Регулярные алгоритмы определения базиса ядра линейного оператора тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Восстановление базиса ядра линейного оператора в гильбертовых пространствах.

§1. В -базис ядра линейного оператора и его свойства.

§2. Алгоритм восстановления В - базиса ядра оператора

А в гильбертовом цространетве.

§3. Дискретная аппроксимация бесконечномерного алгоритма.

ГЛАВА 2. Регуляризирувдие алгоритмы в пространстве функций ограниченной вариации.

§1. Регуляризация уравнения I рода в пространстве функций ограниченной вариации.

§2. В -базис в пространстве функций ограниченной вариации и его свойства.

§3. Алгоритм восстановления В -базиса в пространстве функций ограниченной вариации.

ГЛАВА 3. Метод невязки для задачи определения В -базиса.

§1. Построение оптимального на компакте метода для точно заданного оператора.

§2. Выбор параметра регуляризации в задаче нахождения базиса ядра оператора.

§3. Конечномерная аппроксимация бесконечномерных алгоритмов.

Специальный класс составляют задачи, решение которых неустойчиво к малым изменениям исходных данных. Интенсивное развитие методов решения таких задач началось с работ М.М.Лаврентьева, А.Н.Тихонова, В.К.Иванова. Результаты исследования этих авторов и их учеников изложены в tЗб], 1411, 1бз]. Ссылки на работы других авторов можно найти в I 64].

Рассмотрим задачу решения уравнения I рода

А а = £ (o.i) где А линейный непрерывный оператор,действующий из банахова пространства U в банахово пространство F

Определение I. Говорят, что задача (0.1) является некорректно поставленной (по Адамару), если нарушается хотя бы одно из условий:

1) Область значений оператора A R(A) = F.

2) А взаимно-однозначный оператор.

3) Оператор А 1 непрерывен.

Фундаментальным понятием, позволяющим устойчиво решать некорректно поставленные задачи, является понятие регуляризи-рующего алгоритма введенного А.Н.Тихоновым в 161 Регуляризи-рующие алгоритмы строятся на основе итерационных методов [ 9], [ II], [l9], [ 65 J (библиография по итерационным методам есть в [63] на стр. 59). Регулярные методы можно строить, заменяя оператор А близким к нему [44]. Широкое распостранение получили вариационные методы построения регуляризирующих алгоритмов: метод А.Н.Тихонова [б2], метод квазирешений [34], метод невязки [зз]. метод обобщенной невязки [27].

Регуляризирующие алгоритмы позволяют использовать дополни - 1 тельную информацию о точном решении, которая часто задается с помощью вполне непрерывного взаимооднозначного оператора В , действующего из банахова пространства 2 в V . При этом требуется, чтобы точное решение уравнения (0.1) принадлежало R ( В )» что равносильно [27], [бб] некоторой гладкости точного решения. Регуля-ркзующие алгоритмы в пространстве функций ограниченной вариации впервые были построены в С 29] , 130 3. В этих работах была доказана сходимость приближенных решений в Lp . В дальнейшем в работах [2б], [45], [47], [52] и независимо в работе автора [i] , удалось доказать равномерную сходимость приближенных решений. Заметим, что в регуляризирующих алгоритмах, использующих вариацию, на точВ ное решение накладываются достаточно слабое требование: Vcui[Uj<c» (монотонность или выпуклость искомого решения требовалась в [23], [25], [2б] ).

Необходимо отметить, что регуляризирующие алгоритмы позволяют получать приближение только одного решения задачи (0.1), как правило, & -нормального решения (смотри, например, [il], [49], [бо] .

Определение 2. Элемент Ц>реализующий

WHIIB-'UII: AU -$,U€ R(B)}, (0.2) называется 3 ~ нормальным решением уравнения (0.1).

Это значит, что если выполняется условие 2), либо нам требуется В - нормальное решение уравнения (0.1), то применение регуляризирующих алгоритмов эффективно. Иначе необходимо привлекать дополнительную информацию об искомом решении.

