К обратимости линейных дифференциальных и функционально-дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

; ОД

" . На правах рукописи

ТЮРИН Василий Михайлович

К ОБРАТИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Киев -1996

Диссертация есть рукопись

Работа выполнена в Липецком государственном техническом университете

»Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

БАСКАКОВ Анатолий Григорьевич

доктор физ.-мат. наук, профессор СЛЮСАРЧУК Василий Ефимович

доктор физ.-мат. наук БОЙЧУК Александр Андреевич

Ведущая организация: Владимирский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится " Ф г.

в /¿"часов на заседании специализированного совета Д 016.50.02 при Институте математики НАН Украины по адресу: 252601, Киев-4, ГСП, ул, Терещенковская.З.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан 199$~г.

Ученый секретарь

специализированного совета /} . ,, ЛУЧКА А.Ю.

доктор физ.-мат. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В диссертации изучается ряд задач, связанных с обратимостью линейных дифференциальных и функционально-дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах, элементами которых являются векторные функции, определенные на всей оси П или на всем пространстве Я", со значениями в банаховом пространстве. Важность этих задач обусловлена тем, что к ним приводят многие исследования по теории устойчивости, теории усреднения, спектральной теории, ветвлению решений, управлению, качественной теории дифференциальных уравнений и т.д. При этом возникает необходимость вывести обратимость дифференциальных операторов, например, в пространстве ограниченных на оси функций, из более1 простых свойств дифференциальных операторов таких как равномерная инъективность, корректность, слабая регулярность, условие Фавара, коэрцитивность и т.п. ( работы Баскакова А.Г., Жикова В.В., Курбатова В.Г., Мухамадиева Э.И., Слюсарчука В.Е., Шубина М.А., Америо Л., Коппеля В., Фавара Ж., Зайдмама С. и других математиков).

С точки зрения обратимости линейный функционально-дифференциальный оператор часто удобнее рассматривать в различных функциональных пространствах. При таком подходе ставится задача об эквивалентности свойств обратимости функционально-дифференциальных операторов в рассматриваемых пространствах. Это напрямую связано с проблемой выбора области определения для дифференциального оператора. От удачною выбора ее во многом зависит успех изучения дифференциального оператора. Исследованиями обратимости линейных функционально' дифференциальных операторов в функциональных пространствах и

поведением решений соответствующих однородных уравнений занимались Перрон О., Крейн М.Г., Кучер Д.Л., Майзель А.Д., Беллман Р., Хартман Ф., Массера X., Шеффер X., Жиков В.В. и другие.

Актуальной представляется и задача об эквивалентности коэрцитивных оценок для линейных дифференциальных операторов с частными производными в различных функциональных пространствах, чему посвящена обширная часть работы. Сюда же примыкают задачи о дифференциальных- Ф- - операторах в пространствах функций, определенных на всем К".

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в изучении эквивалентности свойств обратимости, равномерной имъективности, коэрцитивное™ линейных дифференциальных и функционально-дифференциальных операторов в некоторых пространствах вектор-функций, заданных на Я ( 1?" ); получить условия обратимости и равномерной инъективности линейных дифференциальных и функционально-дифференциальных операторов в определенных функциональных пространствах.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе широко используются методы функционального анализа, теории линейных операторов в банаховом пространстве, обобщенных функций, качественной теории дифференциальных уравнений математической физики.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все приведенные основные результаты диссертации являются новыми. Их новизна заключается также в выборе объекта исследования и методах исследования, и может быть кратко охарактеризована следующим образом.

В банаховом пространстве установлен ряд теорем об

эквивалентности свойств обратимости и равномерной инъективиости для широкого круга функционально-дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах.

Получены критерии обратимости функционально-дифференциальных операторов в функциональных пространствах.

Приведены необходимые условия равномерной инъективности, обратимости и коэрцитивности функционально-дифференциальных операторов и дифференциальных операторов с частными производными.

Разработана техника локальных равномерных неравенств для изучения функционально-дифференциальных операторов и операторов с частными производными.

Рассмотрены различные коэрцитивные оценки дифференциальных операторов с частными производными и их эквивалентность вопределенных функциональных пространствах.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа является теоретической. Полученные результаты и методы позволяют решать многие вопросы, обратимости, равномерной инъективности и козрцитивности обширного класса функционально-дифференциальных операторов и дифференциальных операторов с частным» производными. Они могут быть использованы при изучении различных прикладных задач. В диссертации даны ответы на некоторые поставленные ранее вопросы в теории обратимости линейных дифференциальных операторов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на семинарах в Куйбышевском госуниверситете, Воронежском госуниверситете, Пермском политехническом институте, Липецком техническом университете; на Всесоюзен

конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (Душанбе,1987), на XVI школе по теории операторов (Ульяновск, 1990), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1994); на школах в Воронеже: "Лонтрягинские чтения IV-УП"(1993 - 1996), "Современные проблемы механики и математической физики" (1994), XXVI Зимняя математическая школа (1994); на конференции "Современные методы нелинейного анализа" (Воронеж, 1995); на научно-практических конференциях (Липецк, 1994,1995); на Украинских конференциях "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1995,1996); на Всеукраинской конференции "Дифференциально-функциональные уравнения и их приложения" (Черновцы, 1996); в институте математики АН Украины на семинарах акад. Ю.А. Митропольского и проф. М.Л. Горбачука (1996).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-22]. Из [5,11] включены ге результаты, которые принадлежат автору.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация изложена на 358 страницах и состоит из введения, четырех глав, содержащих 25 параграфов, списка литературы из 192 наименований. В автореферате сохраняется нумерация утверждений, принятая в диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы и краткая характеристика работы, делается обзор литературы, примыкающей к

содержанию диссертации, коротко излагаются ее содержание и основные результаты.

В первой главе изучаются равномерная инъективность и обратимость обыкновенных линейных дифференциальных и функционально-дифференциальных операторов с позиции эквивалентности их в различны* функциональных пространствах.

В § 1.1 описываются линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и так называемые dr - операторы. Пусть X - банахово пространство. Основными функциональными пространствами, в которых будут рассматриваться функционально-дифференциальные операторы, являются С = С ( R , X ) - пространство непрерывных ограниченных функций u : R -> X с sup - нормой; пространство Лебега всех сильно измеримых (по Бохнеру) функций u : R X (1 i р â « ); Мр = Мр( R , X )' - пространство Степанова сильно измеримых функций u : R -» X с нормой

А+1 у/р IML -SUp^Iu(S)fd5j < <» (Р>1).

F = F ( R , X ) - одно из пространств С, Мр , Lp . L = L ( R , X ) -локально выпуклое топологическое векторное пространство всех сильно измеримых функций u : R X, интегрируемых (по Бохнеру) на каждом компактном интервале, с топологией сходимости в среднем.

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор À = d/dt - A(t), где A(t) ( t ç R ) - линейный, вообще говоря, неограниченный оператор, определенный В банаховом пространстве X. Будем предполагать, что для любого u(t0) ? X уравнение 4 u = 0 имеет единственное решение u(t )(t г to). Разрешающий (эволюционный) ohêpaTop f/ (I .yjX ■-> X (t »

ограничен, сильно непрерывен по переменным Ч £ ^ и удовлетворяет экспоненциальной оценке. Решение и( { ) неоднородного уравнения = дается формулой

и(1)= «(1Л0)и(10) + |ш8)^3 (1)

для всех I г 1о. Если функция и(1) удовлетворяет равенству (1) при любых 1 ^ ^ из то функция и^) является решением уравнения /и = f на всей оси Р. Перечисленные условия на дифференциальный оператор 4 назовем J - условиями. Зададим теперь в ? область дифференциального оператора 4 равенством

©(¿,Р) = {и|иеР, .¿u = feF}.

Линейный оператор 4 (абстрактный), действующий в пространстве Р с некоторой областью определения Т> ( 4 , Р ) с Р, называется сЕг - оператором, если: 1. Область определения © (4 , Р ) инвариантна относительно оператора умножения на гладкую финитную функцию <р: Г? -г» . 2. Для коммутатора 4 ср - <р 4 имеет место некоторая локальная оценка через производную ф . 3. Носитель эирр (4 <р и - ф 4 и) расположен в окрестности носителя вирр «р.

Приводятся примеры с1г - операторов. Таковыми будут дифференциальные операторы 4 , удовлетворяющие J - условиям, многие дифференциально-разностные и функционально-дифференциальные операторы.

Одним из центральных понятий диссертации является определение равномерной инъективности оператора. Линейный оператор 4". называется равномерно инъективным,

если выполняется неравенство

|u||FSk||^u|F (иеад

с некоторой постоянной к = к (4, F) > 0.

Равномерная инъективность, оператора тесно связана с существованием непрерывного левого обратного оператора, нижней нормой оператора, минимумом оператора, корректного оператора. Термин "равномерная инъективность" представляется более удобным и универсальным при изучении функционально-дифференциальных операторов.

Основное содержание § 1.2 составляют утверждения о dr -операторах. Пусть 4г Э (4г, Мр) -» Мр, 4з: Z> (43, Lp) -» Lp- два dr -оператора, которые связаны ме>кду собой следующим образом (1 ^ р < со ). Оператор умножения на функцию ср отображает V (4 , Мр) в V (4, Lp). Далее, V (4, L") с 1> (4, Мр) и имеет место равенство 4гU ~4зU, и Мр)п Lp).

Все это кратко назовем ар - условием. Кроме того, требуется выполнение определенного свойства локальности для операторов 4г и 4% , связанного с расположением носителя supp(4 фи - чЦ и ) (j= 1.2).

Т Е О Р Е М А 1.2.1. dr - операторы 4г: V (4г, Мр) -> Мр и £з : 2> (4з , Lp ) -» Lp , удовлетворяющие приведенным выше требованиям, равномерно инъективны одновременно.

Эта теорема имеет принципиальное значение, поскольку многие результаты получены с ее помощью. На основе ее получена также важная теорема об одновременной обратимости dr -операторов.

ТЕОРЕМА 1.2.2. Если dr - операторы 4г: Т> {¿2, Мр) Мр , ¿з: г> \43. Lp) Lp связаны между собой ар - условием, обладают свойством локальности, оператор 4i : t> (¿г . Мр ) локально

замкнут и имеет место импликация

Ueî>(/2,MP), UÊLp,^ÊLp => U eZ5(Лз, Lp), то они непрерывно обратимы одновременно.

СЛЕДСТВИЕ 1.2.1. Спектры . dr - операторов Л2 : V (¿г, Мр ) ->• Мр и Л3 : Р (Лз, Lp ) -> Lp , удовлетворяющих условиям теоремы 1.2.2, совпадают.

Реализация теорем 1.2.1, 1.2.2 на конкретных dr - операторах дает следующие утверждения.

ТЕОРЕМА 1.2.3. Пусть для дифференциального оператора Л - d/dt - A(t) выполнены J - условия. Тогда операторы Л : V (Л , Мр) -> Мр и Л. : V (Л , Lp ) -> Lp равномерно кнъективны одновременно.

ТЕОРЕМА 1.2.4, Дифференциальные операторы Л : Т> {Л, Мр ) Мр и Л : -Ó (Л, L" ) -> Lp , где Л = d/dt - A(t) удовлетворяет J • - условиям, непрерывно обратимы одновременно.

Аналогичные предложения (теоремы 1.2.5, 1.2.6) получены для дифференциально-разностных операторов вида Л = 40 + R , где дифференциальный оператор Ло подчиняется J - условию, а разностный оператор R действует по формуле

Ru = ¿A,(t)u(t + h,) (ueF), и

причем, A,(t)6C(R,Hom(X,X)), |h|sM, ¿|Ajc<«.

i-i

В теоремах 1.3.1, 1.3.2 параграфа 1.3 установлено, что при определенных условиях из равномерной инъективности линейного оператора Лг : Т> [Л2 , Мр ) Мр вытекает равномерная

инъективность операторов Л-i : V (Л^, С ) С и Л1 : V (Л1, L" ) L*. Остальная часть параграфа посвящена функционально-дифференциальным операторам Л = d/dt - >4, Пространства Мр (1 s р < ), Lp (1 < р < w ) инвариантны относительно линейного

функционального оператора ^: I -> I, сужения которого на Мр , I" . являются йг - операторами. Равенство

V (4, Мр) = £ и |и е М", 4 и е Мр> задает область определения функционально-дифференциального оператора 4 : V (4, Мр) -> Мр. Аналогично определяется линейное многообразие Т>(4,1Р), на котором определен оператор 4: Р (4, 1р) 1Р.

Т Е О Р Е М А 1.3.3. Пусть с!г - операторы *: ^ 1°°, . Мр -> Мр, 1.р (1 <, р < оо ) ограничены и выполняется для них

свойство локальности. Тогда равномерная инъективность одного из операторов 4: V {4, Г) Ц° , 4: V (4, Мр) -> Мр, 4 : г> {4,1.") -> 1.р влечет равномерную инъективность двух других.

Наложим на оператор ^ : I I. дополнительные условия. Будем считать, что пространство С инвариантно относительно >4 и сужение и : С С есть йг - оператор. Кроме того, оператор ^ переводит непрерывную функцию и е Мр в непрерывную. Функционально-дифференциальный оператор 4 : V (4 , С ) С имеет область определения

2>и, С) = {и |иеС, 40еС >.

ТЕОРЕМА 1.3.4. Если с!г - операторы 4: Р -» Р ограничены и для них имеет место свойство локальности, то операторы 4: т> (4 , С)-* С ,4:13(4, ,4'.Я ,4 (4,1Р)-+1Р (1

^ р < « ) равномерно инъективны одновременно.

ТЕОРЕМА 1.3.6. Пусть оператор I I непрерывен и для него выполняются условия теоремы 1.3.4. Тогда свойства непрерывной обратимости для операторов 4 : Т> (4 , С ) * С , 4:1>\4, 1.")'-» \Г ,4-^(4, I.") 1Р (1 <р < * )

эквивалентны.

Пусть W1 (F) - пространство Соболева, которое состоит из функций f е F, имеющих производную f = df/dt е F, W1 ( С ) = С1. Показано (теорема 1.3.5 и следствие 1.3.2), что операторы Л: С1 С ,4 : W1 (L*) L", J: W1 ( Мр) -> Мр , ¿ \ W1 ( Lp) Lp (1 <; р < =о ) равномерно инъективны (обратимы) одновременно. В следствиях установлено также, что равномерная инъективность (обратимость) оператора j: v (J, Мр) Мр (1 £ р < со ) или оператора Л : z> (4, Lp) Lp (1 < р < со ) при одном р влечет их равномерную инъективность (обратимость) при всех р, а спектры операторов л: V (uf. С) -> С L")-> \?,ji\VU, Mp)->Mp,^:©(-if,Lp)-»Lp

совпадают.

