Анализ линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории линейных операторов и отношений

Марюшенков, Станислав Владимирович

Анализ линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории линейных операторов и отношений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Марюшенков, Станислав Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Анализ линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории линейных операторов и отношений»

Автореферат диссертации на тему "Анализ линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории линейных операторов и отношений"

На правах рукописи

Марюшенков Станислав Владимирович

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ОТНОШЕНИЙ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

АВТОРЕФЕРАТ 3 ^

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2013

005534228

Работа выполнена в Воронежском государственном университете Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Баскаков Анатолий Григорьевич, ВороЕюжский государственный университет зав. кафедрой математических методов исследования операций

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Перов Анатолий Иванович, Воронежский государственный университет профессор кафедры нелинейных колебаний

доктор физико-математических наук, доцент Бичегкуев Маирбек Сулейманович, Северо-Осетинский государственный университет

зав. кафедрой функционального анализа и дифференциальных уравнений

Ведущая организация: Южный федеральный университет

Защита состоится 22 октября 2013 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ""¡¿3" сентября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22

д.ф.-м.н., профессор Ю.Е. Гликлих

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения

— = A(t)x, t е JJ, (l)

Нт

- = A(t)x + f(t),tel (2)

где JT G {Ж,М+}, A(t) : D(A(t)) : X —> X, t G J, - семейство линейных замкнутых операторов, действующих в комплексном банаховом пространстве X.

Многие свойства решений дифференциального уравнения, такие, как ограниченность, устойчивость, асимптотическое поведение, тесно связаны с соответствующими свойствами дифференциального оператора, определяющего дифференциальное уравнение и действующего в соответствующем функциональном пространстве. М.Г. Крсйн, отправляясь от идей и результатов Ляпунова, в статье1 заметил, что многие факты теории устойчивости решений можно получить, используя теорию операторов, действующих в банаховых пространствах.

Изучение этих проблем в терминах экспоненциальной дихотомии решений одним из первых осуществил О. Перрон. Он в 1930г. исследовал дифференциальный оператор L = — — + A(t) в пространстве непрерывных функций Сь(М, X), где Х- конечномерное пространство.

Случай ограниченных операторов A(t), i £ 1, действующих в банаховых пространствах, исследовался в известных монографиях X. JI. Массера, X. X. Шеффера и Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крсйна. Экспоненциальная дихотомия решений характеризовались в терминах сюръективности оператора

*Крейн М.Г. О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости / М.Г. Крейп. // Успехи мат. паук. - 1948. - Т. 3. - № 3. - C.1GG-1G9.

L и условия замкнутости и дополняемости подпространства векторов из X, являющиеся начальными условиями для ограниченных на R+ решений дифференциального уравнения. Важнейшим шагом в данных работах стал отказ от матричного анализа в конечномерном пространстве, что сделало более прозрачными и простыми многие доказательства и конструкции.

В связи с приложениями к параболическим дифференциальным уравнениям в частных производных очень остро стоял вопрос об исследовании качественных свойств решений с неограниченными операторными коэффи-цинетами. Ю.Л. Далецкий и М.Г. Крейн в монографии2 писали: "Авторы отчетливо осознают, что арена бесконечномерных пространств требует присутствия неограниченных операторов, без которых, невозможна настоящая теория устойчивости систем с бесконечным числом степеней свободы".

Отметим монографию3 Д. Хепри, в которой строилась геометрическая

теория параболических уравнений, использующая свойство обратимости

оператора L = —- + A(t) в пространстве CUM, X), в предположении, что at

A(t),t € М,- секториальные операторы.

Современное состояние рассматриваемых проблем тесно связано с использованием методов спектральной теории замкнутых операторов, линейных отношений, разностных операторов и отношений, полугрупп операторов.

Следует отметить важность работ Ю. Латушкина в развитии новых подходов. В монографии 4 приведен подробный обзор состояния качественной теории дифференциальных операторов до 1999 года.

2 Далецкий Ю. J1. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. - М.: Наука, 1970. - 536 с.

3Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенрн. — М.: Мир, 1085. - 376 с.

4Chicone С. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Amer. Math. Soc. - 1999. - 361 p.

Также необходимо упомянуть о большом значении работ Р. Шнаубельта, Р. Нагеля в развитии качественной теории дифференциальных уравнений.

Для изучения свойств дифференциальных операторов в работах А.Г. Баскакова стала существенно использоваться спектральная теория разностных операторов и линейных отношений. Свойства разностных операторов в весовых пространствах изучались в работах М.С. Бичегкуева. Исследованию дифференциальных уравнений с помощью линейных отношений посвящены многие статьи В.М. Брука.

