Весовые пространства Степанова и точные оценки решений эволюционных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Абунавас Мохаммад Халиль

Весовые пространства Степанова и точные оценки решений эволюционных уравнений

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Авторефереат

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ-2004

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Костин Владимир Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сильченко Юрий Тихонович, доктор физико-математических наук, профессор Глушак Александр Васильевич

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов

Защита состоится 26 октября 2004 года в 15.40 на заседании диссертационного совета К212.038.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан «¿^ » сентября 2004 года.

Ученый секретарь / у^Г

диссертационного совета Гликлих Ю.Е.

jet 8 9f

,2005-4

'2710 Общая характеристика работы

Актуальность темы. Часто решения эволюционных уравнений записываются в виде

И(0 = Ж0/ (1)

где / - элемент некоторого банахова пространства F с нормой ¡*| , B(t) -семейство линейных ограниченных при каждом te А (А - одно из множеств [О,») или (-<ю,оо) )операторов действующих из F в некоторое банахово пространство U с нормой .

Представление (1) используется при исследовании различных свойств решений соотвествующих задач.

Например, при изучении поведения решения задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения

*£>шЛ{1Ы0 + т, (2)

at

и(0) = 0

с разрешающим оператором U(t,s), i,s s [о,»), удовлетворяющим условию p(t,s)l<Me«"'\(t>s) (3)

/(f) б F при каяедом te [0,оо). Как известно, в этом случае решение задачи (2)-(3) имеет вид

и(0 = 'fu(t,s)/(s)ds = B{t)f (4)

о

Так как оценку поведения решения u(t) при t ос желательно получить наиболее точную, то здесь важной характеристикой оператора 5(f) является функция

-«--рЧ^. о

которая вводится в настоящей диссертации и называется функциональной нормой оператора 5(f).

Очевидно, что имеет место оценка

KOi^miOll/^, (6)

при этом она является наилучшей в классе оценок вида

1И1*р(0!/1 (7)

в том смысле, что если установлена оценка (7), то необходимо pit) > m(t).

Диссертация посвящена оценке функциональных норм некоторых операторов и, следовательно, получению наиболее точных оценок решений соответствующих задач в смысле порядка их роста на бесконечности в зависимости от свойств оператора A(t) и свободного члена /(f).

Отметим, что исследованиям по этим проблемам, в случае ограниченных операторов Ait), посвящена монография Далецкого Ю.Л и Крейна С.Г. "Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом

^ ДИОНАЛЬНА* 1 БИБЛИОТЕКА {

пространстве", Х.Массера и Х.Шеффера "Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства".

В случае неограниченных операторов в последнее время этому вопросу уделяется большое внимание и воронежскими математиками. Так его изучению посвящена теория стабилизации решения задачи Коши для параболических и гиперболических однородных уравнений воронежских математиков В.Д. Репниковаи A.B. Глушака.

По существу точным оценкам поведения решения уравнения (2) при ?е (~оо,«з) посвящены результаты Б.М. Левитана и В.В. Жикова в монографии "Почти периодические функции и дифференциальные уравнения".

Б.М. Левитан и В.В. Жиков при изучении устойчивости решений уравнения (2) в случае, когда A(t), вообще говоря, неограниченые операторы в F, в предположении (3) ввели понятие корректного и усиленно корректного

оператора L-^--A{t). По Жикову -Левитану оператор

Л

корректным, если имеет место оценка

Ис^.И,

для любых и е е С(£>(_„ .

Ь- усиленно корректный, если для любых

оценка

М. = м.

называется

кеС,

(8)

L е S, выполняется

îlr-lli.»

где S0 - пространства Степанова, определяемые нормой

= sup

14R

fll/Mll'*

(Р* 1).

(9)

(10)

Очевидно, что если эквивалентна оценке

L имеет обратный оператор L'\ то оценка (9)

||

(11)

Однако S2 не является максимально широким пространством, из которого

1Г' ограниченно действует в С|£, „ , так как при выполнении (3) при со <0 справедлива более сильная оценка

1^4^11/1, (12)

Оказывается, что именно 5, является наиболее широким пространством для которого справедливы неравенства типа (9), (11).

В связи с этим операторы I для которых выполняется оценка

Нс^1Ми (13)

для всех и е С(£(_„и)), ы е , где Г наиболее широкое пространство для которого выполняется (13), названы максимально корректными.

