАг(Ах - у) = 0.

Применяя представление псевдообратного (4) к оператору (Alfr и учитывай соотношение N(AP) = (N(B)Ci N { 1))ф//(5)1 получаем точную формулу

Aiy^iTQ + T^ + PA'APy'PA’y, у Є D((AP)+), (14)

где Q — ортопроекхор на N(B) П N{A), а Т и 7\, например, обратимы соответственно на N{B) П N(A) и N(B)L и QLTQ = 0, РХ1\Р — 0. Аналогично, рассматривая уравнение со связями другого рода

Ах + Л = у, -х Є N(B), heN(B)1, (15)

можгю сделать вывод, что решение втош уравнения имеет вид:

* = 4+1у, h={I-AA™)y.

3Oroetach С. VY. Some integral equationa of the first kind in mechanics aid regalajiza.tion .■ of ill-posed linear operator equitione. — Couf. on. Inverse Problems in Engineering Science. OeaJiii) Japan, Aug. 1990, P. 1-10.

Оператор

■ /,<+> = Р{АР + РХ)+

назнпастся обратным Вотта- Даффипа. Аналогично формуле (1-і) пр:і пглюл-менші услопял И(АР + Рх) = М(В) П УУ(Л) гллюдитсл формула: .

лфу г= (Тд -І- (Р. Г + РХ){А Р + РХ))-\РА“ + РХ)Ь\ у Є В(л\р). (16)

Доказано, тто для палаю»» в приложениях случая, когда А самосозрч-пеотрип-гтелький оператор, формула (16) гчрзведяива, прп етс.м ПІЛ^) = Гі{ЛР -і- Р1-) О (АГ(Л) П-//(І?)). '

Вилод методов рггулярдазиаи сзчзгичмг лсслдсобрглпт сясрзтсров остова« :.'а идее, ссотсяіясй з том, что я то'ітах формулах (14) л (1Г>).проекторы ?.г:-Ч!ЮТОТСЯ ОППрРЕСПМЧруЮЗШМП ИХ ОПГр.ТГОрЛАШ. У/мб.П.Та (‘ории !'СЯ)0 чо-

лучаюісіі, осля ярехжторл алпрог.с!:'яфо*'тп. по методу регулчризглши Тяїо

ГС!’3.. .

В §2.2 приводится ізьпшд метода рггу.'іпдзакял су.-тані’ого псездоойрптнсго оператора. С отой пелыо формула (34) гереппсиш;ется в сішметр-чччси ппд;:

Л+д = Р{ГГС)РХ + РХТХР1 + РА‘Лі )~1РА'

л операторы Т п Ті подчтшготся белее тестгсггм огргжгчеіпіям: Т у^опло-тпоряят первому п второму условиям то (?) и условию Сі*-Т(} — 0, а Ті -самосопряженный неотрицательный оператор на іі(В'В), кергс.і-аиоЕоч.імй с В’ В. • . "

їїолстапляя в е>то м>»ра;г.е)іпє вместо Р, Рх операторы

Р ~ (/ + г1'^*Я)-1, Рх ~ г^2(/ -ь г1І2В‘В)-\

а пместо <2 ~ от/, получаем двупарьмстрнчесгий метод ^егудяргоатта:

Яаг = («Т + гТ\В"В + /ТЛ)-1/!*, а,г> 0. (17)

Н частном случае, когда //(В) П N{А) ■= {0}, то С} = 0 и к? фюртлулы для ,Лц аналоїкчііо получается упрощенная формампода (17):

П<,г = (гТ,В'В + А'А)-гА\ <\Ь) •=

Метода (17), (18) исследуются при 7\ = I. Каадый вектор семейства {В-агу} или {йогЗ/} п?1ыпаехсл регуляризоаашішї решением уравнения (ІЗ)4 Самый общий результат выражает

Теорема 1. Пусть у Є В(Лц) и пусть выложены следующие условна гладкости правой час^н: ■

Л'РНра-)У, Рх{! ~ А'{АР)'+)Т(АР)+у е (19)

Р<гиГ{АР)+у Є К(РЛ ). , (20)

Тогда хат —* у если а —» 0, г —> со и иежду параметрами „ егуляризашш іШЄЄ'ССД сооїи шепне

г“1 = о(а), - (21)

нрячем ‘

і)г* - »а,|! < 0[а1/2 + {аг)~112). (22)

Лучшая оцеляа, чсы (22), шлугаетеп для более гладил правіла частей, гагдв. пег>.торіл ш (15) п (20)прігіадас?глт ЇІ{В*В) и И{РА*АР)'. --

!!*•-*«,II <0(а-г(^2г)-^

Если операг'оріг В е АР иорпаяы"» разрешзшч, їо С(Лд) = V, а условия (10), (20) вз"!ол:ііют(ш пзотдаютеегк. З ью'л случае сіоднмосїь да любого у с оце:ікоії (|а* — $„.т\\ < 0{а -і- г-1) уетаиаялш>ает теорема 2. Полубайте рїЛуш.таш. хорошо согкасую’ісп с результатами два метода регуляризаций їніоноза (6). . '

ОїліїїїіШ, чго с2сд:;',і‘ос'гь в о&еек случае ноггаю обеспсчзт» тою» за счет условия со;У;а:ова!н:/2 кжпц» парамятрамк, лакрішер, (21). Поэтому метод (.18), равгссііяиіаіі истод)- рс-гуяяршацяи Морозояп, з коїороі-: по сушсстьу олм; паршптр ог = 0 б сХЬ;-’м случае ке раСтнет.