Отметим, что изучение линейных дифференциальных уравнений не только имеет самостоятельное значение, но и служит базой для изучения нелинейных уравнений. При этом очень важное место занимают оценки норм обратных операторов. Этому направлению исследования посвящен цикл работ А.И. Перова для обыкновенных дифференциальных уравнений (операторов) и статья А.Г. Баскакова и Ю.Н. Синтяева5.

Таким образом, тема диссертации, посвященной изучению линейных дифференциальных уравнений с помощью разностных операторов и линейных отношений, является вполне актуальной.

Цель работы состоит в нахождении условий обратимости дифференциальных операторов и получении оценок норм решений дифференциальных уравнений (как с ограниченными, так и неограниченными операторными коэффициентами) в функциональных пространствах на бесконечных промежутках.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с использованием методов функционального анализа, методов спектральной теории замкнутых операторов, теории линейных отношений, разност-

5Баскаков А. Г. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов; оценки решений / А.Г. Баскаков, Ю.Н. Синтяев // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46. - .V 2. -С. 210-219.

ных операторов и отношений, теории полугрупп операторов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Условия обратимости дифференциальных операторов, действующих в функциональных пространствах на полуоси.

2. Оценки нормы обратного к дифференциальному оператору с неограниченными операторными коэффициентами, действующему в функциональных пространствах на полуоси, через норму обратного в другом функциональном пространстве.

3. Оценки нормы обратного к дифференциальному оператору с ограниченными операторными коэффициентами, действующему в пространстве Ь00(М+,Х), через норму обратного оператора, действующего в пространстве ¿2(М+,Х).

4. Условия обратимости и оценка нормы обратного к одному классу несамосопряженных операторов, действующих из подпространсва гильбертова пространства в данное гильбертово пространство.

5. Приложения оценок норм обратного к исследуемому классу несамосопряженных операторов к оценкам норм обратных к дифференциальным операторам, действующим в функциональных пространствах на всей оси вещественных чисел.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Представленные в диссертации результаты могут быть использованы для оценки норм решений линейных дифференциальных уравнений и применены для исследования ограниченных решений нелинейных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейпа 2010, 2012, на весенней математической школе «Понтрягипские чтения XXI», на Крымских осенних математических школах 2008, 2009, 2011, 2012, а также на научных сессиях ВГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1 -11]. Из совместной работы [1] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работы [5, 10, 11] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Мннобрнауки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии, включающей 84 наименования. Общий объем диссертации 88 страниц.

Содержание работы

В главе 1 определены исследуемые дифференциальные операторы, дана сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов качественной теории дифференциальных операторов, рассмотрены вопросы обратимости и устойчивости дифференциальных операторов.

Нумерация приводимых ниже определений и теорем совпадает с нумерацией в диссертации.

Пусть Х- комплексное банахово пространство, Е- замкнутое подпространство из X, ЕпйХ- банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X, М+ = {£ € К : £ > 0}, Л е {К, К+}. Через Ьр = ЬР(1,Х), р £ [1,оо], обозначим банахово пространство измеримых ио Бохперу и суммируемых со степенью р (существенно ограниченных при

р = оо) функций с нормой ||х||р = (/ ||ж(£)||рс?£)1/р, р < оо, ЦжЦоо =

vraisup(6j ||z(i)||- Через Сь = Сь{1,Х) обозначим банахово пространство непрерывных и ограниченных на J функций со значениями в X. Через Т = X) обозначим одно из пространств X) = {¿P(I, X), 1 < р <

оо ¡адх)}.

Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения (1)-(2), где

/6^,4

Определение 1.3. Отображение Ы : Ац = {(t,s) Gjxj : s < t} EndX называется семейством эволюционных операторов на ЛГ, если выполнены следующие условия

1) U(t, t) = I для любого t G J;

2) U(t, s)U(s, t) = U{t, t),t,s,reS, t>s> t;

3) отображение (t, s) i—► U{t,s)x : Aj —* X непрерывно для любого x 6

4) существуют постоянные M > 0, а € R такие, что \\U(t, s)|| < Меа^~8\ s, t € J, s <t.

Семейство эволюционных операторов естественным образом появляются в связи с представлением решений абстрактной задачи Коши

z(s) = z0 S X, s > 0 (3)

для дифференциального уравнения (3). Будем говорить, что семейство эволюционных операторов Ы : Aj —> EndX решает абстрактную задачу Коши (1), (3), если для любого s G К+ существует плотное в X подпространство Xs такое, что для каждого хо £ Xs функция x(t) = U(t,s)xo,t € R+ дифференцируема при всех t > s и выполнены равенства (1), (3).

Слабым решением уравнения (2) при условии, что корректно определено семейство эволюционных операторов Ы : Дк+ —» EndX, разрешающее

задачу Коши (1), (3), называется любая непрерывная функция х : R+ —► X, удовлетворяющая при всех 0 < s < t равенствам

x(t) = U{t, s)x{s) - J U(t, T)f{r)dT.

