Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Синтяев, Юрий Николаевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Воронеж
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2010
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Синтяев Юрий Николаевич
На правах рукописи
(3-
Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве
01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ
Автореферат диссертации
на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
ВОРОНЕЖ - 2010
004600848
Работа выполнена на кафедре математических методов исследования операций Воронежского государственного университета
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор Баскаков Анатолий Григорьевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Перов Анатолий Иванович,
доктор физико-математических наук, профессор Курбатов Виталий Геннадьевич
Ведущая организация: Белгородский государственный университет
Защита состоится "27" апреля 2010 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд.314
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.
Автореферат разослан "26" марта 2010 г. Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.038.22
доктор физ.-мат. наук, профессор
Гликлих Ю. Е.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. При исследовании качественных свойств решений дифференциальных уравнений и при исследовании устойчивости решений важную роль играют оценки ограниченных решений как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений. Проблема получения таких оценок имеет давнюю историю, и соответствующие результаты изложены в ряде известных монографий. В последнее время особое значение приобретают исследования по получению оценок для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами, что особенно важно в связи с приложениями к уравнениям в частных производных. Таким образом, тематика получения оценок ограниченных решений является вполне актуальной.
Цели работы. Основные цели диссертационной работы состоят в следующем:
• Исследование условий корректности дифференциальных операторов первого порядка в различных банаховых пространствах, при условии корректности его в одном из рассматриваемых пространств.
• Изучение условий обратимости дифференциального оператора второго порядка в различных функциональных пространствах при условии обратимости его в одном из рассматриваемых пространств.
• Получение оценки нормы обратного к дифференциальному оператору второго порядка в пространстве непрерывных ограниченных функций, через норму его обратного в пространстве суммируемых с квадратом функций.
• Получить условия обратимости, а также оценки нормы обратного к дифференциальному оператору первого порядка.
• Получить условия обратимости дифференциального оператора первого порядка с постоянными коэффициентами в терминах спектра и резольвенты.
• Получить условия обратимости, а также оценки нормы обратного к дифференциальному оператору первого порядка с постоянными коэффициентами в гильбертовом пространстве суммируемых с квадратом функций.
• Получить новое доказательство теоремы Герхарда-Прюсса.
• Получить оценки нормы функции Грина, построенной по дифференциальному оператору.
• Исследование условия экспоненциальной дихотомии у возмущенного семейства эволюционных операторов.
• Изучение условий разрешимости слабо нелинейных параболических уравнений в пространстве ограниченных функций.
Методика исследования. При получении оценок решений используется операторный подход, при котором рассматриваемое дифференциальное уравнение записывается в операторном виде с (неограниченным) обратимым диф-ферешщальным оператором, и рассматриваемая проблема сводится к оценке нормы обратного оператора в соответствующем функциональном пространстве.
При исследовании рассматриваемой проблемы важную роль играют методы теории линейных замкнутых операторов, действующих в банаховых пространствах, их спектральная теория. Используются методы теории полугрупп операторов и методы гармонического анализа.
Научная новизна. В диссертации получен ряд новых результатов по оценкам ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, причем часть из них относится к уравнениям с неограниченными операторными коэффициентами, а часть - к нелинейным уравнениям. Новыми являются и методы получения оценок.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования существования и оценок решений линейных дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на конференциях:
• "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна"(г. Воронеж, 2008 г.),
• на ХХ-ой Крымской осенней математической школе-симпозиуме (г. Севастополь, 2009 г.),
• "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна"(г. Воронеж, 2010 г.),
• на ежегодных научных сессиях факультета прикладной математики, информатики и механики.
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[7]. Работы [1], [5] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ. В совместной публикации [5] соавтору принадлежит постановка задач.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, и списка цитируемой литературы, содержащего 71 источник. Общий объем диссертации - 93 страницы.
Основное содержание работы.
Работа организована следующим образом. В первой главе приводится сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов из теории операторов, теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Во второй главе диссертации исследуются свойства корректности и обратимости дифференциальных операторов первого и второго порядка, получены оценки нормы обратных операторов.
Во третьей главе рассматриваются дифференциальные операторы первого порядка с неограниченными операторными коэффициентами и изучаются вопросы их обратимости, а также оценки ограниченных решений.
Пусть X - комплексное банахово пространство и ЕпйХ - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X. Рассматривается сильно непрерывное семейство эволюционных операторов Ы : Л -+ Епс1Х, где Л = в) € М х К : ( > в}, т.е. выполнены условия:
1) €) = I - тождественный оператор для любого f Е К;
2) Ы(г,з)Ы{з,т) =Ы(Ь,т), т < в в, t,т
3) отображение (í, s) н-► U(t, s)x : Д —» X непрерывно для любого x e X;
4) конечна величина
K= sup ||M(í,e)||. (1)
0<í-s<l
Будем говорить, что семейство эволюционных операторов {U(t,s), s < t} из алгебры EndX допускает экспоненциальную дихотомию на I с показателем /3 > 0 и коэффициентом М > 1, если существует ограниченная сильно непрерывная проекторозначная функция Р : R —> EndX, такая что: 1) U(t, s)P(s) = P(t)U(t,s) при t > s из R; 2) ||W(í,s)P(s)|| < Me'«'"») при t > s из R; 3) при t > s сужение U(t, s)\Im(Q(s)) оператора U(t,s) на образ Im(Q(s)) проектора Q(s) — I — P{s){ здесь и далее символом I обозначается тождественный оператор) является изоморфизмом подпространств Im(Q(s)) и Im(Q(t)) (определим оператор U(s,t) как обратное отображение из Im(Q(t)) в Im(Q(s))); 4) ||W(í,s)Q(s)|| < Ме^-^ при s > t (нормы берутся в EndX и оператор U(t,s)Q(s) рассматривается как элемент пространства EndX).
Пусть Lp = LP(R,X), р G [1,оо] - банахово пространство (классов эквивалентности) измеримых по Бохнеру и суммируемых со степенью р £ [1, с»] (существенно ограниченных при р = оо) функций, определенных на множестве вещественных чисел R со значениями в пространстве X и с нормой INIр = (/ Mt)\\pdt)1/p,p 6 [1,00), 11*11«, = vraisup ||z(í)II. Через C6 = Cb(R,X)
r ieR
обозначим банахово пространство непрерывных и ограниченных на R функций со значениями в X. Таким образом, Сь С Loo- Символом Со = Со (К, X) обозначим подпространство из C¡,(R,X) убывающих на ±оо функций. Здесь используется также пространство Степанова Sp = S,p(R,X), р € [1,оо). Оно
состоит из локально суммируемых функций х : R —» X, для которых конечна i
величина ||a:||si> = sup(/ ||a:(s + t)\\pdsY^p. Символ T = Т(Ш.,Х) используется teR о
для обозначения одного из введенных в рассмотрение пространств.
