Равномерная сходимость приближенных решений сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

005001578

ХАЙРУЛЛИНА ЛИЛИЯ ЭМИТОВНА

РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА С ЯДРОМ КОШИ

Специальность 01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

1 О НОЯ 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань-2011

005001578

Работа выполнена на кафедре теории функций и приближений ФГАОУВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет"

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент Ожегова Алла Вячеславовна

доктор физико-математических наук, профессор Плещинский Николай Борисович

кандидат физико-математических наук, доцент Апайчева Любовь Алексеевна

Национальный исследовательский Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

Защита состоится "24" ноября 2011 г. в 14.30 часов на заседании диссертационного совета Д212.081.10 при ФГАОУВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет" по адресу: 420008, г.Казань, ул. Профессора Ну-жина, 1/37, ауд.337.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского ФГАОУВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет" по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

Автореферат разослан "19" октября 2011 г. и размещен на официальном сайте ФГАОУВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет".

Ученый секретарь совета Д 212.081.10 к.ф.-м.н., доцент

Е.К. Липачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена систематическому исследованию равномерной сходимости приближенных методов решения сингулярного интегрального уравнения (кратко с.и.у.) с ядром Коши на отрезке вещественной оси, а также его двумерного аналога с сингулярными интегралами, понимаемыми в смысле главного значения по Коши.

Рассматриваемые в работе сингулярные интегральные уравнения находят широкое применение в задачах теории упругости, аэродинамики, электродинамики, теории автоматического управления, квантовой механики и других областях математической физики и техники.

Теория таких уравнений достаточно хорошо разработана. Она изложена, прежде всего, в известных монографиях Н. И. Мусхелишвили1, ФД. Гахова2, И.Ц. Гохберга и И.Я. Крупника3. Из теории таких уравнений следует, что найти точное решение с.и.у. в замкнутой форме удается лишь в отдельных случаях, причем для получения числового результата приходится вычислять регулярные и сингулярные интегралы со сложными плотностями. Поэтому разработка и теоретическое обоснование аппроксимативных методов их решения является актуальной задачей. При этом как для теории, так и для практики наиболее интересны равномерные оценки погрешности приближенных решений. Установление таких оценок представляет определенную трудность, которая связана, прежде всего, с тем, что в пространстве непрерывных функций задача решения исследуемых уравнений является некорректно поставленной.

Один из подходов к решению указанной задачи, разработанный А.Н. Тихоновым, М.М. Лаврентьевым, В.К. Ивановым, их учениками и последователями4, основан на некорректной постановке задачи и решении ее соответствующими методами. С.М. Белоцерковским5 был создан метод дискретных вихрей численного решения с.и.у. В дальнейшем он был развит в работах И.К. Лифанова6 и его учеников. Доказано, что метод дискретных вихрей является методом регуляризации численного решения некорректного в равномерной метрике с.и.у. первого рода.

В данной работе используется другой подход, основанный на отыскании корректной постановки задачи решения с.и.у. путем подбора пространств

Мусхелишвили Н.И. Сингулярные шгтегральные уравнения. - М.: Наука, 1968. - 512 с.

2 Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 638 с.

5 Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных операторов. - Кишинев: Штиинца, 1973.-428 с.

4 Тихонов А.Н., Арсении В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979. - 288 с.

5 Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. - М.: Наука, 1965. -244 с.

Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. - М.:

ТОО «Янус», 1995.-520 с.

искомых элементов и правых частей с последующим применением аппроксимативных методов решения и их теоретическим обоснованием в этих пространствах. К настоящему времени корректность задачи решения рассматриваемых с.и.у. установлена в пространствах гельдеровых функций и в весовых пространствах Лебега, в них проведено обоснование ряда приближенных методов решения изучаемых уравнений. При этом в работах зарубежных математиков основное внимание уделено численной реализации. Определенные итоги и библиографию по результатам таких исследований можно найти в обзорных работах В.В.Иванова7, Б.Г.Габдулхаева8, в монографиях и работах В .В.Иванова9, Б.Г.Габдулхаева10, 3. Прёсдорфа11, М.А. Шешко12, И.В. Войкова , их учеников и последователей. Однако систематически сходимость приближенных решений указанных уравнений в равномерной метрике до сих пор не изучалась. Это определяет актуальность темы исследований.

Цель работы. Целью работы является получение равномерных оценок погрешности приближенных решений исследуемых уравнений путем установления корректной постановки задачи на парах специально подобранных пространств непрерывных функций и проведение в них теоретического обоснования различных аппроксимативных методов.

В диссертации под теоретическим обоснованием понимается следующий круг вопросов:

а) доказательство теорем существования и единственности решения, аппроксимирующего уравнения;

б) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и определение скорости сходимости;

в) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных;

г) исследование устойчивости и обусловленности аппроксимативных методов.

Иванов В В. Методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений // Итоги науки и техники. Матем.анализ. -М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1965. -С. 125 - 177.

Габдулхаев Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и шггегро-дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Матем.анализ, Вып. 18. -М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1980. -С. 251 - 307.

9

Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. - Киев: Наукова Думка, 1968. - 287 с.

Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений I рода. -Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1994. - 285 с.

Prossdorf S. Approximation methods for solving singular integral equations // Berlin, 1981. - Preprint. - P.-Math. -12/81.-31 p.

12

Шешко M.A. Интегральные уравнения, содержащие кратные интегралы с ядрами Коши // Дифферент уравенния. -1986. - Т.22, №3. - С. 523 - 538.

