Вопросы разрешимости начальных задач для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На праиах рукописи

Богачева Юлия Владимировна

ВОПРОСЫ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ АБСТРАКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание учсиоЛ степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 200С

Работа выполнена в Воронежском государственном техническом университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Глушак А.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук,

профессор Глушко Л.В. кандидат физико-математических паук, профессор Архипов В.П.

Ведущая организации: Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской Академии паук (НИИ ПМА КБНЦРЛН).

Защита состоится 27 декабря 2006 г. в 16:00 часов на заседании диссертационного совета К 212.015.05 при Белгородском государственном университете по адресу: 308015, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, аул. 322.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.п., профессор

Глушак А.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Мысль об обобщении понятия дифференцирования на нецелые значения р возникла с самого

зарождения дифференциального исчисления. Периыс шаги были сделаны Л. Эйлером в 1738 г., П. Лапласом в 1812 г., Ж. Фурье и 1822 г. Собственно историю дробного исчисления следует вести с работ Н.Х. Лбеля и Ж. Лиувилля, появившихся в 30-е годы 19 века. Рядом с работами Ж. Лиувилля по значимости следует поставить работы Б. Римана, который пришел к конструкции дробного интегрирования, служащей с тех пор одной из основных форм дробного интегрирования.

Развитие области математического анализа, называемо!! дробным исчислением, и посвященной исследованию и применению производных н интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, обусловлено проникновением и взаимосвязями с самыми разнообразным» вопросами Теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др.

История развития дробного интегродифференцнроваиия знает немало работ, в которых в разное время переоткрывались уже известные результаты, иногда теми же самыми средствами, что и у предшественников, иногда на основе других методов. Это обстоятельство усугублялось тем, что существует большое число различных подходов к дробному интегродифференцированшо и, следовательно, различных направлений в дробном исчислении. Сопоставление этих подходов и направлений проводилось редко и было сравнительно мало известно. Важным шагом в развитии стало написание книги, которая объединила разные исследования в направлении по изучению дробных производных и интегралов, написанная С.Г. Самко, A.A. Килбасом и О.И. Маричевым "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения", 1987 г.

Несколько лет спустя появилась книга Miller К., Ross D. "An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations", 1993 г. Среди вопросов, которые рассматривались в этой книге отметим следующие: нахождение линейно независимых решений однородного дифференциального уравнения дробного порядка, определение дробной функции Грина, сведение исследования разрешимости дифференциального уравнения дробного порядка к исследованию разрешимости обыкновенного дифференциального уравнения целого порядка. Кроме того, в этой книге изучены интегральные уравнения дробного порядка, дробные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами и др.

Дальнейшему развитию дробного исчисления способствовала книга A.M. Нахушева "Дробное исчисление и его применение", 2003 г. В этой монографии изложены мысли и идеи, которые возникли у автора в процессе поиска методов решения различных, как локальных так и нелокальных начальных, смешанных и краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных основных и качественно новых типов. В первую очередь имеются в виду уравнения смешанного типа, возникающие при математическом моделировании трансзвуковых течений, процессов тепло- н массопереноса в средах с фрактальной структурой. В этой же книге указано, что основой большинства математических моделей, описывающих широкий круг физических и химических процессов, протекающих во фрактальных средах, при математическом моделировании экономических и социально-биологических явлений, являются дифференциальные уравнения дробного порядка, в том числе уравнения в частных производных. Поэтому развитие аналитического аппарата теории уравнений с частными производными дробного порядка является весьма актуальной и важной задачей.

Недавно A.B. Псху в своей книге "К теории краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и

континуального порядка", 2005 г. проводит исследование линейных уравнений с двумя независимыми переменными порядка меньше либо равного единице. Автор изучает свойства интегрального преобразования с функцией Райта в ядре и показывает его применения. Одним из важных применений этого преобразования является метод решения начальных задач для эволюционных уравнений дробного порядка, который позволяет редуцировать их к соответствующим задачам для уравнений целого порядка. К другим эффективным приложениям данного преобразования относятся утверждения о распределении вещественных пулей у функции типа Миттаг-Леффлера, неравенства и соотношения для функции типа Райта, вычисление некоторых интегралов от специальных функций.

В цитируемых книгах имеется обширный список публикаций, посвященных дифференциальным уравнениям с дробными производными. В их числе работы Алероева Т.С., Ворошилова A.A. и Килбаса A.A., Геккиевой С.Х., Зарубина А.Н., Кочубея А.Н. и Эйдельмапа С.Д., Мамчуева М.О., Нахушевой В.А., Репина O.A., Kilbas A.A., Srivastava Н.М., Trujillo J.J. и др.

Одним из современных направлений развития теории дифференциальных уравнений является изучение уравнений, решения которых являются функциями со значениями в произвольном банаховом пространстве. Изучение дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве (подход, связанный с теорией полугрупп) начато в работах Э. Хилле и К. Иосиды п 1948 г. В настоящее время на русском языке имеются монографии Н. Данфорда и Дж. Шварца, К. Иосиды, С. Г. Крейна, Т. Като, Дж. Голдстейла, Э. Хилле и Р. Филлипс и некоторые другие, излагающие теорию и применение линейных полугрупп, а также обширные обзоры С.Г. Крейна и М.И. Хазана, В.В. Васильева, С.Г. Крейна и С.И. Пискарева научных публикаций, начиная с 19С8 г. Основные вопросы, подвергавшиеся исследованию, - это корректность

задач» Koiiik, устойчивость ио отношению к возмущениям операторов, поведение при t -4 оо и т.д.

В последние годы рядом авторов было начато исследование абстрактных дифференциальных уравнении дробного порядка. Среди них А.Н. Кочубей, В.А. Костлн, A.B. Глушак, Clement Pia., Gripenberg G., Londen S.-O.

Дробное исчислепис функций одной и многих переменных, а также дифференциальные уравнения с дробными производными продолжают интенсивно развиваться и в настоящее время, свидетельством чему служит как большой поток публикаций, так и международные конференции, специально посвященные вопросам дробного исчисления.

Цель работы. Основной целыо является изучение вопросов разрешимости задачи типа Кош и для абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих одну или несколько дробных производных, с постоянными и переменными коэффициентами ■ к получение явных формул для решения.

Методы исследования. В работе используются методы функционального анализа и теории операторов в банаховом пространстве, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, а также метод интегральных преобразований.

Научная новизна. Все результаты диссертационной работы являются ноиммн. Наиболее важные из них:

1. Исследован вопрос о равномерной корректности задачи типа Коши для простейшего дифференциального уравнения дробного порядка при возмущении се ограниченным оператором.

2. Получено необходимое и достаточное условие равномерной корректности задачи типа Коши для однородного дифференциального уравнения, содержащего слагаемые с различными дробными производными порядка а,- < 1.

3. Изучены вопросы разрешимости задачи типа Коши для неоднородного дифференциального уравнения, содержащего слагаемые с различными дробными производными.

4. Получено необходимое и достаточное условие равномерной корректности задачи типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего композицию дробных производных.

5. Доказана разрешимость и найдены интегральные представления решений начальных задач для дифференциальных уравнения дробного порядка с переменными коэффициентами.

6. Найдены интегральные представления для решения однородной и неоднородной итерированной задачи типа Коши с дробными производными.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные результаты и методы их обоснования могут быть использованы в дальнейшем при установлении корректной разрешимости начальных задач для дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались в Зимней математической школе (Воронеж, 2003 г.), на осенних математических школах КГ10МЗН-2003, КГЮМЗН-2006 (Симферополь, 2003, 2006 г.г.), па Российско-Казахском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 2004 г.), на международной конференции по дифф. уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004 г.), на XIV Международной конференции IV Международного симпозиума "Ряды Фурье и их приложения" (Ростов-на-Дону, 2006 г.), а также на семинарах проф. Репникова В.Д. (Воронеж, ВГТУ, 2002 - 2004 г.г.), на семинаре проф. Архипова В.П. (Старый Оскол, ф. МИСиС, 2006 г.), на семинаре проф. Солдатова А.П. (Белгород, БелГУ, 2006 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в [1] - [11]. Из совместных работ [3, 4, 5, 7, 8, 9, 11] в диссертацию вошли результаты принадлежащие только Ю.В. Вогачевой.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на четырнадцать параграфов, списка литературы. Общий объем работы — 115 страницы. Библиография содержит 58 наименований.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы и сформулированы основные сё результаты, дан обзор выполненных в данном направлении результатов, приведены основные понятия и утверждения, использованные п работе.