Изучается линейный оператор С : D(C) С Т —► Т = который
определяется на любом рассматриваемом пространстве Т следующим образом. Функция х € Т относится к области определения D(£) оператора если су-
ществует функция / € Т такая, что для почти всех s < t из К верны равенства
t
x(t) = U{t, s)x(s) - JU(t, т)/(т)<1т, s<t, s.igl. (2)
s
Следует отметить, что эти равенства следует понимать на представителях класса. Функция х почти всюду совпадает с непрерывной функцией, и функция / единственна. Далее полагается СцХ = /. Отметим, что оператор Си замкнут. В частности, если А £ S^K, EndX), то для дифференциального уравнения
- = A(t)x
существует семейство эволюционных операторов U : Д —» EndX, представимое в виде
li(t,s) = U(t)U(s)-\ s<t,
где U : R —► EndX и ^ = A{t)V{t), i 6 Е. В этом случае оператор Си обозначается символом —jt+ A(t) и будет называться дифференциальным.
Для исследования оператора Си в диссертации систематически используется разностный оператор
V:lp{Z,X)^lp{Z,X), р е [1,оо],
где Z - множество целых чисел, определенный формулой
(Vx)(n) = x(n)-U(n,n-l)x(n-l), п<= Z, х G /р = 1Р{Ъ,Х).
В основе многих полученных в диссертации результатов является использование того факта, что многие свойства линейного замкнутого оператора Си наследует разностный оператор Т>. Так имеет место следующее утверждение.
Теорема 2.1. Оператор V корректен тогда и только тогда, когда корректен оператор Си-
Отметим, что в теореме 2.1 использовалось следующее определение корректного оператора. Оператор В : D(B) С X —> X называется корректным, если КегВ = {0} и 7(В) > 0, 7(В) = хе£)(^к rB ¿^kIb) ' ™фимум модуля оператора В. В частности, корректный оператор имеет замкнутую область значений.
Теорема 2.2. Пусть оператор
í: = ft+A(t)■.Wi(R,X)cL2^L2 корректен. Тогда он корректен в пространстве Ь00 и имеет место оценка 4-^(1+ И|00-^ГТ)< 1
t£\
7 (АГ " 7(A) — 7(£оо)'
В параграфе 2.2 рассматривается дифференциальный оператор Ср : W%(R,X) С Lp(R,X) Lp{U,X), х G Wp2(R,X), p e [l,oo], A,В G L^^EndX). Ему сопоставляется оператор
С = = ~ - А : W) х с I, - Lp = LP(R,X) х £P(R,X),
где операторнозначная функция Л : R —> End(X х X) задаётся с помощью матричной функции
О -/ A(t) B(t)
Теорема 2.3. Операторы
'• Wp С Lp —» Lp, Ср : х W] CLpXLp^LpX Lp, p € [l,oo], обратимы одновременно.
В частном случае, когда X - конечномерное пространство, а операторнознач-ные функции А и В почти периодичны, утверждение теоремы 2.3 приведено в монографии1.
Теорема 2-4- Если оператор Cv обратим в одном из пространств Lp, р € [1,сю], то он обратим во всех остальных.
Используя технику доказательства из статьи 2, можно получить оценку ограниченных решений. А именно, верна следующая теорема.
1 Красносельский М. А. Нелинейные почти периодические колебания / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов,- М.: Наука, 1970,- 351 с.
2Баскаков А.Г. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений / А.Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения.- 2003.- Т.39.- С.413-415.
Теорема 2.5. Пусть оператор С = ¡р- + A{t) : И^О^Х) С L? —^ L2 обратим, тогда он обратим в пространстве Ьж. Кроме того, имеет место оценка
11 1100 -7тлиз а°
где qq - решение уравнения
а'3 + - 2\\С~%-1(1 + ||Л|Ы|£_1||2)~* + 7</(2||А||00)з = 0.
В главе 3 получены оценки норм обратных операторов к дифференциальным операторам с неограниченными операторными коэффициентами. В 3.1 исследуется дифференциальный оператор первого порядка. Верна следующая теорема.
Теорема 3.1. Пусть оператор С. обратим в одном из рассматриваемых пространств Т = .F(R, X). Тогда он обратим во всех остальных пространствах. При этом
1) если оператор С обратим в одном из пространств Loo(R,X), Сь(К, X), то норма Ц-С'1!] оператора С~1 в любом из пространств Lp, Sp, р € [1,оо) допускает оценку
< + К\ 1 + 8(1 + к + K'WC-YJ)),
где величина К определена равенством (1);
2) если оператор С обратим в одном из пространств LP{M.,X), SP(K,X), р 6 [1,оо), то
ll^lloc < к + к\ 1 + 8(1 + 2l~liv(K + я Ч^у2))),
||£_1||д < 21~1'ЦК + К2{ 1 + 8(1 + 21~1/Р(К + К2!!^-1!^)2))),
где q £ [1,оо) и ||£-1||р обозначает норму оператора С"1 в одном из рассматриваемых пространств Lp, Sp, р € [1,оо].
Далее в главе рассматриваются операторы с "постоянными коэффициентами". Т.е. Со - дифференциальный оператор Cq = —jh + A : D(Cq) С Т —> Т = где А - инфшштезимальный оператор полугруппы операторов
{T(t)-t > 0} класса Со, принадлежащих алгебре EndX. В данном случае семейство эволюционных операторов имеет вид U(t, s) = T(t — s), s < t, s, t € К и
оператор Со = —jt+ А задаётся с помощью этого семейства. Соответствующий оператору Со разностный оператор X>q е ЕпйТ{Ъ, X) имеет вид
(V0x)(n) = х{п)-Т(1)х{п - 1),п е Z,x е Т{Ъ,Х).
Этот оператор обратим тогда и только тогда, когда для спектра <т(Т( 1)) оператора Т( 1) выполнено условие
а(Т{1)) П Т = 0, (3)
где Т - единичная окружность.