В &чключсіть па4«грв.^с, фор:п/;:а (14) кореиікі«&еісб и лвдо ’

А]1у^(Р;,:(/!,у\-Р,САРГРЛ*у.

^Рсгуляризоивпш:г ікаивм г.«зОо^: г.з ^ассмчч і>вт<аш и ішбочс з::.дігч 000оііач;і.югс;г г.„, г сг*»і рааипш —

Заменяя Рц(АР) ~ Р ~ (І" — рВ'В)п 0 < /? < 2/|]В||2, получас?' следующей

мет д регуляризации суженного псеадообратного оператора .

7<п)у = (al +

Доказывается сходимость этого метода.

^акпм образом, лредло;?:е!Пгш} автором прием позволяет стропть разнообразные методы регуляризации.

В §9 3 нрязодлтся г.ивод метода рсгулярго?”кп обратного Ботта-Даффст J.. При отсутсттгя информации о ядре оператора А Р + Р метод имеет дочолыт сло.’пшіі вид. Формулы значительно укрощаются, если известно, что

N(A Р + Р1) = N (А) П N(B) = ЩЛ -Ь г В* В) .

при достаточно болыгеп г > 0. В атом случае пз (1G) анагогнчло тому, sss это сделано п §2.2, получены И‘ годи регуляризация

її „у = [суТЧ (Л* + гВ'В){А + гВ*Вп-\А\ f гВ'В)у, а, г > 0. (23)

ЯогУ = [(Л* + гВ'В){А + гВ'В)}-\А' •- гВ'В)у. (24)

Метода пссл^д. отсл для случая, когда оператор А — неотрицателък їй самосопрчженшій. В теореме 1 для у є D(AS^) п удовлетворліощю: условиям гладг-остлтила (2J) установлена сзояпмосп. семейств» (23) пнроекщіи па N(3) решения урвднеиля (15) прп п О И г-1 = о\а112), причем ,|г* -- яа,|| < 0(а'>2 + (о',/3г)т’1). Если :і теореме 1 Qxy Є R(AP), то согласовывать параметры а я г не требуется :i опенка пркшшает над ||г* — < 0('*]/2 +

г-1). В тсорпма 3 предполагается, что операторы В и РАР нормально разрешимы. В этом случае при лтобыг у х^, —> г*, когда а —► 0, г —► оо и справедлива оценка ||z* — i«,j| < 0(а + г-1). Kpov того, работает истод (24), естественно, при условии, что N1.4) П N(B) = {0}.

В §2.4 продолжено исследование сходимости методов (17), (18), (23), (24). Вводится обобі.ч'іпіое уел . !е допо.ігшггельности операторов А и В:

+ >7||г||\ *є'(*(л)пад)\7>0, (25)

равносильное услсаию нормальной раэрмтолости оператора Г : X —* <7 — У х Z, определенного раиснсгном Гг = [Лг; Вх]т Є G Если неравенство ^25)

еышлияетси при ьсех г £ А', то операторы А и В иазьшшогсд дополшггельш I-ж.

Показано, что из (25) следует нормальная разрешимость окергьтора ЛР, а значит, ограличсзшость сужешюш псеидообратаого Ад. Усталйзл^застся так-ЯХ, ЧТО его услоьие СЛ^беО, чем услоике НОрМаЛЬЦОЙ разреиишости операторов В и АР. В теореме 1 доказывается сходчгмость метода (17) п»;л ус лома (25) с опенков! ||ат' — гиг|| < 0(а + г~1). По-шшп.юму, (25) ямяетс;: мьшыгдьиыи: условней, обеспечивающим ограниченность семейства рагулярцзовалншх решений {жа.). В про'пнпю!.; случае лыбор ограниченного подсемейстг.а осуществляется иуим стаиовлешш сшзсВ ?.!Сл-;ау нарамешами а и г. Таг как в истоде

(18) параметр у фиксироуам /а — О/, то выбрать ограниченное подсеыеистео путей согласования параметре" нет ьоз«о:»;;;осьч. Поэтому не случашо ьтог мо-1-од изучался 13. А. Морозовым при условии донолиителььости операторов А 'Л В. Аналогичный результат получен также и теореме 1: ]|г* — го|! < 0(г-1).

Методы (23) : (24) рассы.ирыииютсх' при услощш, что оператор 'А — самосонрлл^плый неотрццательлий. Показало, что если операторы Л1^ и В обобщенно дополнительные, то оператор К = А +■ В*В явллетсл норльХлыю разреншшш. отмг случае истод.(23) сходится с оценкой погрешности II** — г:аг|| < 0(и с-1), & при услог.ш; дополнительности,оператора А1*1

и В сходится и метод (24) с оценкой |]з* — и0*!| < О^-1) /теорема 2/.

Ниипшется также вопрос, при как.!! правых частях сходимость методой

(17) и (23) п. ест место при и-*Йн любых. г > 0.