В §1.4 изучается линейный дифференциальный оператор £ = d/dt - A(t), удовлетворяющий J - условиям. На него удается распространить основные утверждения предыдущего параграфа. Напомним, что A(t) есть, вообще говоря, неограниченный оператор в X. Схбма исследования оператора .¿состоит в следующем, Сначала получается результат для разностного оператора R х (n) = X (п + 1) - В(п) х(п), В(п) - ограниченный оператор в X , n е Z .

ТЕОРЕМА 1.4.1 Оператор R : I „ t га равномерно инъективен тогда и только тогда, когда равномерно инъективен оператор

Здесь (1 s р < и ) ■ стандартное нормированное

пространство последовательностей х : Z -> X.

Затем по оператору л строится специальный разностный оператор R х(п) = х(п+1) - Ъ (п+1,п) х(п), обратимость которого в

пространствах Ф , ? р тесно связана с обратимостью оператора Л

в пространствах С, 1_р (теорема 1.4.2). После этого установлена

ТЕОРЕМА 1.4.3. Оператор 4 \ V (4 , I") -> равномерно инъективен, если и только если равномерно инъективен оператор 4: V (4, С)-» С .

Пусть Е, в с I ■ нормированные пространства. Назовем оператор 4 равномерно инъективным относительно пары (Е,С), если справедлива оценка

Не^Ио

с некоторой константой к = к (Е.в) > 0 для любых и е Е, и е Р.

ТЕОРЕМА 1.4.4.Оператор 4 : V (4, С ) ->,С равномерно инъективен тогда и только тогда, когда оператор 4 равномерно инъективен относительно пары (С, Мр).

ТЕОРЕМА 1.4.5 Для операторов 4 : V {4, С) С, 4 (4 , и*)-> 1Г, 4 : V (4 , 1Р) I", 4 : V (4 , Мр) Мр ( р > 1 ) свойства равномерной инъективности эквивалентны.

И последняя в этом ряду

ТЕОРЕМА 1.4.6. Операторы 4: V (4, С ) С , 4: V (4, ) -» и*, 4 : V (4, Мр) -> Мр, 4: V (4, 1.р) -* 1-р (1 й р < « ) обратимы одновременно.

Приведены различные следствия об обратимости и инъективности оператора 4 в пространстве 1_р , о спектре дифференциальных операторов, о равномерной инъективности

разностного оператора Р? в пространствах р .

Приложения некоторых полученных теорем демонстрируются на оценке одного интеграла и доказательстве простейших теорем вложения вй.

Хорошо известно какую важную роль играют сопряженные операторы й анализе и теории линейных операторов. Нахождений

сопряженного оператора к дифференциальному оператору, вообще говоря, - не простая задача. Однако некоторые вопросы можно решить с помощью двойственных (формально сопряженных) операторов. С рассмотрением таких операторов и связан §1.5.

Пусть оператор 4 = d/dt - A(t) удовлетворяет J - условиям, причем, область определения оператора A(t) (U R ) плотна в X. Оператор 4 *= d/dt + A* (t), где A* (t) - сопряженный оператор к A (t) , называется двойственным оператором к 4 . Предположения относительно 4 * аналогичны предположениям относительно 4 , при этом условие разрешимости однородного уравнения 4 V = 0 (и * : R -> X * ) осуществляется влево. Решения уравнений 4 u = f и 4 *u* = f * для f е L, f L * - L(R,X *) связаны формулой Грина. Символом F * = F (R,X *) обозначается одно из пространств С *= С (R,X *), Мр ' = Мр (R.X '), V" =L" (R.X *). Область определения оператора 4 * в пространстве F * есть многообразие v(4 *, F *) = {u* |u* е F*, £ *u* = f F*}.

ТЕОРЕМА 1.5.1.Пусть операторы^ : V (4, С ) С,4 *:V (4 * ,С * ) —> С " равномерно инъективны. Тогда оба они непрерывно обратимы.

В теореме 1.5.2 приводится условие обратимости оператора 4 : V (4, С ) -» С, связанное с обратимостью двойственного оператора 4 *:©(.£*,С*)-»С*.

Теорема 1.5.3 утверждает, что операторы 4 *: V (4 *, С *) С ',4 ': V{4'\ Г •)-> L" \4 ':Т>(4 ', Мр ' ) Мр ' ,4 *: V (4 *, L*' ) ~> Lp * (1 <, р < « . ) равномерно инъективны (обратомы) одновременно.

Следуя Массера X. и Шефферу X, скажем, что пара банаховых пространств Е, G ( Е, G с L ) называется допустимой для

оператора 4, если при любом f е G уравнение 4 u = f имеет хотя бы одно решение u е Е.

Если пространство X рефлексивно или сепарабельно, а операторы A(t) имеют общую плотную в X область определения, то удается доказать интересное предложение о допустимости пары

<LUP).

ТЕОРЕМА 1.5.4. Пара ( Lp, Lp ) (1 < р < °о Допустима для оператора 4 тогда и только тогда, когда равномерно инъективен оператор 4 *: V (4 *, С *) -» С *.

Рассмотрим функционально-дифференциальный оператор 4 , : V (4 г, F ) F, где 4, и = du/dt - A(t) и-Оператор' 4 = d/dt - A(t) и пространство X удовлетворяют предположениям теоремы 1.5.4. Для оператора /f. L -> L считаем выполненными условия теоремы 1.3.6. Пусть fi * : L * ->. L ' есть линейный оператор, имеющий такие же свойства как и yf : L -» L . Определим оператор 4 г * : Т> (4 r *, F " ) -> F * равенством

4, 'и' = - du */dt - А * (t) u * (t) - 'u*,

Операторы 4 r : V (4 r, F ) -> F и 4 , * : T> (4 , F * ) -> F " связаны формулой Грина.

ТЕОРЕМА 1.5.5.Если операторы^,: V {4г, С ) -> С и 4, ' : V (4 г С * ) С * равномерно инъективны, то оба они непрерывно обратимы.

Одним из примеров оператора 4, может служить дифференциально-разностный оператор

= du / dt r A(t)u(t) - £ A,(t)u(t - h, ). j-i

Для него отдельно формулируется теорема 1,5.6. аналогична?

теореме 1.5.5.

Наряду с пространствами F в приложениях важную роль играет нормированное пространство ВС, алгебраически совпадающее с С и имеющее боголюбовскую норму

||f||BC= sup Jf(s)ds|.

Линейный оператор А : С -> С (для него выполнены условия теоремы 1.3.6) можно рассматривать как линейный оператор ^ : ВС ВС. Тогда можно определить функционально-дифференциальный оператор £ : V (£, ВС ) -> ВС , действующий по формуле £ u = du/dt - sfu и имеющий область определения ■D (£, ВС ) = {u I и 6 ВС, £ и е ВС}.

Операторы £ : V (£ , С ) -> С и £ : Z> (£ , ВС ) ВС , очевидно, алгебраически совпадают, а их свойства равномерной инъективности эквивалентны.

ТЕОРЕМА 1.6.1.Для того чтобы оператор £ : V (£, С) С был равномерно инъективен, необходимо и достаточно, чтобы оператор £ : Z> {£, ВС) ВС был также равномерно инъективен.

Отсюда сразу следует

Т Е О РЕМА 1.6.2.Сройства непрерывной обратимости для операторов £ : t> {£, С) ->• С и £ : V (£, ВС ) -» ВС эквивалентны.

Аналогичные предложения (теоремы 1.6.3 и 1.6.4) доказаны для пространства С и вш ¡еровского пространства Те = М (R,X) п С (R,X),

М (R, X) = {f eL"(R, X) [¿ess sup |jf(t)j| < оо} .

В последней части § 1.6 в качестве приложений рассмотрены теоремы 1.6.5 и 1.6.6 и следствия для функционально-

дифференциальных операторов, зависящих от малого параметра.

Вторая глава содержит главным образом исследования, связанные с признаками обратимости и равномерной инъективности функционально - дифференциальных и дифференциальных операторов. Результаты § 2.1 получены на основе техники периодической аппроксимации и локальных равномерных неравенств.

Последовательность операторов /I j : L L называется сильно локально сходящейся к оператору /I : L -» L , если при любой функции u s L° последовательность и локально сходится к /1и в Г.

Оператор rf \ L -> L назовем сильно Т - периодическим, если найдется число Т>0 такое, что rf ST = ST /I, где Sh - оператор сдвига функций из I (h еЯ ). Число Тназовем периодом операторам.

Будем говорить о сильной двойной периодической аппроксимации оператора /4 : L —> L сильно Т( - периодическими операторами /I j : L -» L (последовательностью сильно Tj -периодических операторов ^ : L L ), если для любой функции и е L" выполняется равенство

lim ess sup |j(Mi)(t) - (^,u)(t)|| = 0

равномерно относительно u e В (0,1) er L" ( В (0,1) - Шар радиуса 1 с центром в Xе 0 ).

Если последовательность операторов j : L L сильно локально сходится к оператору i4 : L -» L при j -» <я , то говорят о сильной локальной сходимости функционально-дифференциальных операторов^) ® d/dt- /Ц V F )F) к оператору л ~d'dt-t4 : V (J , Р ) F ). Аналогично определяется сильная двойчял

периодическая аппроксимация оператора 4 = сИсИ - ^ операторами 4 : V (4,, Р ) Р.

Семейство операторов ^ ( : о (4 | , \г ) ? называется равностепенно инъективным, если постоянную к (4 | , Р ) можно выбрать не зависящей от

Рассматриваемые операторы 4 : Р Р, : ? -> Р являются с1г - операторами, удовлетворяющими условиям теоремы 1.3.6.

ТЕОРЕМА 2.1.1. Для равномерной инъектизности оператора 4 : V (4 , Р ) Р достаточно, чтобы существовала последовательность равностепенно инъективных операторов 4\\Ъ (4), Р ) Р, сильно локально сходящаяся к 4 : О {4 , Р ) -> Р. Если оператор 4 : т> (4 , Р ) Р равномерно инъективен, то при сильной двойной периодической аппроксимации операторам : V (4 , Р ) -> Р операторами 4 V № \ , Р ) Р (]->«> ) необходимо, чтобы последнее семейство операторов было равностепенно инъективным.

Последовательность операторов 4 \ \ Х> (М | , Р ) -> Р называется локальной аппроксимацией опвратора £ : V {£ , Р ) -> Р, если последовательность /4 (и локально сходится () -> ю ) к ¡4 и в 1." равномерно относительно и из любого шара В (0,г) с и®.

Ниже предполагается, что операторы £ :Т>{4 ) (41, Р ) -» Р имеют двойственные операторы 4 \ 4 ¡". При сильной двойной периодической аппроксимации оператора 4 операторами 4 | операторы 4 | " осуществляют сильную двойную периодическую аппроксимацию оператора 4 '.

Т Е О Р Е АЛ .А 2:1.2. Если при локальной аппроксимации оператора 4 : V (4 , Р ) ~> Р операторы 4 | : V (4 ( , Р ) -> Р

непрерывно обратимы и $чр ¡Ц'|. < , то оператор 4 : "О (4, Р )

F непрерывно обратим. Если оператора : Т> [4, F ) -> F непрерывно обратим и пространство X рефлексивно или сепарабельно, то при сильной двойной периодической аппроксимации операторы 41 : z> (4j , F ) F для достаточно больших j>j„ непрерывно обратимы и SUp|L4<co. ■ ■

¡40

В случае, когда оператор d является оператором умножения на функцию A(t), ограничения на пространство X не гребукисн

ТЕОРЕМА 2.1.3. Для того, чтобы опера юр 4 : V (4. F ) -> F был непрерывно обратим, достаточно, чтобы при локальной аппроксимации его операторы 4 j : z> (4 j, F- ) -» F были непрерывно

обратимы и sup |jL]1|F < со _ если оператор 4 : z> {4 , F ) -> F

непрерывно обратим, то при двойной периодической аппроксимации оператор b\4^.V (4t, F ) -» F непрерывно обратимы и sup |ц'| < со _

С помощью техники периодической аппроксимации получен аналог теоремы Фавара - Мухамадиева (теорема 2.1.4) для разностного оператора. В теореме 2.1.5 установлена обратимость оператора 4 : "D (4 , С ) -» С при условии допустимости функциональных пар ( С,С ), ( Мр, Мр ), ( Lp, Lp ) (1 < р < « ). Рассмотрены следствия и ряд лемм.

Предметом рассмотрения в § 2.2 служит функционально-дифференциальный оператор 4 = d/dt - M , где оператор* удовлетворяет условиям теоремы 1.3.6. Дополнительно считаем, что пространство С почти периодических функций инвариантно относительно *. Если q> : R R - гладкая функция, ограничен»! вместе с производной, то

где u е С, к ; не зависит от и , (р.

ТЕОРЕМА 2.2.1. Если оператор 4 : V (4 , С ) -у С равномерно иньективен, то справедлива локальная оценка

supi|u(t)[| < ка1 sup|!^(t)|[+^<1 +ki)МС ,

U6p(/,c ), Т>0, ко,= к ( , с ).

ТЕОРЕМА 2.2.2. Для равномерной инъективности оператора 4 : V (4 , С ) С необходимо и достаточно, чтобы оператор 4 : V (4, с ) -> с был равномерно иньективен.

Пусть существует скалярная почти периодическая функция 6(t) такая, что для любого ее е - почти периода т и любой функции u s С выполняется неравенство

|Ku-^8tu||0Se||u||c .

ТЕОРЕМА 2.2.3. Оператор 4 : Т> {4, С ) -> С обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор 4 :V(4, С ) -> С.

Далее оператор sf считается оператором умножения на почти периодическую операторную функцию A(t).

ТЕОРЕМА 2.2.4. Пусть пара ( с, с ) допустима для оператора м и множество

X „ = {и(0)|иеС,-Л1 = 0}

ос 1

замкнуто в X. Тогда оператор 4 : Т> Ç4, С ) -> С обратим.

Т Е О Р Е M А 2.2.5. Допустимость пары (С, С ) для оператора 4 при условии замкнутости многообразия

Хос = { U (0) | и е С, 4 U = 0 } впечет обратимость оператора 4 : V (4, С ) -» С .

В теоремах 2.2.6 - 2.2.8 рассмотрена обратимость

дифференциальных операторов при условии допустимости пар ( С, С ) и (С, С ) при некоторых предположениях.

Отдельным параграфом рассмотрены дифференциальные операторы 4 с постоянными и периодическими коэффициентами. Обратимость оператора 4 : V (4 , С ) -» С в случае допустимости пары (С,С) для сепарабельного X решена Жиковым В.В. В развитие этой проблемы для произвольного X получена

ТЕОРЕМА 2.3.1. Пусть пара банаховых функциональных пространств ( E,G ) допустима для оператора 4 . Если выполнено одно из условий:1) G э Lp и Е с C(1<ps»); 2)G dL'hE çLp (1 S p < « ); 3) G э С и E s С ; 4) оператор 4 : Z> (4, F ) -> F равномерно инъективен, то оператор 4 : г? {4, С ) -> С обратим.

