Сингулярные интегральные операторы и эллиптические задачи в негладких областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1 7 ОНТ ^

МОСКОВСКИ 11 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 517.95+517.983

ВАСИЛЬЕВ ВЛАДИМИР БОРИСОВИЧ

СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В НЕГЛАДКИХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.ВЛомоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 517.95+517.983

ВАСИЛЬЕВ ВЛАДИМИР БОРИСОВИЧ

СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В НЕГЛАДКИХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре математического анализа Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ВА.Кондратьев, доктор физико-математических наук, профессор И.КЛифанов доктор физико-математических наук, профессор ЮААлхутов,

Ведущая организация: Институт прикладной математики

имени М.В.Келдыша Российской АН

Защита диссертации состоится " _"_^ ^ _ 1996 г.

в_/¿Г час 2> 0 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.37 в

Московском государственном университете им. М.ВЛомоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, 2 учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан "_"_ 1996 г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор Е.И.Моисеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория одномерных сингулярных операторов, которые возникли в классических работах Д.Гильберта и А.Пуанкаре в начале XX века, к настоящему времени разработана достаточно полно. Однако имеется существенное отличие одномерной теории от многомерной, и это обусловлено рядом причин, главной из которых, на наш взгляд, является наличие в одномерном случае тесной связи между сингулярными интегральными уравнениями и краевой задачей Римана. В многомерном случае эти связи неэффективны, и поэтому многомерная теория имеет существенные отличия и строится на других принципах. Здесь же следует отметить, что теория многомерных сингулярных интегральных операторов (вместе с теорией дифференциальных операторов в частных производных) привела к созданию теории псевдодифференциальных операторов, которая бурно развивается по сегодняшний день.

Многомерные сингулярные интегральные операторы появились в работах Ф.Трикоми и Ж.Жиро в 30-е годы XX столетия в процессе исследования уравнений типа

а(х) и(х) + / К(х, х-у) и(у) сЗу = у(х), х е Б, (1)

где Б — область (поверхность) в т-мерном пространстве®™ , а интеграл в (1) понимается в смысле главного значения. Систематическое исследование

таких уравнении в случае

Б - ИГ было начато С.Г.Михлиным, который ввел понятие символа. В терминах символа было сформулировано условие нёте-ровости уравнения (1), а задача о регуляризации уравнения (1) была сведена к чисто алгебраической.

Результаты С.Г.Михлина были развиты в работах Р.'Г.Сили и перенесены на гладкие компактные многообразия без края. Сразу после этого стало ясно, что таким способом можно рассмотреть и более общие классы операторов. Появилась теория псевдодифференциальных операторов на гладких компактных многообразиях без края и теорема Атьи-Зингера об индексе эллиптического псевдодифференциального оператора, вобравшая в себя большое число частных случаев, рассмотренных ранее А.С.Дыниным, М.С.Аграновичем, А.И.Вольпертом, С.Г.Михлиным, Р.'Г.Сили, ААДезиным и другими.

В середине 60-х годов И.Б.Симоненко предложил локальный принцип исследования на нётеровость операторов локального типа (ярким представителем которого является оператор, стоящий в левой части уравнения (1)),

в известном смысле аналогичный хорошо знакомому специалистам по дифференциальным уравнениям в частных производных методу замораживания коэффициентов. С помощью локального принципа удалось рассмотреть случай компактных многообразий с гладким краем. Локальный принцип в последней ситуации сводит задачу о нётеровости многомерного сингулярного интегрального оператора к исследованию обратимости двух типов операторов. Первый тип возникающих операторов идентичен операторам, появляющимся в случае компактных многообразий без края, а второй тип операторов представляет собой одномерный сингулярный интегральный оператор с параметром, который обращается с привлечением аппарата классической краевой задачи Римана.

Подобные идеи оказались плодотворными в теории псевдодифференциальных уравнений на компактных многообразиях с гладким краем, которая была разработана в трудах М.И.Вишика и Г.И.Эскина, где было введено понятие факторизации эллиптического символа и в зависимости от индекса факторизации рассматривалась та или иная граничная задача. Разработка теории индекса граничных задач была начата М.Ф.Атьей и Р.Боттом и развита Л.Буте де Монвелем.

Выше были упомянуты две проблемы теории многомерных сингулярных интегральных (псевдодифференциальных) уравнений. Третья проблема возникает в той ситуации, когда граница многообразия кусочно-гладкая, имеющая, например, конические точки и ребра различных размерностей. Краевые задачи для дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений в этом аспекте изучались во многих работах В А.Кондратьева, В.Г.Мазьи и Б А.Пла-меневского, А.И.Комеча, Б.-В.Шульце. В последние годы наметились и другие подходы к изучению этих проблем.

Уравнения типа свертки с суммируемым ядром в конусе рассматривались И.Б.Симоненко, а более общие свертки были изучены БА.Пламеневским и М.Э.Юдовиным. Алгебры операторов, содержащих сингулярные свертки в конусе, рассматривались НЛ.Василевским и Р.В.Дудучавой. Стоит отметить, это операторы свертки в конусе, в частности, в квадранте на плоскости, возникают довольно часто в теории вероятностей, теории дифракции, теории упругости.