Бойков И.В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений. - Пенза: Изд-во Пенз.ун-та, 2004. - 297 с.

Методы исследования. При выводе и обосновании результатов диссертации используется аппарат полиномиального приближения из конструктивной теории функций, методики из общей теории приближенных методов, функционального анализа и теории сингулярных интегральных уравнений.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. В работе для различных классов решений введены новые пары пространств искомых элементов и правых частей, являющихся сужением пространства непрерывных функций, в которых задачи решения исследуемых сингулярных интегральных уравнений поставлены корректно. Во введенных пространствах разработаны элементы конструктивной теории функций. На базе полученных результатов дано теоретическое обоснование вычислительных схем ряда известных приближенных методов и получены равномерные оценки сходимости приближенного решения к точному.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы в теории приближенных методов решения сингулярных интегральных уравнений, а также применены при решении конкретных прикладных задач физики, механики и математической физики, сводящихся к указанным уравнениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (2003 - 2009) и Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета (2010), на Казанских международных летних научных школах-конференциях (г. Казань, 27 июня - 4 июля 2003 г., 26 сентября - 1 октября 2004 г., 27 июня - 4 июля 2007 г., 1 - 7 июля 2009 г., 1 - 5 июля 2011 г.), а также представлялись на международных научно-практических конференциях "Научный потенциал мира - 2004" (Днепропетровск, 2004), "Дни науки" (Днепропетровск, 2005,2006).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [7], работа [4] - из списка ВАК. В совместных работах научному руководителю принадлежат постановка задач и идея методики исследования, соответствующие результаты получены лично диссертантом.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 103 страницах и состоит из введения, двух глав, включающих параграфы, и библиографического списка использованной литературы, содержащего 92 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор используемой литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, формулируются основные результаты, выносящиеся на защиту.

Первая глава (§§1 - 3) посвящена исследованию равномерной сходимости приближенных методов решения с.и.у. первого рода с ядром Коши на отрезке вещественной оси вида

Кср = —[с/г +— [/г(г,г)<р(г)с!т = /(/), |/|<1, (О

К ^ Г-/ Я-Д

где г), ДО - известные непрерывные функции в своих областях определения, <р(т) - искомая функция, а сингулярный интеграл (с.и.)

71 \ Г-/

понимается в смысле главного значения по Коши.

В параграфе 1 рассмотрен класс решений, неограниченных на обоих концах отрезка [-1, 1]. Согласно общей теории с.и.у., решение уравнения (1) может быть представлено в виде <р{1) = р(/)х(0, где х(/) - новая искомая

функция, а р = р(г) = 1 . Параграф состоит из нескольких пунктов. VI-/2

В пункте 1.1 вводятся линейные нормированные весовые пространства ХД-1, 1] и ¥ч[-\, 1], ч = =

Р(0

ХР = 1] - пространство непрерывных на [-1,1] функций х(1), удовлетворяющих условию

1

\р(г) х^)Л = 0,

-I

для которых с.и. —!_ 1(рх; является также непрерывной функцией на (-1, 1) р( О

и допускающей непрерывное продолжение на концы отрезка интегрирования.

Уч = УД-1, 1] - пространство непрерывных на [-1 ,1] функций ДО таких, что с.и. 0 является непрерывной функцией.

В этих пространствах определены следующие нормы

11" 11с

11/11, НМСЧМС, /ег„ 6

где |Ы| = тах |х(/)|.

" "<- 1 1

В лемме 1.1 доказано, что сингулярный оператор 5: Хр -> К , где непрерывно обратим и справедливы равенства

(Ии^'Пи-1-

Пространства Хр и Уч являются полными.

Установлеш>1 достаточные условия корректности задачи решения уравнения (1).

В пункте 1.2 получены оценки норм известных полиномиальных операторов и установлены их аппроксимативные свойства в пространстве Уг

Пусть Ф^ - оператор Фурье, ставящий в соответствие любой функции (р е Х[-1; 1] ее отрезок ряда Фурье

/ЫО

зт(/с +1) агссов /

по полиномам Чебышева II рода ик{0 = —~— -, к = 0,1,..., где

-г1

2 'г

с" (<?) = — [ л/1 -тгф{т)ик (т)с1т - коэффициенты Фурье-Чебышева. Доказана

Лемма \ 2. Для любой функции <р е С[-1; 1] справедлива оценка Цф^ <(5 + 31п«)|Н|с, neN.

Если <р е Уд, то

||р-Ф>||г =0

"(Мри)

{(Р) 1п и +1 —~

п *

¿1

, лелг,

где Е„(<р) - наилучшее равномерное приближение функции (р{1) алгебраическими полиномами порядка не выше п, о(<р, 3) - модуль непрерывности функции ф) с шагом 8 е (0; 2].

Через =№гНа[-1;1] обозначим множество функций, имеющих

непрерывную производную г-го порядка, удовлетворяющую условию Гель-дера с показателем а, 0<а<1,г>0.

Через ЖГМ = \УГМ[-\\\] обозначим множество функций, имеющих непрерывную производную г-го порядка, удовлетворяющую неравенству

(s)j ^ M, где M= const, a r > 0 - произвольно фиксированное действительное число.

Через нгш[-1;1] обозначим множество функций, имеющих непрерывную г-ую производную, модуль непрерывности которой не превосходит заданного модуля непрерывности т = а(о), а е (0,2], г > 0.

Установлена

Лемма 1.4. Если <p{t) € W'Ha[-1;1], то справедливо соотношение

=О|-!^],0<а<1,г>0.

