Исследование корректной разрешимости некоторых математических моделей тепломассопереноса методом С.Г. Крейна тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Небольсина Марина Николаевна

Исследование корректной разрешимости некоторых математических моделей тепломассопереноса методом С.Г. Крейна

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации

па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ - 2009

1 О ДЕК 2009

003487490

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Воронежского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Репннков Валентин Дмитриевич ,

Ведущая организация: Челябинский государственный университет

Защита состоится 15 декабря 200Е)г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 391006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан "-3 " ноября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22

профессор Костин Владимир Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор Ляхов Лев Николаевич

доктор физ.- мат. наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Исследование многих математических моделей в теории тепломассо-переноса часто сводится к решению нестационарных задач для дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа.

Например при х ^ 0,t ^ 0 ищется ограниченное решение уравнения

du(t,x) _d2u(t,x) . .

dt ~ дх2 ' ( }

удовлетворяющее начально-краевым условиям

и(0, х) = О, u(i,0) = <?(i).

При этом важным является вопрос о вычислении производной характеризующий ноток на границе раздела сред.

Задачам такого рода посвящены многочисленные исследования Ю.И. Бабенко, A.B. Лыкова, В.П. Маслова, В.Г. Данилова, К.А. Волосова 2. Для некоторых частных случаев в монографии А.Д. Полянина, A.B. Вязьмина, А.И. Журова, Д.А. Казенина 3 выписываются точные их решения в случае, когда А некоторый дифференциальный оператор. В работе Бабенко Ю.И. для решения подобных задач используется метод дробного интегродифференцирования. Здесь соответствующее решение ищется в виде рядов по дробным производным и интегралам граничной функции g{t).

Однако эти исследования дают ответ на вопрос существования и представления решений, но не рассматривают в рамках корректной разрешимости задач по Адамару вопросов их устойчивости по начальным данным, которые являются основными, например, при численной реализации соответствующих алгоритмов.

1Бабенко Ю.И. Тепломассообмен, методы расчета тепловых и диффузионных потоков. Л.: Химия, 1980 144 с.

2Маслов В.П. Математическое моделирование процессов тепломассоперепоса/ В.П. Маслов, В.Г. Данилов, К.А. Волосов, М.:Наука, 1987. 352 с.

3Полянин А.Д. Справочник по точным решениям уравнений тепломассопереноса, А.Д. Полянин, A.B. Вязьмин, А.И. Журов, Д.А. Казенин,— М.: Факториал, 1998. 368 с.

Учитывая, что многие из этих задач можно свести к эллиптическому случаю, когда находится решение уравнения

= (2)

с соответствующими граничными условиями при t = Qnt = T<oo и линейным оператором А, действующим в некотором банаховом пространстве, естественно для их исследования применить метод С.Г. Крей-на, изложенный в 4 в предположении сильной позитивности оператора А. В связи с этим в диссертации схема С.Г. Крейна переносится на случай, когда оператор —А является генератором равномерно ограниченной Со-полугруппы, для которой выполняется оценка

\\ит<Ме'»\ (ш> 0). (3)

Это условие обеспечивает наличие квадратного корня A¿, в терминах которого даются определения решений и формируются соответствующие критерии корректной разрешимости этих задач и указываются представления их решений.

В частности, в случае задачи Дирихле, когда решение уравнения (2) удовлетворяет условиям ограниченности при t —> оо и

«(0) = 9,

решение имеет вид

u(t) = Щ(Ь)д,

где Ui(t) - сильно непрерывная полугруппа класса Со, производящим оператором (генератором) которой является оператор —(А)». Отсюда немедленно следует равенство

= = ~{А)^ф)\г=0д = -А^д.

Таким образом, для определения скорости тепломассопотока на границе раздела сред достаточно знать оператор А*.

Например, в случае, когда оператор А задается дифференциальным выражением L = ^ и областью определения D(A) = {у £ С[о,т],у(0) =

4Крсйн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве/ С.Г. Крейн-М.: Наука, 1967.-464 с.

О,<р € Ср.т]}, где С[о,т] - пространство непрерывных на [О, Т] функций с

равномерной метрикой, то оператор = -^т является правой дробной

2

производной Римана-Лиувилля.

