Сингулярные интегральные операторы с бесконечным индексом и некоторые их применения к задачам теории дифракции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им.В.А.СТЕКЛОВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

РГВ

/ i

он

На правах рукописи ^П /995 УДК 517.9+539.3

Грудский Сергей Михайлович

Сингулярные интегральные операторы с бесконечным индексом и некоторые их применения к задачам теории дифракции

01.01.03. Математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995 г.

Работа выполнена в Ростовском государственном университете.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.С.Буслаев,

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник С.В.Кисляков,

доктор физико-математических наук, профессор А.П.Сол-датов.

Ведущая организация:

Казанский государственный университет.

Защита состоится "_"_ 1995 г. в_часов на заседании Специализированного Совета Л 002.38.04 в С-ГГетербургском отделении Математического института Российской Академии Наук (г.С.-Петербург, ул.Фонтанка, 27, комн.311).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке С-Петербург-ского отделения Математического института АН России.

//Г по

Автореферат разослан " ° 1995 года.

Ученый секретарь Специализированного Совета Л 002.38.04 доктор физико-математических наук, профессор

А.П. Осколков

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Начиная с классической работы Н.Винера и Е.Хопфа появились тысячи оригинальных статей и десятки монографий, использующие метод факторизации для изучения многих задач в самых различных областях математической физики. Заложенные в методе Винера-Хопфа идеи и многочисленные приложения стимулировали интенсивное развитие теории сингулярных интегральных операторов, а также родственных (а во многих случаях и эквивалентных) теорий краевой задачи Рим ала, операторов Теплица, дискретных и интегральных уравнений Винера-Хопфа.

В настоящее время эти теории продолжают интенсивно развиваться, причем одно из приоритетных направлений состоит в усложнении рассматриваемых классов коэффициентов (символов). Так, большой вклад в исследование сингулярных интегральных уравнений с символами, имеющими разрывы второго рода внесли Х.Вай-дом, В.С.Владимиров, И.И.Данилюк, А.Девинац, Н.Я.Крупник, И.Б.Симоненко, И.М.Спитковский, Б.В.Хведелидзе и др.

Впервые краевую задачу Римана с бесконечным индексом (когда аргумент коэффициента получает бесконечное приращение в окрестности точки разрыва) систематически стал изучать Н.В.Говоров. Он, его ученики и последователи рассмотрели случаи степенного, логарифмического и степенно-логарифмического поведения аргумента символа. Отметим также недавние работы И.В.Островского, где методы Н.В.Говорова получили весьма существенное развитие и обобщение.

Параллельно с этим с конца шестидесятых годов в работах И.И.Гохберга, И.А.Фельдмана, Л.А.Кобурпа, Р.Ж.Дугласа, Д.Са-расона, В.Б.Дыбина, В.Н.Монахова, Е.В.Семенко и др. развивается теория нормальной разрешимости сингулярных интегральных операторов с разрывами почти-периодического типа, полупочти-периодического типа, с точками завихрения степенного порядка, т.е. по существу с разрывами типа бесконечного индекса. Эти исследования стимулируются как существенными связями в различ-

ных разделах функционального анализа и теории функций (теория базисов, теория подпространств, инвариантных относительно сдвига, граничное поведение целых и мероморфных функций), так и приложениями в ряде прикладных областей математической физики.

Отметим при этом, что в приложениях, как правило, возникают матричные задачи. В частности уравнения свертки на конечном интервале, которые являются основой исследования многих типичных задач теории дифракции механики сплошных сред, электродинамики и др. сводятся к матричной задаче, элементы символа которой имеют разрывы типа бесконечного индекса. Несмотря на то, что связь между этими уравнениями и матричной задачи Римана известна давно, лишь в начале восьмидесятых годов В.Ю.Новокшенову удалось доказать факторизуемость соответствующего матричного символа, что представляет собой первый (весьма существенный) шаг в исследовании уравений свертки на конечном интервале методом матричной задачи Римана.

Отметим, что несмотря на многочисленность исследований, посвященных уравнениям свертки, необходимость разработки строгих методов их решения, особенно эффективных в промежуточных областях, где не работают асимптотические методы, не отпала. Кроме того большинство асимптотических методов строго не обоснованы, в связи с чем не всегда понятны области их применимости, скорость сходимости к точному решению, равномерность полученных асимптотик по параметрам задачи и т.д. Таким образом развитие метода матричной задачи Римана, который позволяет в ряде случаев разрешить указанные проблемы, представляется актуальной задачей.

Цель работы.

1) Лля возможно более широких классов скалярных и матричных коэффициентов, имеющих разрывы типа бесконечного индекса, построение в пространстве Ьр с весом теории нормальной разрешимости сингулярных интегральных операторов, включающей в себя:

- критерии или достаточные условия фредгольмовости, по-луфредгольмовости, односторонней и обобщенной обратимо-

сти;

- явные конструкции соответствующих обратных операторов;

- описание ядер и образов.

2) Развитие метода матричной задачи Римана решения уравнений свертки на конечном интервале и исследование на этой основе задачи распространения звука в многослойном стратифицированном волноводе с составными граничными условиями на поверхности.

Научная новизна.

