Равномерные приближения решений слабо сингулярных интегральных уравнений первого ряда тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

0 д На правах рукописи

УДК 517.51:517.96:519.6

ОЖЕГОВА Алла Вячеславовна

РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ СЛАБО СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ — 1996

Работа выполнена на кафедре теории функций и приближений Казанского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Габдулхаев Б.Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Лифанов И.К.,

кандидат физико-математических наук, доцент Омегов Л.А.

Ведущая организация: Одесский государственный уни-

верситет

Защита состоится "27

»

июня. 1996 г. в 14 часов

на заседании диссертационного совета по математике К 053.29.05 в Казанском государственном университете имени В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г.Казань, ул.Ленина, 18, корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета (г. Казань, ул. Ленина, 18)

Автореферат разослан »¿б'» 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доцент

Шурыгин В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Реферируемая работа посвящена систематическому исследованию и теоретическому обоснованию в пространстве непрерывных функций аппроксимативных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода с разностными логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора. .

Указанные уравнения возникают в ряде задач электрофизики, теории упругости, аэрогидромеханики и других разделов механики, физики и математической физики. Из теории таких уравнений, которая в настоящее время достаточно хорошо разработана, следует, что обсуждаемые уравнения точно решаются лишь в редких частных случаях, да и к тому же задача их решения относится к классу некорректно поставленных задач. Поэтому как для теории, так и для приложений важное значение приобретают аппроксимативные методы с соответствующим теоретическим обоснованием, причем наибольший интерес представляет равномерная сходимость приближенных решений к точному. Из нескольких подходов к решению указанной задачи наиболее конструктивным является подход, основанный на отыскании корректной постановки задачи с последующим применением аппроксимативных методов решения. Тем самым отпадает необходимость трудоемкого процесса регуляризации исходной задачи. Первые шаги в этом направлении были сделаны еще в 60-е годы А.Н. Тихоновым, В.И. Лмитриевым, Е.В-. Захаровым и В.А. Цецохо. Такой метод получил название "метода саморегуляризации".

Впоследствии численному решению слабо сингулярных интегральных уравнений было посвящено значительное число работ советских математиков и механиков, а также ряда зарубежных авторов. Некоторые итоги полученных результатов подведены в специальной монографии Б.Г. Габдулхаева Кроме того, наряду со многими другими вопросами, результаты в этой области частично отражены в монографиях И.И. Воровича, В.М. Александрова, В.А. Вабешко

^ Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. - Казань: Изд - во Казанск. ун -та, 1994. - 288 с.

(1974 г.), Т.Н. Галишниковой, A.C. Ильинского (1987 г.), В.И. Дмитриева, Е.В. Захарова (1987 г.), Е.В. Захарова, Ю.В. Пименова (1982 г.), Колтона и Кресса (1987 г.), В.В. Панасюка, М.П. Савру-ка, З.Т. Назарчука (1984 г.), З.Т. Назарчука (1989 г.), Г.Я. Попова (1982 г.), а также в диссертациях В.В. Воронина (1978 г.), В.А. Иецо-хо (1987 г.), Мохамеда Н.М. (1988 г.), А.И. Гребенникова (1989 г.), Р.Т. Валеевой (1995 г.), Л.А. Сурай (1994 г.).

Однако, несмотря на огромное количество результатов в области аппроксимативных методов решения указанных уравнений, остается еще большое число нерешенных задач. Некоторым из них и посвящена данная диссертация.

Цель работы - теоретическое обоснование в пространстве непрерывных функций аппроксимативных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода с разностными логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора и получение равномерных оценок погрешностей приближенных решений.

Под теоретическим обоснованием,следуя Л.В.Канторовичу, в диссертации понимается следующий круг вопросов :

а) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующего уравнения;

б) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и йпределение скорости сходимости;

в) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных;

г) исследование устойчивости и обусловленности аппроксимативных методов.

Методика исследований. При выводе и обосновании результатов диссертации используются известные результаты из теории функций и приближений, общей теории приближенных методов, функционального анализа и теории интегральных уравнений. При теоретическом обосновании приближенных методов автор следует методике исследования аппроксимативных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода, предложенной Габдулхаевым Б.Г. в упомянутой выше монографии.

Научная новизна.

а) Предложены новые пары прострайств искомых элементов X и правых частей У, в которых задачи решения ряда классов слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода с разностными логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора являются корректно поставленными. Установлены оценки норм операторов, обратных к слабо сингулярным операторам.

б) Получены оценки, характеризующие сходимость интерполяционного процесса и рядов Фурье в специально введенных пространствах. Результаты сформулированы в терминах теории приближения функций, что позволяет учитывать свойства гладкости исходных данных.