^2.5 лосшнцен построению и изучеипо упрощении* методов регулиршагизд сплзанных «севдообращетш. Известно, что для уралнельи с самосопряженным леглрг.ца,тельным оператором М. М, Лаврентьев предложил упрощенный вариант метода регуляризации, который пе требует преобразования уравнении. Эта идея регуляризации М. М. Лаврентьева развивается на случай решения уравнений со связями (13) и (15). При сгшосопряжспном положительно:.! Л, используя представление (3), получен -следующий метод регуляризации: .

яагу = (от + уТ^гв-\- лг'д-у. (26)

Метод (26) аппроксимирует обратный Котга-Лаффша, а если еще оператор АР СаМОСОНрДЖГНпип, ТО он аппроксимирует И суже!ШШ1 ПСРИДОобретНЫЙ.

"Кроне того. каждый из методов (17), (23), (26) имеет свои упрощенный лгфмант — самоеонрютештость в неотрицательность В позволяет .ишроксими-

ров а/к» проегторм P,F'- по методу Лргфсдг'.е.па, и тогда !i аыражек-М! (17). (23), (2G) В'В замс1н:лсл на В. Папоие-ц, при триьаелиюч пересечении яд-.р операторе» А и В во всех аистроекпш I «годах котою вояоетш» сх 0.

Иссл^далалм метода 5ат при I] := 2. Усдовля сходимости нстодап (17) a (23) обгспеш^ают xajrr.c схохзаостъ штоа* (25).

§2.6 иосиядая вонрос'-ш усгойчкгост;! :{стодоп рл-улчргзащм спи;. лких псслдообргиизгшй Нзуч.ччся схо^щмость а'озмушзшш мсгодов регуляризации (17), (23), (26). Для втего оцс.чкпаатся корма развоотн козмутечнплЕ w каюзмущ ииых perулярч.зо'шшгих рсш'*якй. Окялипиетгп, ата чжеакл »;:а;и'-малт ра«1ые якрамдошя a -зта от «яо, лвлйются mi и«г вермадию

разрешимыми ncsoTopi;? хсмГотгации ir?soj.'i'.'5 операторе:1,. Она тагаг.у ruvavirr от характера ii03tiyinaic.:>aix очебра.г'чит.

Предположи;.;, что .оппрглср^ Ли, Bt it ьек-jop у. агарогскгтруют ' эшшг значения Л, В и у в ш»лст:!и ш уроянп полщчченш!:

|Мя-л||<А, H^t - J3U <!Ь - И1 < (27)

Ус.тогятел лозг!уте!!Нме рйгуллризовзкные реаигиая любой из россмотрг U1UX задач обозначать X .

Дли методол регулиршад:Н5 суажшмх ясснлообратшIX (17), (18) установлены следующие результаты: и {.л иозмущепплх операторов А и В любыми .чшгйп.шм сгргптчешпми операторами coowxTBenno из нрострапсы С(Х, Y), С(Х, Z), удовло1сорягог.итх условиям (27), опенка ymonemut wir.-.-.r muv. ||«„ — гаг|| < 0(<V"1(r,/2t -1- А)Ч- а“1/25); сели возмущения оп^ратороз А и В принадлежат классу корретгпшх возмувдеяпй псепдообратного оператора Г+, то ||'„г — 5?ог|| < Oirt'kh 4- 5) /аналогична оценка для ]'г0г -- гп,||/.

В сочетании с тсорсмаглн о сходимости ^етодоь- (17), (18) гта оценки по-зволшот выждать характер согласование параметров регуляризшпш и уровней возмущений ВХОДНЫХ ДаШМХ, обеспечивающий СХОДИМОСТЬ 1!03’лущеншах методов.

Установлены т<-п:же. оценки уклонении |(г„г — т,ат|| дли методов (2Л), (21), [2G). готсрь.с дают возиогглость формулировать ют ре’ 'н об устойчивости втпх лето доп.

Третья глава диссертации иосадздена коиструироианшо точных и при-элпжетшх решений задач многоэтапной онтт.шзащт с номовдыо егтзанкых iccivsoodpaTJUJx 011срат1>,юп и га регулярных аплрокенмалдй.

Внерп. e сужешюе псендообращсние нспользовако Л. Минами, г и К. Накамурой для построен;-;:; решения задачи нахождения элемента мзишмальной норш множества

Х2 -{ze A'l : \\Ах - J/II = inf \\Ah - j/||}

ЯЄ-лі

где Л'і = {г Є X : ЦЯ* — г|| = inf ||І?Л — г)|}, а у,г задашь^ элементы из

hQX

соотястстпуюшю пространств. Впоследстыти по аналогии с пссвдообращениеи оту задачу стали иазмпать £>-іісевдообра,ще:шем, елементи мно-«ства Хъ - L-нч-ппорешешіїїмн , а решение задачи - нормальным /,-jrirei лорешсішсм.

Beaasncvaso от »тпз авторов к проблема L-пссвдообрашеїиія, пришли В Л. Морозов її Н. Л. Кирсанова. К втоіі проблеме и» привела идея об-ь-едииеиия дву* параллельно ривкії ающисх. налраитеилй исследования ”еко|ь рентных задач — решения уравнений и вычисления значений операторов — п рпммх еддаоіі теории и методов решения. Очепидзго, з^.а -ча ра дения уравнения Вт. = : прп А — ], а задача вычисления значений оператора А прг В ~ 1 укладываются в постановку задачи L-1'.сеидообраіцсііия. йля решения задача L-нсевдообращенші ими был предложен регуляризуюшгй функционал:

’ . ’ ' \\Лг-у\\* + г\\Вх-х\\*. . (2«)

Хогя построенный фунпшонол отвечает поставленной вели /операторы А и В дололшпел'.ные, таг; itas один из нм р;и.сп единичному/, ojziai.j оказывается регуляризуюши. далеко не всегда. Как было отмечено, метод Морозова не примошш іі случае решения существенно некорректных задач.