Отметим, что если выполнено условие (3), то множество сг(Г(1)) предста-вимо в виде о-(Г(1)) = aint U <тоа(, где aint = {А е сг(Т(1)) : |Л| < 1}, aout = {Л G а(Т(1)) : |А| > 1} и поэтому банахово пространство X записывается в виде прямой суммы X = X_ © Х+, где X_ = ImP~ - образ проектора Рисса, построенного по спектральной компоненте <т¡nt и = ImP+, где Р+ = I — Р- - дополнительный к Р- проектор. Подпространства Х± инвариантны относительно оператора Т( 1), и он представим в виде: Т(1) = Т_ ф Т+, где Т± - сужения оператора Т(1) на Х±, причем а(71) = crint, а(Т+) = <rout. Следовательно, r(71) < 1 для спектрального радиуса г(71) оператора 71, оператор Т+ обратим и г^Г^1) < 1. Следовательно, Т(т) = 71 (т) Ф Т+(т), т > О, где 71 (т) = Г(т) | Х-, Т+(т) = T(r) | Х+, причем Т+(т), т > 0 - непрерывно обратимый оператор на Х+, и поэтому Т+(т), т £ R, - группа операторов, причем Т+(т) = Т+(—г)-1 для г < 0. В условиях следующей теоремы символ Т(и)Р+ для и < 0 обозначает оператор из EndX, который обращается в нуль на подпространстве X_ и равен Т+(—и)-1 на подпространстве Х+.
Теорема 3.2. Для обратимости оператора Cq необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие (3). Если это условие выполнено, то обратный
оператор £ц1 е ,F(R, X) имеет вид 00
(£o1/)(i) = J G(t~s)f(s)ds, t€ R, /6f(K,I),
—00
где функция (Грина) G определяется равенствами
Г-г(и)р., «>о,
1 Т(и)Р+, и<0.
Для пространств LP(R,X), р € [1,оо] и Со(К, X) она была получена в статье Оператор Cq там определялся как генератор полугруппы Хоулэнда, имеющий вид (T(t)x)(s) = T(t)x(s - t), s 6 R, t > 0, x £ F(R,X). Авторы использовали её сильную непрерывность, и поэтому результаты были получены только для пространств Lp, р € [1,оо) и Со, где Т сильно непрерывна. Для дифференциальных включений, рассматриваемых в однородных пространствах функций, аналог теоремы 3.3 получен в статье А.Г. Баскакова, В. Обуховского и П.Зекка 2.
Также имеет место
Теорема 3.3. Пусть X - гильбертово пространство. Для обратимости оператора Со : D(Cq) С L2(R, X) —> L2(R,X) необходимо и достаточно выполнение условия сг(А) П iR = 0 и условия (ограниченности резольвенты оператора А на мнимой оси Ж)
А/0 = sup ||Д(г'А, Л)|| < оо.
ЛеК
Следующая теорема принадлежит Герхарду 2 и Прюссу 4. Приводимое её доказательство основано на теоремах 3.2 и 3.3.
Теорема 3-4■ Для полугруппы операторов {T(t) : t > 0}, действующих в гильбертовом пространстве X, условие ст(Г(1)) П Т = 0 выполнено тогда и только тогда, когда одновременно выполнены условия
а(А) Г) гШ = 0, М0 = sup ||Я(гА,Л)|| < оо. (4)
AeR
Следует отметить, что необходимость условия сг(Г(1)) ПТ = 0 в теореме 3.4 верна и в случае произвольного банахова пространства X. Однако, в общем случае совместное выполнение условий (4) не гарантирует выполнения условия
(3)._
'Chicone С. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Amcr. Math. Soc.- 1999.- 3G1 p.
2Baskakov A. On solution of differential inclusions in homogeneous spaces of functions / A. Baskakov, V. Obuhovskii, P. Zecca // J. Math. Anal. Appl.- 2006. -V324.- P.1310-1323.
3Gearhart L. Spectral theory for contraction semigroups on Hilbert spaces / L. Gearhart // Trans. Amer. Math. Soc.- 1978.- V.236.- P.385-394.
4Pruss J. On the spectrum of C0 - semigroups / J. Pruss // TVans. Amer. Math. Soc.- 1984,- V.284-- P.847-857.
Лемма 3-4. Если X - гильбертово пространство и оператор Со : D{Co) С L2OR, X) —► X) обратим, то выполнены условия (4) и
\\Cö% = sup \\R(iX,A)\\.
AeR
При ее доказательстве используется тождесто Планшереля. Верна следующая теорема
Теорема 3.5. Пусть X - гильбертово пространство и выполнены условия (4)- Тогда оператор Со обратим в любом из рассматриваемых банаховых пространств Т(IR, X) и
Halloo < к + К\ 1 + 8(1 + у/2 (К + К2 sup II Д(»А, А)||)2)),
AeR
ll^llp < 21~1''(К + К\ 1 + 8(1 + V2(K + К2sup ||Д(г'А, Л)||)2))),
AeR
где первая оценка относится к пространствам L^,, Со, Сь, а вторая оценка -к пространствам Lp, Sp.
Отметим, что оценка ограниченных решений уравнения Cqx = / € ¿oo(ik, X) не использует ограниченность оператора А. Теперь рассмотрим вопрос оценок показателей экспоненциальной дихотомии полугруппы Т и величины ||G||« =
00
f ||G(t)||cít (иодинтегральная функция будет измеримой) при условии обра-
—оо
тимости оператора Со (например, при выполнении условий (4)). Оценки такой величины важны тем, что они позволяют получать оценку НлС^Ц в любом однородном пространстве измеримых функций, то есть пространствах функций, инвариантных относительно сдвигов функций. Верна следующая теорема
Теорема 3.6. Пусть оператор Со обратим в Т(Ж,Х), ||2?_1|| < аг(С), где аа(С) = 1 + C{F)K{ 1 + K\\C~l\\) = 1 + С{Т){К + ЛГ2^1!!). Тогда функция Грина G : К —> EndX допускает оценки
м, е-7+" и > о
1№)|| < { мм+% и '
М_е7-", и < 0.
с показателями экспоненциальной дихотомии
М+ = 2Кге(С)(1 + М. = 2*«(£)(1 -
оо
В частности, верна оценка / ||С(т)||йт < + Если X - гильбертово
-00
пространство, то в приведённых формулах для показателей экспоненциальной дихотомии можно положить аг(£) = 1 + \[2{К + А"2 вир ||Я(гА, ^4)||2)-
Л£К
Далее приведем условия наличия экспоненциальной дихотомии у возмущенного оператора. Верна следующая
Теорема 3.7. Пусть Ы : А —> ЕпдХ и V : Д —» ЕпйХ два семейства эволюционных операторов. Если семейство Ы допускает экспоненциальную дихотомию наМ. с показателем 7 > 0 и коэффициентом М > 0 и, кроме того, выполнено неравенство
вир \\Uis + 1,8)- У(8 + ¿, а) II < ^(1 " ¿>0
век М 1-е ^
то V также допускает экспоненциальную дихотомию. Из теоремы 3.7 выводится
Теорема 3.8. Пусть оператор Си обратим и семейство V : Л —► ЕпдХ таково, что выполнено \\Ы — УЦ» < • Тогда оператор С„ обратим и
\\Ги — 'PV[\ < 1 для проекторов, определенных формулами Ти = ¿¡/(7-^ —
ГВ(1))-1Й-У е ЕпдТ, = ¿г - Ту(1))-Ч7 6 ЕпйТ.