в) Проведено теоретическое обоснование известных полиномиальных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода в предложенных автором пространствах. Получены равномерные оценки погрешностей приближенных решений.

г) Установлена структура обратного оператора для характеристического двумерного слабо сингулярного оператора первого рода.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории функций и приближений и интегральных уравнениях, в частности, при дальнейшем развитии аппроксимативных методов ре-тения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода. Они могут быть применены также при решении конкретных прикладных задач, сводящихся к рассматриваемым уравнениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Итоговых научных конференциях Казанского государственого университета (1985—1995гг.), на Международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия" ( Казань, 1992 г.), на Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева (Казань,1994 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце автореферата. .

Структура и объем работы. Диссертация объемом в 92 страницы состоит из введения, двух глав и списка литературы из 95 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается тема исследований, дается обзор литературы по теме диссертации и излагается краткое содержание полученных автором результатов.

В первой главе рассматривается слабо сингулярное интегральное уравнение первого рода с логарифмическим ядром вида

2т 2тг

Ах = — j In | sin | x(a)da + — j h(s, a)x(a)da = y(s), o o

0 < s < 2тг, (0.1)

где h(s,a),y(s) - известные непрерывные 27Г-периодические функции, x(s) - искомая функция, слабо сингулярный интеграл понимаются как несобственный.

Параграф 1 носит вспомогательный характер. В нем приведены основные необходимые для дальнейшего исследования известные результаты из конструктивной теории функций и общей теории приближенных методов.

В §2 вводятся линейные нормированные пространства F[0,2ir] и У1 [0,2л-] .

V = V[0,2тг] - пространство непрерывных 2ж-периодических функций, для которых сингулярный интеграл с ядром Гильберта

2т

Jx= J(x]s) = — J х(а) ctg —da, о

понимаемый в смысле главного значения по Коши, является также непрерывной функцией.

V1 — У1 [0, 2ж] - линейное пространство непрерывных 2тг— периодических функций, имеющих первые производные из пространства У[0,2тг].

Нормы в этих пространствах предлагается определить следующим образом:

IIVIIV = НИ1в+

Муг =Мв +11^11у:'

где С - пространство непрерывных 2т-периодических функций с обычной нормой.

В теореме 2.1 доказана полнота пространств У[0,2тг] и V1 [0,27г]. В теореме 2.2 установлено, что слабо сингулярный оператор

2*

5х = ^ 11п 18Щ х{а)ёа, Б : У - V1, о

непрерывно обратим и

^'Чуг^у < 3.

В теореме 2.3 установлены достаточные условия корректности задачи решения полного слабо сингулярного интегрального уравнения (0.1).

В §3 проводится теоретическое обоснование приближенных методов решения слабо с.и.у. (0.1) в введенных пространствах V и V1. Параграф поделен на ряд пунктов. Всюду в этом параграфе предполагается, что уравнение (0.1) однозначно разрешимо в пространстве У[0,27г] при любой правой части у € Уг[0,2х]. Тогда в силу теоремы 2.3 оператор А : V —> У1 имеет ограниченный обратный. Этот факт существенным образом используется при применении общей теории приближенных методов к уравнению (0.1). Пункт 3.1 посвящен методу Галерк'ша.

Обозначим через \¥гНа = \УгНа[0,2я"] - пространство 2ж-периодических функций, имеющих непрерывные производные до г-го порядка, удовлетворяющие условию Гельдера с показателем а. Доказана

Теорема 3.1. Пусть функции h(s,(T) G по переменной S

равномерно относительно а и y(s) G WT+1Ha,0 < а < 1, г > 0. Тогда при всех п > По система линейных алгебраических уравнений метода Галеркина однозначно разрешима и приближенные решения X* (s) сходятся к точному решению равномерно со скоростью

Пусть Ф„ - оператор Фурье

п

= Фп (v;e) = Е

k=-n

где Ck(<p) - коэффициенты Фурье функции (f G С в комплексной форме. Доказана следующая

Лемма 3.1. Для любой функции <£>($) G У[0,27г] справедливы оценки

]|ФпУПу=0(4 + ЗЬп)Ме>

*

\\V - Ф„И1 V < (б + (з + I) Inn) ЕМ + 1 / ^-J^da.

. о

Следствие. Если <р G WTHa, 0 < Q < 1,г > 0, то »(££).

Здесь w((f](r) - обычный модуль непрерывности функции <р G С с шагом сг > 0; Еп((р) - наилучшее равномерное приближение функции y?(s) тригонометрическими полиномами порядка не выше П; Tn(s) -многочлен наилучшего равномерного приближения функции y(s) степени не выше п.

