Критерии равномерной обратимости семейств регулярных аппроксимаций интегральных операторов сингулярного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ЧУМАК ИРИНА ВАЛЕНТИНОВНА

КРИТЕРИИ РАВНОМЕРНОЙ ОБРАТИМОСТИ СЕМЕЙСТВ РЕГУЛЯРНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ СИНГУЛЯРНОГО

ТИПА

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2004

Работа выполнена на кафедре алгебры и дискретной математики Ростовского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Пилиди B.C.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Самко С.Г. кандидат физико-математических наук, доцент Виноградова Г.Ю.

Ведущая организация: Кубанский государственный

университет.

Защита состоится 2004 г. в 16.30 на

заседании диссертационного совета К 212.208.06 при Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « /Л »

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доцент

В.Д. Кряквин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению вопроса о применимости к операторам типа сингулярных приближенных методов по некоторым классам сильно аппроксимирующих их операторов. В частности, рассматриваются семейства, возникающие при замене оператора сингулярного интегрирования семействами интегральных операторов с ограниченными ядрами.

Теория одномерных и многомерных сингулярных интегральных уравнений изложена в известных монографиях Б.В. Хведелидзе, Н.И. Мусхелишвили, Ф.Д. Гахова,. С.Г. Михлина, В. В. Иванова, И.Ц. Гохберга и И.А. Фельдмана.

Практически одновременно с появлением первых работ по сингулярным интегральным уравнениям возник вопрос о методах их приближенного решения. Он приобрел еще большую актуальность, когда выяснилось, что значительная часть интегральных уравнений, встречающихся в приложениях, не может быть решена в замкнутой форме. Основная идея заключалась в предварительной "аппроксимации" уравнения и последующем точном решении "аппроксимирующего" уравнения. Последнее конструировалось таким образом," что его решение сводилось к рассмотрению конечной системы уравнений. Среди многообразия изучавшихся приближенных процессов особенно удобными оказались те из них, которые приводили к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений. При этом вначале, большое внимание уделялось изучению полиномиальных аппроксимационных методов, а при доказательстве их устойчивости широко использовались различные факторизации рассматриваемых операторов. Таким способом была доказана устойчивость ряда полиномиальных приближенных методов для сингулярных интегральных уравнений с достаточно гладкими коэффициентами.

Основные достижения данного периода отражены в монографиях и обзорных статьях В.В. Иванова, И.Ц. Гохберга и И.А. Фельдмана, 3. Пресдорфа и Б. 3 ^ -пап )ЛО_

таревского. В то же время, становится ясно, что методы доказательства устойчивости, основанные на аналитической факторизации, не позволяют достигнуть существенного прогресса для уравнений с разрывными коэффициентами.

Одним из наиболее эффективных методов построения теории сходимости приближенных методов является локальный принцип. Этот принцип был разработан И.Б. Симоненко для решения вопроса о фредгольмовости операторов типа сингулярных. Для этого метода рядом авторов были построены обобщения и модификации, позволившие с одной стороны, усилить получаемые с его помощью результаты, а с другой - расширить область его применения. В частности, А.В. Козаком была предложена схема анализа сходимости проекционных методов с помощью локального принципа. Эта схема сводила решение задачи к вопросу об обратимости элемента некоторой банаховой алгебры. Дальнейшие модификации такого подхода имеются в работах Б. Зильберманна, B.C. Пи-лиди.

При решении поставленной задачи в диссертации исследуются различные варианты аппроксимаций операторов типа сингулярных. Для всех рассматриваемых случаев получены необходимые и достаточные условия применимости приближенного метода. Сходимость приближенных методов равносильна условию равномерной обратимости аппроксимирующих семейств, и именно в её терминах сформулированы основные теоремы. При исследовании вопрос о равномерной обратимости сводится к анализу обратимости элемента некоторой банаховой алгебры. Для решения последней задачи применяется модифицированный подходящим образом локальный принцип.

Все полученные в диссертации, результаты носят теоретический характер.

Цель работы. Получение критериев применимости к операторам сингулярного типа приближенных методов по некоторым семействам операторов.

Методика исследования. Исследование проводится методами функционального анализа. Используется теория банаховых алгебр, теория мультипликаторов, локальный принцип Гохберга-Крупника.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты:

- для аппроксимирующих операторов, являющихся операторами свертки, порождаемых мультипликаторами достаточно общего вида, действующих на вещественной оси в случае непрерывных коэффициентов получен критерий равномерной обратимости;

- для некоторых классов сильных аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов на оси с кусочно-непрерывными коэффициентами получены критерии равномерной обратимости;

— для регулярных аппроксимаций достаточно общего вида бисингулярного интегрального оператора на замкнутом контуре разработана конструкция анализа и получен критерий равномерной обратимости;

— для регулярных аппроксимаций бисингулярных интегральных операторов на плоскости с кусочно-непрерывными коэффициентами разработана алгебраическая конструкция, построена схема локального анализа и получен критерий равномерной обратимости.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и может быть отнесена к фундаментальным исследованиям.

Достоверность исследования. Поставленные в диссертации задачи имеют ясный математический смысл, все полученные результаты строго обоснованы.

Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались на семинарах кафедры алгебры и дискретной математики (руководитель - профессор Симоненко И.Б.), а

также на следующих научных конференциях:

- научная конференция. аспирантов РГУ. Ростов-на-Дону, 1999 г;

- международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В.Ефимова. Абрау-Дюрсо, Лиманчик, 2000 г;

- международная конференция "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений". Минск, БГУ, 2001 г.

- международная научно-практическая конференция "Строительство-2001". Ростов-на-Дону, РГСУ, 2001 г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 печатных работ [31-41]. Работы [31-33, 35] выполнены совместно с научным руководителем. В этих работах B.C. Пилиди принадлежит постановка задачи и определение общих методов исследования, проведение подробных доказательств принадлежит автору диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы. Теоремы (предложения, леммы, формулы) нумеруются тремя цифрами, первая из которых указывает на номер главы, вторая на номер параграфа, третья показывает номер теоремы,(предложения, леммы, формулы). Объем работы 132 страницы. Библиография насчитывает 41 название.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дается общая характеристика работы, обзор тематики; а также обзор результатов диссертации по главам

В первой главе рассматривается задача о применимости к полному сингулярному интегральному оператору с непрерывными коэффициентами на оси приближенных методов • по семействам сильно аппроксимирующих его интегральных операторов. Эти операторы получаются из исходного путем

замены оператора сингулярного интегрирования интегральными операторами свертки с ограниченными ядрами.

