Оценка погрешности приближенных решений уравнений первого рода в равномерной метрике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ДАО.ОЛ.ЗЗ. <Мвь/оВ г~7 / г

'* (Г/> / / ¿> , — У

{

Министерство общего и профессионального образования РФ

университет имени Н. Г. Чернышевского

; с: ,

апрва» 99 &л/22» На правах рукописи

Хромова Галина Владимировна

Оценки погрешности приближённых решений уравнений первого рода в равномерной метрике

01.01.01 —математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Саратов 1998

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ..................................................................................................... 4

Глава I. Задача восстановления функций

§ 1. Метод регуляризации Тихонова................................................... 24

§2. Линейные методы суммирования рядов Фурье в задаче

восстановления периодических функций ............................................... 51

§3. Методы восстановления функций и их производных на базе

оператора Стеклова.................................................................................... 68

§4. Получение точных по порядку оценок погрешности на

классах Mr2[a,b] ......................................................................................... 80

Глава II. Точные по порядку оценки погрешности приближенных решений интегральных уравнений I рода

§1. Сведения из теории линейных дифференциальных

операторов .................................................................................................. 129

§2. Метод регуляризации Тихонова для интегральных

уравнений с ядром Грина.......................................................................... 146

§3. Метод регуляризации Тихонова для интегральных

уравнений с разрывными ядрами............................................................. 185

Глава III. Приближающие свойства резольвент линейных дифференциальных операторов

§1. Приближение непрерывных функций и их производных с

помощью резольвент линейных дифференциальных операторов ....... 208

§2. Решение обратной задачи для обыкновенного

дифференциального уравнения ................................................................ 217

§3. О верхних гранях норм функций и их производных................. 224

Список литературы..................................................................................... 228

Введение.

В данной работе рассматривается задача приближённого решения уравнения I рода. Эта задача относится к области некорректно поставленных задач, на которые впервые обратил внимание Адамар.

Определение 0.1. Математическая задача называется поставленной корректно, если решение её существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных.

Из определения следует, что задача будет являться некорректно поставленной, если не выполняется хотя бы одно из сформулированных требований. Но при решении практических задач особенно важное значение приобретает последнее требование, поскольку исходные данные в этих задачах получаются в результате измерений и никогда не бывают известны точно, а существование и единственность решений таких задач вытекает из их физической сущности. Поэтому в дальнейшем мы будем понимать некорректность именно в смысле отсутствия непрерывной зависимости решения от исходных данных, а существование и единственность будем предполагать a priori.

Приведём общую постановку задачи приближённого решения уравнения I рода.

Пусть Х{,Х2 — банаховы пространства, Рассмотрим уравнение

Au = f, (0.1)

где А — линейный ограниченный оператор, действующий из Хх в Х2 и такой, что А"1 существует, но неограничен.

Обозначим через Л — точное решение, через /— точную правую часть уравнения (О.Х). Пусть правая часть / задана её ¿^-приближениями / в пространстве X,: /д. - / < 8. Задача приближённого решения

уравнения (0.1) состоит в построении по последовательности

элементов и6, такой, что

и8 - и

х.

—> 0 при 8 -> 0. К такой задаче

сводится ряд важных задач математической физики, вычислительной математики, теории функций, теории интегральных уравнений, а также многие прикладные задачи: обратные задачи геофизики и астрономии, задачи спектроскопии и другие.

Основополагающими работами в области некорректно поставленных задач являются работы А. Н. Тихонова, М. М Лаврентьева, В. К. Иванова (см. [51], [29], [30], [19], [20]).

В них было положено начало теории методов решения уравнений I рода. Эти методы называются методами регуляризации и состоят из двух принципиальных моментов:

*I

1) построение семейства линейных операторов Та, зависящих от параметра а, действующих из пространства Х2 в пространство Хх и обладающих свойствами: а) каждый из операторов Та определён на всем пространстве Х2,

б)

71

^ 00 ПРИ кажД°м значении а, в) для любого и е Хх

\ТаАи-и\ ->0 при <*-»0; (0.3)

2) согласование параметра а с погрешностью 8 а = а{8) такое, что

8

Т

а{8)

—>0 при 8 -» 0

(0.4)

Определение 0.2. Семейство линейных операторов Та, а> 0 — параметр, удовлетворяющее условиям а), б), в), называется регуляризирующим семейством для уравнения (0.2); параметр а называется параметром регуляризации.