Обозначим через Р линейное многообразие тригонометрических полиномов в с. Далее, пусть Д - модуль (аддитивная подгруппа) действительных чисел R, с s подпространство в с , состоящее из функций, для которых модуль, порожденный спектром показателей Фурье функции, принадлежит А. Коэффициент A(t) в операторе 4 = d/dt - A(t) будем считать непрерывной периодической операторной функцией.

ТЕОРЕМА 2.3.2. Пусть пара (С, Р ) допустима для

оператора 4. Если многообразие X • замкнуто в X , то оператор 4 : Z> (4, С ) -* С обратим,

ТЕОРЕМА 2.3.3. Если Л - плотный модуль, пара ( С, СЛ) допустима для оператора 4 и множество замкнуто в X, то

оператор 4 :V{4,C)->C обратим.

Как следствие указано, что оператор 4 :z> (4 , С ) С ( A=const ) обратим при условии допустимости одной из пар ( С, р ),

(С, Сд).

В параграфе 2.4 изучаются дифференциальные операторы 4 с замкнутой областью значений. Операторный коэффициент A(t) является устойчивой по Пуассону функцией.

ТЕОРЕМА 2.4.1. Пусть область значений \mf4 оператора 4 : V (4 , F ) -> F замкнута и многообразие X0f таюке замкнуто в X. Тнгда оператор 4 : V (4, F ) ->■ F равномерно инъективен.

Из этой теоремы выведены два следствия об обратимости oru't.агорам : Z>(4 , F ) -> F .

Оператор 4 : V (4, F ) -» F называется Ф* - оператором, если пго область значений lmFM замкнута, а ядро KerFM конечномерно.

Оператор 4 : V (4, F ) -> F называется Ф_ - оператором, если его область значений lmF 4 замкнута, и ядро Кегг4' двойственного оператора 4 *:V(4 *, F * ) -» F " конечномерно.

Оператор 4 :Z> {4 , F ) -» F называется Ф - оператором, если он одновременно есть Ф, и Ф_ - оператор.

Основные утверяедения о вышеназванных операторах таковы.

ТЕОРЕМА 2.4.3. Если один из операторов 4 : Z> (4 ,С) С, 4:Z>(4, L")-» А? ,4 ,МР) -> M", 4 :v (4, Lp )Lp (1 s р < « ) является Ф» - оператором, то три других тоже есть Ф, - операторы.

ТЕОРЕМА 2.4.4. В рефлексивном или сепарабельном пространстве X Ф - операторы 4 : V (4 ,С) -> С, 4 : V (4, Мр ) Мр и 4

: V , L" ) -» L™ обратимы. Если пространство X рефлексивно, то Ф -оператор 4 : Z> (4 ,f) -» Lp ( 1 < р < ® ) обратим.

Доказан аналог теоремы 2.4.1 для разностного оператора, приведены некоторые другие предложения об Ф* - операторах.

Полученные выше результаты в § 2.5 применяются к иселедоегггсшго диффере»АЦизльных операторов, коэффициенты

которых содержат малый параметр е > 0 (теоремы 2.S.1 - 2.5.3).

В третьей главе представлены функционально-дифференциальные операторы .4 = B(t) d/dt - >4 с коэффициентом

при производной. Пусть Fo - одно из пространств С, L™, л: F0 -> F0 - линейный ограниченный оператор, А ' : F0 '-> Fo' (Fo" - одно из пространств С*, LT' соответственно) - также линейный ограниченный оператор, B(t), dB/dt е С( R, Нот(Х,Х)). Операторы 4: W1(F0) -> F0 и 4 ': W'(Fo *) -> Fo' связаны формулой Грина (4 " и - <1(8 u * )/dt - rf' и *) и соотношением

¡((^H-iT^HH^'M.«-

где u е W1(Fq), u ' е W1(L1') , а >0 не зависят от и, и *.

ТЕОРЕМА 3.1.1. Если оператор 4 : W1(F0) -> F0 обратим, то операторы В({): X -» X имеют ограниченные обратные В (t): X -> X, причем, вир|в"'<1)| < « (t € R).

Далее, с помощью этой теоремы о параграфе 3.1 получен такой же результат (теорема 3.1.2) для дифференциально-разностного оператора

^f = BWd/dt-AW-jTA,^.

м

а в теореме 3.1.3 показано, что в конечномерном пространстве X из равномерной инъективности оператора 4 = B(t) d/dt - A(t) с совместно устойчивыми по Пуассону коэффициентами в пространстве F вытекает его обратимость.

Для оператора 4= В d/dt - А с постоянными коэффициентами доказана

ТЕОРЕМА 3.1.4. Пусть оператор 4 : V (4 , С1 ) -у С имеет непрерывный обратный. Тогда, если выполнено одно из

условий: 1) оператор А ограничен на © 0; 2) оператор В замкнут и V о плотно в X, то оператор В имеет непрерывный обратный В "1 : X ->Т>а(Т>о с Х - общая область определения операторов А, В).

Ниже функциональный оператор ^ : 1 I удовлетворяет требованиям теоремы 1.3.6 и некоторому дополнительному условию равномерной непрерывности. Центральное место в § 3.2 занимает

ТЕОРЕМА 3.2.1. Пусть коэффициент ВО) является равномерно непрерывной функцией на область значений 1т В не зависит от I и для оператора >4 выполнены вышеприведенные условия. Тогда свойства равномерной инъективности операторов Л : С1 С, л : \Л/'( Мр) Мр, Л: \Л/1( V )-> 1.р (р ь 1), Л : \Л/1( Г ) -» Г эквивалентны.

С Л Е Д С Т В И Е 3.2.2. Пусть коэффициенты ВО), А, (О (\ = 1.....п) дифференциально-разностного оператора

н

являются равномерно непрерывными операторными функциями на Я класса С и область значений 1т В не зависит от Тогда

операторы 4: С1 ~>С,Л: ) V, л: УУ^М") Мр, Л : Ц* ) -> 1.г (1 £ р < со) равномерно инъективны одновременно. С помощью теоремы 3.2.1 получаются ТЕОРЕМА 3.2.2. Если оператор Л » В(0 <1/Л - А таков, что для него выполняются условия теорем 3.1.1 и 3.2.1, то функционально - дифференциальные операторы Л : С1 ->С,Л : \Л/'(Г ) -* Г, Л : W,( Мр ) Мр, Л 1." ) Ц5 непрерывно обрггтимы одновременно (1 £ р < «>).

ТЕОРЕМА 3.2.3. Пусть оператор Л ~ ВО) с)/сК - И удовлетворяет условиям теорем 3.1.1, 3.2.1, пространство X

рефлексивно или сепарабельно. Если операторы 4 : С1 -> С и 4 : С1" -> С * равномерно инъективны, то оба они обратимы.

На основе локальных равномерных неравенств в § 3.3 обсуждаются условия обратимости и равномерной инъективности оператора 4 = B(t) d/dt - A(t) в пространстве С через предельные операторы 2 = B(t)d/dt-Â(t), где

A(t) = lim A(t+h,), B(t)= lim B(t + h„)

' П-+ЭЗ

равномерно на каждом компактном интервале оси R.

Будем говорить, что оператор 4 : С1 -> С обладает свойством Ф| , если каждая ограниченная последовательность функций u j (t) в С1, для которой последовательность 4 и , локально сходится в С, обладает локально сходящейся подпоследовательностью в С1.

ТЕОРЕМА 3.3.1. Два нижеследующих условия эквивалентны: 1) оператор 4 : С1 -» С равномерно инъективен; 2) каждый оператор 2 : С1 -> С обладает свойством Ф| и уравнение 2 и = 0 не имеет ненулевых решений в С'.

Положим 4 ! = 4 - R (t), R (t) е С( R, Нот(Х,Х) ), В (t) 6 С( R, Нот(Х,Х) ).

ТЕОРЕМА 3.3.2. Если оператор 4 : С' -> С обратим, а значения оператора R(t) есть компактные операторы, то оператор 41 : С1 -» С обладает свойством Ф,.

Получено несколько следствий, одно из которых является теоремой Фавара - Мухамадиева.

Метод замораживания применен в § 3.4 для исследования равномерной инъективности и обратимости дифференциального оператора 4 = B(t) d/dt - A(t), коэффициенты которого B(t), A(t)

принадлежат пространству С( R, Нот(Х,Х) ). Положим 41е = B(to) d/dt

-A(to) (toeR).

ТЕОРЕМА 3.4.1. Пусть семейство операторов : С1 -у С равностепенно инъективно, коэффициенты A(t) и B(t) удовлетворяют условию Липшица

|A(t2 ) - Ait,)]) s 6|t2 - t,|, ||B(t2 ) - Bit,)! S S|t2 -1,|. Если 8 есть достаточно малая величина, то оператор Л : С1 -у С равномерно инъективен.

ТЕОРЕМА 3.4.2. Пусть операторы С1 -»С равномерно обратимы, коэффициенты A(t), B(t) удовлетворяют условию теоремы 3.4.1, функция B(t) дифференцируема и В (t) е С( R, Нош(Х,Х) ). Тогда, если постоянная Липшица 6 для коэффициентов A(t), B(t) достаточно мала, то оператор л : С1 С обратим.

В теореме 3.4.3 обратимость оператора л : С1 С выводится из обратимости операторов А, : С1 -> С на основе меры осцилляции юр (Т, Л ) коэффициентов A(t) и B(t).

Частичная ( sB - частичная ) равномерная инъективность оператора Л = d/dt - A(t), о которой идет речь в § 3.5 , определяется неравенством

Получено несколько теорем о соотношениях частичной ( sB -частичной) равномерной инъектиености оператора л в пространствах С, Lp , M" (теоремы 3.5.1. - 3.5.4). В теореме 3.5.4 даны условия частичной равномерной инъективности для оператора Л = d/dt - А с постоянным А.

Перейдем к изложению результатов четвертой главы, посвященной линейным дифференциальным операторам с частными производными. В этой главе C=C{R",X) есть пространство непрерывных ограниченных функций u : Rn -> X с sup - нормой; Мр = M0 (R'\X) - пространство Степанова сильно измеримых функций u !

Я" X, у которых

/

Ър

"" \К<«1 1

(1 5 р < °о),

где К(х) - единичный куб в^с центром в точке х е К"; I? = Ср <ЯП,Х) - пространство Лебега сильно измеримых функций и : Я" -> X с обычной нормой; Р = Р (ЯП,Х) - одно из пространств С, ,1? .

Обозначим через С1 = С'( й", X ) банахово пространство функций и : К" -> X, ограниченных и непрерывных вместе со своими производными Оаи до порядка I включительно, ори этом

а = (щ, .... схп) - мультииндекс, <1 е 2*. С = С. Примем также следующие обозначения: V/ (1-р) - пространство Соболева функций и е 1_р, у которых обобщенные »щзошводные Оаи (|а| 2 I ) принадлежат С, щя« это«

УУ1 (Мр )' - пространство Степанова - Соболева функций и е Мр , обобщенные производные О"« £ I ) которых принадлежат Мр. Норма элемента и е УУ1«^) определяется по формуле

Считая, что \Л/1 (С) = С', будем попмоваться также записью АЛ/1 <Р), обозначающей одно из пространств С4, \И,'|<МР), В дифференциальном операторе

коэффициенты Аа (х) £ С( Я", Нот(Х,Х) ). Очевидно, определен

Мс-нии и=а1+",+ап.

Р=£Аа(хР\ (тем)

линейный оператор Р : \Л/т (Р) -> Р, действующий по формуле Ри= £Аа(хР"и(х).

|а|4т

Оператор Р : \Л/т (Р) Р назовем равномерно инъективным относительно пары нормированных пространств (й.Н) (ВэИга (Р), Не^ если существует такая постоянная к = к ( Р, 6, Н ) > 0, что выполняется неравенство

МЫМн (и е\ЛР(Р)).

ТЕОРЕМА 4.1.2. Равномерная инъективность оператора Р : ( Мр) Мр относительно пары (\Л/' (Мр ) , Мр) эквивалентна равномерной инъективности оператора Р : \Л/ т ( V ) -> относительно пары (WI(LP), 1р), I = т, т-1.

ТЕОРЕМА 4.1.3. Операторы Р : \Л/ т ( Мр ) -> Мр и Р : IV т (1-р) -» 1р обратимы одновременно.

Кроме этих двух важных теорем в § 4.1 рассмотрены оценки равномерно инъективных операторов и примеры.

Пусть на некотором линейном многообразии \Л/ т 4 ®1 (Р) £ W'n (Р) определена полунорма < и >. Введение в№*,0(Р) нормы

ни» =<и>+1Ни,г,

превращает \Л/т+,с" (Р) в линейное нормированное пространство. Ниже применяются обозначения:

<">.«=£ вир*-5-Гг- (0 < У < 1),

«.»«** |Х — у|

' |Ьаи(х)-рпи(у)|[

<и>у.т= £ ----«,

/ kV0

<"wE supJJiL—--dxdy .

f fjDau(x)-D"U(y)f Г

<U>r^=Z JJ1—-fyfm dtdy ,

|«jsm jx-yj y

О v f f f ^"u(x)-D-u(y)||P V" <u> mJ=Z SUP J J1—;-П535—'

<и>;^=с, < u >т,щ +C4 < u >ymj (c, >0, сггО),

< U >U =< U + < U 4Nvy»(L') С ^ s < P).

<u >rwJ= <4 +Сг < U >r%u (С, > о, C2 г 0).

Оператор Р : W m (F) -> F назовем s - коэрцитивным оператором относительно данной полунормы <•>((£,<•>) -коэрцитивным), если для любого в > 0 существует такая постоянная kF (е) > О, что имеет место неравенство

|ulvv„(F)SB<u>+Me)lPu|(F

для всех u е (F).

В теореме 4.2.1 параграфа 4.2 доказано одно неравенство для оператора P:Cm-»C , е - коэрцитивного относительно полунормы <»>°т, а главный результат этого параграфа связан с полунормой

ТЕОРЕМА 4.2.2. Если коэффициенты Ац (х) оператора Р равномерно непрерывны на всем пространстве , то операторы Р : Ст С и Р: \Л/т (Мр )-> Мр (е, < • ) -коэрцитивны одновременно.

Пусть С1""1' = \Л/ т+<>,'т(С), ( Мр) = \Л/ т+<>г'т(Мр)1 W (1_р) =

СЛЕДСТВИЕ 4.2.1. Операторы Р : Ст -> С и Р : \АР (Мр) -> Мр ( с , < • >г,т) - коэрцитивны одновременно.

СЛЕДСТВИЕ 4.2.2. Пространства (1_р), W т+т ( Мр) непрерывно вложены в С"1**.

СЛЕДСТВИЕ 4.2.3. Если оператор Р : \ЛГ (1.р) -> Ь" равномерно инъективен, то оператор Р : Ст -> С е - коэрцитивен относительно полунормы < • >ут.