Рассматривается действующий в пространстве ¿^(К)

обратимыйполный сингулярный интегральный оператор

А=аНЬЯ+Т,

где комплекснозначные функции а, Ъ непрерывны на одноточечной компактификации вещественной оси К и {со}, Т— компактный оператор в Ьр(Ж) . Пусть Ап - некоторое сильно аппроксимирующее его семейство. Ставится основная • задача: найти необходимые и достаточные условия того, что операторы Ап при всех достаточно больших значениях п обратимы, и обратные к ним операторы при и-»оо сильно сходятся к А'1 . Последнее условие означает, что для любой функции решения уравнений сходятся

при п—> оо к решению у р а в н е.^ия. В этом случае говорится, что к оператору^ применим приближенный метод по семейству операторов Ап при п —> со . Такая задача аналогична вопросу о сходимости проекционного метода.

В первом параграфе вводятся основные обозначения и формулируются предварительные сведения. Производится построение сильно аппроксимирующего семейства оператора сингулярного интегрирования S, которое обозначается через <!?„ (м е 14) . Последнее семейство состоит из операторов инвариантных относительно сдвига, символы которых удовлетворяют следующим условиям: 1) для любого пеМ функция тп(у) принадлежит

¿2 (К) и непрерывно дифференцируема на Ш{0};

3) для любого числа А(>0)

lim sup I тп(у)-11= 0, lim sup | m„(y) +11= 0;

"-*">0<y<A

-A<y<0

4) для каждого п е N lim mn(y)-Q, lim mn(y) = ±l;

00

5) lim 11 - nix ihn (*) |2 dx = 0, где mn{x)~ ядро операто-

л-»оо J

—00

pa свертки с символом тп(у)

Из этих свойств следует, что операторы Sn равномерно ограничены и при п—>со сильно сходятся к оператору S.

Для произвольных п > 1 определяются действующие в пространстве операторы следующим равенством:

A„=aI + bS„+T Известно, что сходимость приближенного метода равносильна следующему условию: существует такое л0, что все операторы обратимы и нормы обратных к ним операторов равномерно ограничены. Такое свойство мы будем называтьравномерной обратимостью семейства {А„:п^по) и асимптотической равномерной обратимостью семейства {Ап : п > 1} . Именно в таких формулировках получены основные результаты. Для доказательства проводится построение банаховой алгебры состоящей из последовательностей линейных непрерывных операторов, удовлетворяющих условию: существует предел при в сильной операторной топологии, и аналогичное свойство выполняется для сопряженных операторов. Рассматривается подмножество, обозначаемое через , элементов из следующего вида:

Зк={{В„}:{Вп}еЯ,Вп=Т + Ап}

здесь Г- компактный оператор, Нт || Ап ||=0 . Вопрос о равномерной обратимости сводится к нахождению условий обратимости смежного класса + в фактор алгебре 21/Зд . Для решения последней задачи используется локальный метод.

В третьем параграфе рассмотрено несколько примеров приложения доказанной теоремы к конкретным аппроксимациям оператора сингулярного интегрирования. В частности, последовательность

\у\<п,

О, \yfcn.

К, м б N ) является мультипликатором, порождающим оператор свертки вида:

тп(У) =

(£„/)(*) = Л [—

7Г/ V-

1

у-х

\

1-

5\пп(у-х) п(у-х) )

Г (У) ¿у.

В данном случае доказанное общее утверждение принимает вид:

Пусть А=а1+ЬБ+Т - действующий в пространстве Ьр(Ж) (1 </?<со), полный сингулярный интегральный оператор, где Т - компактный оператор, комплекснозначные функции а и Ъ непрерывны на одноточечной компактифика-ции Е и {оо} вещественной оси. Семейство операторов

{о/ + Ь5п + Т: п е N1 асимптотически равномерно обратимо тогда и только тогда, когда обратим оператор А и а(х) + уЬ(х)*0 для всех *еМи{оо} и у е [—1,1] -

Во второй главе изучаются сингулярные интегральные операторы на вещественной оси К с кусочно-непрерывными коэффициентами. В этом случае оператор сингулярного ин-

тегрирования формально является сверткой с функцией

———, которая имеет две неинтегрируемые особенности: при я/ X

Рассматривается случай обеих особенностей, а затем одной из двух особенностей. Кроме того, изучается вопрос о возможности замены полного сингулярного интегрального оператора на вещественной оси аппроксимирующим оператором на достаточно большом, симметричном относительно нуля отрезке.

В первом параграфе формулируются предварительные сведения. Второй параграф посвящен доказательству вспомогательных и формулировке основных результатов. Вводятся в рассмотрение следующие операторы, действующие в пространстве :

Здесь е > 0, Л^ > 0 , второй оператор понимается в смысле главного значения по Коши. Справедливы равенства:

Используется следующее стандартное обозначение. Комплекснозначную функцию , определенную на вещественной оси К, относим к классу ПС(Ш), если она удовлетво-

ряет следующим условиям: 1) для любой точки лы

существуют конечные преде-

и

2) существуют конечные пределы

В частности, класс ЯС(М) содержит все определенные

на- R кусочно-непрерывные функции, имеющие конечные пределы при

Функции а е Т7С(К)Г ставится в соответствие семейство определенных на К функций а£ (2, е Ё) вида: для \ е М

Основными результатами второй главы являются следующие теоремы. В формулировках теорем А=а1+Ь3+Т -действующий в пространстве ¿^(М) полный сингулярный

интегральный оператор, а,£>е770-компактный опера-

тор, действующий в пространстве

Теорема 2.1.1. Семейство операторов

{а1 + ЬБ? + Т:е> 0,Ы>0}

асимптотически равномерно обратимо тогда и только тогда, когда обратимы действующие в операторы

А.а^ + Ь^ (§6 К) иа^ + Ь^Б1.

Теорема 2.1.2. Семейство операторов {а/ + 65'£+Г: е>0}

асимптотически равномерно обратимо тогда и только тогда, когда обратим оператор А, для всех обратимы

операторы + и оператор а^! + Ь^х является фред-

гольмовым.