Если соотношение (0.3) выполняется не на всем пространстве Хх, а для и е М а Х{, где М — некоторый класс элементов из Хх, то семейство {Г„} называется регуляризирующим на классе М; оператор Та при фиксированном значении а называется регуляризирующим оператором.

Если стремление к пределу в (0.3) равномерно относительно и е М, то семейство {Та} называется регуляризирующим равномерно на классе М , сам класс М называется классом равномерной регуляризации.

Существование регуляризирующего семейства является условием, достаточным для разрешимости задачи приближённого решения уравнения (0.2). Действительно из оценки:

Г/.-м <дТ

5 Х\ а

+

ТА и —и

х.

(0.5)

следует, 'гго параметр а можно так согласовать с погрешностью 3{а = а(д')), что будет выполняться (0.4), а отсюда следует стремление к нулю правой части (0.5) при а = а{5), 8 —> 0.

Таким образом, метод регуляризации (или метод Гв(<У)) — это метод

приближённого решения уравнения (0.2) с помощью регуляризирующего семейства {Та} при согласовании а = а(<5), обеспечивающем предельные соотношения (0.4). Условия же (0.3), (0.4) являются достаточными для сходимости приближённого решения Та^/5 к точному. Рассмотрим величины:

тТа,й) = зир^Та/,-Щх : \fs~fl <д),

I Л 2

тТа,М) = 5ир$ТЖ-и\х : иеМ, \/6~Аи\х <6}, (0.6)

Ьх(ТаА,М) = &лх${ТаАи-и х\ и е М).

Определение 0.3. Погрешностью метода Та{3) в точке будем называть величину А(8,Та^,и); погрешностью метода Та{8) на классе равномерной регуляризации М а Хх будем называть величину А(8,Та{3),М). Метод Т-а(ё) будем называть оптимальным на классе М и обозначать Тош, если

А(3,Т-(6),М) = ттТ,МУ- ТеЩ,

для любого 8, где Ш — множество всех операторов из Х2 в Хх.

Метод Т5{5) будем называть оптимальным по порядку и обозначать

Г°п , если существует константа К, не зависящая от 8, такая, что

А{8,Т5{д),М)<КА{8,Тот,М)

при 0 < 8 < 80.

Из теории уравнений I рода известны следующие теоремы. Теорема 0.1. Условия (0.3) и (0.4) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы А{8,Та^,и) —»0 при ¿> 0. Доказательство см., например, в [20].

Теорема 0.2. При любых а > 0 и 8 > 0 имеет место следующая двусторонняя оценка:

1 ср (б,Та,М) < А(8,Та,М)<<Р(8,Та,М), (0.7)

где

ср{8,Та,М) = 8\Та\Х2^ +ШМ).

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 в [48].

Одним из наиболее известных методов регуляризации является регуляризация Тихонова ([51]). Им рассмотрен случай когда А —

интегральный оператор с непрерывным ядром, Хх = С(г 1}[а,6], Х2 = Ь2[а,Ь], а решение удовлетворяет некоторым дополнительным

условиям гладкости: й е [а, Ь], г > 1 — целое, где ¡¥2[а,Ь] — одномерное пространство Соболева с нормой:

\

с1х

Уг

/

к^х) >0 — непрерывны. В этом методе в качестве операторов Та выступают операторы

Та/ЕЯа/ = ^ЫМа[ы,/];

" „2 „ „2 (0'8)

Теорема. 0.3 (Тихонова). Если в уравнении (0.2) А— интегральный оператор с непрерывным ядром, Яа/6 = а^птТМ"[и,], а ух, у2 —

и

константы, не зависящие от а и 8, такие, что

у{52 <а< у252, (0.9)

то

Ка{8)15-и "Г" 80.

Согласование (0.9) или согласование а-С82, называют тихоновским согласованием, а сам метод, определяемый теоремой 0.3, называется методом регуляризации (г - 1)-го порядка гладкости, поскольку он даёт приближение к точному решению вместе с производными до (г -1 )-ой включительно.

В работах А. Б. Бакушинского, В. В. Васина, В. А. Морозова и многих других авторов метод Тихонова был развит и обобщён на операторные уравнения в различных пространствах, главным образом, гильбертовых (см., например [5], [20], [36], [37], [49]). Целое направление возникло по методам выбора согласования а = а(8), поскольку у

Тихонова этот выбор является неопределённым и непригодным для решения практических задач ([5], [20], [37]).

