Разрешимость некоторых классов вырождающихся дифференциальных уравнений и их спектральные характеристики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I Начально-краевая задача для вырождающегося параболического уравнения.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Преобразование (}а р. Изоморфизм преобразования Са р.

Весовая производная.

1.3. Основные функциональные пространства, используемые в главе!.

1.4. Редукция задачи. Теорема разрешимости.

Глава II Эллиптическая задача с вырождением в полуцилиндре

2.1 Основные предположения. Постановка задачи.

2.2 Сведение канонической задачи к интегральному уравнению.

2.3 Построение решения в окрестности внутренней точки области D при а - О.

2.4 Построение решения в окрестности граничной точки области О при и = 0.

2.5 Разрешимость задачи (2.1)-(2.2) в О х (0,оо).

2.6 Спектральные свойства оператора, порождённого задачей (1.1)-(1.2) в £>х (0,оо).

Актуальность темы. Основы теории разрешимости для вырождающихся дифференциальных уравнений были заложены в фундаментальных работах М.В.Келдыша [37], Ф.Трикоми [75], С.Г.Михлина [58], А.Б.Бицадзе [7], О.А.Олейник, Т.В.Вентцель [65]. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах А.М.Ильина,

A.С.Калашникова, О.А.Олейник [32] М.И.Вишика, В.В.Грушина [9],

B.П.Глушко [12]—[19], Дж. Дж. Кона и Ниренберга [41], [42]. Подробная библиография работ указанного цикла имеется в обзорах О.А.Олейник [64], Е.В.Радкевич [66], В.П.Глушко [19], в монографиях М.М.Смирнова [70], С.А.Терсенова [72].

При изучении вырождающихся уравнений потребовалось ввести специальные классы пространств функций с весовыми производными. Различные свойства весовых пространств функций, теоремы вложения и др. устанавливались в работах Л.Д.Кудрявцева [44], Л.Н.Слободецкого[69],

C.B. Успенского [76], И.А. Киприянова [39], H.A. Киприянова и Б.М.Богачёва [40], А. Куфнера [45], [46], A.C. Фохта [77]. Весовые пространства типа Соболева-Слободецкого при р = 2 рассматривались В.П.Глушко и С.Я. Львиным [24], В.П. Глушко и М.И. Богатовым [22], В.П. Глушко и М.С. Бичегкуевым [5], [6]. Случай произвольного р>\ изучался в работах П.И. Лизоркина , М. Отелбаева [49], В.П. Глушко [20].

Интерес к изучению спектральных свойств вырождающихся дифференциальных операторов в настоящее время высок. Однако они мало изучены, особенно в несамосопряжённом случае. Основным препятствием здесь является то обстоятельство, что резольвента соответствующей вырождающейся задачи, даже в тех случаях, когда она существует, не является, вообще говоря, вполне непрерывным оператором. Вместе с тем, в некоторых ситуациях возможно гарантировать полную непрерывность резольвенты в стандартных пространствах Lp,C и других.

Один из таких случаев был изучен в работе В. П. Глушко и Хоанг Хиен Шиня [29].

Фундаментальную роль в этом направлении играет теория несамосопряжённых дифференциальных операторов с дискретным спектром, созданная академиком М. В. Келдышем [38]. Им впервые изучены признаки полноты системы корневых векторов несамосопряжённого оператора в абстрактном гильбертовом пространстве. Работа Келдыша и последовавшая за ней работа В. Б. Лидского [48] послужили отправным моментом для многих исследований по спектральной теории и для широкого класса несамосопряжённых операторов с дискретным спектром (в частности, для дифференциальных операторов, как обыкновенных, так и в частных производных).

Для общей эллиптической задачи С. Агмоном [1] был получен ряд теорем о полноте системы корневых функций в некоторых функциональных пространствах, а также установлены оценки числа собственных значений и ядер интегральных операторов, порождённых рассматриваемой эллиптической задачей. Среди работ, в которых изучались спектральные свойства вырождающихся эллиптических операторов, укажем работы С. Г. Михлина [59], А. И. Ачильдиева [4], Г. В. Розенблюма [68], И. Л. Вулиса, М.З.Соломяка [11] и других.