Обширная литература в теории обратных задач посвящена дока

1. Тезисы этой работы были опубликованы ранее в кн.: Всесоюз. конф. по некорректно поставленным задачам.: Тезисы докл. Фрунзе, сентябрь 1979. - Фрунзе: ИЛИМ. - 1979. - с.З. тельству того, что А взаимно-однозначный оператор [42], [43] (оператор А нелинейный). Для линейного оператора критерии выполнения условия 2) сформулированы в [б], [2l], [Зб]. В случае нарушения условия 2) для задач гравиметрии и магнитометрии в [20], [57] описаны все решения задачи (0.1), (А - нелинейный точно заданный оператор). Обзор работ такого рода есть в [54].

Для оператора, являющегося сужением оператора А на R (В ), обратимость равносильна условию КегА П R (B)=CoJ. Для получения общего решения (0.1) в R ( 8 ) достаточно знать В -нормальное решение (0.1) и базис в Kei А П R( В)(если точное решение U0eR(B) ). В приложениях возникают уравнения, у которых КедА П R(B)*{o|h для этих уравнений необходимо определять все или некоторое множество решений. Эта задача представляет также общематематический интерес. При этом, задача определения базиса в КедАО R(B) по оператору А ^ НА- Лк Ik (i является неустойчивой, если область значений оператора R(A) не замкнута в F .

Основная цель диссертации - построение регулярных алгоритмов определения базиса в KfilAOR(B) по оператору А^ .

1) Для задачи определения базиса в гильбертовых пространствах впервые построены аналоги метода А.Н.Тихонова и метода невязки. Установлена связь этих методов. Для метода А.Н.Тихонова выписан аналог уравнения Эйлера, что позволяет свести построение приближенных решений к задаче определения собственных функций оператора Q0i '

2) Построены регуляризирущий алгоритм для решения задачи (0.1), использующий вариацию, и соответствующий регулярный алгоритм определения базиса в

Кед А 0 R(B).

3) В терминах аппарата дискретной сходимости получены достаточные условия сходимости решений конечномерных задач к решениям соответствующих бесконечномерных задач.

4) Исследованы свойства функции У (ос) = ( 8*+ 01 X1) / J*(<*) С/Ча) - минимальное собственное число оператора Q<* = А* А + « (В-1)* В 1 ) - основной оценочной функции [ 72 ] погрешности оптимального на компакте М г = { U :

II В'1 U II 4 1} метода и модуля непрерывности обратного к А оператора.

Оценками точности регуляризирующих алгоритмов занимались многие авторы. Неравномерные оценки получены в [ 25 ] (в [б4 ] есть ссылки на другие работы). Как показал В.К.Иванов в [ 31 ] для линейного вполне непрерывного оператора А равномерные оценки точности возможны только на ограниченно компактном множестве. Оценки погрешности на компакте Мг для нелинейного оператора проводились в [ 13 X [ 24 ], [ 58], для линейного точно заданного оператора в [ю], [и], Г 60 J (оценки в случае, когда КегА П R(B)*{°J получены в [59 J ). В случае линейного возмущенного оператора оценки точности строились в [il], [бв]. Оптимальные на Мг методы строились в [бб]. Связь этих вопросов с задачей С.Б.Стечкина Г 55 ] изучалась в [el

Согласно [72] минимум функции Yfa) совпадает с их8> г) - модулем непрерывности обратного к А оператора, функция

CJ(S,l) играет важную роль при оценке погрешности ре1уляри-зиругощих алгоритмов на Мг . Общие методы вычисления cv(S,z) рассматривались в [ 7 ], [в], Г 32], [4о], [ 73 ].

Следует отметить, что основная цель при исследовании задачи определения базиса в КегА П R С В) и задачи вычисления погрешности оптимального метода является общей, а именно, построение регулярного алгоритма решения соответствующей задачи. Для некоторых операторов А эти задачи можно решить аналитическим. Модуль непрерывности ^О (8, l) обычно выражают через спектр оператора А* А . При этом требуется, чтобы оператор А*А коммутировал с (B'D* В , в то время как, для применения алгоритма вычисления uj(8, ъ) коммутируемости операторов А*А и (В л )* В 1 не требуется,

А * Л не требуется также знание спектра оператора А А .