Наконец, была создана теория оценок погрешностей приближённых решений в методах регуляризации. Наиболее законченными результатами в этой области являются результаты, полученные для компактных классов М, которые задаются с помощью вполне непрерывного оператора В е (Хъ -» X,) ( где Х3 — некоторое дополнительное пространств^ и шара

в этом пространстве: М = {и <еХх\ и — Ву,

Для этих классов были получены оценки для величины А(3,Яа,М)

сверху и снизу через модуль непрерывности обратного оператора и сделан вывод об оптимальности по порядку, в частности, для метода Тихонова в нашей постановке при а = Сд2 ([20]).

Нужно сказать, что исследованию методов, оптимальных по порядку, посвящено довольно много работ ([6], [9], [20], [48], [49] и др.). Это связано с тем, что нахождение оптимальных методов является весьма трудной Задачей, и даже если такой метод будет найден, он может оказаться трудно реализуемым при решении практических задач. Поэтому представляет интерес исследовать уже известные методы на оптимальность по порядку.

При исследовании оценки погрешности для того или иного метода регуляризации, возникает естественный вопрос: какова величина порядка по 3 в этой оценке? Как правило, при ответе на этот вопрос указывается величина порядка в оценке сверху (см., например, [15], [16], [31], [46]). Что касается исследований по величине оптимального порядка, то они известны лишь в немногих случаях для гильбертовых пространств. ([5], [6], [34], [48]).

В 1974 году Франклин [53] исследовал метод Яа(ё) на предмет получения неулучшаемых по порядку оценок погрешности на классах:

v

<Л}

М = Мг2 [а, b] = {и(х) е W2 [a, b] : \ \ u\ \ < 1, r > 1 - целое}(0.10) Данные классы являются наиболее естественными для метода Ra(S), так

как сходимость приближённых решений в этом методе получается за счёт их принадлежности, вместе с точным решением, некоторому шару в W2[a,b]. Указанные оценки были получены для частных случаев интегральных уравнений, но в метрике L2[a,b] (на базе аппарата рядов Фурье).

Получение неулучшаемых по порядку оценок погрешности в равномерной метрике с указанием величины порядка по 8 основывается на двусторонней оценке (0.7) и требует специального исследования для каждого конкретного класса решений.

Основные вопросы, рассматриваемые в данной работе, следующие:

1) нахождение оценок:

C\<P(ß) < ¡nf А(S,Ta, М) < C2<p(ö),

а

где (р(б) — некоторые известные функции, такие, что <p(S) -> 0 при S -» 0, 8 <е(0Д], Cj > 0, С2> 0 зависят только от 80;

2) нахождение конкретных формул согласования а = а(8), таких, что

Cl(p(8)<A(8,TaiS),M)<C2<p(8), где СХ,С2,<р(8) — те же, что и в п.1);

3) выяснение вопроса оптимальности метода Ta(S).

При этом мы рассматриваем случай, когда А е(С{1)[а,Ъ]—> L2[a,h\) а основными классами являются классы М2 [а, Ь] (см. (0.10)), либо М2[а, Ь] (отличаются от М2 [а, Ь] наличием тех или иных краевых условий на функцию и(х)). От методов регуляризации в общем случае требуется

лишь, чтобы оператор ТаА был интегральным. Основное внимание

уделяется методу регуляризации Тихонова.

В главе I рассматривается уравнение (0.2) с оператором вложения из С(/)[0,1] в 12[°Д] ([59]). Задача приближённого решения такого уравнения представляет собой задачу восстановления непрерывной при / = 0 или непрерывно дифференцируемой / раз при 1 * 0 функции, заданной её среднеквадратичными с>-приближениями. Это — некорректная задача из теории приближения функций. Она является частным случаем задачи восстановления элементов абстрактных пространств, впервые рассмотренной В. А. Морозовым ([35]). Задача восстановления функций и близкие ей задачи рассматривались и другими авторами (см., например, [2], [3], [7], [9], [13], [14], [24], [25]).

Поскольку задача восстановления функций представляет самостоятельный интерес, ей удаляется достаточно большое внимание. Здесь рассматриваются различные методы регуляризации: построенные на базе известных методов из теории приближения функций с естественными параметрами регуляризации; известные из теории уравнений 1-го рода, а также строятся новые методы, позволяющие расширить круг решаемых задач. Отметим следующее:

1) Под известными методами из теории приближений понимаются в основном линейные методы суммирования рядов Фурье для периодических функций. При выборе параметра регуляризации и оценке погрешности мы пользуемся известными оценками для уклонений точных функций от их приближений. Эти оценки на протяжении многих лет улучшались и уточнялись различными авторами (см. библиографию в книгах [18], [27], [28], [50]). Мы здесь ограничиваемся давно известными классическими оценками, приведенными в [39]. При необходимости

уточнения константы в оценке погрешности приближенного решения задачи восстановления можно использовать улучшенные оценки.

