Весовые пространства, операторы и начально-краевые задачи при слабом вырождении весовой функции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГВ од

2 2 МАЗ ЮПп

На правах рукописи

ТКАЧЕВА СВЕТЛАНА АНАТОЛЬЕВНА

ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА, ОПЕРАТОРЫ И НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗДЦАЧИ ПРИ СЛАБОМ ШРОЗ;!ДШШ ВЕСОВОЙ ШЩЖ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 1995

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук профессор Глушко В.П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук профессор Э^цельмая С.Д,

доктор физико-математических наук профессор Киприянов И.А.

Ведущая организация: Московский институт электроники

и математики

Защита состоится " 13 " июня_1995 г. в 15.20 _

на заседании диссертационного совета К 063.48.09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу: 394593, Воронеж, Университетская пл., I, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " / / " 1995г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 063.48.0?

В.Г.Задорожний

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность теш. Основы теории разрешимости задач для вырождающихся дифференциальных уравнений и систем были заложены в фундаментальных работах М. В. Келдыша, Ф. Трико ми, С.Г.Михлина, А.В.Бицадзе, О.А.Олейник, Т.В.Вентцель. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах А.М.Ильина, А.С.Калашникова, О.А.Олейник, М.И.Вишика, В.В.Грушша, В.П.Глушко. Подробная библиография работ указанного цикла имеется в обзорах О.А.Олейник и Е.В.Радке-вича, В.П.Глушко и Ю.Б.Савченко, в монографиях М.М.Смирнова, С.А.Терсенова.

При изучении вырождающихся уравнений потребовалось ввести специальные классы пространств функций с весовыми производными. Различные свойства весовых пространств функций теоремы вложения, теоремы о следах и др. устанавливались в работах Л.Д.Кудрявцева, Л.Н.Слободецкого, С.В.Успенского, И.А.КиприяноЕа, И.А.Кшхриянова и Б.М.Богачева, Анузе, Т.Волша, А.Куфнера, А.С.Фохта.

Весовые пространства типа Соболева-Слободецкого-Аронштайна при р>-2 рассматривались В.П.Глушко и С.Я.Львиным, В.П.Глушко и М.И.Богатовым. Случай произвольного р > 1 изучался в работах П.И.Лизоркина, М.Отелбаева, В.П.Гдушко. Весовые пространства основных и обобщенных функций были введены В.П.Глушко.

Интерес к изучению эволюционных уравнений, содержащих дифференциальный оператор, вырождающийся по пространственным переменным, возрос после того, как было установлено, что они описывают неко-рые диффузионные процессы. Среди работ этого направления укажем работу Брезиса, Розенкранца и Зингера. В настоящее время интенсивно развивается исследование начальных и начально-краевых задач для нерегулярных параболических уравнений. Отметим здесь работы А.С.Калашникова, М.И.Матийчуяа, С.Д.Зйделъмана и АЛ.Мцлицкой,

С.Д.Ивасшена и Л.Н.Андросовой, В.В.Городецкого, И.В.Жятарюка и В.П.Лавренчука, Б.В.Базалия и Е.П.Дегтярева.

В диссертационной работе исследуются начально-краевая задача и задача Кош для нерегулярного уравнения теплопроводности при слабом вырождении по пространственной переменной, а также функцио' нальные пространства, связанные с этими задачами. Введены и изучены весовые пространства основных и обобщенных функций, весовые пространства типа Соболева-Слободецкого, построенные как на основ! пространств р , р>1 , так и на основе пространств Гельдера. Изучены эквивалентные нормы в этих пространствах.

Эти исследования, связанные с обобщением и развитием результатов ВД.Глушко, позволяют установить точные в смысле принадлежности пространству условия разрешимости начально-краевой задачи и задачи Коши.