По аналогии с этим введем понятие максимальной корректности оператора I для пары пространств Ср(Л) и ^.

Итак, пусть д - одно из множеств R* = [0,®) или R = (-со,®), р(х) > О достаточно гладкая весовая функция, такая, что р'(х) < 0, Ср{Д) - пространство непрерывных и ограниченных с весом р(х) функций , для которых конечна норма.

р «Л

Определение 1. Оператор L будем называть максимально корректным на паре пространств с (Д) и F, если для всех иеСДД), LueF выполняется оценка

IMU^IMU (15)

где F максимально широкое пространство, для которого выполняется (15) при заданном р(х).

Нетрудно видеть, что для B(t) = \^-A(t)j = Л"', задачи определения

функциональной нормы оператора B(t) и максимальной корректности оператора L являются эквивалентными, при этом справедливо равенство

р(х) = —— и, следовательно, эти задачи сводятся к нахождению пространства т(х)

F по известному весу р{х).

Таким образом возникает проблема указания класса пространств в котором определяются пространства F. Для решения этой задачи естественно попытаться рассматривать классы "весовых" пространств, в частности пространств Lp v, определяемых нормами

rl/wr

v(x)

где Д - одно из множеств [0, оо) или (-со,оо), 0 < v(/) - соответствующая весовая функция.

Однако, уже в случае простейшей задачи Коши

и'(0 = /(')> ' е[0,оо) и{ 0) = 0,

которой соответствует оператор

rlf = B(t)f='jf(x)dx, (16)

о

выясняются следующие факты:

Теорема 2.1.1. Если для всех / € X, „[0,ю) выполняется неравенство

J/(x)Ä<m(0||/||lv! (17)

о

где функция m(t) не зависит от / , то не существует функции / е _„ и числа с > 0 таких, чтобы имело место обратное неравенство

с.т(0||/|,,„< ||/(х)|Л. (18)

«Р.'ХЛ! } „fr\ '

Таким образом, не существует функции ] е I, „, на которой достигается функциональная норма оператора B(t) в пространстве I, „ .

В диссертации решается задача о нахождении наиболее широких пространств F в классе пространств SPf>F, обобщающих известные пространства Степанова.

Процесс решения поставленной задачи приводит к необходимости детального изучения этих пространств и, в частности, установлению эквивалентности соответствующих нормировок, которые здесь появляются впервые. Эти результаты, вместе с их приложениями к исследованию решений дифференциальных уравнений, имеют и самостоятельный интерес.

Цель работы. Нахождение максимально широких функциональных пространств начальных данных для которых корректно разрешимы задачи для линейных эволюционных уравнений, рассматриваемых на всей действительной оси, или положительной полуоси, и связанных с этим получением точных оценок поведения соответствующих решений на бесконечности.

Метододика исследования. В диссертации использовались методы теории функций и функционального анализа, методы теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные результеты являются новыми:

1. Введены новые пространства функций spjr £ на полуоси Л* = [0,да) и на оси Я = (-оо.оо) со значениями в банаховом пространстве Е. Получены теоремы об эквивалентных и неэквивалентных нормировках. Показано, что эти пространства принципиально отличаются от классических пространств Lp с весом.

2. Для введенного класса пространств получены неулучшаемые оценки ( в

смысле поведения при t-*cc) функций вида

00

u(t)= \K{t,s)f(s)ds (t б R) ^

в зависимости от свойств функции f(s) и ядра K(t,s).

3. Получены точные ( в смысле поведения на бесконечности) оценки решений эволюционных уравнений в банаховом пространстве с постоянными и переменными коэффициентами, в зависимости от свойств этих коэффициентов и свободного члена.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации содержат некоторую новую методику определения пространств начальных данных, при которых начально-краевые задачи эволюционных уравнений являются корректно-разрешимыми. Они могут быть использованы при исследовании нелинейных уравнений, а также при изучении почти-периодических функций.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж - 2003), на 7-й Крымской Международной

математической школе (MJ1A - 2004), а также на семинарах кафедры математического моделирования ВГУ, на семинаре проф. Репникова В.Д., на семинаре проф. Гольдмана M.JL, Российском университете дружбы народов.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах

Ш-[3].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 21 источник Общий объем диссертации 70 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе вводятся необходимые опретеления и обозначения, связанные с пространствами локально-интегрируемых по Бохнеру функций /(О со значениями в банаховом пространстве № е Д с R = (-со,оо) и соответствующие сведения по теории абстрактных эволюционных уравнений Новые результаты содержатся во второй и третьей главах. В параграфе 2.1. вводятся пространства ^ ^[0,«).