Отметим также, что при доказательстве теоремы 3.1 установлены аналогичные оценки в пространстве

Пусть 1£ ~ оператор Лагранжа, определяемый по формуле

2п

ь1ч> = ¿«(у;*) = ^Г+Т^ ~ **)> ^ 6

где

2 ктг , -_

Зк = п_ , , , К = -П,П,

2п + 1

а А»(<р) - ядро Дирихле порядка п. В пункте 3.2 доказана следующая

Лемма 3.2. Для любой функции ц> £ У[0,2тг] справедливы соотношения

\\ip- Ь1<р\\у =0 {«(у;±)]пп + /^й] ;

а для ц> 6 V1 [0, 27г]

НУ -^11=0 '

п' J I

Следствие. Если <р 6 1УТ+1На, то

Эти результаты, имеющие и самостоятельный интерес, позволили обосновать метод коллокации (теорема 3.2).

В пункте 3.3 доказана сходимость двух вариантов вычислительных схем метода механических квадратур и установлена скорость сходимости.

Теорема 3.3. Пусть ядро Л(в,<т) Е ]№Т+*На по каждой из переменных равномерно относительно другой и правая часть у (в) £ 1УТ+1На,0 < а < 1, г > 0. Тогда при всех п > по система линейных алгебраических уравнений метода механических квадратур однозначно разрешима и приближенные решения сходятся к точному решению Х*(з) равномерно со скоростью

И*'-<11

Заметим, что в теоремах 3.1 - 3.3 регулярное ядро и правая часть берутся из класса Гельдера. Однако аналогичные результаты могут быть получены и для других известных классов функций, ибо оценки в леммах 3.1 и 3.2, сформулированные в терминах теории приближения функций, а также прямые теоремы конструктивной теории функций позволяют это сделать без труда.

В пункте 3.4 теоретически обоснован метод вырожденных ядер (теорема 3.4).

В пунктах 3.5 и 3.6 рассмотрены проекционно - итеративный и квадратурно - итерационный методы. Доказаны теоремы об их сходимости, установлены оценки погрешности.

В пункте 3,7 исследован вопрос об итерационном уточнении грубо найденного приближенного решения каким-либо аппроксимативным методом.

В §4 доказана устойчивость и обусловленность (теорема 4.1) рассмотренных в третьем параграфе приближенных методов.

Глава 2 посвящена слабо сингулярным интегральным уравнениям первого рода с логарифмической особенностью в ядре в непериодическом случае.

В параграфах 1-4 рассматривается интегральное уравнение первого рода с логарифмической особенностью в ядре вида

Вг,-1/ы г-Ц ^г + / V = /((),

-1 -1

-1<*<1, (0.2)

где g(t,T"), f(t) - известные непрерывные функции в своих областях определения , <p(t) - искомая функция, слабо сингулярный интеграл понимается как несобственный.

Параграф 1 посвящен выбору пространств, в которых задача решения слабо с.и.у. (0.2) будет корректно поставленной.

Пусть

+1

-1

- сингулярный интеграл с ядром Копта, понимаемый в смысле главного значения по Коши.

В качестве пространства искомых элементов взято линейное пространство Vp = 1,1] непрерывных функций (p(t), для которых сингулярный интеграл р~11{рф) является также непрерывной функцией, где p{t) = (1 - t2)~ 5.

В качестве пространства правых частей предложено линейное пространство V* [-1,1] непрерывно дифференцируемых функций tp(t), для которых сингулярный хштсграл l(q<p') является также непрерывной функцией, где q(t) = 1 / p(t) = (1- i2)1- Нормы в этих пространствах определены следующим образом

IMIv,=IMIc+ll -р1Ы\\с,

Муг=Мс+Ш\с+\\1М)\\с-

В теореме 1.1 доказано, что пространства Vfi и V* являются банаховыми пространствами.

Теорема 1.2 утверждает, что слабо сингулярный оператор

+1

н<р = ИМ = -\j Ь|Г - tLrfr, Я : V, - X,

непрерывно обратим и

U^llvi^v, * L

vq VP

И

В теореме 1.3 установлены достаточные условия корректности задачи решения полного слабо сингулярного интегрального уравнения (0.2).

Во втором параграфе получены необходимые для дальнейшего исследования конструктивные оценки, характеризующие сходимость интерполяционного процесса и рядов Фурье по полиномам Чебышева первого и второго родов в предложенных пространствах (леммы 2.1 и 2.2). Результаты сформулированы в терминах наилучших равномерных приближений, что позволяет учитывать свойства гладкости функций.