Построим линейный оператор Се '■ D{Ce) С —> .Т-^М-^Х),

который определяется следующим образом. Непрерывная функция х € ^(M+jX), для которой вектор ж(0) G Е относится к области определения D(Ce) оператора Се, если существует такая функция / 6 ,F(M+,X), что верны равенства

x{t) = U{t,0)x{0) - JU(t,T)f{r)dT, t > 0. о

Тогда полагается, что CeX = f.

Отметим, что важными случаями являются Е = {0} и Е = X.

Определение 1.9. Будем говорить, что семейство эволюционных операторов U допускает экспоненциальную дихотомию на множестве Q е М, если существует ограниченная сильно непрерывная проекторнозначная функция Р : П —> EndX и постоянные Мо, 7 > 0 такие, что выполнены следующие свойства

1) U(t,s)P(s) = P(t)U(t,s),t> s,t,se Q-,

2) ||W(i,s)F(s)|| < MQe->(t~s\s < t, s,t 6 fi;

3) для s < t, s,t 6 fl сужение Ut,a : X'(s) —» X'(t) оператора lA{t,s) на область значений X'(s) = ImQ(s) дополнительного проекта Q(s) = I — P(s) есть изоморфизм подпространств X'(s) и X'(t) (определяем оператор U(s,t) G EndX, равный на X'(t) и равный нулю на X{t) = ImP(t));

4) ||гф,г)|| < м0е~^а-{\г> в, е п.

Пара проекторозначных функций Р, <5 называется расщепляющей парой для семейства Ы.

В начале будем считать, что А € Сь(Ш+, Епс1Х). Условие 1.1. Пусть выполнено следующее неравенство:

и(А) = Ш сИзЦ<г(А(г)), Ж) > 0.

Условие 1.2. Существуют постоянные М+,М_, 7+,7- > 0 такие, что

1|Сл(()(г)|| <

М+ехр(—^+т), т > 0, М_ежр(7_г), г < 0.

ос и

М+J <p{u)e-~>+udu + M-J <р(-и)е~<-иб

Теорема 1.11. Пусть существует такая непрерывная функция <р : —> R+, что выполнены условия 1.1-1.2, неравенства

\\A(t)-A(s)\\<v(\t-s\), о

, < 1,

О -ос

и Е = ImQ(Q). Тогда оператор Се обратим.

Теорема 1.13. Пусть условия теоремы 1.11 выполнены при t > а. Тогда оператор Се, где ImQ(a) = К(а,0)Е, обратим.

В главе 2 диссертации получены оценки нормы для обратного к дифференциальному оператору, действующему в функциональных пространствах на полуоси.

Рассматривается случай неограниченных операторных коэффициентов A(t),t > 0.

Теорема 2.4. Пусть оператор Се обратим в одном из из пространств Lp(R+,X), р € [1,оо] ,Сь(К+,Л'). Тогда он обратим в остальных пространствах. При этом

1. Если оператор Се обратим в одном из пространств L^IR^X), Сь(Ж+,Х), то норма Н-С^Н оператора С]j1 в любом из пространств Ьр{Ш.+,Х), р € [1, оо), допускает оценку

\\С~Е% < 21~1/р{К + К\ 1 + 8(1 + К + А^Н^Ноо)2)).

2. Если оператор Се обратим в одном из пространств Ьр(Ш+,Х), р € [1,оо), то

ll^lloo < к + К2{ 1 + 8(1 + + ^Н^Цр))2),

Ц^1!!, < + К\ 1 + 8(1 + ¿-^(К + К2\\С~е%))2)),

где К = sup ||W(i,s)||, q £ [l,oo) и Ц/З^Цр обозначает норму опе-

0<t-s<\

ратора С~Е в одном из пространств LP{K+,X), р G [1,оо].

Пусть A(t) = А £ EndH, где Н- гильбертово пространство. Рассмотрим оператор СЕ = + А d(£e) С LP(R+, Н) -> LP(R+, Н), где А в EndX инфшштезимальный оператор полугруппы операторов (T(i); t > 0}. В данном случае эволюционное семейство имеет вид U{t,s) = T(t — s), s < t, s,t € K+, и оператор Се задаётся с помощью этого семейства.

Теорема 2.5. Пусть Н- гильбертово пространство и оператор Се обратим в Н). Тогда он обратим в пространствах Lp(M+, Н), р 6

[1, оо] ; C¡,(M+, H). При этом

Halloo < К + К\ 1 + 8(1 + 21~1/р(К + К2 sup II Д(гА, Л)||))2),

AeR

II, < + К2{ 1 + 8(1 + 2х~х1р{К + К2 sup || Л(гЛ, Л)||))2)),

AeR

q < оо.

