Метод предельных операторов в вопросах разрешимости псевдодифференциальных уравнений и уравнений типа свертки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ



АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ФИЗЖО-ТЕХНИЧЕСКИИ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР

На правах рукописи

РАБИНОВИЧ ВЛАДИМИР САМУИЛОВИЧ

Метод предельных, операторов в вопросах разрешимости псевдодифференциальних уравнений и уравнений типа свертки

01.01.03 -математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Харьков 1993

J

Работа выполнена на кафедре алгебры и дискретной математик Ростовского госуниверситета

Оффициальные оппоненты :

доктор физико-математических наук, профессор Кондратьев В.А.

доктор физико-математических наук, профессор Пламеневский Б.Д.,

доктор физико-математических наук , профессор Ройтберг Я.А..

Ведущая организация - Институт Проблем Механики АН России

Защита состоится

I

1993 в

час

на заседании специализированного совета Д 016.27.02 по физико-математическим наукам в ФШП АН Украины по адресу: 310164, г.Харьков,пр-т Ленина 47,ФТИНТ АН Украины. С диссертацией моино ознакомиться в научной библиотеке ФТИ£ по тому хе адресу.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета профессор

Ткаченко В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАбОТЫ

Актуальность темы. В диссертации развивается метод предельных операторов,позволяющий с единой точки зрения рассмотреть вопросы разрешимости широких классов псевдодифференциалъ-ных уравнений и уравнений типа свертки.

Псевдодифферевциальные операторы (ЦЦО) и таено связанные с ними интегральные операторы Фурье играют универсальную роль в современной теории уравнений с частными производнымии и линейной математической физике.Созданная в средине 60-ых, начале 70-ых в основонологащих работах Л.Хермандера, В.П.Мас-лова, Дж.Дж.Кона, Л.Ниренберга, М.Сато, Ю.М.Егорова эта теория продвинута в работах М.Атьи, И.М.Зипгера (проблема индекса), М.И.Вшшка и Г.И.Эскина, Л.Буте-дб~Монввля (общие краевые задачи), В.П.Маслова и его учеников (асимптотические методы), Б.А.Пламеневского и его учеников ( ЦЦО на многообразиях с особенностями ,мероморфные ПДО ),М.А.Шубина (спектральная теория,почти-периодические ПДО ) и других авторов.

Одним из центральных моментов теории ПДО является построение исчисления ПДО на Различным вариантам исчисления ПДО на Кп посвящэнн работы Л.Хермандера,Р.Билса.Ч.Фефермана, М.А.Шубина и других авторов.Как правило на символы ПДО накладываются условия, обеспечивающие улучшение поведения производных символа на бесконечности по сравнению с самим символом.Если условия такого сорта не выполнены,то стандартная техника ЦЦО не применима , и в вопросах разрешимости псевдодифференциальных уравнений следует использовать -операторные символы.Такая ситуация характерна при изучении вырождающихся дифференциальных операторов,дифференциально-разностных операторов и в других ситуациях.

Метод предельных операторов, развиваемый в диссертации,является достаточно общим средством .позволяющим описать операторный символ,в терминах которого и формулируются условия нетэровости и существования регуляризатора для ПДО.

Паралельно теории ПДО весьма интенсивно развивалась

теория уравнений типа свертки,имеющая важные приложения в разнообразных задачах математической физики.

Большой вклад в теорию одномерных уравнений типа свертки внесен работами Ф.Д.Гахова,Ю.И.Черского,М.Г.Крейна, И.Ц.Гох-Оерга, Н. Я.Крупника,И.А.Фельдмана,Н.К.Карапетянца и С.Г.Самко, Г.С.Литвинчука.И.М.Спитковского,Ю.И.Карловича и др.

Основопологающими в теории многомерных уравнений типа свертки явились работы И.Б.Симоненко,применившего к изучению их нэтеровости локальный принцип.Эти работы были продолжены его ученикаш:В.С.Пилиди,В.Н.Семенютой,В.М.Деундяком Д.В.Ко-заком,Б. Штейнбергом и др.

Ряд интересных результатов в теории многомерных уравнений типа свертки получен В.А.Малышевым,Р.Дугласом и Р.Хоу,Е.Мейстером,0.Шпеком.Одномерные и многомерные уравнения типа свертки с разрывными символами были изучены Р.Дудучавой.

Метод предельных операторов позволяет указать критерий нетеровости многомерных операторов типа свертки при минимальных ограничениях на коэффициенты свертки.

Предельные операторы были введены Фаваром для исследования разрешимое™ обыкновенных дифференциальных уравнений с почти-периодическими коэффициентами.К уравнениям с частными производными метод предельных операторов применялся Э.М.Муха-мадаевым и М.А.Шубиным.

Анализ работ этих авторов послукил отправным моментом для разработки метода предельных операторов применительно к указанным задачам.

Цель работы.Исследовать вопросы разрешимости:

1) псевдодифференциальных уравнений на О?'1 и на некоторых классах гладких некомпактных многообразий без края ,

2)общих краевых задач для ЦЦО на некоторых некомпактных многообразиях с некомпактным краем,

3)уравнений тала евртки на Кп, и других абелевых локально компактных компактно порожденных группах,

4рассмотреть приложения метода предельных операторов к конкретным задачам математической физики ,в частности ,к задачам

эаспространения малых колебаний в ждких и упругих неоднород-шх средах.

Научная новизна.Теоретическая и практическая ценность. Зпервые метод предельных операторов применяется при исследова-ши разрешимости ПДО .уравнений типа свертки,задач распространили волн в жидких и упругих средах.Этот метод позволяет «¡следовать нетеровоеть указанных задач при минимальных огра-шчениях на их символы с точки зрения поведения на бесконечности .

Локальный вариант метода предельных операторов дает возможность использовать его в сочетании с локальным принципом Я.Б.Симоненко,что позволяет исследовать разрешимость широких <лассов псевдодиф|)еренциальных уравнений на гладких некомпакт-шх многообразиях,общих краевых задач типа задач Буте-де-Лонвеля на некомпактных многообразиях с некомпактным краем.

Рассмотрены также ПДО Меллина с операторными символами,играющие важную роль при исследовании различных задач математической физики в областях .имеющих конические точки ,ребра и другие особенности.