Перейдем к изложению материала по главам. В главе I для линейного непрерывного оператора Д , для случая, когда I/ , F , Ъ гильбертовы пространства, построен регулярный алгоритм восстановления специального базиса в /Се г АЛ

R ( В) по оператору A h, . Описание расчетов и обеувдение результатов по применению алгоритма, построенного в этой главе, приводятся в приложении.

В §1 обсуждаются вопросы корректности задачи восстановления базиса в К ег А П R ( В) по оператору А к » введен специальный базис в К е. 1А П R ( В) и исследованы его свойства.

В §2 рассмотрена последовательность экстремальных задач wife IIA*. ullp +a|IB-"u||* : U6I/I,IIU//V-1}, (о.з) где Ui=R(B) , a Ui={UeR(B) '( = « . . • L " i j — решения (0.3) полученные ранее }.

Последовательность задач (0.3) является аналогом метода А.Н. г i \

Тихонова. Далее доказано, что ь Jt = i совпадает с последовательностью собственных функций оператора

Qa-AkA^^ClfB ) By занумерованных так, что соответствующие собственные числа упорядочены по возрастанию. Доказана теорема сходимости CuV"}^ к специальному базису в К ех А П R ( В) (введенному в §1) при О у

Ь?7(Х О . Также установлена сходимость С U? ^ к базису в ЬСе г А П R (В) при а О, k->o , kl/a * const. В случае, если КегА П RC8) = £o} доказано, что II В'1 оо при OL о , К. ~> О.

В §3 формируется последовательность конечномерных задач и в терминах дискретной сходимости ( С 12], [70 ], [ 7l], С 74 j, смотри также, [ 16], ) сформулированы достаточные условия сходимости решений конечномерных задач к решениям задач (0.3) (другой общий подход к изучению конечномерных аппроксимаций описан в [58]). В результате для определения базиса в К е. г А 0 R(B) достаточно найти собственные функции, отвечающие малым собственным числам симметричной положительно определенной матрицы.

В главе 2 определен вполне непрерывный оператор вложения банахова пространства L V = { U e L рса,ез: v&i£u]<ooJ в i р ( L V имеет норму: II U ||LV « II и,||Ьр + $*гС UJ ).

Рассмотрен метод А.Н.Тихонова решения уравнения (0.1) с этим оператором В (оператор А , вообще говоря, нелинейный) и аналог метода А.Н.Тихонова определения базиса в Kei А П R (8) (для линейного оператора А ). Этот базис в часности. может состоять из разрывных функций.

В §1 построен регуляризирующий алгоритм для решения уравнения (0.1) и рассмотрены его конечномерные аппроксимации.

В §2 определен специальный базис в КегА Л L.V и исследованы его свойства.

В §3 введена последовательность экстремальных задач

In $ { || Ак U + а u] s ueUt , II и11„мЗ, (0.4) где Ui = L V , Uc - { Ue L V : ( U, Ujk) = 0, <5 « 19 - • t - 1 , U. г - ранее найденные решения

0.4)} . f и0"

Доказана теорема о сходимости • I w-i Ji = i к специальному базису (введенному в §2) в КегАП R(8) при & -> О ) k О > h!/Я —> О . Также рассмотрены конечномерные аппроксимации задач (0.4) и сформулированы достаточные условия сходимости решений конечномерных задач к решениям задач (0.4).'

В главе 3 в гильбертовых пространствах U , F , Z рассмотрены две задачи. Сначала исследуется функция V4<x) = (8l+ (X Is*) / 9 Доказано, что множество точек глобального минимума представляет собой отрезок (быть может вырождающийся в точку), а вне этого отрезка ¥(<*) строго монотонна.