В диссертации для операторов А, таких, что —А является генератором полугруппы ?/(£) класса Со, с условием (3) приводятся точные оценки на резольвенты их дробных степеней и показывается равномерно корректная разрешимость краевых задач для уравнения (2) с этим классом операторов.

Цель работы и основные задачи. Расширение класса корректно разрешимых задач, возникающих б теории теиломассопереноса с использованием общих методов исследования теории дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. С этой целью используется метод С.Г. Крейна, опирающийся на теорию дробных степеней операторов и теорию сильно непрерывных полугрупп, существенно расширяющий возможности известных методов, в частности метод дробного интегродифферен-цирования Ю.И. Бабенко.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории функций и функционального анализа, методы теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. В случае полугрупп, удовлетворяющих оценке (3), получены точные оценки для резольвент дробных степеней их генераторов.

2. Результаты С.Г. Крейна, полученные для краевых задач уравнения (2) с сильно позитивным оператором, перенесены на случай уравнений с генератором равномерно ограниченной полугруппы.

3. Построены квадратные корни из операторов, заданных дифференциальным выражением — ^¡¡£,0 < t < Т < оо, в весовых пространствах функций с равномерной метрикой, также соответствующие им полугруппы, с использованием которых представляются решения соответствующих краевых задач.

4. На примере корректной разрешимости задачи Неймана для уравнения (2) показана необходимость существования ограниченного обратного у оператора А, предполагаемое общими условиями С.Г. Крейна.

5. Получены представления решений краевых задач для уравнения

(2) через Со-операторные многочлены Чебышева 1-го и 2-го рода.

6. Получено представление Со-операторных многочленов Чебышева через операторную функцию ц{А) = А — \/А2 — 1, где — Л-генератор Со-полугруппы, удовлетворяющей оценке (3).

7. Получено интегральное представление функции //(Л) через полугруппу с генератором —А и скалярную функцию Мейера нулевого порядка.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты, представленные в диссертации, могут найти применение в исследованиях разнообразных моделей тепломассо-переноса.

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2008 г.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (С-Петербург 2009 г.), на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики ВГУ (рук. — проф. Ю.И. Сапронов) и на семинаре ВГУ по математическому моделированию (рук. — проф. В.А. Костин).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. В совместных публикациях [1], [9], [10] соавтору принадлежит постановка задач. Из совместных работ [3], [7] в диссертацию вошли результаты принадлежащие лично автору. Работа [9] соответствует списку ВАК для кандидатских диссертаций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 46 наименований. Общий объем диссертации — 102 стр.

Содержание работы

Первая глава содержит необходимые сведения из теории полугрупп операторов и дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с использованием результатов, изложенных в 4 3 6

5Иосида К. Функциональный анализ: Учебник/ К. Иосида, пер. с анг. В.М. Волосова- М.: Мир, 3967-62-1 с.

6Красносельский М. А., Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М., Наука, 1966, 499 с.

В §1.4 приводится метод С.Г. Крейна исследования корректной разрешимости общих краевых задач для уравнения (2) в предположении

||(л/-Л)_1[|в < (4)

Здесь же формулируется подход В.И. Горбачук и A.B. Князюка к исследованию задачи Дирихле для уравнения (2), которые вводя класс а-нозитивных операторов А, более широкий в сравнении с классом сильно позитивных, в частности, содержащих операторы с неограниченным обратным Ав ' показали равномерно корректную разрешимость задачи Дирихле в класе функций с ограниченным отклонением по Адамару .

В связи с этим результатом возникает вопрос о точности условия (4) с точки зрения необходимости существования ограниченного обратного А-1 при ообщих граничных условиях. Положительный ответ на который дается в главе 2, в связи с корректной разрешимостью задачи Неймана.

Вторая глава посвящена исследованию корректной разрешимости краевых задач для уравнения (2) с общими граничными условиями, в случае когда оператор —А является генератором полугруппы класса Со, удовлетворяющей оценке (3).

Определение 1. Функция u(t) называется ослабленным решением уравнения (2) если: 1) она непрерывна и имеет непрерывную первую производную на отрезке [О, Т] и вторую производную на (О, Т), 2) ее значения принадлежат D(A) при 0 < t < Т, а функция A*u(t) непрерывна на всем отрезке [О, Т], 3) u(t) удовлетворяет уравнению (2) в интервале

(О, Г).