В первой главе изучается задача типа Коши для дифференциальных уравнений, содержащих слагаемые с различными дробными производными.

В н.п. 1.1, 1.2 первой главы рассматривается задача типа Коши для простейшего дифференциального уравнения с дробными производными

Dav(t) = Av(t), t>0, (1)

lim Da~lv(t) = vq, (2)

1-++0 W V. V /

где А — линейный замкнутый оператор в Е с плотной в Е областью определения D(Ä), v0 £ D{A) и исследуется равномерная корректность этой задачи при возмущении ограниченным оператором.

Банахово пространство, обладающее свойством Радона-Никодима (см. Diestel J., Uhl J.J. "Vector Measurer", 1977 г.) будем в дальнейшем обозначать Er1лг, а разрешающий оператор задачи (1), (2) обозначим Ta{t,A).

Теорема 1. Пусть Е = Ец^, задача (1), (2) равномерно корректна и Р — линейный ограниченный оператор из Е в E. Тогда равномерно

корректна возмущенная задача

Dav(t) = (A + P)v(t), t> О,

lim Da-lv(t) = v0l i-»+0 4 '

и при этом справедливо представление

оа п=0

где

t

V0 (t) - Та (f, А), V„ (i) = J Ta (i - в, А) PVn-X (s) ds,n = 0,1...

о

Теорема 1 о возмущении используется в главе 3 при доказательстве равномерной корректности итерированной задачи типа Кошн.

Теорема 2. Пусть для разрешающего оператора задачи. (1), (2) справедлива оценка j|71, (t, Л)|| < Mta~x exp(uii) с постоянной и> < 0. Тогда задача (1), (2) равномерно корректна при замене а на 5 < а и разрешающий оператор имеет вид

оо

Ts (t) v0 = J fr.-r (<) Ta (r) vü dr,

о

где для а > 0, £ > 0, О < 7 < 1 функция /г>7 (i) определяется равенством

<т+100

2h S ехР (TZ ~tzl) dz> пРи Т ^ °>

к',(г) =

17—1 СО

О, при т < 0.

В п.п. 1.3, 1.4 изучается задача типа Кошн для дифференциального уравнения, содержащего сумму различных дробных производных. Приводится конкретный пример.

В банаховом пространстве Е рассматривается следующая задача*

т

(*) = *« (0, (3)

1=1

№п Я0™"1« (г) = 1>0, щ € £> (А), (4)

где < ... < а„,_1 < ат < 1, й} — постоянные, ат = 1, А — линейный замкнутый оператор и Е с плотной в Е областью определения £) (Л). Пусть о = (а!, аг, ...ат) — мультннндекс. Введем в рассмотрение

1Г1

функцию С}а (А)=£ и разрешающий оператор Та(*). Сформулируем 3=1

необходимое условие равномерной корректности задачи (3), (4).

Теорема 3. Если задача типа Коши (3), (4) равномерно корректна и Л.еА > и>, то (А) принадлежит резольвентному множеству . оператора А, Оля любого х € Е справедливо представление

+ 00

Я(<?„(А),Л)х = / ехр(-Аг)Га(*):г Л, о

и при этом для всех целых п> О

<ГД((?а(АМ) 6Хп

МГ(п + а,„) - (ReA - u))"+Q"' ' (5)

Далее доказывается достаточное условие равномерной корректности. Теорема 4. Пусть Е = £7/г,лт- Если при ReA > и> оператор А имеет резольвенту R (Qa (А), А), которая удовлетворяет неравенству (5) и Гц 6 D (Л), то функция

Uo + ioo

v(t) = Dx~am-^—.v.p. [ Л"™-1 exp (At) л (Qa (A), A) t* dX, ¿iti J

LJq—¡00

где u>o > max (u>, 0), является единственным решением задачи (3), (4) о классе функций, допускающих преобразование Лапласа.

Отметим, что в п. 1.3 рассмотрен модельный случай

■ v' (<) + aDV2v (i) = Av (i) , Дт v (i) = v0, в котором, в отличие от и. 1.4, начальное условие задается на саму функцию

В пункте 1.5 рассматривается задача типа Кошн для неоднородного дифференциального уравнения, содержащего слагаемые с различными дробными производными

ш

J2c4D°<v(t)=Av(t) + f(,t), (G)

j=i

Дт Da"-1v(t)=v0. (7)

Теорема 5. Пусть однородная (/ (i) = 0) задача (6), (7) равномерно корректна, vo 6 D (Л) и выполнено одно из двух условий;

a)f (0 6 С ((0, оо), 2?) абсолютно интегрируема в нуле и принимает значения в D (Л), А/ (t) G С ((0, оо), Е) и такэ/се абсолютно интегрируема о нуле;

b) Daf (t) g С ((0, oo) , Е) и абсолютно интегрируелка в нуле.

Тогда неоднородная задача (6), (7) имеегп единственное решение, которое определяется равенством

с

v(t)=To(t)v0 + JTa{t-S)f(0 d$. о

Во второй главе изучается радача типа Коши для дифференциальных уравнений, содержащих композицию дробных производных.

В п. 2.1, 2.2 изучается равномерная корректность задачи типа Коши следующего вида

DaDBu{t) + aDtu(t) = Au{t), (8)

lim D'-1 u(J) = wo, Hm Da~lDeu{t) = «i, (9)

1-4+0 4 '

где о ф О, 7 < а+Р, S = тах{/?,7}, А — линейный замкнутый оператор в Е с плотной в Е областью определения D(A).

В формулировке следующих теорем участвуют разрешающий оператор

G(í) задачи (8), (9) и функция 6(z)

Теорема 6. Пусть «i = 0, задача (8), (9) равномерно корректна и ReA > lj. Тогда Ха+^ + аА7 принадлежит резольвентному множеству оператора А, для любого х 6 Е имеет место представление

IUM учшл иукл- ршре

J 1, при х > О, [ 0, при х < 0.

+оо

R (Хо+0 + аА7) X = (0(0 - 7)А° + ©(7 - Р)а)~1 J exp(-Xt)G(t)x di,

о

и, кроме того, для всех целых п > 0 справедливо неравенство

сГ1 ((е(/Э - 7)Аа + 0(7 - Р)а) R (Ха+1> + аА7))

dXn

~ (ReA - и)п+6 К '

Теорема 7. Пусть Е = E¡i,n « mi = 0. Если при ReA > и> оператор А имеет резольвенту R + аА7), которая удовлетворяет неравенству

(10), uuo € D{A), то функция

W0 + 1OO

«(<) = G(i)«o = Dl~S¿¡v-P- J eMW6'1 {Q{P - 7)A° + 0(7 - J8)a) x

Wo — too

x R (Xa+P + аА7) «o dX, где u>o > тах(0,ы), является единственным решением задачи (8), (9) в классе функций, допускающих преобразование Лапласа.

В п. 2.2 формулируются необходимое и достаточное условия равномерной корректности задачи (8), (9) в случае, когда но = 0. В частности, формула для решения имеет вид

Wo-H'oo

«(О = IsDl~a^-.v.p. [ exp(A¿)AQ+í-1 R (Ха+0 + аА1) u,dA.

л7Г1 J

Wo —«ОО

В п. 2.3 изучается разрешимость задачи тина Коши для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами вида

Б" (Ш"и(«)) = гЛи(4), < > 0 (11)

Нт£>/,-1и(0 = 1:0, ЬдпД01-1 = 0. (12)

Сформулируем достаточное условие однозначно!! разрешимости (11), (12).