Пусть Ф - класс дважды непрерывно дифференцируемых функций <p(s),s е [О,») таких, что

1.f(0) = 0,2. <p\s) >0,3. </(*)<(), 4.1im$>(i) = °o.

s-*a>

Обозначим через SprE совокупность всех измеримых на [0,t») вектор-функций f{x) со значениями в банаховом пространстве Е, для которых конечна норма

И»

: SUp

V-t-i J

{р>-1).

(19)

В скалярном случае эти пространства впервые рассматривались В.А. Костиным в его кандидатской диссертации (1970 г.)

Отметим некоторые свойства этих пространств, полученые в диссертации.

1. Пространства 5ргЯ - банаховы (лемма 2.2.1)

2. Лемма 2.2.2. Пусть р{х) > 0,х е [0,°о),р'(х) 2 0, тогда норма Степанова

11/11,, = «up

jfl/wr*

(р* О

(20)

: SUp

'е(О.а)

\p{x)\f(t-xfdx

(21)

эквивалентны тогда и только тогда, когда

< да.

о

При тех же условиях нормы (20), (21) эквивалентны норме

= sup

120

dx

(22)

В случае p(x) = e" получаем известный результат Массера-Шеффера об эквивалентности норм

; sup

120

Je'"'1 f(x)\\"dx

(Р&1)

= sup

' <го

\e~\mfdx

Из леммы 2.2.2, также следует эквивалентность норм

р

I =sup le'-'v^iAxfdx f " i2° I /

В §2.3. оцениваются функциональные нормы операторов

I

(Кр(')Ло = '¡е^<°р(х)/(х)^,

о

в пространствах , где И(х) > 0,р(х) > 0 некоторые весовые функции. Обозначим через Фч класс функций й(х) таких, что А"' (х) е Ф . Определение. Будем говорить, что положительные функции /О) и g(x) эквивалентны и обозначать /(х)« g(x) , если существуют константы <3, и такие, что

а18(х)</(х)<С1ё(х)

Теорема 2.3.1, 2.3.2 Если И[<р(,х)] е Ф'1 ,то

(23)

И*„ |/Ilw

Следствие 1. Если h(x) = х,р = 1, то

т1(0 = (р-'(0У

Следствие 2. Если [/¡(i>(*)) - In р(д>{х))} s Ф"1 , то

К<4 _l<p-\tyjpp\t) p{t)h\t)-p'(t)

(24)

m; = sup - ..

W,„ Il/Il,

(25)

Также заметим, что в случае В(0/ = J/M& в пространствах S1?, имеет место

о

равенство m(r) ® <р~' (t +1)

В параграфе 2.4 вводятся и изучаются пространства Spf(R). Пусть Ф-класс функций <р(х),хе(-оо.оо) , удовлетворяющих условиям: <р(х) е С,™ „),<р\х)> 0,р(0) = 0,<р(-х) = Îignx■ i>*(*) < 0,limtp(x) = оо

SPT(R)~ класс векторнозначных функций f(x) со значениями в Е, локально интегрируемых по Бохнеру и для которых конечна норма

Г»>('+|) 1 р

И, ,=SUP fl/WT* (Р^1)- (26)

" L »'cj

Лемма 2.4.1. Пусть р(х) е и такая, что 0 < р(х) < р(0) < »,р'(х) < О,

< »,

о

тогда норма (26) эквивалентна нормам

5* =sup

= sup

S>" I.R

'¡p^^'^lfisfds

(27)

Следствие 2. Если p(x)-e~m ,(a>0) , то норма Степанова Sp(-оо,ос) , эквивалентна норме

= sup

¡e-'^lfisfds

(28)

Теорема 2.4.1 Если И{х) такая, что К-х) = -И(х) и при х > О %>(*)] еФ~', то функциональные нормы операторов

540/= \eHxyhU'> f(x)dx,

(29)

в пространствах ? л эквивалентны, и для них справедливо соотношение

m(t)<

Ио)'

m

Оценка решений дифференциальных уравнений

I. Для t е [0, со) рассмотрим дифферецниальное уравнение

"(t)u'(O - *>(')"(') = АО где a{t) > 0,bit) > 0,а(0 € С'[0,°о),Ь(/) € С"[0,оо).