В параграфе 4.3 продолжается изучение е - коэрцитивных операторов Р: \Л/т (Р) -> Я.

ТЕОРЕМА 4.3.1. Пусть коэффициенты А* (х) оператора Р равномерно непрерывны на всем пространстве К". Тогда из (в,< • >*„,) - коэрцитивности оператора Р : Ст -> С вытекает (£,<•>'„,,)- козрцитивность оператораР : 1ЛГ (1.р) -> Цр

ТЕОРЕМА 4.3.2. - козрцитивность оператора Р :

(V) Ьр влечет (£,<• - козрцитивность оператора Р : \Л/т

( М") -> Мр.

Обозначим

Р=£Да(Х)0\ где Ав(х) = НгпА(х+Ь,)

(а^ИТ

равномерно на каждом компактном множестве П с Я".

ТЕОРЕМА 4.3.3. Если любое однородное уравнение Ри=0 не имеет нэнулевых решений в С""7 , то оператор Р : Ст С является (г , < • >тЛ ) - коэрцитивным.

Оператор Р : \Л/ т (Р) -> Р называется коэрцитивным Е оператором, если существуют такие постоянные С1 > 0, Сг > 0, что

Результаты относительно дифференциальных Е-операторов содержатся в параграфе 4.4. Это теорема 4.4.1, определяющая Е -оператор через эквивалентное неравенство; теорема 4.4.2, согласно которой операторы Р : \Л/т ( Мр) -» Мр п Р : \Л/т (!_р) -> 1р являются Е - операторами одновременно; теорема 4.4.3, дающая пример Е -оператора Р : УУ2 ( М2) -> М2 , теорема 4.4.4, устанавливающая оценку нормы функции и в Ст при условии, что оператор Р : \/Ут ( Мр) Мр есть коэрцитивный Е - оператор.

Три теоремы получены в § 4.5 о коэрцитивности оператора Р : \ЛГ ( Р) -> Р относительно полунормы

ТЕОРЕМА 4.5,1. Оператор Р : \ЛГ ( V) -» 1.р коэрцитивен относительно полунормы<итогда и только тогда, когда оператор Р: \Л/т (Мр) -> Мр коэрцитивен относительно полунормы < и ,.

ТЕОРЕМА 4.5.2. Для коэрцитивности оператора Р : Ст С относительно полунормы < и достаточно, а при постоянных коэффициентах Ац оператора Р и необходимо, чтобы оператор Р : У\Г (Мр) Мр был коэрцитивен относительно полунормы < и ,.

ТЕОРЕМА 4.5.3. Пусть коэффициенты А, оператора Р постоянны. Тогда свойства коэрцитивности операторов Р : Ст -> С, Р : V/" ( Мр) Мр, Р : (1.р) 1_р относительно соответствующих полунорм <и, <и>£', , <и>^, эквивалентны.

В § 4.6 изучается неравенство Шаудера для оператора Р : С™*1 -> Су при условии,что операторы Р : \ЛГ ( Мр) ~> Мр, Р : \Л/т ар)

-> 1.р есть Е - операторы (теоремы 4.6.1 - 4.6.3).

Дифференциальный оператор Р называется равномерно эллиптическим в Яп, если существует такая постоянная к > 0 , что

* 1Х(х)ГИ

для любых х, 4 е Rn, h е X.

Перечислим основные утверждения § 4.7, в котором обсуждается равномерная эллиптичность дифференциальных операторов.

ТЕОРЕМА 4.7.1. Если оператор Р : W т (F) -> F есть Е -оператор, то оператор Р равномерно эллиптичен.

ТЕОРЕМА 4.7.2. Пусть старшие коэффициенты Ас( | а | =т) оператора Р постоянны, а остальные коэффициенты Аа равномерно непрерывны по Гельдеру в равномерной топологии на всем пространстве R". Тогда из оценки Шаудера для оператора Р : Cm+r -v С' следует равномерная эллиптичность оператора Р.

ТЕОРЕМА 4.7.3. Пусть пространство X конечномерно, оператор Р: Wm(F) -> F равномерно инъективен, его коэффициенты Аа - почти периодические функции ( Ас = const при | а | = m ), которые равномерно непрерывны по Гельдеру. Тогда оператор Р : Сга+Т -» С1 имеет ограниченный обратный.

В тегореме 4.7.4 дано необходимое и достаточное условие обратимости оператора Р:Ст+у->Стс постоянными коэффициентами. В параграфа имеются другие утверждения и примеры.

Равномерная инъективность оператора Р : С"* -> С относительно пар ( С 1, С ) (J = 0 ,..., m-1 ) выводится в § 4.8 из равномерной инъективности операторов Р : W* ( L1*) Lp , Р : W" (Uf) -» М" (теоремы 4.8.1 - 4.8.3). Приведем точную формулировку первой теоремы.

' ТЕОРЕМА 4.8.1. Пусть I е { т, ш-1 }, V е { 1, 2..... I },

оператор Р : \ЛГ ( 1/ ) -> 1р равномерно инъективен относительно пары (\Л/' ( V), 1.р), ур > п. Тогда оператор Р : Ст -> С равномерно инъективен относительно пары (С1"", С).

В последнем § 4.9 изучаются Ф+ - операторы Р : \/\/т(Р) -> Р в й" . Напомним, что оператор Р : \Мт(Р) -> Р называется Ф+ -оператором, если его область значений замкнута и ядро конечномерно. Ниже используются обозначения:

( Ур 1!и11._____= Ци(х)Г(1х (иеЦ"),

чв(ол) /

И|.в(ОЯ)

И^зд^Нм (иеЬМеИ).

ТЕОРЕМА 4.9.1. Для того, чтобы оператор Р : \ЛГ (1Р) -> !_р был Ф* - оператором, необходимо, а при конечномерном X и достаточно, чтобы существовали такие постоянные к>0 и 13>0 , что

и

¿кцриц^+ф!

II №"(1") Т Ни" II «^(од)'

ТЕОРЕМА 4.9.2, Пусть пространство X конечномерно. Оператор Р : \/Ут (1_р) ~> 1р является Ф+ - оператором тогда и только тогда, когда существуют такие постоянные к' и К', что

ТЕОРЕМА 4.9.3. Пусть X - произвольное банахово пространство. Для того, чтобы оператор Р : (1.р) -» 1р был Ф* -оператором, необходимо, чтобы оператор Р был равномерно эллиптическим.

Представим оператор Р в виде

Р = Рт +Ру1.т.1+ Ро.у где Рт=£А,Дхра, Р0,= £а„(х)0«,

Pv+i,m-,= lAa(x)Da.

v+1s[ajsm-1

Коэффициенты Aa предполагаются гладкими функциями класса Cm, m - четное, Aa = const при i a| = m , коэффициенты Aa(v+1s|a |<m-1) имеют компактные носители, ( u, v )0 - скалярное произведение элементов u, v € L2 .

ТЕОРЕМА 4.9.4. Пусть оператор Р равномерно эллиптичен и существует v, при котором для оператора P0,v имеет место неравенство

aolMlw'(L>) ^||po.vu£ +2Re(Pmu,P0vu)0, где а0 > 0 не зависит от u е Wm ( L2), I е Z», 0 £ I £ v. Тогда оператор Р : Wm ( L2) -> L2 является Ф+ - оператором.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Тюрин В.М. О регулярности линейных дифференциальных операторов с почти периодическими коэффициентами II Функциональный анализ. - Ульяновск: изд-во Госпединститута, 1973. - Вып.1. - С. 130-140.

2. Тюрин В.М. Допустимость некоторых функциональных пространств и дихотомия решений для уравнений с постоянными коэффициентами II Дифференц. уравнения. - 1878, * Т.Н. N4 в. -С. 1526-1528.

3. Тюрин В.М. 0 регулярности линейных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами II Труды семинара по дифференциальным уравнениями, • Куйбышев! К ГУ, 1975. -

Вып. 1.-С. 146-150.

4.Тюрин В.М. О возмущении регулярного дифференциального оператора с почти периодическими коэффициентами II Дифреренциальные уравнения и их приложения. - Куйбышев: КПтИ, 1575. -Вып.2,- С. 133-136. .

5. Жиков В.В., Тюрин В.М. Об обратимости оператора d/dt + A(t) в пространстве ограниченных функций // Мат. заметки. -1976. -

19, № J.-С. 99-104.

6. Тюрин В.М. Об обратимости линейных разностных операторов с почти периодическими коэффициентами в пространстве ограниченных последовательностей // Труды семинара по дифференциальным уравнениям. - Куйбышев: КГУ, 1977. - Вып.З. -С. 115-118.

7. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов с почти периодическими коэффициентами в некоторых функциональных пространствах // Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. -Куйбышев: КГУ, 1976. - Вып. 4. - С. 102-106.

8. Тюрин В.М. Об обратимости оператора d/dt - A(t) в некоторых функциональных пространствах // Мат. заметки. - 1979. - 25, №4. - С. 585-590.

9. Тюрин В.М. К дихотомии решений линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами II Изв. АН Аз ССР. Серия физ.-техн. и мат.наук. -1980. - №6. - С. 44-47.

10. Тюрин В.М. К обратимости линейных дифференциальных операторов с коэффициентами при производной II Тез.докл. Всессюз . конф. по теории и прил . функционально-дифференц. уравнений, 28-30 сент. 1987 г., Ч II. - Душанбе, 1987. - С. 120.

11. Зубко Ю.И.,Тюрин В.М. 0 свойстве обратимости линейных

дифференциально-разностных операторов в некоторых пространствах функций на оси И Дифференц. уравнения. - 1989. -¿Ъ, №10. - С. 1683-1687.

12. Тюрин В.М. О Р - корректности линейных дифференциальных операторов // Тез. докл. XVI школы по теории операторов. - Ульяновск, 1990. - С. 95.

13. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах//Сиб.мат , журн. - 1991. - 32, №3. - С. 160-165.

14. Тюрин В.М. О к - инъективности линейных дифференциальных операторов с частными производными в некоторых функциональных пространствах. - Липецк, 1992. - 37 с. -Рукопись представлена Липецк.политехн.ин-том.- Дел. в ВИНИТИ 25.06.92, № 2084 - В92.

15. Тюрин В.М. О В корректности линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах. - Липецк, 1992. - 10 с. - Рукопись представлен^ Липецк. политехн.ин-том.~Деп. в ВИНИТИ 25.06.92, № 2685-В92.

16. Тюрин В.М. О некоторых свойствах линейных дифференциальных операторов // "Понтрягинские чтения - IV"; Тез. докл. школы.- Воронеж: ВГУ, 1993. - С.187.

17. Тюрин В.М. О некоторых коэрцитивных неравенствах для дифференциальных операторов с частными производными Н Современные проблемы механики и мат.фиэихи: Тез. докл. -Воронеж: ВГУ, 1994. - С. 96.

18. Тюрин В.М. О равномерной . инъективности дифференциальных операторов с частными производными второго порядка // XXVI Воронежская зимняя изтем. школа: Сб. науч. тр. -Воронеж: ВГШ4. ■ С. 02.

19 Тюрин В.М. О линейны* дифференциальных Ф* -

операторах в Я" // "Понтрягинские чтения - V": Тез. докл. школы. -Воронеж: ВГУ, 1994. - С. 136,

20. Тюрин В.М. О некоторых свойствах е - коэрцитивных линейных дифференциальных операторов в частных производных в К" II Тез. докл. Международ, конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Саранск, 1994. - С. 102.

21. Тюрин В.М. Козрцитивность и неравенство Шаудера в . для линейных операторов Р II Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики: Тез. докл. школы. - Воронеж: ВГУ, 1995 - С. 232.

22. Тюрин В.М Об эквивалентности некоторых коэрцитивных неравенств для линейных дифференциальных операторов с частными производными II Тез. докл. Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем." - Киев, 1995. -С. 108.

*

Основные результаты и положения

1. В банаховом пространстве разработана техника локальных равномерных неравенств для изучения обратимости линейных функционально-дифференциальных операторов в пространстве функций, заданных на оси или на всем конечномерном пространстве.

. 2. Установлен ряд теорем об эквивалентности свойств обратимости и инъективности для широкого круга функционально-дифференциальных операторов ( в том числе с неограниченными коэффициентами, с коэффициентами при производной, с частными производными ) в пространствах непрерывных ограниченных на оси функций, Лебега, Степанова, Соболева и других.

3. На основе техники периодической аппроксимации и

локальных неравенств получены критерии обратимости функционально-дифференциальных операторов. Несколько результатов связано с обратимостью дифференциальных операторов в условиях допустимости функциональных пар.

4. С точки зрения эквивалентности изучена глобальная коэрцитивность линейных дифференциальных операторов с частными производными относительно некоторых полунорм в различных функциональных пространствах.

5. Исследованы некоторые классы линейных дифференциальных Ф* - операторов, а также эллиптичность коэрцитивных дифференциальных операторов

TtopiH 8.M. "До оборотности линиЭних диференцшльних та функц1онально-диференц1апьнмх onepaTopia".

Дисергац<я на здобуття вченого ступеня доктора ф1зико -математичних наук за слец(альн)стю 01.01.02 - диференЦ1альн! р!вняння.iHCiuiyrматематикиНАН УкраУниКиУв, 1996.

У банаховому простор) вивчаються проблеми, пов'язан1 з оборотнютга пин!йних функционально - диференцгальних onepaTopiB у деяких просторах функц(й, визначених на ус!й oci або на усьому п -м!рному простор*. Для широкого кола доанджуваних onepaTopiB, включаючи з частинними поздними, встановлеш умови оборотност1 та aceieaneHTHicrb' оборотности, (н'ективносл, коерцитивносп у чисгенних функц!ональних просторах. Досл1джеж деяк! класи д«ференц!апьних onepaTopiB i3 замкненою областю значень та егопгичнклъ коерцитивних оператор!в. Розглянуп приклади та застосування.

Tyurin V.M. "On tnvertibffity of Linear Differential and Functional -Differential Operators".

Thesis for a D.Sc. degree in Mathematics (01.01.02 - Differential Equations). Institute of Mathematics of National Academy of Science of Ukraine, Kiev, 1996.

In the Banach space a number of problems are studied which pertain to the Invertibility of linear functional - differential operators in some spaces of functions defined for the entire axis or for the entire n - dlmentional space. For a wide range of operators in question there has been found a property equivalence for Invertibility, Injectiveness,' and coerciveness in various functional spaces. Several classes of differential operators with a closed range of values and the ellipticity of coercive operators have been examined. Numerous examples and applications have been dealt with.

Ключов! слова: лийний диференцшльний оператор, оборотжсть, 1н'вктивн1сть, коерцитивн1сть.

ПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВЕДЕНИЕ.II

ЛАВА I. РАВНОМЕРНАЯ ШЬЕКГИБНОСТЬ И ОБРАТИМОСТЬ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДШФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ФУНКЦИО-НАЛЬНО-ДИФФЕРЕШЩЛЬНЫХ ШЕРАТОРОВ.