Если (p(t) е WrM[-1;1], то справедливо соотношение

\пг )

Если ^(0е-ЯД-1;1],то

;Р-Ф>|1 =0

1пл fl^

-(о\ —

чri V«yy

,/•>0.

Пусть 1„{ф) - Ьп((р- I) - интерполяционный полином Лагранжа функции <р е С[-1; 1] по системе узлов

2к + \ , —

=соз-л,к = 0,п.

2п + 2

Доказана

Л е м м а 1.5. Для любой функции <реС[-1; 1 ] справедлива оценка

12 6, 2(2и + 2) 1\ —+—1п—--+- 1

, Я- 71

Мг. *

п п

114-

Если (р е Yq, то

\\<p-h<pl =0

EMbnÄ^dt

, neN.

Пусть П„ - оператор подобластей, ставящий в соответствие любой функции (р е С[-\\ Ц алгебраический полином П„(<р, я), однозначно определяющийся из условий

VI VI 2+1 _

| П„(<р;5)с& = | ф)ск, = СОБ—-—= 0,п.

¿у 2/2 + 2

Лемма 1.6. Для любой функции <р еС[-1; 1] справедлива оценка

Цп J =оШ|Ис

Если (p{f) е W Hа, то справедливо соотношение

Ь>~лЛ. =°

f \ Inn

1

г+а —

Кп 2 J

, 0 <ос< 1, г > 0, г + а> — 2

Полученные в леммах 1.2-1.6 результаты позволили теоретически обосновать известные аппроксимативные методы рассматриваемого с.и.у. (1) и установить равномерные оценки погрешности. Кроме того, эти результаты в дальнейшем могут быть использованы для исследования других классов интегральных уравнений.

В пункте 1.3 с.и.у. (1) решается с помощью общего проекционного метода, согласно которому приближенное решение исходного уравнения определяется как точное решение приближенного функционального уравнения

Кп>с„ =pjix„=sx„ + p„vx„ = /у; (д^^„с^Р/еЯысЦ

2 1

где Vx = — | h(t, z)p{r)x{r)dv, Нп - множество алгебраических многочленов Я -1

степени не выше и, Р„ - некоторый линейный оператор, отображающий пространство Yq в подпространство Hn.h Имеет место Теорема 1.3. Пусть выполнены условия:

а) с.и.у. (1) однозначно разрешимо в пространстве Хр при любой правой части f(t) из Yq;

б) ядро hit, г) таково, что оператор V: Хр —> Yq вполне непрерывен;

в) оператор Р* = Р иР„->Е сильно в Yq, где Е - единичный оператор. Тогда, начиная с некоторого п eN, аппроксимирующие уравнения таю/се

однозначно разрешимы и приближенные решения х'п = K~nxPnf сходятся к точному х - K~lf со скоростью

"\\хр nJ Hr, II " lly

где P'n означает, что оператор Р„ применен к hit, г) по переменной t.

В теореме 1.4 установлена скорость сходимости общего проекционного метода в терминах наилучшего приближения функций алгебраическими полиномами в пространстве Yq.

В пунктах 1.4 - 1.6 рассмотрены и теоретически обоснованы известные вычислительные схемы методов ортогональных многочленов, коллокации и подобластей решения уравнения (1), являющихся конкретными реализациями общего проекционного метода.

В методе ортогональных многочленов приближенное решение ищется в виде

*=1

где Tk(t) - полиномы Чебышева I рода к-го порядка, а неизвестные коэффициенты ак, к = 1, п, определяются из СЛАУ

п _

«, + IX«* =/у. У = 1,и,

ы

i г

яг:

2 1-Я Li Справедлива

Теорема 1.5. Пусть выполнены условия:

а) с.и.у. (1) однозначно разрешимо в пространстве Хр при любой правой части f(t) из Yq\

б) функция f(t) е WH«, ядро h(t, т) е WHa

по переменной t равномерно

относительно г, 0 < а < 1, г > 0.

Тогда, начиная с некоторого п е N, система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) метода ортогональных многочленов имеет единственное

решение {ak*}, k = \,n - Приближенные решения x'n{t) = ^akTk{t)

/, --¡^Jfit)UM(t)dt, 71 -i

a^-jJi^Vfatp^dt.

k^ 1

сходятся к точному x*(t) равномерно со скоростью

(\пп^

\П у

,0<а< 1, л- > 0.

Для этого метода в теореме 1.6 доказана сходимость невязок приближен. ных решений.

В пункте 1.7 установлена равномерная сходимость метода механических квадратур решения уравнения (1).

В пункте 1.8 рассмотрен проекционно-итеративный метод решения уравнения (1). Доказана теорема о его сходимости, получены равномерные оценки погрешности.

Пункт 1.9 посвящен исследованию устойчивости и обусловленности рассмотренных выше приближенных методов.

Теорема 1.11. В условиях теорем 1.5, 1.7, 1.8, 1.9 справедливы утверждения:

а) методы ортогональных многочленов, коллокации, подобластей и механических квадратур устойчивы относительно малых возмущений элементов соответствующих аппроксимирующих систем линейных алгебраических уравнений;

6) из хорошей обусловленности точного с.и.у. (1) следует хорошая обусловленность соответствующих аппроксимирующих уравнений исследованных методов.

В параграфе 2 исследуется случай решения, ограниченного на обоих концах отрезка. Здесь cp{t) = p{t)x(t), где р = pit) = Vl-i2 . Параграф состоит из 5 пунктов.

Пункт 2.1 посвящен установлению корректной постановке задачи на паре пространств искомых элементов Хр и правых частей Yq, q = q{t) - —j-y.