Цель работы. Построение и исследование весовых пространств основных и обобщенных функций при слабом вырождении весовой функции. Введение весовых пространств на основе пространств Гельдера Б

С и на основе пространств Соболева-Слободецкого . Изучение эквивалентных норм в этих пространствах. Исследование разрешимости начально-1фаевой задачи для нерегулярного уравнения теплопроводности в весовых пространствах Гельдера и Соболева-Слободецкого, Исследование разрешимости задачи Коши для нерегулярного уравнения теплопроводности в весовых пространствах Гельдера. Доказательство гладкости решений начальных и начально-краевых задач для нерегулярного уравнения теплопроводности в терминах пространств Гельдера и Соболева-Слободецкого.

Методика исследования. В работе используются методы теории обобщенных функций, функционального анализа и уравнений в частных производных, теории пространств типа Соболева-Слободецкого. При построении весовых пространств и доказательстве эквивалентности

норы были использованы методы, развитые В.П.Глушко для случая "сильного" выродцения весовой функции. При оценках тепловых потенциалов была использована методика, изложенная в известной монографии О.А.Ладыженской, В.А.Солонникова, Н.Н.Уральцевой.3^

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Наиболее важные из них:

- построены и исследованы пространства основных и обобщенных функций в случае слабого вырождения весовой функции, изучен ряд непрерывных операций в этих пространствах;

- введены новые классы весовых пространств типа Гельдера и Соболева-Слободецкого;

- доказаны новые теоремы о гомеоморфизмах весовых преобразований в пространствах Гельдера и.Соболева-Слободецкого и на этой основе новые теоремы об эквивалентных нормах в весовых пространствах; '

- доказаны теоремы существования и единственности, а также

о гладкости решений начально-краевых задач и задачи Коши для нерегулярного уравнения теплопроводности в терминах пространств Гельдера и Соболева-Слободецкого.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут найти применение в общей теории уравнений в частных производных, а также при исследовании конкретных задач для дифференциальных уравнений с существенно переменными коэффициентами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ХУ

я) О.А.Ладыженская, В.А.Солонников, Н.Н.Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.: Наука, 1967. - 736 с.

Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах в г.Ульяновске (1390 г.), на Воронежских зимних математических школах (1991, 1993, 1994 гг), на Воронежской научной конференции "Поитрягинские чтения-1У" (1993 г), на международной конференции а г. Севастополе (1993 г), на семинарах проф. ВЛ.Глушко в Воронежском госуниверситете.

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1-9]. Из совместных работ с В.П.Глушхо в диссертацию вошли результаты, полученные лично автором.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 125 страниц машинописного текста и состоит из введения, четырех глав и списка литературы, включающего 59 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертационной работы введены весовые пространства основных и обобщенных функций, заданных на R

В качестве весовой функции d, (-=с.) используется поло-

жительная и бесконечно дифференцируемая всюду в R функция, за исключением, возможно, точки х^ 0 , удовлетворяющая следующим

условиям л/

\

аср) > '

ЛА^О ©и^эс) < во /^>0 (2)

С помощью весовой функции <¿00 построим операторы <3-^ и От" , \ р ^ схз , определенные на гладких функциях лл ,

■хе К и ) . е ^ по формулам

где

Ос.

■эс-^^) - функция, обратная функции

Через S^^CR) , обозначается весовое прост-

ранство функций u С3^) , 'х е R , представимых в виде —

• где Vl,"^) принадлежит пространству основных функций Л.Шварца S (R ) .

В S^p непрерывны операции весового дифференцирования

С-р""*7"^ ~ О ; весового преобразования Фурье р= Р р ( F - преобразование Фурье на S ), операция умножения на функции о.{-х.) 6 , такие, что, принадлежит С (.R ) , а любые производные аЛцЛу)) растут на бесконечности не быстрее полиномов по .В работе приводятся примеры функций а Сое) , принадлежащих . Следующая лемма

позволяет устанавливать вложение S^ ^ в S^ ^ • ^

Л е м м а I. Пусть р «с с|< . Если функция принадлежит классу , где , то S^qC

р 1 I г

Множество линейных непрерывных функционалов над пространством

С, /d^p^oo) называется весовым пространством обобщен-Ы,Р ^р Р' , ' _

ных функций S^p . Указанные вше непрерывные операции в S^ р

естественным образом распространяются на S^ р .