§ 1.1. Линейные дифференциальные операторы е не

•граниченными операторными коэффициентами, (¡/с ператоры.

§ 1.2. Свойства эквивалентности равномерной инъек

•ивности и обратимости для с1/с - операторов.

§ 1.3. Функционально-дифференциальные операторы в

С , /Пр, 1Р

§ 1.4. Обратимость и равномерная инъективность лиейных дифференциальных операторов с неограниченными оэффициентами в пространствах

§ 1.5. Двойственные операторы.

§ 1.6. Равномерная инъективность функциональнояфференциальных операторов в пространствах ЬС , Ъ¥

ЛАМ 2. НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ ОБРАТИМОСТИ И РАВНОМЕРНОЙ

ИНЪЕКГИБНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ.

§ 2.1. Локальная сходимость, периодическая аппроксимация и обратимость функционально-дифференциальных ператоров

§ 2.2. Функционально-дифференциальные операторы с очти периодическими коэффициентами .^.

§ 2.3. Обратимость дифференциальных операторов с постоянными и периодическими коэффициентами.

§ 2.4. Операторы с замкнутой областью значений.

- операторы

§ 2.5. Дифференциальные операторы с малым параметром

ГЛАВА. 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДШФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАДЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ.?

§ 3.1. Обратимость операторных коэффициентов при производной

§ 3.2. Равномерная инъективность и обратимость функционально-дифференциальных операторов с коэффициентами при производной.

§ 3.3. Предельные операторы

§ 3.4. Метод замораживания.

§ 3.5. Частичная равномерная инъективность линейных дифференциальных операторов.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (ВОПРОСЫ ОБРАТИМОСТИ И ИНЪЕКГИВНОС-ТИ, КОЭРЦИТИВНЫЕ ОЦЕНКИ)

§ 4.1. Равномерная инъективность и обратимость дифференциальных операторов в пространствах IV (/Л) л/тар).;.

§ 4.2. £ - коэрцитивность дифференциальных операторов

§ 4.3. £ - коэрцитивность дифференциальных операторов в пространствах с*

§ 4.4. Коэрцитивные £ - операторы.

§ 4.5. Коэрцитивность дифференциальных операторов относительно полунормы

§ 4.6. Неравенство Шаудера.

§ 4.7. Эллиптичность дифференциальных операторов

§4.8. Равномерная инъективность дифференциальных юраторов относительно пар { С**, С )

§ 4.9. Дифференциальные Ф + -операторы в (Цп .322 ШСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ л - п - мерное (вещественное) эвклидово пространство. X = ( Х-/,., Хп) - вектор (переменные) в

- А'./. Хц ^п - скалярное произведение векторов х / Л .V - эвклидова норма вектора ^

А/ - множество натуральных чисел.

- множество целых чисел. ° - множество целых неотрицательных чисел. /Р ~ - множество вещественных чисел (числовая прямая). <э6 - . , сСп ) , где об/-' в 2 + (у = ^ . , /Т. ^ -мультииндекс. означает, что У3у ^ ¿Су Для > ^ ^ » / мультииндексы).

Ш = эб/ . + я - длина мультииндекса.

Х<Е 1КП , оС мультииндекс.

1 dL^ мультииндекс, открытый шар

-а /<- ¡г в

КА,, ( х ) - открытый куб в ¿К " с центром в точке X , ребра которого параллельны осям координат и имеют длину равную М »

К(х) = к, Гх)

- мера Лебега измеримого множества S2— /А?

А?. - объем единичного шар'а в Щ а . А' - банахово пространство. ЦХИ - норма элемента X £. X. ■ * \/ А на элементе X <ь А

X - сопряженное пространство к X * - элемент из X

ИХ // - норма элемента X * с Л (X, - значение функционала X Ноп'1{х X)- пространство линейных ограниченных операторов, действующих в X , наделенное равномерной топологией.

А * - сопряженный оператор к оператору Л . ¿(А) - спектр оператора А I - тождественный оператор в X

- пространство всех сильно измеримых функций ^ [Р —*Х » интегрируемых по Бохнеру на каждом конечном интервале, с топологией сходимости в среднем. ¡-,Р(И\ ,Х) - пространство Лебега измеримых функций

Г- .X < « ос-).

- пространства измеримых функций соответственно нормами со степановскими

11и1^р(Шп X) -- Х-ар хе К(х) пр(М,х)

С (Ш у X) - пространство непрерывных ограниченных функций ¡Яа ~—> .Л С Х(Ю - нормой. с(@.х) -сст'.Х).

- пространство бесконечно дифференцируемых во финитных гладких функций). п - г / /т>п хг\ /''/ ,т>п \/ ^ л/1 РС :~Г)п

А - г (/л , Ау - одно из пространств С ; /X , Л)> /М ил. , Я/,

С/?'1, X).

Ии Ир - норма элемента с /- . \л/т ( Р) - пространство функций а .X , принадлежащих р вместе с производными 2) ^ 6.' до порядка /72. включительно (пъ е л/°(Г)= Р . Сп= Мт(С\ и и Ни™ (Г) ~~ И^иИ г

- подпространство в с ш,х) , состоящее из почти периодических функций Бора.

5 Г /) - спектр показателей Фурье функции /О. С Л °

С д - подпространство в С , состоящее из функций, для которых модуль показателей Фурье /тюс{ ( /) ^ а /А?

ВС - пространство непрерывных ограниченных функций с бого-любской нормой

Ни и ВС = $4° II! и (з; ¿¿в // (t1 г е Л?) ЪУ=ЪУ(111Х) ~ винеровское пространство функцдй ; гатх)-¡{в ¡^шх)!^ ир

У г - оо J < Ь ^

НиНр/П'Г = НиЦ^т + <и><г,т ( ПЬ & Ж+). т +Г-У ( аа р \

17 - нормированное пространство, состоящее из

I . Л и \ и е причем,

НиН-^ * й(/лР) = Ни //]Л/^(МР) +<<^>Г,<пУ т ¿'.Г нормированное пространство с нормой и И £ пг гог - Пи ¡¡с т + <(1>°^гп < ^^

Ру - нормированное пространство с конечной нормой

11и11с;;гч1иИст + <и>г;ту № * (Г", ■ л Р, т ) - нормированное пространство с конечной нормой нормированное пространство, имеющее норму аН^гтР) - 11иИ1^(1Р)^<иИГт<оо \\ify Ю<Г (ир) - нормированное пространство с нормой иСс V;

Ггц-С'?. р. г\ ) - нормированное пространство, в котором

Ни = Ш Си%ту < «■

- область определения линейного (функционально-дифференциального) оператора , принадлежащая пространству/"'. ' /£)(<%) Г) —* Р - линейный (функционально-дифференциальный) оператор.

В диссертации изучается ряд задач, связанных с обратимостью и равномерной [^-равномерной)инъективностью линейных функционально - дифференциальных и дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах, элементами которых являются векторные функции, определенные на всей оси или на всем пространстве IИп . Актуальность этих задач определяется тем, что к ним приводят исследования по теории устойчивости, теории усреднения, спектральной теории, ветвлению решений, управлению, качественной теории дифференциальных уравнений и т.д. При этом возникает необходимость вывести обратимость дифференциальных операторов, например, в пространстве ограниченных функций на оси из более простых свойств дифференциальных операторов таких, как корректность, равномерная инъектив-ность, допустимость, слабая регулярность, условие Фавора, коэр-цитивность и т.п. [9,34,35,37-39,42,43,63-71,75,78,89-94Д04-113,150,1513 . Сюда же примыкают работы по ограниченным на оси и почти периодическим решениям дифференциальных уравнений [ 7, 8,10,11,19,53,55,103,115,122,155,156,160,163,137,167,169,187, 192 3 • Далее, с точки зрения обратимости линейный дифференциальный оператор часто удобнее рассматривать в различных функциональных пространствах. При таком подходе ставится задача об эквивалентности свойств обратимости дифференциальных операторов в рассматриваемых пространствах. Это напрямую связано с проблемой выбора области определения для дифференциального оператора. Удачный выбор области определения дифференциального оператора во многом определяет успех его изучения. Заметим также, что для

12 решения многих задач достаточно существования у линейного дифференциального оператора непрерывного обратйого.; определенного на области значений линейного дифференциального оператора, т.е. равномерной инъективности последнего.

В теории линейных дифференциальных уравнений значительное место занимают вопросы поведения решений однородных уравнений, в частности, экспоненциальной дихотомии и устойчивости [ 13,29, 31,58,59,85,143] . Наличие экспоненциальной дихотомии решений однородного уравнения тесно связано с обратимостью.соответствующего дифференциального оператора в некоторых функциональных пространствах. 0.Перрон [1831 , по существу, первым доказал, I что в конечномерном случае обратимость линейного дифференциального оператора с ограниченными коэффициентами в пространстве ! I ограниченных на оси функций эквивалентна экспоненциальной дихотомии решений однородного уравнения (см. также [ 60,72,80,83, 159,173,184,191] . Обобщение результата 0.Перрона на системы запаздывающего типа имеются в работах [44,52,98,141,144] и других.

Проблеме допустимости (обратимости) и экспоненциальной дихотомии в банаховом пространстве при довольно общих предположениях относительно коэффициентов линейного дифференциального оператора (значения коэффициентов .есть линейные ограниченные операторы) посвящена серия работ Х.Массера и Х.Шеффера/Д77-180./ (см.дополнительно [22,51,162,1747). Ими же доказано утверждение об эквивалентности обратимости дифференциального оператора и экспоненциальной дихотомии в предположении некоторого "условия замкнутости". Как показал В.Жиков [35] "условие замкнутости" является излишним, при этом коэффициенты линейного дифференциального оператора могут быть неограниченными оператораш.

Основными объектами изучения в диссертации являются линейные функционально-дифференциальные операторы вида е - ¿/¿а-л

X = &Ф сЦс11 'Л и линейные дифференциальные операторы в частных производных

Р = X А ¿МП*

М ¡^/тг где линейный оператор Лг' & (А ¿ Г)-* Г обладает определенными свойствами, непрерывные ограниченные операторные функции. Операторы X охватывают обыкновенные дифференциальные операторы с ограниченными и неограниченными коэффициентами, операторы, определяемые дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом, некоторые классы интегральных операторов и другие функционально-дифференциальные операторы. Дифференциальные операторы ¿6 и Р исследуются с точки зрения обратимости и эквивалентности этих свойств в различных функциональных пространствах Р , а также решаются другие качественные вопросы для рассматриваемых операторов об и Р . При этом находят широкое применение методы теории линейных операторов в банаховом пространстве, качественного анализа дифференциальных операторов и уравнений, метод локальных равномерных неравенств и другие методы и техника. Добавим также, что многие рассмотрения в работе происходят в пространствах Соболева.

Все приведенные в диссертации результаты являются новыми. Их новизна заключается как в выборе объекта исследования, так и в методах исследования. Коротко основные моменты работы можно охарактеризовать следующим образом.

I. В банаховом пространстве установлен ряд теорем для широкого круга функционально-дифференциальных операторов об эквивалентности свойств обратимости и равномерной инъективности в некоторых функциональных прост rnnOUOftlDpY

Ю J. J>< ax.

2. Получены критерии обратимости функционально-дифференциальных операторов в функциональных пространствах.

3. Приведены необходимые условия равномерной инъективности и обратимости, а также коэрцитивноети функционально-дифференциальных операторов.

4. Разработана техника локальных равномерных неравенств для изучения функционально-дифференциальных операторов.

5. Рассмотрены различные коэрцитивные оценки для дифференциальных операторов в частных производных и их эквивалентность в различных пространствах.

6. Исследованы в некоторые классы дифференциальных -операторов с частными производными.

Полученные в работе результаты позволяют решить многие вопросы обратимости, равномерной инъективности, коэрцитивноети широкого класса функционально-дифференциальных операторов, в частности, операторов с частными производными, в некоторых функциональных пространствах, и могут быть использованы при изучении различных прикладных задач.

Рассмотрим теперь более подробно содержание диссертации, состоящей из четырех глав. В первом параграфе первой главы для дифференциального оператора об =cL!cLt - hit) , где Ait) -неограниченный линейный оператор в банаховом пространстве X , определяются У -условия, которые заключаются в следующем. При любом Ц(1о)вХ уравнение Ци ~ 0 единственным образом разрешимо вправо it ^ to ) . Разрешающий (эволюционный) оператор гm.to) (t * и) ограничен, сильно непрерывен по переменным

15

Ь :Z■tо и удовлетворяет экспоненциальной оценке роста. Решение неоднородного ^и - / дается формулой Дюамеля. На основе -У - условий задается область определения £>(¿6, О оператора

КР V О т^ ^ТГТТЧ|-ТГТТАТ1П ТГТ ГТ Л*Л ГТ"Г\ГЛ О ГТ1- ТЛО Т7 Г* О! Т}0 Г

Г) ад ппдиипа^1Х1Г1иш ирчу^ х исл.гю а а->С ■ .

Далее вводится понятие линейного - оператора п

У' "Х) ( Р) ^ Р —^ ' , который характеризуется следующим образом. Область определения $ Р) инвариантна относительно умножения её элементов на гладкие финитные функции

У7-'/^—^> (Р . Имеет место локальная оценка разности о^^ц-^Уи (коммутатора). Носитель Шр'р (^^Рц-У^ба) расположен в окрестности носителя 3<ир'Р У7 .

Приводятся примеры с1к - операторов. Таковыми будут дифференциальные операторы ов , удовлетворяющие $ - условиям, а также разностные операторы и другие.

Одним из центральных определений диссертации является определение равномерной инъективности оператора. Линейный оператор называется равномерно инъективным, если существует такая постоянная К >0 , что выполняется неравенство

Ни Иг ^ К НУ а Иг (иеЯ(ХЛ) .

4 S * i 1

Равномерная инъективность оператора тесно связана с непре-f рывным левым обратным оператором [ 119] .нижней нормой оператора! 67J , минимумом модуля оператора L 171 ] , корректностью г 1 . Н оператора L 78 j . Термин "равномерная инъективность оператора";, более удобен и универсален при изучении функционально-дифферен-|? циальных операторов. 1

В § 1.2 рассматриваются свойства эквивалентности обратимости и равномерной инъективности для cht- - операторов. Показано (теорема 1.2Л), что если dtt - операторы •

16 р < связаны определенным С1р - условием и некоторым свойством локальности, то они равномерно инъективны одновременно.

Теорема 1.2.1 имеет принципиальное значение, поскольку многие результаты получены с её помощью. В доказательстве существенную роль играют локальные равномерные неравенства в Мр и ир для операторов Хг и Хз • На основе теоремы 1.2.1 получена также важная теорема 1.2.2 об одновременной обратимости сЬъ - операторов от которых дополнительно требуется локальная замкнутость оператора и некоторая импликация для функций из

Уд, №Iя) . Как следствие найдено, что спектры с!л- - операторов совпадают.