Построена теория нормальной разрешимости различных классов сингулярных интегральных операторов с бесконечным индексом, в том числе с символами, имеющими разрывы почти-периодического и полуночти-периодического типов, точки завихрения степенно-логарифмического, сверх степенного и дологарифмического порядков. Разработан метод и-факторизации, позволяющий исследовать многие классы скалярных и матричных операторов с осциллирующими символами. Развит метод матричной задачи Римана исследования уравнений свертки на конечном интервале, на основе которого решен ряд проблем в задаче распространения звука в волноводе с составными граничными условиями на поверхности: задача существования и единственности, построение и обоснование алгоритма приближенного решения, построение и строгое обоснование равномерных асимптотических формул, обоснование принципа предельного поглощения, вычисление матриц отражения и прохождения.

Достоверность полученных результатов вытекает из полноты и строгости приводимых доказательств и контролируется сравнениями в тех случаях, которые имеются в литературе.

Практическая значимость.

Полученные результаты применимы для качественного и численного исследования ряда задач теории дифракции, механики сплошных сред и др.

Апробация работы.

По материалам диссертации были сделаны доклады на 1-У Все-

союзных конференциях по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (г.Черноголовка, Ногинский научный центр АН России, февраль 1977 г., февраль 1979 г., март 1981 г., февраль 1983 г., февраль 1985 г.), на Сухумской математической школе по приложениям комплексного анализа и теории потенциала (май 1977 г.), на Республиканской конференции по пространственным задачам математической теории упругости, граничным задачам теории функций и сингулярным интегральным уравнениям (г.Тбилиси, ноябрь 1983 г.), на Всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (г.Харьков, май 1985 г.), на I-IV Всесоюзных конференциях "Математические методы прикладной акустики" (г.Ростов-на-Дону, сентябрь 1983 г., г.Волгодонск, сентябрь 1985 г., сентябрь 1987 г., г.Одесса, сентябрь 1989 г.), на всесоюзных, международных конференциях "День дифракции" (г.Ленинград, июнь 1984 г., июнь 1986 г., июнь 1988 г., г.С.-Петербург, июнь 1992 г.), на 10 международной конференции по проблемам и методам математической физики (ФРГ, г.Хемниц, сентябрь 1993 г.), на 5 международной школе по эволюционным задачам (Крым, Ласпи, сентябрь 1994 г.), на Одесском городском семинаре по краевым задачам в 1983 и 1987 г.г. (рук. проф. Г.С. Литвинчук), на семинаре по сингулярным интегральным операторам математического института АН Грузии (1986 г., рук. проф. Б.В.Хведелидзе), на семинаре лаборатории теории упругости Краснодарского государственного университета (1986 г., рук. проф. В.А.Бабешко), на семинаре по гранично-контактным задачам Ленинградского государственного университета (1990 г., рук. проф. Д.П.Коузов), на семинаре по асимптотическим методам теории дифракции С.-Петербургского отделения математического института АН России (1995 г.,рук. проф. В.М.Бабич, В.С.Булдырев), неоднократно на семинаре по псевдодифференциальным операторам кафедры алгебры Ростовского государственного университета (рук. проф. И.Б.Симоненко).

Публикации.

Основные результаты работы опувликованы в [1]—[19].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 16 параграфов, добавления (§17) и списка литературы. Работа занимает 386 страниц машинописного текста, список литературы содержит 220 наименований.

Основное содержание работы

Во введении указаны основные задачи, рассматриваемые в работе, приведен краткий литературно-исторический обзор, дано описание основных идей и методов работы.

В первой главе приводится общая схема исследования в пространстве Lp(T,g), I < р < оо, скалярных операторов вида

(1) А„,г = a(i)Pp" + Pf,

где a(t) € 1/оо(Г), Р^ = \{I ± 5г) — аналитические проекторы, S\--

сингулярный оператор, задаваемый, как обычно, по формуле

№/)(*) = [ Щлт, Г е г.

жг JTr-t

Здесь Г — замкнутая карлесоновская кривая, разбивающая комплексную плоскость С на две односвязные области — ограниченную 2?р и неограниченную I>f, а степенной вес g(t) имеет вид

m

(2) e(t)=Y[\t-tk\a-, -1<ак<р- 1.

к=1

С этой целью в §1 введено следующее понятие факторизации с бесконечным индексом. Пусть ¿¿ЦГ) обозначают подпространства ¿оо(Г) функций, аналитических и ограниченных соответственно в Т>р. Будем говорить, что функция a(t) € £оо(Г) допускает (h,p,g)~ факторизацию, если имеет место представление вида

(3) a(t) = he(t)b(t), е = ±1,

где h(t) 6 /i-1(i) € £со(Г), а функция b(t) допускает (р,р)-

факторизацию (b(t) € fact(p, g)):

(4) b(t) = b-(t)(t-zo)"b+(t),

где x — целое число, называемое индексом факторизации b(t), zo € fp, а функции b±{t) удовлетворяют следующим условиям

Г b-(t) € L~{I\f?) Ф {с}, (г (ОГ1 G ^(Г.е1-«) © {с},

\ b+(t) е (ь+ЮГ1 € (r,g1_i),

где Lp (r,ß) = 0)), + = 1, а {с} — одномерное про-

странство констант и

(6) оператор Кг = ограничен в Lp{Г, g).