Хр =Хр[1,1] - пространство непрерывных на [-1,1] функций x(t), для которых сингулярный интеграл I(px; t) также является непрерывной функцией.

Yq = Г [1,1] - пространство непрерывных на [-1, 1] функцийДг) таких, что

—I(gf ,t) является непрерывной функцией на (-1, 1), допускающей непре-?(0

рывное продолжение на концы отрезка интегрирования, и выполняется условие

Нормы в этих пространствах определены соответственно следующим образом:

14, =H!c+ll/MlcxeZ,; 11/11, =14 'fool ,feYr

In lie

В лемме 2.1 устанавливается непрерывная обратимость сингулярного интегрального оператора на введешюй паре пространств.

В пункте 2.2 получены оценки, характеризующие аппроксимативные свойства операторов Фурье по полиномам Чебышева первого рода, операторов Лагранжа и подобластей в пространстве Yq.

Установленные в пункте 2.2 оценки, имеющие и самостоятельный интерес, позволили теоретически обосновать в пункте 2.3 известные вычислительные схемы методов ортогональных многочленов, коллокаций, подобластей, механических квадратур и установить равномерные оценки погрешности приближенных решений.

В пункте 2.4 исследован аппроксимативно-итеративный метод, позволяющий уточнять приближенное решение, найденное прямым методом.

Пункт 2.5 посвящен установлению скорости сходимости к нулю невязки метода ортогональных многочленов.

В параграфе 3 рассматривается случай решения, ограниченного на одном конце отрезка [-1, 1] и неограниченного на другом. В этом случае

<p(t) = p(t)x(t), p^p{t) =

Пункт 3.1 посвящен выбору пространств, в которых задача решения уравнения (1) будет корректно поставлена. Показано, что в качестве таких пространств могут быть выбраны следующие.

Пусть Хр - пространство непрерывных на [-1,1] функций x(t), для которых сингулярный интеграл 4l-tl{px\t) является непрерывной функцией на [-1, 1), допускающей непрерывное продолжение в точку / = 1. Здесь

p^p(t) =

В качестве Yq выбрано пространство непрерывных на [-1, 1] функций/?) таких, что Jl+tl(qf;t) является непрерывной функцией на (-1, 1], допускающей непрерывное продолжение в точку t = -1, q = q(t) = ——

/>(0

Нормы в этих пространствах определены следующим образом:

l^HI^HHI^'HL'*6^

В пункте 3.2 в пространстве Yg установлены оценки приближения функций отрезками рядов Фурье по полиномам, ортогональным с весом q{t) на [-1,1], и интерполяционными полиномами Лагранжа. Эти оценки позволили в пункте 3.3 доказать равномерную сходимость методов ортогональных многочленов и коллокаций.

Вторая глава (§§1-3) посвящена приближенному решению двумерного с.и.у. первого рода вида

3 П {J-°)(r-t)d<jdr + '> 'Ж*, r)dadr = y(s, 0, (2)

М<1,И<1,

где g(s, t, a, t), y(s, t) - известные непрерывные функции в своих областях определения, у/(а, т) - искомая функция, а сингулярный интеграл

'■^Л-П, У(<Г,Г) dadr понимается в смысле главного значения по Коши.

Как и в одномерном случае, задача решения уравнения (2) является некорректно поставленной в пространстве непрерывных функций. Однако и здесь возможно отыскание корректной постановки на паре пространств, являющихся сужением пространства непрерывных функций, что дает возможность применения аппроксимативных методов решения с последующим теоретическим обоснованием и получением равномерных оценок погрешности. В диссертационной работе рассмотрены три класса решений. Результаты для других классов решений могут быть получены аналогично.

В параграфе 1 рассмотрен класс решений, ограниченных на двух смежных сторонах квадрата [-1, I]2 и неограниченных на двух других его сторонах. Решение уравнения ищется в виде у (s, t) = p{s, t)x{s, t), где /) - новая

искомая функция, а р = p(s, /) = Л Д-^

V 1 —i

Пусть Х00 =^0 0[-1,1]2 - пространство непрерывных в квадрате [-1, I]2 функций x(s, 0, для которых с.и. %/l-.vVf^7/12 (px;s,t) является непрерывной функцией в области [-1,1)х[-1,1), допускающей непрерывное продолжение на стороны s = 1, t - 1.

^о.о " пространство непрерывных в квадрате [-1, I]2 функций

Xi, 0 таких, что с.и. VÏ+7VÏ+7/l 2 (qy;s,t) является непрерывной функцией в

области (-1,1]х(-1,1], допускающей непрерывное продолжение на стороны s = -l,/ = -l, q = q(s,t) = 1/p(s,t) .

Нормы в этих пространствах определяются следующим образом:

14., = IVÎ^VbTjll+II^Vr^^ (®,)||, у е У00;

здесь и далее |Ы| = |Ы| = max max |x(s, f)I.

Il II II IICWC -I<J<1 -isiïl I x

Теорема 1.1. Характеристическое уравнение

c Irr il + cr iî + r x{a,r) . ,

x = '"T J J \i -Г,-, v ' ¿ос1* = Ж, 0

Я^ _|.,Vl-cr Vl-Г (tr-j)(r-/) имеет единственное решение x' e X0 0 при любой правой части у е Y0 0, причем

S& = x(a,= Wj00> -1 <т< 1,

где

4е оо=Л}} (°)в> (т)^ '

к rtii V1+CT vl + r '

а /?;(г) и 0/т) - полипомы, ортогональные на отрезке [-1, 1] с весами соот-

/1+7 /Г7

ветственно .- и . -.