Теорема 2.13. Семейство операторов

{Рх(а1 + ЬЯе + Т)РХ: £ > 0,т > 0}

асимптотически равномерно обратимо тогда и только тогда, когда выполняются следующиеусловия:

1) обратим оператор А (еОЗр(К));

2) обратим оператор Р\{ах1 + Ьа>8 + Т)Р\ (е 03р([-1,1]));

3) для всех (£еМ) обратимы операторы а^ + Ь^З^

4) оператор а^ + Ь^Б^ (еОЗ^(К)) является фредгольмо-вым;

5) обратимы операторы

РМ-*>У+Ъ{-ъ)8х)Р+ (е<Вр(М+));

Р.{а(+оо)1+£(+оо)5,)Р_ (е 25р(Е_)).

Третий параграф посвящен доказательству теоремы 2.1.1 Доказательство достаточности условий теоремы 2.1.1 проводится по следующей схеме. Сначала вопрос об асимптотической равномерной обратимости рассматриваемого семейства сводится к нахождению условий обратимости элемента некоторой банаховой алгебры. Для анализа последних вводится в рассмотрение некоторая система локализующих классов. Случаи конечной и бесконечно удаленной точек рассматриваются отдельно. В случае бесконечно удаленной точки используется дополнительная локализация в образах преобразования Фурье.

В четвертом параграфе доказывается теорема 2.1.2, а в пятом теорема 2.1.3.

В третьей главе в первом параграфе рассматривается случай аппроксимаций бисингулярного интегрального оператора на контуре с непрерывными коэффициентами. Для аппроксимаций, задаваемых мультипликаторами достаточно общего вида, получен критерий применимости приближенного метода.

Пусть Г = {/: / е С, | /1= 1}. Рассматривается действующий' в пространстве ¿^(ГхГ) (1</><оо) бисингулярный интегральный оператор с внешними коэффициентами:

А = а0(1®1)+а1{8®1)+а2(1®5)+а12(8®8), где а0 > аЬ а2 > а\ 2 6 С(Г х Г), 5 - оператор сингулярного интегрирования в пространстве £р(Г).

В пункте 2° приведены условия, налагаемые на последовательности мультипликаторов аппроксимирующих операторов.

Пусть - семейство последова-

тельностей . комплексных чисел, удовлетворяющее следующим условиям:

1) 8ирзир|^)|<оо, зирф^-^со;

2) для каждого т е Ъ Нгп = в!^ (2/я + 1);

4) для каждого иеМ ^ Нш. ^ = 0.

Операторы свертки, с символом действующие в

пространстве Ьр(Г) , обозначаются ч е р е^з,. Для произвольных определяются действующие в пространстве операторы равенством:

Ащ,п2 =а0{1®1) + ах{8щ ®1) + а2{1®БП2) + ап{8т

Рассматриваемая задача равносильна тому, что для некоторых Щ,П2 операторы семейства {Ащ„2 : щ >щ,П2 ^«2) обратимы, и нормы обратных к ним операторов ограниченны в совокупности. В этом случае это семейство называется равномерно обратимым, а исходное семейство {АщгП2 : Щ >1, «2

асимптотически равномерно обратимым.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1.1. Следующие условия равносильны:

1) семейство {АП]Г!2: щ >1,«2 -1} асимптотически

2) оператор А обратим, и для всех X, ц е [Я.тах, Я.тт ] выполняется условие:

«о(5(Ь'о) + + мдг^о.'о) + ^12(^0^0) ф 0 •

Здесь А.тахДтш-константы, определяемые

Для доказательства этой теоремы формулируется промежуточный результат: предложение 3.1.1, которое позволяет свести вопрос об асимптотически равномерной обратимости семейства бисингулярных операторов к аналогичной задаче для семейства сингулярных операторов.

Во втором параграфе рассмотрен вопрос о применимости к бисингулярному оператору, действующему в пространстве ¿2(®2), проекционного метода по системе операторов

- оператор умножения на характеристическую функцию отрезка [—Х,т]. Получен критерий указанного свойства в терминах обратимости некото-

рых операторов.

Рассматривается множество всех определенных на функций, представимых в виде конечных сумм

где fi,gi е ПС(Щ для всех значений индексаЗамыкание этого множества по норме пространства ¿<„(1^) обозначается через ПС(Ш2).

Функции /, указанного вида, ставятся в соответствие

семейства функций ,Т| е Ё). следующим образом:

Рассматривается действующий в пространстве ^О^2) би-

сингулярный интегральный оператор:

А = а0(1® I) + ах (Б®1) + а2(1®Б) + а12№®3),

где а0,аиа2, ап е ЯС((К)2) , где (М)2 =МхЁ.

Для произвольных Т1,х2>0 определяются действующие в пространстве ¿2([-х1,т1]х[-Т2,т2]) операторы А^ ^

Л.Д2 =(% ®Р*2)(а0(1®I) + о1(5®/) + а2(/®5) +

Вводятся в рассмотрение следующие операторы, действующие в пространствах ¿2([-1,1]х]й), 1,1]х£—1,1])

Aff = (?, ® P{ (/ ® /) + a^ (S ® I) +

Симметричным образом определяется, действующий в

пространстве ¿2(Мх[-1^1]) , оператор А^00. В этих обозначениях справедлива следующая теорема.

Теорема 3.2.1. Семейство

{Л,,т2 •• XI >0,т2 >0} (еЩ-Ть^М-тг.Тз]))

асимптотически равномерно обратимо тогда и только тогда, когдаобратимы операторы

А (е !8(R2)), 4е0-' (e®([-l,l]xR)), Л^ (eQ3(Rx[-l,l]))

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю B.C. Пилиди за постановку задачи и внимательное отношение к работе, а также за многочисленные беседы и ценные указания, способствовавшие написанию диссертации.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Пилиди B.C., Чумак И.В. Критерии равномерной обратимости некоторого семейства регулярных аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов на оси с непрерывными коэффициентами. Ростов. гос. ун.-т. Ростов-на-Дону, 1996. - 28 стр. -Деп. в ВИНИТИ 23.01.96, №274-В96.