Факторизация (3) является необходимым и достаточным условием односторонней обратимости оператора А^г (0.1) в пространстве Ьг(Г) для гладкой кривой Г и достаточным условием этого факта в пространстве Lp{Г, д).

Теорема 1.4. Пусть функция a(t) € Ь«>(Г) допускает (Н,р,д)-фак-торизацию (3) с индексом (р,о)-факторизации функции b(t), равным нулю.

Тогда, еслие = —1, то оператор Ав,г обратим справа в пространстве Lp(T,g), а оператор вида

где b(t) = b-(t)b+(t) — (p,g)-факторизация b(t), является одним из правых обратных оператора A0ip.

Для того, чтобы. <p(t) € ker Ae>r необходимо и достаточно, чтобы

где ф+it) е /^(кегАь,г).

Если же в = 1, то оператор А0,г обратим слева в пространстве Lp(T,g), а оператор

является одним из левых обратных оператора Аа,г-

Для того, чтобы f(t) £ imA,,^ необходимо и достаточно выполнение следующей системы, условий ортогональности

J^i(t)f№ = 0, 3 = 1,2,...,

где

*<•>=йг? ((t-v)A(,>>+(.))е L'(r's"')-

a Zq — фиксированная точка области PjT.

Предлагаемый метод (как это видно из теоремы 1.4) позволяет сводить описание ядра оператора Аа,г к описанию ядра оператора Afc-i,r (в случае г — —1) с аналитическим символом, для которого выполняются условия h{t) € (Г),

£ £вв(Г). Символы такого сорта мы называем модельными функциями, а подпространства кегАд-^г — модельными подпространствами.

Описанию модельных подпространств посвящен §2. Основное внимание здесь уделено характеризации кегАд-^г в терминах граничного поведения составляющих его элементов. Поясним основную идею получения такой характеризации.

Очевидно, что произвольный элемент f(t) € ker Ад-i^ удовлетворяет равенству

h~\t)f+(t) + /-(«) = 0, /=»=(<) =

и в силу этого аналитичен внутри Г (за исключением, быть может, полюсов Л-1(<))> а во многих случаях и в более широкой области. Пусть 7 — некоторая кривая, для которой как и в случае

Г h(z) € £¿(7) и Л-1 (z) € Ьоо(т)- Тогда при некоторых ограничениях на 7 имеет место совпадение пространств kerA^-i^ и ker Aa-i,7. Это обстоятельство позволяет при описании множества кегАд-1)Г использовать кривые, достаточно удаленные от Г, и получать на этом пути оценки поведения /(f) в окрестностях точек разрыва h(t).

Перейдем к точным формулировкам.

Пусть h(t) — модельная функция на кривой Г. Будем говорить, что кривая 7 € h, Г) , если

1) кривая Г U7 разбивает Z>f и Pf на конечное число односвяз-ных областей, ограниченных карлесоновскими кривыми;

2) функция h(t) аналитически продолжима на 7, ее продолжение h(z) является модельной функцией на кривой 7 и удовлетворяет условию

inf |Л(*)|>0, где Vr,y = (V+ U2>+) П7?+).

Теорема 2.1. Пусть функция h(t) является модельной на кривой Г € Т. Тогда, если j € то

kerAfc-^rlt^r.e) = kerAh-l)7|x,(7lff7).

Далее потребуем, чтобы кривая Г была кусочно-гладкой, а функция k(t) удовлетворяла следующим условиям

a) h(t) непрерывна на множестве V? \ {tfc}£=1, где f* € Г;

b) существует такая пара кусочно-гладких кривых 7±, что 7± € ^(/i, Г), 7± с Vf, и в достаточно малых окрестностях точек tk, 1 < к < п, имеют место оценки

(7) d{t, 7±) > const |i - tk\1+Xk у t € Г, At > О,

где d{t, 7±) обозначает расстояние от точки t до кривой 7±, а постоянная const от t не зависит.

Сформулируем теперь основной результат §2, предварительно вводя обозначение M(h) = Pp"(ker Аь-1,г)-

Теорема 2.2. Пусть h(t) — модельная функция на гладкой кривой Г, удовлетворяющая условиям а) и Ь), с множеством нулей {zj} С ■Dp соответственно кратностей {пу}, а точки tk, íjt € Г, являющиеся точками разрыва функции h(t), совпадают с первыми п узлами веса q(í) вида (2) с показателями cck, быть может, равными нулю.

Для того, чтобы /+(í) € M(h) в L+{Y,q), необходимо и достаточно, чтобы функция f~(t) = /i-1(í)/+(í) допускала аналитическое продолжение в область С\ ({*к}£=1 U {zy~}), исчезающее на бесконечности такое, что точки zj являются его регулярными точками или полюсами порядков не выше rij, а точки tk — регулярными, изолированными или неизолированными особыми точками, в окрестности которых выполняются оценки

\r(z)\ < okizMzT'iz-nr^d-i^i-), z € vf-,

|/-(2)| < ok(z)\z - 7+)> * € Щ,

где 7± удовлетворяет условиям b) и (7), a lim.z_it Ok{z) = 0.

На основании методов, разработанных в первой главе, в главе 2 проводится изучение некоторых конкретных классов операторов.