Ь-т Ь + т

В пространстве Г0о установлены оценки нормы двумерного оператора Фурье Ф® , ставящего в соответствие любой функции ц/ е ¿[-1;1]2 ее отрезок ряда Фурье

ф°>=Ф® (у/; (У/)Й ад (/).

4=0

Доказаны

Лемма \Л. Для любой функции у/ е С[-1,1]2 справедлива оценка

|И>|100 =0(1п«1пш)|И|,

Лемма 1.2. Если (//(/, ¿-) е №г''На„, то справедливо соотношение

Y-VZvl =0

1пи1п w| -J—+ - '

0<а,/?<1,г,/>0. Здесь через W,J HaJ = W° Haí¡[-1;1]2 обозначено

множество функций, имеющих непрерывную производную r-го порядка по первой переменной, удовлетворяющую по этой переменной условию Гельдера с показателем а, и имеющих непрерывную производную /-го порядка по второй переменной, удовлетворяющую по этой переменной условию Гельдера с показателем /3 (0 < а, р< 1, г,1>0).

Полученные оценки позволили теоретически обосновать метод ортогональных многочленов:

Теорема 1.4. Пусть выполнены условия:

а) с.и.у. (2) однозначно разрешимо в пространстве Х0 0 при любой правой части y(s, t) из Уо о;

б) функция y{s,t) е Wr,lHa р , ядро g(s,t,a,r) е Wr'1 Нар по переменным

s, tравномерно относительно ст, г.

Тогда, начиная с некоторых п, т eN таких, что

lnnlnwí—— ч—I —»0, п, т -*■ оо,

система линейных алгебраических уравнений метода ортогональных многочленов имеет единственное решение и для погрешности приближенного решения справедливо соотношение

1пи1п/и| —+ -^-1 I, 0<а,в<1, г,1> 0.

В §§2 и 3 исследованы соответственно класс решений, ограниченных на одной стороне квадрата [-1, I]2 и неограниченных на других его сторонах и класс решений, неограниченных на одной стороне квадрата [-1, I]2 и ограни-чешплх на трех других.

Заключение. В работе получены и выносятся на защиту следующие основные результаты:

1) Введены новые пары пространств искомых элементов и правых частей, являющиеся сужениями пространства непрерывных функций, в которых задача решения сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши на отрезке является корректно поставленной. В введенных пространствах установлены оценки норм сингулярного и обратного к нему операторов.

2) Разработаны элементы конструктивной теории функций в введенных пространствах. Получены оценки, характеризующие сходимость интерполяционного процесса, рядов Фурье по ортогональным многочленам и полиномов, получающихся с помощью операторов подобластей, учитывающие структурные свойства исходных данных.

3) Проведено теоретическое обоснование общего проекционного метода и известных полиномиальных методов решения сингулярного интегрального уравнения в предложенных пространствах и получены равномерные оценки погрешностей приближенных решений.

4) Установлена корректность постановки задачи решения двумерного с.и.у. с ядром Коши на [-1, I]2 на новой паре пространств искомых элементов и правых частей, являющихся сужениями пространства непрерывных на [-1,1]2 функций. В терминах рядов Фурье установлена структура двумерного обратного сингулярного оператора и теоретически обоснован метод ортогональных многочленов.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях автора:

1. Валиуллова Л.Э. О равномерной сходимости метода ортогональных многочленов решения сингулярного интегрального уравнения первого рода/ Л.Э. Валиуллова // Труда Матем. центра им. Н.И. Лобачевского / Казанское математическое общество. Актуальные проблемы математики и механики // Материалы международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики». - Казань: Изд-во Казанского математического общества, Изд-во КГУ, 2004. Т.25 — С. 59-61.

2. Валиуллова Л.Э. О равномерной аппроксимации решения сингулярного интегрального уравнения I рода проекционными методами/ Л.Э. Валиуллова, A.B. Ожегова // Материалы первой междунар. научно-

практической конф. "Научный потенциал мира - 2004". - Днепропетровск, 2004.-Т. 31.-С. 9-17.

3. Валиуллова Л.Э. Равномерная сходимость метода ортогональных многочленов решения сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши на отрезке/ Л.Э. Валиуллова, A.B. Ожегова // Матер1али М1жнар. науково-практ. конф. "Дш науки - 2005". - Дшпропетровськ, 2005. - Т. 18. - С. 13-16.

4. Валиуллова Л.Э. Равномерные приближения решений сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши на отрезке/ Л.Э. Валиуллова, A.B. Ожегова // Изв. вузов. Математика. - 2006. №9. - С. 17-22.

5. Хайруллина Л.Э. О равномерной сходимости приближенных решений двумерного сингулярного интегрального уравнения первого рода/ Л.Э. Хайруллина //Матер1али II Шжнар. науково-практ. конф. "Дш науки - 2006". -Дшпропетровськ, 2006. - Т.35. - С. 18-21.

6. Хайруллина Л.Э. Решение сингулярного интегрального уравнения методом осциллирующих функций/ Л.Э. Хайруллина. // Труда Матем. центра им. Н.И. Лобачевского / Казанское математическое общество. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы // Материалы Восьмой международной Казанской летней научной школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». - Казань: Изд-во Казанского математического общества, Изд-во КГУ, 2007. Т. 35. - С. 259- 260.

7. Хайруллина Л.Э. О корректной постановке задачи решения двумерного сингулярного интегрального уравнения первого рода / Л.Э. Хайруллина // Труда Матем. центра им. Н.И. Лобачевского / Казанское математическое общество. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы // Материалы Девятой международной Казанской летней научной школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». - Казань: Изд-во Казанского математического общества, Изд-во КГУ, 2009. Т.38 -С. 291-292.