й(0= Ф-

m^spr h{<p{t)) € ф ' .

В этом случае

B(t)f = -\em-"{x) И

Г aW

m(t)>

ИOÍ

1

КО-а'(О Точность (31) показывается для

Г

до = (1 + 0*.

Отсюда

Теорема 3.1.1. Пусть выполнены условия (31), тогда оператор Ь = в(/)и'(0-Ь(0«(0 максимально корректен в паре пространств СДО.да) и^,, где

ад-я'м

Р(0 =

И«)

(32)

Теорема 3.1.2. Если выполняются условия (30), то оператор

1 = а(1)—+Ь(1) является максимально корректным в паре пространств ш

с„„[0,«) = Ц/):р(0"бС10^,«(0) = о} и ^,/>(0 - определен (32). II. В банаховом пространстве Е рассматривается уравнение МО

di

- + a(t)u(t) = Аи(!) + f{t), (Qüt<oo),

А -генератор С0 - полугруппы U(t) в Е, a{t)>0,f(t)eG[,KlEy Теорема 3.2.2. Если для полугруппы U(t) имеет место оценка

\V{t)\±Mea и a(t) г а , а функция /(г) e SlfE , где

(33)

то ослабленная задача Коши имеет единственное решение и для него выполняется оценка

IKOlNexp

J[a(¿)-4fc |K|| + M||/|¡Si/

(34)

Точность оценки (34) показывается на примере, когда А = —г (х е (-oo,œ) и

dx

D(A) = |ы« е <= С^,

В §2.3. рассматривается дифференциальное уравнение a(t)u'(t) = Au(O + f(OÁtz0)

где /(f)- вектор-функция со значениями в банаховом пространстве Е и непрерывно дифференцируема. А- генератор С„ -полугруппы U(t), для которой выполняется оценка

\U{t%<Me-a (а>>0),

a(t) > 0 - скалярная функция непрерывно дифференцируемая и такая, что а'(0 > -1 и

limx(f) = lim f-^- = »о.

Определение 3.3.1. Ослабленным решением уравнения (35) будем называть функцию u(t) , непрерывную на [0,») , сильно непрерывно дифференцируемую и удовлетворяющую уравнению на [0, да).

Определение 3.3.2. Под ослабленной задачей коши на [0,оо) будем называть задачу о нахождении ослабленного решения (35) и удовлетворяющего начальному условию

«(0) = «о, (36)

где «„ 6 М с Е

Определение 3.3.3. Ослабленная задача Коши (35)-(36) равномерно корректна разрешима на каждом компакте [О, Г] с [0, да) и непрерывно зависит от начальных данных равномерно на каждом компакте [0,7*].

Теорема 3.3.2 Если в уравнении (35) f(t)eSpjf и х[р(г)]еФ"', то ослабленная задача Коши (35)-(36) равномерно корректная, и для ее решения имеет место оценка

г

Hol**"

(37)

Публикации по теме диссертации

1. Абунавас М.Х. О точной оценке поведения решений эволюционных уравнений на полуоси / Абунавас М.Х.// Сборник трудов молодых ученых.- Воронеж, 2003.- С. 1-12.

2. Абунавас М.Х. Поведение на бесконечности решения задачи Коши для дифференциального уравнения с вырождением / Абунавас М.Х.// ВЗМШ-2003. Материалы конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы»,- Воронеж, 2003.- С.5-6.

3. Абунавас М.Х. О неулучшаемых оценках решений дифференциальных уравнений / Абунавас М.Х., Костин В.А.// Седьмая Крымская Международная математическая школа, МФЛ-2004, тезисы докл., Симферополь.- С.6.