Настоящая диссертационная работа посвящена доказательству коэрцитивных априорных оценок и теорем разрешимости общих граничных задач для вырождающихся дифференциальных уравнений и представляет собой развитие того направления, которое было начато в работах В.П.Глушко [12]-[24], [29].

Работа состоит из двух частей. В первой исследуется разрешимость начально-краевой задачи для вырождающегося параболического уравнения, устанавливается коэрцитивная оценка решения граничной задачи для исследуемого типа операторов, основанная на обобщении теорем Марцинкевича [62] и Михлина [60] о мультипликаторах.

Во второй части рассматривается разрешимость эллиптической задачи в полубесконечном цилиндре со слабым вырождением на «дне» цилиндра (случай сильного вырождения рассмотрен в работе В.П. Глушко

18]), сингулярностью на бесконечности и однородными условиями

Дирихле на боковой границе цилиндра. На этой основе исследуются спектральные свойства задачи.

Цель данной диссертационной работы: доказательство разрешимости и оценка решения начально-краевой задачи для параболического уравнения с вырождением по пространственной переменной;

2)доказательство разрешимости (или нётеровости) эллиптической задачи в полубесконечном цилиндре; изучение спектральных свойств рассматриваемого оператора; доказательство полноты системы собственных и присоединённых функций исследуемой задачи в пространствах типа Ьр с весом.

Методика исследования. В работе при исследовании разрешимости начально-краевой задачи для вырождающегося параболического уравнения используются теоремы Михлина [60] и Марцинкевича [62] о мультипликаторах, применённый В.П. Глушко в работе [18] метод «отражения», метод Фурье, преобразование Фурье.

При исследовании эллиптической граничной задачи с вырождением в полубесконечном цилиндре используются: метод сведения дифференциального уравнения к интегральному уравнению Вольтерра; метод «локализации», разработанный Агмоном, Дуглисом, Ниренбергом [2]; метод продолжения по параметру, использованный в работе

B.П.Глушко и Л.Я. Глушанковой [23]. Для выяснения спектральных свойств рассматриваемых эллиптических задач применяется методика

C. Агмона [1].

Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Наиболее важные из них:

1) установлена коэрцитивная оценка и доказана разрешимость в пространствах Ьр(\< /? < оо) с весом начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка с вырождением по пространственной переменной;

2) исследована разрешимость эллиптической краевой задачи с вырождением в полубесконечном цилиндре /)х(0,оо) в том случае, когда переменная х изменяется в ограниченной области В с Е"~1, а переменная / е (о, да), причём в уравнение второго порядка входят смешанные производные второго порядка по х и г\

3) рассмотрены различные варианты (по параметру а) вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка в Е"'1 х(о,оо) и найдены условия существования гладких по переменной х е (о, оо) решений этих уравнений;

4) применён новый метод построения решения в области, представляющей прямое произведение в области, позволяющий включать в уравнение старшие смешанные производные по переменным, входящим в различные компоненты прямого произведения;

5) изучены спектральные свойства несамосопряженного оператора, порожденного эллиптической задачей с вырождением bDx(o,со) при <7 = 0 и, в частности, доказано, что а) спектр оператора дискретен; б) ядро оператора конечномерно; в) любой луч arg Л = в при в^ж является направлением наименьшего роста резольвенты оператора; г) направление arg Л, = л является направлением накопления бесконечного числа собственных значений оператора; д) множество обобщенных собственных функций оператора являются линейно плотным в пространстве Ll a (о, со); е) рассматриваемая задача разрешима при конечном числе условий на правую часть уравнения f(x, t) е L2 (D х (о, od)) .

Практическая и теоретическая значимость. Основные результаты работы носят теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в исследовании вырождающихся дифференциальных уравнений.