Так, в §3 изучаются сингулярные интегральные операторы с символами, имеющими разрывы почти-периодического типа.

Через Пс(М) обозначим класс всех равномерных почти-периодических функций. Он совпадает с замыканием множества почти-периодических полиномов вида

п

а(х) = ^ су exp(i(Tjx), a¡ € R, су е С, j~i

по норме пространства Lco(R). Пусть а(х) 6 Пc(R) и выполнено условие infxeR|a(x)| > 0. Тогда почти-периодическим индексом функции а(х) назовем действительное число

(8) <т(а) = lim i arga(x)|'_,.

/—►со ¿l

И.И.Гохбергом и И.А.Фельдманом было построено следующее представление функции а(х) € Пс(К)

а(х) = exp(icra:)b(a;),

где а — <г(а), a Ь(х) допускает (р, е)-факторизацию для любого 1 < р < оо. Это представление является частным случаем (3), и поэтому к оператору Аод, а(ж) € IIc(R), может быть применена в полном объеме теорема 1.4, причем случаю <т > 0 соответствует е = 1, а <г < 0 — £ — —1. Возникающее при этом подпространство ker AeXp(_i|i7|r)jR, с помощью которого описывается ker Ав,к, совпадает с известным классом L° ß (<т > 0), состоящим из целых функций экспоненциального типа, не превосходящего а, принадлежащих на R пространству в). В силу этого L° e может быть охарактеризовано с помощью теоремы 2.2.

Прежде чем привести соответствующий результат, введем классы Lp^ = P£{Lp e) и степенной вес на вещественной прямой

m

(9) q(x) = \х + i\a° ДИ- ' ®fe € R,

к-1 тп

где — 1 < afc, а < р — 1, а а = £ ак-

¡ь=о

Теорема 3.8. Пусть h(x) = exp(iax), а > 0, а вес д(х) имеет вид (9). Тогда в пространстве g) M(h) = ££+. При этом

следующие утверждения эквивалентны:

1) /(»)€££,•

2) функция f(z) является целой функцией экспоненциального типа, не превосходящего о, для которой справедливы оценки

(10) \f(z)\<0{z)\z + i\-f, 1Ш2>0,

(11) \f(z)\<0(z)\z-i\-fexp(-almz), lm*<0, где

(12) lim 0(z) = 0.

|l|—»oo

При этом оценки (10) и (11) точны в том смысле, что для любой положительной функции 0(г), удовлетворяющей условию (12), найдутся функция /(г) € и сходящаяся к бесконечности вещественная последовательность {атя} такие, что

Известно, что функции класса L* ограничены и убывают на бесконечности. Теорема 3.8 содержит этот результат при а = 0, дополнительно указывая на то, что отмеченное убывание может быть сколь угодно медленным.

В §4 рассматривается случай полупочти-периодического разрыва, когда символ оператора (1) лежит в подалгебре алгебры ¿oo(R), порожденной множествами Пс(К) и РС(R), где РС(М) — пространство всех непрерывных на R функций, имеющих конечные (вообще говоря различные) пределы при х —*■ ±оо. Модельная функция, соответствующая этому случаю, строится на основе известной специальной функции интегрального синуса

(13) Si(x) = - Г S-^ds.

К Jo S

В §5 исследуется случай бесконечного индекса степенно-логарифмического порядка. Именно, пусть ограниченная, отделенная от нуля функция a(í) определена на кусочно-гладком замкнутом контуре Г, непрерывна на множестве Г \ {íjt}¡Lj, а в точках G Г претерпевает разрывы следующего вида

(14) <

где 1 < к < п, о^, cf € R, причем cf —произвольные вещественные числа, <xf ф 0 и sign(7¿" = sign<r¿", 0 < < irjfpk и имеют место

Ит o(ajga(í) + ff+|í - Ífe|-A* h"* (|< - í^"1)) = с+, Iim (argа(<) - <r¿"|t - tk\~A* - i*!"1)) = c* ,

соотношения

если

О < А* < тгДOh, то — оо < i/f < оо,

(15)

если если

f/Vfc. Л£ = 0,

то то

"Г<0>

uf > 1,

где <рк — величина внутреннего угла, образованного полукасательными в точке it- Методика главы 1 позволяет построить теорию нормальной разрешимости оператора А^г и в атом случае. Сформулируем здесь лишь качественный вариант этой теории, предполагая При ЭТОМ, ЧТО В ПОЛуОКреСТНОСТЯХ wf ТОЧКИ tfc выполняются оценки вида

(16) d(t,Cf) < const|i — t*|1+A* In-"*(|i — ik|-1), tewf,

где Cf — полукасательные контура Г в точке f*.

Теорема 5.4. Пусть функция a(t) е Ьоо(Г), essinfjgr laWI > 0, непрерывна на множестве Г \ {ijb}J}=i, а в точках it претерпевает разрыв второго рода вида (14), (15). Пусть кусочно-гладкий контур Г удовлетворяет условиям (16). Тогда если

1) signtr^ = — 1, 1 < к < п, то оператор Аа г обратим справа в

Lp(Y,e).

2) signer^ =1,1 < к < п, то оператор А<,г обратим слева в LP(T,ß).