Основная идея настоящей диссертации заключается в следующем. При "локализации" в точке гладкости границы следует обращать одномерное сингулярное интегральное уравнение с параметром, и это осуществляется при помощи классической задачи Римана. Если же точка границы имеет тип "ко-

нус" или "ребро", то "локализованное" уравнение в такой точке предлагается исследовать с помощью многомерной задачи Римана и связанной с ней так называемой волновой факторизацией эллиптического символа.

Цель работы.

1) Исследование на нётеровость уравнений типа (1) и получение теоремы об индексе.

2) Исследование разрешимости псевдодифференциальных уравнений в конусах.

3) Постановка краевых задач для псевдодифференциальных уравнений в конусах на плоскости и получение теорем существования и единственности решения.

4) Изучение разрешимости некоторых задач теории дифракции и теории упругости разработанными методами.

Общая методика исследования. Работа основана на методах многомерного комплексного анализа, теории обобщенных функций, теории линейных уравнений в банаховых пространствах и разработанного автором аппарата многомерной задачи Римана.

Научная новизна. Все основные результаты дисертации являются новыми:

1) Разработана теория многомерной задачи Римана, решенной с помощью волновой факторизации.

2) Описаны условия нётеровости в пространстве (Б) многомерного сингулярного интегрального уравнения (1) в случае негладкой области Б и доказана теорема об обнулении индекса.

3) Получена полная картина разрешимости некоторых классов псевдодифференциальных уравнений в бесконечном угле на плоскости в пространствах Нг в зависимости от индекса волновой факторизации.

4) Рассмотрены корректные постановки краевых задач для псевдодифференциальных уравнений в бесконечном угле на плоскости и даны эффективные критерии однозначной разрешимости задач Дирихле и Неймана в случае, когда индекс волновой факторизации равен 1.

5) Выписаны в явном виде с помошью волновой факторизации решения некоторых псевдодифференциальных уравнений теории дифракции и теории упругости.

Теоретическая и практическая ценность. Работа, в основном, носит теоретический характер, и се результаты могут найти применение в разработке общей теории граничных задач для псевдодифференциальных уравнений в негладких областях. Кроме того, проведенное исследование уравнения (1) может быть полезным при исследовании прикладных задач, в частности, тео-

рии упругости. Что касается практической ценности работы, то в диссертации приведено решение разработанным автором методом двух важных задач теории дифракции и теории упругости.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах член-корр. РАН, проф. АВ.Бицадзе и проф. ААДезина в Математическом институте им. В А.Стеклова РАН, проф. В А.Кондратьева и проф. Е.М Ландиса в МГУ им. М.В Ломоносова, проф. И.КЛифанова и проф. Е.В.Захарова в МГУ, проф. В.П.Михайлова и проф. А.К.Гущина в МИАН, акад. В.С.Владимирова в МИАН, акад. В А.Ильина и проф. Е.И.Моисеева в МГУ, проф. БА.Пламенев-ского в С.-Петербурге, проф. АА.Бабаева в Бакинском университете, а также на V, VI симпозиумах "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" в Одессе (1991 г.) и Харькове (1993 г.), на XVI Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Нижний Новгород, 1991 г.), Воронежской зимней математической школе (1995 г.), Воронежской весенней математической школе (1995 г.), конференции "Современные методы нелинейного анализа" (Воронеж, 1995 г.) и систематически обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Новгородского государственного университета (рук. проф. А.П.Солдатов).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-17].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 252 страницах машинописного текста, состоит из введения и четырех глав, разбитых на 18 параграфов. Список литературы содержит 285 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приводится обзор работ, связанных с проблематикой диссертации, и дается краткое изложение содержания диссертации.

Первая глава посвящена построению теории многомерной задачи Римана.

Пусть Ст — выпуклый конус в т-мерном пространстве Ш™ , Т(СШ) — радиальная трубчатая область над конусом Ст — множество из Ст вида 11ш + г Ст.

Обозначим Сш конус, сопряженный конусу Ст:

Дт [ 1Т)т „ „т 1

С = (хе111 :х-у > 0, \/у е С }

Пусть Ащ (iRm) — пространство функций Ф(х), определенных почти всюду

HaiRm , допускающих аналитическое продолжение в Т(СШ), удовлетворяющее условию

/ | Ф (х + ¿у) |2 dx < М, Vy е Ст, IRm

где постоянная М зависит лишь от функции Ф .

Поскольку A,,, (iR™) — подпространство в L2 (iRm), то можно определить ортогональное дополнение этого подпространства в (iRm )

Bra(Rm) = L*(iRm)eAm(iRm)>

представляя, таким образом, L2(iRm) в виде прямой суммы подпространств Am(iRm)HBm(iRm):

Am(iRm)©Bm(iRm) = L2(iRm).

