О некоторых равномерно корректных по С.Г. Крейну задачах для дифференциальных уравнений с дробными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Салим Бадран Джасим Салим

О некоторых равномерно корректных по С.Г.Крейну задачах для дифференциальных уравнений с дробными производными

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Воронеж — 2014

1 5 ЯНВ 2015

005557388

005557388

Работа выполнена в

Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Костин Владимир Алексеевич. Официальные оппоненты: Калитвин Анатольий Семенович., доктор физико-математических наук, Липецкий государственный педагогический университет, кафедра математики, заведующий. Стенюхин Леонид Витальевич, кандидат

физико-математических наук, Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, кафедра высшей математики, доцент.

Ведущая организация:

Российский университет дружбы народов (г. Москва).

Защита состоится 17 февраля 2014 г. в 16.30 на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета а также на сайте http: //www.science.vsu.ru/disserinfo&cand—2708

Автореферат разослан «12» декабря 2014 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22 доктор физико-математических наук, профессор

Гликлих Ю.Е.

Актуальность темы. Как указали Ж.Адамар, А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. М.М.Лаврентьев и др., при численной реализации решения задач математической физики основополагающим фактом является докзательство их корректной разрешимости, которая устанавливает устойчивую стабилизацию сходимости приближенных решений к точному. В диссертации уставнавливается корректная разрешимость в смысле С.Г. Крейна следующих задач

I. Задача Копт

da

— = Au(t), w(0) = «о, i > 0 (1)

dt

II.

J = Au(t), и(0) = <р,и'(0) = ф (2)

III. Краевые задачи

$ = (3)

1) «(0) = u(a) = ф, (4)

2) w(0) = <р, lim ||u(i)|| < оо, (5)

где оператор А задается: а) одним из дифференциальных выражений Q±ip(x) — х € R = (—00,00) или R+ = [0, оо) в соответствующих

весовых пространствах, введенных в диссертации и называемых гипервесо-вьтми, б) одним из дифференциальных выражений вида l±tp(x) = х € или l±ip(x), в обобщенных функциональных пространствах Степанова, которые также здесь вводятся.

Корректная разрешимость и вытекающая из нее устойчивость по исходным данным, необходимая для численной реализации решения существенно зависит от выбора функциональных пространств, в которых ищется это решение и в которых соответствующие обратные операторы ограничены. Начиная с фундаментальных работ Э. Хилле, Р. Филлипса и др. главными инструментами в этих исследованиях являются методы теории сильно непрерывных полугрупп, групп и косинусных функций линейных преобразований. В теории уравнений параболического типа важное место занимает однопарамет-рические полугруппы линейных преобразований Т(£), t > 0 называемыми каноническими и определяемые соотношением Т(а ® ß) — T(a)T(ß), а и ß— действительные или комплексные числа. При этом в системе рассматриваемых чисел можно выделить множество полугрупп, соответствующим разнообразьш операция сложения.

В настоящей диссертации рассматриваются полугруппы с обычным линейным сложением а © /3 = а + /3. , то есть здесь рассматриваются семейства линейных ограниченных операторов Т(£), £ > О называемых полугруппой класса (Со) в Е, которое удовлетворяет условиям:

1.Т(0) = /, 2.Т(4 + а) = Г(<)Т(я), 3. Дт \\Т{£)р - <р\\ = 0, У<р € Е. (6)

Для таких полугрупп существуют константы М и ш такие, что выполняется оценка

\\ТШ\Е < Ме—. (7)

Для этих полугрупп определен производящий оператор (генератор) А = с плотной в Е областью определения.