Теорема 8. Пусть а + 0 < 1, Е = Ец,ы, оператор А является производящим оператором равномерно ограниченной Сц-полугруппы и0 6 (А). Тогда задача (11), (12) в классе функций, допускающих преобразование Лапласа, имеет единственное решение, представимое в виде

а+|'оо

„(I) = _!_£»-/» [ сХ1\1>-111Ма+П(\а+е)и0<1\, а> о, (13)

27гг ]

а—|'со

где дробная степень резольвенты определяется равенством

со

Я* (А) = / ехр (_Аг) 5 > °

о

Замечание. В частном случае а + /3 = 1/2 уже а произвольном банаховом пространстве Е и для любой Со-полугруппи Т(Ь) (а не только для равномерно ограниченной) справедливо представление для решения

оо ^

Теорема 9. Пусть а + /3 = 1, оператор А является производящим оператором Со-полугруппы щ 6 О (Л). Тогда задача (11),

(12) в классе функций, допускающих преобразование Лапласа, имеет

единственное решение, которое определяется равенством

и

В п. 2.6 будем предполагать, что оператор А таков, что при к > О равномерно корректна следующая задача Кош» для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу

+ ^ю'Ц) = Аш(1), I > 0, (14)

ш(0) = ги0, и;'(0) = 0. (15)

Множество таких операторов Л.обозначим через С*, а разрешающий оператор задачи Кошн (14), (15) обозначим через УЦ£). Операторная функция У*(<) — операторная функция Бесселя (ОФБ), введена в работе Глушака А.В "Операторная функция Бесссля", ДАН, 1997, Т. 352, № 5, с.587-589.

Теорема 10. Пусть 1 < а + /3 < 2, 0 < к < 2/{а + ¡3) - 1, Е = Ец,ц> А й йк, ОФБ У/.(£) равномерно ограничена, и>о 6 О (А). Тогда задача (11), (12) а классе функций, допускающих преобразование Лапласа, имеет единственное решение, которое задается формулой (13), при этом дробная степень резольвенты определяется равенством

* <А> = Г(Д)Г.(* + 1/2) I *<0 Л,

о

где К„ (•) — функция Макдональда.

Третья глава посвящена вопросам разрешимости итерированной задачи типа Кошн.

В пункте 3.1 в банаховом пространстве Е рассматривается следующее уравнение

П(яа-Л-)и(0 = о, (16)

1=1

где (г = 1, п) — линейные, замкнутые, некоммутирующие и плотно определенные в Е с областью определения 1)(Л;) операторы, 0 < а < 1.

Предполагается, что множество

£>= П : ij € (l,...,n), j — 1,...,ш, m = 1,2,...,п

¿1 > ¿2 > - > im плотно в Е. Введем следующие обозначения

J-1

«(О = «i(0. П (°а - = UJ(Q> 2 ^ i < « i=i

и зададим начальные условия в виде

lim Da~lUi(t) = щ о, i = I7n. (17)

Теорема 11. Пусть задачи

DaUi{t) = AiUi{t), Ит D^Uiit) = t = l,...,n

равномерно корректны и TQ(i, Л;) — соответствующий разрешающий оператор. Тогда итерированная задача (16), (17) будет равномерно корректной ы при этом <?лл ее решения справедливо представление

t

и(t) = T0(i, Л^гл о + J Ta{t~ sj, /li)ro(s,, Л2)«2 о dst +

о

п-2 ' *т

+ ra(t-sbi4i) J Ta{si ~ s2, Л2) J -J ra(im-sm+i,-4m+i) x m=1 0 0 0 0

x ^afam+li Ал+2)«т+10 dsm+1... (ÎS2 CÎSi.

В пункте 3.2 рассматривается неоднородная итерированная задача типа Кош н вида

1=1

где Л,- (г = 1, п) — линейные замкнутые, вообще говоря, некоммутирующис операторы с плотной в Е областью определения £>(Л,).

Используя обозначения 1=1

начальные условия зададим в виде

{¡ш£»а'-Ч(<) = ^о, г = Т7п. (19)

Условие 1. Пусть f(t) 6 D [А\А2...Ап) — непрерывная при t > О фг/нкцил и функции f(t), Anf(t), An-\Anf{t), AiA2...A„f(t) имеют при t —» 0 интегрируемую особенность.

Условие 2. Пусть операторы Д- (i = 1, ...,п) такие, что равномерно корректны задачи

Da,v{t) = Aiv(t), Дт £>ai_1v(i) =vi0, viQ e D(AiA2...Ai)

и соответствующие разрешающие операторы обозначим Та, (i, А,-).

Теорема 12. Пусть для г = 1,п выполнены условия 1, 2. Тогда задача (18), (19) имеет единственное решение в классе функций, допускающих преобразование Лапласа, которое определяется равенством

I

"(О = Гв|(г,Л,)«/10 + /^.(i-s.MOr^Sb^iKo

о

' n—2 51 Яз Яп%

+ f Ta,(t — sj, j4i) jT0,(S1-S2,A2) J... j T0m+1(s

m sm+li Am+l) X

0 m~1 0 0 0

t

x ^„+3(^+11^+2)^+20 dsm+i...ds2dsi + /^(i - sip J4i)x i 0

<| »2 *n-l

x I roa(si - 52, A2) /.../ ^„.^Sn-l -Sn.A)/(Sn) ds„...ds2ifsi. 0 0 0

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему руководителю Глушаку A.B. за ценные замечания и обсуждение результатов работы.

Публикации по теме диссертации

Статьи в научных журналах и в материалах конференций:

1. Поваляева Ю.В. Интегральное представление решения задачи Кош и для одного абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными. / Поваляева Ю.В. // Сборник научных трудов ВГТУ: Асимптотическое поведение решений уравнений математической физики. Воронеж - 2002. С. 72 - 76.

2. Поваляева Ю.В. Разрешимость задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римана-Лиувилля. / Поваляева Ю.В. // Математические модели и операторные уравнения. Том 2. ВГУ. Воронеж - 2003. С. 104 - 111.

3. Поваляева Ю.В. О свойствах решений задачи тина Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной. / Поваляева Ю.В., Глушак А.В. // Spectral and Evolution Problems Proceedings of the Fourteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium (KROMSH-2003). Volume 14. Simferopol - 2004. С. 1C3 - 172.

4. Богачева Ю.В. Об одном абстрактном дифференциальном уравнении с переменными коэффициентами. / Богачева Ю.В., Глушак А.В. // Spectral and Evolution Problems Proceedings of the Sixteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium (KROMSH-2005). Volume 16. Simferopol -2006. C. 62 - 65.

5. Богачева Ю.В. Об одном дифференциальном уравнении дробного порядка, моделирующем процесс, связанный с броуновским движением. / Богачева Ю.В., Репников В.Д. // Вестник Воронежского государственного технического университета. Том 2. Выпуск 8. Воронеж - 2006. С. 163 - 164.

6. Богачева Ю.В. Об одной абстрактной задаче типа Коши с дробными производными. / Богачева Ю.В. // Межвузовский сборник трудов семинара по фундаментальному и прикладному анализу. Старый Оскол - 2006. С.70 - 85.

Тезисы докладов:

7. Поваляева Ю.В. О разрешимости дифференциальных уравнений дробного порядка. / Поваляева Ю-В., Глушак A.B. // Российско-Казахский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус - 2004. С. 8.

8. Богачева Ю.В. About one abstract differential equation with changeable factors. / Богачева Ю.В., Глушак A.B. // KROMSH-2005. Volume IG. Simferopol - 2006. С. 21.

9. Богачева Ю.В. Об одной абстрактной задаче типа Коши с дробными производными. / Богачева Ю.В., Глушак A.B. // XIV Международная конференция. Математика. Экономика. Образование. IV Международный симпозиум. Ряды Фурье и их приложения. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону - 2006. С. 60 - 61.

10. Богачева Ю.В. Об одной абстрактной задаче типа Коши с дробными производными. / Богачева Ю.В. // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений. Тезисы докладов международной конференции, посвященной 100-летию академика Ф.Д. Гахова (1906-1980). Минск - 2006. С. 25 - 26.

11. Богачева Ю.В.-About one abstract problem such as Cauchy with fractional derivatives. / Богачева Ю.В., Глушак A.B. // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль - 2006. С.244.

Тираж 60 экз. Заказ № 808. Формат 60х84'/[&. Объем 1,0 п.л.

Отпечатано в типографии ИПЦ ВГУ с готовог о оригинала-макета 394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3

ВВЕДЕНИЕ.

0.1. Специальные функции.

0.2. Интегральные преобразования.

0.3. Дробные интегралы и производные.

0.4. Полугруппа. Теорема Хилле-Иосиды.

0.5. Теорема Уиддера. Свойство Радона-Никодима.

ГЛАВА 1. Задача типа Коши для дифференциальных уравнений, содержащих слагаемые с различными дробными производными.