Постановка многомерной задачи Римана: найти две функции Ф+(х) такие, что Ф+ е Am (iRm), е Вт (iR™), удовлетворяющих почти всюду на iRm линейному соотношению

Ф + (х) - W(x) Ф _ (X) + w(x), (2)

где W(x), w(x) — заданные функции.

Будем обозначать С" (S™ 1) множество функций W(x), определенных на IR \{0} и бесконечно дифференцируемых на S* , a L^ (S ) — таких, что

ess sup | W(x) | < + и .

Пусть Cm — выпуклый острый конус BiRm, функция W(x) однородна степени 0 и W(x) е С°° ( Sm_ 1).

Определение 4.1. Однородной О-волновой факторизацией функции W(x)

Дш

относительно конуса С называется ее представление в виде

W - W^ W= ,

±1 ±1

где (ЧУ- ) допускает ограниченное аналитическое продолжение в Т (Ст)(Т - С™)), однородна степени 0 ио переменным х^ + гу1,... ,хт + гут и

Наличие 0-волновой факторизации позволяет выписать решение многомерной задачи Римана.

Для Т(Сш) определим ядро Бохнера

2 = («1. - ,гт),г1=х] + [у1,]=1,2,..., т, = г^у + ... + гт£т.

По ядру Вт(г) построим интегральный оператор От по формуле (От = 2 Ит / Вт(хх - I!,... ,хт_! - , гт - 1га )х

хи( I!,..., 1т ) сИ - и(х), гт = хт + к ,

где предел мы будем понимать в смысле ^-сходимости. Имеет место

Теорема 4.1. Пусть \У(х) однородна степени нуль, V/ е С°° (Б1" 1), О.УхеБ . Если W(x)

допускает однородную 0-волновую факторизацию относительно Ст, то многомерная задача Римана (2) для любой правой части V е 1у2 (111т) имеет решение, которое дается формулами

Ф+=|w?í(I + Gm)W.~1w,

Как и следовало ожидать, многомерная задача Римана тесно связана с некоторым сингулярным интегральным уравнением (аналогом характеристического сингулярного интегрального уравнения). Так, уравнение

а(х)и(х)+Ъ(х)(Оши)(х) = /(х)

эквивалентно многомерной задаче Римана (2), где

а х) - Ъ(х) / (х)

W(x) = - ~—, w(x) = —— . ^ ; а(х) + Ь(х) ^ ; а(х) + Ь(х)

Далее предлагаются конструкции решений уравнений вида

(АхР+ +А2Р_)и = /, (3)

где

(А1 и )(х) = а{ и(х) + / М1 (х - у) и(у) dy, х еШ™ , I = 1,2,

ш

Щ

М^х) — сингулярные ядра Михлина-Кальдерона-Зигмунда класса С™ (Ш™ \0),а;еС,Р+- оператор сужения на Ст, т.е.

(P+U)(X):

—оператор сужения HaiRm \ Сш.

и(х), х е Ст

0,х^Ст

Пусть ff,(f) — символ оператора А,, 1 = 1, 2,

afö) = ai + lim f М;(х)е1Х " dx . s 0 N CO '

s 0 £ < I x I < N

— 1 оэ Т1 — 1 —]

Теорема 5.1. Пусть а1 ({)а2®е С (8 ), а1 О

V е 1 . Если о\ 102 допускает О-волновую факторизацию относительно Ст, то уравнение (3) для любой правой части /е12 (111ш ) имеет единственное решение и е Ь2 (Шш), преобразование Фурье которого дается формулой

ап Й) + си (£) ~

+ К^ЧУ)) (й.

где (|) — элемент факторизации функции а у 1 (£) а2 (£).

На основании теоремы 5.1 оказывается возможным рассмотреть и уравнения в конусе вида

а и(х) + / М(х - у) и(у) dy = у(х), х е Ст . С„

В § 6 рассматриваются уравнения вида (3), где вместо конуса С фигурирует множество Ш" х Сю названное в работе ребром размерности п. Для такого множества можно определить оператор От _ д следующим образом:

(G m — п

и) (х) = 2 lim / Bm

т^От , tn-n

IR

zm ~ '-m ) u ( X1 > ■ • • > xn > + 1 ' ■ • ■ ' ) + 1 • • ■

dtm - u(x),

где zm = xm + ir, Bm _ n — ядро Бохнера для Сш n.

Пусть W(x) однородна степени 0 и W х С™ ( Sm_1). Определение 6.1. Однородной n-волновой факторизацией функции W(x) относительно Сга п называется ее представление в виде

W = W*W=,

±1 ±1

где W^ (W= ) допускает ограниченное аналитическое продолжение в

Т(С )(Т(-С )) по переменным хп + хш при почти всех Xj,...,xm , однородна степени 0 по переменным

Xi,... ,хп ,хп + г + iyn + 1,... ,xm + iym и W,, (W= ) е Leo (sm 1). Если рассмотреть уравнение

(AiPf"n)+A2P(in"ll))u = /> (4)

_ (m - n) lT)n „m - n „(т - п)

гдеР+ — оператор сужения на®. хС , Р~ ■ — оператор сужения HaiRn х (iRm n \ Cm n), то для уравнения (4) справедлива

Теорема 6.1. Пусть ах 1 (?) а2 (?) е С" ( Б™ '), с^ 1 (?) а2 (?) ^ О

У ? е 5т \ Если стх 1 ст2 допускает п-волновую факторизацию относи-

Дт - п ...