Далее рассмотрен регулярный алгоритм восстановления специального базиса в К СЛ А П R ( В) по оператору ■ А к. Этот алгоритм можно назвать методом "невязки". Установлена связь с введенным ранее в §2 главы I регулярным алгоритмом определения базиса в Кег А П R(В).

Введены конечномерные аналоги метода "невязки" и сформулированы достаточные условия сходимости решений конечномерных задач к решениям соответствующих бесконечномерных задач;. ,

В §1 сначала доказаны леммы, которые используются затем на протяжении всей 3 главы. В этих леммах изучаются свойства функций J<(ol) , ЧЧ <* ) = II A U* UpVllB^UjI^- SVl*

II A Ucl Ир). И В Uot ||г , где Uoi - собственная функция оператора Q* •> отвечающая J*(<*) ( ) минимальное собственное число)} такая, что II U« llv= 1 . Затем для точно заданного оператора ( k - О ) дано другое доказательство основных результатов [ 72 ] и установлены свойства функции Vta) В §2 определена последовательность экстремальных задач

Ulf { II В"1 U Иа: U eUc , II U llv =1 , II А к UllF« L} , (0.5) где Ui - R (В), Ut = £ it* U, i (U , U.}) =0, 1, . . • t-1, Uj1 - функции удовлетворяющие (0.5)}.

Доказана теорема сходимости t ^t к специальному базису в КетА Л К(В) при к —► О . Установлено, что при выполнении некоторого условия для всех i * Ы существует

А такое, что множество решений задачи (0.5)' совпадает с множеством функций,удовлетворяющих условию //U<*//= К, и являющихся решением задачи

II AkiillZF +allB-1utz : UeVcJIU/^1}, (0.6) где Vih={Ue R(B): (U, и, . . . 1-1} то же множество, что и в задаче (0.5).

В §3 с помощью аппарата дискретной сходимости рассмотрены конечномерные аппроксимации задачи минимизации Wo) и задач (0.5). Обсуждается применение метода штрафных функций для снятия ограничения U е U^ в задаче (0.6).

Приложение содержит расчеты, иллюстрирующие применение алгоритма из §2 главы I для восстановления базиса в КегАП R(B) по оператору Ah • Эти расчеты показывают, что интегральное уравнение Фредгольма I рода, возникающее в методе рентгеноспект -рального структурного анализа ( Е X A FS) , имеет неединственное решение. Метод £ X A FS служит для определения функции радиального распределения атомов, которая является важной характеристикой внутреннего строения аморфных тел. Работа по созданию методики обработки данных рентгеноспектрального структурного анализа ( Е X A F S ) и дифракции проводилась совместно ШМ и ИММ УНЦ АН СССР.

В приложении также, на примере уравнения, возникающего в методе Е X A F S , обсужцаются особенности решения уравнений, имеющих не единственное решение. Рассматривается уравнение возникающее в методе дифракции, которое имеет единственное решение.

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах член-корреспондента АН СССР В.К.Иванова в Уральском государственном университете в г.Свердловске (1978 - 1984), на всесоюзной конференции по некорректно поставленным задачам (Фрунзе, 1979), на конференции молодых ученых в г.Ленинграде (ЛОМИ, 1980), на жоле-ееминаре по теории некорректно поставленных задач (Самарканд, 1983), на школе молодых ученых в г.Новосибирске (1984).

Автор выражает благодарность своему руководителю к.ф.-м.н. В.В.Васину за постоянную помощь и внимание.

Г Л А В A I.

ВОССТАНОВЛЕНИЕ БАЗИСА ЯДРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, для оператора, заданного с ошибкой, в условиях нарушения корректности по Адамару, по-видимому, впервые построены регулярные методы определения базиса ядра линейного оператора.

1. Для задачи определения базиса ядра линейного оператора в гильбертовых пространствах построен аналог метода А.Н.Тихонова.

2. Обоснован способ выбора параметра регуляризации в методе А.Н.Тихонова "по невязке" (для задачи определения базиса ядра линейного оператора).

3. В пространствах функций с ограниченной вариацией построен аналог метода А.Н.Тихонова, который позволяет, в часности, восстанавливать разрывные элементы базиса ядра линейного оператора.