1.1. Задача типа Коши для простейшего дифференциального уравнения с дробными производными.

1.2. Возмущение простейшего дифференциального уравнения ограниченным оператором.

1.3. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего слагаемые с различными дробными производными. Модельный случай.

1.4. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего слагаемые с различными дробными производными. Общий случай.

1.5. Задача типа Коши для неоднородного дифференциального уравнения, содержащего слагаемые с различными дробными производными.

1.6. Дифференциальное уравнение дробного порядка с переменными коэффициентами.

ГЛАВА 2. Задача типа Коши для дифференциальных уравнений, содержащих композицию дробных производных.

2.1. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего композицию дробных производных. Случай 1.

2.2. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего композицию дробных производных. Случай 2.

2.3. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего композицию дробных производных и два оператора.

2.4. Задача типа Коши для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, содержащего композицию дробных производных.

Случай а + /3<1.

2.5. Задача типа Коши для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, содержащего композицию дробных производных.

Случай а + /3 = 1.

2.6. Задача типа Коши для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, содержащего композицию дробных производных.

Случай 1 < а+0 < 2.

ГЛАВА 3. Итерированная задача типа Коши.

3.1.Однородная итерированная задача типа Коши.

3.2. Неоднородная итерированная задача типа Коши.

Мысль об обобщении понятия дифференцирования dpf(t)/dtp на нецелые значения р возникла с самого зарождения дифференциального исчисления. Первые шаги были сделаны JI. Эйлером в 1738 г., П. Лапласом в 1812 г., Ж. Фурье в 1822 г. Собственно историю дробного исчисления следует вести с работ Н.Х. Абеля и Ж. Лиувилля, появившихся в 30-е годы 19 века. Рядом с работами Ж. Лиувилля по значимости следует поставить работы Б. Римана, который пришел к конструкции дробного интегрирования, служащей с тех пор одной из основных форм дробного интегрирования.

Развитие области математического анализа, называемой дробным исчислением, и посвященной исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, обусловлено проникновением и взаимосвязями с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др.

История развития дробного интегродифференцирования знает немало работ, в которых в разное время переоткрывались уже известные результаты, иногда теми же самыми средствами, что и у предшественников, иногда на основе других методов. Это обстоятельство усугублялось тем, что существует большое число различных подходов к дробному интегродиф-ференцированию и, следовательно, различных направлений в дробном исчислении. Сопоставление этих подходов и направлений проводилось редко и было сравнительно мало известно. Важным шагом в развитии стало написание книги, которая объединила разные исследования в направлении по изучению дробных производных и интегралов, написанная С.Г. Самко, А.А. Килбасом и О.И. Маричевым "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения" [34].

Несколько лет спустя появилась книга Miller К., Ross В. "An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations" [42]. Среди вопросов, которые рассматривались в этой книге отметим следующие: нахождение линейно независимых решений однородного дифференциального уравнения дробного порядка, определение дробной функции Грина, сведение исследования разрешимости дифференциального уравнения дробного порядка к исследованию разрешимости обыкновенного дифференциального уравнения целого порядка. Кроме того, в этой книге изучены интегральные уравнения дробного порядка, дробные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами и др.

Дальнейшему развитию дробного исчисления способствовала книга A.M. Нахушева "Дробное исчисление и его применение" [28]. В этой монографии изложены мысли и идеи, которые возникли у автора в процессе поиска методов решения различных, как локальных так и нелокальных начальных, смешанных и краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных основных и качественно новых типов. В первую очередь имеются в виду уравнения смешанного типа, возникающие при математическом моделировании трансзвуковых течений, процессов тепло-и массопереноса в средах с фрактальной структурой. В этой же книге указано, что основой большинства математических моделей, описывающих широкий круг физических и химических процессов, протекающих во фрактальных средах, при математическом моделировании экономических и социально-биологических явлений, являются дифференциальные уравнения дробного порядка, в том числе уравнения в частных производных. Поэтому развитие аналитического аппарата теории уравнений с частными производными дробного порядка является весьма актуальной и важной задачей.

Недавно А.В. Псху в своей книге "Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка" [32] проводит исследование линейных уравнений с двумя независимыми переменными порядка меньше либо равного единице. Автор изучает свойства интегрального преобразования с функцией Райта в ядре и показывает его применения. Одним из важных применений этого преобразования является метод решения начальных задач для эволюционных уравнений дробного порядка, который позволяет редуцировать их к соответствующим задачам для уравнений целого порядка. К другим эффективным приложениям данного преобразования относятся утверждения о распределении вещественных нулей у функции типа Миттаг-Леффлера, неравенства и соотношения для функции типа Райта, вычисление некоторых интегралов от специальных функций.

В цитируемых книгах имеется обширный список публикаций, посвященных дифференциальным уравнениям с дробными производными. В их числе работы Алероева Т.С. [1], [2], Ворошилова А.А. и Килбаса А.А. [6], Гек-киевой С.Х. [7], [8], Зарубина Е.А. [16], [17], Кочубея А.Н. и Эйдельмана С.Д. [22], [23], Мамчуева М.О. [26], [27], Нахушевой В.А. [29], [30], Репина О.А. [33], Kilbas А.А., Srivastava Н.М., Trujillo J.J. [41] и др.

Одним из современных направлений развития теории дифференциальных уравнений является изучение дифференциальных уравнений, решения которых являются функциями со значениями в произвольном банаховом пространстве. Изучение дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве (подход, связанный с теорией полугрупп) начато в работах Э. Хилле и К. Иосиды в 1948 г. В настоящее время на русском языке имеются монографии Н. Данфорда и Дж.Шварца [15], К. Иосиды [18], С. Г. Крейна [24], Т. Като [19], Дж. Голдстейна [14], Э. Хилле и Р. Филлипс [35] и некоторые другие, излагающие теорию и применение линейных полугрупп, а также обширные обзоры С.Г. Крейна и М.И. Хазана [25], В.В. Васильева, С.Г. Крейна и С.И.Пискарева [5], научных публикаций, начиная с 1968 г. Основные вопросы, подвергавшиеся исследованию, — это корректность задачи Коши (существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от начальных условий), устойчивость по отношению к возмущениям операторов, поведение при t —)■ оо и т.д.

В последние годы рядом авторов было начато исследование абстрактных дифференциальных уравнений дробного порядка. Среди них А.Н. Кочубей [21], В.А. Костин [20], А.В. Глушак [9] - [12], Clement Ph., Gripenberg G., Londen S.-O. [38].

Дробное исчисление функций одной и многих переменных продолжает интенсивно развиваться и в настоящее время, свидетельством чему служит как большой поток публикаций, так и международные конференции, специально посвященные вопросам дробного исчисления.

Переходим к формулировке результатов диссертации.

Во введении обоснована актуальность работы и сформулированы основные её результаты, дан обзор выполненных в данном направлении результатов, приведены основные понятия и утверждения, использованные в

В первой главе изучается задача типа Коши для дифференциальных уравнений, содержащих слагаемые с различными дробными производными.

В п.п. 1.1, 1.2 первой главы рассматривается задача типа Коши для простейшего дифференциального уравнения с дробными производными где А — линейный замкнутый оператор в Е с плотной в Е областью определения D(A), vq £ D(A) и исследуется равномерная корректность этой задачи при возмущении ограниченным оператором.

Банахово пространство, обладающее свойством Радона-Никодима (см. [39]) будем в дальнейшем обозначать Е&д, а разрешающий оператор задачи (1), (2) обозначим Та(£, А).

Теорема 1. Пусть Е = Ецд, задача (1), (2) равномерно корректна и работе.

Dav(t) = Av(t), t > О,

1)

2)

Р — линейный ограниченный оператор из Е в Е. Тогда равномерно корректна возмущенная задача

Dav(t) = {A + P)v(t), t> О, lim D^vit) = и0, г-н-о v' и при этом справедливо представление

00 п=О где t

Vq(t) = Та (*, Л), Vn{t) = JTa(t-s, A)PVn-г {s) ds,n = 0,1. 0

Теорема 1 о возмущении используется в главе 3 при доказательстве равномерной корректности итерированной задачи типа Коши.