Реализация теорем 1.2.1, 1.2.2 на конкретных Фъ - операторах дает следующие утверждения (теоремы 1.2.3, 1.2.4). Если дифференциальный оператор X ~ (£!(№- удовлетворяет

3 -условиям, то операторы ,МР)—? А/\Р и ¿6 > равномерно инъективны или обратимы одновременно. Аналогичные утверждения (теоремы 1.2.5, 1.2.6) получены о дифференциально-разностных операторах вида У? - У о + @ , где для дифференциального оператора обо выполнены У - условия, а разностный оператор.

Параграф 1.3 посвящен изучению равномерной инъективности и обратимости функционально-дифференциальных операторов сЦсИ - А где в пространствах с Но ранее в теоремах 1.3.1, 1.3.2 установлено, что при определенных условиях из равномерной инъективности линейного оператора (не обязательно функционально-дифференциального) вытекает равномерная инъективность опера

17 торов & 1Г) — Приведем основные теоремы.

ТЕОРЕМА 1.3.3. Пусть с1г - операторы Л • I, Ь , ■ ^ , р< оо^ ограничены и выполняется для них некоторое свойство локальности. Тогда равномерная инъективность одного из операторов ЖЬв, Ц**) —9 , влечет равномерную инъективность двух других.

ТЕОРЕМА 1.3.4. Если ¿/с - операторы -А- ГГ ограничены и для них имеет место некоторое свойство локальности, то операторы * ^,

V , £ М?) 1Р (;<р<оо) равномерно инъективны одновременно.

ТЕОРЕМА 1.3.6. Пусть оператор Я -'Л I* непрерывен и для него выполняются условия теоремы 1.3.4. Тогда свойство непрерывной обратимости для операторов Ьв'- & ( С) —► С ,

ГЛР , я.яое, Xр ( схэ) эквивалентны.

Показано также, что операторы ¿6: С

С , равномерно инъективны (обратимы) одновременно. В следствиях установлено, что равномерная инъективность (обратимость) оператора Ж :

4) или оператора £б(ов Р ^ при одном р влечет их равномерную инъективность (обратимость) при всех р . А спектры операторов

Я 1Рсовпадают.

В четвертом параграфе изучается линейный дифференциальный оператор удовлетворяющий 7 - условиям.

На него удается распространить основные утверждения предыдущего

параграфа. Напомним, что A (i) есть^ вообще говоря, неограниченный оператор в X . Схема исследования оператора J6 состоит в следующем. Сначала получается результат для разностного

ЛГТЛ-ПОШЛЛО Р У Í п ) — У / л -¿-У) — А//-?-) у / п 1 uno ра i upa ^ ^ . , у ' ^ л i '

А / п ^

I 'ty лпглогттглгт ный оператор в X , П е .

ТЕОРЕМ 1.4.1. Оператор R : £<>о * равномерно ияъекти-вен тогда и только тогда, когда равномерно инъективен оператор

R tp lp .

Затем по оператору о£ строится специальный разностный оператор Rx(n) - Х(п+4)~ , п) X (n)t обратимость которого в пространствах ioo , £р тесно связана с обратимостью оператора X в пространствах С , Lp (теорема 1.4.2). После этого установлены

ТЕОРЕМА. 1.4.3. Оператор £: %(¿С, Ь^^¿Гравномерно инъективен, если и только если равномерно инъективен оператор

С .

ТЕОРЕМА 1.4.4. Оператор $ • 50 (С) С равномерно инъективен тогда и только тогда, когда оператор ^ равномерно инъективен относительно пары ( С } /Ир )в

ТЕОРЕМА 1.4.5. Для операторов ¿g : fi (% С) С , Ж свойства равномерной инъективности эквивалентны. И последняя в этом ряду

ТЕОРЕМА 1.4.6. Операторы ¿С' , : £) обратимы одновременно.

Приведены различные следствия об обратимости и инъективности оператора <£ в пространствах Lp , о спектре дифференциальных операторов и равномерной инъективности оператора R в пространствах 1р . Отметим, что теорема 1.4.4. дает положитель 5 i; í

19 ное решение одной задачи В.Жикова [ 30] .

Приложения некоторых неравенств и теорем демонстрируется на оценке одного интеграла и доказательстве простейших теорем вложения в /Л? .

Хорошо известно, какую важную роль играют сопряженные операторы в анализе и теории линейных операторов. Наховдение сопряженного оператора к дифференциальному оператору - далеко не простая задача. Однако некоторые вопросы можно решить с помощью двойственных (формально сопряженных) операторов. С рассмотрением таких операторов и связан пятый параграф.

Пусть оператор удовлетворяет J - условиям. Оператор где h*(t) - сопряженный оператор к A (t ) , называется двойственным оператором к ¿6 . Оператор подчиняется так называемым С/® - условиям. С помощью результатов четвертого параграфа получены

ТЕОРЕМА 1.5.1. Пусть операторы ¿6 • ¿0 ( С) С и

С®) -> С® равномерно инъективны. Тогда оба они непрерывно обратимы.

ТЕОРЕМА 1.5.2. Оператор СО (¿вС непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратим двойственный оператор X® : С ®) — С

ТЕОРЕМА 1.5"!з. Операторы : С ®, ' •' Lр®) —> L^® (Мр < равномерно инъективны непрерывно обратимы) одновременно.

Пусть пространство X рефлективно или сепарабельно, а операторы Ad) имеют общую плотную область определения в X . ТЕОРЕМА 1.5.4. Пара (Lp0 Lp) (J<p<°o) допустима для оператор; # тогда и только тогда, когда равномерно инъективен оператор

20

Оказывается, теорему 1.5.1 можно распространить на функционально-дифференциальные операторы ~ &1сИ . Оператор и пространство л. удовлетворяют вышеприведенным условиям, а оператор Л - условиям теоремы 1.3.6.

ТЕОРЕМА 1.5.5. Если операторы ' С и равномерно инъективны, то оба они непрерывно обратимы.

Одним из примеров оператора г может служить дифференциально-разностный оператор оо а = с/и/сСЬ ~А({) и (Ь- ^^ И) аИ" I и

Для него отдельно формулируется теорема I.5.6аналогичная теореме 1.5.5.

С позиций равномерной инъективности и обратимости в шестом параграфе рассматривается функционально-дифференциальный оператор $ = сЦсИ' & (оператор Ж такой же, как в теореме 1.3.6) в пространствах С , ЬС , 1лУ .

ТЕОРЕМА 1.6.1. Для того, чтобы оператор $: С был равномерно инъективен, необходимо и достаточно, чтобы оператор был также равномерно инъективен.

Отсюда сразу следует

ТЕОРЕМА 1.6.2. Свойства непрерывной обратимости для операторов £ (£, С) ~* С и ов: ВСУ*5С эквивалентны.

Аналогичные предложения доказаны для пространств С и ¿с^ (теоремы 1.6.3, 1.6.4). В последней части параграфа в качестве приложений рассмотрены теоремы 1.6.5, 1.6.6 и следствия для функционально-дифференциальных операторов, зависящих от малого параметра £ > 0

Вторая глава содержит главным образом исследования, связан

21 ные с признаками обратимости и равномерной инъективности функционально-дифференциальных и дифференциальных операторов. Результаты первого параграфа получены на основе техники периодической аппроксимации и локальных равномерных неравенств. Не вдаваясь в подробности, приведем основные из них.

ТЕОРЕМА 2.1.1. Для равномерной инъективности оператора (об,Р)—+Г достаточно, чтобы существовала последовательность равностепенно инъективных операторов ^ , /■ ) —* Г, сильно локально сходящаяся к с€: СЬ ( 7Г)—:* Р . Если оператор Жов% Р)~^Р равномерно инъективен, то при сильной двойной периодической аппроксимации оператора Р операторами • > / ) * Ь (J * оо^ необходимо, чтобы последнее семейство операторов было равностепенно инъективным.

ТЕОРЕМА. 2.1.2. Если при локальной аппроксимации операторы ¿ф / Г) * ./- непрерывно обратимы и SfAp.il ^ //р<оо? то оператор непрерывно обратим. Если оператор непрерывно обратим и пространство л рефлексивно или сепарабельно, то при сильной двойной периодической аппроксимации операторы ¿6; ' X) (об] , Р) ~> Р для достаточно больших ^ ^ непрерывно обратимы и 5<ир Н ^ Ир <

В теоремах 2.1.1 и 2.1.2 оператор % - ¿¡(М* - Л , где А - функциональный оператор, действующий в Р . В случае, когда оператор является оператором умножения на операторную функцию кИ) справедливы

ТЕОРЕМА 2.1.3. Для того, чтобы оператор ^ был непрерывно обратим достаточно, чтобы при локальной аппроксимации его операторы • —^ ^ были непрерывно обратимы и 3<лр И^! Ир ^ (] е Ш) . Если оператор непрерывно обратим, то при двойной периодической аппроксимации операторы непрерывно обратимы, начиная с некоторого номера j0 , и ар ИХ, 'Иг < ^ Г у ^¡о)

С помощью указанной выше техники получен аналог теоремы Фавора - Мухамадиева (теорема 2.1.4) для разностного оператора.

В теореме 2.1.5 установлена обратимость оператора : : -X" (X С) 'МП) при условии допустимости некоторых функциональных пар. Рассмотрены следствия и ряд лемм.

Предметом изучения в § 2.2 служит функционально-дифференциальный оператор с1/'сИ ' , где оператор Л Г—5 Г удовлетворяет условиям теоремы 1.3.6, пространство почти периоС дических функций С инвариантно относительно оператора Ж и имеет место определенная оценка коммутатора гладкая функция).

ТЕОРЕМА 2.2.1. Если оператор Х- ЖХ, инъективен, то справедлива локальная оценка равномерно

Slip i/U(i)//$ Koi Slip HXu(t)/h liisT itt^'oT гКсн r

-4) их и n с

ТЕОРЕМ 2.2.2. Для равномерной инъективности оператора ^ •' /С (У ( необходимо и достаточно, чтобы оператор X '

• %) (X, С С был равномерно инъективен. Если для -Л выполняется неравенство

II

S'il И где Ь

S-r

ИЛ Нг и - и ас ^ £ Ни И с ,

- £ -период некоторой почти периодической функции, 'С - оператор сдвига, то справедлива

ТЕОРЕМА 2.2.3. Оператор X7• £ (X, С) • С обратим тогда и с ° только тогда, когда обратим оператор Х: 0(X, С)—* С .

Далее оператор Ж считается оператором умножения на почти периодическую операторную функцию. о

ТЕОРЕМА 2.2.4. Пусть пара ( С , С ) допустима для оператора X с почти периодическим коэффициентом А(^) и множество замкнуто. Тогда оператор X'■ ^>(ов,С)—* С обратим. Я

ТЪ'Л РН!1\/! Д 9 9 Ь Л г>гпгфтлт\лпг»фт, папи ( X. Г \ тг ттсх ппо^офппо

X при условии замкнутости многообразия Хос влечет обратимость оператора ¿С ■ Ю(Х, С)—? С,

ТЕОРЕМ 2.2.6. Пусть пространство ЗГ сепарабельно и рефлексивно и пара {С Х- ) допустима для X' . Тогда, если (э0 - , то оператор X ( ьб> С)-*С обратим.

В теореме 2.2.6. О о - так называемый спектр однородных задач /Г66, с. 143 7 . Обратимость оператора XX) (¿в7С)-*С в Условиях допустимости пары ( С , С ) и сепарабельности многообразия

Х^ос получена в теореме 2.2.7. В заключительной части параграфа рассмотрена обратимость возмущенного оператора / ~ с1/с11 ~ Ш-вФ при допустимости пары ( С , С ).

Отдельным параграфом рассмотрены операторы ¿X с постоянными и периодическими коэффициентами. Обратимость оператора Х:Ю(ХХ')-*£ в случае допустимости пары С , С ) для сепарабельного X решеX пона в I 28 ] .В развитие этой проблемы для произвольного лучена

ТЕОРЕМА 2.3.1. Пусть пара банаховых функциональных пространств ( Ь , 6~ ) допустима для оператора . Если выполнено одно из условий: I) С1 и Е С ( 2) X-¿Л и

->о Р) с р Г ^ Г / J ^ ^ ^ ~ ^

О, X С и £ О, С ,4) оператор оС ■ ' ^ равномерно инъективен, то оператор X' ХХХХ-)' обратим.

В теоремах 2.3.2, 2.3.3 разбирается обратимость оператора X с периодическими коэффициентами.

В параграфе 2.4 изучаются операторы с замкнутой областью значений.

24

ТЕОРЕМ 2.4.1. Пусть область значений Хтр ^С оператора Z (at, Г) v ' замкнута и многообразие X о г также замкнуто в X . Тогда оператор равномерно инъективен.

Коэффициент Л1 (t) оператора в теореме 4.1 и ниже устойчивая по Пуассону функция. Из теоремы 2.4.1 выведены два следствия об обратимости оператора СО (Х,б) * X

ТЕОРЕМ 2.4.2. Оператор ¿С ■' Х!(Х Г) -^/"является Ф-+- - оператором тогда и только тогда, когда он равномерно инъективен. ТЕОРЕМА 2.4.3. Если один из операторов —* С ,

L^)- ГЛР % LP)->LP У - р < ос) является - оператором, то два других тоже есть Ф--*- - операторы .

Доказан аналог теоремы 2.4.1 для разностного оператора П Полученные результаты в § 2.5 применяются к исследованию дифференциальных операторов, коэффициенты которых содержат малый параметр ¿. > О (теоремы 5.1 - 5.3).

В главе 3 представлены функционально-дифференциальные операторы об r- Oil) Cijdt'Ji с коэффициентом b(~i) при производной. Параграф 3.1 начинается с рассмотрения определенных пространств б . В таких пространствах справедливо следующее предложение. JI е м м а 3.1.1. Если оператор равномерно инъективен, то операторы 3(1) :Х—* Х- равномерно инъективны, т.е. существует такая постоянная К с , что // х / / £ К. .'о'б. ' для всех t & [R и X € X •

Пусть 8 (1)6 С (Об, Нот (XX)), Ж® - двойственный к Л оператор, связанный с ним определенными соотношениями, Го -одно из пространств С , .

Лемма 3.1.2. Если оператор <Х: W (Го)—» Го является сюръективным, то оператор ¿6 ®: W f(/б®) L равноц

25 мерно инъективен.

На основе ЛЕММ 3.1.2, 3.1.1 доказана

ТЕОРЕМА 3.1.1. Пусть оператор \л/ Ч^о) /и обратим

ТГ ттгг ТТС^-П/Л !)1.:гтл (гиаии 47" О 7ТГ\"ОТ/ СГ ТТОЛЛПЛ '< т т Ч 7 о т'ЛТГПО ЛПОТЛОФЛПи ПО! и ^иаи ^их^шп ^ ^хо ауну: • о. « а $ * * Х кул. Х ч^/^рьи и ьа,

-/ обратимы 5 причем^ $-С1р И & (^¡¡('¿Е В теореме 3,1.2 получен такой же результат для дифференциально - разностного оператора оо

I /У

Ь1ЬШа1 -¡ки

7 > уа в теореме 3.1.3 показано, что в конечномерном пространстве/ из равномерной инъективности оператора ^ '&(1) (¿¡М ~ А({) с устойчивыми по Пуассону коэффициентами в пространстве Р вытекает его обратимость.