Во второй главе работы изучается начально-краевая задача на

полуоси

плг!

1-ЭС;= + С1 1 "t — + О

в том случае, когда переменный коэффициент (весовая функция) поло-

жительна при осе ; существует О и ыО*-) может

стремиться к бесконечности при -х.. Корректная постановка начально-краевой задачи для рассматриваемого уравнения зависит от интегрируемости функции ^ в нуле и на бесконечности. В работе рассматривается случай так называемого слабого вырождения, когда

.0 \ =чр)

V

• Гладкость реиения задачи (4) устанавливается в терминах пространств Гельдера С (о < 5 < 1) и пространств Соболвва-Слободец-кого Мр ( 0< Ь< 4 ). При этом основнш моментом

доказательства является в случае пространств Гельдера оценка функционала

<го~> = -5- ? (6)

а в случае пространств Соболева-Слободецкого функционала

Í7)

Sin.

Изучение задачи (4) основывается на сведении нерегулярной задачи (4) к регулярной и последующем введении эквивалентных норы, что позволяет и в нерегулярном случае сформулировать критерии гладкости решения в терминах функционалов (6) или (7).

В том случае, когда изучение задачи (4) предполагается провести в терминах функционала (6), целесообразно задачу (4) преобразовать к виду

tí.^ -и. (.-зс.Чг) - 0 „ гИ -^вС*),

-г-»* Л 5 \-Ь= + 0

^ • Применив в (8) оператор =

= Ы (функции и обратная ей •х.-Н'С^)

введены выше), задачу (8) сводим к регулярной задаче для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. Оценка решения полученной регулярной задачи вытекает из оценок тепловых потенциалов, например, в известной монографии 0.А.Ладыженской, В.А.Солон-никова, Н.Н.Уральцевой (см. ссылку на стр. 5).

Для того чтобы вернуться к решению исходной задачи (4), потребовалось установить следующую георему об эквивалентности норм.

Через

будем обозначать пространство Гельдера

может быть введена по формуле - ЛдлрЦ ч^М -V- ,

чгёсЧсГ) (см. (6)). ^

Наряду с пространством С введем весовое пространство

Гельдера С^ : функция иС^) , те £ принадлежит С^С^ )

в том и только том случае, когда функция ^и] принадле-

жит сЧа*).

Теорема I. Пусть 0 < В < 1 , сЦ^) принадлежит С ; о1(^с)>0 при -5с> 0 : выполнены условия (5); су-

ществуют постоянные СА > О , 0 , С3> 0 и (о, -1) такие, что при всех хек и 1<т| ^

С ^ < р /о\

\ оц^) '

о

\4 . ^ с . (10)

1\!

1 ,

о о^-хО\-<5>0) Г

^ . (И)

"b Г ~ + >

Функция \л. {."х.^ принадлежит пространству С^ в том и

только в том случае, когда конечна норма

¡-uJ = МЛ-Х.>\ + ^ ^ ,

8 tee ь

причем справедливы неравенства

с постоянной 0 , не зависящей от и.

Таким образом, в условиях теоремы I преобразование о яв-° S

ляется гомеоморфизмом С на себя. Для того чтобы сфорэдулирова! теорему разрешимости задачи (4) в пространствах Гельдера, обозначим через C^tR^xto.T))

пространство функций иГСхД) 1Д:)е [от^ имеющих непрерывные производные о^ (^У^^^ го" при 06]^-к & * Со.Т)

принадлежащие при каждом [о,Т) , для которых ко-

нечна норма

ми, + -цц л^о^ |

0 21 8

Через Сл' будем обозначать множество функций

(Д^х (°ГП) , удовлетворяющих дополнительным условиям

Аналогично определяются пространства СК. ) и С^ (Я )

С нормой __8 1к,

Теорема 2. Пусть 6=0,1,.. , ,<х8<;1; и удовлетворяет условиям (5),(9)-(П); ^•хЛ) принадлежит

принадлежит (рЛ) . Тогда су-

ществует единственное решение задачи (4) такое, что

Г^^А-ге и выполняет-

ся оценка

Переходя к рассмотрению задачи (4) в / (й,"\< (о,т)) запишем её

в виде

и СхД) ^ 0 , 1 - и, С*.")