В §3.1 рассматривается задача Х-псевдообращсшш. Усто авлш'иотсл

vr;iob;in разрешимости этой задачи п с помощью суженного псевдообратного оператора выпсыпается се решение: .

т.* — Лд(у ~ AB+z) +B*z. (2D)

МеТОДЫ p<.ryjlEp;:3aji>Ul Х-нссвдосбращеіоиі вчг.одятсн из точного равенства (29) п> ,-см замены оператора А д р’туляризугоїщш длгори~мом суженного псеп-дообрааденин

Эта идея автора внерврч pea-j^-'Gaiia и его рабі.'гаї [6], [ ] и іголучи."і разлитие в [10], [14]. В §3.2 таким способом.пострсс. .л методи per; ілрнзацді

71„д = (аТ + гТгВ*В + А*Л)~1 (гГх2?*г + Л*у), </ = [г; г/]т £ г X У, (30)

и изучена их сходимость при Т\ = /, ап §3.3 рассмотрена сходимость е>тке катодов крн }!б*очио задатшх операторах н прапих. частях. В различных пред-положетшх полу1 гиы соответствузокше одошт погреш остей, указьгвакхдиг: на порядок сг-орсста сходимости и на зависимость медузу !Гфм;''тра?.ш и уровнями возмущений, при глторнх имеет место сходимость возмущенных методов.

Из (30) нетрудно усмотреть варлаадташую тракгетгсу даш»ъго нсгодч, со-стощную н тон, что шрмальног £-ж:спдорс1ж ш« н.детел глз; предгд сеией-стг.а есстремалей регуляртаующдх функционалов :

Ф(1,(Е) = ||Лг-;/||2-Ьг[!В:,-г|!2-Ьа||Г!^(|2. (31)

В случае ограшгчишых операю]юп операторный подход (30) н нарис.даог.’.л.:!

— (31) г; методах рогуларп.ча’-.ш вгвиг.зл'сктни. Однако лрт; прлб.чгегггжгом ностросшя регуллрячованшле решений, к которг^и лр.;аод;псл прибегать три чнеяечной реализашш метод?., они доролмют друг друга, так как, пет тьлуя рязиие яде;! конечномерной ашрогатплтш, ;го:;болшут сопс-тать ястода ппп урапптти с методами мшквшлмпт фуппшоиялсв.

Регулярузуюа»»й фугтадкяпд {2$) и методе Морозова »>пскаст из (31) .фя

[V = 0. •

]! |;3.•' вриводтгод уирочккшй пярншгш 'кчолг рсгулср'зпош £--лге:<до-обра>ЦСШТИ. ПзуЧЧ'ГГС*! Г!М СГОЦ’Г'ССТ’Ь I! УСГСЙЧШ'ОСТ»-. Ясст!!<”-;;п":1е нетодч относятся к классу матодез рггулнргапдеа Л ;'.”,рг.!лг газ.

3 л дача ^-г:се;к^{'брпта;,ня "Ч'?сг :;-!:’Д’>'К-л;а.-? сс.^лОчнс" об'

Куоть д.у. «л оператор.'{ Г/г{ € С(Х, У;), гда Л, У; — •лгп'»,>}>госы й{'ОС'1;>в::.я г., и мт-ши </,- £ У,, г = 1,2, Ощкделн'л р^урр.-аиго шго:;хс чпо Х~„.

Хг. — X, Хь~ }г € Л',-_2 : -'|/(|| = Ы ||{.Г;Л - > ~ 1, 2,,.., п.

.'Зццячг» «ПлРГ'ЛО-^?:: 1 ~ а.; >•. •чс;?.1/ ...•а'!.!*! сш'раг^п

-г.т;:')::'":/ -хп ^'ч..;1'Ь|н;е.:уо!! ]‘.!;юи;гстео Х.к гг? м;:гч:,

о.”1;:/ лъ-р у: очер.-лер;:.' гргчыалуно. П->

:!сс'.х друпл ел чапх оно о.'сто чи:-'?;; 1;п;, ];0'-'-)'Юч п'пирчч: ;:р'и1;:г;'лляст

проблема имчпс.ченил элемента мшгнмальноЛ кормя множества Л. г;отора>; опрд-.деплст в;>об1 ,Г- (я -Ь 1)-?>трпиу!0 задачу отгп;м!и;;шш. Этот вчсмеят будем Пйлынагь иор'.'.алъии,,; )кщрчисм лексикографической зв.дачл.

В 53. Г) устананл'лваююя усломи; разрешшоьтн втой задачи. Пуг/ю 1\, 0.1, к — 1,п, сргопросглори ссютлстстьсшк) ка N(1/^) - ядро оператора {\ и па

Л’я —- псрсссчепяе N(11;) при г =- 1,Л; прилсм для удобства что-'хспяа, ччо Т(:ор<’л!.п ^Ис;;с«погра>[-ггчс.сг;1Я задача имеет решение тога.» и' эяько тогда, гам да »ра;;ие части !/;; удовлетворяют услоьлям:

1-1

I*-еЩР&-х)+) = фад’ - 1,2,...,п.