т
В работе А.И. Перова1 получены условия существования, устойчивости, а также оценки ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений в конечномерном пространстве. В 3.2 получены соответствующие результаты для слабо нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами.
'Перов А.И. Частотные признаки существования ограниченных решений / А.И. ГГеров // Дифференциальные уравнения,- 2007.- Т.43.- №7,- С.896-904.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
x{t) = Ax(t) + f(t, х), t€ К, (5)
где / : IxX^X - функция, удовлетворяющая условию Липшица по второй переменной.
Пусть выполнены условия (4). Назовем хо - обобщенным решением нелинейного дифференциального уравнения (5), если xq £ Z?(jCq), СоХа = д, где g(t) = f(t,xa(t)), ieK,a£o = |-A- дифференциальный оператор, действующий из D(Cq) CfpB Tv.
Лемма 3.5. Любое обобщенное решение нелинейного уравнения в пространстве Т представимо в виде
оо
x(t)= J G(t — s)f(s,x(s))ds.
—оо
Имеет место
Теорема 3.9. Пусть оператор А таков, что выполнены условия (4). Функция f{t,x) удовлетворяет условию Липшица по второй переменной, а также выполнено условие 1гс(Со) < 1, где ее(Со) = К + К2( 1 + 8(1 + л/2 {К +
^2suPp(iA,yl)||)2)). Тогда нелинейное дифференциальное уравнение (5), рас-AeR
сматриваемое в пространстве Сб(М, X), имеет единственное решение х, принадлежащее пространству Cft(R, X), и оно допускает оценку ||х — g\\aa < T^yllfflU где g = Цхдй, g0(t) = f(t, 0), t £ К.
Список публикаций по теме диссертации
[1] Синтяев Ю. Н. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка / Ю.Н. Синтяев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика,- Воронеж:ВГУ,- 2007 г.- №1.- С.135-138.
[2] Синтяев Ю. Н. Об условиях обратимости возмущенного дифференциального оператора с неограниченными операторными коэффициентами / Ю.Н. Синтяев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика,-Воронеж:ВГУ,- 2008 г.- №2,- С.83-85.
[3] Синтяев Ю. Н. Об обратимости линейного дифференцильного оператора второго порядка / Ю.Н. Синтяев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейпа. Тезисы докладов,- Воронеж:ВГУ.- 2008,- С. 125-126.
[4] Синтяев Ю. Н. Об одном условии разрешимости слабо нелинейных параболических уравнений в пространстве ограниченных функций / Ю.Н. Синтяев //Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XX".-Воронеж:ВГУ,- 2009,- С.165-166.
[5] Синтяев Ю. Н. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов; оценки решений / А.Г. Баскаков, Ю.Н. Синтяев // Дифференциальные уравнения.- 2010.- Т.46,- №2 - С.1-10.
[6] Синтяев Ю. Н. Исследование корректиостн дифференциального оператора первого порядка / Ю.Н. Синтяев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов,- Воронеж:ВГУ.- 2010.- С.135-136.
[7] Синтяев Ю. Н. Об одном условии разрешимости слабо нелинейных параболических уравнений в пространстве ограниченных функций / Ю.Н. Синтяев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика,- Воронеж:ВГУ.- 2010 г.- №1,- С.50-53.
Подписано в печать 24.03.10. Формат 60x84 1/1б. Усл. печ. л. О, Тираж 80 экз. Заказ 336
Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.
Введение
1 Основные понятия и используемые результаты
§1.1 Основные функциональные пространства. Некоторые сведения из теории операторов.
§1.2 Сильно непрерывные полугруппы операторов и эволюционнные семейства.
2 Исследование корректности и обратимости дифференциального оператора первого и второго порядков
§2.1 Корректность дифференциального оператора первого порядка.
§2.2 Оценки ограниченных решений дифференциальных уравнений второго порядка.
3 Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов и оценки решений
§3.1 Оценки обратных операторов.
§3.2 Оценки для операторов с постоянными коэффициентами.
§3.3 Исследование слабо нелинейных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве.
Список обозначений
Z - множество целых чисел; R - множество вещественных чисел; С - множество комплексных чисел; М+ = [0, оо);
J - один из промежутков [а, Ь], К, (—оо, а), [6, оо); X, Y - комплексные банаховы пространства;
EndX - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Х\
Сь — Сб(Л, X) - банахово пространство непрерывных и ограниченных на промежутке J G {[а, 6], (—оо, а), [Ь, оо)} функций со значениями в банаховом пространстве Х\
SP = 5Р(М, X), р G [1,оо) - пространство Степанова локально суммируемых на R функций со значениями в банаховом пространстве
X и нормой H^lls? = sup(f ||a;(s + t)||pds)1//p; tern. о
Lp = Lp{J,X), p G [l,oo) - банахово пространство суммируемых со степенью р G [1,оо) на промежутке J классов функций со значениями в банаховом пространстве X и нормой ||а;||р = (f \\x(t)\\pdt)1/p\
Lqq = А» (J,*) - банахово пространство существенно ограниченных на промежутке J классов функций со значениями в банаховом пространстве X и нормой ЦжЦоо = vraisup ||я(£)||;
CZ(J) = С1(Л,Х) - линейное пространство I раз непрерывно дифференцируемых функций на J со значениями в банаховом пространстве х и нормой ||ж||С; = X) 1Ик;
Wp(J) = Wp(J,X) - пространство Соболева Wp( 1) = {ж G
С1 1(Jf) : xl абсолютно непрерывна, xl G LP(J)}. Норма функции / G Wp(J) определяется при помощи равенства \\f\\w{,($) =
Yl\k\<i II Лад;
I - тождественный оператор в любом из банаховых пространств; д(А) - резольвентное множество оператора А : D{A) Cl^I] ImA - образ линейного оператора А; КегА - ядро линейного оператора А;
7(А) = ^ rfJ^eL) " инФимум модуля оператора Л; ст{А) - спектр оператора А\
R(-,A) : q{A) -> EndX, R(\A) = (А/ - A)'1, A G q(A) - резольвента линейного оператора А : D(A) сХ->Х; Т = T(JSL,X) - одно из пространств Lp(R,X), L^R.X), Cb(R,X),
1Р = £P(Z,X), р G [1,оо) - банахово пространство двусторонних последовательностей с элементами в банаховом пространстве X и нормой HP = (EIWn)in1/p; loo — loo(Z,X) - банахово пространство двусторонних последовательностей с элементами в банаховом пространстве X и нормой я;||оо = sup||z(n)||;
Т — X) - одно из пространств 1Р{Ъ, X), l^Z, X); U : Л —► EndX, где А = {(£, s) G R х К : t > s} - семейство эволюционных операторов, т.е. выполнено 1) U(t,t) = I, t G R; 2) U(t,s)U(s,T) = r < s < t; s,£,r € E; 3) отображение s) s)a; : Д —* X непрерывно для любого x G X\ 4) конечна величина К — sup \\U(t, s)||;
0<i-s<l
При исследовании качественных свойств решений дифференциальных уравнений и при исследовании устойчивости решений важную роль играют оценки ограниченных решений как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений. Проблема получения таких оценок имеет давшою историю, и соответствующие результаты изложены в ряде известных монографий. В последнее время особое значение приобретают исследования по получению оценок для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами, что особенно важно в связи с приложениями к уравнениям в частных производных. Таким образом, тематика получения оценок ограниченных решений является вполне актуальной.