Заказ № 607 от 29 09 2004 г Тираж 100 экз Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

»186 1«

РНБ Русский фонд

2005-4 12710

Введение

Глава I. Задача Коши для абстрактных диференциальных 12 уравнений первого порядка

§1.1 Вектор-функции и некоторые их свойства

§ 1.2 Оператор-функции и полугруппы

§1.3 Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка

Глава II. Пространства Степанова со специальным введенным весом

§2.1 О невозможности одного неравенства в пространствах у

§2.2 Пространства Яр^

§2.3 Функциональная норма интегрального оператора и ее оценка

§2.4 Пространства 8рч>{В})

Глава III. Оценка решений дифференциальных уравнений

§3.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения

§3.2 Уравнение в банаховом пространстве

§3.3 Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве с вырождением

§3.4 Волновое уравнение

Часто решения эволюцинных уравнений записываются в виде u(t) = B(t)f, (1) где /- элемент некоторого банахова пространства F с нормой ||*||f> B(t)-семейство линейных ограниченных при каждом t G [0, оо) операторов действующих из F в некоторое банахово пространство U.

Представление (1) используется при исследовании различных свойств решений соответствующих задач. Например, при изучении поведения решения задачи Коши при t —> оо для абстрактного дифференциального уравнения вида = +/(«), (2) «(0) = 0, (3) где А- генератор Со- полугруппы U(t) действующей в банаховом пространстве Е, f(t)~ векторнозначная функция со значениями в Е.

Как известно (см. [2]), в этом случае решение задачи (2)-(3) имеет вид u(t) = ^U(t-s)f(s)ds = B(t)f. (4)

Так как оценку поведения решения u(t) при t —У оо желательно получить наиболее точную, то здесь важной характеристикой оператора B(t) является функция

B(t)f\\u m{t) = sup е*1 \\JWF / которая вводится в настоящей диссертации и называется функциональной нормой оператора В(Ь).

Очевидно, что имеет место оценка т(4)||/||р,

5) при этом она является наилучшей в классе оценок вида нти < Ртпг,

6) в том смысле, что если установлена оценка (6), то необходимо р(£) > т(Ь).

В диссертации изучается вопрос о поведении решений уравнения вида (1) при £ —» оо в случае когда А является производящим оператором Со полугруппы. Как известно, уже для ограниченных операторов А, когда, по выражению С.Г. Крейна (см. [1], стр. 274) ". вопросы существования и единственности решения задачи Коши, непрерывной зависимости его от начальных данных всегда решались положительно и поэтому основное внимание уделялось поведению решений при £ —> оо, то для неограниченного оператора эти вопросы становятся центральными". Поэтому в последние десятилетия этому вопросу уделяется большое внимание.

В частности, его изучению посвящена теория стабилизации решения задачи Коши для параболических и гиперболических однородных (/(¿) = 0) уравнений [14]—[16], где результаты формулируются в терминах начальных данных Коши.

В диссертации исследуется вопрос о поведении решений уравнения (2) в зависимости от свободного члена /(£).

С этой целью здесь изучается вопрос о нахождении явного вида функ

•« циональных норм некоторых интегральных операторов вида roo

B(t)u= K(t,s)u(s)ds, (7) j о в специальных весовых пространствах Степанова SP)<Piе определяемых нормой imiw= suP [JT^H'WeMÍ. № i6[0,oo) где p > 1, (p(t)~ достаточно гладкая положительная при t > О, фунция, такая, что <р(0) = О, cp'(t) > 0, ip"{t) < 0.

Очевидно, что классические пространства Степанова определяемые нормой (см. [1],[2]) u\\sp=sup[ft+1\u(s)\4s}K (9) teR Jt являются частным случаем пространств SPiíP:e ПРИ = t, Е = R1.

Одним из основных отличий классических Sp- пространств Степанова от Lp- пространств с нормой

NUP = [ £°Н»)Г<ь$- (ю) является то, что Sp- пространства содержат ограниченные на всей действительной оси или полуоси функции в отличие от пространств Lp.

Желание включить ограниченные, а также растущие при t —> оо функции в пространстве типа Lp приводит к введению весовых пространств LPtV [0, оо) с нормой р>ц. а« где v(s)~ некоторые весовые функции.

В тоже время, очевидно, что пространства Spjtp при соответствующем выборе функции <p(t), могут содержать любую, как угодно быстро растущую на бесконечности функцию u(t). Например, если u(s) > 0 и lim^oo u(t) = оо, то достаточно взять <p{t) = F~l{t), где F(t) = Jg u(s)ds.