1=1

’ (32)

Пр.5 ч-тогл нормальное решение единство;: ;;о п имеет Ы1д:

п • к — 1

гк-Ц/кЯк-гУЫ-22'1Ьт.$. (33)

Ь:*! » = 1

Из (32) илскаот» что задача рьлрешаща нри любых пргвыг частя* тогда, и только тогда, когда операторы 11к0к-\ ИГ51 /•' =■' 3, п нормально разрелш-мм Псзадзал *, чтг. йослсляее равносильно услоиюо выполнения при к с= ),п дородгнств

к

^М2>7*1И!3, *е^,7*>о. (34)

В теореме 1 } лаяаа»к»-ч!тсв, чю рсшсзг»$. системы .

Як-хЩ^кХ - у*) ~ 0, А = 17п,

я ол!,г.о окк удовлетворяют лексигогра^мчесЕой задаче. Если г. ©той скстске добдшпь урлг.нс..ис <5„г - 0, то полученная система л арактеризует нэрыальиос решение этой задачи,

Пользуясь разработанной методчтой, лсстроен п- ьлр.шехряч^ег.ьй мете I , регуляризация кычисленш норыалыют решелди:. п-и чапноп лгксилографпче-сг.сй зядг-ги:

п—1 г»-1 -

- (аГ + 7) У>ки;и„ + и*пип-Ч'Г\ £гл1/:щ + и^л), а, . > 0. (3-5) к-\ к=1

Условия ка Т и 7\ подобны тем, которые требовались в методе (17). Если пересечение ядер все* операторов (Л тривиально, то можно в (35) положить а — 0 и получить упрощенную форму этого метода *ог.

Из (35) видно, что при Тг = I ха, — экстремали следующего семейства регуляризуютдаз функционалов:

‘ Ф„(х) = ||//„х-уп||2 + ^гк||£/йх-Ы|а + ^1Г1/3*||2. (36)

ь=1

В теореме 4 при услоаши рсзренпоюсти (32) ц условия! гладкости типа

(19)—(20) получена, асимптотическая оценка погрешности

||г* - гаг|! < 0(а112 +а '1/2(52^1/253п+1 + г^{2)),

из которой следует сюдкыссть метода (35), где Т\ — f, при а —> 0, г< со, I =

1, п — 1, н наличии сс эпюшения между параметрами. В теореме б для более гладки иравыт частей получена оце1ка:

IIя* ~ < 0{а + а. 1/3(]Г г*1 ^ + г"^)). (37)

А=1 *0—'&

Если для правы! частей у* вместо условий (32) выполняются соотношения к-\

Ук - X)и6 ВфкЯк-1) Ф щиг), к = ГП.-П, (38)

1=1

то сходимость имеет место при шобы! значениях параметров гт_ 1 ...,гп_1. Если (38) выполняется для всех к = 1,п, то негодная задача вырождается в задачу псевдообращения.

Таким образом, независимость параметров группы г связана со < зойством гладкос ти правых частей. Независимость параметров а и г связана, с условием

(34) при к — п. Справедлива

. Теорема 0. Пусть выполняется условие (34) при к = п. Тогда если уп 6 УП) у к, к = 1,п — 1, удовлетворяют (32) и условиям гладкости, то метод

(35) /Ті — і / сходятся, когда а —*■ 0, г; -+ оо, * = 1, п — 1, и выполнены условия согласования .

Х' ГІ+1Г;'+1 = °0)‘ к~1 » */=£ , .

Асишітотическая оценка, точности имеет вил:

Ці* - ЗеггІІ < 0(а + г"2і + г*"1 ^ Гі+іг)^). .

Если условия (34) выполняются при всех к = 1, п, то теорема в справедлива для любых правых частей. Из теоремы в как следствие /полагаші а — О/ , вытекает теорема о сходимости метода регуляризации гот-

Пусті. І!і, у;, і — 1,п, соответственно веточные операторы и векторы с известными границами ошибок •

' ||г/і - йі\\ < ы, 'іії/,- - щ\ < 5„ * = 17п. (39)

Найдена оценка близости точного х„ и возмуіаеішого *а'г регуляризов^яиых решений лексикографической задачи: ,

’ \\я„ “ївгІІ < 0(»'1(^^ЛА + Лп) + 0'““1/3(^Гд/:,;л + ^))* (40)

Ы1 _ *=1

ь «. •

Ьслл 1Ю2ЛТЫО (39) ■ озмутакэщпс операторы прнладле^ат классу корректности

псевдообратного одератора Г+ /Гг = [(Л~; и^г\...; ІІпх]г Є Уі X У2 х ... х Уп/, то '

‘ »—1 ’ . ,

Навг - ««II < + б„). (41)

• • . ■ .