Определение 2. Функция u(t) называется обобщенным решением уравнения (2), если: 1)она непрерывна и имеет непрерывную первую производную на отрезке [0,Т] и вторую производную на (О, Т), а функция A~iu(t) имеет непрерывную вторую производную на (О,Т), 2)ее значения принадлежат D(A) при 0 < t < Т, 3) u(t) удовлетворяет уравнению (2) в интервале (0,Т).

Здесь показывается, что результаты С.Г. Крейна, полученные для сильно позитивных операторов А, полностью переносятся и на рассматриваемый в диссертации случай, где основной является

'Горбачук В.И., Кпязюк А.И. Граничные значения решений дифференциально-операторных уравнений. // Успехи маг. наук. 1989. Т. 44, № 3 (267). С. 55-91.

Теорема 1. Всякое обобщенное решение уравнения (2) имеет вид

«(¿) = У{£)го + У(Г - £)гиТ

и наоборот, функция такого вида является обобщенным решением уравнения (2) при любых го, Ют £ Е.

Для того чтобы обобщенное решение было ослабленным, необходимо и достаточно, чтобы гд,тт 6 £>(Лг). Все обобщенные решения уравнения (2) являются аналитическими функциями от Ь при 0 < £ < Т.

В связи с этим в §2.1 получены неулучшаемые оценки, которые уточняют соответствующие оценки С.Г. Крейна

\\(ц1 — Лз)~пЦ < ,

1 (ц + ша)п'

для резольвент дробных степеней оператора —Л и, соответствующих им полугрупп

являющиеся ключевыми в §2.2 при доказательстве корректной разрешимости рассматриваемых задач.

Далее, с целью приложения полученных результатов к конкретным математическим моделям, в §2.3 рассматриваются операторы Ау {г = 0,= 0,1), заданные дифференциальным выражением ^ с областями определения ■О(Д^) = и 6 Сц, ^ Е С¡¿, где весовые пространства Су определяются формулами

Со,о = М*) е Сщ, е С[0,;]}; Сод = {«(г) € С[0,1], —^ е Ср,{]};

Сх,о = {и(ь) е С[0,ф ^ е С[0,г]};

С1,1 = {«(*) е С[0Л>«'(0) = «'(г) = 0}.

Для этих операторов строятся квадратные корни (—Лу)^ (г = 0,1; ] = 0,1)

-(-^ЛЮ = 5$(0 )9® + 5^(0)5(0,

ИМ '

- [(2п1 + Ь)2 — £)2]2 •

№

*<»(%(«) - —IУ0 (¡23^ -

с(2)гт„гл_ 44 /•' у, +

где

2 /•' {д(0соз%-сов^дЩе+ (¿2 _ £2)2

I

где

ъ J о

2 /-ч^+аш-^м

~ 7г/о (¿2-^2)2

<?<2>™„М - 2 /* V К2"*+ *)2+Ж0

- „ I •

в случае 0 < £ < оо; и

Такой же вид имеет и оператор (—Лод]0о)^- Операторы (—А^о.оо)^ (—Лхд^оо)^ определяются равенством

С А 2 Г {* + е)Ш)-дЩ

если I = оо. Из их представлений видно, что в первом случае они являются суммой сингулярного и ограниченного операторов. Если же I = оо, то остается только сингулярное слагаемое.

В этом же параграфе выписываются и полугруппы 17(£, А

1 гш+г оо

и(х, АоМ*) = щ / еАгд(А- 4>.оЫА =

1 гш+хоо 1 гх 00

= А- 4= / V + I - х)-

-г оо

/ е-^+^с/г^Ог+ /-£)-

п=0

-с/^х - г + - —£ / [еГ22^-

J о

1 00 р1 2 Ло,1)д(£) = —(-1)" / [е-®^]^«»

= /' 6(4, Л),1)5(0«.

Jo

и(*,А»)д® - * £ (-1)" Ле-^ - е-^Шйе -

* П=-00 "

тт/ л \ 1 ^ /"'г <2"'+'-«2 , -Р-'+'+Я* . .