3) signo^ = 1 при 1 < к < m, а при m + 1 < к < п signer^ = —1 (m < п), то оператор А0,г не является нормально разрешимым ни в одном пространстве Lp(T,g), причем dimker А„,г = dimcoker Ао,г = 0.

Глава 3 занимает центральное место в диссертации. С одной стороны в ней содержится существенное развитие идей предыдущих двух глав, что позволяет изучать новые, весьма широкие (в том числе и матричные) классы операторов с бесконечным индексом, а

с другой она служит базой для исследования в следующей главе задачи теории дифракции.

Основной объект исследования здесь — эквивалентный оператору (1) матричный оператор Теплица вида

(17) Т(А) = P+AI,

действующий в пространстве Ьр^п\т0) с символом A(t) £ £то*"^(Го). Индексы вверху обозначают соответственно пространства вектор-и матриц-функций размерности п, а Го — единичную окружность.

Исследование матричных операторов проводится на основе введенного в §6 следующего обобщения понятия (h,p, £)-факторизации.

Пусть Uj(t)( 1 < j < п) — внутренние функции {uj(t) е Ь£>(Го) и почти всюду на Го |uj(f)| = 1). Будем говорить, что матрица-функция A{t) € ЬтоХ"^(Го) допускает ({«¿}"=1,р)-факторизацшо (1 < р < оо), если она представима в виде

(18) A(t) = A~(t)A{t)A+(t),

где Л (t) = diaglujSuj2,... = 1 при l < j < m, e¡ = 0 при

m < j < l, £j = —1 при l < j < n (1 < m,l < n;m < l + 1), a крайние множители A±(t) удовлетворяют условиям (5), (6) в матричном варианте.

Теорема 6.4. Пусть матрица-функция A(t) Е lÁ£*n\To) и допускает ({и}}"=1,р)-факториэацию. Тогда оператор Теплица Т[А)

(17) является обобщенно обратимым в пространстве Ьр^п\т0). При этом, если I = п, то Т(А) обратим слева, если m = 1, то Т{А) обратим справа, если же m = 1 ul = п, то Т(А) двусторонне обратим в Lt(n){ Го). Во всех случаях существует соответствующий обратный оператор, который может быть записан в виде

[Г(А)]-1 = P+fA+ÍOl^A-^OP+^-ÍO]-1/.

В §7 разрабатывается теория факторизации и-периодических матриц-функций, с помощью которой может быть построена

({«¿}"=1,р)-факторизация многих матриц-функций с осциллирующими разрывами.

Пусть u(t) — внутренняя функция, a F(t) G ь[п*п\г0)- Тогда суперпозиция F(u(t)) называется ы-периодической матрицей-функцией.

Основой метода u-факторизации является следующий результат. Пусть для внутренней функции u(t) 7« обозначает следующее отображение

(7uF)(t) = F(u(t)).

Теорема 7.1.

1) Отображение 7« является мультипликативным гомеоморфизмом алгебры Ь^Хп\То) в себя. При этом подалгебры ЬюП*п\То) инвариантны относительно

2) Отображение 7U является линейным ограниченным оператором в пространстве 1 < р < оо. При этом подпространства Ьр^п*п\Го) и Lp^nxn^(T0) @ {с„} инвариантны относительно 7U и для любой F{t) € £рПХ"^(Го) имеют место оценки:

1/р < ik Я| < f 1±К0)1)1/p il pit

Отметим, что последние неравенства представляют собой, по-сутцеству, классическую теорему Литлвуда о композиционных операторах. На основе теоремы 7.1 доказывается ряд результатов о факторизации суперпозиции F(u(t)) для различных классов матриц-функций F(t).

В §8 с использованием метода u-факторизации рассматриваются скалярные задачи с бесконечным индексом. Изложение ведется для случая Г = Го (t = exp(iff)) и одной точки разрыва i0 = 1.

Пусть вещественнозначная функция /(в) определена и непрерывна на множестве [-7Г, 0) U (0, зг] и монотонно возрастает на каждом

из этих полуинтервалов так, что lim /(в) = =роо. Введем обратную

0—±о

функцию 6{х) = /_1(—х), которая определена для всех а; € R \ {0}, и последовательность функций

Предположим, что функция 0(х) удовлетворяет условиям

О

V1 + РУ .пп.

0U)-e(n) ) <00>

jïn

ii) При п —» +оо ип-> —оо последовательность i/)„(s) равномерно сходится на отрезке [—1/2,1/2] к непрерывным функциям так, что lim фп(1) = ФМ, lim фп(в) = —ф(—з), и ф(1/2) >

п—«+оо п—оо

О, tf (-1/2) < 0.

Решающую роль при получении приведенной ниже факторизации играет построение соответствующего произведения Бляшке вида

(1") *«>= П M < 1,

к=—оо

Теорема 8.4. Пусть функция a(t) непрерывна на Го \ {1}, a(t) и (1 fa(t)) G Xoo(Po)i о, в точке t = 1 a(t) претерпевает такой разрыв, что

lim (arg(a(exp(iô)) - 2тге/(0))) = 0, е = ±1,

где функция 0(х) = f~1(—x) удовлетворяет условиям i), ii).