м 1г=о

Связь между такими полугруппами и равномерной корректностью задачи (1) характеризует

Теорема 1 (корректность). Задача Коти (1) равномерно корректна в Е, то есть имеет единственное решение м(£) 6 Е>(А), г>0им£ 0, а), тогда и только тогда когда оператор Л является генератором полугруппы класса (Со). При этом, решение имеет вид

и{г) = ТЩ<р, *€[0,а). (8)

В том же отношеннии к задаче Коши (второго порядка) (2), как полугруппы класса (Со) к задаче Коггш (1), находятся операторные косинус-функции (КОФ). Исследованию КОФ посвящены работы многих математиков, начиная с работ С. Куреппы, М. Совы, Г.О. Фатторини. Из воронежских математиков изучением КОФ занимались С.Г. Крейн, А.Г. Баскаков, В.А. Костин и ДР-

Сильно непрерывной операторной косинус-функцией называется семейство линейных и ограниченных операторов С = {С(Ь) : ^ е К}, удовлетворяющее условиям (1) С(*-м) + С{Ь = 2С(£)С(а), (и) С(0) = I, (ш) С(£)<£-непрерывная функция для каждого <р 6 Е.

Генератором А операторной косинус-функции С называется оператор А = С"(0). Его областью определения является множество тех у € Е, для которых функция С(£) дважды дифференцируема в точке £ = 0. Операторные косинус-функции С и (Со)- полугруппы Т связаны между собой формулой

Г е-£с(з)<р<1з. (9)

у/ш Jo

Задача (2) называется равномерно корректной если существует подпространство М С Е такое, что задача (2) имеет единственное решение для ио,Щ € М и когда Vq"\ и'"', (п = 0,1,...) являются последовательностью начальных данных в АI. стремящихся к нулю, то соответствующее решение u("\t) стремится к нулю в метрике Е, равномерно на каждом компакте из

[0,оо).

Теорема 2 (Сова, Куреппа). Задача (2) равномерно корректна тогда и только тогда когда А— генератор (С"о)- косинус функции C{t), при этом решение имеет вид

u(t) = C(t)ip + [ С{з)фс1з. (10)

J о

Новые примеры косинус-функций являются предметом изучения в последующих главах диссертации, в связи с корректной разрешимостью рассматриваемых задач.

Эллиптический случай. Классические результаты по равномерно корректной разрешимости задач (3)—(4) и (3)—(о) приводятся в монографии С.Г. Крейна "Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве". Исследованию таких задач посвящены работы M.JI. Горбачука, В.И. Горбачук, A.B. Князюка, а также воронежских математиков П.Е. Соболевского, В.А. Костина, М.Н. Небольсиной и др.

Эти исследования приводят к необходимости введения дробных степеней операторов (в частности Лг) в терминах которого формулируются определения ослабленного и обобщенного решения задачи (2)—(4):

Цели и задачи исследования. 1. Установление корректой разрешимости в смысле С.Г. Крейна начально-краевых задач для дифференциальных уравнений с дробными производными, необходимой при их численной реализации.

2. Получение решений задач и их оценок для некоторых уравнений актуальных в механике, гидродинамике, тепломассопереносе и др.

3. Доказательство корректной разрешимости задач для дифференциальных уравнений с вырождающимися коэффициентами в новых функциональных пространствах, введенных в диссертации.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории сильнонепрерывных полугрупп и групп преобразований и их приложений к конкретным задачам.

Научная новизна. 1. Введены и изучены новые классы функциональных пространств, частным случаем которых являются Ьр- весовые пространства и пространства Степанова.

2. Изучены во введенных пространствах новые классы сильно непрерывных полугрупп, групп и косинус-функций и их производящих операторов.

3. Получение точных решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений с оператором Адамара-Эйлера и их оценка через исходные данные во введенных функциональных пространствах.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретические обоснования корректной разрешимости задач для дифференциальных уравнений, используемых в механике, гидродинамике, тепломассопереносе и т.д. Они актуальны при численной реализации задач с применнием высокоскоростных компьютерных технологий.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе в 2014 г., на Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения"в 2013, 2014 гг., на Международной молодежной научной школе "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач"в 2012 г., а также на семинарах ВГУ по математическому моделированию (рук.— проф. В.А. Костин) и нелинейному анализу (рук.— проф. Ю.И. Сапронов, проф. Б.М. Даринский).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[9]. В совместных публикациях |1],|2],|4]—18] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работы [1] и [2] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых журналов и изданий, рекомендованых ВАК РФ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 14 параграфов, литературы из 58 наименований. Общий объем диссертации—90 стр.

Краткое содержание работы. В диссертации методы общей теории полугрупп применяются к исследованию корректной разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений с дробными производными,которые становятся все более актуальными в таких областях, как механика, гидродинамика, теория массопераноса, радиофизика и .т.д.