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор

СЕ = ~ + A(t) : {a: G 1Ур1(К+, Я) : ar(0) £ Е} С Lp Lp,

действующий в одном из банаховых пространств Lp = Lp(№.+, H), р G [1, оо], где Я- комплексное гильбертово пространство. Его областью определения являются функции из пространства Соболева Wp (К (, Я) = {х Е Lp абсолютно непрерывная : х G Lp}, такие, что х'(0) 6 Е, где Е- замкнутое подпространство из Я. Оиераторнозначная функция А : М+ —> EndH считается существенно ограниченной, т.е. принадлежащей пространству Lx{R+,EndH).

Теорема 2.1. Пусть оператор СЕ = -d/dt + A(t) : {х G И/21(М+,Я) : ж(0) G Е} С ¿2 ¿2 обратим. Тогда он обратим в подпространстве и верна оценка

II^IU^ 8|Ю|2(1 + |И||30||£-1||2).

Теорема 2.2. Пусть оператор Се = + А ix G ^Q^+i Ю '■ ^(0) G Е} С ¿2 где A G EndH, обратим. Тогда оператор Се обратим в

Lx и имеет Aiecmo оценка:

Ноо < 8sup ||Д(гА, Л)||(1 + ||Л|| sup ||Я(гА, Л)||).

AeR AeR

В главе 3 найдены оценки обратного к одному классу несамосопряженных операторов, являющихся разностью антисимметричного и нормального операторов, и получены приложения для дифференциальных операторов, действующих в функциональных пространствах на всей оси вещественных чисел.

Пусть Н- комплексное гильбертово пространство, А = : Л) =

> С L2 —> L2 оператор дифференцирования, действующий в гиль-

бертовом пространстве L2 = Н) суммируемых с квадратом нормы

ос

функций я; : М —> Н со скалярным произведением < х, у >= f (x(t),y(t))dt.

— 00

Его областью онеределения является пространство Соболева W2OR+, Н).

Пусть В <Е EndLi2- оператор умножения на ограниченную непрерывную функцию Q : М -> EndH, т.е. (Bx){t) = Q(t)x(t), х е L2, t GM.

Теорема 3.2. Пусть Q : М —> EndH- непрерывно дифференцируемая ограниченная функция, значения которой являются нормальными обратимыми операторами, и выполнено одно из следующих условий

1. sup|Ät)|| <xo(QMQ),

teR dt

2. sup \\Q(t)^§(t) - ^Q(t)II < Xo(Q)x(Q)2, te r dt dt

где x(B) = X+(B) + X-(B), Xo(ß) = min{X+(B), *-(B)}, X+(B) =

inf min Re\, v-(B) = inf max |ДеА|.

ieRA€CT(Q(i))nC+ ieR Ae<r(Q(i))nC_

Тогда дифференциальный оператор С = '• С L2 ~> Ь2

обратим и норма обратного оператора имеет соответствующую (каждому случаю теоремы) оценку:

1. н/;-1!! < —

—х ■■ / x(Q)

xo(0)x(Q)-sup||^(i)||'

teR at

g. ||£-1|| < _ÉQl_.

xoiQMQ)2 - sup ||Q{tfê(t) - ^g(i)Il

teR at at

Список публикаций по теме диссертации

[1] Калужина Н.С. Теорема Берлиига для непрерывных ограниченных функций и функций Степанова / Н.С. Калужина, C.B. Марюшенков // Вестник ВГУ, серия: Физика, Математика. — 2008. — №2. — С. 115-121.

[2] Марюшенков C.B. О разрешимости разностных уравнений с медленно меняющимся коэффициентами / C.B. Марюшенков // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна. Тезисы докладов. — Воронеж: ВГУ. - 2010. - С. 100-101.

[3] Марюшенков C.B. Об оценке нормы оператора обратного к дифференциальному / Современные методы краевых задач: материалы весенней математической школы 'Понтряпшские чтения XXI'. — 2010. — Воронеж: ВГУ. - С. 206.

[4] Марюшенков C.B. Оценка нормы оператора, обратного к дифференциальному / C.B. Марюшенков // Двадцать Вторая Крымская Осенняя Математическая Школа. Сборник тезисов. — 2011. — С. 34.

[5] Марюшенков C.B. Оценка нормы оператора, обратного к дифференциальному / C.B. Марюшенков // Изв. вузов. Матем. — 2012. — №1. — С. 49-53.

[6] Марюшенков C.B. Некоторые условия обратимости дифференциального оператора / C.B. Марюшенков // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2012. Материалы международной конференции. - Воронеж: ВГУ. - 2012. - С. 150-151.

[7] Марюшенков C.B. Круговая дихотомия сисктра несамосоиряженно-го оператора, являющегося разностью антисимметричного и нормального, и приложение к дифференциальным операторам / C.B. Марюшенков// Материалы Международного молодежного научного форума 'ЛОМОНОСОВ-2012'. - М.: МАКС Пресс - 2012.