Диссертация прошла апробацию на ряде конференций и семинаров. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежской конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (1999г.), на Воронежской математической школе «Понтрягинские чтения -X» (1999г.), «Понтрягинские чтения -XII » (2001г.), на IV Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (2000г.), на Втором Воронежском зимнем симпозиуме «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (2000г.), на Воронежской Международной конференции «Нелинейный анализ и функциональные дифференциальные уравнения» (2000г.), на научной сессии ВГУ в НИИ математики (2001г.), на семинарах профессора В.П. Глушко в 1999-2001гг. Работа Малютиной О.П. была удостоена П места среди молодых учёных НИИ математики по итогам научной сессии ВГУ (2001г.).

Основные результаты полностью опубликованы в работах [25]-[28],[50]-[57].

Работы [25]—[28] написаны совместно с научным руководителем профессором Глушко В.П. . Постановка задач в [25]—[28] принадлежит научному руководителю, а их решение - автору диссертации.

Диссертация изложена на 95 страницах, состоит из введения, двух глав, разбитых соответственно на четыре и шесть пунктов, списка литературы из 79 наименований. Нумерация формул и утверждений в пунктах независимая - первая цифра показывает номер пункта, а число после точки - порядковый номер формулы или утверждения в данном пункте. Используемая во введении нумерация формул и утверждений автономна от текста диссертации. I

1. Agmon S. On the eigenfimctions and the eigenvalues of general elliptic boundary value problems // Communication on pure and applied mathematics. -1962,- Vol.XV. -P. 119-147.

2. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг JI. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. -М.: Иностр. лит.,1962. -205с.

3. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические краевые задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи матем. наук. 1964. -Т. 19, вып.З. -С.43-161.

4. Ачильдиев А.И. О собственных функциях краевой задачи для эллиптического уравнения, вырождающегося на границе плоской области//Сиб. матем. журн. 1971.-Т.ХП, вып. I.-C.78-81.

5. Бичегкуев М.С., Глушко В.П. О свойствах пространств Соболева и Бесова с весом / Воронеж.гос. ун-т.- Воронеж, 1985. -40 с. Деп.в ВИНИТИ 25.06.85, №5542-85.

6. Бичегкуев М.С. Обобщённые функции на полуоси и а -свёртка / Воронеж.гос. ун-т- Воронеж, 1985. -27 с. Деп.в ВИНИТИ 25.06.85, №5543-85.

7. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. -М.: Изд-во АН СССР, 1959. -164 с.

8. Вишик М.И., Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Матем. сб. -1954.-№35(77). -С.513-568.

9. Глушко В.П. Коэрцитивность в jC^ общих граничных задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка. // Функциональный анализ и его приложения. 1968. - Т.2, вып.З. -С.87-88.

10. Глушко В.П. Об одномерном аналоге вырождающегося на границе эллиптического уравнения второго порядка // Докл. АН СССР. -1967. -Т.174, № 5. -С.1014-1017.

11. Глушко В.П. Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения I // Диф. уравнения. -1968. T.IV, № 9. - С. 1584-1597.

12. Глушко В.П. Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения II // Диф. уравнения. -1968. -Т. IV, № 11. С. 1956-1966.

13. Глушко В.П. Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения III // Диф. уравнения. -1969. -Т. V, № 3. С.443-455.

14. Глушко В.П. Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения IV // Диф.уравнения. -1968. -Т. V, № 4. С. 1599-1611.

15. Глушко В.П. Оценки в и разрешимость общих граничных задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Тр. / Моск. матем. о-ва. -1970. Т. 23. -С. 113-178.

16. Глушко В.П. О гладкости решений вырождающихся дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Докл. АН СССР,- 1971. -Т.198, №1. -С.563-564.

17. Глушко В.П. Пространство функций с дробными весовыми производными и граничные задачи переменного порядка // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск, 1981. -С. 46-53.

18. Глушко В.П. Весовые функциональные пространства и некоторые их свойства // Math. Nachr. -1987. -Т.132. С.253-280.