Изучены некоторые вопросы распространения акустических волн в неоднородных открытых волноводах,которые в определенном смысле являются возмущениями стратифицированных волноводов.Установлены спектральные свойства этих задач и обоснован принцип предельного поглощения.Аналогичные вопросы расмотрены для разностных аппроксимаций указанных задач.

Аппробапия работы. Результаты работы докладывались на конференции памяти И.Г.Петровского в 1975 году,в Зимней Воронежской математической школе (многократно),в Сухумской математической школе (1977,1987),на конференциях "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения",г.Черноголовка (1985,1987,1989), в 14 и 15 школах по теории операторов в функциональных пространствах (1990,1991),в школе-конференции "нелинейные задачи математической физики",в Крымской математической школе (1991, 1992), на всесоюзной конференции "Волны и дифракция",г.Винница (1990),на конференции "День дифракции",ЛГУ (неоднократно),на

международной конференции "Анализ на многообразиях с особенностями", Брайтенбрунн,Германия (1990) и других конференциях I шкодах.

С сообщениями о результатах диссертации автор неоднократно выступал на семинарах в Ростовском университете:академика Воровича И.И. .профессора Симоненко И.Б. ,в- МГУ на семинаре профессоров Кондрётьева В.А. и Ландиса Е.М.,в ИПМех. на семинаре академика Маслова В.П.,в Одессе на семинаре профессор? Литвинчука Г.С.,в Тбилисском математическом институте на семинаре профессора Гегелиа Т.Г.,в Харькове на семинаре академике Марченко В.А..

Публикации.Основные результаты диссертации опубликовань в работах [1-27].Работы [6,13-161 выполнены совместно с учениками и их результаты принадлежат авторам в равной мере.

Объем работа.Диссертация состоит из введения и пята глав,разбитых на 36 параграфов со сквозной нумерацией.Общи! объем работы без списка литературы 352 стр.В списке литературь 160 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложено содержание диссертации,дан литературный обзор и введены некоторые обозначения и определения .

В частности, через !В(Х,У) обозначено пространство линейных ограниченных операторов,действующих из банахова пространства X в банахово пространство У ,!В(ХД)=1В(Х).

Оператор А е В(Х,У) назовется нетеровым ,в другой терминологии фредгольмовым или Ф-оператором,если образ операторе А в У замкнут ,а пространства кег А и Ьег А* -конечномерны.

Глава 1. Эта глава состоит из восьми параграфов и посвящена, в основном, исследованию операторов дискретной свертки на Жп,т.е.операторов из банаховой алгебры й^/1),состоящей из операторов вида

ии)и)=2 аа{х){х°и){х) , х^ , (1)

аап

где а ¡ВЦ)), (ааи) (дг)=ц(х-а) ,ае2и-оператор сдвига.

1орма в вводится по формуле

«^й^Г %2п 1аа{х)Н^,В(Х))

Пусть пространство X конечномерно р «..тогда, используя георему Больцано-Вейерштрасса и диагональный процесс,из последовательности рт можно выбрать такую подпоследовательность

\ -к«,что для любого асЖп и для любой точки х&И1 "'к

¡ля некоторых функций аа(2-)€1оо(2п,1В(Х)).

„а(г) {%%.) (х)

-»и

.Оператор

газывается предельным оператором А,отвечающим последовательности 2аэрт -к», к

Основной результат этой главы составляет следующая

Теорема 3.3 .Пусть А е 7/х(Жп) Д-конечномерно .тогда ледующие утверждения равносильны:

) существует р0еП.»3.такое что Л-нетеров оператор в (2П),

-о

I)любой предельный оператор А обратим в 7 (2") и существует

0 >0,такое что-для любого предельного оператора А

• м 1|В(1

п

II)все предельные операторы А обратимы в I №,Х) для любого

V)для любого р^П,»]^ существует 0^>0,такое что для любого редельного оператора А

. ' м~1аВ(7р(Лю) " Ср. ) оператор Л-нетеров во всех пространствах 1р(2п,Х) .ре! 1 .<->].

Заметим,что предельные операторы устроены,как правило, эоще.чем исходные операторы ,что позволяет получить из теоре-

1 3.3 эффективные условия-нетеровости широких классов уравне-

ний свертки .

Теорема 3.3 распространена на некоторые классы уравнений типа свертки и в том случае .когда пространство X-бе сконечномерно.

Пусть теперь G-локально компактная компактно порожденная абелева группа,тогда с точностью до изоморфизма

п. п_

G=K xR йхд,где Д-компактная абелева группа.Положим П1

М=(0,1] хД.На множестве измеримых относительно меры Хаара.на G функций зададим отображение 7.сопоставляющее функции / (х) вектор-функцию

( 4f)(y.a)=f(y+a),ytM,a<iZn,x=y+a . Через q(G) обозначим банахово пространство,элементами которого являются классы измеримых,совпадающих локально почти всюду функций с нормой

(G) = Wj (Ab (if)) • P,qx q p

а через 71(G) -алгебру операторов вида

со

(Au)(£)=£ i=;aj(x)Tg u(x)+S00;)=in<0;j=1a;)k(a:)H;Jkbdk(x)u(x) ,xzG, (2

где а^(x)-равномерно непрерывные ограниченные на G функции,]?.,-операторы свертки с ядрами г й, (G),T -операторы

¿К 1 Q,

п п . ~ з

сдвига на вектора g^eZ= Z х Z , aJk .

Норма в алгебре ff(G) вводится по формуле

"j=i + 2 °°1=1 П\=1 ia&hrjo t^Lj^L, ■

Пусть Жпъ ft^-чо.из последовательности h^ можно выделить

подпоследовательность К -«».такую что

"к

)- QjU) (3)

для некоторых функций ал(х),а^{х),Ъ

Сходимость в формуле (3) понимается как равномерная на компактах,а в формуле (4) в том смысле,что последовательность операторов умножения на функции • сильно в Ьр q(G) сходится к оператору умножения на функцию.

Оператор вида (2) где ajfa,b заменены их предельными значениями,называется предельным оператором определяемым последовательностью h .