Тогда для любого 1 < р < оо найдется такое достаточно большое число M > 0, что имеет место (Вм,р)~Ф^кторизация вида

(20) a(t) = B'M{t)b(t),

где b(t) 6 fact(p), a B\j{t) — произведение Бляшке вида (19), построенное по нулям Zk = г* exp(:0jt), таким, что öjt = в(к), а г* = (М - А{к))/{М + А (к)), А{к) = |0(*) - 9{к + 1)|,А = ±1,±2,—

Рассмотрены следующие примеры, иллюстрирующие теорему 8.4 (приведенные ниже формулы даны только при в > 0).

/(0) = с0"\ Л > 0, с < 0;

f{6) = c9~x\nßв~\ А > 0, ßeU, с < 0;

f(6) = схв~х + c2sm(9~ß), Л > ß > 0, су < 0, с2 € R;

/(в) = сехр(б"Л), А > 0, с < 0;

/(б) = сехр(ехр(0~А)), А > 0, с < 0;

¡{в) = clnAe-1, А >2, с < 0.

Эти примеры показывают, что условия теоремы 8.4 хорошо приспособлены к быстро растущим функциям /(0). Следующий результат охватывает широкие классы медленно растущих /(б).

Теорема 8.5. Пусть функция a(t) непрерывна на Го \ {1}, a(t) и (1 /a(t)) 6 ¿«ДГо), а в точке t = 1 a(t) претерпевает такой разрыв, что

lim(arga(exp(iö)) - 2zef(9)) = 0, £ = ±1,

9—* О

где функция в(х) = /-1(—х) удовлетворяет следующим условиям:

в{к) = -с9{-к), с> 0, А = 1,2,...

sup(0(jb + l)/0(Jb)) = А < 1 Jb>0

и условию Н).

Тогда для любого 1 < р < оо найдется такое достаточно большое число М > 0, что имеет места (Вм,р)-факторизация (20) с произведением Бляшке B\f(t), данном в теореме 8.4-

Условия теоремы 8.5 охватывают случай чисто логарифмического завихрения

/{в) = сые-1, с < о.

Отметим также, что в пункте 8.5 приведена общая конструкция функции /(0), растущей сколь угодно медленно при в —► 0 и удовлетворяющей условиям теоремы 8.5.

В §9 устанавливаются достаточные условия на вещественнознач-пуго функцию /(i), определяющую унимодулярную функцию a(t) = exp(i/(i)), чтобы для любого сколь угодно малого 6 > 0 имело место представление вида

(21) о(0 = Щ{1)с6{1){ 1 + Os(t)), е = ±1,

где ¿4(0 — некоторая внутренняя функция, cj(i) непрерывна на Го, а функция Og(t) е ¿оо(Г0) и вир<еГо |Os(i)| < <$•

Эти условия (в дополнение к условиям либо теоремы 8.4, либо теоремы 8.5) состоят в том, чтобы функция ф(з), фигурирующая в И) имела в окрестности нуля асимптотическое представление вида

(22) ip(s) = ds + 0{s2), d> 0.

В §10 построена теория операторов, символы которых имеют обобщенные почти-периодические разрывы и лежат в классе Пс,в(Го). То есть, пусть функция а(х) непрерывна и монотонно возрастает на вещественной оси R так, что lim а(ж) = ±оо. Тогда через Пс,а (Го)

X—>±00

обозначим множество функций, представимых в виде

a(t)=p(a(am, =

где р(х) € Пс(К).

§11 посвящен матричным задачам с бесконечным индексом. Здесь рассмотрены операторы с матричными символом A(t) = {ajfc; (f)}jfc,,=i> имеющим элементы вида

(23) akJ(t) = cjt.j (t)gtj (exp(27r i/(i) ) ),

где Ck,j(t),gkj(t) G С(Го), a функция f(t) вещественнозначна, непрерывна на Го \ {1} с limj-.üo/Ci) = Too и такова, что для функции a(t) = exp(2îri/(i)) выполняются условие (21).

Введем непрерывную на Го матрицу-функцию вида

Mt) = KittWOKj-i.

Теорема 11.1. Пусть матрица-функция A(t) имеет вид (23), где

функция a(t) = exp(2irif[i)) удовлетворяет условию (21) и

inf j det j4(î)| > 0. Пусть, кроме того, матрица-функция A0(t) i€ Г0\{1}

допускает р-факторизацию с крайними множителями A^(t), имеющими непрерывные на Го элементы, и частными индексами Xj.

Тогда оператор Т[А) в любом пространстве ¿р^(Го),1 < р < оо, является:

1) Ф+ -оператором, если все > 0;

2) Ф_ -оператором, если все Xj < 0;

3) Ф-оператором, если все ху = 0.

Отметим, что степень общности теоремы 11.1 весьма высока. В частности, все примеры функций /(0), приведенные выше при обзоре §8, удовлетворяют ее условиям.

В главе 4 на основе результатов, полученных в предыдущей главе, проводится исследование следующей, весьма типичной в теории дифракции, акустической задачи. Пусть дан плоский волновод, представляющий собой жидкий стратифицированный слой конечной глубины, лежащий на дне, состоящем из конечной совокупности жидких однородных слоев, последний из которых может иметь бесконечную глубину. На поверхности волновода z — 0 для комплексной амплитуды звукового давления р(х, z) имеют место составные граничные условия вида

(24) „(х,0)-£. 0) = 0, х € (0,а),

(25) р(*,0) = 0, х€П\(0,а),

где S > 0, a ko — волновое число.