В диссертации получен ряд новых результатов по оценкам ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, причем часть из них относится к уравнениям с неограниченными операторными коэффициентами, а часть - к нелинейным уравнениям.
При получении оценок решений используется операторный подход, при котором рассматриваемое дифференциальное уравнение записывается в операторном виде с (неограниченным) обратимым дифференциальным оператором, и рассматриваемая проблема сводится к оценке нормы обратного оператора в соответствующем функциональном пространстве.
При исследовании рассматриваемой проблемы важную роль играют методы теории линейных замкнутых операторов, действующих в банаховых пространствах и их спектральная теория.
Диссертация состоит из трех глав. В первой главе приводится сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов из теории операторов, теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Во второй главе диссертации исследуются свойства корректности и обратимости дифференциальных операторов первого и второго порядка, получены оценки нормы обратных операторов.
Во третьей главе рассматриваются дифференциальные операторы первого порядка с неограниченными операторными коэффициентами и изучаются вопросы их обратимости, а также оценки ограниченных решений.
Далее при формулировке результатов используется приведенный список обозначений.
Рассматривается сильно непрерывное семейство эволюционных операторов Ы : Л = {(£, s) 6 1 х R : f > s} ^ EndX, где X -банахово пространство, обладающее свойствами: 1) U(t, £)=/,£ е М; 2) Щ, s)U{s, г) = Щ, т), т < s <t\ s,t,r е R;
3) отображение (t, s) м- U{t, s)x : Л —> X непрерывно для любого х G X] 4) конечна величина К — sup ||U{t, s)||.
0<£—s<l
Будем говорить, что семейство эволюционных операторов {U(t,s),s < t} из алгебры EndX допускает экспоненциальную дихотомию на R с показателем (5 > 0 и коэффициентом М > 1, если существует ограниченная сильно непрерывная проекторозначная "функция Р : R -»• EndX, такая что: 1) U(t:s)P(s) = P(t)U(t,s) при t > s из R; 2) ||W(i, s)P(s)|| < Me"^^ при i > s из Ж; 3) при £ > s сужение U{t, s)\Im(Q(s)) оператора U(t, s) на образ Im{Q(s)) проектора Q(s) — I — P(s) является изоморфизмом подпространств Im(Q{s)) и Im(Q(t)) (определим оператор U(s,t) как обратное отображение из Im(Q{t)) в Im{Q{s)))\ 4) ||W(t,s)Q(s)|| < Ме0^ при s > t (нормы берутся в EndX и оператор Hit, s)Q(s) рассматривается как элемент пространства EndX).
По этому семейству строится линейный оператор Сц : D{JZu) С ^(Ж, X) F(R,X)t где G {Lp(R,X),p G [1, оо]; C6(R,X);
5р(М, Х),р е [1, оо); Со(М, -Х")}. Его построение осуществляется следующим образом: функция х € J7 относится к области определения D(Cu) оператора Сц, если существует функция / € Т такая, что для почти всех s < t из Ж верны равенства t x(t) = U{t, s)x(s) - JU{t, r)/(r)dr, s<t, s,te R. s
Эти равенства следует понимать на представителях класса. Функция х почти всюду совпадает с непрерывной функцией и функция / единственна. Далее полагается Сцх = /.
В частности, если А £ Si(R, EndX), то для дифференциального уравнения dx . . . л=А®х существует семейство эволюционных операторов Ы : Л EndX, представимое в виде
U(t,s) = U(t)U(s)~1, s<t, где U : Ж —» EndX и ^^ = A(t)U(t), £ G М. В этом случае оператор Си обозначается символом — ^ + А(£) и будет называться дифференциальным.
Для исследования оператора Сц в диссертации систематически используется разностный оператор
V:lp{Z,X)->lp{Z,X), р G [1, оо], определенный формулой
Vx)(n) = х{п) - Ы(п, п - 1 )х(п - 1), п eZ, xelp = lp(Z, X).
В основе многих полученных в диссертации результатов широко используется тот факт, что многие свойства линейного замкнутого оператора Си наследует разностный оператор V. Так имеет место следующее утверждение.
Теорема 2.1. Оператор Т> корректен тогда и только тогда, I когда корректен оператор С.
Отметим, что в теореме 2.1 оператор В : D(B) С X —> X называется корректным, если КегВ = {0} и у(В) > 0. В частности, корректный оператор имеет замкнутую область значений.
Теорема 2.2. Пусть оператор
С = ~ + A{t) : Wj(R, X) С Ь2 L2 корректен,т. е. 7(^2) > 0. Тогда он корректен в пространстве L и имеет место оценка iwus^d+iniu^iM или, что эквивалентно оо
7(£2)V 11 7(^2) ~ 7(^00)' В §2.2 рассматривается дифференциальный оператор
00x = x + B(t)x + A(t)x = f(t), где / 6 Loo(K,При исследовании оператора Ср : Wp(M, X) С Lp{Ж,Х) ЬР{Ж,Х), Срх = х + х G Wp2, р G [1, оо], ему сопоставляется оператор = £P = jt-A:WtxW*cLp->Lp== LP(R,X) х где операторнозначная функция А : R —► End(X х X) задаётся с помощью матричной функции
0 -I A(t) B(t) Теорема 2.3. Операторы
• Wp а Ьр —> Lp,
Ср : Wp xWp С Lpx L p x Lpi p € [l,oo], обратимы одновременно. t G
В частном случае, когда X - конечномерное пространство, а операторнозначные функции А и В почти периодичны, утверждение теоремы 2.3 приведено в монографии [23].
Теорема 2.4• Если оператор С обратим в одном из пространств Lp, р £ [1,оо]; то он обратим во всех остальных.
Используя технику доказательства из статьи [11], получена следующая теорема.