К

Теорема G.I.Пусть А е (У (G) .разностный оператор

обратим в Ьр (G),p€(l,oo),q€[l,«3,тогда оператор А вида (2) нетеров в L^ q(G) тогда и только тогда, когда,существует q0€tl,«»],такое' что все предельные операторы оператора А обратимы в L (G). р.ч0

Если группа G не дискретна и (р,<?)€ (1 ,«>) ,то условие обратимости S в Lp (G) и необходимо для нетеровости А .

Теорема 6.1 вытекает из бесконечномерного варианта теоремы 3.3,так как .если А е ff(G),To ^(2°), где Х=1р(*),р€[1,®].

Рассмотрены многочисленные приложения теоремы G.1 к операторам свертки на Шп.Отметим,что и в задачах .которые моано исследовать и другими методами,например, с помощью локального принципа, техника предельных опертаоров обладает определенными преимуществами.

Рассмотрены приложения теоремы 6.1 к исследованию разрешимости разностных операторов,возникающих при дискретизации уравнений распространения акустических волн в неоднородных средах.

В этой же главе рассматриваются уравнения типа свертки на в экспоненциальных весовых классах.Методом предельных

операторов доказаны теоремы о нетеровости ,а также теоремы типа Фрагмена-Линделефа об априорном поведении решений уравнений типа свертки на бесконечности.

Глава 2 (параграфа 9-19.дополнение) занимает центральное место в диссертации и посвящена применению метода предельных операторов к вопросам локальной обратимости и нетероовости ПДО с операторным символом на Кп и на некоторых некомпактных многообразиях.Следует отметить,что ПДО с операторным символом возникают во многих задачах теории дифференциальных уравнений.

Естественно такие операторы возникают и в конкретных.задачах математической физики,например,в задачах теории колебаний полуограниченных сред.

Определим сначала предельный оператор для ДЦО класса 0Р5°о 0,т.е. для ДЦО со скалярными символами а(,г,£).> удовлетворяющими оценкам :для любых мультяиндексов а, (5 существуют константы 0ао>0 , такие что

Пусть Дгт=(рт,дт)€ 2 и » . Последовательность а(х+рт,^+дт) равномерно ограничена в топологии С^СК^х

следовательно,существует такая подпоследовательность й^.что а^+р^.С+д^ЬаСг,?) в (ГЧк/ЬсЕ^.где неко-

торая функция, принадлежащая Б°0 0(К2П) .Оператор назы-

вается предельным оператором а{х,Ъ), отвечающим последовательности Н . к

Аналогично определение предельного оператора для ДЦО с операторным символом класса ОРБ°0 0(1Н) .принимающим значения в В(Ш),где И -гильбертово пространство, и удовлетворящим оценкам:

Будем говорить,что оператор АеОРБ°0 0(!Н) имеет оболочку, если любая последовательность ?гте 2гп,стремящаяся к бесконечности, содержит подпоследовательность,определяющую предельный оператор .

Основной результат параграфов 9-10 составляет следующая

Теорема 10.1 .Пусть А(.ОРБ00 0(!Н) и А обладает оболочкой,тогда следующие условия равносильны:

(I) существует оператор йеОРБ°0 0(Ш),такой что ПДО М-1, АВ.-1 имеют символы из пространства оператор-функций Л.ШварцаЭ(Кгп,В(Ш)).

(II)Все предельные операторы А обратимы в (КП,Ш) и существует число С>0,такое что

1А 1 Й[В(1, (КП,[Н))

с: гу

для любого предельного оператора Л.

Доказательство теоремы ЮЛ основано на технике бесконечных разбиений единицы в фазовом пространстве Имеет место и локальный вариант теоремы 10.1.Для* того чтобы его сформулировать введем компактификацию ®.п пространства Ш" "сферой" бесконечно удаленных точек.

Будем говорить, что оператор А(.0РЗ°о 0Ш) имеет локальную оболочку в точке т) £ ЭТ.если из любой последовательности ^«Г (Рт > Чщ) , удовлетворяющей условию:рт-т),можно выбрать подпоследовательность,определяющую предельный оператор А. Обозначим через множество всех предельных операторов,

отвечающих таким последовательностям.Это множество назовем локальной оболочкой оператора в точке Г[£9].

Теорема 10.3. Пусть АфР8°0 (Ш) и обладает локальной оболочкой в точке щИ,тогда следующие условия эквивалентны :

(I)4:1?(КП,1Н)->10(1КП,!Н) локально обратим в бесконечно удаленной точке ,

(II) все предельные операторы А^<3(А) обратимы в ^(О^.Ш) и существует такое число С>0,что | А~л\ъС для любого оператора А

€ е^и),

(1И Существуют левый и правый локально обратные к А в точке принадлежащие классу 0Рго0 0(И).

Отметим,что когда Ш конечномерно,то любой оператор АфРБ°0 0(1Н) обладает оболочкой и локальной оболочкой в любой точке т)е?г.Более того, в условии (11) теорем 10.1 и 10.3 можно опустить требование равномерной ограниченности обратных к предельным операторам.Оказывается это условие вытекает из .обратимости всех предельных операторов.Доказательство этого факта' потребовало введения новой шкалы пространств Ь2 р€ [ 1 ,«>] .Норма в 1г р((Н) задается формулами:

где Фа=Фа(г,С)-семейство ПДО с символами .имеющими носители в

кубе Ia-{ Ш2п: ix^-ctj/|s1, l^-V ' 1*1 >а=(а'

Z2"} и образующими разбиение единичного оператора псевдодиффе-

рендиалышми операторами,т.е.

Б 0 Ф *Ф„=Е о I

cxiZ а а aeZ2" а а Отметим,что 12(и$Н)=Ьг 2(И) и операторы класса 0PS°OiO(W)

ограничены в £г (И),peil,»].

Теорема 14.1.Пусть Ас OPS°0 0(Ш),!Н-конечномерно,

тогда следующие условия равносильны :

(t) существует p0€tl,»3.такое что Л-неторов в ^ р (И),

(tt) для любого р € [l.m] все предельные операторы обратимы в (Ш) для любого peil,»] существует число Ср>О,такое что для

любого предельного оператора А*= ©(1)

,/Г 1(В(Ь21р(1Н))5 ср' (IV) существует регуляризатор' Ке0Е!>о(Щ),такой что А4-1.4Д-1 являются ЦЦО с символами из класса Л.Шварца 5{0?2п,1В(Я)), (г;)Л-нетвров оператор во всех пространствах Ъг р (М).