где

и^х^/ху^сх); -т) =ы (яО^—- (см, выше). После применения в (13)

оператора , задача (13) сводится к регулярной задаче для

уравнения теплопроводности. Используя методику уже процитированной на стр.5 монографии, регулярная задача изучается в пространстве Соболева-Слободецкого ^р ( ^¿р^во > норма в

котором может быть введена по формуле ^'И^э^-*-)" ^ +

-у<ЗСи->> , где функционал V определен в (7) при

2.= К и о ^ . Замыкание множества бесконечно дифферен-

цируемых и финитных в функций по норме (1* Пи/5, + * обознача-

0 С /• ц- Ч 1 **р )

ется \/Ур ) . Как известно, при ^ — в качестве нормы в \А/р (Д*) можно взять норму

Наряду с пространством УУр вводится весовое пространство

; в которое входят все функции 1Л(х) , пред-

" 1 С

ставимые в виде гц-эс.)= (з^р^М^)] , где Мр (Д.*).

Теорема 3. Пусть О < & < 1 , 4 р < , ^ ^ ^ ( функция оЧ^О удовлетворяет условиям теоремы I. Тогда функция ги*зс.) принадлежит ) в том и только в том случае, ког

да конечна норма

При атом справедливы неравенства

С"1 <<■*■>> <£ II и. £ С «

Наряду с (йЛ) вводится пространство функций -игСхД)

где =

(.

£ (_о ¡т) , имеющих обобщенные производные ^ при Ог^ + к^ I , в Я^Х [<\Т") , принадлежащие ^/^р при

почти всех ^е^т) и для которых конечна норма

, ч\т х= I ^

% ' (а**о»т)1 о «бу*^Р

* zi

Через

обозначается подпространство Ч^рЧ^* 1° ГО) ' состоящее из функций удовлетворяющих условиям (12) для , О^ <Т , где

г <5"

Аналогично определяется пространство с нормой

са+г{ 1= »

где ({б"}) - целая (дробная) часть числа <5"

Через будем обозначать подпространство функщ

<г .

*иГ0Сх)€ ) , удовлетворяющих условиям

0 $ Уп < с—

Р

Теорема 4. Пусть 1, ^ < ,£=о,1,,..;

функция ^(-х) е С С^"), удовлетворяет условиям теоремы Л.

Тогда существует единственное решение го-(?сЛ) задачи (4), такое

ЧТО ^е^Ч^хКт)) . выпол-

няется оценка

11'•

В главе 3 рассматривается начально-краевая задача на полуоси при неоднородном граничном условии

ТПС1 ^ ' ' > ' '

^ ^"Х.

(16)

Основную роль здесь играет следующее утверждение относительно преобразования Сг^ : ^-(^^(угц-х)] = , где функция

определена на стр.7. Утверждение. Пусть о^ 8 1 , о(.(^с) удовлетворяет условиям (5) ,(9)-(П), Функция гг^,^) при каждом имеет предел т, "^(.т^-^сН) . Функционал<гг(• конечен

(при каадом А:е[о,+) ) в том и только в том случае, когда конечен функционал , V» , где = Ы* ЛЬ/^] ,

причем

где постоянная С.>0 не зависит от \ге СБСС$+-) С помощью утверадения доказывается

21+1

Теорема 5. Пусть о, 1,..1; ^(-х^еС.

0 Р 4- 5/2

удовлетворяет условиям (5), (9)-(П); С (о,т) .Тог

существует решение олг^Д:) задачи (16) такое, что С^1'Ъмо(т)), причем

Аналогичные результаты для задачи (16) получены в п.З главы в пространствах Соболева-Слободециого.