Однако, как правило, проводимые при этом исследования касаются только вопросов существования решений соответствующих задач, и их интегро-дифференциальным представлениям. Вопрос же устойчивости решений по

исходным данным, один из основных при установлении корректной разрешимости, в этих работах, как правило, не обсуждается.

В диссертации устанавливается равномерно корректная разрешимость для таких задач.

Первая глава диссертации содержит необходимую терминологию, понятия и общие фундаментальные факты, связанные с теорией корректно разрешимых задач для уравнений в банаховом пространстве.

Вводятся понятия сильно непрерывных полугрупп, групп и косинусных функций (КОФ) линейных преобразований, их генераторов и их связи с корректной разрешимостью начально-краевых задач для уравнений вида (0.1), (0.2).

Вводятся понятия решений этих уравнений (§1.2) и равноммерно корректной разрешимости, в смысле С.Г. Крейна, задач (1). (2) и краевых задач (3)-(4), (3)-(5).

Наряду с этим указываеются критерии генераторов сильно непрерывных полугрупп (теорема Хилле-Филлипса) и теорема Совы-Куреппы для косинусной функции. Отметим, что в Воронеже впервые начали исследовать КОФ С.Г. Крейн и А.Г. Баскаков. Позже к этой теме обратился В.А. Костин.

В §1.3 вводятся дробные степени для операторов А— таких, что —А является генератором сильно непрерывной полугруппы класса С0, удовлетворяющей оценке (7).

В §1.4, в терминах дробных степеней операторов, формулируются критерии корректной разрешимости по С.Г. Крейну краевой задачи (3)-(4), которые формулируются в терминах квадратного корня (—Л)» (Теорема 1.4.2).

Вторая глава диссертации содержит самостоятельные результаты. Здесь вводятся новые классы функциональных пространств, называемые гипервесовыми. Для этого рассматриваются следующие классы весовых функций.

Через Ф+ обозначим класс монотонно возрастающих при £ > 0 функций р+Ц) > 0, и таких, что при некотором т > 0 выполняется соотношение

р'+(£) - тР+(£) > 0. (11)

Так как из (2.3) при I оо следует оценка /?+(£) > р0ехр(т£) (р0 > 0), то классы таких весовых функций будем называть гипервоарастающими. а т/т, при котором выполняется (11) будем называть символом гипервеса веса />+(£)•

Устанавливаются оценки г

(ех°.р+{з)йз<-^—р+{1) (12)

J т + А

о

и для п-кратного интеграла, п — 1,2....

{

= (^1)! ^-'Р+Шз < (13)

о

Очевидно, что при соответствующем т классы Ф+ содержат как угодно быстро растущие на бесконечности функции.

Классы Ф~. Наряду с этим вводятся также сопряженные классы Ф~ весовых положительных функций />-(£), монотонно убывающих и таких, что для некоторого т > 0 выполняется соотношение р'_(Ь) + тр_(£) < 0.

Нетрудно видеть, что если р+ € Ф*, то — р~ € Ф~.

Таким образом, при t оо функции р_(£) мог}т забывать как угодно быстро. В связи с этим мы их будем называть гиперу бывающими.

Заметим, что при £ —» 0 они могут как угодно быстро расти.

Кроме того, веса р-^) обладают следующим свойством: р-(оо) = 0 и для них при Л + 7П > 0 выполняются оценки

оо

■7-р-[Ь) = (¿1)! ¡^ - ^ п = 1.2' ••■ ■ (14)

г

Полумультипликатпивные гипервесовые функции. Важными подклассами гипервесовых функций Ф^ и Ф~ являются действительные, измеримые функции на М+, удовлетворяющие условию полумультипликативности

0 <ф.(г + в) <ф_{г)ф-{8), Vfc.se к+Ж(о) = 1 (15)

В диссертации рассматриваются и функции ф+(£), удовлетворяющие условию обратному (15), то есть

ф+^)ф+(з) <ф+{г + з). (16)

Классы функций, удовлетворяющие (15) называются левомультиплика-тивными и обозначать Ф~, а классы, удовлетворяющие условию (16) — пра-вомулъгпипликагпивными и обозначать через Ф+.