Справедлив и локальный вариант теоремы 14.1, касающийся локальной обратимости ПДО класса 0Р5°о 0(Ш) в бесконечно удаленной ТОЧКе 7)€Э1.

В диссертации рассматриваются и ПДО не нулевого порядка с символами,удовлетворяющими оценкам:для любых мультииндексов а,(3 существуют такие константы Са р>0,что

■ 1ахРв5аа(х,?)8В(Ш)^рт(х,0, (5) где я(х,С)-весовая функция, т.е.положительная бесконечно дифференцируемая функция на Кгп, удовлетворяющая следующим оценкам : т(х,Ога(у,т))_1^С(1 + |х-у| + |?-'П1) ,С>0,6>0 . Важными примерами таких функций являются

функции:<£>3=(1+|?|}3, <х>31<?>3г,(1+|Х|+|||)а.

Класс символов,удовлетворяющих оценкам (5) »обозначим

®т0 0(И),а соответствующий класс ПДО через ОРШ™ 0. ,

С весовой функцией М(хД) связывается шкала функциональных пространств Ир*((Н) и операторы класса ОРФт0 0(!Н) .являются

ограниченными операторами из Ярм(!Н) в Н^111 (!Н).С помощью операторов редукции порядка теоремы 10.1,10.3,14.1 переносятся на

операторы класса ОРФШ0 0(1Н).

Рассмотрены многочисленные применения техники предельных операторов к вопросу разрешимсости различных классов дифференциальных и псевдоди$ференциальных уравнений .В частности, метод предельных операторов применен к задаче распространения гармонических акустических волн в неоднородной жидкой среде. Применения техники предельных операторов основаны на том,что, как правило,предельные операторы являются более простыми операторами ,чэм исходные,что позволяет во многих важных частных случаях указать эффективные условия их обратимости.

Рассмотрим некоторые примеры применения метода предельных операторов.

1. Пусть

дифференциально-разностный оператор,действующ}® из в

Н3"т(Жп).коэффициенты (Кп)-пространству бесконечно

дифференцируемых функций,ограниченных вместе со всеми производными.Более того эти функции медленно меняются на бесконечности,т.е.

\ааз(х)=0>

Методом предельных операторов получается следующее увтвервде-ние.

Теорем а.Оператор А нетеров из Я8(О?1) в Яэ_т(Кп) тогда и только тогда,когда :

(I) семейство разностных операторов

ии)(х)=Е а Ах) 1%(х-Па.), хек"

обратимо в 1г(Кп) для любой точки

(II) 11т 1п/ п _ 12|а|<и иДа ЛхПаехр1(1,Па1)!<?>"" >0. . В*» 11 ^ 3 3

2.Дифференциальные операторы с осциллирующими коэффициентами.

Пусть Ли.(аг)=Е|лa№(x)lfu(x) ,где ай(дг)-полу почти-периодические функции,т.е. ал(х) принадлежит замыканию в топологии C^(íRn} множества функций вида

где Ь^С^ЧШ")- и медленно меняются на бесконечности ,,с ^(х) --пространству равномерных бесконечно дифференцируе-мых почти-периодических функций. Из последовательности а (х+р ),Р можно выделить подпоследо-

« 1 га 1 m

вательность .сходящуюся в С4О(0?п)к некоторой функции ал(х)<_САР"{№Г1). Таким образом предельными операторами являются операторы вида

с почти-периодическими коэффициентами.Вопросы обратимости таких операторов рассматривались в работах Кобарна.Мойера, Зингера, Мухамадиева,Шубина и других авторов: 3. Рассмотрим оператор

Ait(x)=-c2U)p(x)diy(p_1 (х)чи(х) )u(x),xeO?n,

описывающий распространение акустических волн в неоднородной жидкости.Скороость звука с(х) .плотность среды р(х) отделенные снизу от нуля вещественные функции класса (?£(Шп),в{х) -неотрицательная функция класса (В?1), описывающая поглощение в жидкости.

Будем предполагать,что функции с (x),p(:r),s (г)-медленно меняются по = ,.. ) и медленно меняются по х -»».т.е. их частные производные по х¿ ,J=l,...,rz-1,стремятся к нулю при х'-кл,частная производная по устремится к нулю при Методом предельных операторов получено следующее утверждение Теорема . Пусть

Umr^ tn/|x^¡>p е(х) >0,

-тогда акустический оператор А обратим из í/s(íRn) в

Рассмотрена также С*-алгебра а операторов,действующих в LgíR"), поровденная 1Щ0 класса 0PS°Q (C)=0PS°o Q.Семейства ©(Л) предельных операторов образуют С*-алгебру с естественно введенными операциями сложения и умножения семейств, когда складываются и перемножаются предельные операторы, опре-

делаемые одними и теми же последовательностями. Норма в 9Г вводится по формуле

|©(4)|„Л=а1ф - М ■

Отображение Щ-*2Г .сопоставящее оператору А семейство ©М) .есть эпиморфизм С*-алгебр,ядром которого является идеал всех компактных операторов .действующих б Ьг(Жп).

В параграфе 19 рассматриваются ДЦО .действующие в сечениях векторных расслоений над некомпактным многообразием класса Щ(тг).К этому классу отнесены некомпактные (/"-многообразия Зез края,допускающие конечный атлас карт {1/1,ф1)н1=1 .где часть карт стандартна.другая часть карт такова,что ф1(У1) есть окрестность бесконечно удаленной точки в О?1,т.е. пересечение открытого конуса Г с центром в начале координат со внешностью замкнутого шара, причем функции перехода ф^оф"^ являются диффеоморфизмами класса т.е.

- сКф^"1) €

г

дх оз^оф"1 (х))=о(|хГе), еесо,1],ге=1,...,п - .