Таким образом, с точки зрения включения неограниченных при t —»■ оо функций пространства SPjIP и являются похожими, однако между ними оказывается есть одно существенное различие ( и это показывается в диссертации) заключающееся в том, что точные оценки поведения решения задачи Коши, для уравнений рассматриваемых в диссертации, в принципе не возможны для LPjv- пространств, в то время как для Spjip-пространств они имеют место и здесь получены.

Например, уже для простейшей задчи Коши u'(t) = f(t),- t G [0, оо) (12) u(0) = 0, (13) для / 6 не существует точной оценки роста решения на бесконечности в том смысле, что если есть оценка вида

H*)l<p(f) ||/lk,, . (14) где p{t)~ функция не зависящая от f{t), то не существует функции / € LiiU и числа с > 0, чтобы имело место обратное неравенство ер(*)||/1к,< Ht)\.

В тоже время в случае пространств Si}(p это не так, в силу того, что при <р(п) <t< ip(n + 1) имеем f{s)ds = <p~l(t + 1)

16)

Следовательно оценка (15) не улучшаема.

В этом случае функциональная норма т(£) оператора В(¿)/ = /д f(s)ds действующего из в С[о,оо) равна т{Ь) — + 1).

Диссертация состоит из трех глав и десяти параграфов.

Первая глава содержит факты изложенные в монографиях С.Г. Крей-на, Хилле, Филлипса, Иосиды и др. (см [1]—[3]), необходимые в дальнейшем для постановки и решения задач рассматриваемых в диссертации.

Самостоятельные, новые результаты содержатся во второй и третьей главах.

Вторая глава посвящена изучению векторнозначных функций /(£) со значениями в некотором пространстве Е для которых конечны нормы: а) в случае Ь Е = [0, оо) где функция <p(t), такая, что <p(t) G С^0 оо), у>(0) = 0, <p'(t) > О, <p"(t) < О, lim^oo <p(t) = оо' б) в случае Е R = (—оо, оо)

17) где <р(Ь) где функция </?(£), такая, что </?(£) е СЦ^, <р(0) = 0, > О, <р(—Ь) = — вгдть< 0, Ии^-х» = оо

Так введенные весовые пространства Степанова, в зависимости от веса <р{Ь) могут содержать функции /(¿) произвольного роста на ±оо. В этом случае они похожи на фукнции Ьр%„ с весом V (х).

В тоже время здесь доказывается принципиальная разница Бр^ и (см. теорему 2.1.1 и теорему 2.3.1).

В главе II также доказываются эквивалентные (17) и (18) нормировки, которые помимо различных приложений имеют и самостоятельный интерес.

Так в качестве следствия 2.2.1 из леммы 2.2.3 получен результат принадлежащий X. Массера и Х.Шефферу и приведенный в [10].

Результаты полученные во второй главе применяются в третьей главе к точным оценкам решений дифференциальных уравнений, в следующем направлении.

Как известно пространства были введены Степановым В.В. при изучении почти-периодических функций на всей действительной оси К

В дальнейшем эти пространства были использованы X. Массера, X. Шеффером, М.Г. Крейном, Ю.Л. Далецким, Е.А. Барбашиным и др. при изучении устойчивости решений эволюционного уравнения

М = + /(*), (19) где А(Ь)~ линейный и ограниченный, при каждом ¿ЕЛ, в некотором банаховом пространстве Е оператор.

Б.М. Левитан и В.В. Жиков (см. [9]) применили 5р- пространства при изучении устойчивости решения уравнения (19) в случае когда А{€), вообще говоря, неограниченный оператор в Е, в предположении, что разрешающие операторы [/(¿, в), (£ > в) сильно непрерывны по в 6 й и удовлетворяют оценке

М)|| <Меш^ Ц>з) (20)

При этом были введены понятия корректного и усиленно корректного оператора Ь = ^ — А.

По Жикову-Левитану оператор Ь называется корректным, если справедлива оценка для любых и, Ьи € С^-оо^я]

М|с < М^ЬиЦс, (21) где С- пространство непрерывных и ограниченных функций и(х) с нормой

Н|с = 8ир||и(а:)||я. (22) хев.