На связь классов Ф+, Ф~, Ф+, Ф~ указывает следующая

Лемма 1. Если ф+(Ь) непрерывно дифференцируема и ф'+{Ь) > 0. то справедливо включение Ф+ С Ф£/(0)> если г) непрерывнодифференцнруема и < 0, то Ф- С Ф~ао).

Выясняется, что классы Ф+ и Ф~ шире чем Ф+ и Ф- соответственно.

В §2.3. вводятся функциональные пространства в которых изучаются операторы дробного интегрирования и дифференцирования Римана-Лиувилля.

На полуоси t € [0,оо) будем рассматривать гипервесовые пространства <£ (о) и £р_ непрерывных функций /(£), для которых конечны нормы

р+

№

вир

¿>0

Р± 6 ф± (17)

Функции / 6 £р+(0) удовлетворяют условию /(0) = 0. Известно, что <ЕР± - банаховы пространства.

Далее рассматриваются операторы 2)+ и заданные дифференциальными выражениями

= Ш (18,

и областями определения: £>(Э±) = {(р & €Р±, ^ е £±}. Справедливы следующие

Теорема 3. Операторы — £>± является генераторами полугрупп Т(х, — £)±) класса Со, для которых выполняется оценка

\\Т(х,Т>±М€р+<е-™МсР±, (19)

где т - порядок роста или убывания соответствующего веса.

Теорема 4■ Для операторов 2)± определены дробные степени 2)+, 0 < а < 1 равенствами

оэ

ц«^) = у Аа_1(А/ + Э±)-12)±9?(г)с?А (20)

о

для <р е £>(5)±).

Из этих формул, в частности, следуют представления для отрицательных степеней

= ^ = щ /(«- (21)

О

оо

= = -щ /(в - (22)

г

И справедливы оценки

(23)

показывающие инвариантность введенных в диссертации пространств относительно операции дробного интегрирования Римана-Лиувилля.

В §2.4 применяются полученные результаты к задаче нахождения функции и(х), х е (0, оо). имеющей все производные порядка т,-у, 0 < 7 < 1, т = 0,1, и удовлетворяющей уравнению

¿ая®Г«(1) = Л1), «п^О. (24)

171=О

где / €

Дифференциальные уравнения такого вида с правыми дробными производными Римана-Лиувиля, но не как операторные уравнения, рассматривались в монографии В.В. Учайкина [49], с. 219-222, где с помощью преобразования Лапласа получено решение задачи Коши для уравнения вида (24) с начальными условиями

«(0) = ••■ = «(п"1)(0) = 0, (25)

которое выписано в виде

и(х) = [ в(х- в) <к, (26)

Уо

где относительно функции Грина С(х) сказано, что она находится из характеристического многочеленаРгДА7) с помощью обратного преобразования Лапласа

ОД = Ь-1{Л71(А(«))}(х). (27)

При этом, проблема устойчивости полученного решения к погрешностям исходных данных не связанных с введением соответствующих простанств в [49] не обсуждался.

В нагнем случае следствием теоремы 2.1.1 является

Теорема 5. Задача (24) равномерно корректно разрешима в пространствах Ср± соответственно. Ее решение имеет вид

= (28) а" ¡=о

ML < ^п» ^U-.ll/lL, (29)

и справедливо неравенство

М

т'у Ш=\^еаг +

где а,-корни многочлена Рп(а) = ^т=оа">ат; кг их кратности, т-символ веса р+ или соответственно.

В диссертации доказывается следующая

Теорема 6. При выполнении условий теоремы 5. решение уравнения

т= о

имеет вид

где

¿amS™7u(aO = /(*), (30)

m=0

/»оо

и(х) = / q{t)T(t,-W)fdt, (31)

Jo

poo

T(t,-Dl)= g7(t,s)T(s,Z+f(s))ds, (32)

Jo

g7(t, s) = ¿j fu-im dX— обратное преобразование Лапласа от функции

e~sX\

Отметим, что для £>1 разрешимость задачи (24) вообще ранее не рассматривалась.