2. Пилиди B.C., Чумак И.В. Критерии равномерной обратимости семейства регулярных аппроксимаций

сингулярных интегральных операторов на оси с ку-сочно-непрерывнымикоэффициентами. Ростов, гос. ун.-т. Ростов-на-Дону, 1997. - 27 стр. - Деп. в ВИНИТИ 25.07.97, №2503-В97.

3. Пилиди B.C., Чумак И.В., Критерийравномерной обратимости некоторых семейств сильных аппроксимаций одномерн ых сингулярных интеграл ьн ых опера -торов на оси с непрерывными коэффициентами. Ростов. гос. ун.-т. Ростов-на-Дону, 1998. - 11 стр. -Деп. в ВИНИТИ 27.11.98, №3496-В98.

4. Пилиди B.C., Чумак И.В., Оравномерной обратимости сильныхаппроксимаций одномерныхсингулярных интегральных операторов. Ростов н/Д: Известия ВУЗов, Сев. Кавк. Регион; - 2000 г. - № 1. - С. 23-26;

5. Чумак И.В. Критерийравномерной обратимостире-гулярных аппроксимаций бисингулярных интегральных операторов на контуре. Труды института математики НАН Беларуси. Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений. - Минск, 2001 г. -Т.9.-С. 151-154.

6. Чумак И.В. Критерийравномерной обратимости некоторого семейства регулярных аппроксимаций бисингулярных интегральных операторов на контуре с непрерывными коэффициентами. Ростов. гос. ун.-т. Ростов-на-Дону, 2003 г. - 15 стр. - Деп. в ВИНИТИ 26.05.03, №1014-В03.

7. Чумак И.В. Критерийравномерной обратимости некоторого семейства регулярных аппроксимаций бисингулярных интегральных операторов на оси с кусочно-непрерывными коэффициентами. Ростов. гос. ун.-т. Ростов-на-Дону, 2003 г. - 19 стр. - Деп. в ВИНИТИ 19.12.03, №2216-В03.

УЧАСТИЕ В КОНФЕРЕНЦИЯХ (ТЕЗИСЫ ДОКЛАДОВ ПО ТЕМЕ ДИСЕРТАЦИИ)

8. Чумак И.В. Критерии применимости некоторых приближенных методов для одномерных сингулярных интегральных операторов на оси с непрерывными коэффициентами. Ростов. гос. ун.-т. Ростов-на-Дону. -Тезисы конференции аспирантов РГУ. - 1999 г. - С.

9. Чумак И.В. Критерий равномерной обратимости некоторого семейства бисингулярных интегральных операторов с внешними коэффициентами. Тезисы международной школы-семинара по геометрии и анализу, посвященной 90-летию Н.В.Ефимова.- Ростов н/Д, РГУ,2000 г.С.172-174.

10. Чумак И.В. Критерий равномерной обратимости некоторого семейства бисингулярных интегральных операторов с внешними коэффициентами. "Аналитические методы анализа и диф. уравнений". Тезисы докладов международной конференции AMADE 2001.-Минск, БГУ, 2001 г. С. 177.

И. Чумак И.В. Оравномерной обратимости некоторого семейства регулярных аппроксимаций интегральных операторов сингулярного типа. «Строительство-2001». Материалы международной научно-

практической конференции. - Ростов н/Д: РГСУ, 2001

17-18.

г. С. 85.

Сдано в набор 21.04.2004. Подписано в печать 27.04.2004. Гарнитура Таймс. Бумага офсетная № 1. Тираж 100 экз. Заказ № 586. Отпечатано ЗАО «Азовский полиграфист», 346780, г. Азов, Петровский б-р, 23

»1167 3

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Аппроксимации сингулярного интегрального оператора с непрерывными коэффициентами на вещественной оси.

§1.1. Предварительные сведения.

§1.2. Основные результаты.

Диссертация посвящена изучению вопроса о применимости к операторам типа сингулярных приближенных методов по некоторым классам сильно аппроксимирующих их операторов. В частности, рассматриваются семейства, возникающие при замене оператора сингулярного интегрирования семействами интегральных операторов с ограниченными ядрами.

Первые работы по теории сингулярных интегральных уравнений и краевых задач теории функций комплексного переменного появились в 40-х годах 20-го века. Теория сингулярных интегральных операторов получила свое дальнейшее развитие в 60-х годах, связанное с применением методов функционального анализа. Практически одновременно с появлением первых работ по сингулярным интегральным уравнениям возник вопрос о методах их приближенного решения. Он приобрел еще большую актуальность, когда выяснилось, что значительная часть этих уравнений, встречающихся в приложениях, не может быть решена в замкнутой форме. Основная идея заключалась в предварительной "аппроксимации" уравнения и последующем точном решении "аппроксимирующего" уравнения. Последнее конструировалось таким образом, что его решение сводилось к рассмотрению конечной системы скалярных уравнений. Среди многообразия изучавшихся приближенных процессов особенно удобными оказались те из них, которые приводили к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений. При этом вначале, большое внимание уделялось изучению полиномиальных аппроксимационных методов, а при доказательстве их устойчивости широко использовались различные факторизации рассматриваемых операторов. Таким способом была доказана устойчивость ряда полиномиальных приближенных методов для сингулярных интегральных уравнений с достаточно гладкими коэффициентами.

Основные достижения данного периода отражены в монографиях и обзорных статьях В.В. Иванова, И.Ц. Гохберга и И.А. Фельдмана, 3. Пресдорфа и Б. Зильберманна, В.А. Золотаревского. В то же время, становится ясно, что методы доказательства устойчивости, основанные на аналитической факторизации, не позволяют достигнуть существенного прогресса для уравнений с разрывными коэффициентами.

Теория одномерных и многомерных сингулярных интегральных уравнений изложена в известных монографиях Б.В. Хведелидзе [27], Н.И. Мусхелишвили [12], Ф.Д. Гахова [2], С.Г. Михлина [11], В.В. Иванова [8], И.Ц. Гохберга и И.А. Фельдмана [4].