[8] Марюшенков C.B. Некоторые оценки норм обратных к дифференциальным операторов, действующих на полуоси / C.B. Марюшенков // Международный научный журнал Спектральный и эволюционные задачи: Труды двадцадь второй крымской осенней математической школы-симпозиума.. — 2012. — Т. 22. — С. 140-142.

[9] Марюшенков C.B. Об обратимости одного класса нссамосопряженных операторов / C.B. Марюшенков // Двадцать Третья Крымская Осенняя Математическая Школа. Сборник тезисов. — 2012. — С. 42.

[10] Марюшенков C.B. Условия обратимости одного класса несамосопряженных операторов / C.B. Марюшенков// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2012. — Т. 12. - № 4 -С. 14-19.

[11] Марюшенков C.B. Оценка нормы обратного к дифферециальному оператору / C.B. Марюшенков // Дифференциальные уравнения. — 2013. - Т. 49. - № 3 - С. 402-404.

Работы [5],[10],[11] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 14.09.13. Формат 60*84 '/i6. Усл. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ 891.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издателъско-полшрафичсского центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Марюшенков, Станислав Владимирович, Воронеж

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04201362107

МАРЮШЕНКОВ СТАНИСЛАВ ВЛАДИМИРОВИЧ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ И

ОТНОШЕНИЙ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор А.Г. БАСКАКОВ

Воронеж - 2013

Оглавление

Список обозначений 3

Введение 5

1 Устойчивость и обратимости дифференциальных операторов 18

§1.1 Некоторые сведения из спектральной теории дифференциальных операторов....................... 18

§1.2 Условия устойчивости и обратимости дифференциального

оператора............................ 30

2 Оценки нормы оператора, обратного к дифференциальному в функциональных пространствах на полуоси 39

§2.1 Оценка нормы обратного к оператору —- + А{Ь) в проси

странстве Ь^ через норму в пространстве Ь2........ 39

§2.2 Оценка нормы обратного к оператору Се в пространстве

Ьр через норму в пространстве Ьд.............. 45

3 Оценки нормы оператора, обратного дифференциальному в функциональных пространствах на К 62 §3.1 Условия обратимости оператора Ь = А — В, где А- антисимметричный, а В~ нормальный оператор......... 62

§3.2 Приложения к оценкам норм операторов, обратных дифференциальному ........................ 73

Литература 78

Список обозначений

К - множество всех действительных чисел; М+ - множество действительных чисел [0, оо); С - множество комплексных чисел;

Т = {Л £ С : |А| = 1} - множество точек, расположенных на единичной окружности;

Т(г) = {Л £ С : |А| = г} - окружность с центром в 0 с радиусом г; X - комплексное банахово пространство; Н - гильбертово пространство;

EndX - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Х\

р{А) - резольвентное множество линейного оператора А; (7(А) - спектр линейного оператора А; i?(A, А) ~ резольвента линейного оператора А\ J £ {М,М+};

Lp = Lp(JJ, X), р £ [1, оо) - банахово пространство измеримых по Бохне-ру суммируемых со степенью р функций, определенных на J со значениями в банаховом пространстве X, с нормой ||ж||р = (fj \\x(t)\\pdt)l/p\ Lqq = X) - банахово пространство измеримых по Бохнеру суще-

ственно ограниченных функций, определенных на! со значениями в банаховом пространстве X, с нормой ||#||оо = vr^supíeM+ ||#(¿)||; Сь = Сь{1,Х) - подпространство непрерывных функций из L^J, X); Т — X) - одно из пространств Lp(I, X), р £ [1, оо], Сь{J, X);

И^р (Л, Я) - пространство Соболева абсолютно непрерывных функций из 1/р(Л, Н), производные которых лежат в Ьр($, Н)\ Ъ - множество целых чисел; Z+ - множество положительных целых чисел;

X), р е [1, оо] - банахово пространство последовательностей х : Зл X с нормой ||ж||р = (]Г \\х{п)\\р)1!р ПРИ Р < оо и ЦяЦоо =

Введение

Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения

— = A(t)x, t g j, (1)

— = A(t)x + f(t), tel (2)

где J g {M,M+}, A(i) : D{A{t)) : X X, t g J, - семейство линейных замкнутых операторов, действующих в комплексном банаховом пространстве X.

Многие свойства решений дифференциального уравнения, такие, как ограниченность, устойчивость, асимптотическое поведение, тесно связаны с соответствующими свойствами дифференциального оператора, определяющего дифференциальное уравнение и действующего в соответствующем функциональном пространстве. М.Г. Крейн, отправляясь от идей и результатов Ляпунова, в статье [33] заметил, что многие факты теории устойчивости решений можно получить, используя теорию операторов, действующих в банаховых пространствах.