= [ С(г,х^,А1Л)д(0

с генератором Д-^-; и

г1 ЛШ 1

/Ч ^

ад«, Ао,0)5(4) - £ I + +

■ъто

соот-

/■' °° 1 ад*, л.,)р«> = х~1 £ (-'П(М+,_а.+д,-

п=—оо 4 7

г1 °° 1

ад«, а,,Ы» - х-1 Еып{ы+1_()2+хг+

X /*' 00 1 1

с генератором —(—в случае 0 < / < оо, Если же I = оо, то ветствующие полугруппы имеют вид

и(х, Л0,о, оо)з(<) = —[ -

2у/7гх j0

и{х, А\\,со)д(Ь) = -1= /"[е-^ + е-^М^

с генератором Ау. Полугруппы £/(1,^0,1,00) и оо) имеют тот

же вид, что и и(х,АоА,оо) и [/(ж, /Цд, оо) соответственно. И

ГГ/ л ч лл 2х Г +

с генератором — (—Д^)2.

В §2.4 полученные результаты применяются к представлению решений краевых задач для двумерного уравнения Лапласа через квадратные /Ри

корни оператора —¿р-, которые, как известно в теории тепломассоперено-са, описывает стационарное распределение температуры при отсутствии источников тепла в рассматриваемой области.

В §2.5 на примере задачи Неймана

u"(t) = Au(t), t6 [О,о], (5)

и'{ 0) = <р, и'(а) = ф (6)

показывается, что условие существования ограниченного оператора А-1 нельзя ослабить в общем случае.

Определение 3. Задача Неймана (5)-(6) называется корректной, если она однозначно разрешима для всех <р, ф € D(A) и существует с > 0 такое, что для всех решений u(t) справедливо неравенство

„2|| Г eos—u(t)dt\\ < с(|М| + \\ф)\\). Jo а

И справедлива

Теорема 2. Задача (5)-(6) корректно разрешима тогда и только тогда, когда при всех п = 0,1,... точки —^-¡т- G р{А) и выполняется оценка

п2||(Л + ^П|<оо.

U

Результаты, изложенные в третьей главе относятся к представлению решений рассматриваемых краевых задач через операторные многочлены Чебышева 1-го и 2-го рода и являются следствием двух замечательных фактов из теории функций и функционального анализа.

Первый из них относится к фундаментальному свойству классических ортогональных многочленов Рп(х) (п = 0,1,...), у которых все корни хт (m = 1 ,...,п) действительные, различные и в разложении на простые дроби

п

pn_1(x)p-1(x) = j2cm/(x-xm), (х £ R1) (7)

т=1

коэффициенты Сщ всегда положительные.

Второй факт относится к свойствам производящего оператора А сильно непрерывной полугруппы, действующей в банаховом пространстве Е, для степеней резольвенты R(А) = (А—Х1)~1 которого выполняется неравенство

||Д"(А,А)||<Я/(А-ц;)", (п = 1,2,...) (8)

где Л > ш и константа К от п не зависит.

Это позволяет определить операторную дробь

п

Рп^ЩР-^А) = £ А), (9)

т=1

в предположении, что хт принадлежит резольвентному множеству оператора А, и с помощью (7)-(9) при т <п получить оценку

\\Рт{А)Р;\А)\\<К\Рт{и)/Рп{и)1

где К пи) из неравенства (8).

Указанные свойства позволяют строить операторные многочлены Че-бышева Тп(А) и Un(A) (п — 0,1,...) 1-го и 2-го рода соответственно^ помощью рекуррентных соотношений

1 .Тп+1(А) = 2АТп(А)-Тп.1(А), То = I, Т^А) = А,

2.Un+1(A) = 2AUn(A) - Un-i(A), U0(A) = I, U^A) = 2А,

которые мы здесь называем Со - операторными ортогоналными многочленами Чебышева. В соответствии с 8 для оператора А определены все степени Ап (п = 1,2,...) с плотными в Е областями определения D(An), превращающиеся в банахово пространство Dn относительно нормы ||u||„ = £k=i \\Аки\\.

При этом множество Dх = n^¡'_1D(An) является пространством Фре-ше относительно счетной системы норм ||u||n (п=1,2,...).

Замыкание D^ в норме пространства Dn совпадает с Dn. Оператор Аж (сужение оператора А на D^) действует и непрерывен в пространстве До.

Замыкание в Е оператора (Аоо)" совпадает с Ап. Таким образом операторы Т„(А) и Un(A) являются определенными и замкнутыми на Dn и для них определены операторные дроби

ип(А) = Tn-i(A)T~l(A),

1лп(А) = Un^Ap-^A),

8Крейн С. Г., Хазан М. И., Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Итоги науки и техники. Мат. анализ, Т.21 130—264.