В главе 4 исследуется вопрос о существовании и гладкости ре шения задачи Коши для нерегулярного уравнения теплопроводности

^-аС^ОЦ^Ы^), (17

где весовая функция сЦ^в с/ (Р М о1!) положительна при

*

, причем функция удовлетворяет условиям (I).

Исследование задачи (17) в ) опирается на известные

результаты (см. ссылку на стр. 5) по регулярной задаче Коши и теорему об эквивалентности норм, аналогичную теореме I. Теорема 6. Пусть о < 1 ; функция е<.Сзс.)е

СЧЙЛО

удовлетворяет условиям (I) и при всех -хкг- и 1с|<<Га удоз

с

летворяет (9)-(II). Функция ^С^1) принадлежит С. (К. ) тогда и только тогда, когда функция сЛ"=0 г^ (тс) , где члга (,-х) =

— ^ о 8

= (у ] , принадлежит С ) , т.е. когда конечен

функционал < Ы5'> и и^ сЛ*. ) "Ч, сх) = 0.

о "Х-* о

Для того, чтобы сформулировать теорему существования решена задачи (17), как и в главе 2, строятся пространства С ^ (Я *(°ГО ( О, 1, ... , В , 0<Т<<=« ) функций г«г(-=сЛ) с нормой

_ ге, Г. л , , Множество функций из С ^ (КХСо.т)) , удовлетворяющих

I ^vJ-i га-условиям а*г 1 —— =. .. -- _ q будем обозначать

07 (R^O.T)),

Аналогично определяется пространство С ^ ) функций , -x e R с нормой

^-oc oiUk

Справедлива

Теорема 7. Пусть t = o, i,... ? О с S * 1 ; функция

оЦ^) € С (Rno) и удовлетворяет условиям теоремы 6;

JC^eC^'Wco.T)), Л)До.) ^c^'^U ) . Тогда

;уществует единственное решение задачи (17), принадлежащее С Л ' (U. х и удовлетворяющее оценке

atis + Holl

Автор глубоко благодарен научному руководителю профессору ¡.П.Глушко за постановку задач и постоянную помощь в работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Глушко В.П., Ткачева С.А. Весовые пространства основных и обоб ¡ценных функций со слабым выровдением // ХУ Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Сб. науч.тр.

- Ульяновск, 1990. - С.67.

2. Глушко В.П., Ткачева С.А. Весовые пространства и операторы при слабом вырождении весовой функции // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. - Новосибирск, 1990. - С.70-82.

3. Глушко В.П., Ткачева С.А. Непрерывные операции в весовых пространствах обобщенных функций при слабом вырождении // Ворс неж. гос.ун-т. - Воронеж, 1990. - 29 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.12. 90, № 638-В90.

4. Ткачева С.А. Оператор теплопроводности при слабом вырождении по пространственной переменной // Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1992. - 42 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.01.92, № I93-B92.

5. Ткачева С.А. О разрешимости уравнения теплопроводности с негладким и выроздающимся коэффициентом теплопередачи // Математический анализ и дифференциальные уравнения. - Новосибирск, 1992. - C.6-II.

6. Ткачева С.А. Об интегральной оценке решений уравнения тешгапрс водности с вырождением // Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании: Тез.докл.школы. -Воронеж, 1993. - С.129.

7. Ткачева С.А. Оценка в / р на полуоси решений некоторых дифференциальных уравнений со слабым вырождением // Весенняя Воронежская математическая школа "Понтрягикские чтения - 1У": Тез. докл., 3-8 мая 1993. - С. 185.

8. Ткачева С.А. Оценки в весовых пространствах Соболева решений уравнения теплопроводности с вырождением // ХХУ1 Воронежская зимняя математическая школа: Сб.науч.трудов. - Воронеж, 1994.

- С. 91.

9. Глушко В.П., Ткачева С.А. Об уравнении теплопроводности с существенно переменным коэффициентом // Докл. АН РФ. - Т. 335,19 * 6. - С. 684-—

Заказ 164 от 6'»5..95 г. Тир. 100 экз. Формат 60 X 90 1Дб. Объем I п.л. Офсетная лаборатория В1У.