Отпечатано в типографии «Деловая полиграфия» 420111, г. Казань, ул. М. Межлаука, 6 т/ф (843) 292-08-43 e-mail: minitipografia@list.ru

Подписано в печать 18.10.2011 г. Бумага офсетная Тираж 100 экз. Заказ № 163/2011

61 12-1/93

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ

"КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

л ^ 1 На правах рукописи

61

93

Хайруллина Лилия Эмитовна

РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА

С ЯДРОМ КОШИ

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель кандидат физико-математических наук, доцент

Ожегова Алла Вячеславовна

Казань-2011

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..............................................................................4

ГЛАВА I. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЯДРОМ КОШИ НА ОТРЕЗКЕ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ............... 23

§1 . Случай решения, неограниченного на обоих концах.....................24

1.1. Корректная постановка задачи на паре пространств , ДО = ^=,<7(0 = VI"17....................................................24

1.2. О приближениях полиномами в пространстве Уд..........................26

1.3. Общий проекционный метод...................................................34

1.4. Метод ортогональных многочленов..........................................36

1.5. Метод коллокации................................................................39

1.6. Метод подобластей..............................................................39

1.7. Метод механических квадратур...............................................42

1.8. Проекционно-итеративный метод............................................44

1.9. Об устойчивости и обусловленности приближенных методов..........45

§2. Случай решения, ограниченного на обоих концах.........................47

2.1. Корректная постановка задачи на паре пространств (

/?(0 = л/Г7?, 9(0 = -т=..............................................................47

VI — /

2.2. Конструктивные оценки в пространстве Уд.......................................49

2.3. Равномерные оценки погрешности прямых методов......................55

2.4. Аппроксимативно-итеративный метод.......................................62

2.5. О сходимости невязок приближенных методов............................63

§3. Случай решения, ограниченного на одном конце и неограниченного на другом....................................................................................63

3.1. Корректная постановка задачи на паре пространств ), р =

..............................................................................

3.2. О приближениях интерполяционными полиномами и отрезками рядов Фурье в пространстве Уа..............................................................65

3.3. Проекционные методы и их обоснование....................................72

ГЛАВА II. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА... 75

§1. Класс решений, ограниченных на двух смежных сторонах квадрата [-1; 1 ] и неограниченных на двух других его сторонах........................75

1.1. О корректности задачи............................................................75

1.2. Элементы теории приближения рядами Фурье по ортогональным полиномам..................................................................................79

1.3. Метод ортогональных многочленов...........................................80

§2. Класс решений, ограниченных на одной стороне квадрата [-1; I]2 и неограниченных на трех других.......................................................83

2.1. Об обратимости сингулярного оператора....................................83

2.2. Метод моментов и его обоснование...........................................86

§3. Класс решений, ограниченных на трех смежных сторонах квадрата [-1; 1] и неограниченных на другой его стороне................................90

3.1. Корректная постановка задачи..................................................90

3.2. Метод ортогональных многочленов и его сходимость.....................93

ЛИТЕРАТУРА..........................................................................95

1+1 ь-г

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена теоретическому обоснованию в пространстве непрерывных функций приближенных методов решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с ядром Коши

i i

к<р = - [ +1 Г h{tj т){р{т)Лт = m щ < (0.1)

7Г J Т — t 7Т J

-1 -1

-1 -1

1 1

J j 9(s, i, <T, т)ф{<т, r)dadr = y{s, t), |s| < 1, |t| < 1, (0.2)

-i -l

где h(t, t), g(s, t, <r, r), f(t),y(s} t) - известные непрерывные функции в своих областях определения, ф(о,т) - искомые функции, а сингулярные интегралы (с.и.)

-i -i

понимаются в смысле главного значения по Коши.

Сингулярные интегральные уравнения (кратко: с.и.у.) вида (0.1), (0.2) находят широкое применение в задачах теории упругости, аэродинамики, электродинамики, теории автоматического управления, квантовой механики и других областях математической физики и техники (см. [4, 6, 23, 26-28, 32, 33, 41, 45, 52 - 55, 58] и библиографию в них).

Теория таких уравнений достаточно хорошо разработана. Она изложена в известных монографиях Н.И. Мусхелишвили [48], Ф.Д. Гахова [18], Гох-берга И.Ц. и Крупника И.Я. [19], Пресдорфа 3. [57]. Из этой теории следует, что найти точное решение с.и.у. (0.1) и (0.2) в замкнутой форме удается

лишь в отдельных случаях, причем для получения числового результата приходится вычислять регулярные и сингулярные интегралы со сложными плотностями. Поэтому для теории и, в особенности, для приложений большое значение имеют разработка приближенных методов их решения с последующим теоретическим обоснованием.

К настоящему моменту получено значительное число результатов в области приближенного решения с.и.у. (0.1) и (0.2). Об итогах исследований, полученных в этой области отечественными математиками и механиками, а также рядом зарубежных авторов достаточно полную информацию можно найти, например, в монографиях [3, 5, 14, 15, 21, 30, 41, 83], в обзорных работах [12, 29, 64], частично в диссертациях [24, 25, 56, 62]. Однако и сегодня интерес к исследованиям в области приближенных методов решения указанных уравнений не ослабевает. При этом в области аппроксимативных методов решения с.и.у. остается еще много нерешенных задач. Некоторым из них и посвящена данная диссертация.