4. Бесконечномерные алгоритмы, упомянутые выше, сведены к своим конечномерным аналогам.

5. Для задачи оценки оптимального на компакте метода исследованы свойства оценочной функции.

6. Рассмотрены приложения построенных алгоритмов определения базиса ядра линейного оператора к исследованию вопроса о о -Г" неединственности решения интегральных уравнении I рода, возникающих при обработке рентгеновских спектров.

1. Агеев А.Л. Регуляризация нелинейных операторных уравнений на классе разрывных функций. - Щурн.вычисл.мат. и мат.физики, 1980, т.20, М, с.819-826.

2. Агеев А.Л. Об одном регулярном алгоритме нахождения базиса ядра линейного оператора. Журн.вычисл.мат. и мат.физики, 1983, т.23, №5, c.I04I-I05I.

3. Агеев А.Л. Нахождение базиса ядра линейного оператора в пространстве функций ограниченной вариации. Свердловск, 1984. - 17с. - Рукопись представлена ИММ УНЦ АН СССР. Деп. в ВИНИТИ 16.06.83, 1984, Ж3315-83.

4. Агеев А.Л. К вопросу о построении оптимального метода решения линейного уравнения 1-го рода. Изв.вузов. Математика, 1983, т.250, №3, с.67-68.

5. Арестов В.В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений неограниченного оператора.- Мат.'заметки, 1977, т.22, Л62, с.231-244.

6. Аниконов Ю.Е. О единственности решения интегральных уравнений первого рода с целыми ядрами. Мат.заметки, I98U, т.28, ЖЗ, с.401-405.

7. Берлинков В.М. Об одном способе получения оценок погрешности при решении некорректно поставленных задач. Изв.вузов. -Математика, 1979, №2, с.3-6.

8. Берлинков В.М. О модуле непрерывности линейных операторов в теории некорректных задач: Дисс. . канд.физ.-мат.наук. -Свердловск, 1977. 126с.

9. Берсенев С.М. Регуляризованный метод квазиньютоновского типа с проектированием м его приложения: Дисс. . канд.физ.-мат. наук. Красноярск, 1979. - 133с.

10. Дшманова М.В. Об оценке устойчивости в методе регуляризации. Тр. ИММ АН СССР. /Методы решения условно корректных задач/,1975, вып.17, с.14-26.

11. Вайникко Г.М. Принцип невязки для одного класса регуляриза-ционных методов. Журн.вычисл.мат. и мат.физики, 1982, т.22, ЖЗ, с.499-515.

12. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов. Тату: ТГУ,1976. -161с.

13. Васин В.В. Об оптимальных по порядку методах регуляризациигддя нелинейных операторных уравнений. Журн.вычисл.мат. и мат.физики, 1977, т.17, М, с.847-858.

14. Васин В.В. Оптимальные методы вычисления значений неограниченных операторов. Киев, 1977. -17с. -(Препринт /АН СССР, №77 - 59.)

15. Васин В.В. Дискретная сходимость и конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов. Журн.вычисл.мат. и мат. физики, 1979, т.19, М, с. 11-21 •

16. Васин В.В. Дискретная аппроксимация и устойчивость в экстремальных задачах. Дурн.вычисл.мат. и мат.физики, 1982, т.22, М, с.824-839.

17. Васин В.В. Общая схема дискретизации регуляризующих алгоритмов в банаховых пространствах. Докл. АН СССР, 1981, т.258, Ш, с.271-276.

18. Васин В,В. Конечномерная аппроксимация семейства приближенных решений в методе регуляризации. Мат.зал. Ур1У, 1975, т.9, Ш, с.10-17.

19. Васин В.В. Об одной итерационной схеме решения неустойчивых задач. В кн.: Науч.-техн.конф. Методы мат.программир. и их програм.обеспечение, Свердловск, 14-17 апр.1981г.:Тез.докл./ АН СССР, УНЦ, ИММ, Дом техники Свердловск, обл.совета НТО.