И оператор Ь- усиленно корректный, если для любых и £ С, Ьи Е ¿>2 выполняется оценка

Ыс е М2\\Ьи\\з2. (23)

Очевидно, что когда Ь имеет обратный оператор Ь~1, то оценка (23) эквивалентна оценке

Ь-Ч\\с < М2\\Пз2. (24)

Однако 52 не является максимально широким пространством из которого оператор Ь~1 ограниченно действует в С, так как при выполнении (20) в случае ш < 0, справедлива более сильная оценка

7||с<М3||/||51. (25)

Оказывается, что именно Si является максимально широким пространством для которого справедливы неравенства типа (24), (25). В связи с этим операторы L для которых выполняется оценка ti||<7 < M4\\LU\\F, (26) для всех и е С, Lu е F, где F наиболее широкое пространство при котором выполняется (26) названы в [18] максимально корректным.

Пусть А- одно из множеств R+ = [0, оо) или R= (—оо, оо), р(х) > 0-достаточно гладкая весовая функция.

Обозначим через СР(А, Е) пространство непрерывных и ограниченных с весом р(х) функций для которых конечна норма

Нс^вирЦр^К^Нв. (27) х€А

По аналогии с определением максимальной корректности оператора L, дадим

Определение 1. Оператор L будем называть максимально корректным на паре пространсвт СР(А,Е) и F, если для всех и Е СР(А,Е)Г Lu Е F выполняется оценка

Не, < M5\\Lu\\f. (28)

Нетрудно видеть, что для B(t) = (^ — Л(£))-1 = L~l задачи определения функциональной нормы оператора B{t) и максимальной корректности оператора L являются" эквивалентными, при этом имеем равенство р(х) = ^у и, следовательно, эти задачи сводятся к нахождению веса р(х) по пространству F.

Таким образом возникает проблема указания класса пространств в котором определяется пространство Р.

Естественно, что это должны быть м весовые"прострнсвта. В диссертации показано, что решают эту проблему не пространства ЬР}1/, а Бр^- пространства.

1. Функциональный анализ (под редакцией С.Г. Крейна). М.: "Наука", 1972, 544 с.

2. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: "Наука", 1967, 464 с.

3. Красносельский М.А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М.: "Наука, 1966, 499 с.

4. Хилле Э., Филлипс Р. Фунциональный анализ и полугруппы. М.: Издательство иностанной литературы, 1962, 829 с.

5. Люстерник A.A., Соболев В.И. Элементыфункционального анализа. М.:"Наука", 1965, 517 с.

6. Иосида К. Функциональный анализ, М.: "Мир", 1967, 624 с.

7. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве М.: "Наука", 1970, 534 с.

8. Левитан Б.М. Почти- периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Гостехиздат, 1953, 396 с.

9. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. Издательство МГУ, 1978, 204 с.

10. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения, М.: "Мир", 1970, 456 с.

11. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматгиз, 1962, т.2, 807 с.

12. Костин В.А. Пространства ЬРЛ и эволюционные уравнения в банаховом пространстве.// Дифференциальные уравнения. N8, 1969, с. 161568

13. Костин В.А. Неравенства для норм производных в пространствах LPiy// мат. заметки, т. 6, N4, 1969, с. 472-473.

14. Репников В.Д. Нкоторые теоремы о стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений, ДАН СССР, 1963, т. 157, N3, с. 527-530.

15. Репников В.Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений. ДАН СССР, 1964, т. 157, N3, с. 532-535.

16. Глушак A.B., Репников В.Д. О стабилизации решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве. ДАН , 1992, т. 326, N2, с. 224-226.

17. Полянский А.Д., Вязьмин A.B., Журов А.И., Казенин Д.А. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса. М.: Факториал, 1938, 367 с.

18. Костин A.B. Обобщенные пространства Степанова и дробные интегралы Бесселя: автореф. дис. канд. ф.-м. наук/ A.B. Костин.- Воронеж, 2002.- 19 с. канд. дисс., Воронеж 2002

19. Абунавас М.Х. О точной оценке поведения решений эволюционных уравнений на полуоси. Сборник трудов молодых ученых, Воронеж, Вор-ГУ, 2003, с. 1-12.

20. Абунавас М.Х. Поведение на бесконечности решения задачи Коши для дифференциального уравнения с вырождением. ВЗМШ-2003, материалы конференции современные методы теории функций и смежные проблемы, Воронеж 2003, стр. 5-6.

21. Абунавас М.Х., Костин В.А. О неулучшаемых оценках решений дифференциальных уравнений. Седьмая Крымская Международная математическая Школа. МФЛ-2004, тез. док., Симферополь с. 8