Рассматривается задача о набегающей с —оо волне (моде). С помощью преобразования Фурье соответствующая этой задаче система уравнений Гельмгольца и граничных условий сводится к так называемому модифицированному уравнению Винера-Хопфа

(26) ехр(гХА<)Ф+Ы + (?(р)Ф^Ы) + ф-Ы = 5Д(/х), L = k0a,

где G(m) и известные, Ф±(/|) — неизвестные функции, аналитические соответственно в верхней или нижней полуплоскости и пред-ставимые в виде интеграла Фурье по множествам R+ = (0, оо) или R_ = (-00,0), a <£>£(/í) —неизвестная целая функция, представимад в виде интеграла Фурье по интервалу (0,а).

Отметим, что (26) эквивалентно уравнению свертки на конечном интервале (0,а) с символом G{n). Для изучения (26) применяется метод сведения к матричному сингулярному уравнению вида

(27) A = BÍ,l(m)J$ + Р£,

где

(28) о tfWatf-iLri)*

сы = еда + (Ы2)"1/2, «М = 1/2 •

Основным требованием, налагаемым на функцию G(p) в данной работе является ее представимость в виде

(29) G(/i) = l + «exp(ip)JirGt), 6>0, lim (К(р)/\р\) = 1.

ц—»се

В силу этого коэффициент (28) является ограниченной матрицей-функцией. Более того, структура элементов ее такова, что к оператору As,l может быть применена теорема 11.1 и получен результат о фредгольмовости оператора As,l- Для того, чтобы показать его обратимость, в §13 используется условие секториальности G{(i), которое часто выполняется в приложениях (в том числе и в рассматриваемой акустической задаче).

Будем говорить, что функция с(х) G -too W строго секториальна, если с-1 (г) £ Loo(R) и ее числовой образ в комплексной плоскости лежит внутри угла раствора меньшего 7г с центром в начале координат. Если с(х) строго секториальна, то существуют такие числа пгбСи0<<г<1, что

|пгс(х) - 1| < <r, X€R. Числа m и ст назовем характеристиками секториальности с(г).

Теорема 13.1. Пусть функция С([х) удовлетворяет условиям (29), а се{ц) строго секториальна но К с характеристиками секториалъ-ности, не зависящими от 8. Тогда оператор А^г обратим в пространстве причем, если Ь > 6, то

(30) ||Аг-£||42)<М,

где величина М не зависит от 6 и Ь.

Аналогичная теорема имеет место и для оператора А^ь, действующего в некотором пространстве с равномерной сходимостью. При этом оценка (30) заменяется следующей

||АЦ|| < М1пЬ.

Все последующие результаты §§14-16 являются либо прямыми следствиями теорем обратимости §13, либо получены на пути анализа их доказательства. Так, в пункте 14.1 доказана теорема об однозначной разрешимости (26) и как следствие получена теорема об однозначной разрешимости исходной акустической задачи.

В п.14.2 показано, что, если

П.Л -

где ¿^(р) € ¿¿(К), а — функция интегрального синуса (13), то решение задачи (26) может быть получено в явном виде.

Пункт 14.3 содержит алгоритм приближенного решения, использующий для аппроксимации элементов матрицы-функции В8,1,(11) уже упомянутую функцию или некоторые ее обобщения. Здесь же проведено обоснование этого алгоритма и обсуждена равномерность его сходимости по параметрам 6 и Ь.

В п.14.4 доказано, что при а —* оо решение задачи (26) в пространстве Ь% сходится к решению стандартного уравнения Винера-Хопфа, возникающего при решении исходной задачи в случае, когда условие (24) имеет место на полуоси = (0, оо)(а = оо).

§15 посвящен построению главного члена асимптотики задачи (26) при ¿ —► 0. При 6 = 0 задача (26) принимает вид

ехр(гХ/х)Ф+М + Ф+Jm) + 9¿(p) = Д/х).

Основным результатом §15 являются следующие равномерные по L оценки, полученные при некоторых дополнительных ограничениях на f(fi) и G(n)

||Ф£ М(1 - - Ф+ь(/х)||Ь2(Ьоо) < const^lnS"1),

||Ф±(М)(1 =F W/i)~1/a - < const ¿^(í Iní"1).

В §16 на основе результатов §15 проведено (при достаточно малых 6) обоснование принципа предельного поглощения рассматриваемой акустической задачи. Кроме того здесь получены главные члены асимптотических выражений для элементов матриц отражения и прохождения (прозрачности). Найденные формулы позволяют эффективно рассчитывать акустическое поле на болыцих расстояниях от границ раздела сред.

В добавлении (§17) доказан следующий основной результат.

Пусть оператор Tri,r2 имеет вид

(ГплЖ«) = / ( , , - —) f(s)ds, и € Г,.

27Г» JTl \сф) - a(u) a-и/

Теорема 17.2. Пусть t = а(и) —диффеоморфизм гладкого без самопересечений контура Ti на контур Г2 такой, что а'(и) ф 0. Тогда оператор Тгьг2 компактен в пространстве Lp(Fi,qi).