Теорема 2.5. Пусть оператор С — + A(t) : X) С
Z/2 ~► обратим, тогда он обратим в пространстве L00. Кроме того, имеет место оценка
-1|| < 1 .(1 + 3aQ ) 11 1100 - 74/(2|И||оУ«Ь л/ЩИй где ао - решение уравнения
С^3 -+- бо;— 21|1II^ (1 -f- иЦоо||^ 1II2) ^ -(- ^"v^С^J]IIосэ)3 — о.
Глава 3 в основном посвящена оценкам норм обратных операторов к дифференциальным операторам с неограниченными операторными коэффициентами.
В §3.1 исследуется дифференциальный оператор первого порядка. Верна следующая теорема.
Теорема 3.1. Пусть оператор С обратим в одном из рассматриваемых пространств J7 = ^(М, X). Тогда он обратим во всех остальных пространствах. При этом
1) если оператор С обратим в одном из пространств Ьоо(Ш, X), Сь(Ш,Х), то норма ||£-1|| оператора С~г в любом из пространств
Lp, Sp, p € [1, oo) допускает оценку 21~1/p(K + K2{ 1 + 8(1 + К + K'WC-'Wl)))
2) если оператор С обратим в одном из пространств Lp(R, X), SP^X), р е [1,оо), то
Н^Иоо < К + К\ 1 + 8(1 + 21-1*(К + К2\\С-%)2))),
С~% < + К2{ 1 + 8(1 + 21"1/Р(Х + К2\\С~1\\Р)2))), где q G [1,оо) и И^С"1^ обозначает норму оператора С'1 в одном из рассматриваемых пространств Lp, Sp, р G [1, оо].
Далее в главе рассматриваются операторы с "постоянными коэффициентами". Пусть С0 = + А : D(C0) С Т Т = ^(М, X) -дифференциальный оператор, где Л - инфинитезимальный оператор полугруппы операторов {Т(£); £ > 0} класса Со, принадлежащих алгебре EndX. В данном случае семейство эволюционных операторов имеет вид U{t, s) = T(t — s), s < t, s,t € R. и оператор £o — ~^ + ^ задаётся с помощью этого семейства. Соответствующий оператору Со разностный оператор Vq € EndT{Z, X) имеет вид
0я)(п) = х(п) - Т(1)х(п — 1),п € Z, х Е f{Z, X).
Этот оператор обратим тогда и только тогда, когда для спектра <т(Т(1)) оператора Т(1) выполнено условие т(Т(1))ПТ = 0.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 3.2. Для обратимости оператора Cq необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие а(Т{1)) Г)Т = 0. Если это условие выполнено, то обратный оператор £q 1 £ ^(R, X) имеет вид
00 tff)(t) = J G(t-s)f(s)ds, tern, feF(R,x), оо где функция (Грина) G определяется равенствами -Т(и)Р, и > О, G{u) = < Т(и)Р+, и < 0.
Также имеет место
Теорема 3.3. Пусть X - гильбертово пространство. Для обратимости оператора Cq : D{£о) С ^(М, X) —> X) необходимо и достаточно выполнение условия <т{А) П Ж = 0 и условия (ограниченности резольвенты оператора А на мнимой оси г!
М0 = sup ||R(iX, А) || < оо.
Для пространств LP(R, X), р G [1,оо] и Co(R, X) теорема 3.3 была получена в статье [58] (см. также [52]). Оператор Со там определялся как генератор полугруппы Хоулэнда, имеющий вид (T(t)x)(s) = T(t)x(s — t), s e R, t > 0, x G ./-"(R, X). Авторы использовали её сильную непрерывность и поэтому результаты были получены только для пространств Lp, р Е [1,оо) и Со, где Т сильно непрерывна. Для дифференциальных включений, рассматриваемых в однородных пространствах функций аналог теоремы 3.3 получен в [51]. При этом также существенно использовались результаты статьи [3].
Следующая теорема принадлежит Герхарду [54] и Прюс-су [67](см. также [53, теорема 5.11]). Приводимое её доказательство основано на теоремах 3.2 и 3.3.
Теорема 3-4- Для полугруппы операторов {T(t) : t > 0}, действующих в гильбертовом пространстве X, условие сг(Т(1))ПТ = 0 выполнено тогда и только тогда, когда одновременно выполнены условия а(А) П Ж = 0 и М0 = sup ||i2(iA, Л)|| < оо.
AeR
Следует отметить, что что необходимость условия сг(Т(1))ПТ = 0 в теореме 3.4 верна и в случае произвольного банахова пространства X. Однако, в общем случае совместное выполнение условий
7(A) П Ж = 0 и Mq = sup ||/2(гА, А)|| < оо не гарантирует выполне
AsR ния условия т(Г(1))ПТ = 0
Лемма 3.4- Если X - гильбертово пространство и оператор С0 : D(£q) С L2(R,X) -*■ L2{R,X) обратим, то
0-1||2 = 8ир||Д(»А>Л)||.
АбК
Верна следующая теорема
Теорема 3.5. Пусть X - гильбертово пространство и выполнены условия и(А) П Ж = 0 и Mq = sup ||Д(гА, А)\\ < оо. Тогда
Аек оператор £q обратим в любом из рассматриваемых банаховых пространств X) и ll^lloo < К + К2( 1 + 8(1 + у/2 (К + К2 sup || Д(гА, А)||)2)),
АеК K2{ 1 + 8(1 + л/2 {К + К2 sup || Д(гА, А)||)2))),
ASR где первая оценка относится к пространствам L^, Cq, Сь, а вторая оценка - к пространствам Lp, Sp.
Отметим, что оценка ограниченных решений уравнения Cqx = / € Ьоо{Ж,Х) не использует ограниченность оператора А. Теперь рассмотрим вопрос оценок показателей экспоненциальной дихотооо мии полугруппы Т и величины ||G||* = / ||G(r)||dr (подинтегральоо ная функция будет измеримой) при условии обратимости оператора £о (например, при выполнении условий а (А) П Ж = 0 и Mq = sup ||Я(гА, Л)|| < оо). Оценки такой величины важны тем, что они ХеШ позволяют получать оценку HjCq1!! в любом однородном пространстве измеримых функций, то есть пространствах функций, инвариантных относительно сдвигов функций. Верна следующая теорема
Теорема 3.6. Пусть оператор Cq обратим в ^(R, X), обозначим ае(£) = ||£>1|| < 1 + С{Т)К{ 1 + KWC^W) = 1 + C{F){K + i^2||>C1||). Тогда функция Грина G : R —> EndX допускает оценки f М+е"т+и, и > О, Мет-Ы, и < 0. с показателями экспоненциальной дихотомии
М+ = 2Кге(£)(1 + М. = МГ»(£)(1
ОО
В частности, верна оценка f ||G(r)||dr < + Если X
-оо гильбертово пространство, то в приведённых формулах для показателей экспоненциальной дихотомии моэюно положить aе(£) =
1 + л/2 (К + К2 sup || R(i\ А) ||2).