В третьей главе вводятся и изучаются операторы Da, выражающиеся через дифференциальное выражение в

I = x-jj-, (33)

dx

х > 0, с областями определения в обобщенных функциональных пространствах Степанова S^^. с нормами

IIVlls?*. = SUP

где ui > 0, 7 > 0.

' Г s~>\v{s)\pds

Jo

Уравнение с конструкцией (33) представляют важный класс в теории дифференциальных укравнений. Например, к их числу относятся классические уравнения Эйлера

£= /(я). о™ е С. (34)

т=О

Конструкции дробного порядка для операций (3.0.1) рассматривались Ж.Адамаром.

Следует также отметить, что закон реактивного движения объекта (ракеты) с переменной массой описывается уравнением

= У(т), (35)

ат

где т(£)— масса горючего в момент г>(т)— скорость ракеты, У(гп)— скорость истекания горючего из ракеты.

Интересное приложение операторов Адамара при прогнозировании временных рядов с использованием уравнения Е1=оа™'3и(^) = а"> е К приводится в работе Р.Р. Нигматуллина и А. Тенрейро Махадо. Операторы Т)а в диссертации названы операторами Адамара-Эйлера.

В §3.1 вводятся операторные семейства Т{Ь)<р{х) = <р(хе1), х € £ € К.

Теорема 7. Семейство Т(£) является сильно непрерывной группой преобразований в Ьр^ с нормой = аирхбЖ+ [ж"/о я р , и справедлива оценка

= (36)

Также показывается, что производящий оператор группы Т(£) является оператором Э„ с областью определения Г>(2)а) = {<р Е е Ьры}.

В §3.2 исследуются операторы косинус-функций

С{1)=1-Ш + Т{-1)]. (37)

Устанавливается оценка

\№Мх)\\р„ < с!г 1\ЫР^ (38)

а также оценка на полугруппу Тс(£), связанную с С(£) соотношением

\\Тс{1Ых)\\р^<е^-М^. (39)

Оценка (36) позволяет построить дробные степени операторов 35 а и получить представление полугруппы Т(£, —2)5) в виде

В §3.3 изучаются полугруппы и группы Адамара-Эйлера в обобщенных пространствах Степанова.

Определение 1. Множества интегрируемых на каждом интервале 5 С К+ функций, определенных нормами

П/Ив^., = 8иР

.С6Х+

¿0

(41)

На вопрос о вложении пространств непрерывных и ограниченных функций в обобщенные пространства Степанова отвечает следующая

Лемма 2. Пусть С(Е+)— пространство непрерывных и ограниченных на

функций с нормой \\fWc = эир;г€К+ |/(х)|, тогда

а) С(К+) С в том и только в том случае, когда и) = 7 + 1 > 0. При этом справедливо неравенство ЦЛ^^ < ,

б) С(К+) С в том и только в том случае, когда ш = 7 — 1 >0. При этом справедливо неравенство ||/||з-иг < •

Далее, в этих пространствах рассматриваются полугруппы Адамара-Эйлера.

Доказывается справедливость теорем:

Теорема 8. Операторные семейства Т~(1) являются ограниченными полугруппами в пространствах соответственно.

И справедливы оценки

||Т+(г)||^<е-У±^, (42)

< е"^. (43)

Теорема 9. Полугруппы Т*1^) являются сильно непрерывными в пространствах соответственно, где есть изометрия пространств 5Р(Е), со-ответствуюгцая пробразованию ж —> 1п т.

В §3.4 исследуются дробные степени оператоов Адамара-Эйлера и устанавливаются оценки

если 1 + 7 — и > 0 и

< • Мз^, (45)

если и + 7 — 1 > О.

В §3.5 полученные результаты применяются к корректной разрешимости задач (1)—(2).

В §3.6 изучаются операторные семейства Т(Ь)<р(х) = 1 (/г.(ст) + £)], £ £ К, где !г(х)— определенная для х е (о, Ь) С К. такая, что 1ъ'(х) > 0, к{а) = —оо, Ь(Ь) = оо.

Доказывается (теорема 3.6), что это семейство является сильно непрерывной группой преобразований в пространствах с нормой =

[¡^кы\<р(х)№]*, Р> 1,иеш.