тельио С , то уравнение (4) имеет единственное решение

и е (Щт) при любой правой части / е (Ш"1), преобразование Фурье которого записывается формулой

--1

где (?) — элемент п-волповой факторизации а1 (?) а2 (?).

Вторая глава диссертации посвящена построению символического исчисления и изучению вопросов нётеровости многомерных сингулярных интегральных операторов Михлина-Кальдерона-Зигмунда в негладких областях.

Пусть Б — ограниченная область в п-мерном пространстве Ш™ с кусочно-гладкой границей №. Выделим на № множества Т0, Т!,..., Тт _ 2 точек, гладких линий и поверхностей, определяемых следующим образом. Каждое Тп

кп

представимо в виде Тп = и Тпк , и для каждой точки 1;лк е Тпк найдется

к = 1

окрестность ипк в Ш™ такая, что 11пк П Б диффеоморфно конусу С™к, который получается из конуса ¡Я" х Сш " вращением и параллельным переносом, так что начало координат переходит в точку 1.пк; при этом Ипк П <эБ соответствует ас™ , точка 1пк остается на месте, и якобиан этого диффеоморфизма в точке 1:пк равен 1. Для каждого Тпк конус Ст " один и тот же, и в дальнейшем

под С™ подразумевается конус с вершиной в точке 0, кроме того, предполагает - п _

ется, что конус С выпуклый, связный и не содержит целой прямой.

Под оператором Михлина-Кальдерона-Зигмуида в области Б мы будем подразумевать оператор

и(х) (--» а(х) и(х) +- / К (х, х - у) и(у) dy, хеБ ,

(5)

где а(х) &С°° (В), ядро К(х,у) е С°° (Вх (И^ \ { 0 } )) , однородно степени

/ К(х,у) с15у = 0, \/х еГ).

-ш и

т-1

По оператору (5) строятся три типа операторов (в зависимости от местоположения точки х):

ug) Н ffOM) и Й) ,х е D ,

-де а (х , £) — символ оператора (5), т.е.

ff(х , = lim / К(х,у) е^'у ^ dy,

Е °e<lyl <N N -> со

1 + ст (X, ©х £ ) ~

U«) Н-2 -U(g) +

1 - ст(х,0Х£)

: е a D \

(т — 2

UTn

п = 0

(6)

(7)

, 0Х — вращение Ш , переводящее гиперплоскость хт = 0

; касательную плоскость к № в точке х, Н — преобразование Гильберта по временной

u(|Vr)

~ . 1 + ff( x , (0X n ~ U(ö H- 2 x,n Ug)-

1 -g(x,yx.ng) ~

2 (^m-n u ) (s).

е Тп, (Рх п — вращение® , переводящее С в конус Ц,

_ По формулам (6) — (8) строится оператор-функция К(х), определенная в Б и принимающая значения во множестве Ь линейных ограниченных операторов, действующих в пространстве (Ж™) ■

Оператор-функция К(х) называется обратимой, если существует оператор-функция К \ х): Б -> Ь такая, что К(х) К 1 (х) = К 1(х)К(х) = 1, \/хеБ.

Оператор-функция К(х) называется операторным символом оператора (5). Имеет место

Теорема 8.1. Оператор (5) нетеров в пространстве (Б) тогда и только тогда, когда его операторный символ обратим и

М || Ксх)||х, > 0,хеБ.

Пусть х — точка гладкости границы Ж. В случае ш > 3 определим кривую ух следующим образом. Соединим точки а (х , - пх) и а (х , пх) па комплексной плоскости отрезком прямой и добавим к нему значения а (х , , когда £ меняется от - пх до пх вдоль дуги какой-либо большой полуокружности (пх — единичная внутренняя нормаль к ао в точке х, параллельно перенесенная в начало координат). В случае т = 2 строим две кривые ух" в зависимости от того, меняется ли £ вдоль левой или правой полуокружности.

Определим такие кривые ух для каждой точки границы аР, для точек х е Тп понимая подух всю совокупность кривых, связанных со всевозможными предельными значениями пу, когда у стремится к х, являясь точкой гладкости.

Доказана

Теорема 8.2.' Если выполнены следующие условия:

1) ст(х Д) * о , \/х е о , ^ е э1"-1;

2) 0 £ ух , ¡пс1ух = 0 (т > 3 ); 0 £ ух , тсЗ ух = 0 ( т = 2 ) \ZxedD;

3) а(х,£) допускает п-волновую факторизацию для \/хеТп,

п = 0,1,..., ш-2 относительно конуса Сх п, то оператор (5) нётеров в пространстве Ъх (Б).