Лек
Далее приведем условия наличия экспоненциальной дихотомии у возмущенного оператора.
Верна следующая теорема
Теорема 3.7. Пусть U : А —> EndX и V : А —» EndX два семейства эволюционных операторов. Если семейство Ы допускает экспоненциальную дихотомию на Ж с показателем 7 > 0 и коэффициентом М > 0 и, кроме того, выполнено неравенство sup \\U(s + t,s)~ V(s + t, s) II < (1 ~ , t > 0 se№ M I — e то V также допускает экспоненциальную дихотомию.
В качестве применения предыдущей теоремы приводится следующая теорема.
Теорема 3.8. Пусть оператор Си обратим и семейство V : А —» EndX таково, что выполнено ||U — V||oo < ^^ • Тогда оператор Cv обратим и \\VU — Vv\\ < 1 для проекторов, определенных формулами Vu = 2^7 /(7^ ~ Ти(l))~ldy € EndT, Vv = т
В работе [31] получены условия существования, устойчивости, а также оценки ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений в конечномерном пространстве. В §3.3 получены соответствующие результаты для слабо нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами.
В банаховом пространстве Q,(R, X) рассмотрим дифференциальное уравнение x(t) = Ax(t) 4- f(t, х), t в R, (1) где / : R x X —► X - функция, удовлетворяющая условию Липшица по второй переменной, а А - инфинитезимальный оператор полугруппы Т : R+ X класса Со-Пусть выполнены условия о-(Л)Г|Ж = 0, Mo = sup ||Д(гА, Л) || < с». 1 1 Аем
Назовем xq - обобщенным решением нелинейного дифференциального уравнения (1), если
А)®о = д, где g(t) = f(t,xo(t)), t G 1, a, Co = — A - дифференциальный оператор, действующий из D{Cq) С Cb(R,X) в Cb(R,X),
00
СоЧШ = J G(t — s)f(s)ds, te R, -00 где G - функция Грина, определенная по полугруппе операторов Т. Имеет место
Лемма 3.5. Любое обобщенное решение нелинейного уравнения в пространстве Т представимо в виде оо x(t) = J G(t — s)/(s, x(s))ds. — 00
Используя лемму 3.5, доказывается
Теорема 3.9. Пусть оператор А таков, что выполнены условия т(А)Пж = 0, М0 = sup \\R{i\, А)\\ <оо,
Аек функция f(t, х) удовлетворяет условию Липшица по второй переменной и равномерно непрерывна и ограничена по первой переменной. Пусть также выполнено условие 1ее(£о) < 1. Тогда нелинейное дифференциальное уравнение (1), рассматриваемое в пространстве Сь(Ш,Х), имеет единственное решение х, принадлежащее пространству Cb(R,X); и оно допускает оценку ||я — g\\^ < T^gyllslU где g = gQ(t) = f(t,0), t G Ж.
В конце диссертации приводится пример, иллюстрирующий применение указанной теоремы.
Пусть имеется дифференциальное уравнение du - Au{t) - q(x)u(t,x) = f(t,u(t,x)), tE R, x£D(A),
LLL где A - оператор Лапласа, a / удовлетворяет условиям теоремы 3.9. Тогда это уравнение разрешимо в пространстве Cb(R, X) и имеют место оценки
S 1 1еш + e2w(1 + 8(1 + + е2-1)))
1. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов / А. Г. Баксаков.- Воронеж. ВГУ, 1987.-165 с.
2. Баскаков А.Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А.Г. Баскаков // Докл. РАН.- 1995.- Т.343.- №3.- С.295-298.
3. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов / А. Г. Баскаков // Функц. анализ и его прил- 1996.- Т.30 №3 - С.1-11.
4. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов / А. Г. Баскаков // Мат. заметки.-1996.- Т.59 №6.- С.811-820.
5. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов / А. Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения- 1997.- Т.ЗЗ.-№10,- С.1299-1306.
6. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. сб.- 1999.- Т. 190- №3.-С.3-28.
7. Баскаков А.Г. Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов / А.Г. Баскаков // Мат. заметки.- 2000.- Т.67.- №6.-С.816-827.
8. Баскаков А.Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А.Г. Баскаков, А.И. Пастухов // Сиб. матем. журн.- 2001.- Т. 42.-№6.- С.1231-1243.
9. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чер-нышов // Матем. сб.- 2002.- Т.193.- №11.- С.3-42.
10. Баскаков А.Г. Об обратимости и фредгольмовости параболических дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Докл. РАН,- 2002.- Т.383 №5.- С.583-585.
11. Баскаков А.Г. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений / А.Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения.- 2003.- Т.39.- С.413-415.
12. Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абеле-вых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов /А.Г. Баскаков // Современная математика. Фундаментальные направления,- Москва.- 2004.- Т.9.- С.3-151.
13. Баскаков А.Г. Гармонический анализ каузальных операторов и их спектральные свойства / А.Г. Баскаков, И.А. Криштал //Изв. РАН. Серия матем.- 2005,- Т. 69,- №3,- С.3-54.
14. Баскаков А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Серия матем.- 2009,- Т.73.- №2.-С.3-68.
15. Баскаков А.Г. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов; оценки решений / А.Г. Баскаков, Ю.Н. Синтяев // Дифференциальные уравнения.- 2010.- Т.46-№2.- С.1-10.
16. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик.- М.: Физматгиз, 1963.1100 С.
17. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн.- М.: Наука, 1970.- 535 С.
18. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц.- М.: ИЛ, 1962,- Т.1.- 895 с.
19. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В.В. Жиков // Изв. АН СССР. Серия матем.- 1976.- Т.40.- №6.- С. 1380-1408.
20. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида.- М.: Мир, 1967.- 624 с.
21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като.-М.: Мир, 1972,- 740 С.
22. Колмогоров А.Н. Элементы теории функции и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин.- М.: Наука, 1968.543 с.
23. Красносельский М. А. Нелинейные почти периодические колебания / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов.- М.: Наука, 1970.- 351 с.
24. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн.- М.: Мир, 1967 464 с.
25. Крейн С.Г. Функциональный анализ / С.Г. Крейн.- М.: Наука, 1972.
26. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кутателадзе.- Изд-во ин-та матем. Новосибирск, 2000.- 349 с.
27. Латушкин Ю.Д. Операторы взвешенного сдвига и линейные расширения динамических систем / Ю.Д. Латушкин, A.M. Сте-пин // УМН,- 1991,- Т.46- №2.- С.85-143.
28. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев.- М.: Наука, 1965.- 520 с.
29. Maccepa X.JI. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Maccepa, Х.Х. Шеффер.- М.: Мир, 1970.- 456 с.
30. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк.- М.: Наука, 1969.- 527 с.