Параграф 3 посвящен теоретическому обоснованию приближенных методов решения слабо сингулярного интегрального уравнения (0.2) в пространствах, введенных в §1. Параграф разбит на пункты.

В пункте 3.1 доказана сходимость (теорема 3.1) метода ортогональных многочленов и установлена скорость его сходимости.

В пункте 3.2 доказана сходимость метода коллокации (теорема 3.2).

В пункте 3.3 обоснованы две вычислительные схемы метода механических квадратур (теорема 3.3).

Заметим, что во всех этих теоремах регулярное ядро и правая 'часть берутся из класса Гельдера. Однако аналогичные результаты могут быть сформулированы и для других известных классов функций, ибо оценки, полученные во втором параграфе и прямые теоремы конструктивной теории позволяют это сделать без труда.

В пункте 3.4 исследован аппроксимативно - итерационный метод. Доказана теорема 3.4 о его сходимости.

Значительным в теоремах 3.1 - 3.4 является то, что в них получены равномерные оценки погрешностей.

В параграфе 4 доказывается устойчивость и обусловленность рассмотренных в предыдущем параграфе методов.

В §5 исследуется разрешимость двумерного интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью в ядре вида

-1 -1

-1 -1

-1 < < 1» (0.3)

где Тг, <1), Ь(т1, ¿1) - известные непрерывные функции в своих

областях определения , и(т, ¿) - искомая функция, слабо сингулярный интеграл понимается как несобственный.

Вводится пара пространств искомых элементов X = Ур ([— 1,1]2) и правых частей У = V* ([-1,1]2), где = =

(1 — ¿2)~з(1 — з2)"5, в которых задача решения рассматриваемого уравнения будет корректно поставлена. Установлена формула обращения двумерного слабо сингулярного оператора. Получена оценка нормы обратного слабо сингулярного оператора в введенных пространствах.■

§6 посвящен теоретическому обоснованию полиномиальных методов решения уравнения (0.3). Здесь доказана однозначная разрешимость систем линейных алгебраических уравнений методов ортогональных многочленов и коллокации, сходимость приближенных решений к точному и установлены равномерные оценки погрешностей.

Сформулируем основные результаты диссертации, выносящиеся на защиту:

а) Введены новые пары пространств искомых элементов X и правых частей У, в которых задачи решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода с разностными логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора являются корректно поставленными. Установлены оценки норм операторов, обратных к слабо сингулярным операторам. Рассмотрены как периодический, так и непериодический случаи.

б) Получены оценки, характеризующие сходимость интерполяционного процесса и рядов Фурье в специально введенных пространствах. Результаты сформулированы в терминах теории приближения функций, что позволяет учитывать свойства гладкости исходных данных.

в) Проведено теоретическое обоснование известных полиномиальных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода в предложенных автором пространствах. Установлены сходимость и устойчивость методов Галеркина, ортогональных многочленов, коллокации, механических квадратур. Получены равномерные оценки погрешностей приближенных решений.

г) Установлена структура обратного оператора для характеристического двумерного слабо сингулярного оператора первого рода.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Габдулхаеву Б.Г. за постановки задач и постоянное внимание к работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ожегова А.В- О приближенном решении интегрального уравнения

первого рода с логарифмической особенностью // Исследования по краевым задачам и их приложения: Межвуз.сб. науч. тр. Чебоксары: Изд-во Чуваш.ун-та, 1992,- С.114-121.

2. Ожегова A.B. Приближенное решение двумерного интегрально-

го уравнения первого рода с логарифмической особенностью // Лобачевский и соврем, геом.: Междунар. науч. конф., Казань, 18-22 авг.,1992: Тез. докл.Ч.2.-Казань, 1992.-С.93.

3. Ожегова A.B. О приближенном решении интегрального уравнения

1 рода с логарифмической особенностью// Алгебра и анализ: Междунар. науч. конф., посвященная 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева, Казань, 5-11 июня, 1994: Тез.докл. 4.2.-Казань, Изд-во Казан, ун-та, 1994-С.97.

4. Ожегова A.B. Приближенные методы решения интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью. Казан. ун-т. -Казань, 1994.-13с.-Деп. в ВИНИТИ 08.07.94, № 1730-В94.

5. Ожегова A.B. О равномерных приближениях решения интеграль-

ного уравнения первого рода. Казан. ун-т.-Казань, 1996.-15с.-Деп. в ВИНИТИ 19.04.96, № 1287-В96.

Сдано в набор 20.05.96 г. Подписано в печать 20.05.96 г. Форм.бум. 60 х 84 1/16. Печ.л. 1. Тираж 100. Заказ 131.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420008 Казань, Ленина, 4/5