Теперь легко устанавливаются теоремы об устойчиг-оети яредлолгеняых методов регуляризации. Лля этого используются теоремы о сидиыости .1 ■ оис!ка(40) или (43). Справедлива, калрииер,

Теорема 8. В усломшх теоремы 5 воз?.гущен:ный ыс эл регуляризации

(35) сходится к иормалкн >му решению леЕст.огрьфичесчой задачи при любых ограниченных ьозмущеншзх о- зраторог {У; и векторов уі,і — І,«, удовлетворяющих условиям аппроксимации (30), ы>гди 0,14,6, — ► 0, і = 1 , п, —*

со, k ~ 1, n — 1, и выполнены услоппя между параметрами из теоремы 5 и следу юшде *

п—1 п—1

53 ri‘hk + ,гп = о(<*>153 ГА/ай + $* = о(а1/3),

A=Sl . . А=1

при этой еа-лптотичесгдая оценка погрешности складизастся из оцеьоя. (37\ а (40). ‘ '

Таз'кая при //(Г) = {0} класс корректности Г+ соьярчает со всем пространством огркютс;ппя операторов, то созмущмшый метод хо, сходятся при ЛюбьЕХ Ol-pa-'JKne'.CnjS возмущениях при условия (39). *1

Проверка условий ралре;шшости легхкгаграЛкческой задачи (32) затруд-гпггелма. Такое нолоясение вообще характерно для неггсррегггко поставленных задач. Поэтому, по-гндимому, впервые В. II. Масдав предложил гаразгтеризо-ер.ть разрешимость задача по сходпмосхя ретуляргзуияцего ев процесса

Теорема 10. Ес л регуляризующтй процесс (35) сгодится пра а —*

0, г* —* со, r;/rfj —+ 0, к < i, к = 1, п — 1, то его предел является нормальный решяпсем. лексикографической -адата.

8 §3.6 рс-ссмотре! масс задач оптимального у правлештлри шпп^алынд затратах вперпш. Рассмотрим динамическую управляемую систему:

&{t) = A(t}x(t) + t0<t< tn, z(to) = xo,

где x : \t0, in] -+ 7lv, и : [i0, tn} TV‘> Пусть t0 < ... < t* < f*+i < ... < ift.

Впэдзи функционалы

Z«-z(«) = (a(h) ~ <p(h), Pk(=(ik) - ¥>(tk)))n> j2k(u) = fUt) - m 9>шф) - mudt, j{u)=fa®, л®иш<и,

lo ■ »

где Ph, Q:Jt) ‘— положительные, R(t) — пожоатаекыго определенная тсжсри-".есглз матрицы, <p(t) — г?«по1з-сЬуигад5я наблюдения. ■ ■

Задача 1. Ьайтн u0 из условий: Jm(wo) < Лп(«), пг — A,2n— J., д; з ссея и та.кч2, что 'Ji(u) = Ji(«o)>! — 0, ттг — 1, где /о(и)-нулевой фу: ишоиал;

•Я^о) + Лп(’Jo) < J(t<) -I- Jr.ni'u) дня всех U Tarns, ЧТО Jm(u) ~ /т(ыо), Я1 =

г;а'п-э. • . ■_____

Задача 2. В услошшх задачи ' индекс т = 1, '.in, а яослсдясс кераьенство замегигется сле;^, кшиа:: J(uo) < J(«).

' Суть з»* дач 1 в 2 состоит в следующем. Требуется перевести упоавляемую систему из начального состояния гоза. заданное время (їїпослекооаг тельио в состояния s(ti), ”(<2)1 • • -1 *(in)> наименее уклоняющиеся от заданны" точек фазового пространства ip(tj), • ■ ■ <p(tn)- При втом требуется ішл мюнровать ряд функционалов качества как па отдельных участках пути, так и в целом. '

Залдчн 1 и 2 включают при її =’ t2 = ... —Лп задачи, j осмотренные

II. Мин амиде и К. Накамурой, а также М. Я. Кугелем, и сводится к мяого-етапяой лексикографической задаче. Ллв их решения можно использовать рассмотренное в §3.5 методы регулярюашш. Регуляризованные j.„шешія апп}к гсимирующие оптимальное управление Uo(t), находятся из уравнений:

(5 + a)u(t) + £ rj*_iah(i) / Ф(іЬі a)fl(s)u(s)cfs+

fc = l <0

rjhbk(t, s) + 6»((, a))ds J Ф($, r)B{r)u(r)dr ~ t iisl и

‘ = £ r3*-l<l*.(<)(¥>(<*) “ $0*. to)*o)+

+ Л Ё ») + bn(t, s)){<p(s) - Ф(в, to)xo)ds,

t txl

где 8 ~ 1 или 0 для задачи 1 или 2, ф(і, a) — матрица перехода системы и при к — 1,п

а*(«) = dk{k)R~l{t)B'{4V{h,t)Pk-Mt>°) = R-}it)B'№'{s,t)Qk{s);

. _ f 1, *Є[*оЛ], . ■

d‘" \ 0, t і (<*,<„]. .

Лля задачи 1 можно положить от = 0. Предложенные методы построения оптимального унравлсішя иллюсрпруются на конкретных примерах.

В §3.7 рассмотрен фуігг-стонал • .