являющиеся ограниченными в Е операторами с оценками \\ип{А)\\<К\Тп^{ш)/Тп{ш)\,

IM¿)II <

Дальнейшее изучение свойств операторов ТП(А) и Un(A) приводит к построению функций у/А2 — Ix для х € D(A) и (А2 — 1)~1!2х для х 6 Е. Это позволяет получить представление операторных полиномов Чебы-шева в виде

ип(А) = - Ш))п+1},

где

ц(А) = lim ßn(A) = (А- sjA* - I),

n—»00

/Г1 (А) = 2 A-ß{A), /Г1 (A)ß(Ä)x = x,x £ D{A).

Оператор ц(А) является ограниченным в Е и для него справедлива оценка

\ЫА)П < К/(ы + {ш > 1),

где константа К из (8). Кроме того, справедлива

Теорема 3. Для Со - операторных многочленов Чебышева второго рода Un(A) существует равномерный операторный предел

ßj(A) = lim Un^j(A)U~1{A) 1 <j<n

n—>00

и для него справедливо представление

roo

ц(А) = »>(А) = lf{t)V{t)dt, Jo

где (t) - n-кратная свертка функции Бесселя первого порядка мнимого аргумента, a V(t) - полугруппа генерируемая оператором А, удовлетворяющая оценке

\\V{t)\\<Ke**.

Теорема 4. Пусть в уравнении (5) оператор —А - производящий оператор полугруппы класса Cq, с оценкой (3). Тогда задача Неймана (5)-(6) корректно разрешима: для ее решения справедливо представление в

точках Ь — -а, в, г 6 N и в < г

£

и(1) — и(-а) — г

" ЙЬ^'т!'+ Ф'^'-С + + +

Ь2Л

И имеет место оценка

Публикации автора по теме диссертации

[1] Вострикова М.Н. РасширеЕшая задача Коши и ортогональные многочлены / М.Н.Вострикова, В.А. Костин// Образование, наука, производство и управление в 21 веке ; материалы международ, науч. конф., 20-22 окт. 2004 г. - 2004. Ч. 1. С. 279-280.

[2] Небольсина М.Н. Представление решения одной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве через абстрактные полиномы Чебышева / М.Н. Небольсина// Математические модели и операторные уравнения - Воронеж: ВорГу, 2005Т. 3. С. 57-64.

[3] Небольсина М.Н. Операторные полиномы Чебышева и решения краевых задач для уравнений второго порядка в банаховом пространство / М.С. Джалиль, М.Н. Небольсина// Воронежская зимняя Математическая школа С.Г. Крсйна - 2000 : тез. докл. - Воронеж, 2006. С. 70.

[4] Небольсина М.Н. Задача Неймана для дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве и ортогональные многочлены / М.Н. Небольсина// Математические модели и операторные уравнения - Воронеж: ВорГу, 2007. Т. 4. С. 104-115.

[5] Небольсина М.Н. О корректной разрешимости краевых задач для уравнений в банаховом пространстве с оператором Штурма-Лиувилля / М.Н. Небольсина// Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крсйна - 2008 : тез. докл. - Воронеж, 2008. С. 109.

[С] Небольсина М.Н. Задача Неймана для дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве / М.Н. Небольсина// Современные методы теории краевых задач : материалы Воронежской весенней мат. шк. "Поитрягинские чтения - XIX". -Воронеж, 2008. С. 151-152.

[7] Небольсина М.Н. Исследование методом С.Г. Крейпа некоторых математических моделей тепломагашереноса / В.И. Гондарсв, В.А. Костин, М.Н. Небольсина// Математические модели и операторные уравнения Воронеж: ВорГу, 2008. Т. 5, ч. 2. С. 55-60.

[8] Небольсина М.Н. О корректной разрешимости некоторых нестационарных задач / М.Н. Небольсина// Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2009. : материалы научной конференции, 13-18 апреля 2009. -Спб., 2009. С. 94-99.

[9] Небольсина М.Н. О корректной разрешимости краевых задач для уравнения второго порядка / В.А. Костин, М.Н. Небольсина// Доклады Академии Наук, 2009, Т.428, М, С. 20-22.