¡римером такого многообразия является поверхность в Кп+1, гмеющая вне некоторой окрестности начала координат вид: {геО?1*1 :гт1 = |хЧрз1гг|х' |ч , |гг>0,£'=(.£,,.., ,хп )€Кп+1>, )€ £0,1] ,д€Е0,1 ).р*<?€Ш,1 К

На многообразиях класса 91 (п) рассматриваются ДЦО, при-[адлежащие в локальных координатах классу Л.Хермандера 0РБ™• ((С»НСЪ),где класс символов определяется оценками:

|а^а5аиД)|50ае(1 + |гГ)г(1 + |5|)га-|гг| , - -

I локальных координатах, определяется семейство & Ш предель-ых операторов А ."Основной результат этого параграфа составля- _ т следу гада я

Теорема 19.2.Пусть 11&(п) .А&Р^^К.Е), -векторное расслоение над М размерности Я,функции перехода оторого удовлетворяют условиям:

е(0,1],й=1,...,п,тогда следупцие утверядения равносильны:

(t) ¿-нетеров оператор из IIs{M,Е) в Hs'm ■ ^ {Ы ,Е). ( i £ М-равномерно эллиптичен на И и все предельные оператор! 4<=© (Л) обоатимы из flm,r(D?\<CM) в LflR".^).

00 * <L

Добавление посвящено ПДО в экспоненциальных весовы: классах. Рассматриваются символы класса S^ Q О,допускающи( аналитическое прдолжение по £ в трубчатую область ПР+Ш^еК*1 и удовлетворяющие там оценкам :

sup | <э£а"а(х, Ç ) i <Ç>"mi С^ ^

ЦЦО класса OPSvm действуют из tffUiR") в Н?~т(О?1) ,где

D D D

lui -ibul а

Н3

71

Весовая функция ï? (от)> положительна и такова,что v(ïn b(x)) € Q для любой точки х еК*1.

Доказаны теоремы типа Фрагмена-Линделефа об априорно! новедениии решений псевдодафференциальных уравнений на бесконечности.Проиллюстрируем эти результаты на примере дифференциального оператора.

Теорем а.Пусть

Ли(х)=£, а 15maa (x)lfu(x) дифференциальный оператор с медленно меняющимися на бесконечности коэффициентами.Оператор A:HS (IRn)-*Hf~m(IRn),

at -t

(at(x)=ezp t<x>), нетеров тогда и только тогда.когда: (f.) 4-равномерно эллиптичен на Шп,

(II) llm tnf is а (х) (|+Ш)"|<£>~m>0

R-к» ixt^fl.ÇçR11 |a|Sm

ДЛЯ ЛЮбОЙ ТОЧКИ (jJçSn_ 1.

(ill) если выполнено условие (ii) Vîç[-1,11,to

и ç ffs (BP).Au ç H3~m (UP) -* и е H8 (BP),t>0 . a-i ai at В частности, из последней теоремы получаются оценки на беско

нечности собственных функций оператора Шредингера -v+q(x) ,гд

qfcrkC"^^) и Inf q(x) ¿г >0.

3. Третья глава (параграфы 20-22) посвящена методу пре

дельных операторов для исследования ПДО Меллина с операторны

символом на (Е+)п=К+х..Преобразование Меллина является традиционным аппаратом исследования дифференциальных и псевдодифференциальных операторов с разрывными символами на многообразиях с особенностями:коническими точками и ребрами .Эта теория изложена в основопологающих работах В.А.Кондратьева, В.Мазьи,Пламеневского Б.А. и их учеников.Отметим также примы-1ающие к этой тематике работы Шульце Б. Имеется значительное шсло прикладных работ, посвященных исследованию задач на яюгообразиях с особенностями.

Существенную роль играет преобразование Меллина и в теории вырождающихся дифференциальных уравнений .

Псевдодифференциальным операторм Меллина (ПДОМ) будем изывать оператор,действующий по формуле:

де и <еС£((К+)п,[Н),тГ''|Зг=т1_'1(21:1...т^-1йтп-мера Хаара, т-произведение на мультипликативной группе (Ш+)п,

имвол аС-классу,состоящему из оператор-ункций, удовлетворяющих оценкам:

1 г^аЗ£3аа,С)1Ш((Н) <1п П^О™,. 1т С^р, te(lR+)Iг ,

Через Ьг б((К+)п,!Н) обозначено пространство вектор- -дикций со значениями в (Н и нормой '

11

■и

с2б

1/2

(К+ )г

I.г.

а через ' ((К+) И)- пространство таких распределений со значениями в Ш,что

М =1|<1п г>г(1+т+|г)Б/гиц

где 1тС=1/2+б, 5+1/2=^+1/2, ...,бп+1/2).

Определение предельного оператора для ВДО Мэллина на ана-

логично определению предельного орератора для ЦДО на Кп с той . лишь разницей ,что аддитивные сдвиги по пространственным переменным заменяются для ЦЦО Мвллина мультипликативными сдвигами.

Доказаны теоремы аналогичные теоремам второй главы, дающие критерий нетеровости или локальной обратимости ПДО Меллина в терминах предельных операторов. Рассмотрим несколько примеров. 1.Оператором Эйлера в частных производных называется оператор

где аа(4К(Г((К+}п) и

' (б)

Пусть последовательность Ьт=ехр рт,где р -»».Из этой последовательности можно выделить такую подпоследовательность Ь, .что

а^П^^а^Л) в топологии С°°((Ж+) ) для некоторых функций

) «удовлетворяющих оценкам (6).

Оператор Эйлера (5),в котором аа заменены аа,назовем

предельным оператором Л,отвечающим последовательности К ' .Из

""к

теорем, доказанных в этой главе следует,что

нетеров тогда и только тогда когда : ({) ¿-равномерно эллиптичен,т.е.

(11) все предельные операторы' А оператора А обратимы из

?i®'c'(({R+)n) в L2i5((K+)'1).

В случав .когда коэффициенты aa(i) медленно меняются в окрестности границы. (Ш+)п,т.е.

Ilm sr а{ехр x)=0,J=1,n, i

то условие (ii) равносильно условию :

lim Inf r4islf1t<raao(e^)(^i(ö+1/2))a|<C>-m>0.