31. Перов А.И. Частотные признаки существования ограниченных решений / А.И. Перов // Дифференциальные уравнения 2007-Т.43- №7.- С.896-904.
32. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений / 3. Пресдорф,- М.:Мир, 1979.
33. Робертсон А.П. Топологические векторные пространства / А.П. Робертсон, В.Дж. Робертсон,- М.:Мир, 1967,- 257 с.
34. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин- М.:Мир, 1975449 с.
35. Синтяев Ю. Н. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка / Ю.Н. Синтяев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика Воронеж:ВГУ.- 2007 г.- №1.- С.135-138.
36. Синтяев Ю. Н. Об условиях обратимости возмущенного дифференциального оператора с неограниченными операторными коэффициентами / Ю.Н. Синтяев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- Воронеж:ВГУ,- 2008 г.- №2.- С.83-85.
37. Синтяев Ю. Н. Об обратимости линейного дифференцильно-го оператора второго порядка / Ю.Н. Синтяев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов,-Воронеж:ВГУ- 2008.- С.125-126.
38. Синтяев Ю. Н. Исследование корректности дифференциального оператора первого порядка / Ю.Н. Синтяев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов.-Воронеж:ВГУ- 2010.- С. 135-136.
39. Синтяев Ю. Н. Об одном условии разрешимости слабо нелинейных параболических уравнений в пространстве ограниченных функций / Ю.Н. Синтяев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- Воронеж:ВГУ.- 2010 г.- №1.- С.50-53.
40. Соболев C.JI. Об одной теореме функционального анализа / С.Л. Соболев // Матем. сб.- 1999.- Т.4(46).- №3.- С.471-497.
41. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С.Л. Соболев.- М.: Наука, 1988.- 336 С.
42. Тюрин В.М. Об обратимости оператора ^ — A(t) в некоторых функциональных пространствах / В.М. Тюрин // Мат. заметки.-1979.- Т.25,- №4,- С.585-590.
43. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах / В.М. Тюрин // Сиб. матем. журн,- 1991.- Т.32,- №3,- С.160-165.
44. Чернышов М.К. Об обратимости линейных дифференциальных операторов первого порядка. / М.К. Чернышов // Мат. заметки.-1998,- Т.64. №5.- С.796-800.
45. Хенри. Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. / Д. Хенри,- М.: Мир, 1985.- 376 с.
46. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс.- М.: ИЛ, 1962,- 830 с.
47. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде.- М.:Мир, 1969.- 1070 с.
48. Aldroubi A. Slanted matrices, Banach frames, and sampling / A. Aldroubi, A.G. Baskakov I. Krishtal // J. Funkt. Anal- 2008.
49. Baskakov A. Spectral analysis of operators with the two-point Bohr spectrum / A. Baskakov, I. Krishtal //J. Math. Anal. Appl.- 2005.-V38.- P.420-439.
50. Baskakov A. On solution of differential inclusions in homogeneous spaces of functions / A. Baskakov, V. Obuhovskii, P. Zecca //J. Math. Anal. Appl.- 2006. -V324.- P.1310-1323.
51. Chicone С. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Amer. Math. Soc.- 1999,- 361 p.
52. Engel K.J. One Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations / K.J. Engel, R. Nagel // Semigroup Forum.- 2001.- V.63.-№2.- P.278-280.
53. Gearhart L. Spectral theory for contraction semigroups on Hilbert spaces / L. Gearhart // Trans. Amer. Math. Soc.- 1978,- V.236.-P.385-394.
54. Gohberg I. Classes of linear operators / I. Gohberg, S. Goldberg, M. Kaashoek // Birhauser, vol. I, Oper. Theory Adv. Appl., 49, Basel, Boston, Berlin, 1990.
55. Goldberg S. Unbounded linear operators. Theory and applications / S. Goldberg //McGraw-Hill, New York-Toronto, 1966.
56. Howland J.S. Stationary scattering theory for time-dependent Hamiltonians / J.S. Howland // Mathematische Annalen.- 1974.-V.207.- т.- P.315-335.
57. Latushkin Yu. Evolution semigroups and Lyapunov theorems in Banach spaces / Y. Latushkin, S. Montogomery-Smith //J. Funkt. Anal.- 1995,- V.127.- №.- P.173-197.
58. Latushkin Yu. Exponential Dichotomy and Mild Solutions of Nonautonomous Equations in Banach Spaces / Y. Latushkin,Т. Randolph, R. Schnaubelt // Journal of Dynamics and Differential Equations.- 1998.- V.10.- №3.- R489-510.
59. Latushkin Yu. Fredholm properties of evolution semigroups / Yu. Latushkin, Yu. Tomilov // Illinois J. Math.- 2004.- V.48.- №3.-P.999-1020.
60. Latushkin Yu. Fredholm differential operators with unbounded coefficients / Yu. Latushkin, Yu. Tomilov // J. Differential Equations.- 2005.- V.208.- №2.- P.388-429.
61. Megan M. Discrete admissibility and exponential dichotomy for evolution families / M. Megan, A. L. Sasu, B. Sasu // Discrete Contin. Dyn. Syst.- 2003,- V.9.- №2,- P.383-397.
62. Van Minh N. Exponential stability, exponential expansiveness, and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, F. Rabiger, R. Schnaubelt // Integral Equations and Operator Theory.- 1998.- V.32.- №3.- P.332-353.
63. Van Minh N. Characterizations of dichotomies of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, N. Th. Huy // J. Math. Anal. Appl.- 2001.- V.261.- №1,- P.28-44.
64. Nagel R. Semigroup methods for nonautonomous Cauchy problems / R. Nagel //Lecture Notes in Pure and Appl. Math.-V.168.- Dekker.- New York.- 1995,- P.301-316.
65. Perron 0. Uber eine Matrixtransformation / O. Perron // Mathematische Zeitschrift.- 1930.- V.32.- №1,- P.465-473.
66. Pruss J. On the spectrum of Co semigroups / J. Pruss // Trans. Amer. Math. Soc.- 1984.- V.284.- P.847-857.
67. Rabiger F. The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions / F. Rabiger, R. Schnaubelt // Semigroup Forum.- 1996,- V.52.- №1,- P.225-239.
68. Rau R.T. Hyperbolic evolution semigroups on vector valued function spaces / R.T. Rau // Semigroup Forum.- 1994.- V.48 №1.-P. 107-118.
69. Schnaubelt R. Asymptotically autonomous parabolic evolution equations / R. Schnaubelt // Journal of Evolution equations.- 2001.-V.I.- P. 19-37.
70. Taylor A.E. Introduction to functional analysis / A.E. Taylor // John Wiley andSons.- New York.- 1958.