д(х) = і (Лі, s) - Re(y,x),

: A -- с&могопрялккный пеотртцательный оператор в гильбертовом про. і,.и чічсский смысл которого — потенциалы’ гя анергия саг гены. Ро

многих задачах система связьна дополнительными лзшсйншш связями типа. Вх — 0. Примеры таких задач из статики и влекірических целей приведены в втом параграфе. Выяснено, что уравнение равновесного состояния системи, определяемого па основании вариационных аринцш! »а минимума потенциальной энергии, имеет вид уравнения со связями (15). Как было установлено, его решение определяется с помощью обратного Ботта-Даффина. Бсатоу,', применяя метод регуляризация обратного Богта-Даффии», можно найти приближенное решение уравнения (15). Таким образом, например, проводится ири-ближеиньЛ расчет векторов токов х = Л^у и напряжений Н — (I — АА^)у электрических цепей: з качестве В выступает матрица инцидентности .цепи, а А — обратная матрица полных проводимостей.

В дополнении развивается вариационный подход гг. методам регз'лярша-пгш лексикографической задачи. Дело а том, что необходимые условия экстремума функционала не пгегда кыегат вид уравнений Эйлера, к выводу которого сводится по существу построение методоя регуляризации операторным способом. Таж часто происходят, ес; л операторы IIі — неограниченные.

Так как проблема построения регуляризующего функционала — одна из основных задач вариациотшого подхода, то лредлогодшый а работе прием построения методов регуляризации дает возмогкнссть для рассмотренных задач восстанавливать регулярдаующче фуякдаоналы, Например, таким образом построены фугасционалы (31) и в общей случае (36).

В дополнешш рассмотрены замкнутые линейные операторы с плотныш областями определенна. С одной стороны класс таких операторов достаточно богат, с другой, — к&ждай оператор из этого класса обладаем двумя существенными свойс.тзамп: однозначно определенный сопряженным оператором и ядром, явля мнимся яодцростраяством. Без этап свойств распространения результатов па неограниченный случай становится проблематичным.

Прежде всего расширяется на этот класс операторов определение псевдо-обратлого, предложенное для ограниченных операторов 3. Петрипшным. Доказала замкнутость псевдообратиого оператора и плотность в V его области определения. Р шду нарушения включения В(А+) С Л(Л*) многие формулы для псендообратных опериторов выполняются на существенно меныпих множествах. Например, равенство (4) справедливо па множестве (Д(А) П В(А*)) © ЛГ(/4*).

- Указывается на изменения, которые следует внести в результата, установленные в теории псев/’ообращения ограниченных операторов, в связи с рас-

ишрением класса операторов. Так в теории возмущения, рассмотренной в §1.6, множество возмуцгжштх отображений может быть расширено.

Оператор Л — А — А, ограниченный в норме графика оператора А:

||ДжЦ < аЦаЦ + г Є 0(А), Ь < 1, (42)

называется^ А — ограниченным. Вдетом случае, как известно, возмущенный отератср Л также замкнутый и Л (Л) = ЩА). Устойчивость псеьдообратиого оператора А+ имеет место па множестве А ограннчегшьк возмущенных отображений. Теорема 5 из §1.6 в случае замкнутого плотнопределен». >го оператора л пряиимает вид.

Теорема 2. Пусть А — нормально разрешимый оператор, операторы А — А + Д и А образуют острый раствор и позмущагщнй оператор Д удовлетворяет у-ловию (42), где о(1 — 6)-1 < 1/ІИ+Ц. Тогда оператор А — нормально разрешимый и ,

(И+ц < іи^ікі - 6 - «1М+ПГ1

Далее уточняется постановка п-©тапноа лексикографической задачи для случая неограниченных операторов. . ^

Г усть при Уі г- 1,п Щ : X —* Уї — заданный лшіейньій оператор с областью определенна ©{й»), а зн € У; — заданный елемент. Пусть общая область определения операторов

, - ' У' ' ■ -

' ‘ * ’ всюду плотна в X.

Естествеїшо левсяшгра.фкческую зада^ рассмотреть на множестве О. Для ©того достаточно прпшть Л”0 = В, не изменяя другие обозначения, введенные в §3.5 при постановка втой задачи. .

- ' Скзжеи, что операторы і/і, і — 1,п, совокупно замкнутые, если все ове-. раторы вада Г* = : X —> У\ х Уг х ... X У^к — У7>*,

замкнутые. Из сопокушюй замкнутости С; выт рет замкнутость множеств

к . ■

Л* = Я ЛГ(6Г»), к — 1, гг, I' замкнутость операторов и&н-ъ где орі опроег.-тор на подпространство Дь. В цалы.гй'-'ем нредоояагается, что операторы Щ совокупно замкнутые. . ■

Доказано, что элемент х — нормальное решение ла лпотрафической задачи в том и только том случае, если х € П D и

(Uhx - ук, VkQk-ih) = 0, VheD, к = 1, п.

В теореме Ч устанавливается разрешимость лпсикографическо.. задачи при условиаз, что множества Хк,к — l,n — 1, не пуста, а операторы U^i ~

1, п, обобщенно дополнительные.

В качестве per у ллризукяцего функционала рассматривается функционал

(36). Однако теперь вкстремвлм этого функционала. определяются кз зариа-цаошгого равенства

П—1 ' ' • ,

П’(Р** “ у*. &ih) + {Vnz ~ уп> Unh) -I- а(Тх, h) - 0, VA € D,

»=i '

которое лишь в частных случаях, когда Pi* — у,- 6 D(U'), t = 2, п, может быть записано в виде уравнения Эйлера.

Теорема 4. Пусть только оператор Г* замкнутый. Тогда, при любых а, г > 0 функционал (36) имеет на множестве D единственную точку минимума.