[10] Небольсина М.Н. Представления Со - операторных ортогоналных многочленов Чебышева/ В.А. Костин, М.Н. Небольсина// Математические модели и операторные уравнения .- Воронеж: ВорГу, 2009. Т. б, С.

Работа [9] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Подписано в печать 05.11.09. Формат 60x84 lli6. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 1781

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

80—94.

Введение

1 Равномерно корректные задачи для абстрактных дифференциальных уравнений.

1.1 Вектор-функции и некоторые их свойства.

1.2 Оператор-функции и полугруппы.

1.3 Позитивные операторы.

1.4 Уравнение 2-го порядка. Эллиптический случай.

2 Метод С.Г. Крейна исследования корректной разрешимости задач с генератором равномерно ограниченной Cq— полугруппы.

2.1 Точные оценки для резольвент дробных степеней операторов.

2.2 Корректная разрешимость краевых задач с генератором равномерно ограниченной Co-полугруппы.

2.3 Дробные степени оператора — ^ в весовых пространствах с равномерной метрикой.

2.4 Представление решений краевых задач для уравнения Лапласа.

2.5 Задача Неймана.

3 Со — операторные ортогоналные многочлены Чебышева и их представления.

3.1 Ортогональные многочлены скалярного аргумента.

3.2 Со - операторные рациональные дроби.

3.3 Обращение бесконечных трехдиагональных матриц специального вида (скалярный случай).

3.4 Обращение операторных матриц бесконечного порядка.

3.5 Представление оператора

Исследование многих математических моделей в теории тепломассопе-реноса часто сводится к решению нестационарных задач для дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа. Например (см. [2]), при х ^ Q,t ^ 0 ищется ограниченное решение уравнения du(t, х) d2u(t, х) dt = дх2 ^ удовлетворяющее начально-краевым условиям и(0,х) = 0, (2) u(t,0)=g(t). (3) д

При этом важным является вопрос о вычислении производной характеризующий поток на границе раздела сред.

Задачам такого рода посвящены многочисленные исследования Ю.И. Бабенко, А.В. Лыкова, см.[2], В.П. Маслова, В.Г. Данилова, К.А. Волосо-ва, см. [27]. Для некоторых частных случаев в монографии А.Д. Полянина, А.В. Вязьмина, А.И. Журова, Д.А. Казенина см.[29] выписываются точные их решения в случае, когда А некоторый дифференциальный оператор. В [2] для решения подобных задач используется метод дробного интегро-дифференцирования. Здесь соответствующее решение ищется в виде рядов по дробным производным и интегралам граничной функции я(*).

Однако эти исследования дают ответ на вопрос существования и представления решений, но не рассматривают в рамках корректной разрешимости задач по Адамару вопросов их устойчивости по начальным данным, которые являются основными, например, при численной реализации соответствующих алгоритмов.

Учитывая, что многие из этих задач можно свести к эллиптическому случаю, когда находится решение уравнения с соответствующими граничными условиями при х = 0их = Т<оо и линейным оператором А, действующим в некотором банаховом пространстве, естественно для их исследования применить метод С.Г. Крей-на, изложенный в [21], гл.III в предположении сильной позитивности оператора А. В связи с этим в диссертации схема С.Г. Крейна переносится на случай, когда оператор —А является генератором равномерно ограниченной Co-полугруппы. Это условие обеспечивает наличие квадратного корня в терминах которого даются определения решений и формируются соответствующие критерии корректной разрешимости этих задач и указываются представления их решений.

В частности, в случае задачи Дирихле, когда решение уравнения (4) удовлетворяет условиям ограниченности при х —> оо и

8 = Аи(х), О^х^Т <оо

4) и(0)

5) решение имеет вид (см. [21], с.324) и{х) = Ui(x)g, (6) где Ul(x) - сильно непрерывная полугруппа класса Со, производящим оператором (генератором), которой является оператор —{А)ъ. Отсюда немедленно следует равенство

U = = ~(Л)"Щ(х)\х=0д = (7).

Таким образом, для определения скорости тепломассопотока на границе раздела сред достаточно знать оператор Ah.

Например, в случае, когда оператор А задается дифференциальным выражением L = ^ и областью определения D(A) = {</? £ Срд1], <£>(0) = 0, ip £ С[о,т]}> гДе С[о,т] - пространство непрерывных на [0,Т] функций с равномерной метрикой, то оператор Ah = Щ- является правой дробной dt г производной Римана-Лиувилля (см.[2], с. 18).