20. Свердловск, 1981, с.31-32.

21. Воронин В.В., Чередниченко В.Г. Построение эквивалентных решений обратной задачи гравиметрии. Изв. АН СССР. Физика земли, 1981, В 3, с.60-67.

22. Гапоненко Ю.Л. О единственности решения интегрального уравнения. Вестн. ЛГУ, cep.1, 1981, JS 6, с.14-17.

23. Гапоненко Ю.Л. Об одном методе приближенного решения нелинейных операторных уравнений. Вестн. МГУ. Сер. Вычисл.мат. и кибернетика, 1977, Je4, с.79-83.

24. Гольдман Н.Л., Морозов В.А., Самарин М.К. Метод дискрептивной регуляризации и качество приближенных решений. Инж.физ. журнал, 1977, т.23, йб, C.III7-II24.

25. Гребенников А.И. Об оптимальных методах решения нелинейных некорректных задач. Докл. АН СССР, 1979,т.246,JS3,с.530-534.

26. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1983. - 208 с.

27. Гончарский А.В., Ягола А.Г. О равномерном приближении монотонных решений некорректных задач. Докл. АН СССР, 1969, т.184, J& 4, с.777-782.

28. Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки. Журн.вычисл.мат. и мат.физики, 1973, т.13, J& 2, с.294-302.

29. Гончарский А.В., Степанов В.В. О равномерном приближении решения с ограниченной вариацией некорректно поставленных задач. Докл. АН СССР, 1979, т.248, JS I, с.20-22.

30. Дмитриев М.Г., Полещук B.C. О регуляризации одного класса неустойчивых экстремальных задач. 2!урн. вычисл.мат. и мат. физики, 1972, т. 12, 1Ь 5, с.1316-1318.

31. Дорофеев И.Ф. О решении интегральных уравнений первого рода в классе функций с ограниченной вариацией. Докл. АН СССР, 1979, т.244, 1S6, C.I303-I3II.

32. Иванов Б.К. О равномерной регуляризации некорректных задач.-Сиб.мат.журн., 1966, т.УП, ЖЗ, с.546-548.

33. Иванов В.К. Об оценке погрешностей при решении операторных уравнений первого рода. В сб.: Вопр.точности и эффективности вычисл.алгоритмов: Тр.симпозиума, Киев, 1969, т.2, Киёв, 1969, с.102-116.

34. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода. 1урн.вичисл.мат. и мат.физики, 1966, т.6, с.1089-1093.

35. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах. Докл. АН СССР, 1962, т.142, Ш, с.270-272.

36. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978, -206с.

37. Иванов В.К., Королюк Т.Н. Об оценке погрешности при решении линейных некорректно поставленных задач. Дурн.вычисл.мат. и мат.физики, 1969, т.9, Ж, с.30-41.

38. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. -М.: Наука, 1974, -479с.

39. Клибанов М.В. Специальные интегральные уравнения первого рода и обратные задачи.: Дисе. . канд.физ.-мат.наук. -Новосибирск: ВЦ АН СССР, 1976. 92с.

40. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. - 542с.

41. Коркина Л.Ф. Оценка модуля непрерывности обратного оператора. Мат.зап. УрГУ, 1969, №7, тетр.2, с.76-87.

42. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962,-91с.

43. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982, - 88с.

44. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. -286с.

45. Латес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения.- М.: Мир, 1970. 336с.

46. Леонов А.С. Кусочно-равномерная регуляризация некорректных задач с разрывными решениями. Еурн.вычисл.мат. и мат.физики, 1982, т.22, ЖЗ, с.516-531.

47. Леонов А.С. О регуляризации некорректных задач с разрывными решениями и применение этой методики для решения некоторых нелинейных уравнений. Докл. АН COOP, 1980, т.250,Щ,с.31-34

48. Леонов А.С. О функциях ограниченной обобщенной вариации. -Докл. АН СССР, 1979, т.249, Ж, с.787-789.

49. Люстерник Л.А., Соболев В.Н. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. - 519с.