Отметим, что основная трудность при решении сингулярных интегральных уравнений первого рода (0.1) и (0.2) связана с некорректностью задачи их решения на многих парах функциональных пространств, в том числе и на паре пространств непрерывных функций, что вызвано, прежде всего, неограниченностью как исходного, так и обратного сингулярных операторов в этих пространствах [2]. Это вызывает определенные сложности при численном решении уравнений и, особенно, при теоретическом обосновании аппроксимативных методов.

Существует несколько подходов к решению указанной проблемы. Первый из них был разработан Тихоновым А.Н., Лаврентьевым М.М., Ивановым В.К. и развит в работах ряда других авторов [7, 31, 38, 39, 47, 61, 63]. Он основан на некорректной постановке задачи и решении ее соответствующими методами решения некорректно поставленных задач. Особенно широко используется метод регуляризации, применение которого сводится к минимизации некоторого функционала.

В 50-х годах прошлого столетия удалось построить удобный в реализации на ЭВМ метод получения устойчивого численного решения, отличный

от употребляемых форм метода регуляризации - метод дискретных вихрей [1]. Его идея возникла в работах Белоцерковского С.М. по аэродинамике [4]. Метод дискретных вихрей является одним из вариантов метода механических квадратур - к сингулярному интегралу применяются специальные квадратурные формулы типа прямоугольников. Математическое обоснование данного метода было получено Лифановым И.К. и Полонским Я.Е. [42]. Доказано [3], что метод дискретных вихрей является методом регуляризации численного решения некорректного в равномерной метрике с.и.у. первого рода, причем регуляризация получается за счет выбора и взаимного расположения двух множеств точек, в точках одного из которых будут искомые решения, а в точках другого - правые части. Приближенному решению с.и.у. первого рода методом дискретных вихрей посвящены также работы [21, 40, 43, 45, 46].

Другой, на наш взгляд, конструктивный подход основан на установлении корректной постановки задачи решения исходного уравнения с последующим применением аппроксимативных методов решения. То есть ставится задача отыскания по заданному пространству искомых элементов X такого пространства правых частей У (или наоборот), чтобы сингулярный оператор был нормально разрешим из X в У. В данной диссертационной работе применяется эта методика исследования и за основу берутся пространства непрерывных функций. В дальнейшем это позволяет достичь цели данной работы, а именно, получение равномерных оценок погрешностей различных аппроксимативных методов.

Указанный подход для решения с.и.у впервые начали использовать во второй половине прошлого столетия. Ивановым В.В. [30] были введены специальные пространства ^(7) (пространства Иванова), являющиеся сужениями пространства 27г-периодических непрерывных функций, в которых сингулярный оператор с ядром Коши на единичной окружности и обратный к нему являлись ограниченными. Позднее Габдулхаев Б.Г. и Хазири-ши Э.О. в статье [17] предложили шкалу банаховых пространств И-р(Г). 1 < р < оо, которые в дальнейшем использовались для теоретического обоснования приближенных методов решения сингулярных интегральных уравнений на простых замкнутых контурах.

Что касается непосредственно рассматриваемых уравнений (0.1) и (0.2), то к настоящему времени корректность задачи их решения установлена на парах пространств гельдеровых функций и в весовых пространствах Лебега (см., напр., [10, 14, 16, 22, 24, 25, 75]), и обоснование приближенных методов решения указанных уравнений ведется в этих пространствах. Так, в работе Джишкариани A.B. [22] применяется вариант метода Бубнова-Галеркина. Доказывается существование единственного решения и сходимость приближенного решения к точному в пространствах квадратично-суммируемых с весом функций. В работе Габдулхаева Б.Г. и Душкова П.Н. [16] уравнение (0.1) решается приближенно методами интерполяционного типа, обоснование которых ведется также в весовых пространствах 1/2. В диссертации Ермолаевой Л.Б. [25] с помощью статьи [9] дано обоснование метода подобластей с алгебраическими координатными функциями для уравнения (0.1) и установлена сходимость в среднем для одного класса решений. Наиболее полно все методы для различных классов решений рассмотрены в монографии Габдулхаева Б.Г. [14]. Доказана сходимость, устойчивость известных прямых и проекционных методов и получены среднеквадратические оценки погрешностей приближенных решений. Для метода механических квадратур при условии, что правая часть и регулярное ядро из класса Гельдера, были получены равномерные оценки. При этом алгоритм доказательства оказался весьма трудоемким. В статье Ожеговой A.B. [51] в зависимости от индекса уравнения (0.1) введены пары весовых пространств, являющиеся сужением пространства суммируемых функций. Доказана корректность рассматриваемого уравнения (0.1) на этой паре пространств. Установлены достаточные условия сходимости проекционного метода в интегральной метрике.

Что касается многомерных с.и.у. вида (0.2), то можно отметить, что численные методы для таких уравнений в настоящее время достаточно хорошо разработаны, однако их теоретическое обоснование, так же, как и для одномерного случая, ведется в основном в пространствах Гельдера, либо в пространстве квадратично-суммируемых функций [11, 40, 41, 66-69].

В работах [40, 66] решается двумерное сингулярное интегральное урав-

нение с ядрами Коши

II

/(5, a), seD и a£D2, (0.3)

(Z - s)(ri - (Г)

D

где D — D1 х D25 D\,D2 - отрезки, системы непересекающихся отрезков или окружности. В [41] с.и.у. с кратными интегралами с ядрами Коши вида (0.3) решается аналитически и приближенно методом дискретных вихрей. В работе Шешко М.А., Мастяницы B.C., Расолько Г.А. [72] на основании формул обращения оператора, задаваемого левой частью уравнения (0.3), предлагается метод приближенного решения с.и.у. вида (0.2), в котором регулярное ядро и правая часть по каждой из переменных удовлетворяют условию Гельдера. Метод заключается в построении системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) путем замены и обращения с.и. Отмечается равносильность такой процедуры приближенному решению регуля-ризованного уравнения по методу механических кубатур.