Наряду с этим, для £ > 0 рассматриваются полугруппы Т+(Ь)<р(х) = Т(Ь)'ф) и Т_(£) = Т{-Ь)1р{х). которые порождают КОФ С(£) = |[Т+(£) + Т(-£)].

Устанавливается, что производящими операторами полугрупп 7±(£) являются операторы = с областью определения 1)(2)±л) = {Эд €

А производящим оператором С(£) является оператор с областью определения -0(53д) = {Э/, 6 € и справедливы оценки

||т±(г)Ии±л < е"?|Ми±л, \\С(Ы\р^к < ск ^ НИк^, I/ > 0. (46)

Оценки (46) позволяют ввести дробные степени и получить оценки на полугруппы Т±(£, -3)|): ||Т±(£, -(-2>1)|ил < е-<¥)а£.

При этом, для отрицательных дробных степеней 0 < о- < 1 получены представления

== £[/г(з) _ /,(*)]«-:(47)

(-В^)ф) = £[/г(х) - 1ф)Щ8). (48)

Очевидно, что при }г(х) — х интегралы (47), (48) являются интегралами Римана-Лиувилля, а при Н(х) = 1паг— интегралами Адамара-Эйлера.

Результаты применяются к установлению корректной разрешимости задачи Котпи для обобщенного телеграфного уравнения.

>^(4, х) + 2*) = + + х),

. . . . дш ы(0,х) = ф), -щ

= Ф(х),

(=0

где х € (а, Ь). £ 6 К, = € Х^л, € Х,Д1,>А, ф 6 Х^,

€ Справедлива

Теорема 10. Если коэффициенты ао,?>о,со,/3 такие, что выполняется неравенство

ао(^+/32)<&о, (49)

то задача (3.6.22)—(3.6.23) равномерно корректна и ее решение имеет вид

= е-^[С}(£)<р{х) + [* Са(з)ф(з)<1з], (50)

где

СаШх)ф(х) = С0(£)ч>(х) + | ¡\е - в2)"*/^ - 52)5С0(5)<р(Ж), (51)

здесь С0(э)^(х) = ЦТ-^/оов) + Т— полугруппа вида (49),

а = модифицированная функция Бесселя первого рода.

а0

Из этой теоремы следует корректная разрешимость задачи Коти для классического телеграфного уравнения в пространствах с оператором 1М1р,«/ — е™Ых)\Р(1х\** Р ~ О» 'г(х) = я и с оператором Адамара-Эйлера в пространствах ЬР)1/ с оператором ||у>||р,1/ = Публикации автора по теме диссертации. Со

[4| Бадран С. О корректной разрешимости одного уравнения с дробными производными / М.Н. Небольсина, Салим Бадран Джасим Салим // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XXIV".- Воронеж, 2013 .- С. 131-133.

[5] Бадран С. Об одном представлении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения второго порядка / В.А. Костин, М.Н. Небольсина, Салим Бадран Джасим Салим // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XXV",- Воронеж, 2014 .- С. 98-100.

[6] Бадран С. Гипервесовые пространства Степанова и корректная разрешимость некоторых нестационарных задач для уравнений с дробными производными//' С. Бадран, A.B. Костин, Воронеж: Современные проблемы теории краевых задач, 2013, с.

|7| Бадран С. О корректной разрешимости некоторых начально-краевых задач для дифференциальных уравнений с вырождением // Костин A.B., Салим Б.Д. Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. 2014. Т. 2. № 4-2 (9-2). С. 94-99.

[8] Бадран С. О корректной разрешимости некоторых нестационарных задач для уравнений с дробными производными// С. Бадран, A.B. Костин, Д.В. Костин, Воронеж: Изд.-полиграф. центр "Научная книга Материалы Международной молодежной научной школы Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач, 2012, с. 219—224.

Работы [1] и [2] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых журналов и изданий, рекомендованых ВАК РФ.

Подписано в печать 09.12.14. Формат 60*84 Усл. печ. л. 0.93. Тпраж 100 экз. Заказ 978.

Отпечатано с готового орппшал-макета в тппографнн Издательского дома ВГУ. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3