19. Глушко В.П., Богатов М.И. Пространства типа С.Л.Соболева дробного порядка и их свойства / Воронеж.гос. ун-т. Воронеж, 1979. - 38 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.10.79, №3239-79.

20. Глушко В.П., Глушанкова Л.Я. Об одном псевдодифференциальном уравнении, порождённом граничной задачей переменного порядка / Воронеж.гос. ун-т Воронеж, 1980. -67 с. - Деп.в ВИНИТИ 4.0480, №4684-80.

21. Глушко В.П., Львин С.Я. О некоторых свойствах одного класса весовых пространств С.Л.Соболева // Дифференциальные и интегральные уравнения. Нальчик, 1977. - Вып.1. - С.52-57.

22. Глушко В.П., Малютина О.П. Об одной начально-краевой задаче в Lp для вырождающегося параболического уравнения вполупространстве // Сб. тр. матем. фак. Воронеж, гос. ун-та. -1996,-№ 1. -С.29-33.

23. Глушко В.П., Малютина О.П. Эллиптическая задача с вырождением и сингулярностью на бесконечности // Тезисы докладов IV Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике. Новосибирск, июнь 2000. - Новосибирск, 2000.-С.82.

24. Глушко В.П., Малютина О.П. О разрешимости одной эллиптической задачи с вырождением в полубесконечном цилиндре // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер.физика, математика.-2001.-Вып 2.-С.86-94.

25. Глушко В.П., Хоанг Хиен Шинь О полноте собственных и присоединённых функций вырождающегося дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР. -1973. -Т.213, № 6. -С.753-754.

26. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. -М.: Иностр. лит., 1962 .-Т.1. 895 с.

27. Ильин A.M., Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения // Матем. сб. -1960.-Т. 50(90) , № 4. С.443-498.

28. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи матем. наук. -1962. -Т. 17, вып. 3. -С.4-146.

29. Калашников A.C. О линейных вырождающихся параболических уравнениях произвольного порядка с конечной областью зависимости // Матем. Заметки. -1969. Т.6, № 3. - С.289-294.

30. Калашников A.C. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка // Усп. матем. наук. 1987. -Т.42, № 2. - С. 135-176.

31. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. -М.: Физматлит,1959. -684 с.

32. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Свойства гильбертова пространства. -М.: Мир.-1971.-409с.

33. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Докл. АН СССР. 1951. -Т.7, № 2. -С.181-183.

34. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряжённых уравнений // Докл. АН СССР. 1951. -1.11. - С. 11-14.

35. Киприянов И.А. Об одном классе теорем вложения с весом // Докл. АН СССР. 1962. - Т. 147, № 3. - С.540-543.

36. Киприянов И.А., Богачёв Б.М. О свойствах функций на дифференцируемых многообразиях // Тр./ Матем.ин-т АН СССР. -1980-№ 156.-С.110-120.

37. Kohn I.I., Nirenberg L. Non-coercive value problems // Communication on pure and applied mathematics. -1965. -Vol.XXVIII, № 3. P.443-492.

38. Kohn I.I., Nirenberg L. Degenerate elliptic-parabolic equations jf second order // Communication on pure and applied mathematics. -1967. -Vol.XX, № 4 P.797-872.

39. Краснов Т.О. Интегральные уравнения M.: Мир, 1973. - 307 с.

40. Кудрявцев Д.Л. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Тр. / Мат.ин-т АН СССР. -1959 № 55. -С. 1-18.

41. Kufiier A. A remark on imbedding theorems for Sobolev weight Spaces. The case of a domain with holderian boundary. // J. reine und angew.Math. 1979.-Vol.309. -P. 114-126.

42. Kufner A. Weighted Sobolev weight spaces // Teubner -Texte zur Mathematik. -Leipzig, 1980. Band 31. -152 s.

43. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. -М.: Наука, 1967. 736с.

44. Лидский В.Б. Условия полноты системы корневых подпространств у несамосопряжённых операторов с дискретным спектром. // Тр./ Моск. Матем. о-во. 1959 - T.3.-C.83-120.