Теорема 2. Пусть для разрешающего оператора задачи (1), (2) справедлива оценка ||Та(£,Л)|| < Mfa1exp(wf) с постоянной и < 0. Тогда задача (1), (2) равномерно корректна при замене а над <а и разрешающий оператор имеет вид

00

Ts (t) VQ = J /т,7 (t) Ta (т) Vq dr, О где для сг > 0, т>0, 0 < 7 < 1 функция /т,7 (t) определяется равенством

Iu+too

2яТ / еХР - TZl) dZ' ПРЫ 1 ^ °> a-ioo

О, при t < 0.

В п.п. 1.3, 1.4 изучается задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего сумму различных дробных производных. Приводится конкретный пример.

В банаховом пространстве Е рассматривается следующая задача т

J2<4Daiv{t) = Av(t), 3=1 lim Dam v (t) = v0, vq£D (A),

4) где a.\ < . < ami < ocT„ < 1, — постоянные, am = 1, A — линейный замкнутый оператор в Е с плотной в Е областью определения D (Л). Пусть а = (oil, —Oim) — мультииндекс. Введем в рассмотрение функт цию Qa (А)=И разрешающий оператор Ta(t). Сформулируем необ-3=1 ходимое условие равномерной корректности задачи (3), (4).

Теорема 3. Если задача типа Коши (3), (4) равномерно корректна и ReA > из, то Qа (А) принадлежит резольвентному множеству оператора А, для любого х Е Е справедливо представление оо

R (Qa (А) ,А) х= J exp (-At) Та (t) х dt, и при этом для всех целых п> 0 dnR(Qa( А), Л) d\n

MY (п + am) (ReA — и})п+ССт'

ReA > из.

5)

Далее доказывается достаточное условие равномерной корректности. Теорема 4. Пусть Е = Ецд. Если при ReA > из оператор А имеет резольвенту R(Qa (А) ,А), которая удовлетворяет неравенству (5) и Vq е D (А), то функция ыо+ioo v(t) = Dl~am^-.v.p. J Xam~1exp(Xt)R(Qa(X),A)v0dX, щ—ioo где u3q > max (из, 0), является единственным решением задачи (3), (4) в классе функций, допускающих преобразование Лапласа.

Отметим, что в п. 1.3 рассмотрен модельный случай v' (f) + aD1/2v (t) = Av (t), Шп v (t) = v0, в котором, в отличие от п. 1.4, начальное условие задается на саму функцию v(t).

В пункте 1.5 рассматривается задача типа Коши для неоднородного дифференциального уравнения, содержащего слагаемые с различными дробными производными т

Y^ajD^v(t) = Av(t) + f(t), (6) j=i lim Da--1v(t) = v0. (7)

Теорема 5. Пусть однородная (f (t) = 0) задача (6), (7) равномерно корректна, vq G D (А) и выполнено одно из двух условий: a)f (<) G С ((0, оо), Е) абсолютно интегрируема в нуле и принимает значения в D (A), Af (t) е С ((0, оо), Е) и также абсолютно интегрируема в нуле; b) Daf(t) 6 С ((0, оо) ,Е) и абсолютно интегрируема в нуле.

Тогда неоднородная задача (6),(7) имеет единственное решение, которое определяется равенством t v(t) = Ta(t)vo + JT«(*-0/(£) о

Во второй главе изучается задача типа Коши для дифференциальных уравнений, содержащих композицию дробных производных.

В п. 2.1, 2.2 изучается равномерная корректность задачи типа Коши следующего вида

DaDpu(t) + aD4{t) = Au(t), (8) lim D^uit) = щ, lim D^D^uit) = uu (9) i-H-0 v ' t-H-0 w » \ ) где а ф О, 7 < а+/3, S = тах{/?, 7}, А — линейный замкнутый оператор в Е с плотной в Е областью определения D(A).

В формулировке следующих теорем участвуют разрешающий оператор

Г 1, при х > О, G(t) задачи (8), (9) и функция 6(2;) = < 0, при х < 0.

Теорема 6. Пусть щ = 0, задача (8), (9) равномерно корректна и ReA > и. Тогда Ха+Р + аХ1 принадлежит резольвентному множеству оператора А, для любого х € Е имеет место представление

00

R (АЛ+/3 + аХ7) ж = (©(/? - 7)Аа + ©(7 - М'1 J ехр(-Аt)G(t)x dt, о и, кроме того, для всех целых п>0 справедливо неравенство dn ((©(£ - 7)Аа + 0(7 - 0)а) R (\a+f} + аА7)) d\n

МТ{п + 5) (ReA — u))r

10)

Теорема 7. Пусть Е = Едд и щ = 0. Если при ReA > 00 оператор А имеет резольвенту которая удовлетворяет неравенству

10), и Uq 6 D(A), то функция

Wo+tOO u(t) = G(t)uo = Dl~s-^—.v.p. [ exp(Xt)Xs~l (©(0 - 7)Aa + ©(7 - 0)a) x

2m J

Wo—too x R (Aa+/3 + аХ1) щ dX, где ujq > max(0,cj), является единственным решением задачи (8), (9).

В п. 2.2 формулируются необходимое и достаточное условия равномерной корректности задачи (8), (9) в случае, когда щ = 0. В частности, формула для решения имеет вид

Wo+tOO u{t) = IsDl~a^v.p. J exp(A*)Aa+*-*R (Xa+(} + аХ1) UldX

W0—too

В п. 2.3 изучается разрешимость задачи типа Коши для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами вида

Dn (tD^u(t)) = tAu(t), t > О (И) lim DP~lu(t) = 1 i^D"-1 (tDpu(t)) = 0. (12)

Сформулируем достаточное условие однозначной разрешимости (И), (12).

Теорема 8. Пусть а + /3 < 1, Е = оператор А является производящим оператором равномерно ограниченной С^-полугруппы T(t), щ 6 D(A). Тогда задача (11), (12) в классе функций, допускающих преобразование Лапласа, имеет единственное решение, представимое в виде

Т+гоо u(t) = J M-itf"0*» (\а+?)щ d\, а>0, (13)

7—tOO где дробная степень резольвенты R5(fi) определяется равенством оо

Rs (Л) = [ ts~l exp (-АО T(t)dt, 6 > 0. r(d) J о

Замечание. В частном случае а + (3 = 1/2 уже в произвольном банаховом пространстве Е и для любой Co-полугруппы T(t) (а не только для равномерно ограниченной) справедливо представление для решения

00

Теорема 9. Пусть a+f3 = 1, оператор А является производящим оператором Co-полугруппы Т (t), щ € D{A). Тогда задача (И), (12) в классе функций, допускающих преобразование Лапласа, имеет единственное решение, которое определяется равенством u(t) = , 1 . T(t)uo. к ' Г(1 -a)ta v '

В п. 2.6 будем предполагать, что оператор А таков, что при к > О равномерно корректна следующая задача Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу w"(t) + -w'(t) = Aw(t), t > 0 (14) t w( 0) = w0, w'(0) = 0. (15)

Множество таких операторов А обозначим через Gjt, а разрешающий оператор задачи Коши (14), (15) обозначим через Yk(t). Операторная функция Yk(t) — операторная функция Бесселя (ОФБ), введена в работе [13].

Теорема 10. Пусть 1 < а + /3 < 2, 0 < к < 2/(а + /3) - 1; Е = ER,N) A G Gk, ОФБ Yk(t) равномерно ограничена, € D(A). Тогда задача (11), (12) в классе функций, допускающих преобразование Лапласа, имеет единственное решение, которое задается формулой (13), при этом дробная степень резольвенты определяется равенством

00

Л) = VZT" /'(l-1,/2+W* И «М * о где Kv (•) — функция Макдональда. Третья глава посвящена вопросам разрешимости итерированной задачи типа Коши.

В пункте 3.1 в банаховом пространстве Е рассматривается следующее уравнение п

П (Da - АШ = (16) где А{ (г = 1, п) — линейные, замкнутые, вообще говоря, некоммутирующие и плотно определенные в Е с областью определения D(A{) операторы, 0 < а < 1. Предполагается, что множество

D= р| D(Ail.Ain):ije{l,.,n), j = l,.,m,

Ч > «2 > - > im т = 1,2,п плотно в Е. Введем следующие обозначения

У-1 u(t) = ui(t), Д(Da-Ai)u(t)=uj(t), 2 <j<n t=i и зададим начальные условия в виде ча-1 lim D Ui{t) = щ о, г = 1, п. (17)

Теорема 11. Пусть задачи DaUi(t) = lim Da-1wt-(£) = г = l,.,n равномерно корректны и Ta{t,Ai) — соответствующий разрешающий оператор. Тогда итерированная задача (16), (17) будет равномерно корректной и при этом для ее решения справедливо представление t u(t) = ui(t) = Ta(t, A\)u\ о о ds i+ o T^-sbM) j Ta(sx-s2,A2) J .J Ta{sm-sm+hAm+i) x m=1 0 0 0 0 x Ta(sm+h Am+2)um+io dsm+i. ds2 dsi.