В диссертации Хайруллиной A.M. [62] для двумерных с.и.у. с ядрами Коши предложены вычислительные схемы проекционных методов и их теоретическое обоснование в весовых пространствах среднеквадратических функций.

Интересной, на наш взгляд, является работа Габдулхаева Б.Г. и Вале-евой Р.Т. [8], в которой для исследования двумерного с.и.у (0.2) впервые используется теория двойных рядов Фурье по многочленам Чебышева I и II родов. В этой работе для одного класса решений предлагается явное представление решения этого уравнения в терминах двумерных рядов Фурье, вычисляется норма сингулярного оператора и обратного к нему в пространстве квадратично-суммируемых функций.

Численным методам решения интегральных уравнений первого рода с ядром Коши посвящены также работы [34, 44, 59, 65] и исследования ряда зарубежных авторов (см., напр., [70 - 74, 76 - 85]).

Несмотря на такое множество работ, вопрос исследования сходимости приближенных решений с.и.у. (0.1) и (0.2) непосредственно в равномерной метрике до сих пор по существу оставался открытым. Данная диссертация в некоторой степени восполняет этот пробел.

В данной работе для различных классов решений уравнений (0.1) и (0.2) автором предложены новые пары пространств искомых элементов и правых частей, являющихся сужениями пространства непрерывных функций, в которых доказана корректность задачи решения рассматриваемых сингулярных уравнений и установлены оценки норм сингулярных и обратных к ним операторов. Следует отметить, что одно из пространств в этих парах было предложено в диссертации научного руководителя Ожеговой A.B. [50], но для исследования интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью в ядре. Во введенных пространствах автором разработаны элементы конструктивной теории функций. Это позволило теоретически обосновать различные аппроксимативные методы решения и установить равномерные оценки погрешности приближенных решений.

Под теоретическим обоснованием приближенных методов, следуя Л.В. Канторовичу [35], будем понимать следующий круг вопросов:

а) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующего уравнения;

б) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и определение скорости сходимости;

в) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных;

г) исследование устойчивости и обусловленности аппроксимативных методов.

При выводе и обосновании результатов диссертации используются известные результаты из конструктивной теории функций [20, 49, 60], общей теории приближенных методов [9, 13, 30, 35, 36, 37], функционального анализа [35] и теории сингулярных интегральных уравнений [18, 19, 48, 57]. При теоретическом обосновании приближенных методов автор следует методике исследования аппроксимативных методов решения с.и.у первого рода с ядром Коши, предложенной Габдулхаевым Б.Г. в монографии [14]. На выбор пространств оказали влияние работа Иванова В.В. [29], статья Габдулхаева Б.Г., Хазириши Э.О. [17], диссертация Ожеговой A.B. [50].

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней резуль-

таты могут быть применены в теории функций и интегральных уравнений, а также при решении конкретных прикладных задач физики, механики и математической физики, сводящихся к указанным уравнениям. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка использованной литературы.

Во введении обосновывается тема исследований, дается обзор используемой литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание полученных автором результатов.

Первая глава (§§1-3) посвящена приближенным методам решения с.и.у. первого рода с ядром Коши на отрезке вещественной оси вида (0.1) в различных классах решений.

В параграфе 1 рассмотрен класс решений, неограниченных на обоих концах отрезка [—1,1]. Параграф состоит из нескольких пунктов.

В пункте 1.1 вводятся линейные нормированные весовые пространства Хр[-1,1]иУд[-1,1], р = р(г) = ^, д = = ^.

Хр = Хр[— 1,1] - пространство непрерывных на [-1,1] функций х(£), удовлетворяющих условию

1

J р(г)ж(*)<й = О,

-1

для которых с.и. -щ1(рх; £) является непрерывной функцией на (-1, 1), допускающей непрерывное продолжение на концы отрезка интегрирования.

Уд = Уд[—1,1] - пространство непрерывных на [-1,1] функций f(t) таких, что с.и. I{qf\ £) является непрерывной функцией.

В этих пространствах введены следующие нормы

1Х11х0 |М1с +

-1(рх) Р

, х £ Хр.;

11Ли = 1к/11с + 11ад)11с /еУв,

где

\х\\с — тах |а;(£)|. -1<г<1

Установлена непрерывная обратимость сингулярного оператора

Я : X, -> У„

Зх=1 }рШт)Лт

7Г У т £

-1

и справедливость равенств

= Ц^Цу^хр =

Пространства Хр и Уд являются полными.

Установлены достаточные условия корректности задачи решения уравнения (0.1).

В пункте 1.2 получены оценки норм известных полиномиальных операторов и установлены их аппроксимативные свойства в пространстве Уд.

Пусть Ф^ - оператор Фурье, ставящий в соответствие любой функции ср Е Ь[— 1,1] ее отрезок ряда Фурье

п

по полиномам Чебышева II рода Uk(t) = sin(fc+x Vccosf; ^ = 0,1,..., где

к=0

sin(i

VT^W

ск(^Р) ~ я f Vl — т2(р(т)1/к(т)(1т - коэффициенты Фурье-Чебышева. -1

Доказана

Лемм