Для оператора ¡е - 5 а/оИ-А с постоянными коэффициентами доказана

ТЕОРЕМА 3.1.4. Пусть оператор %>(№*) имеет непрерывный обратный. Тогда, если выполнено одно из условий:

I) оператор Д ограничен на Хо ; 2) оператор Ь замкнут и Фо плотно в X , то оператор /3 имеет непрерывный обратный 5 У; К > с.

Центральное место в § 3.2 занимает

ТЕОРЕМА 3.2.1. Пусть коэффициент является равномерной непрерывной функцией на , область значений У/п 3 не зависит от t и для оператора Л выполнено некоторое неравенство. Тогда свойства равномерной инъективности для операторов %Х 7 С , \л/Ч?ар)~>Мр7 у.- (р >о), о£'- 1л/7 (^)—* эквивалентны.

С помощью теоремы 3.2.1 получаются

ТЕОРЕМА 3.2.2. Если оператор ¿6 - Ш, ~Л таков, I 4

Г I что для него выполняются условия теорем 3.1.1, 3.2.1, то функционально-дифференциальные операторы X С / —* С , .

I /.

Оирсидмы идпихзрсиюшчи /

ТЕОРЕМ 3.2.3. Пусть оператор X - ВЫ) сС/(Ц-Л удовлетворяет условиям теорем 3.1.1, 3.2.1, пространство У рефлексивно или сепарабельно. Если операторы £■ С —у С и У: С/с >(*" равномерно инъективны, то оба они обратимы одновременно.

Приведены следствия из доказанных теорем.

На основе локальных равномерных неравенств в § 3.3 обсуждаются условия обратимости и равномерной инъективности оператора - Ж/М- ~ А (I) в пространстве о через предельные операторы

ТЕОРЕМА 3.3.1. Два нижеследующих условия эквивалентны: I) оператор С С равномерно инъективен; 2) каждый оператор ¿в С —* С обладает некоторым свойством т*£ и уравнение Хи ~ 0 не имеет ненулевых решений в С / .

В теореме 3.3.2 изучается Ф^ - свойство возмущенного оператора. В параграфе приведены также следствия и ряд лемм.

Метод замораживания применен в § 3.4 для исследования равномерной инъективности и обратимости дифференциального оператора £ - ЬЫ) (£/М ~ Д Ы) .В доказательствах существенно используются полученные выше результаты и методы.

ТЕОРЕМА 3.4.1. Пусть семейство операторов С / —С равностепенно инъективно, коэффициенты и

ВЫ) удовлетворяют условию Липшица с постоянной «Ь . Если Ь есть достаточно малая величина, то оператор С*—* С равномерно инъективен.

Лемма 3.4.1 касается оценки нормы оператора в и через норму оператора Г в С

27

Если /3 (Ь - непрерывная ограниченная функция на /Р операторы ■ С —> С равномерно обратимы и для А(~{) ,&(т) выполнены условия теоремы 3.4Л, то оператор С '—С обратим. Это предложение и есть теорема 4.2.

Далее в лемме 3.4.2 и теореме 3.4Л обсуждается обратимость и равномерная инъективность оператора Ж при условии малости некоторой величины Сир и равномерной обратимости и инъективности операторов оС -¿0 .

Частичная ( 5& - частичная) равномерная инъективность оператора относительно пространства Ь , о которой идет речь в § 3.5, определяется неравенством

Н&и Ир $ к //В ХаИс (//5а//г * К ИХиИР1

Получено несколько теорем о соотношениях частичной { $ & частичной) равномерной инъективности оператора в пространствах С , /М^ , (теоремы 3.5.1 - 3.5.4). В теореме

3.5.4 приведены условия частичной равномерной инъективности для оператора о£ с постоянным коэффициентом А

Перейдем к изложению результатов четвертой главы, посвященной линейным дифференциальным операторам с частными производными. Но прежде заметим, что всюду в этой главе Мр= ЛГС/У' X) , 1/ = 1~Р(1$п, X) .т.е. элементами названных пространств являются функции и многих переменных, а Г - одно из пространств С , А)^ , $ р< оо) . Для оператора Р: 1л/Твводится понятие равномерной инъективности относительно пары нормированных пространств ¿г 1л ' ( Г) и И ^ Г .

В первой теореме 4.1.1 § 4.1 установлены локальные равномерные неравенства для оператора / О !;!! I с помощью которых дока

28 заны важные теоремы о равномерной инъективности и обратимости.

ТЕОРЕМА 4.1.2. Равномерная инъективность оператора Р:

77 v м р

Лр относительно пары ([У (МР)РЛР )

Л \ г / эквива-, / Р лентна равномерной инъективности оператора Р: относительно пары ( !л/ ^ ( ^Р)/ ¿Р ); - /?? , /?? - /.

ТЕОРЕМА 4.1.3. Операторы А' Р'-Ы^Ш-'И обратимы одновременно.

Приведены примеры равномерно инъективных операторов с частными производными.

Оператор назовем С - коэрцитивным относительно данной полунормы ( ( <5 , ) - коэрцитивным) , если для любого с5 > О существует такая положительная постоянная Кр (£) , что имеет место неравенство

На И^п(Г)6 > +КрШ//Ри Ир .

В теореме 4.2.1 § 4.2 доказано локальное равномерное неравенство для оператора Р Ст—» С , содержащее гёльдеровскую полунорму X, т , а главный результат связан с некоторой полунормой \ • >+<Г, т У

Теорема 4.2.2. Если коэффициенты АоС оператора Р равномерно непрерывны на всем пространстве 1Еп , то операторы Р • г д \ пг ;

КО с и Р- (6, <•> эрцитивны одновременно.

Из теоремы 4.2.2 вытекают следующие утверждения. Следствие 4.2.1. Операторы РС т—> С и РтJ коэрцитивны одновременно,

Следствие 4.2.2. Пространства \л/'

-• гП + Г непрерывно вложены С

Следствие 4.2.3. Если оператор

С 6 - коэрциравномерно инъективен, то оператор Р С /П тивен относительно полунормы <"-> .

Следствие 4.2.4. Из равномерной инъективности оперсггира / г-, . г" !г> +

1-У / ---N

-> ЯПТТ1?ЛГТ1 О !1А»ЛЛ ГЛТ1ПГТ ТЛ1ТГГ П Т/ЧТИРГТ! Т Т ГЛ ШТ ГМГТО илсд) С/ J. pcixjii WiVicpiia/i nnooni njJauiyj.u vyüoратора p- W (Mp) - M

РГ

В параграфе 4.3 продолжается изучение 6 -коэрцитивных операторов Р1\ 'п (Г)—» Г . В теореме 4.3.1 £ -коэрци-тивность оператора Рт(относительно определенной иолупорш > ;>0 ' выводится из с -коэрцитивноети оператора Р- С/П С относительно полунормы у ^ у . Затем вводится полунорма С- -у . Оказывается, что по теореме

С -г т

Г) коэрцитивность оператора Р- WmtLp.

РI

4.3.2 (£,<'>ff влечет ^'^ßP y ) ~ коэрцитивность оператора р.'

Согласно теорем 4.3.3. оператор Р:С'п—* С является [ & Р'У- коэрцитивным, если все предельные урав- , нения рц =С не имеют ненулевых решений в С . !

Оператор называется коэрцитивным с -опера-: тором, если существуют такие постоянные С/ > 0 , >0 , что

Ни Н^ у (р) - С, И и // г + С г НРи/1 г ,

Результаты относительно дифференциальных Е - операторов содержатся в параграфе 4.4. Это теорема 4.4.1, определяющая Е -оператор через эквивалентное неравенство; теорема 4.2.2, согласно которой операторы Р- (л/(ЛAV и

Р- WmUS) Lp обладают свойством быть Е -оператором одновременно; теорема 4.4.3, дающая пример Е - оператора Р: W^(L2) * Е^ ; теорема <±.4.4., устанавливающая оценку нормы функции U в С при условии, что оператор тивный Ь -оператор.

-• т есть коэрцир

30

Три теоремы получены в § 4.5 о коэрцитивности оператора Р- 1л/' т {!' )/- относительно полунормы и >.

Г1 +1 а 7) П и // л."

Л//-т * /

ТЕОРЕМА 4.5.1. Оператор Р ■ [л/т(1Р>) коэрцитивен относительно полунормы <иУгп+ тогда и только тогда, когда оператор Р' \Л/ (Р\р) Р\р коэрцитивен относительно полунормы

М1 < и ' т+ /

ТЕОРЕМ 4.5.2. Для коэрцитивности оператора Р'-С

ГЛ с достаточно, а при постоян-Р и необходимо, чтобы относительно полунормы <" и / ных коэффициентах А<х оператора был коэрцитивным относительно полу и>, оператор нормы х - т, /

ТЕОРЕМ 4.5.3. Пусть коэффициенты А ж оператора Р постоянны. Тогда свойства коэрцитивности операторов

Р ■ Р т С р:

Р: и>"п'(Ър) ^¿Р ветствующих полунорм <сиУ— - хи/

77 + / ) ^ ' П) 1- / относительно соот и > V у / эквивалентны.

В § 4.6 изучается неравенство Шаудера для оператора Р : С

• т <г

Сд . Главный результат:

ЕМ 4.6.1. Если оператор Р: М/ обладает о с-. ЦРП свойством / оператора / О и существует такая область

ГШ * ¿Г с ство Шаудера, то для оператора Р: С неравенство шаудера. что для справедливо неравенг*

С- также выполнено Л р на и.

Аналогичное предложение получается при замене Рассмотрены примеры и равномерная инъективность оператора Р с т + у С Г

Перечислим теперь основные утверждения § 4.7, в котором обУ

31 суждается эллиптичность дифференциальных операторов Р .

TEOPEiviA 4.7.1. Если оператор Р: W г"(Р)-*р> обладает свойством с , то оператор Р равномерно эллиптичен.

1 / ! ' ! ^

TEOPEIviA 4.7.2. Пусть старшие коэффициенты t / " J оператора Р постоянны, а остальные коэффициенты А ж равномерно непрерывны по Гельдеру в равномерной топологии на всем пространстве ¡Р\П . Тогда из оценки Шаудера для оператора Р г т + $* . г 0 ;

L > L- следует равномерная эллиптичность оператора г. , j

ТЕОРЕМА 4.7.3. Пусть пространство X конечномерно, one- -f ратор Р' lv п'(Р)—* Р равномерно инъективен, его коэффициенты

Ад - почти периодические функции CC'Slst при Id / -nl), :lj которые равномерно непрерывны по Гёльдеру. Тогда оператор Р: .Q т ^—^ q имеет ограниченный обратный.

В теореме 4.7.4 дано необходимое и достаточное условие обратимости оператора с постоянными коэффициен- { тами. | Кроме того, в параграфе имеются другие утверждения и приме- j ры.

Равномерная инъективность оператора Р: С —> С относительно пар (С\ C')(jI в § 4.8 выводится из равномерной инъективности операторов Р' Wm(LP)^U\ Р - Wm(P\P) - ГЛР (теоремы 4.8.1-4.8.3).

В последнем § 4.9 изучаются так называемые Я^'-t - операторы Р •■ W^'iP)—* F в [Rn .

TEOPEIvlA 4.9.1. Для того, чтобы оператор

Р- W (W) - L' был Я-+ - оператором, необходимо, а при конечномерном X к достаточно, чтобы существовали такие постоянные к >0 и R >С , что ilullH m(Lp) * К 11 Ри 11 Lp * К llu J/Lp(0 Ю *

Теорема 4.9.2 дает необходимое и достаточное условие в конечномерном X того, чтобы оператор Р- Wт(Хэ) —•>X являлся + - оператором.

ТЕОРЕМА 4.9.3. Пусть - произвольное банахово прострак-ство. Для того, чтооы оператор / - и/ ( ^ ./ ¿ был -+- -оператором необходимо, чтобы оператор Р был равномерно эллиптическим.

Б теореме 4.9.4 получены достаточные условия, при которых оператор Р: W rri(L2) -^¿3 с гладкими коэффициентами Ad есть ч- - оператор.

Результаты диссертации докладывались на семинарах в Куйбышевском госуниверситете , Воронежском госуниверситете, Пермском политехническом институте, Липецком техническом университете; на Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (Душанбе, 1987), на ХУ1 школе по теории операторов (Ульяновск, 1990), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1994), на школах в Воронеже: "Понтрягинские чтения - 1У, У (1993; 1994), "Современные проблемы механики и математической физики" (1994), ХХУ1 зимняя математическая школа (1994).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [43, 45, 121 - 142j .

1. Баскаков А.Г. Спектральные свойства дифференциального оператора d /dt~Ä0 с неограниченным оператором А<? // Диффер.уравнения. 1991. - Т.27. Ä 12. - С. 2162-2164.

2. Баскаков А.Г., Чан Хыу Бонг. О почти периодичности решений линейных функциональных уравнений // ДАН. 1992.- Т.324, № I. С. 16-19.

3. Баскаков А.Г., Чан Хыу Бонг. Спектральные свойства ограниченных решений линейных дифференциально-функциональных уравнений // ДАН. 1992. - Т. 325, *,4. - С.647-651.

4. Баскаков А.Г. Некоторые условия обратимости линейных дифференциальных и разностных операторов // ДАН. 1993.- Т.ЗЗЗ, № 3. С.282-284.

5. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. - 223 с.

6. Беллман Р., Беккенбах . Неравенства. М.: Мир, 1965.- 276 с.

7. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. -480 с.

8. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963.- 410 с.

9. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: Нау-кова думка, - 1969. - 244 с.

10. Бор Г. Почти периодические функции. М.-Л.: ОГИЗ, 1934. - '- 129 с.

11. Более Басит Р., Жиков Б.Б. Почти периодические решенияинтегро-дифференциальных уравнений в пространстве Банаха // Вестн. Моск. ун-та. 1971. - № 2. - С. 29-^3.

12. Брёкер Т., Лаццер Л. Дифференцируеше ростки и катастрофы. М.: Мир, 1977. - 208 с.

13. Бугров Я.С. Функциональные пространства с смешанной нормой // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1971. - Т.35, №5. - С. 1137-1158.

14. Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. О дихотомии решений функционально дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами // ДАН СССР. 1970. - Т. 195, & 6. - С. 12591262.

15. Буренков В.И. О приближении функций из пространстватого множества // Тр. МИАН СССР. 1974. - Т. 131. - С. 51-63.

16. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и её приложение к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1967. - 576 с.

17. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. - 528 с.

18. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории не линейных колебательных. М.: Изд-во МГУ, 1971. - 507 с.

19. Гаевский X., Грёчер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения.- М.: Мир, 1978. 336 с.

20. Гиль М.И. Операторные функции, дифференциальные уравнения и динамика систем. М.: Наука, 1984. - 151 с.

21. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наукафинитными функциями для произвольного откры1970. 534 с341

22. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория.- М.: ИЛ, 1962. 896 с.

23. Демидович Б.М. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. - 472 с.

24. Егоров Ю.В. Лекции по уравнениям с частными производными. Дополнительные главы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. -168 с.

25. Жиков В.В. К проблеме существования почти периодических решений дифференциальных и операторных уравнений // Труды ВЕЛИ. Владимир, 1969. - & 8. - С.94-188. . ;

26. Жиков В.В. Почти периодические решения линейных и нелинейных уравнений в банаховом пространстве // ДАН СССР. -Т. II, №6. С. 278-281.

27. Жиков В.В. К теории допустимости пар функциональных пространств // ДАН СССР. 1972. - Т.13, Л 4. - С. I28I-I283.

28. Жиков В.В. Принцип усреднения для параболических уравнений с переменным главным членом // ДАН СССР. 1973. -Т.14, № I. - С. I06I-I064.

29. Жиков В.В. О разрешимости линейных уравнений в классах почти периодических функций Безиковича и Бора // Матем. заметки. 1975. - Т.18, Jfe 4. - С. 553-560.

30. Жиков В.В. Некоторые новые результаты в абстрактной теории Фавара // Матем. заметки. 1975. - Т.17. - С.33-40.

31. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения // Изв. АН СССР. 1976. - Т.40, № 6.- С. 1380-1408.

32. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. О G сходимости параболических операторов // УМН. - 1981. - Т.36, Jfe I.- С. 11-58.342

33. Жиков B.B., Козлов С.М., Олейник (H.A., Ха Тьен Нгоан. Усреднение и С- сходимость дифференциальных операторов // УМН. 1979. - Т.34, № 5. - С.65-133.

34. Жиков В.В., Левитан Ь.М. Теория Фавара // УМН. 1977. -Т.32, № 2. - С.123-171.

35. Жиков В.В., Тюрин В.М. Об обратимости оператора djdt +А i~t) в пространстве ограниченных функций // Матем. заметки. 1976. - Т.19, Jfc I. - С.99-Г-104.

36. Зверкин А.М. Связь между ограниченностью и устойчивостью решений линейных систем с бесконечным числом степеней свободы // Диффер.уравнения. 1968. - Т.4, № 2. - С.366-367.

37. Зубко Ю.И., Тюрин В.М. О свойстве обратимости линейных дифференциально-разностных операторов в некоторых пространствах функций на оси // Диффер.уравнения. 1989. -Т.2э У. 10. - С.I683-1687.

38. Иосида К. Функциональный анализ. М.:Мир, - 1967.' - 624с.

39. Каменский Г.А., Мышкис А.Д. К постановке краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и несколькими старшими членами // Дифференц.уравнения. -1974. Т.10, №3. - С.409-418.

40. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

41. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. -2-е издание, переработанное. М.:Наука, 1977.- 742 с.

42. Кириллов A.A., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.:Наука, 1979. - 384 с.

43. Колесов Ю.С. Необходимые и достаточные условия экспоненциальной дихотомии решений линейных почти периодических343уравнений с последствием // Вестник ЯГУ. 1973. - Вып.5. - С.28-62.

44. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. - 448 с.

45. Коновалов Ю.П. Почти-периодические решения квазигармонических систем с запаздыванием времени // Изв. вузов, сер. Матем. 1969. - Т.89. - С. 62-69.

46. Коротков В.Б. К теоремам вложения С.Л.Соболева для абстрактных функций // ДАН СССР. 1961. - Т.141, № 2. - С. 308-311.

47. Кочубей А.Н. 0 почти периодических решениях функционально-операторных уравнений // Сиб.матем.журн. 1983. - Т. 24, № 3. - С.162-111.

48. Кравченко В.Г. Об одном функциональном уравнении со сдвигом в пространстве непрерывных функций // Матем.заметки.-1977. Т.22, № 2. - С.303-311.

49. Кравченко В.Г., Литвинчук Г.С. Теория Нётера неограниченных операторов со сдвигом Карлемана // Мат.заметки. -1991. Т.49, № I. - С. 63-69.

50. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.:Наука, 1970. - 352 с.

51. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. - 211 с.

52. Крейн М.Г. О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости // УМН. 1949. - Т.З,3. С. 166-169.

53. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.

54. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. -М.: Наука, 1971. 104 с.

55. Курбатов В.Г. Об обратимости дифференциально-разностных операторов в различных топологиях. Воронеж, 1983. -15 с. - Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 10.01.84., № 764-84 Деп.

56. Курабатов В.Г. Об обратимости почти периодических операторов // Функц.анализ и его приложения. 1985. - Т.19, #3. - С.71-72.

57. Курбатов В.Г. Об ограниченных решениях дифференциально-разностных уравнений // Сиб.матем.журн. 1986. - Т.27, № I. - С.86-99.

58. Курбатов В.Г. Об устойчивости дифференциально-разностных уравнений с производной и без производной. Воронеж,1987. 34 с. - Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 12.12.86, Jfe I2-B87.

59. Курбатов В.Г. О функционально-дифференциальных уравнениях с непрерывными коэффициентами // Матем.заметки.1988. Т.44, № 6. - С.850-852.

60. Курбатов В.Г. Об устойчивости дифференциально-разностных уравнений с производной и без производной // Дифференц. уравнения. 1988. - Т.24, № 9. - C.I503-I509.

61. Курбатов В.Г. Об обратимости почти периодических операторов // Матем.сборник. 1989. - Т.180, № 7. - С.913-923.

62. Курбатов В.Г. Об обратном к С непрерывному оператору // Матем.заметки. - 1990. - Т.48, № 5. - С.68-71.

63. Курбатов В.Г. Об алгебрах разностных и интегральных операторов // Функц.анализ и его прилож. 1990. - Т.24,ЯЗ.- С.87-88.

64. Кучер Д.JI. О некоторых критериях ограниченности решений системы дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1949.- Т.69, № 5. С. 603-6G6.

65. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.- М.:Наука, 1967. 736 с.

66. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. -576 с.

67. Лебедев A.B. Об обратимости операторов со сдвигом // Доклады АН БССР. 1983. - Т.27, № 9. - С. 773-775.

68. Левенштам В.Б. Усреднение квазилинейных параболических уравнений с быстро осциллирующей главной частью. Экспоненциальная дихотомия // Изв. РАН. Серия матем. 1992.- Т.56, № 4. С.813-851.

69. Левитан Б.М. Почти периодические функции. М.: Гостех-издат, 1953. - 396 с.

70. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978. 204 <

71. Лопатинский Я.Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям // Укр. матем. ж. 1953. - Jfe 5. - С. I23-I5I.

72. Майзель А.Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений // Труды Уральс. политехи, ин-та. -1954. Т.5. - С.20-50.

73. Максимов В.П. Нётеровость общей краевой задачи для линей ного функционально-дифференциального уравнения // Диффер346уравнения. 1974. - Т.10, № 12. - С.2288-2291. ;

74. Мартынюк Д.И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. Киев: Наукова думка, 1972. - 246 с.

75. Малкин И.Г. Об устойчивости по первому приближению // Сб. научных трудов Казанского авиац.ин-та. 1935. - Т.З. -С. 7-17.

76. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. -М.:Наука, 1988. 311 с.

77. Массеры 1, Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. - 456 с.

78. Мизохата С. Теория уравнений с частными производивши. -М.: Мир, 1977. 504 с.

79. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971. - 440 з.

80. Митропольский Ю.А., Самойленко А„М. К вопросу .об асимптотических разложениях в нелинейной механике. // Удф.матем. журн. 1979. - Т.31, # I. - С.42-53.

81. Мухамадиев Э.М. Об обратимости дифференциальных операторов в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций // ДАН СССР. 1971. - Т.196, Л I. - С.47-49.

82. Мухамадиев Э.М. Об обратимости дифференциальных операторов | в частных производных эллиптического типа // ДАН СССР. -1972. Т.205, № 6. - С. 1292-1295. ,

83. Мухамадиев Э.М. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций // Матем.заметки. 1972. - Т.II, №3. - С. 296-274.

84. Мухамадиев Э.М. Условия фредгольмовости дифференциальныхIоператоров в пространстве непрерывных и ограниченных на !!оои функций // ДАН Тадж.ССР.- 1974.- Т.17, * С.13-16.347

85. Мухамадиев Э.М. О фредгольмовости скалярных обыкновенных дифференциальных операторов в пространстве ограниченных на оси функций // ДАН Тадж. СССР. 1974. - Т.17, Jt 5.С. 3-6.

86. Мухамадиев Э.М. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений // Матем. заметки. 1981. - Т.ЗО, А 3. - С.443-460.

87. Мухамадиев Э.М. О нетеровости обыкновенных дифференциальных дифференциальных операторов высшего порядка с ограниченными на оси коэффициентами // ДАН Тадж. 1981. - Т. 24, # 7. - С.405-409.

88. Мухамадиев Э.М. О нормальной разрешимости и нетеровостипэллиптических операторов на пространстве функций на К . Ч. I. Зап.научн.семинаров ЛОМИ (Краевые задачи математической физики, 13). - 1981. - Т.ПО. - С. 120-140.

89. Мухамадиев Э.М. О нормальной разрешимости и нетеровости эллиптических операторов в пространстве функций на (F* . Ч. П. Зап.научн.семинаров ЛОМИ. - 1982. - Т.138. - С. 108-126.

90. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. - 349 с.

91. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных итеоремы вложения. 2-е издание. - М.:Наука. - 1977. 455 с.

92. Островский М.Я.Дечурин С.Л. Стационарные модели систем автоматического управления. Л.: Энергоатомиздат, 1989. - 208 с.

93. Перов А.И., Та Куанг Хай, Тюрин В.М. О почти периодических решениях линейных дифференциальных уравнений // При348ближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Куйбышев: КГУ, 1980. - № 6. -С. I04-II3.

94. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения Ax(t) + $кФчЮ // Дифференц.уравнения. 1975. - T.II, 6. - С. 19962010.

95. Самойленко A.M. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. Киев: Вшца школа, 1976. - 180 с.

96. Слюсарчук В.Е. Обратимость почти периодических операторов, порожденных дискретными системами // Укр. матем. журн. 1979. -T.3I, № 4. - С.460-463.

97. Слюсарчук В.Е. Обратимость функционально-дифференциальных операторов // ДАН УССР. 1980. - Сер. А, № 9. С. 29-32.

98. Слюсарчук В.Е. Обратимость разностных операторов // ДАН УССР. 1980. - Сер. А, № II. - С. 24-27.

99. Слюсарчук В.Е. Интегральное представление с непре- Sрывных операторов // ДАН УССР. 1981. - Сер. А, № 8. - ,С. 34-37. Î

100. Слюсарчук В.Е. Обратимость почти периодических с не- I прерывных - функциональных операторов // Матем. сборник.- J 1981. - Т.116(158), № 4(12). - С. 483-501. j

101. Слюсарчук B.E. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-дифференциальных операторов // Матем.заметки. 1987.-Т.42, Jé 2. - С. 262267.

102. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.5. М.: ФМ, 1959. - 656 с.

103. Соболев C.I. 0 почти периодичности решений волнового уравнения // ДАН СССР. 1945. - Т.49, № I. - С.12-14.

104. Соболев СЛ. Некоторые применения функционального анализа математической физике. 3-е издание, переработанное и дополненное. - М.: Наука, 1988. - 336 с.

105. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М. : Мир, 1985. - 472 с.

106. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов-Фурье. В 2-х томах. Ï.I. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир. 1984. - 360с.

107. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.496 с.

108. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.- 664 с.

109. Тюрин В.М. О регулярности линейных дифференциальных операторов с почти периодическими коэффициентами // Функ350циональный анализ. Ульяновск. 1973. - Вып.1, - С.130-140.

110. Тюрин В.М. Допустимость некоторых функциональных пространств и дихотомия решений для уравнений с постоянными коэффициентами // Дифференц.уравнения. 1975. - Т. II, № 8. - С. 1526-1528.

111. Тюрин В.М. О регулярности линейных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами // Труды семинара по дифференциальным уравнениям. Куйбышев: КГУ, 1975 - № I. - С. 146-150.

112. Тюрин В.М. О возмущении регулярного дифференциального оператора с почти периодическими коэффициентами //Дифференц. уравнения и их приложения. Куйбышев: КГУ, 1975.-№ 2. - С.133-136.

113. Тюрин В.М. Об обратимости линейных разностных операторов с почти периодическими коэффициентами в пространстве ограниченных последовательностей // Труды семинара по дифференциальным уравнениям. Куйбышев: КГУ, 1977.3 С. 115-118.

114. Тюрин В.М. Об обратимости оператора с(/с1Ь ~ А (Л ) в некоторых функциональных пространствах // Матем.заметки.- 1979. Т.25, № 4. - С. 585-590.

115. Тюрин В.М. К дихотомии решений линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами // Изв. АН Аз.ССР. Серия физ.-техн. и мат.наук. 1980. - № 6.с. 44-47.

116. Тюрин В.М. К обратимости линейных дифференциальных операторов с коэффициентами при производной // Тез.докл. Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (28-30 сентября). Ч.П. -Душанбе, 1987. С. 120. !I

117. Тюрин В.М. О Р корректности линейных дифференциальных операторов // Тез.докл. ХУ1 школы по теории операторов. - Ульяновск, - 1990. - 0.95

118. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах // Сиб. матем.журн. 1991. - Т.32, № 3. - С. 160-165.

119. Тюрин В.М. О К инъективности линейных дифференциальных операторов с частными производными в некоторых функциональных пространствах. - Липецк, 1992. - 37 с. - Рукопись представлена Липецк.политехи.ин-том. Деп. в ВИНИТИ 25.06.92, № 2084-В92.

120. Тюрин В.М. О В корректности линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах. -Липецк, 1992. - 10 с. - Рукопись представлена Липецк, политехи, ин-том. Деп. в ВИНИТИ 25.06.92, № 2085-В92.

121. Тюрин В.М. О некоторых свойствах линейных дифференциальных операторов // "Понтрягинские чтения 1У": Тез.докл. школы. - Воронеж: ВГУ, 1993.-- 0.187.

122. Тюрин 0 некоторых коэрцитивных неравенствах для дифференциальных операторов с частными производными // Современные проблемы механики и математической физики: Тез.докл. Воронеж: НГУ, 1994. - С. 96.

123. Тюрин В.М. О равномерной инъективности дифференциальных операторов с частными производными второго порядка // ХХУ1 Воронежская зимняя математическая школа:Сб.научн.тр.