й-ко ит|>ЙДеКп |a|-w a

Б параграфе 21 рассматриваются С*-алгебры .порожденные ТДО Меллина .Обсуждаются вопрорсы нетеровости и локальной збратимости.

В параграфе 22 в качестве еще одного приложения техники ТДО Меллина изучается С*-алгебра,порожденная сингулярными штегральными операторами (СИО) на сложном контуре с осщшш-зующей касательной и коэффициентами,которые могут иметь огра-шченшв осциллирующие разрывы 2-ого рода.Построена С*-алгебра 'лавных операторных символов,в терминах которых сформулирован критерий нетеровости операторов из исходной алгебры.

Отметим,что банаховы алгебры .порожденные СИО на сложных ;у сочно-ляпунсвских контурах с кусочно непрерывными коэффицие-[тами рассматривалась в работах И.Ц.Гохберга и [.Я.Крупника,А.С.Дднина,Б.А.Пламеневского и В.Н.Сеничкина, [.Б.Симоненко .Б.Зильбермана и других авторов.

Некоторые классы СИО с коэффициентами,имеющими разрывы ¡торого рода исследовались И.Кацем, Р.К.Сейфуллаевым. ¡.В.Салаевым и другими.Однако, алгебры таких операторов ранеее :е рассматривались.

4.В главе 4 (параграфе 23-30) рассматриваются общие раевые задачи для псевдодифференциальных операторов класса PS™ Q на многообразиях класса 3\(п) с некомпактным краем клас-а Щп-1) с символами,удовлетворяющими условию трансмиссии тносительно края. •

Краевые задачи для псевдодифференциальных уравнений в граниченных областях пространства (Rn были рассмотрены. в икле работ М.И.Вишикз и Г.И.Эскина .Алгебра общих краевых адач на компактных многообразиях .содержащая вместе с нетеро-ам оператором его регуляризатор была построена Буте-де-Мон-

велем.Эта теория изложение в известной монографии Ремпеля Ш. Шульце БгВ., Теория индекса эллиптических краевы задач.Ы.Мир,1985.

Общие краевые задачи для дифференциальных уравнений неограниченных областях изучались Л.А.Багировым В.И.Фей-гиным. Краевые задачи для псевдодифференциальнь операторов на некоторых классах гладких некомпактных многобра зий с краем рассматривались в работах Х.О.Кордеса и его учени ков, А.К.Эркипа, Е.Шрое, Б-В.Шульце, Р.Я.Докторскогс Л.С.Ураадиной и др.

Метод предельных операторов позволяет рассматрива! более обще классы краевых задач,чем в указанных работах, краевым задачам метод предельных операторов ранее не примеши ся.

Пусть г+:5(Кп)-»3(0^)-оператор сужения,е+- оператор продолжения нулем функции из на В?1 ( ш"=-Слг€(Кп:^п>0>) -

Рассматриваются операторы,задаваемые матрицами

: © ©

5 (О?1"1,(Г7) 5(КП_1,(Г3')

где ЛеОЕЭ^ 0®В(СН) и обладает свойством трансмиссии относ! тельно плоскости хп=0 .^-потенциальный оператор порядка ,Т-следовой оператор порядка т-1,типа й,0-сингулярный операт< Грина порядка т-1,типа й, 0®В(£?ГГ')- ИДО 1

границе эК^К"-1. - • ' -

На символы ЦЦО,входящих в оператор Р,накладываются обы1

ные условия по импульсным переменным £ и условия ограниченно-ти вместе со всеми производными по пространственным переме: ным.

Определим теперь семейство предельных операторов д оператора краевой задачи Р.Пусть К^ компактификация "полусферой" бесконечно удаленных точек.Если т)<=91^\а31+ предельными оперторами оператора Р краевой задачи назов

г+Ле +

К

предельные операторы внутреннего оператора А,отвечающие последовательностям вида (рт»0), где р -»т].Если же т)€<391+ и 2"-1 ЭРд-*т), то предельными операторами Р назовем операторы краевых задач,которые строятся следующим образом.Из последовательности р^ можно выбрать такую подпоследовательность

р' , что "к

"к "к

л. *

"к

В написанных выше формулах

символы операторов краевой задачи (7).

Оператор

г+Ле+ +0 К Т оЬг'.О1)

/V Л/ ^ (V ^ ^

где А ,С,К,Т,Я{х\В') - операторы с символами

й(дг*,1), соответственно, называ-

ется предельным операторм краевой задачи .отвечающим последовательности р' ~»7?€ 332,.

Основной результат параграфа 25 составляет следующая Теорема 25.1.Оператор краевой задачи Р нетеров из Я13(К'1,СН)© Яа+1/2(0?п~1 ,(£?) в Яа"т (К",«^)® Я3-т+1/г(Кг\£,г). з>с2-1/2, тогда и только тогда,когда:

1) оператор Р краевой задачи равномерно эллиптичен в К",

2) для любой точки т]еЭТ+\ все предельные операторы внутреннего оператора Л,отвечающие последовательностям (р ,0),р->т| обратимы из «"((К11,^) в

3) для любой точки ткд31+ все предельные операторы А, отвечающие последовательностям (р ,0) , р'-*т} обратимы из Я3(ЕП,£Н)® я8+1/г(Кп-1>гг) в я3_т(Ег\сн)© я^^^-Чс^ьз^/г и нормы обратных равномерно ограничены.

Отметим,что условиям теоремы 25.1 можно придать эффективную форму,если символы операторов,входящих в оператор краевой задачи,медленно меняются на бесконечности по всем или по части переменных.Анализу возникающих при таких условиях ситуаций посвящен параграф 26. В параграфе 27 рассмотрены дифференциальные граничные задачи в полупространстве. Проиллюстрируем результаты этого параграфа на краевой задаче для одного дифференциального уравнения:

a{x,D)u{x)=Y,^iZmaa(x)lfu(x)=f(x),x^, (8)

jbä(x',D)u(x' )=7(Е Ъа3(х )lfu)(x )=f3(x) ,х\ SR"-1,

/=1,2......т.

Граничной задаче (3) сопоставим оператор U, действующий из Я3(К?) в Я3"2т(К?) Ф fls"TV2(tRn"1), з>тх Си.>+1/2 .