2 ^ 'ra

В пункте 3.2 рассматривается неоднородная итерированная задача типа Коши вида п is) 1 где Ai (г = 1, п) — линейные замкнутые, вообще говоря, некоммутирующие операторы с плотной в Е областью определения D(Ai). Используя обозначения i начальные условия зададим в виде lim = vf о, г = Т^п. (19)

Условие 1. Пусть f(t) G D {А\А2.Ап) — непрерывная при t > О функция и функции f(t), Anf(t), An-iAnf(t), A\A2.Anf(t) имеют при t 0 интегрируемую особенность.

Условие 2. Пусть операторы А{ (г = 1, .,п) такие, что равномерно корректны задачи

Daiv(t) = AMt), lim Dai~lv(t) = vi0, vioeD (АгА2.АА t-»+o и соответствующие разрешающие операторы обозначим Tai (t,Ai).

Теорема 12. Пусть для i = 1,п выполнены условия 1, 2. Тогда задача (18), (19) имеет единственное решение, которое определяется равенством t v{t)=Tai(T,Ai)vl0 + J Tai(t-sl,Ai)Ta2(sl,A2)v2odsl+ 0 t n—2 s* Sm J Tai(t - si, Ai) J- «2, M) J. J Tam+1{sm - sm+b Am+1) x 0 m=1 0 0 0 x Tam+2(sm+u Am+2)Vm+20 dsm+i.ds2dsi+ t Si 32 JTai(t - si, j4i) JTa2(Sl-s2,A2) J. 0 0 0 J Ta^Sn-.! - sn,An)f(sn) dsn.ds2dsi. 0

Приводимый далее обзор использованных в диссертации результатов заимствован из [3], [4], [18], [24], [28], [31], [34], [36], [42].

0.1 Специальные функции

1. Гамма-функция. Гамма-функцией Г (2) называется интеграл Эйлера второго рода

00

Г (z) = J х2'1 ехр(-я) dx, Re г > О, о который сходится при всех z € С, для которых Re z > 0. Здесь xz~l = ехр((2 — 1)1пж).

Разложение отношения двух гамма-функций на бесконечности выглядит так N

Г* (Z + °к , (v-N-l\ /П1 i\ z °(z '' (0'u) где со = 1, | arg(z + a)\ <тт, \z\ ->• 00, коэффициенты Ck выражаются через обобщенные многочлены Бернулли.

2. Бета-функция. Бета-функцией называется интеграл Эйлера первого рода 1

В (z, ы) = J хг~1{1 - xf~l dx, Re z > 0, Re ш > 0. о

Он выражается через гамма-функцию по формуле к ' ' T(z + u)

3. Функция Миттаг-Леффлера. Функцией Миттаг-Леффлера называется целая функция, определяемая рядом

00 к

Пг—О

Также функцией типа Миттаг-Леффлера называют сумму более общего ряда

00 к

Таким образом, Ea(z) = Ea,\(z). Известно соотношение

00

J exp(-QtP^Eaj, (taz) dt = J^, \z\ < 1, 0 приводящее к формуле для преобразования Лапласа функции z^^E^p (za)

J exp (-т^Еа,? (Г) # = fzn- (0.1.2) о

Асимптотическое равенство для функции Миттаг-Леффлера выглядит следующим образом

Еаф (z) = i^-exp (z1'*) + О ^ , z ->оо , | arg*| < Ц-. (0.1.3)

0.2 Интегральные преобразования

1. Преобразование Фурье. Преобразование Фурье функции <р(х) действительного аргумента —оо<х<оо определяется формулой

00

Fx^[<p{x)] = ф(0 = J exv(ixt)tp(x) dx. (0.2.1)

00

Обратное преобразование Фурье осуществляется формулой

00

Ф) = = ~j exp(-гхШ) (0.2.2)

00

Интеграл (0.2.1) абсолютно сходится для функции (р 6: Li(R}), а (0.2.2) сходится в среднем по норме пространства L2(R!) для <р Е L2(R1).

Преобразование Фурье функции <р(х) Е L^R1) ограничено, непрерывно и стремится к нулю при со (теорема Римана-Лебега). Скорость убывания Fx^[tp(x)] на бесконечности при этом связана с гладкостью функции <р(х). Эта связь выражается простыми формулами

Fx^[DMx)} = 16 где D" = n = 1,2,., которые справедливы на "хороших" функциях (например, непрерывно дифференцируемых до порядка п и таких, что оо

Если h(x), ^(ж) е Li(Rl), то свертка (h * ф) (х) = J h(x — t)(p(t) dt G E Li(R}) и справедливо равенство 00

Fx^[(h*<p)(x)] = h(Z№), называемое теоремой о свертке. Оно сохраняет силу и при h(x) G Li(B}), tp(x) е L2(Rl) (тогда (h * ф) (х) € L2(R1)) или h(x) е L^R1). В дальнейшем нам понадобится формула р-1

2 \ is ( SX еХРГ'2«

2"

2,ехр — (0-2'3)

2. Преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа функции <p(t), О < t < оо, определяется формулой

00

Lt^xMt)} = Ф(А) = J ехр(-Аt)tp(t) dt, о а обратное преобразование Лапласа имеет вид т+гоо p(t) = А)] = ^ J ехр(АОФ(А) dA, ReA > А0. или справедлива формула обращения Поста-Уиддера

Сверткой для преобразования Лапласа является интеграл t

0.2.4) h * ф) (t) = j h(t — s)tp(s) ds.

Теорема о свертке или теорема Борелля имеет вид l(h * <р)] (А) = Lt^x [h] (A) L^x Ы (А).

Формула преобразования Лапласа производной имеет вид и—1

А) = XnLx^x Ы (А) - £ А""4"1У*>(0), ыо которая легко получается интегрированием по частям при условии существования соответствующих интегралов.

Кроме того, есть конкретные формулы прямого и обратного преобразования Лапласа некоторых элементарных функций, приведенные в таблицах справочников по преобразованию Лапласа. Одна из них выглядит следующим образом при Re А > 0, Re а > О

Lux [t~m exp (-2 2cd *)] =2тг1/2а 1/2 exp (-a ^A1'2). (0.2.5)

Введем функцию

7+»00 W^)(k,nPH(>0, (o26)

0, при t < 0, где (7>0, т>0, 0 < 7 < 1 и ветвь функции z1 выбрана так, что Re z1 > 0 при Re z > 0. Эта ветвь является однозначной функцией на комплексной z-плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси. Сходимость интеграла (0.2.6) обеспечивается множителем ехр (—tz1). Приведем некоторые свойства функции fT,^(t):

1. Имеет место представление

00 ехр (-тА7) = J exp (-Аt) /т,7(<) dt, т > О, А > 0, 0 < 7 < 1. (0.2.7) о

2. Если в интеграле, определяющем функцию /T,7(i) перейти от интегрирования по прямой z — а > 0 к контуру, состоящему из двух лучей z = rexp(—iQ) и z — гехр(г'0), где 0 < г < оо, 7г/2 < 0 < 7г, то при t > 0 для функции /Т)7(£) получится представление оо

Tj7(t) = — J exp (ir cos 0 — rr7 cos 7O) x 0 x sin (tr sin 0 - rr7 sin 7© + 0) dr. (0.2.8)

0.3 Дробные интегралы и производные

Определение 0.3.1. Пусть <р(х) G Ь\(а,Ь). Интегралы X щ J {х ^L dt, х > а, (0.3.1) а Ь щ! (Г^р dt' х <ь' (0'3'2) X где а > 0, называются интегралами дробного порядка а. Первый из них иногда называют левосторонним, а второй — правосторонним. Операторы называют операторами дробного интегрирования Римана-Лиувилля.