Одним из наиболее эффективных методов построения качественной теории фредгольмовости операторов типа сингулярных является локальный принцип И.Б. Симоненко. В работе [23] была построена общая теория так называемых линейных операторов локального типа и получены приложения этой теории к одномерным и многомерным сингулярным интегральным операторам для решения задачи о нетеровости (фредгольмовости) операторов типа сингулярных. Рядом авторов были построены обобщения и модификации этого метода исследования, позволившие с одной стороны, усилить получаемые с его помощью результаты, а с другой - расширить область его применения. В частности, A.B. Козаком в работе [9] была предложена схема анализа сходимости проекционных методов с помощью локального принципа. Эта схема сводила решение задачи к вопросу об обратимости элемента некоторой банаховой алгебры. Последняя задача анализировалась с помощью модифицированного подходящим образом, лqкaльнoгo метода И.Б. Симоненко. В указанной работе A.B. Козаком был введен идеал, обозначенный у нас через 30. Дальнейшая модификация схемы из [9] имеется в работе В. Зильберманна [29]. Необходимость модификации была вызвана тем, что рассматриваемые последовательности не коммутировали с элементами естественных локализующих классов по модулю идеала 30. Поэтому, локальный метод применялся к элементам фактор-алгебры по идеалу, содержащему все коммутаторы.

Дальнейшее развитие применения такого подхода к исследованию сходимости проекционных методов принадлежит B.C. Пил иди. В частности, был введен в рассмотрение идеал, обозначенный у нас через 3S, что позволило значительно упростить доказательство возможности применения локального метода. В работах [13-22] B.C. Пилиди рассмотрены различные варианты аппроксимаций линейных интегральных операторов сингулярного типа с непрерывными и разрывными коэффициентами.

При решении поставленной задачи в настоящей работе исследуются различные варианты аппроксимаций операторов типа сингулярных. В частности, исследуются аппроксимации сингулярного оператора с непрерывными и кусочно-непрерывными коэффициентами, действующего в пространстве Lp{R). Также рассмотрены аппроксимации бисингулярного оператора достаточно общего вида, в случае замкнутого контура и в случае действительной оси. Для всех рассматриваемых случаев получены необходимые и достаточные условия применимости приближенного метода. Сходимость приближенных методов равносильна условию равномерной обратимости аппроксимирующих семейств, и именно в её терминах сформулированы основные теоремы. В ходе исследования вопрос о равномерной обратимости сводится к анализу обратимости элемента некоторой банаховой алгебры. Для решения последней задачи применяется локальный принцип. Исследование проводится методами функционального анализа. Используется теория мультипликаторов, локальный принцип Гохберга-Крупника.

Все полученные в диссертации, результаты носят теоретический характер.

Данная работа состоит из трех глав, разбитых на параграфы. Теоремы (предложения, леммы, формулы) нумеруются тремя цифрами, первая из которых указывает на номер главы, вторая на номер параграфа, третья показывает номер теоремы (предложения, леммы, формулы).

1°. В этом пункте будут приведены основные результаты локального принципа Гохберга-Крупника, изложенного в [3, гл. XII].

Пусть 21 — банахова алгебра с единицей. Множество М а 21 называется локализующим классом, если О ё М и для любых элементов ах,а2еМ существует такой элемент аеМ, что аха = аах - а, а2а = аа2 = а.

Элементы х,у е 21 называются М—эквивалентными слева (справа), если

Шх - у)а\ = 0, (МЫх - = 0). аем аем

Элементы, М -эквивалентные слева и справа, называются М—эквивалентными. Сокращенно М-эквивалентность элементов е 21 будем отмечать так: х ~ у.

Элемент х е 21 называется М -обратимым слева (справа), если существуют такие элементы у е 21, аеМ, что уха = а (аху = а). Элемент х е 21 называется М-обратимым если он М-обратим слева и справа.

Система локализующих классов {МТ}Т€Т называется покрывающей, если из любой системы {<ят}теТ элементов ят еМт можно выделить конечную подсистему, сумма элементов которой является обратимым в 21 элементом.

Зафиксируем покрывающую систему {Мт}теТ локализующих классов в банаховой алгебре 21. Обозначим через 2^ множество всех элементов из 21, каждый из которых коммутирует со всеми элементами множества и Мт. хеТ

Тогда справедливы следующие утверждения.

1) Множество 21д является банаховой подалгеброй алгебры 21.

2) Если элемент хе \ обратим в 21, то х~] е 2^.

3) Если х,у е 2^, то для любого теТ эти элементы Мт - эквивалентны слева и справа одновременно. мх мх

4) Если х1,х2,у1,у2 е 2^, хх ~ уХУ х2 ~ у2, то мх мх

1Х2 ~УхУ2> х1+х2 "Ух+Уг

Основным результатом локального метода является следующее утверждение.

Предложение 1. Пусть х е 21д, и для каждого теТ элемент х Мт — эквивалентен элементу у х е21о. Элемент х обратим в 21 тогда и только тогда, когда для каждого т е Т элемент ух А/т —обратим.

2°. Основные обозначения.

Пусть X —комплексное банахово пространство. Введем следующие обозначения:

В(£) - множество всех линейных непрерывных операторов, действующих в X;

Я(Х) - множество всех компактных (вполне непрерывных) операторов, действующих в X;

X* - пространство, сопряженное с X.

Для Ае?8(Х), как обычно, обозначаем через А* сопряженный оператор, действующий в сопряженном пространстве X*.

Мы будем рассматривать банахово пространство £р(Х) и действующие в нем операторы. Всюду ниже предполагается, что 1 < р< оо. Вместо *В(Ьр(Х)) и Я(Ьр(Х)) мы пишем соответственно 93р(Э£) и Яр(Х). Единичный оператор, действующий в Ьр(Х), обозначается через 1Х или /, если ясно, какое X имеется ввиду. Норму элемента пространства Ьр(Х) или оператора из ?&р(Х) обозначаем через ||-||р, опуская индекс р в тех случаях, когда это число выбрано и зафиксировано.

3°. Содержание работы.

В первой главе рассматривается задача о применимости к полному сингулярному интегральному оператору с непрерывными коэффициентами на оси приближенных методов по семействам сильно аппроксимирующих его интегральных операторов. Эти операторы получаются из исходного путем замены оператора сингулярного интегрирования интегральными операторами свертки с ограниченными ядрами. Результаты этой главы являются обобщением работы [31] на случай мультипликаторов более общего вида.