2) При исследовании метода регуляризации Тихонова в некорректных задачах возможны два пути:

а) использовать подходы, разработанные для решения некорректных экстремальных задач. ( Так, Ф. П. Васильев разработанный им подход к получению оценок погрешности в указанных задачах применил к уравнениям 1-го рода в гильбертовых пространствах ([11], [12]));

б) перейти к уравнению Эйлера.

Мы здесь используем второй путь, благодаря чему метод регуляризации рассматривается как один из интегральных методов решения задачи восстановления функции. В результате во всех рассмотренных в главе I случаях Та имеет интегральный вид; все методы рассматриваются в единой системе, как методы решения уравнения (0.2) с оператором вложения. Для всех них получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы &{5,Та(6), и) —» 0 при ¿>—>0, и

исследован вопрос об оценке погрешности на классах.

Отметим, что полученное в §1 необходимое и достаточное условие согласования а = а(3) в методе регуляризации Тихонова (см. [61]) было обобщено на дробные производные и многомерный случай Савеловой Т. И. [43].

К излагаемому здесь материалу близки работы Э. В. Колпаковой и В. И. Колпакова [23]—[26], поскольку они являются прямым продолжением исследований автора данной работы. В указанных работах рассматривается та же самая задача восстановления функций в равномерной метрике, но исходные данные берутся в более общих пространствах (Ьр[а, Ь]). Метод, построенный Э. Колпаковой в [25]

является модификацией метода из [55]; в [24] исследуется вопрос о конечномерной аппроксимации операторов, приведенных в §§2,3.

В. И. Колпаков использовал нашу интерпретацию задачи восстановления как задачу решения уравнения 1 рода с оператором вложения; построил операторы равномерного приближения к функции и ее производным на базе оператора Стеклова, отправляясь от нашей идеи, изложенной в §3. На этом пути он построил оптимальный оператор восстановления непрерывной функции. Оба автора получали оценки погрешности на классах равномерной регуляризации, задаваемых ограничением на норму производной г-го порядка в пространстве Ьр[а, Ь].

С другой стороны, задача восстановления функций как задача решения простейшего уравнения 1-го рода служит модельной задачей, на которой выявляются трудности, намечается перспектива и отрабатывается методика исследования вопроса о получении точных по порядку оценок погрешности приближённых решений уравнений 1-го рода с указанием величины порядка по 5 и на классах Мг2 [а, Ъ].

При исследовании некорректных задач теории приближения функций естественной является связь этих задач с соответствующими классическими задачами теории приближения функций. Так, задача о наилучшем восстановлении значений неограниченного оператора на элементах, заданных с погрешностью, связывается с задачей Стечкина о наилучшем приближении линейных неограниченных операторов ограниченными (см. работы В. В. Арестова [2], [3]).

В нашем случае получение точных по порядку оценок погрешности тесно увязывается с другой известной задачей — задачей Колмогорова-Никольского (задачей К-Н). Дадим определение задачи К-Н в соответствии с нашими обозначениями.

Определение 0.4. Если Ка — семейство операторов, для которого | Каи - и | —» 0 при а —» 0 равномерно на некотором классе М, то задачей

К-Н называется задача нахождения асимптотических значений для величины Ах(Ка, М), т.е. задача представления ее в виде:

Ах(Ка,М)=Сх(рх(а) + ц/х(а) (0.11)

где <рх(а) — вполне определённая функция; у/х{а) - о{(рх{а)). Эта задача является весьма трудной задачей (см. [18]). Решение её требует специального подхода, зависящего от класса М и семейства операторов Та. Наряду с этой задачей мы будем рассматривать другую, близкую к задаче К-Н — задачу нахождения точных по порядку а при а —» О оценок величин Ах(Ка, М), т.е. оценок вида:

С[(рх{а)+у/[{а) < Ах(Ка, М) < Схсрх{а)+уух{а) (0.12)

где С,, С,' — постоянные, не зависящие от а, а у/х(а),у/[{а) имеют порядок о{(рх{а)).

Для краткости изложения будем называть эт