Изучение этих проблем в терминах экспоненциальной дихотомии решений одним из первых осуществил О. Перрон. В своей работе [78] он

исследовал дифференциальный оператор L = — — + A(t) в пространстве

сы»

непрерывных функций Сь(Е.Х), где Х- конечномерное пространство.

Случай ограниченных операторов A(t), действующих в банаховых пространствах, исследовался в монографиях X. Л. Массера, X. X. Шеф-фера [49] и Ю.Л. Далецкого, М. Г. Крейна [23]. Экспоненциальная дихотомия решений характеризовались в терминах сюръективности опера-

тора Ь и условия замкнутости и дополняемости подпространства векторов из X, являющиеся начальными условиями для ограниченных наМ+ решений дифференциального уравнения. Важнейшим шагом в данных работах стал отказ от матричного анализа в конечномерном пространстве, что сделало более прозрачными и простыми многие доказательства и конструкции.

В связи с приложениями к параболическим дифференциальным уравнениям в частных производных очень остро стоял вопрос об исследовании качественных свойств решений с неограниченными операторными коэффицинетами. Ю.Л. Далецкий и М.Г. Крейн в монографии [23] писали: "Авторы отчетливо осознают, что арена бесконечномерных пространств требует присутствия неограниченных операторов, без которых, невозможна настоящая теория устойчивости систем с бесконечным числом степеней свободы".

Существенный вклад в развитие теории рассматриваемых уравнений сделал В. В. Жиков. В монографии [28] он доказал эквивалентность условия обратимости оператора Ь в пространстве непрерывных и ограниченных функций Сь(Ш, X) условию экспоненциальной дихотомии решений соответствующего дифференциального уравнения.

Отметим монографию Д. Хенри [58], в которой строилась геометрическая теория параболических уравнений, использующая свойство обра-

тимости оператора Ь = —- + А{{) в пространстве СЦМ, X), в предпо-

ложении, что А(£), £ € К,- секториальные операторы.

Следует отметить, что исследования по корректной разрешимости задачи Коши для уравнения вида (1) существенно опережали соответствующие исследования по качественной теории уравнений (1),(2).

В монографии Э. Хилле, Р. Филлипса [59] получено необходимое и

достаточное условие корректной разрешимости задачи Коши в случае А(£) = А в терминах резольвенты оператора А. При этом существенно использовалась теория полугрупп. Также в данной монографии приведено большое число примеров уравнений в частных производных параболического типа, для которых соответствующий оператор является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов.

Следует отметить важность работ Ю. Латушкина в развитии новых подходов. В монографии К. Чиконе и Ю. Латушкина [63] приведен подробный обзор состояния качественной теории дифференциальных операторов до 1999 года.

Также необходимо упомянуть о большом значении работ Р. Шнау-бельта и Р. Нагеля в развитии качественной теории дифференциальных уравнений.

Для изучения свойств дифференциальных операторов в работах А.Г. Баскакова стала существенно использоваться спектральная теория разностных операторов и линейных отношений. Свойства разностных операторов в весовых пространствах изучались в работах М.С. Бичегку-ева. Исследованию дифференциальных уравнений с помощью линейных отношений посвящены многие статьи В.М. Брука.

цикл работ А.И. Перова для обыкновенных дифференциальных уравнений (операторов) [50],[51],[52] и статья А.Г. Баскакова и Ю.Н. Синтяева [9].

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Условия обратимости дифференциальных операторов, действующих в функциональных пространствах на полуоси.

3. Оценки нормы обратного к дифференциальному оператору с ограниченными операторными коэффициентами, действующему в пространстве Ьоо(Ш+, X), через норму обратного оператора, действу-

ющего в пространстве 1,2(®ч-,Х).

Содержание диссертации. В главе 1 определены исследуемые дифференциальные операторы, дана сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов качественной теории дифференциальных операторов, рассмотрены вопросы обратимости и устойчивости дифференциальных операторов.

Пусть Х- комплексное банахово пространство, Е- замкнутое подпространство из X, ЕпйХ- банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X, К+ = е Ж : £ > 0}, 1 е {М, М+}. Через Ьр = Ьр(3, X), р е [1, оо], обозначим банахово пространство измеримых по Бохнеру и суммируемых со степенью р (существенно ограниченных при р = оо) функций с нормой ||аг||р = (/ Ца^рсЙ)^ р < оо,

\\х\\оо = утвир^л ||я(£)||. Через Съ — Съ{$,Х) обозначим банахово пространство непрерывных и ограниченных на 1 функций со значениями в X. Через Т — X) обозначим одно из пространств —

{Ьр(1,Х),1<р<оо-СьЦ,Х)}.

Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения (1), (2),

гдеДоопределение 1.3. Отображение Ы : Дд = {(¿,й) £ 1 х ] : в < —> Епд,Х называется семейством эволюционных операторов на I, если выполнены следующие условия

1) ¿) = / для любого Ь Е I;

2) ОД, з)ОД, г) = ОД, г), 5, г 6 Л, Ь > в > г;

3) отображение (¿,5) : Ад —» X непрерывно для любого х еХ;

4) существуют постоянные М > 0, а Е М такие, что < Меа&-8\ в,^!, Й <

Семейство эволюционных операторов естественным образом появляется в связи с представлением решений абстрактной задачи Коши

ф) =Хое X, в > 0 (3)

для дифференциального уравнения (1). Будем говорить, что семейство эволюционных операторов Ы : —ЕпйХ решает абстрактную задачу Коши (1), (3), если для любого в Е М+ существует плотное в X подпространство Х8 такое, что для каждого хо Е Х8 функция х(Ь) = и(Ь,8)х о, ^ Е М+, дифференцируема при всех £ >5и выполнены равенства (1), (3).

Слабым решением уравнения (2) при условии, что корректно определено семейство эволюционных операторов Ы : Д+ —> Епс1Х, разрешающее задачу Коши (1), (3), называется любая непрерывная функция

х : Ж+ —» X, удовлетворяющая при всех 0 < в < £ равенствам

= в)ж(в) - Ju{t, т)/(т)с2т.

Построим линейный оператор Се '■ Е)(Се) С —>

который определяется следующим образом. Непрерывная функция х Е X), для которой вектор ж(0) Е Е относится к обла-

сти определения И {Се) оператора Се, если существует такая функция / € что верны равенства

х(р) = Щ, 0)аг(0) - ^ Ы(г,т)/(т)с1т, £ > 0.

Тогда полагается, что Сех = /.

Отметим, что важными случаями являются £ = {0} и Е — X.

Определение 1.9. Будем говорить, что семейство эволюционных операторов Ы допускает экспоненциальную дихотомию на множестве О, Е М, если существует ограниченная сильно непрерывная проектор-нозначная функция Р : О —> Еп(1Х и постоянные Мо,7 > 0 такие, что выполнены следующие свойства

1) и{г, в)Р(в) = Р{г)и{ъ, в), г > в, ¿,« е П;

2) 5)Р(5)|| < М0е-^~8\ э < в, г Е Г2;

3) для 5 < Е Г2 сужение : ^"'(в) —>• оператора

на область значений Х'(5) = 1т(3(8) дополнительного проекта

= I — Р(в) есть изоморфизм подпространств и

(определяем оператор ¿¿(й, £) Е ЕпйХ, равный ЦТ,,1 на и равный нулю на = 1тР{€))\

4) ||гф,г)11 < > 5, 5, Л Е П.

Пара проекторозначных функций Р, ф называется расщепляющей парой для семейства Ы.

В начале будем считать, что А € Сь(М+, Еп<1Х). Условие 1.1. Пусть выполнено следующее неравенство:

и (А) = т£ сйв£(сг(А(г)),гК) > 0.

Условие 1.2. Существуют постоянные М+,М_,7+,7_ > 0 такие, что

¡М+ехр(-1+т),т>0, I М^ехр(у-т), т < 0.

Теорема 1.11. Пусть существует такая непрерывная функция (р : Ж -» Ж+, что выполнены условия 1.1-1.2, неравенства

оо и

J р{и)е-^и<1и + М_ J ч>{~и)е1-и(1и < 1,

\\А(1)-А(з)\\<^-з\),

оо 0

М+

0 -оо

и Е = 1тС2{0). Тогда оператор Се обратим.

Теорема 1.13. Пусть условия теоремы 1.11 выполнены приЬ > а. Тогда оператор Се, где 1т(2(а) = К(а,0)Е, обратим.

Рассматривается случай неограниченных операторных коэффициентов > 0.

Теорема 2.4. Пусть оператор Се обратим в одном из из пространств LP(M+,X), р Е [1,оо] ,C¿(1R+,X). Тогда он обратим в остальных пространствах. При этом

1. Если оператор Се обратим в одном из пространств L00(

то норма Ц/З^Ц оператора С^1 в любом из пространств ЬР(Ш.+ , X), р Е [1,оо); допускает оценку

\\С-Е% < 2^(К + К\ 1 + 8(1 + К + КЦСЁЧОО)2)).

2. Если оператор Се обратим в одном из пространств Lp(R+, X), р Е [1, оо), то

Halloo < к + К\ 1 + 8(1 + 21~^(К + К2\\С-Е%))2),

\\Се% < + К2{ 1 + 8(1 + 21~1/*{К + КЦС^Х))2)),

где К = sup0<¿_s<1 \\U(t, s)||, q E [l,oo) и H-C^Hp обозначает норму оператора в одном из пространств ЬР(Ж+, X), р Е [1, оо].