Как и выше, определяются предельные операторы a(x,D), отвечающие последовательностям Pm"1Tl€,Ji+ и отвечающие последовательностям рю-> т),€ЗЭ1+

Теорема 27.1.Оператор U краевой задачи (8) нетеров тогда и только тогда,когда:

(t) оператор a{x,D) равномерно эллиптичен на Ш",

(И) равномерно по (х* ' )eRr"_1xRn_1 выполнено условие Шапиро-

Лопатинского,

(Iii) для любой точки Т1€91+\Э31+ все предельные операторы a(x,D) обратимы из Н2т(№п) в L2(R"),

(lv) для любой точки T]£öSi+ все предельные операторы U=(r+a.(x,D)e+,Kb1 (x,D),...,ybm(x,D)) обратимы из ffs(K") "в Hs'2m((R^) ) для некоторого a>max{»» >+1/2 и

нормы обратных равномерно ограничены.

В параграфе - 28 рассмотрена задача об упругих колебаниях неоднородного полупространства,возбуждаемых-., внутренними и внешними гармоническими нагрузками.Комплексная амплитуда вектора смещений и.(х)=(и1 (х),иг(х),и3(х)) находится как решение системы уравнений в полупрстранстве К^=(х€К3:х3>0) öx (artkh ekh(u))+ ,/=1,2,3 (9)

r

при граничных условиях at3(u)(x1 ,x2)^pt(xi,x£),x, = (x1 ,r2)€K^,t=1,2,3. (10)

В формуле (9) предполагается суммирование по повторяющимся индексам, а^^Ст К Ьупругие характеристики среды со

стандартными свойствами симметрии относительно индексов г, ь.к.и и свойством положительной определенности:

В (9) е^(и) -компоненты тензора деформаций (и)- компоненты

тензора напряжений, Р(-плотность среда, 1п/ р(х)>0, б! а;3) -функция, х зрантеризующая поглощающие свойства среды, «-круговая частота гармонических колебаний. Более того, относительно функций а 1й1(ж),р(г) будем предполагать,что они медленно меняются да х' при .г'-ю» и медленно меняются по х3 при х -мо.Эти требования означают,что частные производные этих функций по стремятся к нулю при г'-*» ,а частная произ-

водная по лг стремится к нулю при х -*».Будем также предпола-' гать, что б(х3) медленно меняется при х3-»<».

Методом предельных операторов доказана следующая

Теорема 28.1.Пусть

И® е(г3)>0 , (11)

тогда оператор и краевой задачи (9), (10) нетеров из Нв (К+,(С ) В Я3~"2(К3,С3) Ф Н3_3/г(Кг,(С3). з>3/2.

Аналогичная теорема справедлива и для акустического уравнения в полупространстве

-сг(х)р(£)ег£и(р_1 (х)?и(х)) +(ыг+1е(х))и(х}=/(х),х£ Ж"

г, 1 {12)

и{х',0)=ф(х' ,

в предположении,что с(х),р(х)еСъм(0^) и медленно меняются по г'при х'-к» я медленно меняются по х при хп-*а> .

Условие (11) обеспечивает не только нетеровость задачи (12) из Я3(0?^) в й3"172^-1 ),з>1/2 ,но и ее обрати-

мость .

В параграфе 29 рассмотрены операторы общих краевых задач на некомпактных многообразиях класса ЗЦп.) с некомпактным краем класса Щп-1).В локальных координатах определяется семейство предельных операторов общей краевой задачи так же,как это было сделано в случае полупространства. Нетеровость общей краевой задачи равносильна одновременному выполнению условий: 1) равномерной эллиптичности, 2) равномерной обратимости всех пре-

дельных операторов.

Б главе 5 (параграфы 30-36) рассматривается акустическая задача (12) и ее дискретная аппроксимация в том случае .когда е(т )=0. Предельные операторы, в отсутствие поглощения не обратимы в пространствах типа ffs,поэтому в этой главе используются соображения, отличные от использованных в предыдущей главе и характерные для теории рассеяния.

В. этой главе предполагаются выполнеными следующие условия:

р(х),с(х)е1в)(Е^) и вещественны , Inf р(х)>0, Inf с(лг)>0, существуют такие функции Р0(^п) >с0(згп)€ равные постоянным при гп>й>0,что

|р(аг)-р0(гп) |<С(1+|Х| Гг5о, |с(лт)-с0(хп)|<(7(1 + |х|)"гбо,00>1.

Изучаются вопросы,связанные с- разрешимостью задачи (12), со спектральными свойствами акустического оператора, применимостью принципа предельного поглощения. Аналогичные вопросы обсуждаются и для дискретного аналога акустического оператора. Следует отметить,что предельным оператором в данной ситуации является акустический оператор для стратифицированной среды, определяемой скоростью звука cQ(xn)) и плотностью р0(агп).

Акустический оператор А, определяемый дифференциальным выражением -

и -c2(£)p(x)diu(p~1 {х)чи(х)) И граничным условием ti(x',Q)=0 реализуется как неограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве

Н= 1г(К^,с_г(х)р~1(x)dr) с областью определения

Од={и € D '(R"):5UBb +2diu(p~1 <?u)SL <«. }

Положим ö=b(ffP,<x>öcir).Основным результатом этой главы

является следующая

Теореме 33.1.1) Спектр оператора Л есть , 11-)ггочечный спектр ор(Л) состоит из не более,чем счетного множества собственных значений конечной кратности с возможными точками сгущения :0t»,

Ш) если \e(R+/o (Л), 6<e(1,ö0), то в (В(I2>Ö,I2 _0) существует предел

- 25 -К*(\)=ИтЁ_0 ЩХ±1е) , где £(2)~резольвента оператора Л,

И) оператор-функция К1 (Л.):К+-4В(Ь2 §,12 локально

•ельдерова с показателем гельдеровости'те (о',ггс1п{1,5/2-1/2).

При некоторых дополнительных условиях доказано отсут-!твие точечного спектра у оператора Д.