Теорема 17.2 ранее была известна только для ляпуновских контуров. Она необходима для переноса свойств фредгольмовости и полуфредгольмовости сингулярных операторов с одного гладкого контура на другой и неоднократно использовалась в работе.

На защиту выносятся: 1. Метод построения теории нормальной разрешимости скалярных сингулярных интегральных операторов на основе (h,p, g)-факторизации.

2. Теория нормальной разрешимости скалярных интегральных операторов с символами, имеющими

- разрывы почти-периодического типа;

- разрывы полупочти-периодического типа;

- точки завихрения степенно-логарифмического типа;

- точки завихрения "произвольного" типа.

3. Метод факторизации tt-периодических матриц-функций.

4. Теория нормальной разрешимости матричных сингулярных интегральных операторов с точками завихрения.

5. Разработка метода матричной задачи Римана решения уравнения свертки на конечном интервале, включающем в себя

- доказательство теорем обратимости соответствующего матричного сингулярного интегрального оператора;

- теоремы существования и единственности;

- построение новых случаев явного решения;

- разработка и обоснование алгоритмов приближенного решения;

- построение и обоснование равномерных асимптотических формул по различным физическим параметрам;

- обоснование принципа предельного поглощения.

Публикации по теме диссертации

(1) Грудский С.М. Краевая задача Римана с разрывами почти-периодического типа в классе ¿^(Г). Сборник "Дифференциальные и интегральные уравнения", 1982, Элиста, 30-41.

(2) Грудский С.М. Сингулярные интегральные уравнения и краевая задача Римана с бесконечным индексом в пространстве Lp(Г,ш). Известия АН СССР, 1985, т.49, №1, 55-80.

(3) Грудский С.М. Краевая задача Римана с полулочти-перио-дическими коэффициентами в пространстве Lp{Г, в). Сборник "Дифференциальные и интегральные уравнения и приближенные решения", 1985, Элиста, 54-68.

(4) Грудский С.М. Сингулярные интегральные операторы с бесконечным индексом и произведения Бляшке. Mathematische Nachrichten, 1986, т.129, 313-331.

(5) Грудский С.М. О расчете поля точечного источника звука в волноводе с поверхностью, частично покрытой упругой пластиной. Сборник "Математические методы прикладной акустики", РГУ, Ростов-на-Дону, 1986, 66-79.

(6) Грудский С.М. Факторизация u-периодических матриц-функций и задачи с бесконечным индексом. ДАН СССР, 1987, т.295, №6, 1298-1302.

(7) Грудский С.М. Матричные сингулярные интегральные операторы с бесконечным индексом. Сборник "Интегральные операторы и уравнения", Краснодар, 1987, 49-64.

(8) Грудский С.М. Уравнения свертки на конечном интервале с малым параметром при растущей части символа. ДАН СССР, 1989, т.309, № 5, 1040-1043.

(9) Грудский С.М. Уравнения свертки на конечном интервале с малым параметром при растущей части символа. Известия ВУЗов, Математика, 1990, № 7, 7-17.

(10) Грудский С.М. Матричные сингулярные уравнения с бесконечным индексом. 2. Известия ВУЗов, Математика, 1991, № 6, 69-72.

(11) Грудский С.М. Convolution equations of finite interval and matrix Riemann problem method. Tenth conference of problems and methods in mathematical physics. September, 13-17, 1993, Hem-nitz.

(12) Грудский С.М. [/-factorization and Toeplitz operators with infinite index. In Problems and methods in mathematical physics (Chemnitz, 1993), 59-70, Teubner, Stuttgart, 1994.

(13) Грудский С.М. Операторы Теплица с символами, имеющими разрывы типа бесконечного индекса. ДАН России, 1995, т. 242, № 3, 307-309.

(14) Грудский С.М., Докторская Л.Д. О распространении звука в гидроакустическом волноводе при наличии тонкой полосы однородного льда конечной ширины на поверхности. Динамические задачи механики сплошной среды (Материалы докладов региональной конференции), Краснодар, 1990, 69-70.

(15) Грудский С.М., Докторская Л.Д. Об одном асимптотиче-

ском методе решения уравнения свертки на конечном интервале. Сборник "Дифференциальные, интегральные уравнения и комплексный анализ", Элиста, 1993, 10-24.

(16) Грудский С.М., Докторская Л.Д., Ривелис Е.А. Распространение звука в волноводе при наличии на поверхности тонкого слоя однородного льда конечной ширины. Тезисы 2-ой конференции "Численные методы в современных волновых задачах акустики", Москва, 1988, 42.

(17) Грудский С.М., Дыбин В.Б. Краевая задача Римала с разрывами почти-периодического типа. ДАН СССР, 1977, т.237, № 1,21-24.

(18) Грудский С.М., Дыбин В.Б. Краевая задача Римана в пространстве £р(Г,р) с почти-периодическими разрывами у ее коэффициента. Сборник "Математические исследования", Кишинев, вып.54, 36-49.

(19) Грудский С.М., Хевелев А.Б. Об обратимости в (К) сингулярных интегральных операторов с периодическими коэффициентами и сдвигом. ДАН СССР, 1983, т.269, № 6, 1303-1306.