Рассматривается действующий в пространстве Ьр (М) полный сингулярный интегральный оператор А=а1+Ь5+Т, где комплекснозначные функции а, Ъ непрерывны на одноточечной компактификации вещественной оси К и {оо}, Г —компактный оператор в Ьр(Ш). Пусть Ап - некоторое сильно аппроксимирующее его семейство. Предполагается дополнительно, что оператор А обратим. Ставится основная задача: найти необходимые и достаточные условия того, что операторы Ап при всех достаточно больших значениях п обратимы, и обратные к ним операторы при п -» оо сильно сходятся к А 1. Последнее условие означает, что для любой функции geLp(R) решения уравнений Anfn = g сходятся при п -> оо к решению уравнения Af = g. В этом случае говорится, что к оператору А применим приближенный метод по семейству операторов Ап при п -» оо. Такая задача аналогична вопросу о сходимости проекционного метода [4, с.90]. Известно [4], что сходимость приближенного метода равносильна следующему условию: существует такое п0, что все операторы {Ап :п>п0} обратимы и нормы обратных к ним операторов равномерно ограничены. Такое свойство мы будем называть равномерной обратимостью семейства {Ап :п>п0} и асимптотической равномерной обратимостью семейства {Ап: п > 1}.

В первом параграфе вводятся основные обозначения и формулируются предварительные сведения. Во втором параграфе получены основные результаты этой главы. В п.1° вводится в рассмотрение последовательность функций w„(x)(«eN), которая удовлетворяет некоторым, достаточно общим, условиям. Элементы указанной последовательности являются Lp - мультипликаторами, операторы свертки с которыми образуют аппроксимирующие семейства, обозначаемые через Sn (neN).

Во втором параграфе проводится построение банаховой алгебры 21, состоящей из последовательностей {Вп : п е N} линейных непрерывных операторов, удовлетворяющих условию: существует сильный lim Вп и п—>00 аналогичное свойство выполняется для сопряженных операторов. Рассматривается подмножество, обозначаемое через элементов из 21 следующего вида: = {{£„} : {Вп} е 21,Вп = Т + АЛ}, здесь Т-компактный оператор, lim || А„ ||= 0. Вопрос о равномерной обратимости сво

П—>00 дится к нахождению условий обратимости смежного класса {#„} + в фактор-алгебре 21/3 Л. Для решения последней задачи используется локальный метод.

В третьем параграфе рассмотрено несколько примеров приложения доказанной теоремы к конкретным аппроксимациям оператора сингулярного интегрирования. В частности, последовательность

Лу) =

0, \у\>п. е М, и е М) является мультипликатором, порождающим оператор свертки вида: ы^у-ху п(у-х) /

В данном случае доказанное общее утверждение принимает вид. Теорема: Пусть А=а1+Ь5+Т — действующий в пространстве Ьр(Ш) (1<р<со), полный сингулярный интегральный оператор, где Т — компактный оператор, комплекснозначные функции а и Ъ непрерывны на одноточечной компактификации К. и {со} вещественной оси. Семейство операторов Ап=а1 + Ь8п + Т асимптотически равномерно обратимо тогда и только тогда, когда обратим оператор А и а{х) + у Ъ(х) Ф 0 для всех хеМ и у е [-1,1].

Во второй главе изучаются сингулярные интегральные операторы на вещественной оси М с кусочно-непрерывными коэффициентами. В этом случае оператор сингулярного интегрирования формально является сверткой с функцией ——■—, которая имеет две неинтегрируемые осот х бенности: при х = 0 и х = со. Рассматривается вырезание обеих особенностей, а затем одной из двух особенностей. Кроме того, изучается вопрос о возможности замены полного сингулярного интегрального оператора на вещественной оси аппроксимирующим оператором на достаточно большом, симметричном относительно нуля отрезке.

В первом параграфе формулируются предварительные сведения. Второй параграф посвящен доказательству вспомогательных результатов.

Вводятся в рассмотрение следующие операторы, действующие в пространстве 1р(Ж):

1 1 1 ^

Ш*) = тЧ -— ->

2жг jJ^y-x-ie y-x + iz СSNf)(x)= 1 1

7U | ny~x

SeNf)(x) = 1 ( 1 1 ^

2я/, y-> f(y)dy, f(y)dy,

Ry)dy.

ZN\y~X~lZ y-X + nj Здесь e > 0, N > 0, второй интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. Справедливы равенства: s* -HmS1 =S, s*-\imSN=S, s*-\imS?=S. e N t,N e

По аналогии с работой [3], комплекснозначную функцию f(x), определенную на вещественной оси R, относим к классу 77С(М), если она удовлетворяет следующим условиям:

1) для любой точки jt0eR существуют конечные пределы lim f(x) = f(x0± 0), jc->X0±0

2) существуют конечные пределы lim f(x) = /(+«>), lim f{x) = /(-«)).

Jt—>+00 X—>-00

В частности, класс ПС(Ж) содержит все определенные на R кусочно-непрерывные функции, имеющие конечные пределы при х —> ±оо.

Функции я еЯС(К) ставится в соответствие семейство определен

Основными результатами второй главы являются следующие теоремы. В формулировках теорем А =а1+Ъ8+ Т- действующий в пространстве Ьр(Ж) полный сингулярный интегральный оператор, а,ЬеПС(Ш),

Т - компактный оператор, действующий в пространстве Ьр (М).

Теорема 2.1.1. Семейство операторов {а1 + ЬЯ^ + Т: в > О, N > 0} асимптотически равномерно обратимо тогда и только тогда, когда обратимы действующие в Ьр(Ш) операторы А, + (£, е М) и

Теорема 2.1.2. Семейство операторов {а1 + Ь5В + Т: е > 0} асимптотически равномерно обратимо тогда и только тогда, когда обратим оператор А, для всех М) обратимы операторы + и оператор + является фредголъмовым. Теорема 2.1.3. Семейство операторов асимптотически равномерно обратимо тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) обратим оператор А (е ЯЗр (К)); ных на К функций ае К) вида: для % е М я(+оо), х> 0, я(-оо), х<0. а^1 + Ьо08\

Рт(а/ + Ь5'е +Т)РХ :е>0,т>0}

2) обратим оператор + Ъ^ + Т)РХ (е ©р([-1,1]));

3) для всех € К) обратимы операторы + ¿>¿5, (е <Вр(Е));

4) оператор + Ьа031 (е 05р(М)) является фредгольмовым;

5) обратимы операторы

-00)7 + ^-00)5,)^ (б«8р(К+));

Р (я(+оо)7 + ¿(+оо)5,)Р (е ©р(К)).