В [21], гл. II,§3 исследуются краевые задачи для уравнения

0 < t < Т < оо) (8) в предположении позитивности оператора А, действующего в банаховом пространстве Е, то есть область определения D(A) плотна в Е и для его резольвенты выполняется оценка

IKAZ-AJ-^j-^, (А < 0). (9)

Здесь I— тождественный оператор, С- не зависит от Л. Это обеспечивает существование дробных степеней оператора Аа (0 < а < 1) оператора А и, кроме того, операторы — Аа являются производящими операторами (генераторами) аналитических полугрупп класса Со (см. [21], теор. 5.4, с. 145).

При этом для их резольвент выполняется оценка (см. [21], с. 146)

Д(-А,А«)||<^, (А>0). (Ю)

К сожалению, оценка t/i(f)|| < Me-'

И) приведенная в [21], с. 323, для а — при условии (9), не всегда верна. Например, в скалярном случае при А = w, 0 < си < 1, А^ = имеем:

12)

Uh{t) = и, очевидно, что (11) не выполняется.

Однако оценка (11) является ключевой в [21] с.324 при доказательстве теоремы о представлении обобщенного решения уравнения (8) на полуоси t G [0, оо), удовлетворяющего начальному условию

В связи с этим, в диссертации для операторов А, таких, что —А является генератором полугруппы U{t) класса Со, с оценкой приводятся точные оценки на резольвенты их дробных степеней и показывается равномерно корректная разрешимость краевых задач для уравнения (8) с этим классом операторов.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Аткинсон Ф., Дискретные и непрерывные граничные задач, М., Наука, 1968, 749 с.

2. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен, методы расчета тепловых и диффузионных потоков. JL: Химия, 1986 144 с.

3. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. // Г.Н. Ватсон. М.: ИЛ, 1949.

4. Гахов Ф.Д. Краевые задачи/ Ф.Д. Гахов.-М.: Наука, 1977. 638 с.

5. Горбачук В.И. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений.// В.И. Горбачук, М.Л. Горбачук, Киев, -"Наука Думка". 1984. 283 с.

6. Горбачук В.И., Князюк А.И. Граничные значения решений дифференциально-операторных уравнений. // Успехи мат. наук. 1989. Т. 44, № 3 (267). С. 55-91.

7. Глушко В.П. О вырождающихся линейных дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве/ В.П. Глушко, С.Г. Крейн.-ДАН СССР, т. 181, N 4, 1968, стр. 784-787.

8. Дал едкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве./ Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн.— Физмат. лит., 1970. 534 с.

9. Джалиль М.С. Абстрактные ортогональные многочлены и дифференциальные уравнения. Диссертация на соискание уч. ст. канд. физ-мат. наук. Воронеж, ВГУ, 2004, 76 с.

10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. //А. Зигмунд. М.: Мир. -Т.1, 1965. 616 с.

11. Иосида К. Функциональный анализ: Учебник/ К. Иосида, пер. с анг. В.М. Волосова М.: Мир, 1967-624 с.

12. Князюк А.В. Граничные значения эволюционных уравнений в банаховом пространстве. Диссертация на соискание уч. ст. канд. физ-мат. наук. Киев. 1985. 115 с.

13. Костин В.А. О равномерно корректной разрешимости краевых задач для абстрактных уравнений с оператором Келдыша-Феллера. // В.А. Костин. Дифференциальные уравнения. - Т.7, 31, №8. с.1419 — 1425.

14. Костин В. А. Неравенства для норм производных в пространствах ЬРгЧ>/ В.А. Костин, мат. заметки, 1969. т.6. N4. с. 472—473.

15. Костин В.А., К теореме Соломяка-Иосиды для аналитических полугрупп, Алгебра и анализ, Т.1, вып.1, 1999, 118—140.

16. Костин А.В., Костин В.А. 5-весовые пространства Степанова и некоторые модели тепломассопереноса./ А.В.Костин, В.А.Костин -Воронеж:2009. 35 с.

17. Костин А.В. К теории функциональных пространств Степанова/ А.В. Костин, В.А. Костин,- Воронеж: Издательско полиграфический центр ВГУ, 2007. 259 с.