Пусть A(t) = А Е EndH, где Н- гильбертово пространство. Рас-

смотрим оператор Се — + А : D(Ce) С Lp Lp, где А Е EndH

ÍIL

инфинитезимальный оператор полугруппы операторов {T(t); t > 0}. В данном случае эволюционное семейство имеет виp,U{t, s) = T{t — s), s < t, s,t E M+, и оператор Ce задаётся с помощью этого семейства.

Теорема 2.5. Пусть Н- гильбертово пространство и оператор Се обратим в 1/г(М+,Я). Тогда он обратим в остальных пространствах Lp(R+, Я), р Е [1,оо] , Сь{Ш+, Я). При этом

Halloo < К + К2( 1 + 8(1 + 21-1'*{К + К2 sup ||Ä(iA, А)||))2),

АбК

llallí < + K2(l + 8(1 + 2l~l^{K + К2 sup ||Ä(iA, Л)||))2)),

AeM

q < оо.

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор

СЕ = -j + A(t) : {х £ Я) : ж(0) g Е} с Lp Lp,

действующий в одном из банаховых пространств Lp = ЬР(Ж+,Н), р £ [1,оо], где H- комплексное гильбертово пространство. Его областью определения являются функции из пространства Соболева Жр(М+, H) — {х £ Lp абсолютно непрерывная : х £ Lp}, такие, что а;(0) £ Е, где Е- замкнутое подпространство из Я. Операторнозначная функция Л : —У EndH считается существенно ограниченной, т.е. принадлежащей пространству L00(М+, EndH).

Теорема 2.1. Пусть оператор Се = —d/dt + A{t) : {х £ W21(M+,iî') : ж(0) £ Е} С L2 ^ L2 обратим. Тогда он обратим в подпространстве L^ и верна оценка

\\съЧоо < + \\А\и\с-%у

Теорема 2.2. Пусть оператор Се = + А : {х £ •'

(ль

а;(0) £ Е} С £2 ¿2 обратим. Тогда оператор Се обратим в Loo и имеет место оценка:

ЦСёЧоо < 8sup ||Я(гА, А)\\(1 + ||Л|| sup ||Я(гЛ, Л)||).

Лем Лек

Пусть Н- комплексное гильбертово пространство. Будем считать, что оператор А : D(A) с Я —> Я - антисимметричный, а оператор В б EndH- нормальный.

Рассмотрим оператор вида L — А — В : D(A) с Я —Я. Введем обозначения а+ = <J+(B) — сг{В) П С+, сг_ = а-{В) = а{В) П С_, где С+ = {z е С : Rez > 0}, С_ = {z е С : Rez < 0}, а(В)- спектр оператора В. Обозначим х{В) — Х+(Я) + Х-(Я), Хо(Я) =

min{x+(B),x-(B)}> гДе Х+(в) = min Re\ Х-(В) = |тахЯеА|.

Л€<г+ Л€(т_

Наряду с оператором А рассмотрим трансформатор ad а '■ D{adA) с

EndH —» EndH с областью определения D(adA), состоящей из таких операторов X Е EndH, для которых X(Z?(A)) с D(A). При этом оператор АХ — ХА допускает расширение с .D(A) до некоторого оператора из EndH, обозначаемого через АХ — ХА или [А,Х]. Будем полагать adAX= [А,Х].

.Теорема 3.1. Пусть обратимый оператор В принадлежит области определения D(adA) трансформатора ad а и выполнено одно из следующих условий:

1. \\АВ - ВА\\ < хо(В)х(В),

2. \\{В,АВ — ВА]\\ < хо(Я)х(Я)2,

3. || adnB{AB - В А) || < Хо(Я)х(Я)п+1, п > 2, где adnB-п-ая степень трансформатора adß EndX —> EndX, определенного формулой adBX = ВХ - ХВ.

Тогда оператор L = А — В обратим и норма обратного оператора имеет соответствующую (каждому случаю теоремы) оценку:

L хъ{В)х{В)-\\AB-ВА\У

2' 11 "xo(В)х(ВУ-\\[В,АВ-ВА}\\'

q llr-111 <r _X{B)_ Г7 > 9

11 " " xo(B)x(B)^ - ||ad%(AB - BA)\\'

Пусть A = i : D(A) = W%(R,H)'C L2 Ь2 оператор

(ль

дифференцирования, действующий в гильбертовом пространстве Ь2 = Ь2(Ж, Н) суммируемых с квадратом нормы функций х : К —> Н со

оо

скалярным произведением < х:у >= J (x(t), у(t))dt. Его областью

— 00

опеределения является пространство Соболева И^21(Ж+,Я) = {ж G Ь2 абсолютно непрерывна : х € Ь2}. О