При трипиалыгом пересечехш . ядер, т. е. N(Tn) =* {0}, можно рассмотреть упрощенный функционал, который получается я* (36) при а = 0. Тепгрь, однако, теорема 4 о существовании г едянмвеяности точек минимума «.<* fc D будет справедливой при условна, что операторы Ui,i = 1, п, обобщенно дополнительные, иначе, если оператор Г» нормально разрешимый.

В заключение, доказала

Теорема б. Пусть операторы Щ, замкнутые и обобщенно дополнительные. Тогда существование решения лексикографической задачи при п = 2 эквивалентно сходимости регуляризующего процесса {z„} при а —* 0,.i—► оо.

В заключении формулируются основные по мнению автора результаты диссертации. •

Публикации по теме диссертации

[1] Шафиев I. А. Формулы для вычисления псевдообратиого оператора. -ДАН АзССР, 1977, Т. 33, № 11, С. 3-6.

[2] Шафи' 1 Р. А. О метода* вычисления псевдообратного оператора. - ЛАП Ас'ССР, 197о, Т. 34, № 1, С. 6-9.

[3] Шафиев Р. А. Методы построения исеидообратаьк операторов н их ирп-

меиелие г: сич1'.сл^!1пю критических точек функциоиалоа. — Дел. 20. 02. 78. ВИНИТИ, 632-78 ДЕП. - 23 с. ‘

[4] Шафиев Р. А. О псевдообршдзниа огра1|®гаеш£ых операторов и построении обобщенных решений линейных уравнений. - Деи. 13. Л. 80. ВИНИТИ, 4756-80 ДЁН. -31 с-

[5] Шафиев Р. А. Об устойчивости исепдообращигия. - Изи.АН АзССР

Сер.физ.-техн. и матеи. паук, 1980, № 3, С. 3-10. ■

[6] Шафиеь Р. А. Об £-псевдообршцепил. - ДАН АзСОР, 1981, Т. 37, К* 5,

С. 8-12.

[7] Шафяеа Р, А. ^-Псевдообралцеггае ограниченных операторов. - Дсп.

8. Об. 81. ВИНИТИ, 2777-81 ДЕП. - 25 с.

[8] Шафиев Р. /. О исбйдообращешщ ограниченных операторов. - ДАН

АаССР, 1981, Т. 37, 8, О. 13-17.

[9] Шафиев Р. А., Бабаева А. Э. О псевдообравдении самосопря«ка.лых операторов г банаховых пространствах. - Изб. АН АзССР. Сер. физ.-техи. и матем. наук, 1382, № 6, О. 3-7.

[10] Шафиев Р. А. О регулярных методах вычисления £-исевдооб^а.тиых оие-раторов. - ЖВМ и МФ, 1983, Т. 23, Я» 3, С. 536-544.

[11] Шафиев Р. А. Построение методов регуляризация, основанное на одном представлении псевдообратно1 о оператора. - В кн.: IV Всесоюзная школа-семпиар «Распараллеливание обработки информации». Тезиса докладов я сообщемгй, ч.Ш. Львов: 1983 С. 49-50.

[12] Шафиев Р. А., Кугель М. Я. О двупарамстричсском метода рег;, дяриза-цик А-псевдообращеляя и ириалпо выбора параметром регу^фязмии. -йзп.АН АзССР. Сер. физ.-техн. и матем. наук, .19 1, № 6, С. 24 2\К

/

[13] іііафиев Р. Л. О связанной псездообращешяі. - В пі.: V Всесоюшая

шгвла-сеыкпар «Распарадлелгашше сбрайотгн куфорыашлз». Тезиси до. клало» и сообщений, ч.Ц. Львов: 1^85, С. 108-109. '

[14] Шафнеи Р. Л. К теории ї:етоіюа регула ризвдки Тихзіюва-Лввреитгезії. -ЛАП СССР, 1935, Т. 232, № 4, С. 804-803.

[15] III р фи ев Р. А. О ыногоатвпиой лсксветгрлфнчесЕой здд .че. - Лен. Я. 05. 8*1.

ВИНИТИ, 3260. - В -28 с.' - \

[10] Шафиеа Р. А. Методи регулнразаиав свазашіш псаодрсбрзщїішіі. - Леи. 29. 12. 80. ВИНИТИ, 8941--В 86. -*31 с.

[!7] !Иофиса Р. А. Регулярные ыетодм решгтш задач шюгоеташюП сатизлз-зацші. - В га.: VI Всесоюзная іжсш»-секі«іар «РіиінзралделііБЗіі.'їе обра-ботаи информации». Тезисы допладса, Ч. 1. Львов: 198/, С. 207-208.

[18] ІПафцев Р. А. О регулярном иетодг реіпешіа одного класса задач упра-

вленая. - В кн.: Вааяигская.ыеяуц'царояна-и топологическая пон4 ервВДіЯ. Тезисы, ч. П. Баку: 1937, С. 341. . -

[19] Шафцсз Р. А. Сглза.чігі.’е исепдосбратные операторы и регулярній: методи

из построения. - В Гл.: Коаферешща-ио чисдашым мі то дам а приложениям. Тезисы докл^шз. София: .1988, С. 83. .

[20] Шафцев Р. А. ■ ІІсевдообраіденіге оператороа п некоторы? праладагяаа. -

Ііа^у: Элы, 1989. - 152 с. 1