18. Красносельский М. А., Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М., Наука, 1966, 499 с.

19. Крейн М. Г., О спектре якобиевой формы в связи с теорией крутильных колебаний валов, Мат. сб., 40, 1933, No 4, 455—465.

20. Крейн С. Г., Хазан М. И., Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Итоги науки и техники. Мат. анализ, Т.21 130—264.

21. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве/ С.Г. Крейн.- М.: Наука, 1967.—464 с.

22. Функциональный анализ/ под редакцией С.Г Крейна.М.: Наука, 1979, 418 с.

23. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного/ М.А. Лаврентьев, Б.П. Шабат.-М.: Наука, 1973 —736 с.

24. Левитан Б.М. Почти-периодические функции/ Б.М. Левитан,—М.: Тех-лит, 1953. 396 с.

25. Мартыненко Н.А. Конечные интегральные преобразования и их применение/ Н.А. Мартыненко, Л.М. Пустыльников.-М.: Наука, 1986. 301 с.

26. Маслов В.П. Операторные методы/ В.П. Маслов.-М.: Наука, 1973. 543 с.

27. Маслов В.П. Математическое моделирование процессов тепломассо-переноса/ В.П. Маслов, В.Г. Данилов, К.А. Волосов, М.:Наука, 1987. 352 с.

28. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений/ В.П. Маслов.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 312 с.

29. Полянин А.Д. Справочник по точным решениям уравнений теп-ломассопереноса, А.Д. Полянин, А.В. Вязьмин, А.И. Журов, Д.А. Казенин.— М.: Факториал, 1998. 368 с.

30. Самарский А. А., Николаев Е. С., Методы решения сеточных уравнений, М., Наука, 1978, 591 с.

31. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения/ С.Г., А.А. Килбас, О.И. Маричев.- Минск: Наука и техника, 1987, 687 с.

32. Сеге Г., Ортогональные многочлены, М., Физматгиз, 1962, 650 с.

33. Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, М., Наука, 1979, 416 с.

34. Уиттекер Э.Т. Курс современного анализа, т. 2/ Э.Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон, пер с англ. под ред. Ф.В. Широкого, М.: Физ-мат. лит., 1963.-515 с.

35. Фадеев Д. К., Лекции по алгебре, М., Наука, 1984, 416 с.

36. Фадеев Д. К., О свойствах матрицы обратной Хессенберговой, Записки научных семинаров, ЛОМИТ, II, 1981.

37. Вострикова М.Н. Расширенная задача Коши и ортогональные многочлены / М.Н.Вострикова, В.А. Костин// Образование, наука, производство и управление в 21 веке : материалы международ, науч. конф., 20-22 окт. 2004 г. 2004. Ч. 1. С. 279-280.

38. Небольсина М.Н. Операторные полиномы Чебышева и решения краевых задач для уравнений второго порядка в банаховом пространстве / М.Н. Небольсина, М.С. Джалиль// Воронежская зимняя Математическая школа С.Г. Крейна 2006 : тез. докл. - Воронеж, 2006. С. 70.

39. Небольсина М.Н. Задача Неймана для дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве и ортогональные многочлены / М.Н. Небольсина// Математические модели и операторные уравнения Воронеж: ВорГу, 2007. Т. 4. С. 104—115.

40. Небольсина М.Н. О корректной разрешимости краевых задач для уравнений в банаховом пространстве с оператором Штурма-Лиувилля /М.Н. Небольсина// Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2008 : тез. докл. - Воронеж, 2008. С. 109.

41. Небольсина М.Н. Исследование методом С.Г. Крейна некоторых математических моделей тепломассопереноса / В.И. Гондарев, В.А. Костин, М.Н. Небольсина// Математические модели и операторные уравнения .- Воронеж: ВорГу, 2008. Т. 5, ч. 2. С. 55-66.

42. Небольсина М.Н. О корректной разрешимости краевых задач для уравнения второго порядка /М.Н. Небольсина, В.А. Костин// Доклады Академии Наук, 2009, Т.428, №1, С. 20-22.

43. Небольсина М.Н. Представления Со операторных ортогоналных многочленов Чебышева/ В.А. Костин, М.Н. Небольсина// Математические модели и операторные уравнения .- Воронеж: ВорГу, 2009. Т. 6, С. 80-94.