Вопрос об индексе оператора (5) решается следующей теоремой.

Теорема 9.5. Пусть выполнены условия теоремы 8.2'. Тог да индекс оператора (5) в пространстве (Б) равен нулю.

В заключение главы 2 описывается процедура построения регуляризатора для оператора (5) в конусе и в области В. Приведем здесь один из результатов § Ю.

Рассматривается уравнение в конусе

/гп

М(х,х-у)и(у)с1у = у(х), хе С , (9)

ст

в пространстве (С™), и более общее уравнение

а! (х) (Р+У) (х) + / Щ (х, х-у) и (у) с!у + а2 (х) (Р_ и) (х) + Ст

/ГП

М2 (X, х-у) и (у) dy = У(х), хе® , 1Кт \ ст

в пространстве С®"1) •

Функция а(х) предполагается бесконечно дифференцируемой наШ™ — одноточечной компактификации 111ш, а ядро М(х,у) — переменным ядром Мих-лина-Кальдерона-Зигмунда, т.е. обладающим свойствами ядра К(х,у). Если обозначить буквой .М оператор

и(х) )—> а(х) и(х) + / М(х, х-у) и (у) dy, х е®™,

уравнение (9) можно записать в операторной форме

Р+ М и = v (10)

Определение 10.1. Пусть ст(х,£) — эллиптический символ класса

С" (И1т х З™"1) ,т.е.а(х ,£)/0,Ух£«иЛе З^1.

Будем говорить, что а (х , |) допускает гладкую 0-волновую факторизацию

относительно Сш, если при фиксированном х имеет место факторизация в смысле определения 4.1

и элементы факторизации о^ (х, £), а= (х, £) дифференцируемы по х. Приведем лишь

Следствие 10.3. Пусть М —^оператор Михлина-Кальдерона-Зигмунда с символом о(х,5),с(х,?)ес (С х Б ), V х е С , | е Б

Обозначим А, В — операторы Михлина-Кальдерона-Зигмунда с символами

1 + сг(х,|) 1 -а(х,|) 2 а (х, £) ' 2 а (х, £)

Если а (х , £) допускает гладкую 0-волновую факторизацию относительно

Дт „т

С для Vх е С

а (х , £) = сг^ (х, £) о = (х,й, то оператор Р+ М : L2 ( Сш) - L^ (Сш) имеет двусторонний регуляризатор в

т л®

пространстве L2 (С ), который представим в виде

Р+ (А - В N^ Pj-N^1),

где N^1 — оператор Михлина-Кальдерона-Зигмунда с символом ± aZ 1 (х, £).

Окончание главы 2 посвящено построению регуляризатора для оператора (5) в области D с границей, описанной выше, с учетом специфики его локальных представителей (6) — (8).

В главе 3 волновая факторизация применяется уже в более общем случае для эллиптических символов псевдодифференциальных операторов.

Пусть Ag),?eiRm, — символ псевдодифференциального оператора А, удовлетворяющий условию

Cj < ]А(?)(1 + Г а[ < С2) (11)

где Cj, С2 — положительные постоянные. Обозначим С+ конус вида

С+ = {х eiRm : хга > а| х' | , х' = (xj,..., xm_!), а > о} Определение 12.1. Волновой факторизацией символа А (?) относительно

г1а

конуса С+ называется его представление в виде

А(9 = А, (§)А= (?),

где сомножители А^ (?), A=(f) должны обладать следующими свойствами:

1)А^ (?), А=(?) определены всюду hairm, кроме, быть может, множества точек {| eiR™ : |f|2 = a2£};

2) А,.(?),А=(?) допускают аналитическое продолжение в Т (), Т (Cf ) соответственно, удовлетворяющие оценкам

I ± 1 I ±х

А,. (? + ix) < С! ( 1 + l|l + Irl ) ,

|а= 1 (? -ir)[ <t2(l + l?l + Irl {a ~X) , V tEC/, где cl — конус, противоположный конусу :

fci = - öa+

Число ж названо в работе индексом волновой факторизации. Приводится очень характерный пример, который в дальнейшем играет ключевую роль при рассмотрении двух прикладных задач. Рассмотрим оператор

2 2

А = - -Ц - ... - ^т + к2, к eiR \ { 0 } , щ эхт

с символом

+ + к2 - U12 + к2.

Показано, что такой символ А (?) допускает волновую факторизацию относительно конуса с индексом 1:

lrl2 + k2 =

лГ~г лГг 2 ~ 2 Т

V а + 1 V а Йт + i0) - - к

д / 2 д/~2 2 2 2~

V а + 1 4m- Va Йт + Ш) - 1|'1 -к

Установлено, что запас эллиптических символов, допускающих волновую факторизацию относительно Са+ , достаточно богат, точнее, для каждого эл-

со

липтического символа класса С при | * 0 и однородного степени а описана процедура построения эллиптического символа, допускающего волновую факторизацию относительно С* .