Дробное интегрирование обладает полугрупповым свойством lUlU = CV IUU = а>0,р>0. (0.3.3)

Тождество (0.3.3) выполняются в каждой точке, если ip G С ([а, &]), и почти всюду, если ip G Ь\ (а, Ь) (если а + > 1, то и для (р G Ь\ (а, Ь) они справедливы в каждой точке).

Определение 0.3.2. Для функции f(x), заданной на отрезке [а,Ь], каждое из выражений X

0.3.4) b называется дробной производной порядка а, 0 < а < 1, соответственно левосторонней и правосторонней Римана-Лиувилля.

Пусть (3 > а > 0. Для дробных интегралов справедливо следующее свойство lim Гф) = v0=> lim = 0. (0.3.6)

Если 0 < а < 1, то n« f — — Tl~af Для a < 0 будем пользоваться также обозначением

D°a+f = С-?/'

Приведем нужные нам в дальнейшем формулы для вычисления дробного интеграла и дробной производной от некоторых функций:

D%+(t - а)""1 = 0,0 < а < 1. (0.3.7)

Iaa+(t - af~l = ^ - Р>0. (0.3.8) т

Daa+(t - af-1 = ~ аУ-""1,/? > 0. (0.3.9) аа+ ехр(Лt) = ехр{Xa)(t - a)aElj(X+l{Xt - Ха). (0.3.10) ехр(Лt) = ехр(Аa){t - a)~aEU-a(Xt - Ха). (0.3.11)

Ig, (tP-%A-«t0)) = (0.3.12)

Для функции tip(t) справедливо обобщенное правило Лейбница

Daa+ (Mt)) = tD"+(p(t) + aD^<p(t), « > 0- (°-3-13)

Справедливы некоторые важные свойства дробных интегралов и производных. a) Пусть а > 0. Тогда равенство Ф) (0-3.14) выполняется для любой суммируемой функции <р(х). b) Предположим, что функция f(x) Е L\{a,b) имеет суммируемую производную D%+f, то выполняется следующее равенство /(*) - ^^ (« - а)""1, о < а < 1, (0.3.15) где /,-„(*) = III"}. c) Справедлива следующая формула композиции для дробных производных. Пусть 0 < а < 1 и f(x) £ Li(a,b) имеет суммируемую производную D"+f, тогда выполняется равенство

Д0°+</ = Dgff - • (0.3.16) d) Преобразование Лапласа дробных производных и дробных интегралов обладает следующими свойствами

L„x [1аф)] = A~aLx->x [ф)], 0 < а < 1, (0.3.17) L„x [Паф)] = XaLx^x [ф)] - ГР'М0), 0 < а < 1. (0.3.18)

0.4 Полугруппа. Теорема Хилле-Иосиды

Определение 0.4.1. Оператор А, определенный на линейном многообразии банахова пространства Е, действующий в другое банахово пространство F, называется линейным, если он аддитивен и однороден. Линейное многообразие, на котором определен оператор, называется его областью определения D(A), а совокупность элементов вида Ах (х € D(A)) — его областью значений.

Определение 0.4.2. Если D(A) = Е и при всех х Е Е выполнено неравенство

Ax\\f < с\\х\\Е, 21 то оператор называется ограниченным, а наименьшее значение константы с — нормой НЛИя-кр оператора А.

Ограниченный оператор — непрерывен. Обратно, определенный на всем пространстве Е непрерывный линейный оператор — ограничен.

Определение 0.4.3. Функцию A(t) (0 <t <Т) со значениями в пространстве ограниченных линейных операторов L (Е, F) будем называть оператором, зависящим от параметра.

Определение 0.4.4. Ограниченный линейный оператор A(t) называется сильно непрерывным (в точке, на отрезке), если при каждом х Е Е функция A(t)x со значениями в F непрерывна (в точке, на отрезке).

Одной из важнейших функций от оператора является его резольвента.

Определение 0.4.5. Если при заданном комплексном X существует ограниченный обратный оператор (XI — А)'1 (I — тождественный оператор), то число X называется регулярной точкой оператора А, а оператор R(X, А) = (XI — А)~г — резольвентой оператора.

Для резольвенты справедливы тождества

R (Л, A)-R (ц, A) = {X-ii)R (A, A) R (//, А),

R (А, А) - R {fi, В) = R (Л, А) (В - A) R (ц, В).

Из первого тождества следует, что резольвента в области регулярных точек является аналитической функцией от Л со значениями в пространстве линейных ограниченных операторов L (Е, Е).

Определение 0.4.6. Рассмотрим линейные операторы А, определенные на некотором линейном многообразии D(A) пространства Е, действующие в пространстве Е. Оператор А называется замкнутым, если из того, что хп х (хп Е D (А)) и Ахп -> у следует, что х Е D (А) и у = Ах.

Ограниченный оператор, очевидно, замкнут. Существенным является тот факт, что замкнутый оператор, определенный во всем пространстве, — ограничен. Вместе с оператором А замкнут или незамкнут оператор XI—А (с областью определения D(A)), поэтому если существует ограниченный обратный оператор (XI — А)~1, то оператор А замкнут. Другими словами, если оператор имеет хотя бы одну регулярную точку, то он замкнут.

Совокупность регулярных точек (открытое множество) оператора А обозначим р(Х). Его дополнение а(Х) называется спектром и является замкнутым множеством.

Если До — регулярная точка оператора А и R (Л, А) — его резольвента, то оператор AR (А, А) ограничен. Справедливо следующее тождество

AR (А, А) = I + XR (А, А). (0.4.1)

Для производных резольвенты справедлива формула

0.4.2)

Определение 0.4.7. Семейство ограниченных линейных операторов T(t), зависящих от параметра t (0 < t < оо), называется полугруппой, если

T{t 1 +t2) = T(tx)T{t2) (0 < h, t2 < оо).

Определение 0.4.8. Пусть T(t) — некоторая полугруппа. Обозначим через D совокупность тех элементов xq 6Е Е, для которых функция

T(t)xо доопределенная в нуле какхо, дифференцируема (справа) в нуле. На элементах из D определен линейный оператор l[mT(t)x0-x о=П) <-++о t w

Оператор Т'(0) называется производящим оператором полугруппы T(t).

Определение 0.4.9. Полугруппа T(t) принадлежит классу Cq, если она сильно непрерывна при t > 0 и lim^T(t)x = х при любом х G Е. Справедливы следующие теоремы (см. [24]).

Теорема 0.4.1. Оператор А, порождающий корректную задачу Коши может быть расширен до производящего оператора Т'(0) сильно непрерывной полугруппы T(t).

Теорема 0.4.2. Полугруппа T(t), порожденная равномерно корректной задачей Коши, принадлежит классу Cq.

Теорема 0.4.3. Если полугруппа принадлежит классу Со, то для нее справедлива оценка ||T(t)j| < Mexp(ujt), М > е R.

Теорема 0.4.4. Если полугруппа принадлежит классу Со, то область определения D производящего оператора Т'(0) всюду плотна в пространстве Е, более того, всюду плотно в Е множество элементов, на которых определены все степени оператора Т*(0).

Теорема 0.4.5. Если полугруппа принадлежит классу Со, то ее производящий оператор замкнут.

Теорема 0.4.6. Если полугруппа T(t) принадлежит классу Со, то ее производящий оператор Т'(0) для всех А с достаточно большой вещественной частью имеет резольвенту.

Теорема 0.4.7. (Хилле-Иосиды) Для того, чтобы замкнутый плотно определенный оператор А был производящим оператором полугруппы класса Со, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой полуплоскости ReA > и у этого оператора существовала резольвента, удовлетворяющая неравенству

Определение 0.4.9. Co-полугруппа T(t) называется аналитической Co-полугруппой с углом (или в угле) О G (0,7г) или просто аналитической, если она расширяется до оператор-функции T(z) : z -л В(Е), ана

Rn(\,A)x\\ < , п = 1,2--* , ReX>u или равносильному неравенству

R{n){X,A)x\\ < , п = 0,1— , Re \>ш. литической в Е© = {z Е С : | argz| < 0} и сильно непрерывной в нуле по переменной z, лежащей внутри Е©.

Заметим, что аналитическая в Е© полугруппа T(t) порождает семейство Co-полугрупп T9(t) = Т(г ехр (гу?)). Существуют М > 1 и си Е R такие, что \\Т9(Щ < Мехр (иг) сразу для всех ip Е (-0', 0') с 0' < 0.