50. Морозов В.А.О псевдорешениях. Дурн.вычисл.мат. и мат.физики, 1969, т.9, JE6, с.1388-1391.

51. Морозов В.А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации. Журн.вычисл.мат. и мат. физики, 1968, т.8, Ш, с.295-309.

52. Построение регуляризующих алгоритмов по определению структуры аморфных тел методом рентгеноспектрального структурного анализа. / Агеев А.Л., Бабанов Ю.А., Васин В.В. и др. В кн.:

53. Числен, и аналитичес. методы решения задач механики сплошной среды, Свердловск, 1981, с.3-25.

54. Регуляризующие алгоритмы и априорная информация. /Тихонов А.Н., Гончарский А.В.,Степанов В.В. и др. М.: Наука, 1983.- 198с.

55. Сеа Ж. Оптимизация: Теория и алгоритмы: М.: Мир, 1973.-243.

56. Состояние и перспективы развития в СССР теории и интерпретации гравитационных и магнитных полей. /Страхов В.Н., Голь-шмидт В.И., Калинина Т.Б. и др. Изв. АН СССР. Физика земли, 1982, с.11-30.

57. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов. -Мат.заметки, 1967, т.1, 162, с. 137-148.

58. Страхов В.Н. О решениях линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве. Дифференц. уравнения, 1970, т.6, №8, с.1490-1495.

59. Страхов В.Н. Эквивалентность в обратной задаче гравиметриии возможности ее практического использования при интерпретации гравитационных аномалий П. Изв. АН СССР. Физика земли, 1980, т, с.38-39.

60. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981. - 157с.

61. Танана В.П. Об оптимальной по порядку регуляризации линейных операторных уравнений при условии неединственности решения. -Докл. АН СССР, 1983, т.269, ЖЕ, с.37-38.

62. Танана В.П. О классификации некорректно поставленных задач и оптимальных методах их решения. Изв.вузов. Математика, 1977, Ш, с.106-112.

63. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. Докл. АН СССР, 1943, т.39, с.195-198.

64. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. Докл. АН СССР, 1963, т.151, №3, с.501-504.

65. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. - 224с.

66. Тихонов А.Н., Морозов В.А. Методы регуляризации некорректно поставленных задач. Сер. Вьйисл.методы и программир., М.: Изд-во МГУ, 1981, вып. 35, с.3-34.

67. Трутников В.Н. Один нелинейный регуляризирушций алгоритм и некоторые его приложения. ЗЕурн.вычисл.мат. и мат.физики, 1979, т.19, JM, с.822-829.

68. Чечкин А.В. Специальный регуляризатор А.Н.Тихонова для интегральных уравнений I рода. ЗЗурн.вычисл.мат. и мат.физики, 1970, т.10, J£2, с.453-461.

69. Amorphous problem in Exafs data analysis/ Ageev A.L.,Baba-nov Yu.A.,Vasin V.V. et al.- Phys. Stat. Sol., 1983, vol. 117, p.345-350.

70. Grigorieff R.D. Zur Theorie linearer Approximations regu-larer Operatoren.I.- Math. Nachr., 1973, Bd.55, S.233-249.

71. Grigorieff R.D. Zur Theorie linearer Approximations regu-larer Operatoren.II.-,Math. Nachr., 1973, Bd.55, S.251-263.

72. Melkman A.A.,Micchelli C.A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data.- SIAM J. Numer. Analysis, 1979, vol.16, N 1, p.87-105.

73. Miller K. Three circle theorems in partial differential-equations and applications to improperty posed problems.-Arch. Ration. Mech. & Analysis, 1964, vol.16, N 2, p.126-154.

74. Stummel Б". Discrete convergence of mappings.- In: Topics Numer. Analysis: Proc. Roy. Irish Acad. Conf. Numerical Analysis, 1972. S.I., s.a., р.285-ЗЮ.

75. Vainikko G. Funktionalanalysis der Diskretisierungsmetho-den.- Leipzig: Verlagsgesellschaft, 1976.- 136 S.