Единственность волновой факторизации относительно С* содержится в теореме 12.3.

В § 13 речь идет об одной специальной задаче теории дифракции, которая

рассматривалась Э. Мейстером и Ф.-О. Шпеком в следующей постановке: 1 з

найти функцию и ь Н (III ) удовлетворяющую уравнению Гельмгольца (д + к2) и(х) = 0, х еФ? \ г+ , (12)

где Д--лапласиан

2 2 2 3 д д д = —^ + —^ + —2. а Х| а х2 ах3

Г+ = {хе«3 : х3 = 0, х2 > |Х1 |}, с граничным условием Дирихле

и(х') = ё(х'), х'ег+, (13)

или Неймана

~ (х') = Ь (х'), х' е г+ (х3 = ± 0) (14)

ах3

У7 + — 5/2 +

где & Ъ — произвольные заданные функции, и е Н ' (Г ), Н е Н (Г ),

к е С , к = к1 ¡к2, к2 > 0, х' = (X}, х2).

Как задача (12), (13), так и задача (12), (14) Э.Мейстером и Ф.-О. Шпеком эыли сведены к псевдодифференциальным уравнениям на квадранте с симво-том (£ 1 + £¡2 ~ к21/2 • В диссертационной работе эти уравнения решены методом волновой факторизации.

§ 14 главы 3 посвящен одной из контактных задач теории упругости, а точнее, интегральному уравнению, описывающему статический контакт без фения клиновидного в плане штампа с упругим полупространством

а (15)

(х, у) е Я ,

где / (х , у) — заданная в двумерной области

Я = {(х,у) е®2 :у > а|х| , а > о}

функция, ё({; .V) — неизвестная функция, С^ определяется упругими постоянными полупространства, а ядро интегрального уравнения (15) — посредством обратного преобразования Фурье

1, , 1 Г Г 2 — 1/1 + уг/) ,

к(х,У) = J ] Й ) е ^ "'байт, 4л 2

Уравнение (15) — это уравнение Винера-Хопфа с псевдодифференциальным оператором, символ которого представляет собой функцию

/.ь2 ^

й + >7)

Поскольку оператор с таким символом не ограничен в шкале пространств Нэ, он возмущается и вводится символ

,.2 2 2 - VI (£ + V + £ )

Оператор, соответствующий символу (£2 + г]2 + е2) 1/2, обозначается К^, а невозмущенный оператор — К.

Таким образом, сначала решается уравнение

Р+К£р+ = /

Б 8 2

Решение р+ ищется в Н (£2) (функций из Н (¡К ) с носителем в а), а правая

3+1

часть / берется из пространства Н0 (Я) функций из Б' (£2), допускающих продолжение в Н3 + 1 (1]12), причем по определению

!!Щнз + 1(1К2); где тйтит берется по всем продолжениям I.

Приведем сразу окончательный результат после предельного перехода £ -»о .

Теорема 14.1. Пусть — 1 < э < 0 . Тогда уравнение

Р+КЧ = Г

+ 1

для любой правой части Г е Н0 (£2) имеет единственное решение д еН5 (£2), которое в образах Фурье можно записать в виде

qtf,71) = o1 1 (?,V , 0)Иш // -

^ (х, у) <1х с!у

^-^----

г-»0+ .2 а2(х,у,0) ((? - X) -а - у + к) )

где ^ — произвольное продолжение Г с £2 на Ш2, Г! е Н5 4 1 (К2);

(4, V

■ 0)=( V

2 ,/~2 2 а И |2 + Уа (|2 + .0)

СТ1 К . V , 0) = ( ^а2 + 1 + \/а2Й2-10)2

Имеет место априорная оценка:

Н0 (£2)

Заключительная глава 4 диссертации содержит наиболее общие результаты по отношению к главам 1 и 3. Здесь рассматриваются псевдодифференциальные уравнения в конусах на плоскости.

Псевдодифференциальным уравнением в конусе С+ называется уравнение вида

РАои+ =1,

(16)

Б 3. 5 2 3.

гдеи+еН (С+ ), т.е. и+ е Н (¡11 ) ,и+ (х) = Оприх £ С+ , Г задана в С+ , Р —

оператор сужения на С+, Ад — эллиптический псевдодифференциальный оператор с символом Ад (?), удовлетворяющим условию (11). Класс таких символов в работе обозначается Са .

Определение 16.1. 0-волновой факторизацией эллиптического символа Aq (£) £ Са относительно конуса С+ называется волновая факторизация этого символа в смысле определения 12.1.

Для краткости записи норма в пространстве Hq (С+ ) обозначается

|f«s+ •

Всюду ниже предполагается, что эллиптический символ Aq (f) е Са допускает О-волновую факторизацию относительно конуса С+ с индексом х .

Справедливы следующие результаты

Теорема 16.1. Пусть x-s = ô , i <51 < Vi. Тогда уравнение (16) для любой правой части f е Hq " (С+) имеет единственное решение u+ е Hs (С+), преобразование Фурье которого записывается в виде

где/f—произвольное продолжениеf eTIq а (С+ ) в Hs a(iR2).