45. Лизоркин П.И., Отелбаев В.М. Теоремы вложения и компактности для пространств соболевского типа с весами // Матем.сб. -1979.-Т.108, № 3. С.258-377.

46. Малютина О.П. О спектральных свойствах эллиптического оператора с вырождением // Тр./ Матем. фак. ВГУ. -1998. Вып.З. -С.52-56.

47. Малютина О.П. Об одной эллиптической задаче с вырождением в полуцилиндре // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ. Воронеж, 1999. -С. 103-110.

48. Малютина О.П. Эллиптическая задача высокого порядка с вырождением в полуцилиндре // Тезисы докладов конференции «Современные методы в теории краевых задач: Понтрягинские чтения X.»» Воронеж, май 1999. -Воронеж, 1999. -С. 160.

49. Малютина О.П. Эллиптическая граничная задача при слабом вырождении на границе // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ. Воронеж, 2000. - С.29-33.

50. Малютина О.П. О спектральных свойствах эллиптического оператора с вырождением в полуцилиндре // Тезисы докладов Международной конференции «Нелинейный анализ и функциональные дифференциальные уравнения», Воронеж, май 2000. -Воронеж, 2000. С. 132.

51. Малютина О.П. Граничная задача для эллиптического оператора со слабым вырождением на границе в полупространстве // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ. -Воронеж, 2001. -С. 119-124.

52. Михлин С.Г. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Изв. АН СССР. -1954. Т.94, № 2 - С.183-186.

53. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям,- М.: Физматлит, 1959. -232с.

54. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения,- М.: Физматлит, 1962. -256с.

55. Морен К. Методы гильбертова пространства, М.: Мир. -1965. -570с.

56. Никольский С.М. Приближённые функции многих переменных и теоремы вложения. -М.: Наука, 1969. 480с.

57. Никольский С.М. Свойства некоторых классов функций многих переменных на дифференцируемых многообразиях.- М.: Мир, 1968. 463с.

58. Олейник O.A., Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области // Докл. АН СССР. 1952. -Т.87, №6. - С. 885-887.

59. Олейник O.A., Вентцель Т.Д. Первая краевая задача и задача Коши для квазилинейных уравнений параболического типа // Матем. сб-1957. -Т.41, № 1. -С.105-128.

60. Олейник O.A., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Математический анализ.-М.,1969. -С.5-252.( Итоги науки и техники / ВИНИТИ).

61. Панич О. И. Введение в общую теорию эллиптических краевых задач. Киев: Вища шк., 1986. - 128 с.

62. Розенблюм Г.В. Распределение дискретного спектра сингулярных дифференциальных операторов // Докл. АН СССР. 1972. -Т.202, № 5. -С.562-563.

63. Слободецкий Л.Н. Обобщённые задачи пространства С.Л. Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений а частных производных // Уч. Зап. /Ленингр. Пед.ин-т им. А.И. Герцена; Физ матем. ф-т. - 1958. -Т. 197. -С.54-112.

64. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. -М.: Наука, 1966. 292 с.94

65. Соболев С. А. Некоторые применения функционального анализав математической физике. Новосибирск: СО АН СССР, 1962. 255с.

66. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе области. Новосибирск: СО АН СССР, 1973. - 144 с.

67. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы.- М.: Мир, 1986. -488 с.

68. Трибель X. Теория функциональных пространств, М.: Мир. 1980. - 664 с.

69. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: Гостехиздат, 1947. -246 с.

70. Успенский C.B. Свойства классов с дробной производной на дифференцируемых многообразиях // Докл. АН СССР. -1967. -Т. 132, №1.- С.60-62.

71. Фохт A.C. Весовые теоремы вложения и оценки решений уравнений эллиптического типа // Диф. уравнения. -1982. Т.18, №8. - С. 144-149.

72. Хермандер JL, Линейные дифференциальные операторы в частных производных,- М.: Мир, 1965,- 305с.

73. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1973- 232 с.