Рассмотрен аналог теоремы 33.1 для дискретного аналога (кустического оператора на .возникающего при

исленной реализации задач о распространении звука в неодно-юдных волноводах

Аи(х)=ЬГгсг(х)р(х)?* (р~1 (х)чи(х)),х&%, и(х',хп)=0 при -гп<0, де П- характеризует иаг разностной сетки,у,?* -дискретные залоги,соответственно, градиента и дивиргенции. Доказана 'еорема,аналогичная теореме 33.1,с тем отличием,что в дискрет-юм случае точками накопления точечного спектра .кроме точки юль могут быть конечное число других точек,что связано с ;аличием у дискретного лапласиана иных критических значений роме нуля. •

. ПУбЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

I.Рабинович В.С.Псевдодафференциальные уравнения в неограниченных областях// ДАН СССР,1971,тЛ97,N°2,-с.284-287.

3.Рабинович В.С.Квазнэллиптические дифференциальные уравнения и задача Коши для параболических уравнений// ДАН СССР,1971, т.201,К°5,-с Л056-1058.

3.Рабинович В.С.Псевдодафференциальные операторы на одном классе некомпактных многообразий // Матем.сб., 1972,т.89, №l,-с.47-60.

4.Рабинович В.С.Априорные оценки и фредгольмовость одного класса псевдодифференциальных операторов.// Матем.сб., 1973,Т.92Д°2, -с Л 95-208.

5.Рабинович В.С.Об эллиптических граничных задачах для неограниченных областей в пространствах функций экспоненциального поведения на бесконечности // Изв.СКНЦ BUI,ест.науки, 1974 ,N°4, -с.121-123.

6.Луцкий Я.А.,Рабинович В.С.Псевдодафференциальные оперзторы в пространствах функций экспоненциального поведения на бесконечности // Функц.анализ к его прилож.,1977,К°4,-с.79-80.

7.Рабинович В.С.Многомерные уравнения типа свертки в пространствах интегрируемых с весом функций // Матем.заметки,1974, T.16,N°2, -с.267-276.

8.Рабинович B.C. О нетеровости псевдодифференциальных операторов класса S™ s,0<5^psl,S<l.// Матем.зам.19а0,т.27,в. 63,-с. 457-467.

9.Рзбинович.В.С.0 разрешимости дифференциально-разностных уравнений на К" и в полупространстве // ДАН СССР, 1982, т. 243, N°5, -с Л134-1137.

10.Рабинович В.С.Об алгебре, порожденной псевдодифференциальными- операторами на В?1, операторами умножения на почти-периодические функции и операторами сдвига // ДАН СССР,1982, t263,N°5 ,-с.1066-1069.

II.Рабинович В.С.Об алгебрах псэвдодифференциалъных операторов, связанных с дифференциально-разностными операторами // Теория функций, функциональный анализ и их приложения, -Харьков, 1983,в.40. -с.119-124.

rtry <0 I

12.Рабинович В.С.О фредгольмовости многомерных интегрально-разностных операторов с разрывными коэффициентами// Теория функций, функциональный анализ и их приложения, -г.Харьков,в.44.

13.Rabnovlch V.S. .Lange B.Fredholmness of pseudodlfíerential operators with symbol from the class C™((Rn)/V Sem.Anal. 1984/1985, Akad.der Wlss DDR, Berlin, 1985, -p.147-163.

14.Ланге Б.В..Рабинович В.С.О нетеровости операторов типа свертки с ограниченными измеримыми коэффициентами// Язв.ВУЗов,МАТЕМАТИКА, 1985, №б, -с.22-30.

15.Ланге Б.В.Рабинович B.C. О нетеровости многомерных дискретных операторов свертки // Матем.заметки,1985, т.37, №3, -с.407-421.

16.Ланге Б.В..Рабинович В.С.Псевдодафференциальные операторы на ¡¡О1 и предельные операторы // Матем. сб. ,1986,т.12Э, Н°2,-с.175-185.

17.Рабинович В.С.О фредгольмовости псевдодифференциальных операторов на Rn в шкале пространств 1г // Сиб.матем.журнал, 1988,т29, Ы°4,- с.149-161.' 'Р

18.Рабинович В.С.Псевдодиффэренциальные операторы Мвллина и сингулярные интегральные операторы на сложном контуре с осциллирующей касательной// ДАН СССР,1991,т.321,№5,стр.692-696.

19.Рабинович В.С.Операторные дискретные свертки и некоторые их приложения// Матем.заметки,1992,т.51,N°5,-с.89-100.

20.Рабинович В.С.Метод предельных операторов в теории общих граничных задач // Дифференциальные и интегральные уравнения, математическая физика и специальные функции. Международная научная конференция 24-31 мая 1992г.Тезисы докладов , -Самара,1992,-с.205-206.

21.Рабинович В.С.Фредгольмовость общих краевых задач на некомпактных многообразиях и предельные операторы.// ДАН АН России, 1992, т. 325,№2,

22 Рабинович B.C. О существовании и единственности решения задачи о распространении звуковых волн в двухслойной неоднородной жидкости // Матем. методы прикл. акустики. -Ростов-на-Дону, 1986.-с.106-Í12.

23.Рабинович B.C. О спектральных свойствах разностной модели акустического оператора в неоднородном полупространстве // Матем. методы прикл. акустики,-Ростов-на-Дону, 1990,-с. 163-169.

24.Рабинович B.C. О разрешимости задач акустики открытых волноводов // Диф.уравн. 1990,т.26,-с.1278-1280.

25.Рабинович B.C.Спектральные свойства одного класса разностных операторов // ДАН СССР,1991,т.320,№l,-с.45-48.

26.Рабинович B.C. Теория рассеяния для акустического оператора в неоднородном полупрпостранстве// Изв. СКНЦВШД991, №l, -с.50-66.

27.Rabinovlch. V.S. Spectral and scattering theory lor acoustic operators In ,non-homogeneous fluids.Continuous and discrete models.// Symposium "Analysis on Manllolds with Singularities",Breltenbrunn 1990, TEUBNER-TEXTE sur Mathematlk.Band 131, 1992 ,p. 158-167.

Ответственный за выпуск М.В.Новицкий

Подписано к печати 12.05.93 г. Физ. п.л. 2 Уч.-изл. л. 2 Заказ % 64. Тираж 100 экз.

Ротапринт ФТИНТ АН Украины, Харьков Г64, просп. Ленина, 47