Имеет место априорная оценка

llu+is ||f||s+_a .

Теорема 16.2. Пусть *-s = n+ <5,n>0, neZ, \ô \ <Vi. Тогда уравнение (16) для любой правой части f е Нд а(С+) имеет решение u+eHs(C'), преобразование Фурье которого записывается формулой

u+ (£) ^А^1 Q ( I + ) Q~1 А=1 /7+

п-1

k=0

+ Mfêi + a4"2)(?i - ai2) +

k, 4 kj = 0

где ск, (1к — произвольные функции из Н5к ), Н5к (¡11+ ) соответственно, О (?) — произвольный эллиптический многочлен степени п, удовлетворяющий оценке (11) с а = п , = б - х + к + ¡/г; к = 0,1,..., п - 1, ак]кг е С ,

п<5

1, <5 > О

2, <5 < О

причем формула (17) описывает все возможные решения уравнения (16). Имеет место оценка

|и+||5 <С

п-1 п4

-а +Е ([Скк + Е^и + 2 1аЬк: к=0 к,+к,=0

где [ ск ]3к обозначает Н "-норму функции ск, заданной на прямой.

В следующем результате содержится очень громоздкое представление решения, поэтому здесь приводится лишь часть теоремы 16.3.

Теорема 16.3. Пусть эе-5 = п+ <3,пе2, п<0, \д\ < ¡Л. Для того, чтобы уравнение (16) для правой части .ГеНц "(С+) имело решение из класса Н5 (С+ ), необходимо и достаточно выполнения условий

[а Эух

а ЗУ!

д

ЗУ2

д

ду2

1 д <И -1 т с , .

-г— + -— А_ И (у) а ¿у, ау2' " ; ;

&

1 <э а \ .-1„, ,

--г— + -— а_ а у а ау! ау21 ~ у '

у=0

= о.

ау] -у2<0 ау, + у2 = О

а _д__

, а ау.

а

аух ау2

^ А- "(У)

аУ1 - У2 ^ О аУ1 + У г - О

п

о

|/31 =0,1,..., п— 1

Упомянутое выше представление решение однозначно, и туда входят некоторые функции, через нормы которых получается и априорная оценка решения.

В § 17 на основании теоремы 16.2 ставятся краевые задачи для псевдодифференциального уравнения в угле на плоскости. Приведем лишь постановку задачи Дирихле, условия разрешимости которой достаточно эффективны.

В предположениях п = 1, £ = 0, а = 1 рассматривается уравнение (16). В этом случае общее решение уравнения (16) можно записать в виде

и+й!, ¿2) = А"1 ($1, ) (¿овх - + ¿оЙ1 + «г)) и, если сделать замену переменных

-£2 = х1> к +?2 = х2.

переписать в виде

и+ (X!, х2) = а^1 (X! , х2) (с (XI) + (1 (х2)),

где

и + (х! ,х2) = и +

а^1(х1,х2) = А

С (XI ) = ¿о (X], ),

Поскольку символ а,.1 (х) может быть не ограничен в окрестности нуля (например, в случае однородности степени а символа А (£), см. ниже), рассматривается возмущенное уравнение

РА(£)и+

причем предполагается, что символ А (£) обладает теми же свойствами, что и символ А (£), в частности, допускает 0-волновую факторизацию относительно

конуса С .

По символу А^' строится (а^) ' (Х5, х2) и функции

х2 + x] х2 - xi 2 "' 2

Х2 + Х! х2 - X! 2 ' 2

<1 (х2) = (х2),

b(i£)(x2)= f (acj}) V^jdxi, — 00

со

b2}(xi) = / (a(j))"1(x1,x2)dx2,

— со

и предполагается, что существуют

(е)

bj (х2) - lim Ъ\ (х2), х2 * 0, £ -О

b2(xn = lim b^£)(X!), xj О £->0

Обозначим Hs'ж (iR2) пространство обобщенных функций и(х), преобразование Фурье которых является локально интегрируемой по Лебегу функцией и (?) такой, что

«Ulis2, =/ Ги©|2|?|2"(1+ |?|)2(^х)(3|< + » IR2

Класс бесконечно дифференцируемых вне точки 0 и однородных степени а функций обозначается О™ .

По символу а^ и функциям bj(x2), b2(x,) строится некий функциональный определитель ДА(Я), образованный преобразованием Меллина введенных в

диссертационной работе функций, суммируемых с весом t~ 1/2 на положительной полуоси.

Доказана теорема о существовании и единственности решения задачи Дирихле: найти функцию u+ (х) е Hs'* (Г+ ), Г+ = {х eiR2: х2 > [xt | J, удовлетворяющую уравнению

(А и + ) (х) = 0, х е г+ , (18)

я граничным условиям

"+ = Vi

х2 = Xj

> О

у2

х2 = " Х1 XI < О

+ , , на сторонах угла аг ,*-8 = 1 + (5,|<5|<1^.