Отметим, что справедлива следующая интерпретация теоремы 2.1.3. Предположим, что выполняются условия 1) - 4) этой теоремы. Выберем функцию (К)). Пусть /т (<= ¿^([-т.т]))- решение уравнения Р^АРХ/Х = которое существует при всех достаточно больших т. Тогда семейство функций РХА~^ дает старший член асимптотики функций /т при т-»оо, то есть решение сингулярного интегрального уравнения на "большом" отрезке может быть приближенно выражено через решение подобного уравнения на всей прямой. Аналогичную интерпретацию допускают и другие случаи аппроксимации.

Третий параграф посвящен доказательству теоремы 2.1.1 Доказательство достаточности условий теоремы 2.1.1 проводится по следующей схеме. Сначала вопрос о применимости приближенного метода сводится к доказательству обратимости элемента некоторой банаховой алгебры. Для решения последней задачи используется модифицированный подходящим образом локальный метод. Случаи конечной и бесконечно удаленной точек рассматриваются отдельно. В случае бесконечно удаленной точки проводится дополнительная локализация в образах оператора Фурье.

В четвертом параграфе доказывается теорема 2.1.2, а в пятом теорема 2.1.3. Доказательства проводятся с помощью локального метода по аналогичной схеме.

В третьей главе в первом параграфе рассматривается случай аппроксимаций бисингулярного интегрального оператора на контуре с непрерывными коэффициентами. Для аппроксимаций, задаваемых мультипликаторами достаточно общего вида, получен критерий применимости приближенного метода. Аналогичная задача в случае сингулярного интегрального оператора рассмотрена ранее в работе [22].

Пусть Г = {г: * е С, | /1= 1}. Рассматривается действующий в пространстве ¿ДГхГ) (1</?<оо) бисингулярный интегральный оператор с внешними коэффициентами: где а0,а},а2, ап е С(Гх Г), £ - оператор сингулярного интегрирования в пространстве Ьр(Г).

В пункте 2° предложены условия, налагаемые на последовательности мультипликаторов иеМ) аппроксимирующих операторов. Операторы свертки, с символом действующие в пространстве Ьр(Г), обозначаются через 5„. Для произвольных щ,п2 > 1 определяются действующие в пространстве ¿р(ГхГ) операторы АЩПг равенством:

Рассматриваемая задача равносильна тому, что для некоторых я,, п2 операторы семейства {АЩПг : пх >пх,п2 >п2) обратимы, и нормы обратных к ним операторов ограниченны в совокупности. В этом случае это семейство называется равномерно обратимым, а исходное семейство {А : > 1, п2 > 1}- асимптотически равномерно обратимым.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1.1. Следующие условия равносильны:

1) семейство {А^ Пг : и, > 1, п2 > 1} асимптотически равномерно обратимо;

2) оператор А обратим, и для всех s0,tQ еГ, Ä., [ie[X.min,A,max] выполняется условие:

Щ Л ) + Ьа\ (SQ Л ) + МЛ2 Л ) + ^12 » 'о ) * 0• Здесь Хтах Д min - константы, определяемые равенствами: max = lim supsupX(£\ = Ит infmf

N-wo п>н те.% N—>oon>NmeZ

Для доказательства этой теоремы формулируется промежуточный результат: предложение 3.1.1, которое позволяет свести вопрос об асимптотически равномерной обратимости семейства бисингулярных операторов к аналогичной задаче для семейства сингулярных операторов. В п.3° дается доказательство достаточности условий этого предложения. Оно опирается на локальный принцип Гохберга-Крупника [3, гл. XII, §1]. В п. 4° доказывается сформулированная выше теорема.

Во втором параграфе исследуются бисингулярные операторы на вещественной оси и аппроксимирующие их семейства на достаточно большом, симметричном относительно нуля отрезке. Ранее в работе [19] решена аналогичная задача в сингулярном случае.

Рассматривается множество всех определенных на R функций, представимых в виде конечных сумм где fi,g{ е /7C(R) для всех значений индекса i. Замыкание этого множества по норме пространства ¿^(R2) обозначается через ПС{R2).

Функции /, указанного вида, ставятся в соответствие семейства функций (^»Л е К) следующим образом: / I

Рассматривается действующий в пространстве 7,2(К ) бисингуляриый интегральный оператор:

Л = а0(/®/) + а^® I) + я2(7®5) + ¿^(Я®.?), где а0, а,, а2, д12 € ЯС((Ё)2) , где (К)2 = Мх К.

Для произвольных т1,т2>0 определяются действующие в пространстве £2([-Т1,т1]х[-Т2,т2]) операторы АХьТ2 равенством:

ЛЬТ2 />Т2)(а0(/®/) + ^<8)/) + (/(8)б') + (5-<8)®РТ2).

Вводятся в рассмотрение следующие операторы, действующие в пространствах ¿2([-1,1]хМ), 12(Мх[-1,1]), ^([-ММ-М]) соответственно:

А;= (Д ®1)(ао'(1®1) + ^'"(5®/) + + ®7),

4'-00 = (7 <8> Рх (7 ® 7) + (5 <8) /) + я 2'°° (7 <8> 5) + а ¡'2°° (5 <8> 5))(7 <8> Р1),

Л*'00 = ®7^)(ао'°°(7(8)7) + а?>х(5®1) + 7® 5) + 07}).

Справедлива следующая теорема. Теорема 3.2.1. Семейство т, >0,т2 >0} (е23(И1,т,]х[-т2,т2])) асимптотически равномерно обратимо тогда и только тогда, когда обратимы операторы

Л(е<В(Е2)), ^(^(КхНД])) е<В([-1Д]х[-1,1])).

Во втором пункте второго параграфа доказывается необходимость условий этой теоремы, пункты 3-6 посвящены доказательству достаточности условий.

Содержание диссертации опубликовано в работах [31-41]. Работы [31-33, 35] выполнены совместно с научным руководителем. В этих работах B.C. Пилиди принадлежит постановка задачи и определение общих методов исследования, проведение подробных доказательств принадлежит автору диссертации.