0.5.Теорема Уиддера. Свойство Радона-Никодима

Следующие теоремы и определение содержатся, например в [36]. Теорема 0.5.1.(Уиддера) Пусть Е банахово пространство и Ф : (0, со) —> Е преобразование Лапласа функции (p(t). Пусть М > 0. Следующие утверждения эквивалентны:

1. Функция Ф бесконечно дифференцируемая и для п = 0,1,. имеет место оценка sup{||An+1#W (А) /гг!||} < М.

А>0

2. Существует функция F : [0, оо) Е, удовлетворяющая F(0) = 0 и ||F(t + h)~ F(t) || < Mh, где (t>0,h> 0), такая что

00

Ф(А) = J Аехр(-Аt)F(t) dt, А > а. о

Определение 0.5.1. Банахово пространство Е обладает свойством

Радона-Никодима, если всякая абсолютно непрерывная функция и : [а, Ь]

Е дифференцируема почти всюду на (а,Ь) и' Е L\ ((а,Ъ),Е) и u(t)— t

-и(а) = Ju'(s)ds. а

Банахово пространство, обладающее свойством Радона-Никодима [39] будем в дальнейшем обозначать Erд. Например, рефлексивные банаховы пространства обладают свойством Радона-Никодима, а пространства L\ (0,1), С [а, Ь] и со не обладают.

Теорема 0.5.2. Банахово пространство Е обладает свойством Радона-Никодима тогда и только тогда, когда имеет место теорема Уиддера.

1 Задача типа Коши для дифференциальных уравнений, содержащих слагаемые с различными дробными производными

1. Алероев Т. С. К проблеме о нулях фунцкии типа Миттаг-Леффлера и спектре одного дифференциального оператора дробного порядка. Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. № 9 - с. 1278 - 1279.

2. Алероев Т. С. О собственных значениях одной краевой задачи для дифференциального оператора дробного порядка. Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. № 10 с. 1422 - 1423.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентые функции. Т.З. Москва. Наука. 1967 234 с.

4. Васильев В.В. Полугруппы и косинус оператор-функции в банаховых пространствах. Часть 1. Воронеж. ВГУ. 2005 262 с.

5. Васильев В.В., Крейн С.Г., Пискарев С.И. Полугруппы операторов, косинус-оператор функции и линейные дифференциальные уравнения. Итоги науки и техники. Серия Матанализ. ВИНИТИ. 1990. Т.28 с. 87 - 202.

6. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Капуто. Белорусский государственный университет. Минск. 14 с.

7. Геккиева С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени. Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. Т. 5. № 1 с. 16 - 19.

8. Геккиева С.Х. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной. Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2001. Т. 5. № 2 с. 18 - 22.

9. Глушак А.В. О задаче типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной. Вестник ВГУ. Серия физика, математика. Воронеж. 2001. № 2 — с. 74 77.

10. Глушак А.В. О связи решений абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные. Вестник ВГУ. Серия физика, математика. Воронеж. 2002. № 2 — с. 61 63.

11. Глушак А.В. О задаче типа Коши для неоднородного абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной. Вестник ВГУ. Серия физика, математика. Воронеж. 2002. № 1.-е. 121 123.

12. Глушак А.В. Задача типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными. Математические заметки. Том 77. Выпуск 1. 2005. с. 28 - 41.

13. Глушак А.В. Операторная функция Бесселя. ДАН. 1997. Т.352, № 5. с.587-589.

14. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. Киев. Выща школа. 1989.

15. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. Иностранная литература. 1962 895 с.

16. Зарубин Е.А. О единственности задачи Жевре для смешанного уравнения диффузии дробного порядка. Современные методы в теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтря-гинские чтения-XV". Воронеж. 2004 с. 93 - 94.

17. Иосида К. Функциональный анализ. Москва. Мир. 1967 624 с.

18. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. Москва. Мир. 1972 740 с.

19. Кочубей А.Н., Эйделъман С.Д. Уравнения одномерной фрактальной диффузии. Доп. Нац. АН Украины. 2003. № 12 с. И - 16.

20. Кочубей А.Н., Эйделъман С.Д. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка. ДАН. 2004. Т. 394 № 2 с. 159 - 161.

21. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Москва. Наука. 1967 464 с.

22. Крейн С.Г., Хазан М.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Итоги науки и техники СССР. Серия Математический анализ. Москва. 1983. Т.21 с. 130 - 266.

23. Мамчуев М.О. Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами. Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2003. Т. 7 № 2 с. 26 - 35.

24. Мамчуев М.О. Смешанная задача для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка. Доклады Адыгской (Черкесской) Межд. академии наук. 2004. Т. 7 № 1 с. 56 - 59.

25. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. Москва. Физ-матлит. 2003 272 с.

26. Нахушева В.А. Принцип экстремума для нелоуального параболического уравнения и смешанная задача для обобщенного волнового уравнения. Доклады Адыгской (Черкесской) Межд. академии наук. 1996. Т. 2 № 1 с. 26 - 28.

27. Нахушева В.А. Некоторые классы дифференциальных уравнений математических моделей нелокальных физических процессов. Изд-во КБ-НЦ РАН. Нальчик. 2002. 100 с.

28. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды: Специальные функции. Москва. Наука. 1983. 752 с.

29. Псху А.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка. Нальчик. 2005 186 с.

30. Репин О.А. О разрешимости одной нелокальной задачи для параболо-гиперболического уравнения с дробной производной. Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Всероссийской конференции. Ч. 3. Самара. 2004 с. 183 - 188.

31. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск. Наука и техника. 1987 688 с.

32. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. Москва. Издательство иностранной литературы. 1962. 829 С.

33. Arendt W. Vector valued Laplace transforms and Cauchy problems. Israel. Matem. 1987, V.59, P. 327-352.

34. Beghin L., Orsingher E. The telegrapher's process stopped at stable-distributed times and its connection with the fractional telegraph equation. Fractional calculus and applied analysis. 2003. V. 2. P. 187- 204.

35. Diestel J., Uhl J.J. Vector Measures. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island. 1977.

36. Fattorini И.О. A note on fractional derivatives of semigroups and cosine functions. Pacific J. Math. 1983. V.109, № 2. P.335-347.

37. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of fractional differential equations. North Holland Mathematics studies, 204, Elsevier, 2006. P. 523.

38. Miller, Kenneth S., Ross, Bertram An Introduction to the fractional calculus and fractional differential equation. A Wiley-Interscience Publication John Wiley and Sons, Inc. Ney York, 1993. 363 P.

39. Orsingher E., Beghin L. Time-fractional telegraph equations and telegraphprocesses with brownian time. Probability Theory Relation Fields. 2004. V. 128. P. 141 -160.

40. Sandefur J.T. Higher order abstract Cauchy problems. Journal of Math. Analysis and Applications, 60, Academic Press, 1977. P. 728 - 742.

41. Schneider W.R., Wyss W. Fractional diffusion and wave equations. Journal of Mathematical Physics, 30,1989. P. 134 - 144.

42. Wyss W. Fractional diffusion equation. Journal of Mathematical Physics, 27, 1986. P. 2782 - 2785.

43. Wyss W. The fractional Black-Scholes equation. Fractional Calculus and Applied Analysis, 3 (1), 2000. P. 51 - 61.

44. Поваляева Ю.В. Разрешимость задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римана-Лиувилля. / Поваляева Ю.В. j j Математические модели и операторные уравнения. Том 2. ВГУ. Воронеж 2003. с. 104-111.

45. Поваляева Ю.В. О разрешимости дифференциальных уравнений дробного порядка. / Поваляева Ю.В., Глушак А.В. j j Российско-Казахский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус 2004. с. 8.

46. Богачева Ю.В. About one abstract differential equation with changeable factors. / Богачева Ю.В., Глушак А.В. // KROMSH-2005. Volume 16. Simferopol 2006. c. 21.

47. Богачева Ю.В. Об одной абстрактной задаче типа Коши с дробными производными. / Богачева Ю.В. // Межвузовский сборник трудов семинара по фундаментальному и прикладному анализу. Старый Оскол 2006. с. 70 - 85.

48. Богачева Ю.В. About one abstract problem such as Cauchy with fractional derivatives. / Богачева Ю.В., Глушак А.В. // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль 2006. с. 244.