5-1/2 эг-1

Теорема 17.2. Пусть V!, у2 е Н ' (]В.+ ), А — эллиптический псевдодифференциальный оператор с символом А(£) е О™, х — индекс однородной 0-волновой факторизации А(£) относительно Г+ . Пусть выполнено условие

Ш|Да(А)| =¿0, Лея = 1/2. Тогда существует единственное решение и+ задачи Дирихле (18), (19) в

ах +

пространстве Н ' (Г ).

Имеет место априорная оценка

II Ms.it 5С(ЫЗ-1/2,*-1 +[У1]5_1/2,г-1)

Наконец, заключительный § 18 главы 4 содержит некоторые обобщения результатов § 16 на многомерный случай, когда конус представляет собой множество вида

Е+ = {е = («!,... ^т > 1 , а>0},

в соответствии со структурой которого вводится понятие (т-2)-волновой факторизации символа А(£) е Са .

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Абдуллаев С.К., Васильев В.Б. О некоторых классах многомерных сингулярных интегральных уравнений по полупространству в весовой гёльдеровой шкале // Сингулярные интегральные операторы. Баку: Изд-во АТУ, 1986. С.3-15.

2. Васильев В.Б. Граничные свойства многомерных сингулярных интегралов и геометрия негладких областей // Сингулярные интегральные операторы. Баку: Изд-во АГУ, 1987. С.47-53.

3. Абдуллаев С.К., Васильев В.Б. Регуляризация многомерных сингулярных интегральных уранвнений по области в гёльдоровых пространствах с весом / /' Сингулярные интегральные операторы. Баку: Изд-во АГУ, 1989. С.3-17.

4. Васильев В.Б. Об индексе многомерных сингулярных тнтегральных операторов // Сингулярные интегральные операторы. Баку: Изд-во АГУ, 1989. С.22-25.

5. Абдуллаев С.К, Васильев В.Б. Об обратимости многомерных сингулярных интегральных операторов по полупространству в весовых классах Гёльдера //Дифференц.уравнения. 1990. Т. 26, № 8. С.1408-1416.

6. Васильев В.Б. Сингулярные интегралы на компактных многообразиях с особенностями // Дифференц.уравнения, 1993. Т.29, № 9. С. 16421643.

7. Васильев В.Б. Сингулярные интегральные операторы в областях с углами на плоскости // Дифференц. уравнения, 1994. Т.ЗО, № 9. С. 1542-1552.

8. Васильев В.Б. Уравнения Винера-Хопфа и математическая теория дифракции //Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1994. Т. 34, № 12. С. 19021909.

9. Васильев В.Б. Интегральное уравнение одной задачи о вдавливании клиновидного штампа // Прикл. мат. и мех. (Москва). 1995. Т. 59, N9

2. С. 272-279.

10. Васильев В.Б. Многомерная задача Римана и связанные с ней сингулярные интегральные уравнения // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №

3.С. 528-530.

11. Васильев В.Б. Псевдодифференциальные уравнения с конусах//Дифференц. уравнения. 1995. 'Г. 31, № 8. С. 1403-1413.

12. Васильев В.Б. Многомерная задача Римана в трубчатых областях над конусами // Тезисы докл. XVI Всесоюз. шк. по теории операторов в функциональных пространствах. Нижний Новгород, 13-20 сентября 1991г. С. 36.

13. Васильев В.Б. Об обратимости многомерных сингулярных интегральных операторов в конусах // Тезисы докл. V Всесоюз. симп. "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики". Ч. II, Одесса, 15-19 сентября 1991 г. С. 70-71.

14. Васильев В.Б. Краевые задачи для некоторых классов эллиптических уравнений в четверти плоскости / /Тезисы докл. Воронежской зимней матем. школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики". Воронеж, 25 янв.-1 февр. 1995 г. С. 57.

15. Васильев В.Б. О структуре решения некоторых классов псевдодифференциальных уравнений в двугранном угле / / Тезисы докл. Воронежской весенней матем. школы "Понтрягинские чтения - VI". Воронеж, 20-26 апр. 1995 г. С. 21.

16. Васильев В.Б. О методе волновой факторизации для псевдодифференциальных уравнений // Тезисы докл. конф. "Современные методы нелинейного анализа". Воронеж, 26-29 апр. 1995 г. С. 21-22.

17. Vasil'ev V.B. On some classes of elliptic pseudodifferential equations in a plane infinite angle // The third International Congress on Industrial and Applied Mathematics. Hamburg, 3-7 July, 1995. Book of Abstracts. P.468.

1>-

ицензия ЛР № 020515 от 20.09. 93.

подписано в печать 20.09. 96 Формат 60*84 1/16. Бумага типографская, ч.-издл. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 40.Издательско-полиграфический знтр Новгородского государственного университета им. Ярослава Муд-зго. 173003, Новгород, ул.Б.Санкт-Петербургская, 41. Отпечатано в ПЦ НовГУ. 173003, Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская,41.