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались автором на семинарах кафедры алгебры и дискретной математики (руководитель - профессор Симоненко И.Б.), на научной конференции аспирантов и соискателей РГУ "Осень 1999" ( Ростов-на-Дону, 1999 г.), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо 2000 г.), на международной конференции "Аналитические методы анализа и диф. уравнений" (Минск, БГУ, 2001 г.), на международной научно-практической конференции "Строительство-2001" (Ростов-на-Дону, РГСУ, 2001 г.).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук профессору Владимиру Ставровичу Пилиди, за постановку задачи, помощь и постоянное внимание к настоящей работе.

1. Бурбаки Н. Спектральная теория // М.: "Мир", 1972. 184 стр.

2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: "Наука", 1977. 540 стр.

3. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов // Кишинев: Штиинца, 1973.426 стр.

4. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения // М.: "Наука" , 1971. 352 стр.Ъ.Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М.: "Наука", 1974. 399 стр.

5. Дудучава Р.В. Об интегральных операторах Винера-Хопфа // Math.Nachr., 1975. В.65. S.59-82.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1,2 // М.: " Мир", 1965.537 стр.

7. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев. "Наукова Думка", 1968. 324 стр.

8. Козак A.B. Локальный принцип в теории проекционных методов // Докл. АН СССР, 1973. Т. 212, №6. С.1287-1289.

9. Красносельский М.А. Об одной теореме М. Рисса // ДАН СССР, 1960. Т. 131, № 2. С.246-248.

10. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. // М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1962. 254 стр.

11. Мусхелишвили H.H. Сингулярные интегральные уравнения. М.: "Физматгиз",1962. 511 стр.

12. Пилиди B.C. О многомерных бисингулярных операторах // ДАН СССР, 1971. Т. 201, №1. С. 787-789.

13. Пилиди B.C. О связи между локальной нетеровостью в точке и обратимостью некоторых классов линейных операторов // Мат. анализ и его приложения, Т. 4,1972. С. 110-120.

14. Пилиди B.C. Обоснование метода вырезания особенности для одномерных интегральных сингулярных операторов с непрерывными коэффициентами // Рукопись депонирована в ВИНИТИ №2194-В87 25.03.87.95 стр.

15. Пилиди B.C. Обоснование метода вырезания особенности для одномерных сингулярных интегральных операторов с кусочно-непрерывными коэффициентами // Рукопись депонирована в ВИНИТИ №8599-В87 23.11.87. 77 стр.

16. Пилиди B.C. О равномерной обратимости регулярных аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов // ДАН СССР, 1988. Т. 299, №6. С.1317-1320.

17. Пилиди B.C. Об одном приближенном методе для сингулярных интегральных операторов на оси с кусочно-непрерывными коэффициентами // Рукопись депонирована в ВИНИТИ №669-В89 13.01.89. 73 стр.

18. Пилиди B.C. Критерии равномерной обратимости регулярных аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов с кусочно-непрерывными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер.матем., 1990. Т. 54, №6. С. 1270-1294.

19. Пилиди B.C. Критерий равномерной обратимости некоторого семейства сильных аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов с непрерывными коэффициентами // Математические заметки, 1997. Т. 62, №3. С.430-439.

20. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. I. // Изв. АН СССР. Сер.матем., 1965. С.567-586.

21. Симоненко КБ., Чинь Нгок Минь. Локальный метод в теории одномерных сингулярных интегральных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами. Нетеровость. // Ростов н/Д. РГУД986. 64 стр.

22. Стейн КМ. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций // М.: " Мир", 1973, гл. 4, §6. 342 стр.

23. Стечкин С.Б. О билинейных формах // ДАН СССР, 1950. Т.71, №2. С.237-240.

24. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения. Труды Тбилисского математического института АН Груз.СССР, Т. 23, 1957. С. 129-136.

25. Хермандер Л. Оценки для операторов, инвариантных относительно сдвига // М.: ИЛ, 1962. 70 стр.

26. Silbermann В. Lokale Theorie des Reduktionsverfahrens für Toeplitz-operatoren // Math. Nachr., 1981. B. 104. S.137-146.

27. Prössdorf S. Über einige klasse singulârèr integral gleichungen nicht normalen typs // Math. Ann., 1969. B. 183. S. 130-150.

28. Пилиди B.C., Чумак K.B. Критерии равномерной обратимости некоторого семейства регулярных аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов на оси с непрерывными коэффициентами // Рукопись депонирована в ВИНИТИ № 274-В96 23.01.96.28 стр.

29. Пилиди B.C., Чумак И.В. Критерии равномерной обратимости семейства регулярных аппроксимаций сингулярных интегральных операторов на оси с кусочно-непрерывными коэффициентами // Рукопись депонирована в ВИНИТИ №2503-В97 25.07.97. 27 стр.

30. Пилиди B.C., Чумак И.В. Критерий равномерной обратимости некоторых семейств сильных аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов на оси с непрерывными коэффициентами // Рукопись депонирована в ВИНИТИ №3496-В98 27.11.98. 11 стр.

31. Чумак И.В. Критерии применимости некоторых приближенных методов для одномерных сингулярных интегральных операторов на оси с непрерывными коэффициентами // Тезисы конференции аспирантов и соискателей РГУ (осень 1999). Ростов н/Д. РГУ, 1999. С. 17-18.

32. Пилиди B.C., Чумак И.В. О равномерной обратимости сильных аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов // Ростов н/Д: Известия ВУЗов, Сев. Кавк. Регион., №1. 2000. С. 23-26.

33. Чумак И.В. О равномерной обратимости некоторого семейства регулярных аппроксимаций интегральных операторов сингулярного типа // «Строительство-2001». Материалы международной научно-практической конференции. Ростов н/Д. РГСУ, 2001. С. 85.

34. Чумак И.В. Критерий равномерной обратимости регулярных аппроксимаций бисингулярных интегральных операторов на контуре // Труды института математики HAH Беларуси. Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений. Т. 9. Минск, 2001. С. 151-154.

35. Чумак И.В. Критерий равномерной обратимости некоторого семейства регулярных аппроксимаций бисингулярных интегральных операторов на контуре с непрерывными коэффициентами // Рукопись депонирована в ВИНИТИ №1014-В03 26.05.03.15 стр.

36. Чумак И.В. Критерий равномерной обратимости некоторого семейства регулярных аппроксимаций бисингулярных интегральных операторов на оси с кусочно-непрерывными коэффициентами // Рукопись депонирована в ВИНИТИ №2216-В03 19.12.03. 19 стр.